इस सूत्र को समांतर वर्गों के क्षेत्रफल के संदर्भ में किसी पिंड के आयतन का सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण। एक दीर्घवृत्त का आयतन ज्ञात कीजिएएक्स 2 + वाई 2 + जेड 2 = 1। एक 2बी 2सी 2

दीर्घवृत्त को समतल Oyz के समांतर समतल से काटकर (-a x a) से दूरी पर, हमें एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है (चित्र 15 देखें):

इस दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है

एस (एक्स) = बीसी 1

इसलिए, सूत्र (16) के अनुसार, हमारे पास है

क्रांति के सतह क्षेत्र की गणना

वक्र AB को फ़ंक्शन y \u003d f (x) 0 का ग्राफ होने दें, जहां x [a, b], एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) और इसके व्युत्पन्न y "\u003d f" (x) हैं इस खंड पर निरंतर।

फिर अक्ष ऑक्स के चारों ओर वक्र AB के घूमने से बनने वाली सतह के क्षेत्र S की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

		2 पाई			1 +(वाई ′) 2 डीएक्स।

यदि वक्र AB पैरामीट्रिक समीकरण x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 t t 2 द्वारा दिया गया है, तो घूर्णन के सतह क्षेत्र का सूत्र रूप लेता है

एस एक्स = 2 वाई (टी)(एक्स ′ (टी))2 + (वाई ′ (टी))2 डीटी।

उदाहरण R त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हल:

हम मान सकते हैं कि गेंद की सतह अर्धवृत्त y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x R, अक्ष Ох के चारों ओर घूमने से बनती है। सूत्र (19) से हम पाते हैं

			- एक्स
एस = 2		R2−x21 +						डीएक्स =
					- एक्स
	- आर

2 R2 - x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 ।

-r

उदाहरण। एक चक्रज x = a (t - sin t ) , 0 ≤ t ≤ 2 दिया गया है। y = a (1− लागत),

x-अक्ष के परितः इसके घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। फेसला:

जब चक्रवात का आधा चाप ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो घूर्णन का सतह क्षेत्र बराबर होता है

1एस एक्स

2π a (1− लागत )

(a(1 - cos t)) 2 + (asin t) 2 dt=

2π ए 2

2 पाप2 टी

2 लागत + cos2

टी + पाप 2 टीडीटी =

4 ए 2

पाप 2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

sin2 t

पाप करने के लिए

डीटी =

= -8 π ए 2

- कोस

डीसीओएस

= - 16 ए

32π ए

= -16 ए

0 −

1− 0+

= -16 ए

1 एस एक्स = 32 π ए 2। इसलिये,

64 ए 2 .

एक तलीय वक्र की चाप की लंबाई की गणना करना

आयताकार निर्देशांक

चलो एक चाप में, जब पॉलीलाइन के लिंक की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाती है, और सबसे बड़े आयताकार निर्देशांक की लंबाई एक समतल वक्र AB है, जिसका समीकरण y \u003d f (x) है, जहां, a x b .

चाप AB की लंबाई को उस सीमा के रूप में समझा जाता है जिस तक इस कड़ी में अंकित टूटी हुई रेखा की लंबाई शून्य हो जाती है। आइए हम दिखाते हैं कि यदि फलन y \u003d f (x) और इसका अवकलज y′ = f′ (x) खंड [a , b ] पर सतत है, तो वक्र AB की लंबाई बराबर है

यदि वक्र AB का समीकरण पैरामीट्रिक रूप में दिया गया है

x = x(t) , α t ≤ β , y= y(t) ,

जहाँ x (t) और y (t) निरंतर व्युत्पन्न के साथ निरंतर कार्य हैं और x (α) \u003d a, x (β) \u003d b, फिर वक्र AB की लंबाई l सूत्र द्वारा पाई जाती है

(एक्स (टी))2 + (वाई ′ (टी))2 डीटी। = आर आर्क्सिन

π .

