जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने के कार्यों पर विचार किया गया था, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद रखने के लिए एक तकनीक पेश करने का वादा किया था। इसका इस्तेमाल करने से आपको हमेशा जल्दी याद रहेगा कि कौन सा पैर कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने इसे अनिश्चित काल के लिए बंद नहीं करने का फैसला किया, आवश्यक सामग्री नीचे है, कृपया इसे पढ़ें
तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कैसे 10-11 कक्षा के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। वे अच्छी तरह से याद करते हैं कि पैर कर्ण को संदर्भित करता है, लेकिन कौन सा- भूल जाओ और अस्पष्ट। एक गलती की कीमत, जैसा कि आप परीक्षा में जानते हैं, एक खोया हुआ अंक है।
जो जानकारी मैं सीधे गणित के सामने पेश करूंगा उसका कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच से जुड़ा है, और मौखिक-तार्किक संबंध के तरीकों के साथ। यह सही है, मैं खुद, एक बार और सभी के लिए याद किया जाता हैपरिभाषा डेटा। यदि आप अभी भी उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों की मदद से याद रखना हमेशा आसान होता है।
मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाता हूँ:
कोज्याएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है:
साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
तो, आप में कोसाइन शब्द किन संघों को उद्घाटित करता है?
शायद सबका अपनालिंक याद रखें:
इस प्रकार, आपकी स्मृति में तुरंत एक अभिव्यक्ति होगी -
«… कर्ण से ADJACENT पैर का अनुपात».
कोसाइन की परिभाषा के साथ समस्या हल हो गई है।
यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से यह स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है। आखिरकार, केवल दो पैर हैं, यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" किया जाता है, तो साइन के लिए केवल विपरीत पक्ष रहता है।
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? वही भ्रम। छात्र जानते हैं कि यह पैरों का अनुपात है, लेकिन समस्या यह याद रखने की है कि कौन किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।
परिभाषाएं:
स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न टांग का विपरीत कोण से अनुपात है:
कैसे याद करें? दो तरीके हैं। एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा - एक गणितीय।
गणितीय विधि
ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा किसी कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:
* सूत्र को याद रखते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है।
वैसे ही।एक न्यून कोण का कोटैंजेंट किसी कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:
इसलिए! इन सूत्रों को याद करते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि:
- एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न कोण से अनुपात है
- समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटेंगेंट आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात होता है।
मौखिक-तार्किक विधि
स्पर्शरेखा के बारे में लिंक याद रखें:
यही है, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है
"... विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात"
यदि कोटैंजेंट की बात आती है, तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं -
"... आसन्न पैर का विपरीत अनुपात"
साइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद करने की एक दिलचस्प तकनीक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।
विधि सार्वभौमिक
आप सिर्फ पीस सकते हैं।लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी को याद रखता है, न कि केवल गणितीय।
मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।
साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख
पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।
अनुदेश
विधि 1. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना। प्रमेय कहता है: कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैपैरों के वर्ग। यह इस प्रकार है कि एक समकोण त्रिभुज की किसी भी भुजा की गणना उसकी अन्य दो भुजाओं को जानकर की जा सकती है (चित्र 2)
विधि 2. यह इस तथ्य का अनुसरण करता है कि कर्ण से खींची गई माध्यिका आपस में 3 समरूप त्रिभुज बनाती है (चित्र 3)। इस आकृति में, त्रिभुज ABC, BCD और ACD समरूप हैं।
उदाहरण 6: निर्देशांक ज्ञात करने के लिए इकाई वृत्तों का उपयोग करना
पहले हम दिए गए कोण के अनुरूप संदर्भ कोण ज्ञात करते हैं। फिर हम संदर्भ कोण के साइन और कोसाइन मान लेते हैं, और उन्हें चतुर्थांश के y- और x-मानों के अनुरूप संकेत देते हैं। इसके बाद, हम दिए गए कोण की कोज्या और ज्या ज्ञात करेंगे।
चलनी कोण, कोण त्रिभुज और घनमूल
बहुभुज जिन्हें एक कंपास और सीधा किनारे के साथ बनाया जा सकता है उनमें शामिल हैं।नोट: चलनी कोण को कंपास और स्ट्रेटएज के साथ प्लॉट नहीं किया जा सकता है। किसी घन की भुजा की लंबाई को 2 के घनमूल से गुणा करने पर घन की भुजा की लंबाई दुगनी मात्रा में प्राप्त होती है। फ्रांसीसी गणितज्ञ variste Galois के अभिनव सिद्धांत का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि तीनों शास्त्रीय समस्याओं के लिए, एक वृत्त और एक शासक के साथ निर्माण असंभव है।
कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।
ध्यान रखें: तीन-घटक कोण और घनमूल निर्माण कंपास और स्ट्रेटेज के साथ संभव नहीं हैं। 
दूसरी ओर, कार्डानो सूत्र के अनुसार तीसरी डिग्री के समीकरण के समाधान को कोण और घनमूल को विभाजित करके दर्शाया जा सकता है। भविष्य में, हम एक वृत्त और एक रूलर के साथ कुछ कोण बनाते हैं। हालांकि, इस कोण के त्रिकोण और घनमूल के निर्धारण के बाद, चलनी वर्ग के निर्माण को पूरा करने के लिए कंपास और स्ट्रेटेज की मदद से किया जा सकता है।
इस गणना के अनुसार जालीदार डेक का निर्माण
निर्माण समस्या का बीजगणितीय सूत्रीकरण एक समीकरण की ओर ले जाता है जिसका संरचनात्मक विश्लेषण त्रिगुट संरचना के निर्माण के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करेगा। यहां, कोण के कोसाइन के एक-से-एक अनुपात का उपयोग किया जाता है: यदि कोण का परिमाण ज्ञात है, तो कोण के कोसाइन की लंबाई को इकाई सर्कल पर विशिष्ट रूप से और इसके विपरीत बनाया जा सकता है।
अनुदेश
एक ज्ञात पैर और एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / ज्या के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / आसन्न है:
h = C1(या C2)/sinα;
एच = С1(या С2)/cosα.
