प्रिज्म का आयतन एक कोण पर षट्कोणीय सूत्र है। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन

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ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया को तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टॉर्टोइज़" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जितनी देर में अकिलिस यह दूरी तय करता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ चुका होगा, तो कछुआ दस कदम और रेंगेगा, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट... ये सभी, किसी न किसी तरह, ज़ेनो के एपोरियास पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय बनाने में कामयाब नहीं हुआ है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया," ज़ेनो एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से परिवर्तन का स्पष्ट रूप से प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थिरांक के बजाय लागू करना है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में फंसा देता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस असीम रूप से तेजी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलिस एक हजार कदम और दौड़ेगा, और कछुआ एक सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अदम्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टॉर्टोइज़" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना बाकी है। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर रहता है, जो वास्तव में गति है। यहां ध्यान देने योग्य एक और बात है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे आंदोलन के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं विशेष रूप से बताना चाहता हूं कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुकेपन के तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें "पूरी तरह से" शब्द से दिमाग गायब है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षण के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहां एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके सामने पूरी रकम गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेरों में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित समझाते हैं कि उसे बाकी बिल तभी मिलेंगे जब वह साबित कर देगा कि समान तत्वों वाला सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, यह आश्वासन मिलना शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंकनोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ पागलपन से भौतिकी को याद करेगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के की क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके पार एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ ओझाओं द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहां गणितज्ञ-शमन-शूलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे इसके लिए जादूगर हैं, ताकि वे अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखा सकें, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन जादूगर इसे प्राथमिक रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लीजिए कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक प्राप्त चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब यह गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले ओझाओं के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम संख्या को किस संख्या प्रणाली में लिखते हैं। इसलिए, अलग-अलग संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, इसके बारे में लेख से संख्या 26 पर विचार करें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम प्रत्येक चरण पर माइक्रोस्कोप के तहत विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करने से आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि. गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में इसे कैसे दर्शाया जाता है जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? जादूगरों के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर पुरुष है।

यदि आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार डिज़ाइन कला का ऐसा काम चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री (कई चित्रों की संरचना: माइनस साइन, नंबर चार, डिग्री पदनाम) देखने के लिए स्वयं प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिक विज्ञान नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक आर्क स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।

ज्यामितीय निकायों का आयतन निर्धारित करना स्थानिक ज्यामिति के महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। यह आलेख इस प्रश्न पर चर्चा करता है कि हेक्सागोनल आधार वाला प्रिज्म क्या है, और नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के आयतन के लिए एक सूत्र भी प्रदान करता है।

प्रिज्म की परिभाषा

ज्यामिति के दृष्टिकोण से, प्रिज्म अंतरिक्ष में एक आकृति है, जो समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुजों द्वारा बनाई जाती है। साथ ही कई समांतर चतुर्भुज जिन्हें ये बहुभुज एक ही आकृति में जोड़ते हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, किसी भी बहुभुज और खंड को लेकर मनमाना आकार का प्रिज्म प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, बहुभुज का अंतिम तल संबंधित नहीं होगा। फिर, इस खंड को बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से रखकर, बाद वाले का दूसरे तल पर समानांतर स्थानांतरण प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार बनी आकृति एक प्रिज्म होगी।

विचाराधीन आकृतियों के वर्ग का दृश्य प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम एक चतुर्भुज प्रिज्म का एक चित्र प्रस्तुत करते हैं।

इस आकृति को बहुत से लोग समानान्तर चतुर्भुज के नाम से जानते हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रिज्म के दो समान बहुभुज वर्ग हैं। इन्हें आकृति का आधार कहा जाता है। इसकी अन्य चार भुजाएँ आयत हैं, अर्थात वे समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला हैं।