- एक्स

इसलिए, l = 2π R. यदि वृत्त समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखा जाता है = R लागत, y = R sint (0 t 2π), तो

	(- रुपये टी) 2 + (आरकोस टी) 2 डीटी = आरटी0 2 π = 2 π आर।
एल =

धुवीय निर्देशांक

मान लें कि वक्र AB ध्रुवीय निर्देशांक r =r (ϕ ),α ϕ β β में समीकरण द्वारा दिया गया है। मान लें कि r (ϕ ) और r" (ϕ ) खंड [α ,β ] पर निरंतर हैं।

यदि समानता में x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक को जोड़ना,

कोण को एक पैरामीटर के रूप में मानें, तो वक्र AB को पैरामीट्रिक रूप से सेट किया जा सकता है x = r (ϕ ) cos ,

वाई = आर (ϕ) पापϕ।

सूत्र (15) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं l = r 2 + r ′ 2 d ।

उदाहरण कार्डियोइड की लंबाई ज्ञात कीजिए r =a (1 + cosϕ )। फेसला:

कार्डियोइड r \u003d a (1 + cosϕ ) का रूप चित्र 14 में दिखाया गया है। यह ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है। कार्डियोइड की आधी लंबाई ज्ञात कीजिए:

1 एल =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (- sin ϕ ))2 d ϕ =
ए	2 + 2cosϕ d ϕ =a		2 2cos2 घ ϕ =
2a / cosϕ d = 4a sinϕ

इस प्रकार, 1 2 एल = 4 ए। तो एल = 8 ए।

5. क्रान्ति के पिंडों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना

माना वक्र AB फलन y = f(x) 0 का आलेख है, जहाँ x [a; बी], और फ़ंक्शन y \u003d f (x) और इसके व्युत्पन्न y "\u003d f" (x) इस खंड पर निरंतर हैं।

आइए ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र AB के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल S ज्ञात करें (चित्र 8)।

हम स्कीम II (डिफरेंशियल मेथड) लागू करते हैं।

एक मनमाना बिंदु x [a; बी] चलो एक विमान पी खींचते हैं, जो अक्ष ऑक्स के लंबवत है। तल P, y - f(x) त्रिज्या वाले वृत्त के अनुदिश परिक्रमण की सतह को प्रतिच्छेद करता है। तल के बाईं ओर स्थित क्रांति की आकृति के भाग की सतह का मान S, x का एक फलन है, अर्थात। एस = एस (एक्स) (एस (ए) = 0 और एस (बी) = एस)।

आइए तर्क x को एक वेतन वृद्धि Δх = dх दें। बिंदु x + dx से होकर [a; b] x-अक्ष के लंबवत एक तल भी खींचिए। फ़ंक्शन s = s(x) को s की वृद्धि प्राप्त होगी, जिसे चित्र में "बेल्ट" के रूप में दिखाया गया है।

आइए हम क्षेत्र ds का अंतर ज्ञात करें, एक काटे गए शंकु द्वारा वर्गों के बीच बनाई गई आकृति को प्रतिस्थापित करें, जिसका जेनरेटर dl के बराबर है, और आधारों की त्रिज्या y और y + dy के बराबर है। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2ydl + dydl है।

उत्पाद dу d1 को ds की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम के रूप में त्यागने पर, हम ds = 2уdl, या, d1 = dx प्राप्त करते हैं।

परिणामी समानता को x = a से x = b के परास में समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यदि वक्र AB को पैरामीट्रिक समीकरण x = x(t), y = y(t), t≤ t t द्वारा दिया जाता है, तो क्रांति की सतह के क्षेत्रफल का सूत्र बन जाता है

एस = 2 दिनांक

उदाहरण: त्रिज्या R वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एस = 2 =

6. परिवर्ती बल का कार्य ज्ञात करना

चर बल कार्य

इस अक्ष के समानांतर निर्देशित एक चर बल F = F(x) की क्रिया के तहत भौतिक बिंदु M को ऑक्स अक्ष के साथ चलने दें। बिंदु M को स्थिति x = a से स्थिति x = b (a .) पर ले जाने पर बल द्वारा किया गया कार्य

स्प्रिंग को 0.05 मीटर तक फैलाने के लिए क्या कार्य करना चाहिए यदि 100 N का बल स्प्रिंग को 0.01 मीटर तक फैलाता है?

