गणितीय भाव (सूत्र) संक्षिप्त गुणन(योग और अंतर का वर्ग, योग और अंतर का घन, वर्गों का अंतर, योग और घन का अंतर) सटीक विज्ञान के कई क्षेत्रों में अत्यंत अपूरणीय हैं। व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों को गुणा करने, भिन्नों को घटाने, समाकलों को हल करने तथा और भी बहुत कुछ करते समय ये 7 वर्ण प्रविष्टियां अपूरणीय हैं। इसलिए यह पता लगाना बहुत उपयोगी होगा कि उन्हें कैसे प्राप्त किया जाता है, वे किस लिए हैं, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उन्हें कैसे याद किया जाए और फिर उन्हें कैसे लागू किया जाए। फिर आवेदन करना संक्षिप्त गुणन सूत्रव्यवहार में, सबसे कठिन काम यह देखना होगा कि क्या है एक्सऔर क्या है। स्पष्ट रूप से कोई प्रतिबंध नहीं हैं एकतथा बीनहीं, जिसका अर्थ है कि यह कोई संख्यात्मक या शाब्दिक अभिव्यक्ति हो सकती है।

और इसलिए वे यहाँ हैं:

प्रथम एक्स 2 - दो पर = (एक्स - वाई) (एक्स + वाई)।हिसाब करना चौकों का अंतरदो भाव, इन भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना आवश्यक है।

दूसरा (एक्स + वाई) 2 = एक्स 2 + 2xy + y 2. ढूँढ़ने के लिए योग चुकतादो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के वर्ग में पहली अभिव्यक्ति के उत्पाद को दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के साथ दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग में जोड़ना होगा।

तीसरा (एक्स - वाई) 2 = एक्स 2 - 2xy + y 2. हिसाब करना अंतर चुकतादो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के वर्ग से दूसरी अभिव्यक्ति के उत्पाद को दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग से घटाकर दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग से घटाना होगा।

चौथी (एक्स + वाई) 3 = एक्स 3 + 3x 2 y + 3x 2 + 3 पर।हिसाब करना योग घनदो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के घन में पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद के तीन गुना और दूसरे के साथ-साथ पहली अभिव्यक्ति के उत्पाद के तीन गुना और दूसरे के वर्ग के साथ-साथ क्यूब को जोड़ने की आवश्यकता है। दूसरी अभिव्यक्ति।

पांचवां (एक्स - वाई) 3 = एक्स 3 - 3x 2 वाई + 3x 2 - तीन बजे. हिसाब करना अंतर घनदो भाव, पहली अभिव्यक्ति के घन से घटाना आवश्यक है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद का तीन गुना, दूसरी अभिव्यक्ति के उत्पाद का तीन गुना और दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग, दूसरे का घन अभिव्यक्ति।

छठा एक्स 3 + वाई 3 = (एक्स + वाई) (एक्स 2 - xy + y 2)हिसाब करना क्यूब्स का योगदो भाव, आपको इन भावों के अंतर के अधूरे वर्ग द्वारा पहले और दूसरे भाव के योग को गुणा करने की आवश्यकता है।

सातवीं एक्स 3 - तीन बजे \u003d (एक्स - वाई) (एक्स 2 + xy + y 2)हिसाब लगाना घन मतभेददो भाव, इन भावों के योग के अधूरे वर्ग द्वारा पहले और दूसरे भाव के अंतर को गुणा करना आवश्यक है।

यह याद रखना मुश्किल नहीं है कि सभी सूत्र विपरीत दिशा में (दाएं से बाएं) गणना करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

इन नियमितताओं का अस्तित्व लगभग 4 हजार वर्ष पूर्व ज्ञात हो गया था। वे प्राचीन बाबुल और मिस्र के निवासियों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किए गए थे। लेकिन उन युगों में उन्हें मौखिक या ज्यामितीय रूप से व्यक्त किया गया था और गणना में अक्षरों का उपयोग नहीं किया गया था।

