न्यूटन लीबनिज एक जर्मन दार्शनिक हैं जिनका जन्म 1 जुलाई 1646 को हुआ था। दर्शनशास्त्र के अलावा, वह सटीक विज्ञान से आकर्षित थे। उन्होंने तर्क, गणित, यांत्रिकी, भौतिकी, इतिहास, कूटनीति और यांत्रिकी में खुद को प्रतिष्ठित किया। न्यूटन को एक आविष्कारक के साथ-साथ एक भाषाविद् भी माना जाता है। वह बर्लिन में विज्ञान अकादमी के संस्थापक और प्रमुख बनने वाले पहले व्यक्ति थे। लीबनिज ने एक विदेशी सदस्य के रूप में फ्रांसीसी विज्ञान अकादमी में मानद स्थान प्राप्त किया।
लीबनिज़ की सबसे महत्वपूर्ण वैज्ञानिक उपलब्धियाँ मानी जाती हैं:
गणितीय विश्लेषण का निर्माण. कैलकुलस विभेदक और अभिन्न है, जिसे उन्होंने इनफिनिटिमल्स पर आधारित किया है।
इसकी सहायता से गणितीय तर्कशास्त्र की नींव पड़ी।
कॉम्बिनेटरिक्स का विज्ञान।
0 और 1 नंबर वाली बाइनरी नंबर प्रणाली। अब सारी आधुनिक तकनीक इन्हीं पर आधारित है।
मनोविज्ञान के लिए, अचेतन छोटी धारणाओं की अवधारणा की तरह, एक बहुत ही महत्वपूर्ण योगदान था। इसके अलावा, अचेतन मानसिक जीवन का सिद्धांत प्रकट हुआ।
उन्होंने ऊर्जा संरक्षण के नियम का खुलासा किया और जनशक्ति की अवधारणा पेश की।

न्यूटन को 17वीं शताब्दी के दर्शनशास्त्र का निर्णायक माना जाता है। वह एक नई प्रणाली के पूर्वज बने और इसे नाम दिया - मोनडोलॉजी। दर्शनशास्त्र में उपलब्धियों के अलावा, वह संश्लेषण और विश्लेषण के सिद्धांत की पहचान करने में सक्षम थे। लीबनिज ने इसे पर्याप्त कारण के नियम के रूप में प्रतिपादित किया। जैसा कि उन्होंने कहा, यह सब केवल सोच और तर्क से ही शुरू नहीं हुआ, बल्कि अस्तित्व और सत्तामीमांसा से भी शुरू हुआ। दार्शनिक को पहचान के कानून के आधुनिक सूत्रीकरण का श्रेय दिया जा सकता है। यह वह था जिसने दुनिया को "मॉडल" शब्द की समझ दी।
अपने लेखन में, लीबनिज ने मानव मस्तिष्क में मशीन सिमुलेशन संभावनाओं की विविधता के बारे में लिखा। जैसा कि यह निकला, इसमें बड़ी संख्या में कार्य हैं। यह वह वैज्ञानिक था जिसने पहली बार दुनिया को इस विचार से अवगत कराया कि कुछ प्रकार की ऊर्जा को दूसरों में स्थानांतरित किया जा सकता है। इन अध्ययनों ने भौतिकी में महान योगदान दिया है। निस्संदेह, उनके जीवन का सबसे महत्वपूर्ण और प्रसिद्ध कार्य सूत्र था। उन्होंने इसे न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला कहा।
न्यूटन लीबनिज सूत्र

मान लीजिए कि ऑक्स अक्ष के कुछ खंड पर कुछ सतत फलन f दिया गया है। हम मानते हैं कि यह फ़ंक्शन पूरे अंतराल पर अपना चिह्न नहीं बदलता है।
यदि f एक निश्चित खंड पर एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है, और F इस खंड पर इसके कुछ एंटीडेरिवेटिव हैं, तो वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड एस का क्षेत्र इस खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि के बराबर है।
इस प्रमेय को निम्नलिखित सूत्र में लिखा जा सकता है:
एस = एफ(बी) – एफ(ए)
ए से बी तक फ़ंक्शन एफ (एक्स) का अभिन्न अंग एस के बराबर होगा। यहां और नीचे, कुछ फ़ंक्शन एफ (एक्स) के निश्चित अभिन्न अंग को दर्शाने के लिए, ए से बी तक एकीकरण सीमा के साथ, हम निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे (ए;बी)∫एफ( एक्स). यह कैसा दिखेगा इसका एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

तो हम इन दोनों परिणामों को बराबर कर सकते हैं। हमें मिलता है: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), बशर्ते कि F, फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है। इस सूत्र को न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र कहा जाता है। यह अंतराल पर किसी सतत फलन f के लिए सत्य होगा।
इंटीग्रल की गणना के लिए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग किया जाता है। आइए कुछ उदाहरण देखें:
उदाहरण 1: अभिन्न की गणना करें. हम समाकलन x2 के लिए प्रतिअवकलन पाते हैं। प्रतिअवकलजों में से एक फलन (x3)/3 होगा।
अब हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हैं:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
उत्तर: (-1;2)∫x2dx = 3.
उदाहरण 2: अभिन्न (0;pi)∫sin(x)dx की गणना करें।
समाकलन पाप(x) के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए। प्रतिअवकलजों में से एक -cos(x) फ़ंक्शन होगा। आइए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करें:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
उत्तर: (0;pi)∫sin(x)dx=2
कभी-कभी, सरलता और अंकन की सुविधा के लिए, खंड (F(b)-F(a)) पर फ़ंक्शन F की वृद्धि इस प्रकार लिखी जाती है:

वेतन वृद्धि के लिए इस नोटेशन का उपयोग करते हुए, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह रिकॉर्डिंग में आसानी का एक संक्षिप्त नाम मात्र है, इस रिकॉर्डिंग से और कुछ भी प्रभावित नहीं होता है। यह अंकन और सूत्र (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) समतुल्य होगा।