उदाहरण: कर्ण AB और समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC दिया है। मान लीजिए कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। कर्ण AB की लंबाई ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर बताए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:
यह एक-से-एक कार्य आपको कोण की परिभाषा से कोण की कोज्या की परिभाषा तक जाने की अनुमति देता है। निम्नलिखित में, 3 विभाजित किए जाने वाले कोण को दर्शाता है। इस प्रकार, φ वह कोण है, जिसका मान दिए गए 3 के लिए निर्धारित किया जाना चाहिए। त्रिकोणमिति से ज्ञात यौगिकों से शुरू।
दिए गए कोण पर अनुसरण करता है 3 . त्रि-आयामी समीकरण की सॉल्वेबिलिटी का बीजगणितीय विचार सीधे समाधान के निर्माण की संभावना के प्रश्न की ओर जाता है और, परिणामस्वरूप, किसी दिए गए कोण के रचनात्मक ट्रिपल कोण की संभावना या असंभवता के प्रश्न पर।
AB=BC/cos60=8 सेमी.
AB = BC/sin30 = 8 सेमी.
कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है। यह एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्रों का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं।
तीसरे कोण को जोड़ने की संभावना पर निकास कोण के मूल्य का बहुत प्रभाव पड़ता है, क्योंकि यह एक पूर्ण शब्द के रूप में त्रि-आयामी समीकरण में समाधान के प्रकार को निर्णायक रूप से निर्धारित करता है। यदि त्रिभुज समीकरण में कम से कम एक वास्तविक समाधान होता है जिसे तर्कसंगत संचालन या किसी दिए गए प्रारंभिक कोण के लिए वर्गमूल पैटर्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, तो वह समाधान रचनात्मक होता है।
ब्रीडेनबैक ने एक मानदंड के रूप में तैयार किया कि तीन-सेकंड के कोण की व्याख्या केवल तीन-भाग वाले समीकरण के तर्कसंगत समाधान में की जा सकती है। यदि ऐसा कोई समाधान उपलब्ध नहीं है, तो कंपास और शासक के साथ तीन-भाग निर्माण की समस्या अपरिवर्तनीय है। क्लस्टर विश्लेषण एक बड़े डेटा सेट से छोटे समूहों को इकट्ठा करने की एक सामान्य तकनीक है। विभेदक विश्लेषण के समान, समूहों में अवलोकनों को वर्गीकृत करने के लिए क्लस्टर विश्लेषण का भी उपयोग किया जाता है। दूसरी ओर, भेदभावपूर्ण विश्लेषण के लिए वर्गीकरण नियम प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मामलों में समूह सदस्यता के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
अनुदेश
पैरों को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। आकृति में, पैरों को एबी और बीसी के रूप में नामित किया गया है। बता दें कि दोनों पैरों की लंबाई दी गई है। आइए उन्हें |AB| . के रूप में निरूपित करें और |बीसी|. कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए AC|, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात्। हमारे चित्र के अंकन में |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2। सूत्र से हम पाते हैं कि कर्ण AC की लंबाई |AC| . के रूप में पाई जाती है = √(|AB|^2 + |BC|^2) ।
क्लस्टर विश्लेषण एक अधिक आदिम तरीका है क्योंकि यह समूहों या समूह सदस्यता की संख्या के बारे में कोई धारणा नहीं बनाता है। वर्गीकरण क्लस्टर विश्लेषण संभावित संबंधों को खोजने और बड़ी संख्या में चर और अवलोकनों में एक व्यवस्थित संरचना बनाने का एक तरीका प्रदान करता है। मापा विशेषताओं के आधार पर मामलों के अपेक्षाकृत सजातीय समूहों को खोजने के लिए पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण मुख्य सांख्यिकीय पद्धति है। यह प्रत्येक मामले के साथ एक अलग क्लस्टर के रूप में शुरू होता है।
तब समूहों को क्रमिक रूप से मिला दिया जाता है, प्रत्येक चरण के साथ समूहों की संख्या घटती जाती है जब तक कि केवल एक क्लस्टर शेष न रह जाए। क्लस्टरिंग विधि क्लस्टर बनाने के लिए वस्तुओं के बीच अंतर का उपयोग करती है। छोटे नमूनों के लिए पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण सर्वोत्तम है।
एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैरों की लंबाई |AB| = 13, |बीसी| = 21. पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं कि |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610। संख्या 610 से: |एसी| = 610। पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि संख्या 610 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। कर्ण की लंबाई का अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आइए मूल चिह्न के नीचे से एक पूर्ण वर्ग निकालने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 610 को कारकों में विघटित करते हैं। 610 \u003d 2 * 5 * 61। अभाज्य संख्याओं की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि 61 एक अभाज्य संख्या है। इसलिए, संख्या √610 में और कमी करना असंभव है। हमें अंतिम उत्तर मिलता है |एसी| = 610।