आइए विश्लेषण करते हैं योग वर्ग प्रमाण(ए + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2।

इस गणितीय नियमिततातीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में अलेक्जेंड्रिया में काम करने वाले प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड को साबित किया, उन्होंने इसके लिए सूत्र को साबित करने के लिए ज्यामितीय पद्धति का इस्तेमाल किया, क्योंकि प्राचीन हेलस के वैज्ञानिकों ने संख्याओं को निरूपित करने के लिए अक्षरों का उपयोग नहीं किया था। वे हर जगह "ए 2" का उपयोग नहीं करते थे, लेकिन "खंड ए पर वर्ग", "एबी" नहीं, बल्कि "खंड ए और बी के बीच संलग्न आयत"।

संक्षिप्त गुणन सूत्र (FSU) का उपयोग संख्याओं और व्यंजकों को घातांक और गुणा करने के लिए किया जाता है। अक्सर ये सूत्र आपको गणनाओं को अधिक कॉम्पैक्टली और तेज़ी से करने की अनुमति देते हैं।

इस लेख में, हम संक्षिप्त गुणन के मुख्य सूत्रों को सूचीबद्ध करेंगे, उन्हें एक तालिका में समूहित करेंगे, इन सूत्रों का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे, और संक्षिप्त गुणन सूत्रों को सिद्ध करने के सिद्धांतों पर भी ध्यान केन्द्रित करेंगे।

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पहली बार, कक्षा 7 के लिए "बीजगणित" पाठ्यक्रम के अंतर्गत एफएसयू के विषय पर विचार किया गया है। नीचे 7 मूल सूत्र दिए गए हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

1. योग वर्ग सूत्र: ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2
2. अंतर वर्ग सूत्र: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. योग घन सूत्र: ए + बी 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 + बी 3
4. अंतर घन सूत्र: ए - बी 3 \u003d ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3
5. वर्ग सूत्र का अंतर: ए 2 - बी 2 \u003d ए - बी ए + बी
6. क्यूब्स के योग का सूत्र: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. घन अंतर सूत्र: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

इन भावों में अक्षर a, b, c कोई भी संख्या, चर या भाव हो सकते हैं। उपयोग में आसानी के लिए, सात बुनियादी सूत्रों को कंठस्थ करना बेहतर है। हम उन्हें एक तालिका में सारांशित करते हैं और उन्हें एक बॉक्स के साथ घेरते हुए नीचे देते हैं।

पहले चार सूत्र आपको दो व्यंजकों के योग या अंतर के क्रमशः वर्ग या घन की गणना करने की अनुमति देते हैं।

पाँचवाँ सूत्र व्यंजकों के वर्गों के योग और अंतर को गुणा करके उनके अंतर की गणना करता है।

छठा और सातवाँ सूत्र क्रमशः, अंतर के अधूरे वर्ग और योग के अधूरे वर्ग द्वारा भावों के योग और अंतर का गुणन है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र को कभी-कभी संक्षिप्त गुणन सर्वसमिका भी कहा जाता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि हर समानता एक पहचान है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, संक्षिप्त गुणन सूत्र अक्सर पुनर्व्यवस्थित बाएं और दाएं भागों के साथ उपयोग किए जाते हैं। बहुपद का गुणनखंड करते समय यह विशेष रूप से सुविधाजनक होता है।

अतिरिक्त संक्षिप्त गुणन सूत्र

हम स्वयं को बीजगणित में 7वीं कक्षा के पाठ्यक्रम तक सीमित नहीं रखेंगे और अपनी FSU तालिका में कुछ और सूत्र जोड़ेंगे।

पहले न्यूटन के द्विपद सूत्र पर विचार करें।

ए + बी एन = सी एन 0 ए एन + सी एन 1 ए एन - 1 बी + सी एन 2 ए एन - 2 बी 2 +। . + सी एन एन - 1 ए बी एन - 1 + सी एन एन बी एन

यहाँ C n k वे द्विपद गुणांक हैं जो पास्कल के त्रिभुज में पंक्ति संख्या n में हैं। द्विपद गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

सी एनके = एन! क! · (एन - के) ! = एन (एन - 1) (एन - 2)। . (एन - (के - 1)) के!