षट्कोणीय प्रिज्म: परिभाषा और प्रकार

हेक्सागोनल नियमित प्रिज्म का आयतन कैसे निर्धारित किया जाता है, इसका सूत्र बताने से पहले यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि हम किस आकृति की बात कर रहे हैं। इसका आधार षट्कोणीय है। अर्थात्, छह भुजाओं वाला एक समतल बहुभुज, जिसमें कोणों की संख्या समान होती है। आकृति की भुजाएँ, साथ ही किसी भी प्रिज्म के लिए, आम तौर पर समांतर चतुर्भुज होती हैं। हम तुरंत ध्यान दें कि षट्कोणीय आधार को नियमित और अनियमित षट्कोण दोनों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

किसी आकृति के आधारों के बीच की दूरी उसकी ऊंचाई है। आगे हम इसे एच अक्षर से निरूपित करेंगे। ज्यामितीय रूप से, ऊँचाई h दोनों आधारों पर लंबवत एक खंड है। यदि यह लंबवत है:

आधारों में से एक के ज्यामितीय केंद्र से नीचे उतारा गया;
दूसरे आधार को भी ज्यामितीय केंद्र में काटता है।

इस स्थिति में आकृति को सीधी रेखा कहा जाता है। किसी भी अन्य स्थिति में, प्रिज्म तिरछा या तिरछा होगा। इस प्रकार के षट्कोणीय प्रिज्म के बीच अंतर एक नज़र में देखा जा सकता है।

एक समकोण षट्कोणीय प्रिज्म एक आकृति है जिसके आधार पर नियमित षट्कोण होते हैं। हालाँकि, यह सीधा है. आइए इसके गुणों पर करीब से नज़र डालें।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के तत्व

यह समझने के लिए कि नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म की मात्रा की गणना कैसे करें (सूत्र लेख में नीचे दिया गया है), आपको यह भी पता लगाना होगा कि आकृति में कौन से तत्व शामिल हैं, साथ ही इसमें कौन से गुण हैं। चित्र का विश्लेषण करना आसान बनाने के लिए, हम इसे चित्र में दिखाएंगे।

इसके मुख्य तत्व फलक, किनारे और शीर्ष हैं। इन तत्वों की संख्या यूलर प्रमेय का पालन करती है। यदि हम P को - किनारों की संख्या, B - शीर्षों की संख्या और G - फलकों को निरूपित करते हैं, तो हम समानता लिख सकते हैं:

चलो पता करते हैं। विचाराधीन आकृति के फलकों की संख्या 8 है। उनमें से दो नियमित षट्भुज हैं। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, छह फलक आयताकार हैं। शीर्षों की संख्या 12 है। वास्तव में, 6 शीर्ष एक आधार के हैं, और 6 दूसरे के हैं। सूत्र के अनुसार किनारों की संख्या 18 होनी चाहिए, जो उचित है। 12 किनारे आधारों पर स्थित हैं और 6 एक दूसरे के समानांतर आयतों की भुजाएँ बनाते हैं।

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म की मात्रा के लिए सूत्र प्राप्त करने की ओर मुड़ते हुए, किसी को इस आकृति की एक महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए: साइड सतह बनाने वाले आयत एक दूसरे के बराबर होते हैं और दोनों आधारों के लंबवत होते हैं। इसके दो महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं:

आकृति की ऊंचाई उसके पार्श्व किनारे की लंबाई के बराबर है।
कटिंग प्लेन का उपयोग करके बनाया गया कोई भी पार्श्व खंड जो आधारों के समानांतर है, इन आधारों के बराबर एक नियमित षट्भुज है।

षट्भुज क्षेत्र

कोई भी सहज रूप से अनुमान लगा सकता है कि आकृति के आधार का यह क्षेत्र एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के आयतन के सूत्र में दिखाई देगा। इसलिए, लेख के इस पैराग्राफ में हम इस क्षेत्र को पाएंगे। एक नियमित षट्भुज 6 समान त्रिभुजों में विभाजित है जिनके शीर्ष इसके ज्यामितीय केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं, नीचे दिखाया गया है:

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज समबाहु है। इस बात को साबित करना बहुत मुश्किल नहीं है. चूँकि पूरे वृत्त में 360 o है, षट्भुज के ज्यामितीय केंद्र के निकट त्रिभुजों के कोण 360 o /6=60 o हैं। ज्यामितीय केंद्र से षट्भुज के शीर्षों तक की दूरी समान है।