हुक के नियम के अनुसार, वसंत को फैलाने वाला लोचदार बल इस खिंचाव x के समानुपाती होता है, अर्थात। एफ = केएक्स, जहां के आनुपातिकता का गुणांक है। समस्या की स्थिति के अनुसार, बल F = 100 N, स्प्रिंग को x = 0.01 मीटर तक फैलाता है; इसलिए, 100 = k 0.01, जहाँ से k = 10000; इसलिए, एफ = 10000x।

सूत्र के आधार पर वांछित कार्य

ए =

H m ऊँचाई और आधार त्रिज्या R m (चित्र 13) के एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार टैंक से किनारे पर तरल पंप करने के लिए खर्च किए जाने वाले कार्य का पता लगाएं।

वजन p के शरीर को ऊंचाई h तक ऊपर उठाने पर खर्च किया गया कार्य p H के बराबर है। लेकिन टैंक में तरल की विभिन्न परतें अलग-अलग गहराई पर होती हैं और टैंक के ऊपर (टैंक के किनारे तक) की ऊंचाई होती है। विभिन्न परतें समान नहीं हैं।

समस्या को हल करने के लिए, हम योजना II (अंतर विधि) लागू करते हैं। हम एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं।

1) टैंक से मोटाई x (0 x H) के तरल की एक परत को पंप करने पर खर्च किया गया कार्य x का एक कार्य है, अर्थात। ए \u003d ए (एक्स), जहां (0 x एच) (ए (0) \u003d 0, ए (एच) \u003d ए 0)।

2) हम वेतन वृद्धि A का मुख्य भाग पाते हैं जब x में Δx = dx से परिवर्तन होता है, अर्थात। हम फलन A(x) का अवकल dA ज्ञात करते हैं।

डीएक्स के छोटेपन को देखते हुए, हम मानते हैं कि "प्राथमिक" तरल परत एक ही गहराई x (जलाशय के किनारे से) पर है। तब dА = dрх, जहाँ dр इस परत का भार है; यह जी एवी के बराबर है, जहां जी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है, तरल का घनत्व है, डीवी "प्राथमिक" तरल परत का आयतन है (इसे आकृति में हाइलाइट किया गया है), अर्थात। डॉ = जी. इस तरल परत का आयतन स्पष्ट रूप से बराबर है, जहां dx सिलेंडर (परत) की ऊंचाई है, इसके आधार का क्षेत्र है, अर्थात। डीवी =।

इस प्रकार, dр = . और

3) परिणामी समानता को x \u003d 0 से x \u003d H तक की सीमा में एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

ए

8. MathCAD पैकेज का उपयोग करके इंटीग्रल की गणना

कुछ लागू समस्याओं को हल करते समय, प्रतीकात्मक एकीकरण के संचालन का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, मैथकैड प्रोग्राम प्रारंभिक चरण में (उत्तर को पहले से जानना या यह जानना अच्छा है कि यह मौजूद है) और अंतिम चरण में (दूसरे से उत्तर का उपयोग करके प्राप्त परिणाम की जांच करना अच्छा है) दोनों में उपयोगी हो सकता है। स्रोत या किसी अन्य व्यक्ति का समाधान)।

बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करते समय, आप MathCad प्रोग्राम का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की कुछ विशेषताओं को देख सकते हैं। आइए कुछ उदाहरणों के साथ यह समझने की कोशिश करें कि यह प्रोग्राम कैसे काम करता है, इसकी मदद से प्राप्त समाधानों का विश्लेषण करें और इन समाधानों की तुलना अन्य तरीकों से प्राप्त समाधानों से करें।

MathCad प्रोग्राम का उपयोग करते समय मुख्य समस्याएं इस प्रकार हैं:

ए) कार्यक्रम परिचित प्राथमिक कार्यों के रूप में उत्तर नहीं देता है, लेकिन विशेष कार्यों के रूप में जो सभी के लिए ज्ञात नहीं हैं;

बी) कुछ मामलों में जवाब देने के लिए "मना कर दिया", हालांकि समस्या का समाधान है;

ग) कभी-कभी इसकी भारीपन के कारण प्राप्त परिणाम का उपयोग करना असंभव है;

d) समस्या को अपूर्ण रूप से हल करता है और समाधान का विश्लेषण नहीं करता है।

इन समस्याओं को हल करने के लिए, कार्यक्रम की ताकत और कमजोरियों का उपयोग करना आवश्यक है।

इसकी सहायता से भिन्नात्मक परिमेय फलनों के समाकलों की गणना करना आसान और सरल है। इसलिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अर्थात। समाधान के लिए इंटीग्रल पूर्व-तैयार करें। इन उद्देश्यों के लिए, ऊपर चर्चा किए गए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है। यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्राप्त परिणामों की मूल कार्य की परिभाषा के डोमेन और प्राप्त परिणाम के संयोग के लिए जांच की जानी चाहिए। इसके अलावा, प्राप्त समाधानों में से कुछ के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है।

MathCad कार्यक्रम छात्र या शोधकर्ता को नियमित काम से मुक्त करता है, लेकिन समस्या निर्धारित करते समय और कोई परिणाम प्राप्त करते समय उसे अतिरिक्त विश्लेषण से मुक्त नहीं कर सकता है।

इस पत्र में गणित के पाठ्यक्रम में एक निश्चित समाकल के अनुप्रयोगों के अध्ययन से संबंधित मुख्य प्रावधानों पर विचार किया गया था।

- इंटीग्रल को हल करने के सैद्धांतिक आधार का विश्लेषण किया गया;

- सामग्री व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण के अधीन थी।

पाठ्यक्रम कार्य के दौरान भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया गया।

निष्कर्ष

ऊपर दी गई व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरण हमें उनकी सॉल्वेबिलिटी के लिए एक निश्चित इंटीग्रल के महत्व का स्पष्ट विचार देते हैं।

एक वैज्ञानिक क्षेत्र का नाम देना मुश्किल है जिसमें सामान्य रूप से अभिन्न कलन के तरीके, और एक निश्चित अभिन्न के गुण, विशेष रूप से, लागू नहीं होंगे। इसलिए पाठ्यक्रम कार्य करने की प्रक्रिया में, हमने भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया। बेशक, यह किसी भी तरह से विज्ञान की एक विस्तृत सूची नहीं है जो किसी विशिष्ट समस्या को हल करने और सैद्धांतिक तथ्यों को स्थापित करने के लिए एक निर्धारित मूल्य खोजने के लिए अभिन्न पद्धति का उपयोग करता है।

साथ ही, गणित का अध्ययन करने के लिए निश्चित समाकलन का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों को हल करते समय, जो बदले में व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में एक अनिवार्य योगदान देते हैं। हम कह सकते हैं कि निश्चित समाकलन गणित के अध्ययन का एक प्रकार का आधार है। इसलिए उन्हें हल करने का तरीका जानने का महत्व।

उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि एक निश्चित अभिन्न के साथ परिचित औसत के भीतर भी क्यों होता है माध्यमिक स्कूल, जहां छात्र न केवल अभिन्न और उसके गुणों की अवधारणा सीखते हैं, बल्कि इसके कुछ अनुप्रयोगों को भी सीखते हैं।

साहित्य

1. वोल्कोव ई.ए. संख्यात्मक तरीके। एम., नौका, 1988।

2. पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। एम., इंटीग्रल-प्रेस, 2004. टी. 1.

3. शिपाचेव वी.एस. उच्च गणित। एम।, हायर स्कूल, 1990।

इसलिए, मैं तुरंत बुनियादी अवधारणाओं और व्यावहारिक उदाहरणों पर आगे बढ़ूंगा।

आइए एक साधारण तस्वीर देखें

और याद रखें: किसका उपयोग करके गणना की जा सकती है समाकलन परिभाषित करें?

सबसे पहले, बिल्कुल, एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र. स्कूल के दिनों से जाना जाता है।

यदि यह आंकड़ा निर्देशांक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो हम पहले से ही खोजने के बारे में बात कर रहे हैं क्रांति का शरीर. यह सरल भी है।

और क्या? हाल ही में समीक्षा की गई चाप की लंबाई की समस्या .

और आज हम सीखेंगे कि एक और विशेषता की गणना कैसे करें - एक और क्षेत्र। कल्पना कीजिए कि लाइन घूमताधुरी के चारों ओर। इस क्रिया के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय आकृति प्राप्त होती है, जिसे कहा जाता है क्रांति की सतह. इस मामले में, यह बिना तल के ऐसे बर्तन जैसा दिखता है। और कोई आवरण नहीं। जैसा कि गधा ईयोर कहेगा, एक दिल दहला देने वाला दृश्य =)

अस्पष्ट व्याख्या को खत्म करने के लिए, मैं एक उबाऊ लेकिन महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण दूंगा:

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, हमारे "बर्तन" में है असीम रूप से पतलादीवार और दोएक ही क्षेत्र के साथ सतह - बाहरी और आंतरिक। तो, आगे की सभी गणनाओं का अर्थ है क्षेत्रफल केवल बाहरी सतह.

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, घूर्णन के सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

या, अधिक संक्षेप में: .

फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न पर वही आवश्यकताएं लगाई जाती हैं, जब खोजते हैं वक्र चाप लंबाई, लेकिन, इसके अलावा, वक्र स्थित होना चाहिए उच्चतरकुल्हाड़ियों। यह जरूरी है! यह समझना आसान है कि यदि रेखा स्थित है नीचेअक्ष, तो समाकलन ऋणात्मक होगा: , और इसलिए समस्या के ज्यामितीय अर्थ को संरक्षित करने के लिए सूत्र में एक ऋण चिह्न जोड़ना होगा।

एक अवांछनीय रूप से अनदेखी की गई आकृति पर विचार करें:

एक टोरस का सतह क्षेत्र

संक्षेप में, टोर एक डोनट है. एक पाठ्यपुस्तक उदाहरण, जिसे लगभग सभी मतन पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, खोजने के लिए समर्पित है मात्राटोरस, और इसलिए, विविधता के लिए, मैं दुर्लभ समस्या का विश्लेषण करूंगा इसका सतह क्षेत्र. पहले विशिष्ट संख्यात्मक मानों के साथ:

उदाहरण 1

एक वृत्त को घुमाकर प्राप्त टोरस के सतह क्षेत्र की गणना करें धुरी के चारों ओर।

फेसला: आप समीकरण को कैसे जानते हैं सेट घेराइकाई त्रिज्या पर केंद्रित है। इससे दो कार्य प्राप्त करना आसान हो जाता है:

- ऊपरी अर्धवृत्त सेट करता है;
- निचला अर्धवृत्त सेट करता है:

सार क्रिस्टल स्पष्ट है: घेराएक्स-अक्ष और रूपों के चारों ओर घूमता है सतहबैगेल सकल आरक्षण से बचने के लिए यहां केवल एक चीज है, शब्दावली में सावधान रहना: यदि आप घुमाते हैं एक क्षेत्र में, एक वृत्त से घिरा , तो आपको एक ज्यामितीय प्राप्त होता है तन, यानी बैगेल ही। और अब बात करते हैं वर्ग की सतह, जिसे स्पष्ट रूप से क्षेत्रों के योग के रूप में गणना करने की आवश्यकता है:

1) वह पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो "नीला" चाप को घुमाकर प्राप्त किया जाता है एक्स-अक्ष के आसपास। हम सूत्र का उपयोग करते हैं . जैसा कि मैंने बार-बार सलाह दी है, चरणों में कार्रवाई करना अधिक सुविधाजनक है:

हम एक समारोह लेते हैं और इसे ढूंढो यौगिक:

और अंत में, हम परिणाम को सूत्र में लोड करते हैं:

ध्यान दें कि इस मामले में यह अधिक तर्कसंगत निकला एक सम फलन के समाकल को दुगुना करनासमाधान के दौरान, y-अक्ष के संबंध में आकृति की समरूपता पर प्रारंभिक रूप से चर्चा करने के बजाय।

2) वह पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो "लाल" चाप को घुमाकर प्राप्त किया जाता है एक्स-अक्ष के आसपास। सभी क्रियाएं वास्तव में केवल एक संकेत से भिन्न होंगी। मैं समाधान को एक अलग शैली में डिजाइन करूंगा, जिसमें निश्चित रूप से जीवन का अधिकार भी है:


3) इस प्रकार, टोरस का सतह क्षेत्र:

जवाब:

समस्या को सामान्य तरीके से हल किया जा सकता है - एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर सर्कल को घुमाकर प्राप्त टोरस के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, और उत्तर प्राप्त करें . हालाँकि, स्पष्टता और अधिक सरलता के लिए, मैंने विशिष्ट संख्याओं पर समाधान किया।

यदि आपको स्वयं डोनट की मात्रा की गणना करने की आवश्यकता है, तो कृपया ट्यूटोरियल को त्वरित संदर्भ के रूप में देखें:

सैद्धांतिक टिप्पणी के अनुसार, हम ऊपरी अर्धवृत्त पर विचार करते हैं। पैरामीटर के मान को बदलते समय इसे "खींचा" जाता है (यह देखना आसान है कि इस अंतराल पर), इस प्रकार:

जवाब:

यदि हम सामान्य शब्दों में समस्या को हल करते हैं, तो हमें एक गोले के क्षेत्र के लिए स्कूल का सूत्र मिलता है, जहाँ इसकी त्रिज्या होती है।

कुछ दर्द भरी साधारण सी समस्या, शर्म भी आई.... मेरा सुझाव है कि आप इस बग को ठीक करें =)

उदाहरण 4

धुरी के चारों ओर चक्रज के पहले चाप को घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना करें।

कार्य रचनात्मक है। y-अक्ष के चारों ओर एक वक्र घुमाकर प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र को निकालने या अंतर्विष्ट करने का प्रयास करें। और, ज़ाहिर है, पैरामीट्रिक समीकरणों के लाभ पर फिर से ध्यान दिया जाना चाहिए - उन्हें किसी तरह संशोधित करने की आवश्यकता नहीं है; एकीकरण की अन्य सीमाओं को खोजने के लिए परेशान होने की आवश्यकता नहीं है।

साइक्लॉयड ग्राफ को पेज पर देखा जा सकता है क्षेत्र और आयतन यदि रेखा को पैरामीट्रिक रूप से सेट किया गया है. रोटेशन की सतह सदृश होगी ... मुझे यह भी नहीं पता कि इसकी तुलना किससे की जाए ... कुछ अस्पष्ट - बीच में एक नुकीले अवसाद के साथ गोल। यहाँ, धुरी के चारों ओर चक्रज के घूमने के मामले के लिए, संघ तुरंत दिमाग में आया - एक आयताकार रग्बी गेंद।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

हम एक मामले के साथ अपनी आकर्षक समीक्षा समाप्त करते हैं धुवीय निर्देशांक. हां, यह एक समीक्षा है, यदि आप गणितीय विश्लेषण पर पाठ्यपुस्तकों को देखें (फिख्तेंगोल्ट्स, बोखान, पिस्कुनोव और अन्य लेखकों द्वारा), तो आप एक अच्छे दर्जन (या इससे भी अधिक) मानक उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं, जिनमें से यह काफी संभव है कि आप आपको आवश्यक समस्या मिल जाएगी।

क्रांति के सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें,
यदि ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में रेखा दी गई हो?

