एक फ़ंक्शन क्या है? यह एक मात्रा की दूसरी पर निर्भरता है। गणितीय फ़ंक्शन में, अक्सर दो अज्ञात होते हैं: स्वतंत्र और आश्रित, या क्रमशः x और y।

इसका मतलब क्या है? इसका मतलब यह है कि x बिल्कुल कोई भी मान ले सकता है, और y फ़ंक्शन के गुणांक के अनुसार बदलते हुए, इसके अनुकूल हो जाएगा।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ एक फ़ंक्शन में कई चर होते हैं। आश्रित हमेशा 1 होता है, लेकिन इसे प्रभावित करने वाले कई कारक हो सकते हैं। ऐसे फ़ंक्शन को ग्राफ़ पर प्रदर्शित करना हमेशा संभव नहीं होता है। सर्वोत्तम स्थिति में, आप 2 चरों पर y की निर्भरता को ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं।

निर्भरता y(x) को दर्शाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

हाँ, बहुत सरल. एक बिगड़ैल बच्चे और एक अमीर, प्यार करने वाली माँ की कल्पना करें। वे एक साथ दुकान पर आते हैं और कैंडी माँगने लगते हैं। कौन जानता है कि लड़का आज कितनी मिठाइयाँ माँगेगा?

कोई नहीं, लेकिन कैंडी की संख्या के आधार पर, चेकआउट पर माँ द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि बढ़ जाएगी। इस मामले में, आश्रित चर चेक में राशि है, और स्वतंत्र चर वह मिठाई की संख्या है जो लड़का आज चाहता है।

यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन y का एक मान हमेशा तर्क x के 1 मान से मेल खाता है। लेकिन, द्विघात समीकरण की जड़ों की तरह, ये मान मेल खा सकते हैं।

सीधी रेखा का समीकरण

यदि हम किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के समीकरण के बारे में बात कर रहे हैं तो हमें एक सीधी रेखा के समीकरण की आवश्यकता क्यों है?

हाँ, क्योंकि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा एक खंड है। खंड एक सीधी रेखा का एक सीमित भाग है। अर्थात् हम सीधी रेखाओं के समीकरण निर्दिष्ट कर सकते हैं। और उनके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं पर, रेखाओं को सीमित करें, जिससे सीधी रेखाएं कट जाएं और उन्हें खंडों में बदल दिया जाए।

रेखा का समीकरण इस प्रकार दिखता है:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

त्रिभुज की भुजाओं का समीकरण

बिंदु A(3,7) पर शीर्षों वाले त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के लिए समीकरण खोजना आवश्यक है; बी(5,3); सी(12;9)

सभी निर्देशांक सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज 1 निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित होगा।

आइए त्रिभुज की प्रत्येक रेखा के लिए एक-एक करके समीकरण बनाएं।

• पहली पंक्ति AB होगी. हम बिंदुओं के निर्देशांक को सीधी रेखा के समीकरण में x और y के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार हमें दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। इसे हल करने के बाद, आप फ़ंक्शन के लिए गुणांक का मान पा सकते हैं:

ए(3,7) ; बी(5,3):

पहले समीकरण से हम b को व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं।

आइए a का मान प्रतिस्थापित करें और b ज्ञात करें।

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

आइए एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं।

• आइए इसी तरह बाकी दो समीकरण भी बनाएं।

बी(5,3); सी(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

• ए(3,7) ; सी(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

• आइए हम एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के लिए समीकरण लिखें:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

हमने क्या सीखा?

हमने सीखा कि एक फलन क्या है, एक सीधी रेखा के फलन के बारे में बात की और एक त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण उसके शीर्षों के निर्देशांक से प्राप्त करना सीखा।

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खंड द्वाराएक सीधी रेखा के उस भाग को कहते हैं जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु शामिल होते हैं जो इन दो बिंदुओं के बीच स्थित होते हैं - उन्हें खंड के अंत कहा जाता है।

आइए पहला उदाहरण देखें. मान लीजिए कि एक निश्चित खंड को निर्देशांक तल में दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। इस मामले में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

