प्रत्येक छात्र जानता है कि कर्ण का वर्ग हमेशा पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग होता है। इस कथन को पाइथागोरस प्रमेय कहते हैं। यह सामान्य रूप से त्रिकोणमिति और गणित में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। आइए इसे और अधिक विस्तार से विचार करें।

एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा

पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, जिसमें कर्ण का वर्ग वर्ग के पैरों के योग के बराबर होता है, हमें एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा और गुणों पर विचार करना चाहिए, जिसके लिए प्रमेय मान्य है।

त्रिभुज एक सपाट आकृति है जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज, जैसा कि इसके नाम का तात्पर्य है, में एक समकोण होता है, अर्थात यह कोण 90 o होता है।

सभी त्रिभुजों के सामान्य गुणों से ज्ञात होता है कि इस आकृति के तीनों कोणों का योग 180 o है, जिसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज के लिए दो कोणों का योग जो सही नहीं है 180 o - 90 o = 90 है ओ अंतिम तथ्य का अर्थ है कि समकोण त्रिभुज में कोई भी कोण जो समकोण नहीं है वह हमेशा 90o से कम होगा।

समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे भिन्न हो सकते हैं। त्रिकोणमिति से ज्ञात होता है कि किसी त्रिभुज में एक भुजा जितना अधिक कोण पर स्थित होती है, उसकी लंबाई उतनी ही अधिक होती है। इसका मतलब यह है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (90 o कोण के विपरीत स्थित होता है) हमेशा किसी भी पैर (कोणों के विपरीत स्थित) से बड़ा होगा< 90 o).

पाइथागोरस प्रमेय का गणितीय संकेतन

यह प्रमेय बताता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक पहले वर्ग है। इस सूत्र को गणितीय रूप से लिखने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें भुजाएँ a, b और c क्रमशः दो पैर और कर्ण हों। इस मामले में, प्रमेय, जिसे कर्ण के वर्ग के रूप में तैयार किया जाता है, पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसे निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: c 2 \u003d a 2 + b 2। यहां से, अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण अन्य सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं: a \u003d (c 2 - b 2), b \u003d (c 2 - a 2) और c \u003d (a 2 + b 2)।

ध्यान दें कि एक समकोण समबाहु त्रिभुज के मामले में, अर्थात्, a \u003d b, सूत्रीकरण: कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग होता है, गणितीय रूप से निम्नानुसार लिखा जाता है: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, जिसमें से समानता इस प्रकार है: c = a√2।

इतिहास संदर्भ

पाइथागोरस प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि पैरों का योग, जिनमें से प्रत्येक वर्ग है, कर्ण के वर्ग के बराबर है, प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक द्वारा इस पर ध्यान आकर्षित करने से बहुत पहले ज्ञात था। प्राचीन मिस्र के कई पपीरी, साथ ही बेबीलोनियों की मिट्टी की गोलियां, इस बात की पुष्टि करती हैं कि इन लोगों ने एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विख्यात संपत्ति का उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, मिस्र के पहले पिरामिडों में से एक, खफरे का पिरामिड, जिसका निर्माण 26वीं शताब्दी ईसा पूर्व (पाइथागोरस के जीवन से 2000 साल पहले) का है, को 3x4x5 समकोण त्रिभुज में पहलू अनुपात के ज्ञान के आधार पर बनाया गया था।

तो फिर, प्रमेय में अब यूनानी का नाम क्यों है? इसका उत्तर सरल है: पाइथागोरस इस प्रमेय को गणितीय रूप से सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति हैं। बचे हुए बेबीलोनियाई और मिस्र के लिखित स्रोत केवल इसके उपयोग की बात करते हैं, लेकिन कोई गणितीय प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं।

ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस ने समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके विचाराधीन प्रमेय को सिद्ध कर दिया, जो उन्होंने एक समकोण त्रिभुज में कर्ण को 90 o के कोण से खींचकर प्राप्त किया था।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण

एक साधारण समस्या पर विचार करें: एक झुकी हुई सीढ़ी L की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात है कि इसकी ऊँचाई H = 3 मीटर है, और दीवार से दूरी जिसके विरुद्ध सीढ़ी अपने पैर तक टिकी हुई है P = 2.5 है मीटर।

पर ये मामलाएच और पी पैर हैं, और एल कर्ण है। चूँकि कर्ण की लंबाई पैरों के वर्गों के योग के बराबर होती है, हमें मिलता है: L 2 \u003d H 2 + P 2, जहाँ से L \u003d (H 2 + P 2) \u003d (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 मीटर या 3 मीटर और 90, 5 सेमी

ज्यामिति एक आसान विज्ञान नहीं है। यह स्कूली पाठ्यक्रम और वास्तविक जीवन दोनों के लिए उपयोगी हो सकता है। कई सूत्रों और प्रमेयों का ज्ञान ज्यामितीय गणनाओं को सरल करेगा। ज्यामिति में सबसे सरल आकृतियों में से एक त्रिभुज है। त्रिभुजों की किस्मों में से एक, समबाहु, की अपनी विशेषताएं हैं।

एक समबाहु त्रिभुज की विशेषताएं

परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज एक बहुफलक है जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं। यह एक सपाट द्वि-आयामी आकृति है, इसके गुणों का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है। कोण के प्रकार के अनुसार, न्यूनकोण, अधिक कोण और समकोण त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं। एक समकोण त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसका एक कोण 90º है। इस तरह के त्रिभुज में दो पैर होते हैं (वे एक समकोण बनाते हैं), और एक कर्ण (यह समकोण के विपरीत होता है)। ज्ञात मात्राओं के आधार पर, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की गणना करने के तीन आसान तरीके हैं।

पहला तरीका एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना है। पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की किसी भी भुजा की गणना करने का सबसे पुराना तरीका है। यह इस तरह लगता है: "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।" इस प्रकार, कर्ण की गणना करने के लिए, दो पैरों के वर्ग के योग का वर्गमूल निकालना होगा। स्पष्टता के लिए, सूत्र और एक आरेख दिया गया है।

दूसरा तरीका। 2 ज्ञात मानों का उपयोग करके कर्ण की गणना: पैर और आसन्न कोण

एक समकोण त्रिभुज के गुणों में से एक का कहना है कि पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात इस पैर और कर्ण के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है। आइए हम ज्ञात कोण को α कहते हैं। अब, प्रसिद्ध परिभाषा के लिए धन्यवाद, हम आसानी से कर्ण की गणना के लिए सूत्र तैयार कर सकते हैं: कर्ण = पैर / कॉस (α)

तीसरा तरीका। 2 ज्ञात मानों का उपयोग करके कर्ण की गणना करना: पैर और विपरीत कोण

यदि विपरीत कोण ज्ञात हो, तो समकोण त्रिभुज के गुणों का पुन: उपयोग करना संभव है। पैर की लंबाई और कर्ण का अनुपात विपरीत कोण की ज्या के बराबर होता है। आइए फिर से ज्ञात कोण को α कहते हैं। अब गणना के लिए हम थोड़ा अलग सूत्र लागू करते हैं:
कर्ण = पैर/पाप (α)

फ़ार्मुलों को समझने में आपकी सहायता के लिए उदाहरण

प्रत्येक सूत्र की गहरी समझ के लिए, आपको उदाहरण के उदाहरणों पर विचार करना चाहिए। तो, मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जहाँ ऐसा डेटा है:

• पैर - 8 सेमी।
• आसन्न कोण cosα1 0.8 है।
• विपरीत कोण sinα2 0.8 है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: कर्ण \u003d वर्गमूल (36 + 64) \u003d 10 सेमी।
पैर के आकार और शामिल कोण से: 8 / 0.8 \u003d 10 सेमी।
पैर के आकार और विपरीत कोण से: 8 / 0.8 \u003d 10 सेमी।

सूत्र को समझने के बाद, आप आसानी से किसी भी डेटा के साथ कर्ण की गणना कर सकते हैं।

वीडियो: पाइथागोरस प्रमेय

प्राकृतिक वैज्ञानिक विश्लेषण, व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की शुष्क भाषा को छोड़कर, रचनात्मकता की क्षमता को आमतौर पर मानविकी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। गणित को मानविकी विषय के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें, दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और साथ ही, अपने दिमाग को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

ऐसी खोजों में वह शामिल है जिसे आज हम पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल मजेदार हो सकता है, बल्कि मजेदार भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्डों के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और उसके विशेष गुणों का अध्ययन इससे बहुत पहले किया जा चुका है। इस मुद्दे पर दो ध्रुवीय दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के तत्वों का प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकता है, और यूक्लिड ने केवल इसे दर्ज किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि मिस्र के स्रोतों में फिरौन अमेनेमेट I के समय से, राजा हम्मुराबी के शासनकाल से बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर, प्राचीन भारतीय ग्रंथ सुलवा सूत्र और प्राचीन चीनी काम झोउ में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। -बी सुआन जिन.

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य जो आज मौजूद हैं, पुष्टि के रूप में कार्य करते हैं। इस संबंध में कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता है। उल्लेखनीय साक्ष्य लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के 20 वें राष्ट्रपति जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे प्राप्त होते हैं या, एक तरह से या किसी अन्य, इससे जुड़े होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें ज्यादातर बीजीय प्रमाण देती हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन प्रमाणों पर विचार करें जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत 1

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सबसे सरल प्रमाण के लिए, आपको आदर्श स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल समकोण, बल्कि समद्विबाहु भी होने दें। यह मानने का कारण है कि यह एक ऐसा त्रिभुज था जिसे मूल रूप से प्राचीन गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र के साथ सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों पर AB और BC एक वर्ग पर बने हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस ड्राइंग ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। शायद सबसे प्रसिद्ध is "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र एक)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं - (ए+बी). प्रत्येक वर्ग में, आकृति 2 और 3 के अनुसार रचनाएँ करें।

पहले वर्ग में, समान त्रिभुजों में से चार का निर्माण करें जैसा कि चित्र 1 में है। परिणामस्वरूप, दो वर्ग प्राप्त होते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार समरूप त्रिभुजों का निर्माण एक वर्ग बनाता है जिसकी भुजा कर्ण के बराबर होती है सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र के अनुसार। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल वर्ग में अंकित चार समान समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए+बी).

यह सब नीचे रखकर, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 \u003d (ए + बी) 2 - 2ab. कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2. इसी समय, Fig.3 में खुदा हुआ क्षेत्र। वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है एस=सी2. वे। a2+b2=c2आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन 12वीं शताब्दी में "ज्ञान का मुकुट" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है, और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभा और छात्रों के अवलोकन की शक्तियों को संबोधित अपील का उपयोग करता है और अनुयायी: "देखो!"।

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, जो कर्ण भी है, निरूपित की जाती है साथ. आइए त्रिभुज के पैरों को कॉल करें एकतथा बी. चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

वर्ग क्षेत्र सूत्र का प्रयोग करें एस=सी2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और सभी चार समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़कर समान मान की गणना करें: (ए-बी) 2 2+4*1\2*ए*बी.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 =(ए-बी) 2 +4*1\2*ए*बी. समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा c2=a2+b2. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी साक्ष्य को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता था - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हम दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में पहले ही देख चुके हैं। और साइड c वाला आंतरिक वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप मानसिक रूप से चित्र 1 में चित्र से दो हरे समकोण त्रिभुजों को काटते हैं, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों में स्थानांतरित करें और कर्ण को बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से जोड़ दें, आपको एक आकृति मिलेगी जिसे "दुल्हन का" कहा जाता है। कुर्सी" (चित्र 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक तरफ छोटे वाले बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा एक.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और उनका अनुसरण करने वाले हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचने की अनुमति दी कि c2=a2+b2.

सबूत 5

यह ज्यामिति पर आधारित पाइथागोरस प्रमेय का हल खोजने का एक और तरीका है। इसे गारफील्ड विधि कहते हैं।

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए एबीसी. हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, लेग जारी रखें एसीऔर एक खंड बनाएँ सीडी, जो पैर के बराबर है अब. निचला लंबवत विज्ञापनरेखा खंड ईडी. सेगमेंट ईडीतथा एसीबराबर हैं। बिंदुओ को जोडो इतथा पर, साथ ही इतथा सेऔर नीचे दी गई तस्वीर की तरह एक चित्र प्राप्त करें:

टॉवर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसका हमने पहले ही परीक्षण कर लिया है: हम परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से पाते हैं और भावों को एक-दूसरे से बराबरी करते हैं।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किया जा सकता है। और उनमें से एक ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। चलो यह भी न भूलें एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी \u003d 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

साथ ही, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्बाकार है। इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं: सबेड=(डीई+एबी)*1/2एडी. हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में एसीतथा सीडी.

आइए उनके बीच एक समान चिन्ह लगाकर किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के दोनों तरीके लिखें: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =(डीई+एबी)*1/2(एसी+सीडी). हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग अंकन के दाहिने हाथ को सरल बनाने के लिए करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 = 1/2(एबी+एसी) 2. और अब हम कोष्ठक खोलते हैं और समानता को रूपांतरित करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =1/2एसी 2 +2*1/2(एबी*एसी)+1/2एबी 2. सभी परिवर्तनों को समाप्त करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2. हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को वैक्टर, कॉम्प्लेक्स नंबर, डिफरेंशियल इक्वेशन, स्टीरियोमेट्री आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक ​​​​कि भौतिक विज्ञानी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित करना संभव है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। इस बीच, यह बहुत दिलचस्प है और ज्यामिति में इसका बहुत महत्व है। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस त्रिक का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? तथाकथित प्राकृत संख्याएँ, जिन्हें तीन में एकत्रित किया जाता है, जिनमें से दो के वर्गों का योग तीसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

पाइथागोरस ट्रिपल हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं);
• गैर-आदिम (यदि एक ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है जो आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरस ट्रिपल की संख्या के लिए उन्माद से मोहित थे: कार्यों में उन्होंने 3.4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज माना। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस ट्रिपल से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से समकोण होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: पाइथागोरस प्रमेय जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं में इसमें व्यापक अनुप्रयोग पाता है। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो देखें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो महान अर्धवृत्त की त्रिज्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है आरऔर व्यक्त करें बी: आर = बी / 2. छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है बी: आर = बी / 4. इस समस्या में, हम विंडो के आंतरिक वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय गणना करने के काम आता है आर. ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। एक त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी/4+पी. एक पैर त्रिज्या है बी 4, दूसरा बी/2-पी. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी/4+पी) 2 =(बी/4) 2 +(बी/2-पी) 2. अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16+ बीपी / 2 + पी 2 \u003d बी 2/16 + बी 2 / 4-बीपी + पी 2. आइए इस अभिव्यक्ति को . में बदलें बीपी/2=बी 2/4-बीपी. और फिर हम सभी पदों को में विभाजित करते हैं बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2*पी=बी/4. और अंत में हम पाते हैं कि पी=बी/6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए छत की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि एक निश्चित बस्ती तक पहुंचने के लिए सिग्नल के लिए मोबाइल टावर की कितनी ऊंची आवश्यकता है। और शहर के चौक में भी लगातार क्रिसमस ट्री लगाएं। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

जहां तक ​​साहित्य का संबंध है, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और आज भी जारी है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो ने उन्हें एक सॉनेट लिखने के लिए प्रेरित किया था:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा,
लेकिन, चमकने के बाद, इसके विलुप्त होने की संभावना नहीं है
और हजारों साल पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं का धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की वापसी का उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति को हमेशा के लिए जगाया
यहाँ उल्लेखित घटना।

उन्हें लगता है कि यह समय के बारे में है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवादित)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और दो-आयामी दुनिया के बारे में कहानी का आधा अध्याय जो मौजूद हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक ​​​​कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" पुस्तक में, लेखक, गणित शिक्षक तारातारा के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों की गति है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय उत्पन्न करती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने विविध प्रमाण हैं। यह सामान्य से परे जाने और परिचित चीजों को नए तरीके से देखने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया था ताकि आप गणित में स्कूली पाठ्यक्रम से परे देख सकें और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के उन प्रमाणों को सीख सकें जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (एल.एस. अतानासियन, वी.एन. रुडेंको) और "ज्यामिति 7 -11" में दिए गए हैं। ” (ए.वी. पोगोरेलोव), लेकिन प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के अन्य जिज्ञासु तरीके भी। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित की कक्षाओं में उच्च स्कोर का दावा करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कितना दिलचस्प है। विशिष्ट उदाहरणों से आश्वस्त होना कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह होती है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख आपको गणित और अन्य विज्ञानों में अपने स्वयं के शोध और रोमांचक खोजों को करने के लिए प्रेरित करेगा।

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पाइथागोरस प्रमेय: पैरों द्वारा समर्थित वर्गों के क्षेत्रफल का योग ( एकतथा बी), कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है ( सी).

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:

बीजीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को दर्शाते हुए सी, और पैरों की लंबाई एकतथा बी :

एक 2 + बी 2 = सी 2

प्रमेय के दोनों सूत्र समान हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई को मापकर दूसरे कथन की पुष्टि की जा सकती है।

उलटा पाइथागोरस प्रमेय:

का प्रमाण

फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस तरह की विविधता को ज्यामिति के लिए प्रमेय के मौलिक महत्व से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह आकृति क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊंचाई बनाएं सीऔर इसके आधार को द्वारा निरूपित करें एच. त्रिकोण आकत्रिभुज के समान एबीसीदो कोनों पर। इसी तरह, त्रिभुज सीबीएचएक जैसा एबीसी. संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से सबूत

1. चार समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित करें जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° और सरल कोण 180° होता है।
3. पूरी आकृति का क्षेत्रफल एक तरफ, एक तरफ (a + b) वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों और दो आंतरिक क्षेत्रफलों का योग वर्ग

क्यू.ई.डी.

तुल्यता के माध्यम से साक्ष्य

एक सुरुचिपूर्ण क्रमपरिवर्तन प्रमाण

इन प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बने वर्ग को क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में परिवर्तित किया जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए आरेखण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए चित्रण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रों के योग के बराबर है, और फिर के क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। हमने उस पर एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और कर्ण AB के समकोण C के लंबवत से एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों में काटती है - BHJI और HAKJ , क्रमश। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं।

आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल आयत दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (नहीं दिखाया गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में, आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं में बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB=AK,AD=AC - कोणों की समानता CAK और BAD को गति की विधि से साबित करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ मानी जाती हैं संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल का योग होता है। इस प्रमाण के पीछे के विचार को ऊपर दिए गए एनीमेशन के साथ आगे दिखाया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड सीमैंवर्ग काटना एबीएचजे दो समान भागों में (त्रिभुजों के बाद से एबीसीतथा जेएचमैंनिर्माण में समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करते हुए, हम छायांकित आकृतियों की समानता देखते हैं सीएजेमैं तथा जीडीएबी . अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के साथ-साथ मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।

अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण को अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए और पक्ष में परिवर्तन को देखते हुए एक, हम इनफिनिटिमल साइड इंक्रीमेंट के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथतथा एक(समान त्रिभुजों का उपयोग करके):

अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

सी 2 = एक 2 + बी 2 + स्थिर।

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

सी 2 = एक 2 + बी 2 .

यह देखना आसान है कि अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान के कारण होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में, पैर बी) तब समाकलन नियतांक के लिए हमें प्राप्त होता है

विविधताएं और सामान्यीकरण

• यदि, वर्गों के बजाय, पैरों पर अन्य समान आकृतियों का निर्माण किया जाता है, तो पाइथागोरस प्रमेय का निम्नलिखित सामान्यीकरण सत्य है: एक समकोण त्रिभुज में, पैरों पर बनी समान आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बनी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होता है।विशेष रूप से:
  • पैरों पर बने नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बने एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
  • पैरों पर बने अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों का योग (व्यास के अनुसार) कर्ण पर बने अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इस उदाहरण का उपयोग दो वृत्तों के चापों से घिरी और हिप्पोक्रेटिक लूनुला नाम की आकृतियों के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

कहानी

चु-पेई 500-200 ई.पू. बाईं ओर शिलालेख है: ऊंचाई और आधार की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई का वर्ग है।

प्राचीन चीनी पुस्तक चु-पेई 3, 4 और 5 पक्षों के साथ एक पाइथागोरस त्रिभुज की बात करती है: उसी पुस्तक में, एक चित्र प्रस्तावित किया गया है जो बसखारा के हिंदू ज्यामिति के एक चित्र के साथ मेल खाता है।

कांतोर (गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) का मानना ​​है कि समानता 3 + 4 = 5² मिस्रवासियों को 2300 ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही ज्ञात थी। ई।, राजा अमेनेमेट I के समय के दौरान (बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "स्ट्रिंगर्स", ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

उनके निर्माण की विधि को पुन: पेश करना बहुत आसान है। 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और उसे 3 मीटर की दूरी पर रंगीन पट्टी के साथ बांध दें। एक छोर से और दूसरे से 4 मीटर। 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच एक समकोण बनाया जाएगा। हार्पीडोनाप्ट्स पर इस बात पर आपत्ति हो सकती है कि यदि कोई सभी बढ़ई द्वारा उपयोग किए जाने वाले लकड़ी के वर्ग का उपयोग करता है, तो उनके निर्माण का तरीका बेमानी हो जाता है। दरअसल, मिस्र के चित्र ज्ञात हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक बढ़ईगीरी कार्यशाला का चित्रण करने वाले चित्र।

बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक जाना जाता है। एक पाठ में हम्मुराबी के समय का, यानी 2000 ईसा पूर्व का। ई।, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करने में सक्षम थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोन के गणित के बारे में ज्ञान के वर्तमान स्तर के आधार पर, और दूसरी ओर, ग्रीक स्रोतों के एक महत्वपूर्ण अध्ययन पर, वैन डेर वेर्डन (एक डच गणितज्ञ) ने निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला:

साहित्य

रूसी में

• स्कोपेट्स Z. A.ज्यामितीय लघुचित्र। एम., 1990
• येलेंस्की श.पाइथागोरस के नक्शेकदम पर चलते हुए। एम., 1961
• वैन डेर वेर्डन बी.एल.जागरण विज्ञान। प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और यूनान का गणित। एम., 1959
• ग्लेज़र जी.आई.स्कूल में गणित का इतिहास। एम., 1982
• डब्ल्यू. लिट्ज़मैन, "द पाइथागोरस प्रमेय" एम., 1960.
  • पाइथागोरस प्रमेय के बारे में एक साइट जिसमें बड़ी संख्या में सबूत हैं, सामग्री डब्ल्यू लिट्ज़मैन द्वारा पुस्तक से ली गई है, बड़ी संख्या में चित्र अलग ग्राफिक फाइलों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।
• डी. वी. एनोसोव की पुस्तक से पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस ट्रिपल अध्याय "गणित पर एक नज़र और इससे कुछ"
• पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीकों पर जी। ग्लेसर, रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

अंग्रेजी में

• वुल्फराममैथवर्ल्ड में पाइथागोरस प्रमेय
• कट-द-नॉट, पाइथागोरस प्रमेय पर अनुभाग, लगभग 70 प्रमाण और व्यापक अतिरिक्त जानकारी (इंग्लैंड।)

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत सुनिश्चित हो सकते हैं कि जब पूछा गया कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय प्रत्येक शिक्षित व्यक्ति के मन में दृढ़ता से बसा हुआ है, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही पर्याप्त है, और तब कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज के इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित की गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपने महान सिद्धांत का निर्माण किया। यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक साथ। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शीर्ष ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + में 2

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर प्राप्त किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लम्बवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना चाहिए।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

परिणाम यह निकला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसीलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + 2 . में

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले इस पद्धति का प्रयोग किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले एक से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

एबी और सीबी के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी तस्वीर को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को दर्शाता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक स्कूल में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षण संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। आत्म-विकास की इच्छा और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + 2 . में

पाइथागोरस प्रमेय और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इस बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम इस प्रमेय के उपयोग के लिए केवल ज्यामितीय समस्याओं में ही प्रदान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि साधारण घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. परिणाम यह निकला: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश C और B के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

ओएस (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

ओबी=ओए+एबीओबी=आर+एक्स

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक किए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि एक अलमारी है जिसकी गहराई 800 मिमी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।