यदि वक्र को पर सेट किया गया है धुवीय निर्देशांकसमीकरण, और किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का निरंतर व्युत्पन्न होता है, तो इस वक्र को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है , वक्र के सिरों के अनुरूप कोणीय मान कहाँ हैं।

समस्या के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, एकीकृत , और यह तभी प्राप्त होता है जब (और गैर-ऋणात्मक होने के लिए जाने जाते हैं)। इसलिए, सीमा से कोण मानों पर विचार करना आवश्यक है, दूसरे शब्दों में, वक्र स्थित होना चाहिए उच्चतरध्रुवीय अक्ष और उसके विस्तार। जैसा कि आप देख सकते हैं, वही कहानी जो पिछले दो पैराग्राफ में है।

उदाहरण 5

ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर कार्डियोइड के घूमने से बनने वाली सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: इस वक्र का आलेख के बारे में पाठ के उदाहरण 6 में देखा जा सकता है ध्रुवीय समन्वय प्रणाली. कार्डियोइड ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है, इसलिए हम इसके ऊपरी आधे हिस्से को अंतराल पर मानते हैं (जो वास्तव में, उपरोक्त टिप्पणी के कारण भी है)।

घूर्णन की सतह बुल्सआई जैसी होगी।

समाधान तकनीक मानक है। आइए "फी" के संबंध में व्युत्पन्न खोजें:

रूट लिखें और सरल करें:

मैं सुपरन्यूमेरेरीज के साथ आशा करता हूं

आर्गमनी विश्वविद्यालय के प्रिय छात्रों, नमस्कार!

आज हम वस्तुओं के भौतिककरण का अध्ययन करना जारी रखेंगे। पिछली बार हमने सपाट आकृतियों को घुमाया और त्रि-आयामी निकायों को प्राप्त किया। उनमें से कुछ बहुत ही आकर्षक और उपयोगी हैं। मुझे लगता है कि जादूगर के आविष्कारों का भविष्य में उपयोग किया जा सकता है।

आज हम वक्र घुमाएंगे। यह स्पष्ट है कि इस तरह से हम बहुत पतले किनारों (एक शंकु या औषधि के लिए एक बोतल, फूलों के लिए एक फूलदान, पेय के लिए एक गिलास, आदि) के साथ किसी प्रकार की वस्तु प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि एक घूर्णन वक्र केवल ऐसी वस्तुओं का निर्माण कर सकता है . दूसरे शब्दों में, वक्र को घुमाकर, हम किसी प्रकार की सतह प्राप्त कर सकते हैं - सभी तरफ बंद हो या नहीं। क्यों अभी मुझे उस छेददार प्याले की याद आ रही है जिससे सर शर्फ लोनली-लॉकली हर समय पिया करते थे।

तो हम एक टपका हुआ कटोरा और एक गैर-छिद्रित एक बनाएंगे, और निर्मित सतह के क्षेत्र की गणना करेंगे। मुझे लगता है कि किसी कारण से (सामान्य तौर पर, सतह क्षेत्र) की आवश्यकता होगी - ठीक है, कम से कम एक विशेष जादू पेंट लगाने के लिए। और दूसरी ओर, जादुई कलाकृतियों के क्षेत्रों को उन पर लागू होने वाली जादुई शक्तियों या कुछ और की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। हम सीखेंगे कि इसे कैसे खोजना है, और हम यह पता लगाएंगे कि इसे कहां लागू करना है।

तो, परवलय का एक टुकड़ा हमें एक कटोरे का आकार दे सकता है। आइए अंतराल पर सरलतम y=x 2 लें। यह देखा जा सकता है कि जब यह ओए अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो केवल एक कटोरा प्राप्त होता है। कोई तल नहीं।

घूर्णन के सतह क्षेत्र की गणना करने का मंत्र इस प्रकार है:

यहाँ |y| घूर्णन के अक्ष से घूर्णन वक्र के किसी भी बिंदु तक की दूरी है। जैसा कि आप जानते हैं, दूरी एक लंबवत है।
जादू के दूसरे तत्व के साथ थोड़ा और कठिन: डीएस चाप अंतर है। ये शब्द हमें कुछ नहीं देते हैं, इसलिए परेशान न हों, लेकिन सूत्रों की भाषा पर स्विच करें, जहां यह अंतर हमें ज्ञात सभी मामलों के लिए स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है:
- कार्तीय समन्वय प्रणाली;
- पैरामीट्रिक रूप में वक्र के रिकॉर्ड;
- ध्रुवीय समन्वय प्रणाली।

हमारे मामले में, रोटेशन के अक्ष से वक्र के किसी भी बिंदु तक की दूरी x है। हम परिणामी छेद वाले कटोरे के सतह क्षेत्र पर विचार करते हैं:

नीचे के साथ एक कटोरा बनाने के लिए, आपको एक और टुकड़ा लेने की जरूरत है, लेकिन एक अलग वक्र के साथ: अंतराल पर, यह रेखा y = 1 है।

यह स्पष्ट है कि जब यह ओए अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कटोरे का निचला भाग इकाई त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में प्राप्त होगा। और हम जानते हैं कि एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है (सूत्र pi * r ^ 2 के अनुसार। हमारे मामले के लिए, वृत्त का क्षेत्रफल pi के बराबर होगा), लेकिन हम इसकी गणना करेंगे एक नए सूत्र का उपयोग करना - सत्यापन के लिए।
रोटेशन के अक्ष से वक्र के इस टुकड़े के किसी भी बिंदु की दूरी भी x है।

खैर, हमारी गणना सही है, जो प्रसन्न करती है।

और अब घर का पाठ.

1. पॉलीलाइन एबीसी को घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र का पता लगाएं, जहां ए = (1; 5), बी = (1; 2), सी = (6; 2), ओएक्स अक्ष के चारों ओर।
सलाह। सभी खंडों को पैरामीट्रिक रूप में रिकॉर्ड करें।
एबी: एक्स = 1, वाई = टी, 2≤t≤5
ई.पू.: x=t, y=2, 1≤t≤6
वैसे, परिणामी वस्तु कैसी दिखती है?

2. अच्छा, अब खुद कुछ लेकर आओ। मुझे लगता है कि तीन चीजें पर्याप्त हैं।

I. क्रांति के निकायों की मात्रा। G. M. Fikhtengol'ts* की पाठ्यपुस्तक के अनुसार अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. दीर्घवृत्त के घूर्णन द्वारा x-अक्ष के चारों ओर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. साइनसॉइड y \u003d sin x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

क्षुद्रग्रह x3 -) - y* - a3 का x-अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. x-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रमण द्वारा गठित सतह के क्षेत्र की गणना करें।

534. x-अक्ष के चारों ओर वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें X = एक लागत, y = ऑक्स अक्ष के चारों ओर असिंट।

536. वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के अक्ष के चारों ओर लूप के घूमने से बनने वाले सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि ओए अक्ष के चारों ओर चक्रज x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) के चाप के घूमने से उत्पन्न सतह 16 u2 o2 के बराबर है।

539. कार्डियोइड को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेमनिसकेट के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. पहले चतुर्थांश में स्थित और वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

एल समन्वय अक्ष।

544. के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधे और वक्र