इसलिए, समन्वय प्रणाली में हम उसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के साथ एक खंड बनाते हैं(x1; y1) और (x2; y2) . अक्ष पर एक्स और वाई खंड के सिरों से लंब बनाएं. आइए उन खंडों को लाल रंग से चिह्नित करें जो निर्देशांक अक्ष पर मूल खंड से प्रक्षेपण हैं। इसके बाद, हम प्रक्षेपण खंडों को खंडों के सिरों के समानांतर स्थानांतरित करते हैं। हमें एक त्रिभुज (आयताकार) मिलता है। इस त्रिभुज का कर्ण खंड AB ही होगा, और इसके पैर स्थानांतरित प्रक्षेपण हैं।

आइए इन अनुमानों की लंबाई की गणना करें। तो, अक्ष पर वाई प्रक्षेपण लंबाई है y2-y1 , और अक्ष पर एक्स प्रक्षेपण लंबाई है x2-x1 . आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . इस मामले में |एबी| खंड की लंबाई है.

यदि आप किसी खंड की लंबाई की गणना करने के लिए इस आरेख का उपयोग करते हैं, तो आपको खंड का निर्माण भी नहीं करना पड़ेगा। आइए अब निर्देशांक के साथ खंड की लंबाई की गणना करें (1;3) और (2;5) . पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हमें मिलता है: |एबी|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . इसका मतलब है कि हमारे सेगमेंट की लंबाई बराबर है 5:1/2 .

किसी खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हमें किसी प्रणाली में दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। आइए द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके इस विकल्प पर विचार करें।

तो, द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, खंड के चरम बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। यदि हम इन बिंदुओं से होकर सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे निर्देशांक अक्ष के लंबवत होनी चाहिए, तो हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है। मूल खंड परिणामी त्रिभुज का कर्ण होगा। त्रिभुज के पैर खंड बनाते हैं, उनकी लंबाई समन्वय अक्षों पर कर्ण के प्रक्षेपण के बराबर होती है। पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: किसी दिए गए खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको दो समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।

आइए प्रक्षेपण लंबाई ज्ञात करें (एक्स और वाई) निर्देशांक अक्षों पर मूल खंड। हम एक अलग अक्ष के अनुदिश बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर ज्ञात करके उनकी गणना करते हैं: एक्स = एक्स2-एक्स1, वाई = वाई2-वाई1 .

खंड की लंबाई की गणना करें ए , इसके लिए हम वर्गमूल ज्ञात करते हैं:

ए = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

यदि हमारा खंड उन बिंदुओं के बीच स्थित है जिनके निर्देशांक हैं 2;4 और 4;1 , तो इसकी लंबाई तदनुसार बराबर होती है √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .

उदाहरण। त्रिभुज ABC के शीर्ष दिये गये हैं।
ज्ञात करें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) भुजाओं AB और AC के समीकरण और उनके कोणीय गुणांक; 3) 0.01 की सटीकता के साथ रेडियन में आंतरिक कोण ए; 4) सीडी की ऊंचाई और उसकी लंबाई के लिए समीकरण; 5) एक वृत्त का समीकरण जिसकी ऊंचाई सीडी व्यास है; 6) त्रिभुज ABC को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली।

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई:
|एबी| = 15
|एसी| = 11.18
|बीसी| = 14.14
बिंदु M से दूरी d: d = 10
त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) और M 2 (x 2 ; y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

8) एक रेखा का समीकरण
बिंदु A 1 (x 1 ; y 1) और A 2 (x 2 ; y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है:

रेखा AB का समीकरण
या
या y = -3 / 4 x -7 / 4 या 4y + 3x +7 = 0
लाइन एसी का समीकरण
रेखा का विहित समीकरण: या
या y = 1 / 2 x + 9 / 2 या 2y -x - 9 = 0
रेखा BC का समीकरण
रेखा का विहित समीकरण: या
या y = -7x + 42 या y + 7x - 42 = 0
3) सीधी रेखाओं के बीच का कोण
सीधी रेखा AB का समीकरण:y = -3 / 4 x -7 / 4
रेखा समीकरण AC:y = 1/2 x + 9/2
कोणीय गुणांक y = k 1 x + b 1 और y 2 = k 2 x + b 2 वाले समीकरणों द्वारा दिए गए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

इन रेखाओं का ढलान -3/4 और 1/2 है। आइए सूत्र का उपयोग करें, और इसका दाहिना ओर मॉड्यूल लें:

टीजी φ = 2
φ = आर्कटान(2) = 63.44 0 या 1.107 रेड।
9) शीर्ष C से होकर ऊँचाई का समीकरण
बिंदु N 0 (x 0 ;y 0) से गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा Ax + By + C = 0 के लंबवत एक दिशा वेक्टर (A;B) है और इसलिए, समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है:



इस समीकरण को दूसरे तरीके से पाया जा सकता है. ऐसा करने के लिए, आइए सीधी रेखा AB का ढलान k 1 ज्ञात करें।
एबी समीकरण: y = -3 / 4 x -7 / 4, यानी। के 1 = -3/4
आइए दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति से लंबवत का कोणीय गुणांक k ज्ञात करें: k 1 *k = -1।
k 1 के स्थान पर इस रेखा की ढलान को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
-3 / 4 k = -1, जहाँ से k = 4 / 3
चूँकि लम्ब बिंदु C(5,7) से होकर गुजरता है और इसमें k = 4/3 है, हम इसके समीकरण को इस रूप में देखेंगे: y-y 0 = k(x-x 0)।
x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-7 = 4/3 (x-5)
या
y = 4 / 3 x + 1 / 3 या 3y -4x - 1 = 0
आइए रेखा AB के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
पहले समीकरण से हम y व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
हमें मिलता है: x = -1; y=-1
डी(-1;-1)
9) शीर्ष C से खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1 ;y 1) से सीधी रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी d मात्रा के पूर्ण मान के बराबर है:

बिंदु C(5;7) और रेखा AB (4y + 3x +7 = 0) के बीच की दूरी ज्ञात करें


ऊंचाई की लंबाई की गणना एक अन्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जैसे बिंदु C(5;7) और बिंदु D(-1;-1) के बीच की दूरी।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्देशांक के रूप में व्यक्त की जाती है:

5) एक वृत्त का समीकरण जिसकी ऊंचाई सीडी व्यास है;
बिंदु E(a;b) पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण इस प्रकार है:
(एक्स-ए) 2 + (वाई-बी) 2 = आर 2
चूँकि CD वांछित वृत्त का व्यास है, इसका केंद्र E खंड CD का मध्यबिंदु है। किसी खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:


इसलिए, E(2;3) और R = CD / 2 = 5. सूत्र का उपयोग करके, हम वांछित वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) त्रिभुज ABC को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली।
रेखा AB का समीकरण: y = -3 / 4 x -7 / 4
रेखा AC का समीकरण: y = 1/2 x + 9/2
रेखा BC का समीकरण: y = -7x + 42

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?
समतल पर त्रिभुज के साथ विशिष्ट समस्या

यह पाठ समतल की ज्यामिति और अंतरिक्ष की ज्यामिति के बीच भूमध्य रेखा के दृष्टिकोण पर बनाया गया है। फिलहाल, संचित जानकारी को व्यवस्थित करने और एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?कठिनाई यह है कि आप ज्यामिति में अनंत संख्या में समस्याएं लेकर आ सकते हैं, और किसी भी पाठ्यपुस्तक में सभी उदाहरणों की भीड़ और विविधता शामिल नहीं होगी। क्या नहीं है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्नविभेदीकरण के पांच नियमों, एक तालिका और कई तकनीकों के साथ...

एक समाधान है! मैं इस तथ्य के बारे में जोर से नहीं बोलूंगा कि मैंने किसी प्रकार की भव्य तकनीक विकसित की है, हालांकि, मेरी राय में, विचाराधीन समस्या के लिए एक प्रभावी दृष्टिकोण है, जो एक पूर्ण डमी को भी अच्छे और उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। कम से कम, ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम ने मेरे दिमाग में बहुत स्पष्ट रूप से आकार ले लिया।

आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है
ज्यामिति समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए?