उत्तरार्द्ध का अर्थ है कि सभी 6 त्रिभुज समद्विबाहु होंगे। चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण 60 o के बराबर होता है, तो अन्य दो कोण भी 60 o के बराबर होते हैं। ((180 ओ -60 ओ)/2) - समबाहु त्रिभुज।

षट्भुज की भुजा की लंबाई को अक्षर a से निरूपित करें। तब एक त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होगा:

एस 1 = 1/2*√3/2*ए*ए = √3/4*ए 2।

सूत्र एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए मानक अभिव्यक्ति से लिया गया है। तब षट्भुज का क्षेत्रफल S 6 होगा:

एस 6 = 6 * एस 1 = 6 * √3 / 4 * ए 2 = 3 * √ 3 / 2 * ए 2।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने का सूत्र

प्रश्न में आकृति के आयतन का सूत्र लिखने के लिए, उपरोक्त जानकारी को ध्यान में रखा जाना चाहिए। एक मनमाना प्रिज्म के लिए, उसके चेहरों से घिरे स्थान की मात्रा की गणना निम्नानुसार की जाती है:

अर्थात्, V आधार क्षेत्र S o और ऊँचाई h के गुणनफल के बराबर है। चूँकि हम जानते हैं कि ऊंचाई h एक हेक्सागोनल नियमित प्रिज्म के लिए पार्श्व किनारे b की लंबाई के बराबर है, और इसके आधार का क्षेत्र S 6 से मेल खाता है, तो एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के आयतन का सूत्र रूप लेगा:

वी 6 = 3 * √ 3/2 * ए 2 * बी।

एक ज्यामितीय समस्या को हल करने का एक उदाहरण

एक षट्कोणीय नियमित प्रिज्म दिया गया है। यह ज्ञात है कि यह 10 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन में अंकित है। प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधार की भुजा से दोगुनी है। आकृति का आयतन ज्ञात कीजिए।

आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, आपको पार्श्व और पार्श्व पसली की लंबाई जानने की आवश्यकता है। एक नियमित षट्भुज पर विचार करते समय, यह दिखाया गया कि इसका ज्यामितीय केंद्र इसके चारों ओर वर्णित वृत्त के मध्य में स्थित है। उत्तरार्द्ध की त्रिज्या केंद्र से किसी भी शीर्ष तक की दूरी के बराबर है। अर्थात् यह षट्भुज की भुजा की लंबाई के बराबर है। इन विचारों से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

ए = आर = 10 सेमी;
बी = एच = 2*ए = 20 सेमी.

इन आंकड़ों को एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्तर मिलता है: V 6 ≈5196 सेमी 3 या लगभग 5.2 लीटर।

प्रिज्म वॉल्यूमेट्रिक आकृतियों में से एक है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल में स्थानिक ज्यामिति के दौरान किया जाता है। इस लेख में, हम एक विशिष्ट प्रिज्म - एक षट्कोणीय प्रिज्म - पर विचार करेंगे। यह किस प्रकार की आकृति है, एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इन सवालों के जवाब लेख में शामिल हैं।

चित्रा प्रिज्म

मान लीजिए कि हमारे पास n भुजाओं वाला एक मनमाना बहुभुज है, जो किसी समतल में है। इस बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष के लिए, हम एक सदिश का निर्माण करते हैं जो बहुभुज के तल में नहीं होगा। इस ऑपरेशन से, हमें n समरूप सदिश मिलते हैं, जिनके शीर्ष मूल बहुभुज के बिल्कुल बराबर एक बहुभुज बनाते हैं। दो समान बहुभुजों और उनके शीर्षों को जोड़ने वाली समानांतर रेखाओं से घिरी आकृति प्रिज्म कहलाती है।

प्रिज्म के फलक दो आधार हैं, जो n भुजाओं वाले बहुभुजों और पार्श्व n सतहों-समानांतर चतुर्भुजों द्वारा दर्शाए गए हैं। किसी आकृति के किनारों P की संख्या यूलर सूत्र द्वारा उसके शीर्षों B और मुख G की संख्या से संबंधित होती है:

n भुजाओं वाले बहुभुज के लिए, हमें n + 2 फलक और 2 * n शीर्ष मिलते हैं। तो किनारों की संख्या होगी:

पी = सी + डी - 2 = 2 * एन + एन + 2 - 2 = 3 * एन

सबसे सरल प्रिज्म त्रिभुजाकार है, अर्थात् इसका आधार त्रिभुज है।

प्रिज्मों का वर्गीकरण काफी विविध है। तो, वे नियमित और अनियमित, आयताकार और तिरछे, उत्तल और अवतल हो सकते हैं।

षटकोणीय प्रिज्म

यह लेख एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के आयतन के प्रश्न के लिए समर्पित है। सबसे पहले, आइए इस आंकड़े पर करीब से नज़र डालें।

जैसा कि नाम से पता चलता है, षट्कोणीय प्रिज्म का आधार छह भुजाओं और छह कोनों वाला एक बहुभुज होता है। सामान्य स्थिति में, ऐसे बहुभुज बहुत विविधता से बने हो सकते हैं, हालाँकि, अभ्यास के लिए और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, एक एकल मामला महत्वपूर्ण है - एक नियमित षट्भुज। इसकी सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं, और 6 कोणों में से प्रत्येक 120° का है। आप इस बहुभुज को आसानी से बना सकते हैं यदि आप वृत्त को तीन व्यास वाले 6 बराबर भागों में विभाजित करते हैं (वे 60 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करने चाहिए)।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का तात्पर्य न केवल इसके आधार पर एक नियमित बहुभुज की उपस्थिति से है, बल्कि इस तथ्य से भी है कि आकृति की सभी भुजाएँ आयताकार होनी चाहिए। यह तभी संभव है जब पार्श्व फलक षट्कोणीय आधारों के लंबवत हों।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म एक बिल्कुल आदर्श आकृति है जो रोजमर्रा की जिंदगी और प्रकृति में पाई जाती है। किसी को केवल छत्ते या हेक्स रिंच के आकार के बारे में सोचना है। नैनोटेक्नोलॉजी के क्षेत्र में, हेक्सागोनल प्रिज्म भी आम हैं। उदाहरण के लिए, एचसीपी और सी32 के क्रिस्टल जाली, जो टाइटेनियम और ज़िरकोनियम के साथ-साथ ग्रेफाइट जाली में कुछ शर्तों के तहत महसूस किए जाते हैं, हेक्सागोनल प्रिज्म का रूप रखते हैं।

षट्कोणीय प्रिज्म का सतह क्षेत्र

आइए अब सीधे प्रिज्म के क्षेत्रफल और आयतन की गणना के मुद्दे पर आगे बढ़ें। सबसे पहले, इस आकृति के सतह क्षेत्र की गणना करें।

किसी भी प्रिज्म के सतह क्षेत्र की गणना निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

अर्थात्, वांछित क्षेत्र S दो आधारों S o के क्षेत्रफलों और पार्श्व सतह S b के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। S o का मान निर्धारित करने के लिए दो तरीकों से किया जा सकता है:

इसकी गणना आप स्वयं करें. ऐसा करने के लिए, षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया गया है। यह जानते हुए कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ऊँचाई और आधार (षट्भुज की भुजा की लंबाई) के आधे गुणनफल के बराबर है, आप प्रश्न में बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
ज्ञात सूत्र का प्रयोग करें. यह नीचे सूचीबद्ध है:

एस एन = एन / 4 * ए 2 * सीटीजी (पीआई / एन)

यहां n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई a है।

जाहिर है, दोनों तरीकों से एक ही परिणाम मिलता है। एक नियमित षट्भुज के लिए, क्षेत्रफल है:

एस ओ = एस 6 = 3 * √3 * ए 2/2

पार्श्व सतह क्षेत्र को ढूंढना आसान है, इसके लिए आपको प्रत्येक आयत के आधार को प्रिज्म एच की ऊंचाई से गुणा करना होगा, परिणामी मान को ऐसे आयतों की संख्या से गुणा करना होगा, यानी 6 से। परिणामस्वरूप :

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के लिए कुल सतह क्षेत्र के सूत्र का उपयोग करने पर, हमें मिलता है:

एस = 3 * √3 * ए 2 + 6 * ए * एच = 3 * ए * (√3 * ए + 2 * एच)

प्रिज्म का आयतन कैसे ज्ञात करें?