इस फॉर्मूले का उपयोग आज भी बड़ी संख्या में वैज्ञानिक और कैलकुलेटर करते हैं। इसकी सहायता से लीबनिज ने अनेक विज्ञानों का विकास किया।

मान लीजिए कि ऑक्स अक्ष के कुछ खंड पर कुछ सतत फलन f दिया गया है। हम मानते हैं कि यह फ़ंक्शन पूरे अंतराल पर अपना चिह्न नहीं बदलता है।

यदि f एक निश्चित खंड पर एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है, और F इस खंड पर इसके कुछ एंटीडेरिवेटिव हैं, तो वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड एस का क्षेत्र इस खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि के बराबर है।

इस प्रमेय को निम्नलिखित सूत्र में लिखा जा सकता है:

एस = एफ(बी) - एफ(ए)

ए से बी तक फ़ंक्शन एफ (एक्स) का अभिन्न अंग एस के बराबर होगा। यहां और नीचे, कुछ फ़ंक्शन एफ (एक्स) के निश्चित अभिन्न अंग को दर्शाने के लिए, ए से बी तक एकीकरण सीमा के साथ, हम निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे (ए;बी)∫एफ( एक्स). यह कैसा दिखेगा इसका एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

तो हम इन दोनों परिणामों को बराबर कर सकते हैं। हमें मिलता है: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), बशर्ते कि F, फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है। इस सूत्र को कहा जाता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र. यह अंतराल पर किसी सतत फलन f के लिए सत्य होगा।

इंटीग्रल की गणना के लिए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग किया जाता है। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1: अभिन्न की गणना करें. समाकलन x 2 के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए। प्रतिअवकलजों में से एक फलन (x 3)/3 होगा।

अब हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हैं:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

उत्तर: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

उदाहरण 2: अभिन्न (0;pi)∫sin(x)dx की गणना करें।

समाकलन पाप(x) के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए। प्रतिअवकलजों में से एक -cos(x) फ़ंक्शन होगा। आइए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करें:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

उत्तर: (0;pi)∫sin(x)dx=2

कभी-कभी, सरलता और अंकन की सुविधा के लिए, खंड (F(b)-F(a)) पर फ़ंक्शन F की वृद्धि इस प्रकार लिखी जाती है:

वेतन वृद्धि के लिए इस नोटेशन का उपयोग करते हुए, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह रिकॉर्डिंग में आसानी का एक संक्षिप्त नाम मात्र है, इस रिकॉर्डिंग से और कुछ भी प्रभावित नहीं होता है। यह अंकन और सूत्र (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) समतुल्य होगा।

समाकलन परिभाषित करें एक सतत कार्य से एफ(एक्स) परिमित अंतराल पर [ ए, बी] (जहाँ ) इस खंड पर इसके कुछ प्रतिअवकलजों की वृद्धि है। (सामान्य तौर पर, यदि आप अनिश्चितकालीन अभिन्न के विषय को दोहराते हैं तो समझना काफी आसान हो जाएगा) इस मामले में, संकेतन

जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की वृद्धि को इसके द्वारा दर्शाया गया है), निश्चित समाकलन या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।(इसकी गणना ऊपरी सीमा में प्रतिअवकलन के मूल्य और निचली सीमा में इसके मूल्य के बीच अंतर के रूप में की जाती है, अर्थात एफ(बी) - एफ(ए)).

नंबर एऔर बीक्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएँ कहलाती हैं, और अंतराल [ ए, बी] एकीकरण का खंड है.

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) के लिए कुछ प्रतिअवकलन फलन है एफ(एक्स), फिर, परिभाषा के अनुसार,

(38)

समानता (38) कहलाती है न्यूटन-लीबनिज सूत्र . अंतर एफ(बी) – एफ(ए) संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है:

इसलिए, न्यूटन-लीबनिज सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

(39)

आइए हम सिद्ध करें कि निश्चित समाकलन इस बात पर निर्भर नहीं करता कि इसकी गणना करते समय समाकलन का कौन सा प्रतिअवकलन लिया जाता है। होने देना एफ(एक्स) और एफ( एक्स) इंटीग्रैंड के मनमाने एंटीडेरिवेटिव हैं। चूँकि ये एक ही फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज हैं, इसलिए इनमें एक स्थिर पद का अंतर होता है: Ф( एक्स) = एफ(एक्स) + सी. इसीलिए

इस प्रकार, यह स्थापित है कि खंड पर [ ए, बी] फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि एफ(एक्स) मेल खाना।

इस प्रकार, निश्चित समाकलन की गणना करने के लिए, समाकलन का कोई भी प्रतिअवकलन खोजना आवश्यक है, अर्थात। सबसे पहले आपको अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की आवश्यकता है। नियत साथ बाद की गणनाओं से बाहर रखा गया। फिर न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला लागू किया जाता है: ऊपरी सीमा का मान एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित किया जाता है बी , आगे - निचली सीमा का मूल्य ए और अंतर की गणना करें एफ(बी) - एफ(ए) . परिणामी संख्या एक निश्चित पूर्णांक होगी।.

पर ए = बीपरिभाषा द्वारा स्वीकार किया गया

उदाहरण 1

समाधान। आइए पहले अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग खोजें:

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को प्रतिअवकलन पर लागू करना

(पर साथ= 0), हमें मिलता है

हालाँकि, एक निश्चित अभिन्न की गणना करते समय, बेहतर है कि प्रतिअवकलन को अलग से न खोजा जाए, बल्कि अभिन्न को तुरंत फॉर्म (39) में लिखा जाए।

उदाहरण 2एक निश्चित समाकलन की गणना करें

समाधान। सूत्र का उपयोग करना

निश्चित अभिन्न के गुण

प्रमेय 2.निश्चित अभिन्न का मान एकीकरण चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात।

(40)

होने देना एफ(एक्स) के लिए प्रतिअवकलन है एफ(एक्स). के लिए एफ(टी) प्रतिअवकलन एक ही कार्य है एफ(टी), जिसमें स्वतंत्र चर को अलग ढंग से दर्शाया गया है। इस तरह,