इससे कोई बच नहीं सकता है - अपनी नाक से बटनों को बेतरतीब ढंग से न चुभाने के लिए, आपको विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मूल बातों में महारत हासिल करने की आवश्यकता है। इसलिए, यदि आपने अभी-अभी ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया है या इसे पूरी तरह से भूल गए हैं, तो कृपया पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टर. सदिशों और उनके साथ होने वाली क्रियाओं के अलावा, आपको विशेष रूप से समतल ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं को जानने की आवश्यकता है, एक समतल में एक रेखा का समीकरणऔर । अंतरिक्ष की ज्यामिति लेखों में प्रस्तुत की गई है समतल समीकरण, अंतरिक्ष में एक रेखा के समीकरण, एक सीधी रेखा और एक समतल पर बुनियादी समस्याएं और कुछ अन्य पाठ। दूसरे क्रम की घुमावदार रेखाएँ और स्थानिक सतहें कुछ हद तक अलग-अलग खड़ी होती हैं, और उनके साथ इतनी अधिक विशिष्ट समस्याएँ नहीं होती हैं।

आइए मान लें कि छात्र के पास विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याओं को हल करने का बुनियादी ज्ञान और कौशल पहले से ही है। लेकिन ऐसा होता है: आप समस्या का विवरण पढ़ते हैं, और... आप पूरी चीज़ को पूरी तरह से बंद कर देना चाहते हैं, इसे दूर कोने में फेंक देना चाहते हैं और एक बुरे सपने की तरह इसे भूल जाना चाहते हैं। इसके अलावा, यह मूल रूप से आपकी योग्यता के स्तर पर निर्भर नहीं करता है; समय-समय पर मेरे सामने ऐसे कार्य आते हैं जिनका समाधान स्पष्ट नहीं होता है। ऐसे मामलों में क्या करें? जिस काम को आप नहीं समझते उससे डरने की कोई जरूरत नहीं है!

पहले तो, स्थापित किया जाना चाहिए - क्या यह एक "सपाट" या स्थानिक समस्या है?उदाहरण के लिए, यदि शर्त में दो निर्देशांक वाले वेक्टर शामिल हैं, तो, निश्चित रूप से, यह एक विमान की ज्यामिति है। और यदि शिक्षक ने कृतज्ञ श्रोता पर पिरामिड लाद दिया, तो अंतरिक्ष की ज्यामिति स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। पहले चरण के परिणाम पहले से ही काफी अच्छे हैं, क्योंकि हम इस कार्य के लिए अनावश्यक जानकारी की एक बड़ी मात्रा को काटने में कामयाब रहे!

दूसरा. यह स्थिति आमतौर पर आपको किसी ज्यामितीय आकृति से चिंतित करेगी। वास्तव में, अपने मूल विश्वविद्यालय के गलियारों में चलें, और आपको बहुत सारे चिंतित चेहरे दिखाई देंगे।

"सपाट" समस्याओं में, स्पष्ट बिंदुओं और रेखाओं का उल्लेख न करते हुए, सबसे लोकप्रिय आकृति एक त्रिकोण है। हम इसका विस्तृत विश्लेषण करेंगे. इसके बाद समांतर चतुर्भुज आता है, और आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, वृत्त और अन्य आकृतियाँ बहुत कम आम हैं।

स्थानिक समस्याओं में, समान सपाट आकृतियाँ + स्वयं विमान और समान्तर चतुर्भुज वाले सामान्य त्रिकोणीय पिरामिड उड़ सकते हैं।

प्रश्न दो - क्या आप इस आंकड़े के बारे में सब कुछ जानते हैं?मान लीजिए कि स्थिति एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में बात करती है, और आपको बहुत अस्पष्ट रूप से याद है कि यह किस प्रकार का त्रिभुज है। हम एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक खोलते हैं और एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में पढ़ते हैं। क्या करें...डॉक्टर ने कहा रोम्बस, मतलब रोम्बस। विश्लेषणात्मक ज्यामिति विश्लेषणात्मक ज्यामिति है, लेकिन समस्या का समाधान आकृतियों के ज्यामितीय गुणों से स्वयं हो जाएगा, जो हमें स्कूली पाठ्यक्रम से ज्ञात है। यदि आप नहीं जानते कि त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है, तो आप लंबे समय तक पीड़ित रह सकते हैं।