आयतन एक भौतिक मात्रा है जो किसी वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान के क्षेत्र को दर्शाती है। प्रिज्म के लिए, इस मान की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

यह अभिव्यक्ति इस प्रश्न का उत्तर देती है कि मनमाने आकार के प्रिज्म का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए, अर्थात आधार S o के क्षेत्रफल को आकृति h की ऊँचाई से गुणा करना आवश्यक है ( आधारों के बीच की दूरी)।

ध्यान दें कि उपरोक्त अभिव्यक्ति किसी भी प्रिज्म के लिए मान्य है, जिसमें आधार पर अनियमित बहुभुजों द्वारा निर्मित अवतल और तिरछी आकृतियाँ भी शामिल हैं।

षट्कोणीय नियमित प्रिज्म के आयतन का सूत्र

फिलहाल, हमने विचाराधीन प्रिज्म के आयतन के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए सभी आवश्यक सैद्धांतिक गणनाओं पर विचार किया है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व किनारे की लंबाई से गुणा करना पर्याप्त है, जो कि आकृति की ऊंचाई है। परिणामस्वरूप, षट्कोणीय प्रिज्म निम्न रूप लेगा:

वी = 3 * √3 * ए 2 * एच / 2

इस प्रकार, विचाराधीन प्रिज्म के आयतन की गणना के लिए केवल दो मात्राओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है: इसके आधार के किनारे की लंबाई और ऊंचाई। ये दो मात्राएँ विशिष्ट रूप से आकृति का आयतन निर्धारित करती हैं।

आयतन और सिलेंडर की तुलना

ऊपर कहा गया था कि षट्कोणीय प्रिज्म का आधार एक वृत्त का उपयोग करके आसानी से बनाया जा सकता है। यह भी ज्ञात है कि यदि आप एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ा देते हैं, तो इसका आकार एक वृत्त के समान हो जाएगा। इस संबंध में, यह गणना करना दिलचस्प है कि एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म का आयतन एक सिलेंडर के लिए इस मान से कितना भिन्न है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, एक वृत्त में अंकित षट्भुज की भुजा की लंबाई की गणना करना आवश्यक है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह त्रिज्या के बराबर है। हम वृत्त की त्रिज्या को अक्षर R से निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि बेलन और प्रिज्म की ऊंचाई कुछ मान h के बराबर है। तब प्रिज्म का आयतन निम्नलिखित मान के बराबर होता है:

वी पी = 3 * √3 * आर 2 * एच / 2

एक सिलेंडर का आयतन एक मनमाना प्रिज्म के आयतन के समान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह देखते हुए कि वृत्त का क्षेत्रफल pi * R 2 है, सिलेंडर के आयतन के लिए हमारे पास:

आइए इन आंकड़ों के आयतन का अनुपात ज्ञात करें:

वी पी / वी सी = 3 * √3 * आर 2 * एच / 2 / (पीआई * आर 2 * एच) = 3 * √3 / (2 * पीआई)

संख्या "पाई" 3.1416 है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इस प्रकार, एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन उस सिलेंडर के आयतन का लगभग 83% है जिसमें यह अंकित है।

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एक प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि इसकी पार्श्व भुजाएँ आधारों के लंबवत हों और एक नियमित बहुभुज आधारों में स्थित हो। अर्थात्, नियमित प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म होता है, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है।
एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म आधार पर एक नियमित षट्भुज होता है, जिसके पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।

इस लेख में, आपके लिए, एक प्रिज्म को हल करने के कार्य, जो एक नियमित षट्भुज पर आधारित है. समाधान में कोई विशिष्टताएँ एवं कठिनाइयाँ नहीं हैं।क्या बात है? एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म को देखते हुए, आपको दो शीर्षों के बीच की दूरी की गणना करने या दिए गए कोण को खोजने की आवश्यकता है। कार्य वास्तव में सरल हैं, अंत में समाधान एक समकोण त्रिभुज में एक तत्व खोजने पर आता है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है। समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा जानना आवश्यक है।

नियमित षट्भुज के बारे में जानकारी अवश्य देखें।आपको उनमें से बड़ी संख्या में निकालने के कौशल की भी आवश्यकता होगी। आप पॉलीहेड्रा को हल कर सकते हैं, उन्होंने शीर्षों और कोणों के बीच की दूरी की भी गणना की।

संक्षेप में: नियमित षट्भुज क्या है?

हम जानते हैं कि एक नियमित षट्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके अलावा, भुजाओं के बीच के कोण भी बराबर होते हैं.

*विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसकी भुजा के बराबर होती है। *इसकी पुष्टि बहुत सरलता से की जाती है: यदि हम षट्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं, तो हमें छह समान समबाहु त्रिभुज मिलते हैं। समबाहु क्यों?

प्रत्येक त्रिभुज के लिए, केंद्र में स्थित उसके शीर्ष पर कोण 60 है 0 (360:6=60). चूँकि त्रिभुज की दो भुजाएँ, जिनके केंद्र में एक उभयनिष्ठ शीर्ष है, बराबर हैं (ये परिचालित वृत्त की त्रिज्याएँ हैं), तो ऐसे समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर प्रत्येक कोण भी 60 डिग्री के बराबर होता है।

अर्थात्, लाक्षणिक रूप से कहें तो एक नियमित षट्भुज में छह समान समबाहु त्रिभुज होते हैं।

समस्याओं के समाधान के लिए अन्य कौन से उपयोगी तथ्य पर ध्यान दिया जाना चाहिए? एक षट्भुज का शीर्ष कोण (उसकी आसन्न भुजाओं के बीच का कोण) 120 डिग्री है।

*जानबूझकर नियमित एन-गॉन के सूत्रों को नहीं छुआ। हम भविष्य में इन सूत्रों पर विस्तार से विचार करेंगे, यहां इनकी आवश्यकता ही नहीं है।

कार्यों पर विचार करें:

272533. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में सभी किनारे 48 के बराबर हैं। बिंदु A और E 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें।

एक समकोण त्रिभुज AA पर विचार करें 1 ई 1 . पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

*एक नियमित षट्भुज की भुजाओं के बीच का कोण 120 डिग्री होता है।

अनुभाग एई 1 कर्ण है, AA 1 और ए 1 ई 1 पैर. रिब ए.ए 1 हम जानते हैं। पैर ए 1 ई 1 हम का उपयोग करके पा सकते हैं।

प्रमेय: किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग उसकी अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, बिना इन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किए बिना।

इस तरह

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

उत्तर: 96

*कृपया ध्यान दें कि 48 का वर्ग करने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है।

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में सभी किनारे 35 के बराबर हैं। बिंदु B और E के बीच की दूरी ज्ञात करें।

ऐसा कहा जाता है कि सभी किनारे 35 के बराबर होते हैं, यानी आधार पर स्थित षट्भुज की भुजा 35 होती है। और जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या उसी संख्या के बराबर है।

इस प्रकार,

उत्तर: 70

273353. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में, सभी किनारे पाँच में से चालीस जड़ों के बराबर हैं। बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए बीऔर E1.

एक समकोण त्रिभुज BB पर विचार करें 1 ई 1 . पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

धारा बी 1 ई 1 एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर है, और इसकी त्रिज्या षट्भुज की भुजा के बराबर है, अर्थात

इस प्रकार,

उत्तर: 200

273683. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में सभी किनारे 45 के बराबर हैं। कोण AD 1 D की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए।

एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें 1 जोड़ें विज्ञापनआधार के चारों ओर परिचालित वृत्त के व्यास के बराबर। यह ज्ञात है कि एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसकी भुजा के बराबर होती है।

इस प्रकार,