सूत्र (39) के आधार पर, अंतिम समानता का अर्थ अभिन्नों की समानता है

प्रमेय 3.अचर गुणनखंड को निश्चित समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है, अर्थात।

(41)

प्रमेय 4.कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का निश्चित अभिन्न अंग इन कार्यों के निश्चित अभिन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है, अर्थात।

(42)

प्रमेय 5.यदि एकीकरण खंड को भागों में विभाजित किया जाता है, तो पूरे खंड पर निश्चित अभिन्न अंग उसके भागों पर निश्चित अभिन्नों के योग के बराबर होता है, अर्थात। अगर

(43)

प्रमेय 6.एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करने पर, निश्चित अभिन्न का निरपेक्ष मान नहीं बदलता है, बल्कि केवल उसका चिह्न बदलता है, अर्थात।

(44)

प्रमेय 7(माध्य मान प्रमेय)। निश्चित इंटीग्रल एकीकरण खंड की लंबाई और उसके अंदर किसी बिंदु पर इंटीग्रैंड के मूल्य के उत्पाद के बराबर है, अर्थात।

(45)

प्रमेय 8.यदि ऊपरी एकीकरण सीमा निचली एक से अधिक है और इंटीग्रैंड गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, तो निश्चित इंटीग्रल भी गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, अर्थात। अगर

प्रमेय 9.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा से अधिक है और कार्य निरंतर हैं, तो असमानता

शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात।

(46)

निश्चित समाकलन के गुण हमें समाकलन की सीधी गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण 5एक निश्चित समाकलन की गणना करें

प्रमेय 4 और 3 का उपयोग करते हुए, और प्रतिअवकलन ज्ञात करते समय - सारणीबद्ध समाकलन (7) और (6), हम प्राप्त करते हैं

परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ निश्चित अभिन्न अंग

होने देना एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ ए, बी] फ़ंक्शन, और एफ(एक्स) इसका प्रोटोटाइप है. निश्चित अभिन्न पर विचार करें

(47)

और के माध्यम से टीएकीकरण चर को दर्शाया गया है ताकि इसे ऊपरी सीमा के साथ भ्रमित न किया जाए। जब यह बदलता है एक्सनिश्चित समाकलन (47) भी बदलता है, अर्थात्, यह एकीकरण की ऊपरी सीमा का एक कार्य है एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एफ(एक्स), अर्थात।

(48)

आइए हम सिद्ध करें कि फलन एफ(एक्स) के लिए प्रतिअवकलन है एफ(एक्स) = एफ(टी). वास्तव में, विभेद करना एफ(एक्स), हम पाते हैं

क्योंकि एफ(एक्स) के लिए प्रतिअवकलन है एफ(एक्स), ए एफ(ए) एक स्थिर मान है.

समारोह एफ(एक्स) के लिए प्रतिअवकलन के अनंत सेट में से एक है एफ(एक्स), अर्थात् वह जो एक्स = एशून्य हो जाता है. यदि हम समानता (48) में रखते हैं तो यह कथन प्राप्त होता है एक्स = एऔर पिछले अनुभाग के प्रमेय 1 का उपयोग करें।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि तथा चर के परिवर्तन की विधि द्वारा निश्चित अभिन्नों की गणना

जहां, परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स) के लिए प्रतिअवकलन है एफ(एक्स). यदि इंटीग्रैंड में हम वेरिएबल का परिवर्तन करते हैं

तो, सूत्र (16) के अनुसार, हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति में

के लिए प्रतिव्युत्पन्न कार्य

वास्तव में, इसके व्युत्पन्न, के अनुसार एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम, के बराबर है

मान लीजिए α और β वेरिएबल के मान हैं टी, जिसके लिए फ़ंक्शन

क्रमशः मान लेता है एऔर बी, अर्थात।

लेकिन, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर एफ(बी) – एफ(ए) वहाँ है

लागू समस्याओं का समाधान अभिन्न की गणना तक कम हो जाता है, लेकिन इसे सटीक रूप से करना हमेशा संभव नहीं होता है। कभी-कभी कुछ हद तक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग का मूल्य जानना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, एक हजारवें हिस्से तक।

ऐसे कार्य होते हैं जब आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुमानित मूल्य ज्ञात करना आवश्यक होता है, तब संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग किया जाता है जैसे कि सिम्पोसन विधि, ट्रेपेज़ॉइड, आयत। सभी मामले हमें एक निश्चित सटीकता के साथ इसकी गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं।

यह लेख न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के अनुप्रयोग पर विचार करता है। निश्चित समाकलन की सटीक गणना के लिए यह आवश्यक है। विस्तृत उदाहरण दिए जाएंगे, निश्चित अभिन्न में चर के परिवर्तन पर विचार किया जाएगा, और भागों द्वारा एकीकृत करते समय हम निश्चित अभिन्न के मान पाएंगे।

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न्यूटन-लीबनिज सूत्र

परिभाषा 1

जब फलन y = y (x) खंड [ a ; b ], और F (x) इस खंड के फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है न्यूटन-लीबनिज सूत्रउचित माना जाता है. आइए इसे इस तरह लिखें ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

इस सूत्र पर विचार किया गया है इंटीग्रल कैलकुलस का मूल सूत्र.

इस सूत्र को सिद्ध करने के लिए उपलब्ध परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ अभिन्न की अवधारणा का उपयोग करना आवश्यक है।

जब फलन y = f (x) खंड [ a ; b ] , तो तर्क का मान x ∈ a ; b , और इंटीग्रल का रूप ∫ a x f (t) d t है और इसे ऊपरी सीमा का एक फ़ंक्शन माना जाता है। यह स्वीकार करना आवश्यक है कि फ़ंक्शन का नोटेशन फॉर्म ∫ a x f (t) d t = Φ (x) लेगा, यह निरंतर है, और फॉर्म की असमानता ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) इसके लिए मान्य है।

हम तय करते हैं कि फ़ंक्शन Φ (x) की वृद्धि तर्क ∆ x की वृद्धि से मेल खाती है, एक निश्चित अभिन्न की पांचवीं मुख्य संपत्ति का उपयोग करना और प्राप्त करना आवश्यक है

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = एफ(सी) ∆x

जहाँ मान c ∈ x ; एक्स + ∆एक्स .