तीसरा. हमेशा ड्राइंग का अनुसरण करने का प्रयास करें(ड्राफ्ट/फिनिश कॉपी पर/मानसिक रूप से), भले ही यह शर्त के अनुसार आवश्यक न हो। "सपाट" समस्याओं में, यूक्लिड ने स्वयं एक रूलर और एक पेंसिल लेने का आदेश दिया - और न केवल स्थिति को समझने के लिए, बल्कि आत्म-परीक्षण के उद्देश्य से भी। इस मामले में, सबसे सुविधाजनक पैमाना 1 इकाई = 1 सेमी (2 नोटबुक सेल) है। आइए लापरवाह छात्रों और कब्रों में घूमते गणितज्ञों के बारे में बात न करें - ऐसी समस्याओं में गलती करना लगभग असंभव है। स्थानिक कार्यों के लिए, हम एक योजनाबद्ध चित्रण करते हैं, जो स्थिति का विश्लेषण करने में भी मदद करेगा।

एक रेखाचित्र या योजनाबद्ध रेखाचित्र अक्सर आपको किसी समस्या को हल करने का तरीका तुरंत देखने की अनुमति देता है। निःसंदेह, इसके लिए आपको ज्यामिति की नींव जानने और ज्यामितीय आकृतियों के गुणों को समझने की आवश्यकता है (पिछला पैराग्राफ देखें)।

चौथी. समाधान एल्गोरिदम का विकास. कई ज्यामिति समस्याएं बहु-चरणीय होती हैं, इसलिए समाधान और उसके डिज़ाइन को बिंदुओं में विभाजित करना बहुत सुविधाजनक होता है। अक्सर शर्त पढ़ने या ड्राइंग पूरा करने के बाद एल्गोरिदम तुरंत दिमाग में आता है। कठिनाइयों के मामले में, हम कार्य के प्रश्न से शुरुआत करते हैं. उदाहरण के लिए, शर्त के अनुसार "आपको एक सीधी रेखा बनाने की आवश्यकता है..."। यहां सबसे तार्किक प्रश्न यह है: "इस सीधी रेखा को बनाने के लिए क्या जानना पर्याप्त है?" मान लीजिए, "हम बिंदु जानते हैं, हमें दिशा वेक्टर जानने की जरूरत है।" हम निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं: “इस दिशा वेक्टर को कैसे खोजें? कहाँ?" वगैरह।

कभी-कभी एक "बग" होता है - समस्या हल नहीं होती है और बस इतना ही। रुकने के कारण निम्नलिखित हो सकते हैं:

– बुनियादी ज्ञान में गंभीर अंतर. दूसरे शब्दों में, आप किसी बहुत ही साधारण सी चीज़ को नहीं जानते और/या नहीं देखते हैं।

- ज्यामितीय आकृतियों के गुणों की अज्ञानता।

- कार्य कठिन था. हाँ, ऐसा होता है. घंटों तक भाप लेने और रूमाल में आँसू इकट्ठा करने का कोई मतलब नहीं है। अपने शिक्षक, साथी छात्रों से सलाह लें या मंच पर प्रश्न पूछें। इसके अलावा, अपने कथन को ठोस बनाना बेहतर है - समाधान के उस हिस्से के बारे में जिसे आप नहीं समझते हैं। "समस्या का समाधान कैसे करें?" के रूप में एक पुकार बहुत अच्छा नहीं लग रहा है... और, सबसे बढ़कर, आपकी अपनी प्रतिष्ठा के लिए।

चरण पांच. हम निर्णय लेते हैं-जांचते हैं, निर्णय लेते हैं-जांचते हैं, निर्णय लेते हैं-जांचते हैं-उत्तर देते हैं। कार्य के प्रत्येक बिन्दु की जांच करना लाभकारी रहता है इसके पूरा होने के तुरंत बाद. इससे आपको तुरंत त्रुटि पहचानने में मदद मिलेगी. स्वाभाविक रूप से, कोई भी पूरी समस्या को जल्दी से हल करने से मना नहीं करता है, लेकिन सब कुछ फिर से लिखने का जोखिम होता है (अक्सर कई पृष्ठ)।

ये, शायद, सभी मुख्य विचार हैं जिनका समस्याओं को हल करते समय पालन किया जाना चाहिए।

पाठ का व्यावहारिक भाग समतल ज्यामिति में प्रस्तुत किया गया है। केवल दो उदाहरण होंगे, लेकिन यह पर्याप्त नहीं लगेगा =)

आइए एल्गोरिथम के उस सूत्र पर गौर करें जिसे मैंने अभी अपने छोटे वैज्ञानिक कार्य में देखा है:

उदाहरण 1

एक समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष खोजें.