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर और योग के वर्ग और घन के लिए FSU क्रमशः n=2 और n=3 के लिए न्यूटन के द्विपद सूत्र का एक विशेष मामला है।

लेकिन क्या होगा यदि योग में दो से अधिक पदों को एक शक्ति तक बढ़ा दिया जाए? तीन, चार या अधिक पदों के योग के वर्ग का सूत्र उपयोगी होगा।

एक 1 + एक 2 +। . + ए एन 2 = ए 1 2 + ए 2 2 +। . + ए एन 2 + 2 ए 1 ​​ए 2 + 2 ए 1 ​​ए 3 +। . + 2 ए 1 ​​ए एन + 2 ए 2 ए 3 + 2 ए 2 ए 4 +। . + 2 एक 2 एक एन + 2 एक एन - 1 एक एन

एक अन्य सूत्र जो काम आ सकता है वह है दो पदों की nवीं शक्तियों के अंतर का सूत्र।

ए एन - बी एन = ए - बी एन - 1 + ए एन - 2 बी + ए एन - 3 बी 2 +। . + ए 2 बी एन - 2 + बी एन - 1

यह सूत्र आमतौर पर दो सूत्रों में विभाजित होता है - क्रमशः सम और विषम डिग्री के लिए।

सम घातांक 2m के लिए:

ए 2 एम - बी 2 एम = ए 2 - बी 2 ए 2 एम - 2 + ए 2 एम - 4 बी 2 + ए 2 एम - 6 बी 4 +। . + बी 2 मीटर - 2

विषम घातांक 2m+1 के लिए:

ए 2 एम + 1 - बी 2 एम + 1 = ए 2 - बी 2 ए 2 एम + ए 2 एम - 1 बी + ए 2 एम - 2 बी 2 +। . + बी 2 मी

वर्गों के अंतर और घनों के अंतर के सूत्र, आपने अनुमान लगाया है, क्रमशः n = 2 और n = 3 के लिए इस सूत्र के विशेष मामले हैं। घनों के अंतर के लिए, b को - b से भी बदल दिया जाता है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र कैसे पढ़ें?

हम प्रत्येक सूत्र के लिए संबंधित सूत्र देंगे, लेकिन पहले हम सूत्रों को पढ़ने के सिद्धांत से निपटेंगे। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण के साथ है। आइए दो संख्याओं के योग के वर्ग के लिए पहला सूत्र लें।

ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2।

वे कहते हैं: दो भावों के योग का वर्ग a और b पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के योग के बराबर है, भावों के उत्पाद का दोगुना और दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग।

अन्य सभी सूत्र समान रूप से पढ़े जाते हैं। वर्ग अंतर के लिए a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 हम लिखते हैं:

दो भावों a और b के अंतर का वर्ग इन भावों के वर्गों के योग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे भाव के गुणनफल का दोगुना होता है।

आइए सूत्र a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 पढ़ें। दो भावों के योग का घन a और b इन भावों के घनों के योग के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद का तीन गुना और दूसरा, और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद का तीन गुना और पहली अभिव्यक्ति।

हम क्यूब्स a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 के अंतर के सूत्र को पढ़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। दो भावों के अंतर का घन a और b पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर होता है जो पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का तीन गुना और दूसरा, दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग का तीन गुना और पहली अभिव्यक्ति का घन घटाता है दूसरी अभिव्यक्ति का।

पाँचवाँ सूत्र a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (वर्गों का अंतर) इस तरह पढ़ता है: दो भावों के वर्गों का अंतर अंतर के गुणनफल और दो भावों के योग के बराबर होता है।

सुविधा के लिए a 2 + a b + b 2 और a 2 - a b + b 2 जैसे भाव क्रमशः योग के अपूर्ण वर्ग और अंतर के अपूर्ण वर्ग कहलाते हैं।

इसे ध्यान में रखते हुए, घनों के योग और अंतर के सूत्र इस प्रकार पढ़े जाते हैं:

दो भावों के घनों का योग इन भावों के योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

दो भावों के घनों का अंतर इन भावों के योग के अधूरे वर्ग के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

एफएसयू सबूत

FSU साबित करना काफी सरल है। गुणन के गुणों के आधार पर, हम कोष्ठकों में सूत्रों के भागों का गुणन करेंगे।

उदाहरण के लिए, अंतर के वर्ग के सूत्र पर विचार करें।

ए - बी 2 \u003d ए 2 - 2 ए बी + बी 2।

दूसरी शक्ति के लिए अभिव्यक्ति बढ़ाने के लिए, अभिव्यक्ति को स्वयं से गुणा किया जाना चाहिए।

ए - बी 2 \u003d ए - बी ए - बी।

आइए कोष्ठकों का विस्तार करें:

ए - बी ए - बी \u003d ए 2 - ए बी - बी ए + बी 2 \u003d ए 2 - 2 ए बी + बी 2।

सूत्र सिद्ध हो चुका है। अन्य एफएसओ इसी तरह साबित होते हैं।

एफएसओ के आवेदन के उदाहरण

घटाए गए गुणन सूत्रों का उपयोग करने का उद्देश्य शीघ्रता से और संक्षिप्त रूप से गुणा करना और व्यंजकों को प्रतिपादित करना है। हालाँकि, यह FSO का संपूर्ण दायरा नहीं है। वे व्यापक रूप से अभिव्यक्तियों को कम करने, अंशों को कम करने, बहुपदों को विभाजित करने में उपयोग किए जाते हैं। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1. एफएसओ

आइए व्यंजक 9 y - (1 + 3 y) 2 को सरल करें।

वर्गों के सूत्र का योग लागू करें और प्राप्त करें:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

उदाहरण 2. एफएसओ

भिन्न 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 को कम करें।

हम देखते हैं कि अंश में अभिव्यक्ति घनों का अंतर है, और भाजक में - वर्गों का अंतर।

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z।

हम कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

एफएसयू भावों के मूल्यों की गणना करने में भी मदद करते हैं। मुख्य बात यह देखने में सक्षम होना है कि सूत्र को कहां लागू किया जाए। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

आइए संख्या 79 का वर्ग करें। बोझिल गणनाओं के बजाय, हम लिखते हैं:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

ऐसा प्रतीत होता है कि केवल संक्षिप्त गुणन सूत्रों और गुणन तालिका के उपयोग से एक जटिल गणना जल्दी से की गई थी।

दूसरा महत्वपूर्ण बिंदु- द्विपद के वर्ग का चयन। व्यंजक 4 x 2 + 4 x - 3 को 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 में बदला जा सकता है। एकीकरण में इस तरह के परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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बीजगणितीय बहुपदों की गणना करते समय, गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम उपयोग करते हैं संक्षिप्त गुणन सूत्र . ऐसे कुल सात सूत्र हैं। उन सभी को दिल से जानने की जरूरत है।

यह भी याद रखना चाहिए कि सूत्रों में a और b के स्थान पर संख्याएँ और कोई अन्य बीजगणितीय बहुपद दोनों हो सकते हैं।

चौकों का अंतर

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)

योग वर्ग

दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर और पहली संख्या के गुणनफल के दोगुने और दूसरी संख्या के वर्ग के योग के बराबर होता है।

(एक + बी) 2 = ए 2 + 2 एबी + बी 2

ध्यान दें कि इस घटे हुए गुणन सूत्र के साथ, यह आसान है बड़ी संख्या का वर्ग ज्ञात कीजिएकैलकुलेटर या लंबे गुणा का उपयोग किए बिना। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं:

112 2 ज्ञात कीजिये।

आइए हम 112 को उन संख्याओं के योग में विघटित करें जिनके वर्ग हमें अच्छी तरह याद हैं।2
112 = 100 + 1

हम संख्याओं का योग कोष्ठक में लिखते हैं और कोष्ठक के ऊपर एक वर्ग लगाते हैं।
112 2 = (100 + 12) 2

आइए योग वर्ग सूत्र का उपयोग करें:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

याद रखें कि वर्ग योग सूत्र किसी बीजगणितीय बहुपद के लिए भी मान्य है।

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

चेतावनी!!!

(ए + बी) 2 a 2 + b 2 के बराबर नहीं

अंतर का वर्ग

दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी के गुणनफल का दो गुना और दूसरी संख्या का वर्ग होता है।

(एक - बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2

यह एक बहुत ही उपयोगी परिवर्तन को याद रखने योग्य भी है:

(ए - बी) 2 = (बी - ए) 2
उपरोक्त सूत्र केवल कोष्ठकों का विस्तार करके सिद्ध होता है:

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2 = बी 2 - 2एबी + ए 2 = (बी - ए) 2

योग घन

दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर है, पहली संख्या के वर्ग का तीन गुणा दूसरी संख्या का गुणा और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तीन गुणा और दूसरी संख्या का घन।

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

इस "भयानक" दिखने वाले फॉर्मूले को याद रखना काफी सरल है।

जानें कि एक 3 पहले आता है।

मध्य में दो बहुपदों के गुणांक 3 हैं।

परयाद रखें कि शून्य घात की कोई भी संख्या 1 होती है। (a 0 = 1, b 0 = 1)। यह देखना आसान है कि सूत्र में डिग्री a में कमी और डिग्री b में वृद्धि है। आप इसे सत्यापित कर सकते हैं:
(ए + बी) 3 = ए 3 बी 0 + 3 ए 2 बी 1 + 3 ए 1 बी 2 + बी 3 ए 0 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

चेतावनी!!!

(ए + बी) 3 a 3 + b 3 के बराबर नहीं

अंतर घन

दो संख्याओं के बीच के अंतर का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है जिसमें पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना और दूसरी संख्या के गुणनफल का तीन गुना और दूसरी संख्या का वर्ग घटाकर दूसरी संख्या का घन होता है। .

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

यह सूत्र पिछले वाले के रूप में याद किया जाता है, लेकिन केवल "+" और "-" संकेतों के विकल्प को ध्यान में रखते हुए। 3 का पहला सदस्य एक "+" से पहले होता है (गणित के नियमों के अनुसार, हम इसे नहीं लिखते हैं)। इसका मतलब यह है कि अगले सदस्य के पहले "-", फिर "+", आदि होगा।

(ए - बी) 3 = + एक 3 - 3ए 2बी + 3ab 2 - बी 3 \u003d ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

घनों का योग ( योग घन के साथ भ्रमित न हों!)

घनों का योग दो संख्याओं के योग और अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)

घनों का योग दो कोष्ठकों का गुणनफल होता है।

पहला कोष्ठक दो संख्याओं का योग है।

दूसरा कोष्ठक संख्याओं के अंतर का अधूरा वर्ग है। अंतर के अपूर्ण वर्ग को व्यंजक कहते हैं:

ए 2 - एबी + बी 2
यह वर्ग अधूरा है, क्योंकि बीच में एक दोहरे उत्पाद के बजाय संख्याओं का एक सामान्य गुणनफल है।

घन अंतर (अंतर घन के साथ भ्रमित नहीं होना !!!)

घनों का अंतर योग के अधूरे वर्ग द्वारा दो संख्याओं के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

वर्ण लिखते समय सावधान रहें।यह याद रखना चाहिए कि उपरोक्त सभी सूत्र भी दाएँ से बाएँ उपयोग किए जाते हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र, या... पास्कल का त्रिभुज याद करने का एक आसान तरीका।

क्या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद रखना कठिन है? मामले में मदद करना आसान है। आपको केवल यह याद रखने की आवश्यकता है कि पास्कल के त्रिभुज जैसी सरल चीज़ को कैसे दर्शाया गया है। तब आप इन सूत्रों को हमेशा और हर जगह याद रखेंगे, या यों कहें कि याद नहीं, बल्कि पुनर्स्थापित करें।

पास्कल का त्रिभुज क्या है? इस त्रिकोण में गुणांक होते हैं जो एक द्विपद की किसी भी शक्ति के विस्तार में एक बहुपद में प्रवेश करते हैं।

आइए इसे तोड़ दें, उदाहरण के लिए:

इस रिकॉर्ड में, यह याद रखना आसान है कि शुरुआत में पहले का घन होता है, और अंत में - दूसरी संख्या का घन। लेकिन बीच में क्या है याद रखना मुश्किल है। और यहां तक ​​\u200b\u200bकि तथ्य यह है कि प्रत्येक अगली अवधि में एक कारक की डिग्री हर समय घट जाती है, और दूसरी बढ़ जाती है - यह नोटिस करना और याद रखना आसान होता है, गुणांक और संकेतों (प्लस या माइनस?) को याद रखने के साथ स्थिति अधिक कठिन होती है।

तो, पहले संभावनाएँ। आपको उन्हें याद करने की ज़रूरत नहीं है! नोटबुक के हाशिये पर, हम जल्दी से पास्कल का त्रिकोण बनाते हैं, और यहाँ वे हैं - गुणांक, पहले से ही हमारे सामने। हम तीन के साथ ड्राइंग शुरू करते हैं, एक शीर्ष पर, दो नीचे, दाईं ओर और बाईं ओर - हाँ, पहले से ही एक त्रिकोण प्राप्त होता है:

पहली पंक्ति, एक के साथ, शून्य है। इसके बाद पहला, दूसरा, तीसरा और इसी तरह आता है। दूसरी पंक्ति प्राप्त करने के लिए, आपको किनारों के साथ फिर से जोड़ना होगा, और केंद्र में इसके ऊपर दो संख्याओं को जोड़कर प्राप्त संख्या को लिखें:

हम तीसरी पंक्ति लिखते हैं: फिर से इकाई के किनारों के साथ, और फिर से, अगली संख्या को एक नई पंक्ति में प्राप्त करने के लिए, इसके ऊपर की संख्याओं को पिछले एक में जोड़ें:

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, हम प्रत्येक पंक्ति में एक द्विपद के अपघटन से एक बहुपद में गुणांक प्राप्त करते हैं:

ठीक है, संकेतों को याद रखना और भी आसान है: पहला एक विस्तारित द्विपद के समान है (हम योग करते हैं - इसका मतलब प्लस है, अंतर - इसका मतलब माइनस है), और फिर संकेत वैकल्पिक हैं!

यह कितनी उपयोगी चीज है - पास्कल का त्रिभुज। आनंद लेना!

उनका उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के साथ-साथ बहुपदों के कारकों में अपघटन, बहुपदों के तेजी से गुणन के लिए किया जाता है। न्यूटन के द्विपद से अधिकांश संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं - आप इसे जल्द ही देखेंगे।

वर्गों के लिए सूत्रअक्सर गणना में उपयोग किया जाता है। वे 7 वीं कक्षा से प्रशिक्षण के अंत तक स्कूली पाठ्यक्रम में अध्ययन करना शुरू करते हैं, वर्ग और घन के सूत्र, छात्रों को दिल से जानना चाहिए।

घन सूत्रबहुत जटिल नहीं है और बहुपदों को एक मानक रूप में कम करते समय उन्हें जानने की जरूरत है, एक चर के योग या अंतर और एक घन के लिए एक संख्या के उदय को सरल बनाने के लिए।

लाल रंग से चिह्नित फ़ार्मुलों को समान पदों के पिछले समूहीकरण से प्राप्त किया जाता है।

चौथी और पांचवीं शक्तियों के लिए सूत्रस्कूल के पाठ्यक्रम में, कुछ उपयोगी होंगे, हालाँकि, उच्च गणित के अध्ययन में ऐसे कार्य हैं जहाँ आपको डिग्री पर गुणांक की गणना करने की आवश्यकता होती है।

डिग्री सूत्र n द्विपद गुणांक के रूप में निम्न प्रकार से फैक्टोरियल का उपयोग करके चित्रित किया गया है

संक्षिप्त गुणन सूत्रों के अनुप्रयोग के उदाहरण

उदाहरण 1. 51^2 की गणना करें।

समाधान। यदि आपके पास कैलकुलेटर है, तो आप इसे आसानी से पा सकते हैं

मैं मज़ाक कर रहा था - हर कोई कैलकुलेटर के साथ समझदार है, इसके बिना ... (दुखद बातों के बारे में बात नहीं करते हैं)।

कैलकुलेटर के बिना और उपरोक्त नियमों को जानने के बाद, हम नियम से संख्या का वर्ग ज्ञात करते हैं

उदाहरण 2 99^2 ज्ञात कीजिए।

समाधान। दूसरा सूत्र लागू करें

उदाहरण 3: एक व्यंजक का वर्ग करना
(एक्स + वाई -3)।

समाधान। हम मानसिक रूप से पहले दो शब्दों के योग को एक शब्द मानते हैं और संक्षिप्त गुणन के दूसरे सूत्र के अनुसार, हमारे पास है

उदाहरण 4. वर्गों का अंतर ज्ञात कीजिए
11^2-9^2.

समाधान। चूँकि संख्याएँ छोटी हैं, आप केवल वर्गों के मानों को स्थानापन्न कर सकते हैं

लेकिन हमारा लक्ष्य पूरी तरह से अलग है - गणनाओं को सरल बनाने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना सीखना। इस उदाहरण के लिए, तीसरा सूत्र लागू करें

उदाहरण 5. वर्गों का अंतर ज्ञात कीजिए
17^2-3^2 .

समाधान। इस उदाहरण में, आप पहले से ही गणनाओं को एक पंक्ति में कम करने के नियमों को सीखना चाहेंगे

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमने कुछ भी आश्चर्यजनक नहीं किया।

उदाहरण 6: एक व्यंजक को सरल कीजिए
(x-y)^2-(x+y)^2।

समाधान। आप वर्ग बना सकते हैं, और बाद में शब्दों की तरह समूह बना सकते हैं। हालाँकि, कोई सीधे वर्गों के अंतर को लागू कर सकता है

सरल और लंबे समाधान के बिना।

उदाहरण 7. एक बहुपद का घन
एक्स ^ 3-4।

समाधान । आइए 5 संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें

उदाहरण 8. वर्गों या उनके योग के अंतर के रूप में लिखिए
ए) एक्स ^ 2-8x + 7
बी) x^2+4x+29

समाधान। ए) शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें

b) पिछले तर्क के आधार पर सरल करें

उदाहरण 9. परिमेय भिन्न का विस्तार कीजिए

समाधान। वर्ग सूत्र के अंतर को लागू करें

हम स्थिरांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं

हम दूसरे समीकरण को तीन गुना पहले समीकरण में जोड़ते हैं। हम पहले समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं

अंत में, विस्तार रूप लेता है

विभाजक की शक्ति को कम करने के लिए समाकलन से पहले परिमेय अंश का विस्तार करना अक्सर आवश्यक होता है।

उदाहरण 10. न्यूटन के द्विपद का उपयोग करना, पेंट करना
व्यंजक (x-a)^7.

समाधान। आप शायद पहले से ही जानते हैं कि न्यूटन का द्विपद क्या है। यदि नहीं, तो नीचे द्विपद गुणांक हैं

वे निम्नानुसार बनते हैं: किनारे के साथ इकाइयाँ होती हैं, नीचे की रेखा में उनके बीच के गुणांक पड़ोसी ऊपरी लोगों को जोड़कर बनते हैं। यदि हम कुछ हद तक अंतर की तलाश कर रहे हैं, तो शेड्यूल में संकेत प्लस से माइनस में वैकल्पिक होते हैं। इस प्रकार, सातवें क्रम के लिए, हम निम्नलिखित संरेखण प्राप्त करते हैं

ध्यान से यह भी देखें कि संकेतक कैसे बदलते हैं - पहले चर के लिए वे क्रमशः प्रत्येक अगले पद में एक से घटते हैं, दूसरे के लिए - वे एक से बढ़ते हैं। संक्षेप में, संकेतक हमेशा अपघटन की डिग्री (= 7) के बराबर होना चाहिए।

मुझे लगता है कि उपरोक्त सामग्री के आधार पर आप न्यूटन के द्विपद पर समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे। संक्षिप्त गुणन सूत्र सीखें और जहाँ भी यह गणना को सरल बना सकता है और कार्य पर समय बचा सकता है, वहाँ लागू करें।

पिछले पाठ में, हमने गुणनखंडन पर चर्चा की थी। हमने दो तरीकों में महारत हासिल की: सामान्य कारक को कोष्ठक और समूह से बाहर निकालना। इस ट्यूटोरियल में, निम्नलिखित शक्तिशाली विधि: संक्षिप्त गुणन सूत्र. संक्षेप में - एफएसयू।

संक्षिप्त गुणन सूत्र (योग और अंतर का वर्ग, योग और अंतर का घन, वर्गों का अंतर, योग और घन का अंतर) गणित की सभी शाखाओं में आवश्यक हैं। इनका प्रयोग व्यंजकों को सरल करने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों का गुणा करने, भिन्नों को घटाने, समाकलों को हल करने आदि में किया जाता है। आदि। संक्षेप में, उनसे निपटने का हर कारण है। समझें कि वे कहाँ से आते हैं, उनकी आवश्यकता क्यों है, उन्हें कैसे याद रखना है और उन्हें कैसे लागू करना है।

क्या हम समझते हैं?)

संक्षिप्त गुणन सूत्र कहाँ से आते हैं?

समानताएं 6 और 7 बहुत सामान्य तरीके से नहीं लिखी जाती हैं। विपरीत की तरह। यह उद्देश्य पर है।) कोई भी समानता बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों काम करती है। ऐसे रिकॉर्ड में यह साफ होता है कि एफएसओ कहां से आता है।

उन्हें गुणन से लिया गया है।) उदाहरण के लिए:

(ए+बी) 2 =(ए+बी)(ए+बी)=ए 2 +एबी+बीए+बी 2 =ए 2 +2एबी+बी 2

बस इतना ही, कोई वैज्ञानिक चाल नहीं। हम केवल कोष्ठकों को गुणा करते हैं और समरूप देते हैं। यह कैसे निकला सभी संक्षिप्त गुणन सूत्र। संक्षिप्तगुणन इसलिए है क्योंकि सूत्रों में स्वयं कोष्ठकों का गुणन और समान लोगों की कमी नहीं है। कम।) परिणाम तुरंत दिया जाता है।

FSU को दिल से जानने की जरूरत है। पहले तीन के बिना, आप एक ट्रिपल का सपना नहीं देख सकते, बाकी के बिना - पांच के साथ चार के बारे में।)

हमें संक्षिप्त गुणन सूत्रों की आवश्यकता क्यों है?

इन सूत्रों को सीखने, यहाँ तक कि याद करने के भी दो कारण हैं। पहला - मशीन पर तैयार उत्तर नाटकीय रूप से त्रुटियों की संख्या को कम करता है। लेकिन यह मुख्य कारण नहीं है. और यहाँ दूसरा है ...

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

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