हम समानता को Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) के रूप में तय करते हैं। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, सीमा को ∆ x → 0 के रूप में पारित करना आवश्यक है, फिर हमें [ a ; b ] पर स्थित फॉर्म का एक सूत्र मिलता है, अन्यथा, अभिव्यक्ति लिखी जा सकती है

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, जहां C का मान स्थिर है।

आइए निश्चित अभिन्न की पहली संपत्ति का उपयोग करके एफ (ए) की गणना करें। तब हमें वह मिलता है

एफ (ए) = Φ (ए) + सी = ∫ ए ए एफ (टी) डी टी + सी = 0 + सी = सी, इसलिए सी = एफ (ए)। परिणाम एफ (बी) की गणना करते समय लागू होता है और हमें मिलता है:

एफ (बी) = Φ (बी) + सी = ∫ ए बी एफ (टी) डी टी + सी = ∫ ए बी एफ (टी) डी टी + एफ (ए) , दूसरे शब्दों में, एफ (बी) = ∫ ए बी एफ (टी) डी टी + एफ (ए) . समानता न्यूटन-लीबनिज सूत्र ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) सिद्ध करती है।

फ़ंक्शन की वृद्धि को F x a b = F (b) - F (a) के रूप में लिया जाता है। अंकन की सहायता से, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) बन जाता है।

सूत्र को लागू करने के लिए, खंड से समाकलन y = f (x) के प्रतिअवकलन y = F (x) में से एक को जानना आवश्यक है [ a ; बी ], इस खंड से प्रतिअवकलन की वृद्धि की गणना करें। न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके गणना के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न ∫ 1 3 x 2 d x की गणना करें।

समाधान

विचार करें कि प्रपत्र y = x 2 का समाकलन अंतराल [ 1 ; 3 ] , तब और इस खंड पर अभिन्न है। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 में x के सभी वास्तविक मानों के लिए एंटीडेरिवेटिव का एक सेट है, जिसका अर्थ है कि x ∈ 1; 3 को F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C के रूप में लिखा जाएगा। C = 0 के साथ प्रतिअवकलन लेना आवश्यक है, तब हमें वह F (x) = x 3 3 मिलता है।

आइए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करें और प्राप्त करें कि निश्चित अभिन्न की गणना ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 का रूप लेगी।

उत्तर:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

उदाहरण 2

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x की गणना करें।

समाधान

दिया गया फलन खंड [-1; 2 ], जिसका अर्थ है कि यह उस पर अभिन्न है। अंतर चिह्न के तहत योग की विधि का उपयोग करके अनिश्चित अभिन्न ∫ x e x 2 + 1 d x का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तो हमें ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) मिलता है ) = 1 2 ई x 2+1+सी.

इसलिए हमारे पास फ़ंक्शन y = x · e x 2 + 1 के प्रतिअवकलन का एक सेट है, जो सभी x, x ∈ - 1 के लिए मान्य है; 2.

C = 0 पर प्रतिअवकलन लेना और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र लागू करना आवश्यक है। तब हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

∫ - 1 2 एक्स ई एक्स 2 + 1 डी एक्स = 1 2 ई एक्स 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 ई 2 2 + 1 - 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई 2 (ई 3 - 1)

उत्तर:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

उदाहरण 3

समाकलन ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x और ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x की गणना करें।

समाधान

खंड - 4; - 1 2 कहता है कि अभिन्न चिन्ह के अंतर्गत फलन सतत है, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक है। यहां से हमें फलन y = 4 x 3 + 2 x 2 के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात होता है। हमें वह मिल गया

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

प्रतिअवकलन F (x) = 2 x 2 - 2 x लेना आवश्यक है, फिर, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करके, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं, जिसकी हम गणना करते हैं:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

हम दूसरे अभिन्न की गणना में परिवर्तन करते हैं।

खंड से [-1 ; 1 ] हमारे पास है कि इंटीग्रैंड को अबाधित माना जाता है, क्योंकि lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि खंड से इंटीग्रैबिलिटी के लिए एक आवश्यक शर्त है। तब F (x) = 2 x 2 - 2 x अंतराल [ - 1 ; से y = 4 x 3 + 2 x 2 के लिए प्रतिअवकलन नहीं है; 1 ], चूँकि बिंदु O खंड से संबंधित है, लेकिन परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है। इसका मतलब यह है कि अंतराल [-1] से फ़ंक्शन y = 4 x 3 + 2 x 2 के लिए रीमैन और न्यूटन-लीबनिज़ का एक निश्चित अभिन्न अंग है; 1 ] .

उत्तर: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28,अंतराल [-1] से फ़ंक्शन y = 4 x 3 + 2 x 2 के लिए रीमैन और न्यूटन-लीबनिज़ का एक निश्चित अभिन्न अंग है; 1 ] .

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करने से पहले, आपको एक निश्चित अभिन्न अंग के अस्तित्व के बारे में ठीक से जानना होगा।

किसी निश्चित समाकलन में चर का परिवर्तन

जब फ़ंक्शन y = f (x) खंड से परिभाषित और निरंतर होता है [ a ; b ] , फिर मौजूदा सेट [ a ; b ] को अंतराल α पर परिभाषित फ़ंक्शन x = g (z) की सीमा माना जाता है; β मौजूदा निरंतर व्युत्पन्न के साथ, जहां g (α) = a और g β = b, इसलिए हमें मिलता है कि ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z ।

इस सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब इंटीग्रल ∫ a b f (x) d x की गणना करना आवश्यक होता है, जहां अनिश्चित इंटीग्रल का रूप ∫ f (x) d x होता है, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके गणना करते हैं।

उदाहरण 4

फॉर्म ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x के निश्चित अभिन्न अंग की गणना करें।