आइए समझना शुरू करें:

पहला कदम: यह स्पष्ट है कि हम एक "सपाट" समस्या के बारे में बात कर रहे हैं।

दूसरा चरण: समस्या एक समांतर चतुर्भुज से संबंधित है। क्या सभी को यह समांतर चतुर्भुज आकृति याद है? मुस्कुराने की जरूरत नहीं है, बहुत से लोग 30-40-50 या उससे अधिक वर्ष की आयु में शिक्षा प्राप्त करते हैं, इसलिए साधारण तथ्य भी स्मृति से मिटाए जा सकते हैं। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा पाठ के उदाहरण संख्या 3 में पाई जाती है सदिशों की रैखिक (गैर) निर्भरता। सदिशों का आधार.

तीसरा कदम: आइए एक चित्र बनाएं जिस पर हम तीन ज्ञात शीर्षों को चिह्नित करें। यह मज़ेदार है कि वांछित बिंदु को तुरंत बनाना मुश्किल नहीं है:

बेशक, इसका निर्माण अच्छा है, लेकिन समाधान विश्लेषणात्मक रूप से तैयार किया जाना चाहिए।

चरण चार: समाधान एल्गोरिदम का विकास. पहली बात जो दिमाग में आती है वह यह है कि एक बिंदु को रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में पाया जा सकता है। हम उनके समीकरण नहीं जानते, इसलिए हमें इस मुद्दे से निपटना होगा:

1) सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं। अंकों के हिसाब से आइए इन भुजाओं का दिशा सदिश ज्ञात करें। यह सबसे सरल समस्या है जिस पर कक्षा में चर्चा की गई थी। डमी के लिए वेक्टर.

टिप्पणी: "एक पक्ष वाली रेखा का समीकरण" कहना अधिक सही है, लेकिन यहां और आगे संक्षिप्तता के लिए मैं "एक पक्ष का समीकरण," "एक पक्ष का दिशा वेक्टर" आदि वाक्यांशों का उपयोग करूंगा।

3) सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं। बिंदुओं का उपयोग करके, हम इन भुजाओं का दिशा सदिश ज्ञात करते हैं।

4) आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं

पैराग्राफ 1-2 और 3-4 में, हमने वास्तव में एक ही समस्या को दो बार हल किया; वैसे, इस पर पाठ के उदाहरण संख्या 3 में चर्चा की गई थी समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ. एक लंबा रास्ता अपनाना संभव था - पहले रेखाओं के समीकरण खोजें और उसके बाद ही उनमें से दिशा सदिशों को "बाहर निकालें"।

5) अब रेखाओं के समीकरण ज्ञात हैं। जो कुछ बचा है वह रैखिक समीकरणों की संगत प्रणाली को बनाना और हल करना है (उसी पाठ के उदाहरण संख्या 4, 5 देखें) समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ).

बात तो मिल गयी.

कार्य काफी सरल है और इसका समाधान स्पष्ट है, लेकिन एक छोटा रास्ता भी है!

दूसरा उपाय:

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा विभाजित किया जाता है। मैंने बिंदु को चिह्नित किया, लेकिन चित्र को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने विकर्ण स्वयं नहीं बनाए।

आइए बिंदु दर बिंदु पक्ष के लिए एक समीकरण बनाएं:

जाँच करने के लिए, आपको मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को परिणामी समीकरण में प्रतिस्थापित करना चाहिए। आइए अब ढलान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम ढलान गुणांक वाले समीकरण के रूप में सामान्य समीकरण को फिर से लिखते हैं:

इस प्रकार, ढलान है:

इसी प्रकार, हम पक्षों के समीकरण पाते हैं। मुझे उसी चीज़ का वर्णन करने का कोई मतलब नहीं दिखता, इसलिए मैं तुरंत अंतिम परिणाम दूंगा:

2) भुजा की लंबाई ज्ञात करें। यह कक्षा में शामिल सबसे सरल समस्या है। डमी के लिए वेक्टर. अंक के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

उसी सूत्र का उपयोग करके अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना आसान है। एक नियमित रूलर से जाँच बहुत जल्दी की जा सकती है।

हम सूत्र का उपयोग करते हैं .