यदि कर्ण का वर्ग था, उदाहरण के लिए, 675, तो √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3। यदि ऐसा कास्ट संभव है, तो रिवर्स चेक करें - परिणाम को स्क्वायर करें और मूल मूल्य के साथ तुलना करें।
पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण सजातीय चर समूहों के गठन का निरीक्षण करने का सिर्फ एक तरीका है। आपके विश्लेषण के लिए समूहों की संख्या निर्धारित करने का कोई विशिष्ट तरीका नहीं है। आपको डेंड्रोग्राम के साथ-साथ क्लस्टर की विशेषताओं को देखने और फिर एक अच्छा क्लस्टर समाधान प्राप्त करने के लिए चरणों में संख्या को समायोजित करने की आवश्यकता हो सकती है।
जब चरों को विभिन्न पैमानों पर मापा जाता है, तो आपके पास चरों को मानकीकृत करने के तीन तरीके होते हैं। परिणामस्वरूप, लगभग समान अनुपात वाले सभी चर, दूरी माप में योगदान करते हैं, भले ही आप चर के विचरण के बारे में जानकारी खो सकते हैं।
आइए जानते हैं इनमें से एक पैर और उससे लगे कोण को। निश्चितता के लिए, इसे टांग होने दें |AB| और कोण α। फिर हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसाइन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - कोण का कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। वे। हमारे अंकन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हम कर्ण की लंबाई प्राप्त करते हैं |AC| = |एबी| / cosα.
अगर हम पैर जानते हैं |BC| और कोण α, फिर हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई के रूप में पाया जाता है |AC| = |बीसी| / cosα.
यूक्लिडियन दूरी: यूक्लिडियन दूरी सबसे आम माप विधि है। चुकता यूक्लिडियन दूरी: चुकता यूक्लिडियन दूरी उन वस्तुओं पर ध्यान केंद्रित करती है जो दूर हैं। सिटी ब्लॉक दूरी: शहर के ब्लॉक और यूक्लिडियन दूरी दोनों मिंकोव्स्की मीट्रिक के विशेष मामले हैं। जबकि यूक्लिडियन दूरी दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटे पथ की लंबाई से मेल खाती है, शहर की ब्लॉक दूरी प्रत्येक आयाम के साथ दूरियों का योग है। पियर्सन की सहसंबंध दूरी दो प्रेक्षणों के 1 और कोज्या गुणांक के बीच का अंतर कोज्या गुणांक दो सदिशों के बीच के कोण का कोज्या है। जैककार्ड दूरी दो अवलोकनों के लिए 1 और जैक्वार्ड गुणांक के बीच अंतर बाइनरी डेटा के लिए, जैककार्ड गुणांक ओवरलैप की मात्रा और दो अवलोकनों के योग के अनुपात के बराबर है। निकटतम पड़ोसी यह विधि मानती है कि दो समूहों के बीच की दूरी उनके निकटतम पड़ोस में सुविधाओं के बीच की दूरी से मेल खाती है। बेस्ट नेबर इस पद्धति में, दो समूहों के बीच की दूरी अलग-अलग समूहों में दो वस्तुओं के बीच की अधिकतम दूरी से मेल खाती है। समूह औसत: इस पद्धति के साथ, दो समूहों के बीच की दूरी विभिन्न समूहों में वस्तुओं के सभी जोड़े के बीच की औसत दूरी से मेल खाती है। आमतौर पर इस पद्धति की सिफारिश की जाती है क्योंकि इसमें अधिक मात्रा में जानकारी होती है। माध्यिका यह विधि केन्द्रक विधि के समान है, सिवाय इसके कि यह भारित नहीं है। फिर, प्रत्येक मामले के लिए, क्लस्टर साधन के लिए द्विघात यूक्लिडियन दूरी की गणना की जाती है। विलय किया जाने वाला क्लस्टर वह है जो कम से कम योग बढ़ाता है। यही है, यह विधि समूहों के भीतर वर्ग दूरी के कुल योग में वृद्धि को कम करती है। यह विधि छोटे समूहों का निर्माण करती है।
- यह बहुआयामी अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय दूरी है।
- यह केवल निरंतर चर के लिए उपयुक्त है।
- कोज्या दूरी दो मान सदिशों के बीच के कोण की कोज्या।
- तैयार किए गए समूहों को खींचते समय इस पद्धति की सिफारिश की जाती है।
- यदि खींचे गए क्लस्टर अद्वितीय "क्लंप" बनाते हैं, तो विधि उपयुक्त है।
- एक क्लस्टर सेंट्रोइड एक बहुआयामी अंतरिक्ष में एक मध्यबिंदु है।
- यदि क्लस्टर आकार बहुत भिन्न हैं तो इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए।
- प्रत्येक क्लस्टर के लिए सभी चर के लिए वार्ड मीन मानों की गणना की जाती है।
- इन दूरियों को सभी मामलों के लिए सारांशित किया गया है।
स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |एसी| = 15 / क्योंकि 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है |BC|। कोण tg α = |BC| . के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |एसी|, हम प्राप्त करते हैं |बीसी| = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60° = 15 * 3। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।
साइन फ़ंक्शन को साइन की अवधारणा से परिभाषित किया गया है, यह देखते हुए कि कोण को हमेशा रेडियन में व्यक्त किया जाना चाहिए। हम साइनसॉइडल फ़ंक्शन की कई विशेषताओं का निरीक्षण कर सकते हैं।
- आपके डोमेन में सभी वास्तविक हैं।
- इस मामले में, फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है, अवधि 2π के साथ।
हम कोज्या फलन की कई विशेषताओं का अवलोकन कर सकते हैं। इस प्रकार, यह 2π का आवर्त काल है। . प्रतिबंध सूत्र की व्यापकता को दूर नहीं करता है, क्योंकि हम हमेशा दूसरे, तीसरे और चौथे चतुर्थांश के कोणों को पहले तक कम कर सकते हैं। एक व्यायाम। - कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना 15º की ज्या की गणना करें।
कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि क्या परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
स्रोत:
- 1 से 10000 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका
पैरएक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के नाम बताइए जो इसका शीर्ष बनाती हैं, जिसका मान 90 ° है। ऐसे त्रिभुज की तीसरी भुजा कर्ण कहलाती है। त्रिभुज के ये सभी पक्ष और कोण कुछ रिश्तों से जुड़े हुए हैं जो आपको पैर की लंबाई की गणना करने की अनुमति देते हैं यदि कई अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं।
दो कोणों के योग की कोज्या
दो कोणों के अंतर की कोज्या
सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम पिछले खंड की तरह ही आगे बढ़ सकते हैं, लेकिन हम पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित एक और बहुत ही सरल प्रदर्शन देखेंगे। चिन्ह को सरल और बदलना, हमारे पास है स्पर्शरेखा योग और दो कोणों का अंतर।एक व्यायाम। आज के लेख में, हम एक बहुत ही विशिष्ट उपसमुच्चय को देखेंगे: त्रिकोणमितीय फलन। गणित की पेशकश की हर चीज का आनंद लेने के लिए, हमें इसे आयात करना होगा। हम अगले लेख में अन्य आयात शैलियों को देखेंगे, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। लेकिन इस सरल निर्देश के साथ, आपके पास पहले से ही दर्जनों कार्यों से भरे पूरे गणित मॉड्यूल नेमस्पेस तक पहुंच है, जिसमें आज हम जिन कार्यों को करेंगे।
अनुदेश
यदि आप एक समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं (B और C) की लंबाई जानते हैं, तो पैर की लंबाई (A) की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग की टाँगों की लंबाई का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पैर की लंबाई कर्ण और दूसरे पैर की लंबाई के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर है: A=√(C²-B²)।
मूल रूप से, हमें कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की गणना करने की आवश्यकता होगी, साथ ही साथ इसके व्युत्क्रम कार्य भी। इसके अतिरिक्त, हम रेडियन और डिग्री दोनों में काम करने में सक्षम होना चाहते हैं ताकि हम उपयुक्त रूपांतरण कार्यों का भी उपयोग कर सकें।
आपको यह ध्यान में रखना चाहिए कि ये फ़ंक्शन रेडियन में तर्क प्रदान करने की अपेक्षा करते हैं, डिग्री नहीं। इसके लिए, आपको यह जानने में दिलचस्पी होगी कि आपके पास निम्नलिखित स्थिरांक हैं। तो हम एक संख्यात्मक मान के बजाय इस अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं।
कोसेकेंट, सेकेंट और कोटैंजेंट के लिए कोई सीधा कार्य नहीं है क्योंकि यह आवश्यक नहीं है क्योंकि वे क्रमशः साइन, कोसाइन और टेंगेंट के विपरीत हैं। पहले की तरह लौटा हुआ कोण भी रेडियन में होता है। गणित का एक अन्य उपयोगी कार्य हमें एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के मान को जानने की अनुमति देता है, जो हमें उनके वर्गों के योग के वर्गमूल की गणना करने की अनुमति देता है।
एक न्यून कोण के लिए प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन "साइन" की परिभाषा का उपयोग करें, यदि आप परिकलित पैर के विपरीत कोण (α) का मान और कर्ण (C) की लंबाई जानते हैं। इस परिभाषा में कहा गया है कि इस ज्ञात कोण की ज्या वांछित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के बराबर है। इसका मतलब है कि वांछित पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗sin(α)। समान ज्ञात मानों के लिए, आप कोसेकेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और ज्ञात कोण A=C/cosec(α) के कोसेकेंट द्वारा कर्ण की लंबाई को विभाजित करके वांछित लंबाई की गणना कर सकते हैं।
प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करें यदि, कर्ण (सी) की लंबाई के अतिरिक्त, वांछित पैर से सटे न्यून कोण (β) का मान भी ज्ञात हो। इस कोण के कोसाइन को वांछित पैर और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात की कोसाइन के उत्पाद के बराबर है। कोण: A=C∗cos(β). आप छेदक फलन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/sec(β) के छेदक से विभाजित करके वांछित मान की गणना कर सकते हैं।
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के लिए समान परिभाषा से आवश्यक सूत्र प्राप्त करें, यदि, वांछित पैर (ए) के विपरीत तीव्र कोण (α) के मूल्य के अतिरिक्त, दूसरे पैर (बी) की लंबाई है ज्ञात। वांछित पैर के विपरीत कोण की स्पर्शरेखा इस पैर की लंबाई और दूसरे पैर की लंबाई का अनुपात है। इसका मतलब है कि वांछित मान ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल के बराबर होगा: A=B∗tg(α)। इन समान ज्ञात मात्राओं से, कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण के कोटेंजेंट के अनुपात को खोजना आवश्यक होगा: ए = बी/सीटीजी (α)।
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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b लेबल करें, और इसके कर्ण को c लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण कुछ निश्चित संबंधों से जुड़े होते हैं। किसी एक न्यून कोण के विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है।
इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है
दोनों पैर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट द्वारा जुड़े हुए हैं। पर इस मामले मेंस्पर्शरेखा पक्ष a से भुजा b का अनुपात होगा, जो कि आसन्न पैर के विपरीत पैर है। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.
कर्ण के आकार और दोनों पैरों के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। उनके नाम पर रखा गया थ्योरम आज भी लोग इस्तेमाल करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।
पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। इसे स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है।
वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लागू होता है और इसकी पीठ के मध्य के माध्यम से एक साहुल रेखा को दर्शाता है। अर्थात्, इस मामले में, यह पद किसी दी गई रेखा के लंबवत को दर्शाता है।
वेल्डिंग तकनीक में, "लेग पट्टिका वेल्ड" की अवधारणा है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।
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स्रोत:
- पैर और कर्ण क्या है
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टिप्पणी
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करते समय, इसकी विशेषताओं का ज्ञान हो सकता है:
1) यदि एक समकोण का पैर 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है, तो यह आधे कर्ण के बराबर है;
2) कर्ण हमेशा किसी भी पैर से लंबा होता है;
3) यदि एक वृत्त एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है, तो उसका केंद्र कर्ण के मध्य में होना चाहिए।
जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने के कार्यों पर विचार किया गया था, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद रखने के लिए एक तकनीक पेश करने का वादा किया था। इसका इस्तेमाल करने से आपको हमेशा जल्दी याद रहेगा कि कौन सा पैर कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने इसे अनिश्चित काल के लिए बंद नहीं करने का फैसला किया, आवश्यक सामग्री नीचे है, कृपया इसे पढ़ें
तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कैसे 10-11 कक्षा के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। उन्हें अच्छी तरह याद रहता है कि टाँग का मतलब कर्ण है, लेकिन वे किसको भूल जाते हैं और अस्पष्ट। एक गलती की कीमत, जैसा कि आप परीक्षा में जानते हैं, एक खोया हुआ अंक है।
जो जानकारी मैं सीधे गणित के सामने पेश करूंगा उसका कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच से जुड़ा है, और मौखिक-तार्किक संबंध के तरीकों के साथ। यह सही है, मैं खुद, एक बार और सभी के लिए याद किया जाता है परिभाषा डेटा। यदि आप अभी भी उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों की मदद से याद रखना हमेशा आसान होता है।
मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाता हूँ:
कोज्याएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है:
साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
तो, आप में कोसाइन शब्द किन संघों को उद्घाटित करता है?
शायद सबका अपना लिंक याद रखें:
इस प्रकार, आपकी स्मृति में तुरंत एक अभिव्यक्ति होगी -
«… कर्ण से ADJACENT पैर का अनुपात».
कोसाइन की परिभाषा के साथ समस्या हल हो गई है।
यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से यह स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है। आखिरकार, केवल दो पैर हैं, यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" किया जाता है, तो साइन के लिए केवल विपरीत पक्ष रहता है।
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? वही भ्रम। छात्र जानते हैं कि यह पैरों का अनुपात है, लेकिन समस्या यह याद रखने की है कि कौन किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।
परिभाषाएं:
स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न टांग का विपरीत कोण से अनुपात है:
कैसे याद करें? दो तरीके हैं। एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा - एक गणितीय।
गणितीय विधि
ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा किसी कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:
* सूत्र को याद रखते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है।
वैसे ही। एक न्यून कोण का कोटैंजेंट किसी कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:
इसलिए! इन सूत्रों को याद करते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि:
एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न कोण से अनुपात है
एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटांगेंट आसन्न पैर और विपरीत पैर का अनुपात होता है।
मौखिक-तार्किक विधि
स्पर्शरेखा के बारे में लिंक याद रखें:
यही है, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है
"... विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात"
यदि कोटैंजेंट की बात आती है, तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं -
"... आसन्न पैर का विपरीत अनुपात"
साइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद करने की एक दिलचस्प तकनीक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।
विधि सार्वभौमिक
आप सिर्फ पीस सकते हैं। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी को याद रखता है, न कि केवल गणितीय।
मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।
साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख
पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।
मध्य स्तर
सही त्रिकोण। पूरा सचित्र गाइड (2019)
सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।
समस्याओं में, एक समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ वाला, इसलिए आपको यह सीखने की ज़रूरत है कि इस रूप में एक समकोण त्रिभुज को कैसे पहचाना जाए,
और ऐसे में
और ऐसे में 
एक समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले तो उनकी पार्टियों के लिए खास खूबसूरत नाम हैं।
ड्राइंग पर ध्यान दें!
याद रखें और भ्रमित न हों: पैर - दो, और कर्ण - केवल एक(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!
खैर, हमने नामों पर चर्चा की, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।
पाइथागोरस प्रमेय।
यह प्रमेय एक समकोण त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। पाइथागोरस ने इसे पूरी तरह से प्राचीन काल में साबित किया था और तब से यह जानने वालों के लिए कई फायदे लेकर आया है। और उसकी सबसे अच्छी बात यह है कि वह सिंपल है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:
क्या आपको मजाक याद है: "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं!"?
आइए इन पाइथागोरस पैंटों को ड्रा करें और इन्हें देखें। 
क्या यह वास्तव में शॉर्ट्स की तरह दिखता है? खैर, किस तरफ और कहां बराबर हैं? मजाक क्यों और कहाँ से आया? और यह मजाक पाइथागोरस प्रमेय के साथ सटीक रूप से जुड़ा हुआ है, अधिक सटीक रूप से जिस तरह से पाइथागोरस ने अपना प्रमेय तैयार किया था। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:
"जोड़ चौकों का क्षेत्रफल, पैरों पर निर्मित, के बराबर है वर्ग क्षेत्रकर्ण पर निर्मित।
क्या यह थोड़ा अलग नहीं लगता, है ना? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का बयान दिया, तो बस एक ऐसी तस्वीर निकली।
इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसलिए कि बच्चे बेहतर याद रखें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी ने पाइथागोरस पैंट के बारे में इस मजाक का आविष्कार किया।
अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?
क्या पाइथागोरस पीड़ित थे और उन्होंने वर्गों के बारे में बात की थी?
आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! आदि कोई लक्षण नहीं थे। कोई शिलालेख नहीं थे। क्या आप सोच सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था ??! और हमें खुशी हो सकती है कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर याद रखने के लिए फिर से दोहराएं:
अब यह आसान होना चाहिए:
| कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। |
खैर, एक समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई। यदि आप रुचि रखते हैं कि यह कैसे साबित होता है, तो सिद्धांत के अगले स्तरों को पढ़ें, और अब चलते हैं ... अंधेरे जंगल में ... त्रिकोणमिति के! भयानक शब्दों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।
एक समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।
वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन तुम सच में नहीं चाहते, है ना? हम आनंदित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:
यह सब कोने के बारे में क्यों है? कोने कहाँ है? इसे समझने के लिए आपको यह जानना होगा कि कथन 1 - 4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद करो!
1.
यह वास्तव में ऐसा लगता है:
कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत पैर (कोने के लिए)? बेशक है! यह एक कैथेट है!
लेकिन कोण का क्या? नज़दीक से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, बिल्ली। तो, कोण के लिए, पैर आसन्न है, और
और अब, ध्यान! देखो हमें क्या मिला:
देखें कि यह कितना शानदार है:
अब चलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।
अब इसे शब्दों में कैसे कहें? कोने के संबंध में पैर क्या है? विपरीत, निश्चित रूप से - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। और कैथेट? कोने के पास। तो हमें क्या मिला?
देखें कि अंश और हर को कैसे उलट दिया जाता है?
और अब फिर से कोनों और विनिमय किया:
सारांश
आइए संक्षेप में लिखें कि हमने क्या सीखा है।
 |
पाइथागोरस प्रमेय: |
मुख्य समकोण त्रिभुज प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।
पाइथागोरस प्रमेय
वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर नहीं तो तस्वीर देखिये - ताज़ा कीजिये अपना ज्ञान
यह बहुत संभव है कि आपने पाइथागोरस प्रमेय का कई बार प्रयोग किया हो, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है। आप इसे कैसे साबित करेंगे? चलो प्राचीन यूनानियों की तरह करते हैं। आइए एक भुजा के साथ एक वर्ग बनाएं।
आप देखते हैं कि हमने कितनी चतुराई से इसके पक्षों को लंबाई के खंडों में विभाजित किया है और!
अब चिह्नित बिंदुओं को जोड़ते हैं
हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि क्यों।
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही ढंग से, . छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? निश्चित रूप से, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है। कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को लिया और कर्ण के साथ एक दूसरे के खिलाफ झुक गए। क्या हुआ? दो आयताकार। तो, "कटिंग" का क्षेत्रफल बराबर है।
आइए अब यह सब एक साथ करें।
आइए रूपांतरित करें:
इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।
समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति
एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:
एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात के बराबर होती है
एक न्यून कोण की कोज्या आसन्न टांग और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होता है।
और एक बार फिर, यह सब एक प्लेट के रूप में:
यह बहुत आरामदायक है!
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. दो पैरों पर
द्वितीय. पैर और कर्ण से
III. कर्ण और न्यून कोण से
चतुर्थ। पैर और तीव्र कोण के साथ
ए) 
बी) 
ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "संबंधित" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह जाता है:
तब त्रिभुज समान नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।
करने की जरूरत है दोनों त्रिभुजों में पैर आसन्न था, या दोनों में - विपरीत.
क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिन्ह त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से कैसे भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि "साधारण" त्रिभुजों की समानता के लिए, आपको उनके तीन तत्वों की समानता की आवश्यकता है: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। यह बढ़िया है, है ना?
समकोण त्रिभुजों की समानता के संकेतों के साथ लगभग समान स्थिति।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. एक्यूट कॉर्नर
द्वितीय. दो पैरों पर
III. पैर और कर्ण से
एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका
ऐसा क्यों है?
एक समकोण त्रिभुज के बजाय एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।
आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं?
और इससे क्या होता है?
तो हुआ यह कि
- - माध्यिका:
इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!
इससे भी ज्यादा हैरान करने वाली बात यह है कि इसका उल्टा भी सच है।
इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए देखते हैं तस्वीर
नज़दीक से देखें। हमारे पास है: , अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन एक त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु होता है, जिसकी दूरियाँ त्रिभुज के लगभग तीनों शीर्षों के बराबर होती हैं, और यह वर्णित चक्र का केंद्र है। तो क्या हुआ?
तो चलिए इसे "इसके अलावा ..." से शुरू करते हैं।
आइए देखें आई.
लेकिन समरूप त्रिभुजों में सभी कोण बराबर होते हैं!
और . के बारे में भी यही कहा जा सकता है
अब इसे एक साथ ड्रा करें:
इस "ट्रिपल" समानता से क्या फायदा हो सकता है।
खैर, उदाहरण के लिए - एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के लिए दो सूत्र।
हम संबंधित पक्षों के संबंध लिखते हैं:
ऊंचाई खोजने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":
तो, आइए समानता लागू करें: ।
अब क्या होगा?
फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:
इन दोनों फ़ार्मुलों को बहुत अच्छी तरह से याद रखना चाहिए और जो लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। आइए उन्हें फिर से लिखें।
पाइथागोरस प्रमेय:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- दो पैरों पर:
- पैर और कर्ण के साथ: or
- पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
- पैर और विपरीत तीव्र कोण के साथ: or
- कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- एक नुकीला कोना: or
- दो पैरों की आनुपातिकता से:
- पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटांगेंट
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत :. का अनुपात होता है।
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।
एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है: .
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:
- कैथेटर के माध्यम से:
हम त्रिकोणमिति के अपने अध्ययन की शुरुआत एक समकोण त्रिभुज से करते हैं। आइए परिभाषित करें कि ज्या और कोज्या क्या हैं, साथ ही एक न्यून कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं। ये त्रिकोणमिति की मूल बातें हैं।
याद करें कि समकोण 90 डिग्री के बराबर कोण है। दूसरे शब्दों में, आधा खुला कोने।
तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम।
अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक। ऐसे कोण के संबंध में, "कुंद" अपमान नहीं है, बल्कि गणितीय शब्द है :-)
आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएं। एक समकोण को आमतौर पर दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है, केवल छोटा। अत: कोण A के सम्मुख स्थित भुजा को निरूपित किया जाता है।
कोण को संबंधित ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है।
कर्णएक समकोण त्रिभुज समकोण के विपरीत भुजा है।
पैर- तेज कोनों के विपरीत पक्ष।
कोने के विपरीत पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष)। दूसरा पैर, जो कोने के एक तरफ होता है, कहलाता है सटा हुआ.
साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
कोज्यासमकोण त्रिभुज में न्यून कोण - कर्ण से सटे पैर का अनुपात:
स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात:
एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा एक कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:
कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का विपरीत (या, समतुल्य रूप से, कोसाइन से ज्या का अनुपात):
साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के मूल अनुपातों पर ध्यान दें, जो नीचे दिए गए हैं। वे समस्याओं को हल करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।
आइए उनमें से कुछ को साबित करें।
ठीक है, हमने परिभाषाएँ और लिखित सूत्र दिए हैं। लेकिन हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग होता है.
हम के बीच संबंध जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है:।
यह पता चला है कि त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा ढूंढ सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में दो भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। तो, कोणों के लिए - उनका अनुपात, पक्षों के लिए - उनका अपना। लेकिन क्या करें यदि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण (एक समकोण को छोड़कर) और एक भुजा ज्ञात हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?
अतीत में लोगों ने इसका सामना किया, क्षेत्र के नक्शे और तारों वाले आकाश का निर्माण किया। आखिरकार, त्रिभुज के सभी पक्षों को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।
साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है कोण के त्रिकोणमितीय कार्य- के बीच अनुपात दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण। कोण जानने के बाद, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को पा सकते हैं। और एक त्रिभुज के कोणों और उसकी एक भुजा की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखाओं को जानकर, आप बाकी का पता लगा सकते हैं।
हम से "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट मानों की एक तालिका भी तैयार करेंगे।
तालिका में दो लाल डैश पर ध्यान दें। कोणों के संगत मानों के लिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं होते हैं।
आइए बैंक ऑफ एफआईपीआई कार्यों से त्रिकोणमिति में कई समस्याओं का विश्लेषण करें।
1. एक त्रिभुज में कोण , . होता है। पाना ।
समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है।
जहां तक कि , ।
2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। पाना ।
आइए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात करें।
समस्या सुलझ गयी।
अक्सर समस्याओं में कोण और या कोण वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए मूल अनुपातों को दिल से याद करें!
कोण वाले त्रिभुज के लिए और कोण के विपरीत पैर के बराबर है कर्ण का आधा.
कोणों वाला एक त्रिभुज और समद्विबाहु है। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।
हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर विचार किया - अर्थात अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजने के लिए। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में परीक्षा के रूपों में, ऐसे कई कार्य हैं जहां त्रिभुज के बाहरी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट दिखाई देते हैं। इसके बारे में अगले लेख में।
साइनसएक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण α अनुपात होता है विलोमकर्ण के लिए कैथेटर।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: पाप α।
कोज्याएक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण α आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: cos α।
स्पर्शरेखान्यून कोण α आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: टीजी α।
कोटैंजेंटन्यून कोण α आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: सीटीजी α।
किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करती है।
नियम:
एक समकोण त्रिभुज में मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ:
(α - पैर के विपरीत तीव्र कोण बी और पैर के पास ए . पक्ष साथ - कर्ण। β - दूसरा न्यून कोण)।
बी | पाप 2 α + cos 2 α = 1 | |
ए | 1 | |
बी | 1 | |
ए | 1 1 | |
पाप |
जैसे-जैसे न्यून कोण बढ़ता हैsinα औरटीजी α वृद्धि, औरcos α घटता है।
किसी भी न्यून कोण के लिए α:
पाप (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
व्याख्यात्मक उदाहरण:
माना एक समकोण त्रिभुज ABC में
एबी = 6,
ईसा पूर्व = 3,
कोण ए = 30º।
कोण A की ज्या और कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।
फेसला ।
1) सबसे पहले, हम कोण B का मान ज्ञात करते हैं। यहाँ सब कुछ सरल है: चूँकि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग 90º है, फिर कोण B \u003d 60º:
बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।
2) पाप ए की गणना करें। हम जानते हैं कि ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण A के लिए, विपरीत पैर भुजा BC है। इसलिए:
ईसा पूर्व 3 1
पाप ए = -- = - = -
एबी 6 2
3) अब हम cos B की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण B के लिए आसन्न टांग समान भुजा BC है। इसका मतलब है कि हमें फिर से BC को AB में विभाजित करने की आवश्यकता है - अर्थात, कोण A की ज्या की गणना करते समय वही क्रियाएं करें:
ईसा पूर्व 3 1
कॉस बी = -- = - = -
एबी 6 2
परिणाम है:
पाप ए = क्योंकि बी = 1/2।
sin 30º = cos 60º = 1/2।
इससे यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या दूसरे न्यून कोण की कोज्या के बराबर होती है - और इसके विपरीत। हमारे दो सूत्रों का यही अर्थ है:
पाप (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
आइए इसे फिर से देखें:
1) मान लीजिए α = 60º। α के मान को ज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
sin (90º - 60º) = cos 60º।
पाप 30º = cos 60º।
2) मान लीजिए α = 30º। α के मान को कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
cos (90° - 30º) = sin 30º।
cos 60° = sin 30º।
(त्रिकोणमिति पर अधिक जानकारी के लिए बीजगणित अनुभाग देखें)