समाधान

एकीकरण अंतराल पर इंटीग्रैंड को निरंतर माना जाता है, जिसका अर्थ है कि निश्चित इंटीग्रल मौजूद है। आइए यह संकेत दें कि 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2। मान x = 9 का अर्थ है कि z = 2 9 - 9 = 9 = 3, और x = 18 के लिए हमें वह मिलता है z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, फिर g α \ u003d g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . प्राप्त मानों को सूत्र ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 3 2 z 2 + 9 डी जेड

अनिश्चित समाकलों की तालिका के अनुसार, हमारे पास यह है कि फलन 2 z 2 + 9 के प्रतिअवकलजों में से एक का मान 2 3 a r c t g z 3 है। फिर, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करने पर, हम उसे प्राप्त करते हैं

∫ 3 3 3 2 जेड 2 + 9 डी जेड = 2 3 ए आर सी टी जी जेड 3 3 3 3 = 2 3 ए आर सी टी जी 3 3 3 - 2 3 ए आर सी टी जी 3 3 = 2 3 ए आर सी टी जी 3 - ए आर सी टी जी 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 1 8

यह खोज सूत्र ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z का उपयोग किए बिना की जा सकती है।

यदि प्रतिस्थापन विधि फॉर्म ∫ 1 x 2 x - 9 d x के अभिन्न अंग का उपयोग करती है, तो हम परिणाम ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C पर पहुंच सकते हैं।

यहां से हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके गणना करेंगे और निश्चित अभिन्न की गणना करेंगे। हमें वह मिल गया

∫ 9 18 2 जेड 2 + 9 डी जेड = 2 3 ए आर सी टी जी जेड 3 9 18 = = 2 3 ए आर सी टी जी 2 18 - 9 3 - ए आर सी टी जी 2 9 - 9 3 = = 2 3 ए आर सी टी जी 3 - ए आर सी टी जी 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

नतीजे मेल खा गए.

उत्तर: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

एक निश्चित अभिन्न की गणना में भागों द्वारा एकीकरण

यदि खंड पर [ ए ; बी ] फ़ंक्शन यू (एक्स) और वी (एक्स) परिभाषित और निरंतर हैं, फिर उनके प्रथम-क्रम व्युत्पन्न वी " (एक्स) यू (एक्स) पूर्णांक हैं, इसलिए इस अंतराल से पूर्णांक फ़ंक्शन यू " (एक्स) वी ( x) समानता ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x सत्य है।

सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है, अभिन्न ∫ a b f (x) d x की गणना करना आवश्यक है, और ∫ f (x) d x को भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसे ढूंढना आवश्यक था।

उदाहरण 5

निश्चित समाकलन ∫ - π 2 3 π 2 x · पाप x 3 + π 6 d x की गणना करें।

समाधान

फ़ंक्शन x पाप x 3 + π 6 खंड पर पूर्णांक है - π 2; 3 π 2, अतः यह सतत है।

चलो u (x) \u003d x, फिर d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d पाप x 3 + π 6 d x, और d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, और v (x) = - 3 cos π 3 + π 6। सूत्र ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x से हमें यह प्राप्त होता है

∫ - π 2 3 π 2 x पाप x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 3 π 2 कॉस π 2 + π 6 - - 3 - π 2 कॉस - π 6 + π 6 + 9 पाप x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 पाप π 2 + π 6 - पाप - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

उदाहरण का समाधान दूसरे तरीके से किया जा सकता है.

न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके फ़ंक्शन x पाप x 3 + π 6 के एंटीडेरिवेटिव का सेट ढूंढें:

∫ x पाप x x 3 + π 6 d ∫ cos x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 पाप x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x पाप x 3 + π 6 d x = - 3 cos 3 + π 6 + 9 सिनकोस = 3 π 4 + 9 3 2

उत्तर: ∫ x पाप x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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विषय पर प्रस्तुति:न्यूटन-लीबनिज सूत्र

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न्यूटन और लीबनिज जीवित दस्तावेजों से, विज्ञान के इतिहासकारों ने पाया कि न्यूटन ने 1665-1666 में ही अंतर और अभिन्न कलन की खोज कर ली थी, लेकिन 1704 तक इसे प्रकाशित नहीं किया। लीबनिज ने विश्लेषण का अपना संस्करण स्वतंत्र रूप से (1675 से) विकसित किया, हालांकि उनके विचार को प्रारंभिक प्रेरणा शायद अफवाहों से मिली कि न्यूटन के पास पहले से ही ऐसी गणना थी, साथ ही इंग्लैंड में वैज्ञानिक बातचीत और न्यूटन के साथ पत्राचार के लिए धन्यवाद। न्यूटन के विपरीत, लीबनिज ने तुरंत अपना संस्करण प्रकाशित किया, और बाद में, जैकब और जोहान बर्नौली के साथ मिलकर, पूरे यूरोप में इस ऐतिहासिक खोज को व्यापक रूप से प्रचारित किया। महाद्वीप के अधिकांश वैज्ञानिकों को इसमें कोई संदेह नहीं था कि लीबनिज़ ने विश्लेषण की खोज की थी।

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अपने देशभक्ति की दुहाई देने वाले मित्रों के अनुनय पर ध्यान देते हुए, न्यूटन ने अपनी "प्रिंसिपल्स" (1687) की दूसरी पुस्तक में कहा: लगभग दस साल पहले मैंने एक बहुत ही कुशल गणितज्ञ श्रीमान के साथ जिन पत्रों का आदान-प्रदान किया था, उनमें मैक्सिमा और मिनिमा निर्धारित करने की एक विधि थी। , स्पर्शरेखा खींचना और समान प्रश्नों को हल करना, तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों शब्दों पर समान रूप से लागू होता है, और मैंने निम्नलिखित वाक्य के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके विधि को छुपाया: "जब एक समीकरण दिया जाता है जिसमें किसी भी संख्या में मौजूदा मात्राएं होती हैं, तो प्रवाह और वापस ढूंढें"। सबसे प्रसिद्ध पति ने मुझे उत्तर दिया कि उन्होंने भी इस तरह की एक विधि पर हमला किया और मुझे अपनी विधि बताई, जो कि मेरी विधि से बहुत अलग थी, और केवल शब्दों और सूत्रों में।

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1693 में, जब न्यूटन ने अंततः विश्लेषण के अपने संस्करण का पहला सारांश प्रकाशित किया, तो उन्होंने लाइबनिज़ के साथ मैत्रीपूर्ण पत्रों का आदान-प्रदान किया। न्यूटन ने कहा: हमारे वालिस ने अपने "बीजगणित" में, जो अभी प्रकाशित हुआ है, कुछ पत्र संलग्न किए हैं जो मैंने अपने समय में आपको लिखे थे। साथ ही, उन्होंने मुझसे मांग की कि मैं उस तरीके को खुलकर बताऊं जिसे मैंने उस समय पत्रों को पुनर्व्यवस्थित करके आपसे छुपाया था; मैंने इसे जितना संभव हो सके उतना छोटा बनाया। मुझे आशा है कि मैंने ऐसा कुछ नहीं लिखा जो आपके लिए अप्रिय हो, लेकिन यदि ऐसा हुआ है, तो कृपया मुझे बताएं, क्योंकि मेरे मित्र मुझे गणितीय खोजों से अधिक प्रिय हैं।

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न्यूटोनियन विश्लेषण ("ऑप्टिक्स", 1704 का एक गणितीय पूरक) के पहले विस्तृत प्रकाशन की उपस्थिति के बाद, लीबनिज़ की पत्रिका "एक्टा एरुडिटोरम" में न्यूटन के लिए आक्रामक संकेतों के साथ एक गुमनाम समीक्षा छपी। समीक्षा ने स्पष्ट रूप से संकेत दिया कि नए कैलकुलस के लेखक लाइबनिज़ थे। लीबनिज ने स्वयं इस बात से सख्ती से इनकार किया कि समीक्षा उनके द्वारा लिखी गई थी, लेकिन इतिहासकार उनकी लिखावट में लिखा एक मसौदा ढूंढने में सक्षम रहे हैं। न्यूटन ने लीबनिज के लेख को नजरअंदाज कर दिया, लेकिन उनके छात्रों ने आक्रोशपूर्वक जवाब दिया, जिसके बाद एक पैन-यूरोपीय प्राथमिकता युद्ध छिड़ गया, "गणित के पूरे इतिहास में सबसे शर्मनाक झगड़ा।"

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31 जनवरी, 1713 को, रॉयल सोसाइटी को लीबनिज से एक पत्र प्राप्त हुआ जिसमें एक सौहार्दपूर्ण शब्द था: वह इस बात से सहमत हैं कि न्यूटन अपने दम पर विश्लेषण करने आए थे, "हमारे जैसे सामान्य सिद्धांतों पर।" क्रोधित न्यूटन ने प्राथमिकता स्पष्ट करने के लिए एक अंतर्राष्ट्रीय आयोग के निर्माण की मांग की। आयोग को ज्यादा समय नहीं लगा: डेढ़ महीने बाद, ओल्डेनबर्ग और अन्य दस्तावेजों के साथ न्यूटन के पत्राचार का अध्ययन करने के बाद, इसने सर्वसम्मति से न्यूटन की प्राथमिकता को मान्यता दी, इसके अलावा, इस बार लीबनिज के लिए अपमानजनक शब्दों में। आयोग का निर्णय सभी सहायक दस्तावेजों के साथ सोसायटी की कार्यवाही में मुद्रित किया गया था।

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जवाब में, 1713 की गर्मियों से यूरोप गुमनाम पैम्फलेटों से भर गया, जिन्होंने लीबनिज की प्राथमिकता का बचाव किया और दावा किया कि "न्यूटन खुद को वह सम्मान सौंपता है जो दूसरे का है।" पैम्फलेटों में न्यूटन पर हुक और फ़्लैमस्टीड के परिणाम चुराने का भी आरोप लगाया गया। न्यूटन के मित्रों ने, अपनी ओर से, लीबनिज़ पर साहित्यिक चोरी का आरोप लगाया; उनके संस्करण के अनुसार, लंदन में अपने प्रवास (1676) के दौरान, लीबनिज रॉयल सोसाइटी में न्यूटन के अप्रकाशित कार्यों और पत्रों से परिचित हुए, जिसके बाद लीबनिज ने वहां व्यक्त विचारों को प्रकाशित किया और उन्हें अपना माना। युद्ध तब तक कमजोर नहीं हुआ जब तक दिसंबर 1716, जब मठाधीश कोंटी ने न्यूटन को सूचित किया: "लीबनिज मर चुका है - विवाद खत्म हो गया है

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एक मनमाना मान x € (a.b) सेट करें और एक नया फ़ंक्शन परिभाषित करें। यह सभी मान x € (a.b) के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम जानते हैं कि यदि (a,b) पर ʄ का अभिन्न अंग है, तो वहाँ है (ए,बी) पर ʄ का एक अभिन्न अंग भी है, जहां याद रखें कि हम परिभाषा के अनुसार मानते हैं

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इस प्रकार F (a,b) पर निरंतर है चाहे ʄ में असंततताएं हों या नहीं; यह महत्वपूर्ण है कि ʄ (ए,बी) पर पूर्णांक है। यह आंकड़ा ʄ का ग्राफ दिखाता है। चर आकृति aABx का क्षेत्रफल F (X) के बराबर है, इसकी वृद्धि F (X+h)-F(x) आकृति xBC(x+h) के क्षेत्रफल के बराबर है, जिसके कारण ʄ की सीमा स्पष्ट रूप से h → 0 के रूप में शून्य हो जाती है, भले ही x निरंतरता या असंततता का बिंदु होगा या नहीं, उदाहरण के लिए बिंदु x-d

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h→0 के रूप में सीमा तक जाने से बिंदु पर F के अवकलज के अस्तित्व और समानता की वैधता का पता चलता है। x=a,b के लिए, हम क्रमशः दाएं और बाएं डेरिवेटिव के बारे में बात कर रहे हैं। यदि फ़ंक्शन ʄ (a,b) पर निरंतर है, तो, उपरोक्त के आधार पर, इसके अनुरूप फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बराबर होता है, इसलिए फ़ंक्शन F(x) ʄ (a,b) के लिए प्रतिअवकलन है।

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हमने साबित कर दिया है कि खंड (ए,बी) पर एक मनमाना निरंतर फ़ंक्शन ʄ समानता द्वारा परिभाषित इस खंड पर एक एंटीडेरिवेटिव है। यह किसी अंतराल पर निरंतर किसी भी फलन के लिए प्रतिअवकलन के अस्तित्व को सिद्ध करता है। अब (a,b) पर फलन ʄ(x) का एक मनमाना प्रतिअवकलन होने दीजिए। हम जानते हैं कि जहाँ C कुछ स्थिरांक है। इस समानता x=a को मानते हुए और उस F(a)=0 को ध्यान में रखते हुए हमें Ф(a)=C इस प्रकार मिलता है, लेकिन

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इंटीग्रल किसी फ़ंक्शन का इंटीग्रल किसी अनुक्रम के योग का प्राकृतिक एनालॉग होता है। विश्लेषण के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एकीकरण विभेदन के विपरीत क्रिया है। एक अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है। एकीकरण के संचालन की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो तकनीकी विवरणों में भिन्न हैं। हालाँकि, वे सभी संगत हैं, अर्थात, कोई भी दो एकीकरण विधियाँ, यदि उन्हें किसी दिए गए फ़ंक्शन पर लागू किया जा सकता है, तो वही परिणाम देंगे।

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इतिहास व्युत्पत्ति dx के अभिन्न ʃ के लिए संकेतों का उपयोग पहली बार 17वीं शताब्दी के अंत में लाइबनिज़ द्वारा किया गया था। इंटीग्रल का प्रतीक S अक्षर से बना है - जो लैट शब्द का संक्षिप्त रूप है। सुम्मा (योग)। पुरातनता में अभिन्नता का एकीकरण लगभग 1800 ईसा पूर्व प्राचीन मिस्र में खोजा जा सकता है। ई., मॉस्को गणितीय पेपिरस एक काटे गए पिरामिड के आयतन के सूत्र के ज्ञान को प्रदर्शित करता है। इंटीग्रल्स की गणना के लिए पहली ज्ञात विधि यूडोक्सस (लगभग 370 ईसा पूर्व) द्वारा थकावट की विधि है, जिन्होंने क्षेत्रों और आयतनों को अनंत भागों में तोड़कर खोजने की कोशिश की, जिसके लिए क्षेत्र या आयतन पहले से ही ज्ञात है। इस पद्धति को आर्किमिडीज़ द्वारा उठाया और विकसित किया गया था, और इसका उपयोग परवलय के क्षेत्रों की गणना करने और एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए किया गया था। इसी तरह की विधियाँ चीन में तीसरी शताब्दी ईस्वी में लियू हुई द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गईं, जिन्होंने उनका उपयोग एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया। इस पद्धति का उपयोग बाद में जू चोंगशी द्वारा एक गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए किया गया।

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न्यूटन-लीबनिज सूत्र का ऐतिहासिक महत्व और दार्शनिक अर्थ इस श्रृंखला के सबसे महत्वपूर्ण शोध उपकरणों में से एक न्यूटन-लीबनिज सूत्र है, और इसके व्युत्पन्न को एकीकृत करके प्रतिअवकलन फलन खोजने की विधि है। सूत्र का ऐतिहासिक महत्व अनंत मात्राओं के उपयोग और पूछे गए प्रश्न के बिल्कुल सटीक उत्तर में है। गणितीय, भौतिक और अन्य प्राकृतिक विज्ञान समस्याओं को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग करने के फायदे, उदाहरण के लिए, एक वृत्त का वर्ग करने की शास्त्रीय समस्या - किसी दिए गए वृत्त के बराबर आकार का एक वर्ग बनाना, सर्वविदित हैं। दार्शनिक अर्थ - इसके असीम छोटे हिस्से से संपूर्ण के बारे में जानकारी प्राप्त करने की संभावना में, जिसका पहले उल्लेख किया गया है - चिकित्सा और जीव विज्ञान में स्पष्ट रूप से महसूस किया जाता है, जिसका एक उदाहरण क्लोनिंग में आनुवंशिक इंजीनियरिंग की सफलता हो सकता है - पारस्परिक रूप से समान जीवन का निर्माण प्राणी. न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करने वाले विज्ञानों की सूची में इतिहास एक दुर्लभ अपवाद बना हुआ है। ऐतिहासिक स्रोतों से जानकारी को संख्याओं - सूत्र तर्कों के रूप में प्रस्तुत करने की असंभवता पारंपरिक है। इस प्रकार, अब तक, सूत्र का दार्शनिक अर्थ पूरी तरह से दार्शनिक नहीं है, क्योंकि इसे केवल प्राकृतिक विज्ञान ज्ञान में ही महसूस किया जाता है, सामाजिक और मानवीय ज्ञान को ऐसे शक्तिशाली उपकरण के बिना छोड़ दिया जाता है। हालाँकि, यदि कोई सामाजिक और मानवीय ज्ञान की पारंपरिक विशेषताओं, उसकी कमजोरियों का पालन करता है, तो बोलने के लिए, यह उस पर निर्भर है।

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लेकिन हमारे समय में आगे का वैज्ञानिक विश्लेषण चल रही प्रक्रिया की एक नई, अलग तस्वीर देता है। अब विज्ञान में प्रभावी परमाणुवादी विचार पदार्थ को छोटे कणों के समूह या नियमित रूप से स्थित बलों के केंद्रों में विघटित करते हैं, जो शाश्वत विभिन्न आंदोलनों में होते हैं। इसी प्रकार, ईथर में प्रवेश करने वाला पदार्थ लगातार उत्तेजित रहता है और तरंगों में दोलन करता रहता है। पदार्थ और ईथर की ये सभी गतिविधियाँ विश्व अंतरिक्ष के साथ निकटतम और निरंतर संबंध में हैं, जो हमारे लिए अनंत है। हमारी ठोस कल्पना के लिए दुर्गम ऐसा प्रतिनिधित्व, भौतिकी के आंकड़ों से होता है।

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यहां तक ​​कि रहस्यमय और जादुई धाराओं को भी इस स्थिति पर विचार करना चाहिए, हालांकि वे समय की अवधारणा को एक अलग अर्थ देकर, सामान्य विश्व दृष्टिकोण में इस तथ्य के महत्व को पूरी तरह से नष्ट कर सकते हैं। इस प्रकार, जब तक प्रश्न इंद्रियों द्वारा समझी जाने वाली घटनाओं से संबंधित है, तब तक दर्शन और धर्म के इन क्षेत्रों को भी, जो सटीक ज्ञान से सबसे दूर हैं, वैज्ञानिक रूप से सिद्ध तथ्य पर विचार करना चाहिए, क्योंकि उन्हें इस तथ्य पर विचार करना चाहिए कि दो बार दो है चार उस क्षेत्र में जो इंद्रियों और मन के अधीन है।

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साथ ही, मानव जाति द्वारा संचित ज्ञान की मात्रा इस परंपरा को तोड़ने के लिए पहले से ही काफी है। वास्तव में, "ग्रेट एम्बेसी के दौरान पीटर I ने वेनिस का दौरा किया था" और "ग्रेट एम्बेसी के दौरान पीटर I वेनिस में नहीं था" कथनों के संख्यात्मक पत्राचार को देखने के लिए पाइथोगोरियन तरीके से कोई आवश्यकता नहीं है, जब ये अभिव्यक्तियाँ स्वयं आसानी से काम कर सकती हैं जॉर्ज बूले के तर्क के बीजगणित के तर्क के रूप में। प्रत्येक ऐतिहासिक शोध का परिणाम मूलतः ऐसे तर्कों का एक समूह होता है। इस प्रकार, मेरी राय में, ऐतिहासिक अध्ययन के एक सेट को एक एकीकृत कार्य के रूप में उपयोग करना उचित है, जिसे तर्क के बीजगणित के तर्कों के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जिसका उद्देश्य अध्ययन के तहत ऐतिहासिक घटना का सबसे संभावित पुनर्निर्माण प्राप्त करना है। प्रतिव्युत्पन्न. रास्ते में कई चुनौतियाँ हैं। विशेष रूप से: एक विशिष्ट ऐतिहासिक अध्ययन की प्रस्तुति - एक पुनर्निर्मित घटना का व्युत्पन्न - तार्किक अभिव्यक्तियों के एक सेट के रूप में - ऑपरेशन स्पष्ट रूप से अधिक जटिल है, उदाहरण के लिए, एक साधारण पुस्तकालय संग्रह की इलेक्ट्रॉनिक कैटलॉगिंग। हालाँकि, 20वीं सदी के अंत और 21वीं सदी की शुरुआत में सूचना की प्रगति (तत्व आधार के एकीकरण का एक अत्यंत उच्च स्तर और सूचना की शक्ति में वृद्धि) ऐसे कार्य की पूर्ति को काफी वास्तविक बनाती है।

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पूर्वगामी के प्रकाश में, वर्तमान चरण में, ऐतिहासिक विश्लेषण संभाव्यता के सिद्धांत और तर्क के बीजगणित के साथ एक गणितीय विश्लेषण है, और वांछित एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन एक ऐतिहासिक घटना की संभावना है, जो सामान्य रूप से काफी सुसंगत और सम है वर्तमान चरण में विज्ञान के विचार को पूरक करता है, क्योंकि कार्य की अवधारणा द्वारा सार की अवधारणा का प्रतिस्थापन - आधुनिक समय में विज्ञान की समझ में मुख्य बात - इस फ़ंक्शन के मूल्यांकन द्वारा पूरक है। नतीजतन, सूत्र का आधुनिक ऐतिहासिक महत्व लीबनिज के सपने को साकार करने की संभावना में है "उस समय के बारे में जब अंतहीन विवादों के बजाय, दो दार्शनिक, दो गणितज्ञों की तरह, अपने हाथों में कलम लेंगे और, मेज पर बैठकर, प्रतिस्थापित करेंगे गणना के साथ विवाद"। प्रत्येक ऐतिहासिक शोध-निष्कर्ष को अस्तित्व का अधिकार है, एक वास्तविक घटना को दर्शाता है और सूचनात्मक ऐतिहासिक तस्वीर को पूरक करता है। ऐतिहासिक विज्ञान के रंगहीन वाक्यांशों-कथनों के एक सेट में बदलने का खतरा - प्रस्तावित पद्धति को लागू करने का परिणाम, संगीत के ध्वनियों के एक सेट में बदलने और वर्तमान चरण में रंगों के एक सेट में चित्रित होने के खतरे से अधिक नहीं है। मानव विकास। इस प्रकार मैं न्यूटन-लीबनिज सूत्र का नया दार्शनिक अर्थ देखता हूं, जो पहली बार 17वीं सदी के अंत में - 18वीं शताब्दी की शुरुआत में दिया गया था।

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दरअसल, सूत्र, सामाजिक और मानवीय ज्ञान के वाहकों द्वारा गणितीय प्रतीकों की धारणा की ख़ासियत को ध्यान में रखते हुए, ऐसे संकेतों के किसी भी प्रतिनिधित्व के इन वाहकों द्वारा आतंकित भय में व्यक्त किया गया है, मौखिक रूप में दिया जाएगा: का एक निश्चित अभिन्न अंग किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। एक वृत्त का वर्ग करने की समस्या के दिए गए उदाहरण और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक मनमाना वक्र के नीचे स्थित क्षेत्र की गणना के सामान्य शैक्षिक और गणितीय उदाहरण के बीच कुछ औपचारिक अंतर, निश्चित रूप से, सार को नहीं बदलता है।

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