आइए वेक्टर खोजें:

इस प्रकार:

वैसे, रास्ते में हमें भुजाओं की लंबाई मिली।

नतीजतन:

खैर, यह सच प्रतीत होता है; आश्वस्त होने के लिए, आप कोने पर एक चांदा लगा सकते हैं।

ध्यान! त्रिभुज के कोण को सीधी रेखाओं के बीच के कोण के साथ भ्रमित न करें। त्रिभुज का कोण अधिक हो सकता है, लेकिन सीधी रेखाओं के बीच का कोण नहीं हो सकता (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें)। समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ). हालाँकि, किसी त्रिभुज का कोण ज्ञात करने के लिए आप उपरोक्त पाठ के सूत्रों का भी उपयोग कर सकते हैं, लेकिन खुरदरापन यह है कि वे सूत्र हमेशा न्यून कोण देते हैं। उनकी मदद से, मैंने ड्राफ्ट में इस समस्या को हल किया और परिणाम प्राप्त किया। और अंतिम प्रति पर मुझे अतिरिक्त बहाने लिखने होंगे, कि।

4) रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

मानक कार्य, पाठ के उदाहरण संख्या 2 में विस्तार से चर्चा की गई है समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ. रेखा के सामान्य समीकरण से आइए गाइड वेक्टर निकालें। आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

त्रिभुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें?

5) आइए ऊंचाई के लिए एक समीकरण बनाएं और इसकी लंबाई ज्ञात करें।

सख्त परिभाषाओं से कोई बच नहीं सकता, इसलिए आपको स्कूल की पाठ्यपुस्तक से चोरी करनी होगी:

त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब कहलाता है।

अर्थात् शीर्ष से भुजा पर खींचे गए लम्ब के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है। इस कार्य की चर्चा पाठ के उदाहरण संख्या 6, 7 में की गई है समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ. Eq से. सामान्य वेक्टर हटाएँ. आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके ऊंचाई समीकरण बनाएं:

कृपया ध्यान दें कि हम बिंदु के निर्देशांक नहीं जानते हैं।

कभी-कभी ऊंचाई का समीकरण लंबवत रेखाओं के कोणीय गुणांक के अनुपात से पाया जाता है:। इस मामले में, तो: . आइए एक बिंदु और एक कोणीय गुणांक का उपयोग करके ऊंचाई समीकरण बनाएं (पाठ की शुरुआत देखें)। समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण):

ऊंचाई की लंबाई दो प्रकार से ज्ञात की जा सकती है।

वहाँ एक गोल चक्कर रास्ता है:

ए) खोजें - ऊंचाई और भुजा का प्रतिच्छेदन बिंदु;
बी) दो ज्ञात बिंदुओं का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करें।

लेकिन क्लास में समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँएक बिंदु से एक रेखा की दूरी के लिए एक सुविधाजनक सूत्र पर विचार किया गया। बात ज्ञात है: , रेखा का समीकरण भी ज्ञात है: , इस प्रकार:

6) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। अंतरिक्ष में, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना पारंपरिक रूप से उपयोग करके की जाती है सदिशों का सदिश गुणनफल, लेकिन यहां हमें एक समतल पर एक त्रिभुज दिया गया है। हम स्कूल फॉर्मूला का उपयोग करते हैं:
- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उसकी ऊंचाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है।

इस मामले में:

त्रिभुज की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?

7) आइए माध्यिका के लिए एक समीकरण बनाएं।

एक त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाला खंड कहलाता है।

a) बिंदु खोजें - भुजा के मध्य में। हम उपयोग करते हैं किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्र. खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं: , फिर मध्य के निर्देशांक:

इस प्रकार:

आइए माध्यिका समीकरण को बिंदु दर बिंदु बनाते हैं :

समीकरण की जाँच करने के लिए, आपको उसमें बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना होगा।

8) ऊँचाई और माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। मुझे लगता है कि हर कोई पहले ही सीख चुका है कि बिना गिरे फिगर स्केटिंग के इस तत्व को कैसे निष्पादित किया जाए: