परिभाषा ।

परिबद्ध चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ वृत्त को स्पर्श करती हैं। इस मामले में, वृत्त को चतुर्भुज में अंकित कहा जाता है।

चतुर्भुज में अंकित वृत्त में क्या गुण होते हैं? चतुर्भुज में वृत्त को कब अंकित किया जा सकता है? अंकित वृत्त का केन्द्र कहाँ है?

प्रमेय 1.

एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो।

एक वृत्त को चतुर्भुज ABCD में अंकित किया जा सकता है यदि

और इसके विपरीत, यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो:

तो चतुर्भुज ABCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

प्रमेय 2.

चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है.

O चतुर्भुज ABCD के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

AO, BO, CO, DO चतुर्भुज ABCD के कोणों के समद्विभाजक हैं,

अर्थात्, ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO, आदि।

3. एक शीर्ष से फैली हुई भुजाओं पर अंकित वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु इस शीर्ष से समान दूरी पर हैं।

एएम=एएन,

5. चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से संबंधित होता है

जहाँ p चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है।

चूँकि एक परिबद्ध चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है, अर्धपरिधि सम्मुख भुजाओं के योगों के किसी भी जोड़े के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज ABCD के लिए p=AD+BC या p=AB+CD और

अनुभाग: अंक शास्त्र , प्रतियोगिता "पाठ के लिए प्रस्तुति"

पाठ के लिए प्रस्तुति

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

लक्ष्य।

शैक्षिक.वर्णित चतुर्भुज की अवधारणा, उसके गुणों, विशेषताओं की सफल महारत के लिए परिस्थितियाँ बनाना और उन्हें व्यवहार में लागू करने के कौशल में महारत हासिल करना।

विकासात्मक. गणितीय क्षमताओं का विकास, सामान्यीकरण करने और विचार की आगे और पीछे की प्रक्रिया को लागू करने की क्षमता के लिए परिस्थितियों का निर्माण।

शैक्षिक. चित्रों के सौंदर्यशास्त्र के माध्यम से सुंदरता की भावना पैदा करना, असामान्य पर आश्चर्य करना

निर्णय, संगठन का गठन, किसी के कार्य के परिणामों के लिए जिम्मेदारी।

1. परिबद्ध चतुर्भुज की परिभाषा का अध्ययन करें।

2. परिबद्ध चतुर्भुज की भुजाओं का गुण सिद्ध करें।

3. अंकित और परिबद्ध चतुर्भुजों की सम्मुख भुजाओं और सम्मुख कोणों के योग के गुणों के द्वंद्व का परिचय दें।

4. समस्याओं को हल करते समय विचारित प्रमेयों के व्यावहारिक अनुप्रयोग में अनुभव प्रदान करना।

5. नई सामग्री को आत्मसात करने के स्तर की प्रारंभिक निगरानी करना।

उपकरण:

• कंप्यूटर, प्रोजेक्टर;
• पाठ्यपुस्तक “ज्यामिति। सामान्य शिक्षा के लिए 10-11 ग्रेड”। संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। ऑटो स्तर ए.वी. पोगोरेलोव।

सॉफ्टवेयर: माइक्रोसॉफ्ट वर्ड, माइक्रोसॉफ्ट पावर प्वाइंट।

किसी शिक्षक को पाठ के लिए तैयार करते समय कंप्यूटर का उपयोग करना।

एक मानक विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम प्रोग्राम का उपयोग करके, पाठ के लिए निम्नलिखित बनाए गए थे:

1. प्रस्तुति।
2. टेबल्स।
3. ब्लूप्रिंट.
4. हैंडआउट.

शिक्षण योजना

आयोजन का समय. (दो मिनट।)

होमवर्क की जाँच करना. (5 मिनट।)

नई सामग्री सीखना. (28 मि.)

स्वतंत्र काम। (7 मि.)

गृहकार्य।(1 मिनट)

पाठ सारांश. (दो मिनट।)

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण. अभिवादन। पाठ का विषय और उद्देश्य बताएं। पाठ की तारीख और विषय को अपनी नोटबुक में रिकॉर्ड करें।

2. होमवर्क जाँचना।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

एक परिबद्ध बहुभुज की अवधारणा पर काम करें।

परिभाषा। बहुभुज कहलाता है बताया गया हैएक वृत्त के बारे में, यदि सभी उसके पक्ष चिंता कुछ घेरा.

सवाल। प्रस्तावित बहुभुजों में से कौन सा वर्णित है और कौन सा नहीं और क्यों?

<Презентация. Слайд №2>

परिबद्ध चतुर्भुज के गुणों का प्रमाण।

<Презентация. Слайд №3>

प्रमेय. एक परिबद्ध चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

छात्र पाठ्यपुस्तक के साथ काम करते हैं और प्रमेय के सूत्रीकरण को एक नोटबुक में लिखते हैं।

1. प्रमेय का सूत्रीकरण सशर्त वाक्य के रूप में प्रस्तुत करें।

2. प्रमेय की स्थिति क्या है?

3. प्रमेय का निष्कर्ष क्या है?

उत्तर। अगरएक चतुर्भुज एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है, वहसम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

प्रमाणन किया जाता है, छात्र अपनी नोटबुक में नोट्स बनाते हैं।

<Презентация. Слайд №4>

अध्यापक। टिप्पणी द्वंद्व परिबद्ध और उत्कीर्ण चतुर्भुजों की भुजाओं और कोणों के लिए स्थितियाँ।

अर्जित ज्ञान का समेकन.

कार्य.

वर्णित चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ 8 मीटर और 12 मीटर हैं। क्या इसका परिमाप ज्ञात करना संभव है?

तैयार चित्रों के आधार पर कार्य।<Презентация. Слайд №5>

उत्तर। 1. 10 मी. 2. 20 मी. 3. 21 मी

परिबद्ध चतुर्भुज की विशेषता का प्रमाण.

व्युत्क्रम प्रमेय बताएं।

उत्तर। यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। (स्लाइड 2, चित्र 7 पर लौटें) <Презентация. Слайд №2>

अध्यापक। प्रमेय का सूत्रीकरण स्पष्ट करें।

प्रमेय. यदि विपरीत भुजाओं का योग हो उत्तलचतुर्भुज बराबर हों तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना। पाठ्यपुस्तक का उपयोग करके एक परिबद्ध चतुर्भुज के परीक्षण के प्रमाण से परिचित हों।

अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग.

3. तैयार चित्रों के आधार पर कार्य।

1. क्या किसी चतुर्भुज में 9 मीटर और 4 मीटर, 10 मीटर और 3 मीटर विपरीत भुजाओं वाला एक वृत्त अंकित करना संभव है?

2. क्या 1 मीटर और 9 मीटर के आधार और 3 मीटर की ऊंचाई वाले एक समद्विबाहु समलंब में एक वृत्त अंकित करना संभव है?

<Презентация. Слайд №6>

नोटबुक में लिखित कार्य

.

काम। 6 मीटर और 8 मीटर विकर्णों वाले एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

<Презентация. Слайд № 7>

4. स्वतंत्र कार्य.

1 विकल्प

1. क्या वृत्त अंकित करना संभव है?

1) 7 मीटर और 10 मीटर भुजाओं वाले एक आयत में,

2. एक वृत्त के चारों ओर बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ 7 मीटर और 10 मीटर हैं।

चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

3. 4 मीटर और 16 मीटर आधार वाले एक समबाहु समलंब को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया गया है।

1) खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,

विकल्प 2

1. क्या वृत्त अंकित करना संभव है:

1) 6 मीटर और 13 मीटर भुजाओं वाले एक समांतर चतुर्भुज में,

2) चुकता?

2. एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ 9 मीटर और 11 मीटर हैं। चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

3. 5 मीटर भुजा वाला एक समबाहु समलंब 2 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है।

1) समलम्ब चतुर्भुज का आधार,

2) परिचालित वृत्त की त्रिज्या।

5. गृहकार्य. पी.86, क्रमांक 28, 29, 30.

6. पाठ सारांश. स्वतंत्र कार्य की जाँच की जाती है और ग्रेड दिए जाते हैं।

<Презентация. Слайд № 8>

1 . उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों का योग उसकी दो विपरीत भुजाओं के योग से अधिक होता है।

2 . यदि खंड विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं चतुष्कोष

a) बराबर हैं, तो चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं;

बी) लंबवत हैं, तो चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

3 . समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष पर कोणों के समद्विभाजक इसकी मध्य रेखा पर प्रतिच्छेद करते हैं।

4 . समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर हैं और। तब समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बना चतुर्भुज एक आयत होता है जिसके विकर्ण बराबर होते हैं।

5 . यदि ट्रेपेज़ॉइड के आधारों में से किसी एक पर कोणों का योग 90° है, तो ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उनके आधे-अंतर के बराबर है।

6 . किनारों पर अबऔर विज्ञापनचतुर्भुज ए बी सी डीअंक लिए गए एमऔर एनबहुत सीधा एमएसऔर एनसीसमांतर चतुर्भुज को तीन बराबर भागों में विभाजित करें। खोजो एमएन,अगर बीडी=डी.

7 . ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा खंड, जो ट्रेपेज़ॉइड के अंदर घिरा हुआ है, को इसके विकर्णों द्वारा तीन भागों में विभाजित किया गया है। फिर भुजाओं से सटे खंड एक दूसरे के बराबर होते हैं।

8 . आधारों के साथ समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा खींची जाती है। समलंब की पार्श्व भुजाओं के बीच घिरा इस रेखा का खंड बराबर है।

9 . एक ट्रेपेज़ॉइड को उसके आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा द्वारा विभाजित किया जाता है, जो और के बराबर होती है , दो समान समलम्ब चतुर्भुजों में। तब भुजाओं के बीच घिरा इस रेखा का खंड बराबर होता है।

10 . यदि निम्नलिखित में से एक स्थिति सत्य है, तो चार बिंदु ए, बी, सीऔर डीएक ही घेरे में लेट जाओ.

ए) सीएडी=सीबीडी= 90°.

बी) अंक एऔर मेंएक सीधी रेखा के एक तरफ लेटें सीडीऔर कोण पाजीकोण के बराबर सीबीडी.

ग) सीधा एसीऔर बी.डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना के बारे मेंऔर ओ ए ओएस=ओवी ओडी।

11 . किसी बिंदु को जोड़ने वाली सीधी रेखा आरएक चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन एबीसीडी के साथडॉट क्यूलाइन चौराहे अबऔर सीडी,पक्ष को विभाजित करता है विज्ञापनआधे में। फिर वह आधे-आधे और साइड में बांट देती है सूरज।

12 . उत्तल चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा तीन बराबर भागों में विभाजित होती है। विपरीत पक्षों पर संबंधित विभाजन बिंदु खंडों द्वारा जुड़े हुए हैं। फिर ये खंड एक दूसरे को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

13 . दो सीधी रेखाएँ उत्तल चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाओं में से प्रत्येक को तीन बराबर भागों में विभाजित करती हैं। फिर इन रेखाओं के बीच चतुर्भुज के क्षेत्रफल का एक तिहाई भाग होता है।

14 . यदि एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड, जिन पर अंकित वृत्त चतुर्भुज के विपरीत पक्षों को छूता है, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।

15 . यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो तो ऐसे चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

16. परस्पर लंबवत विकर्णों वाले एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के गुण।अहाता ए बी सी डीत्रिज्या के एक वृत्त में अंकित आर।इसके विकर्ण एसीऔर बी.डीपरस्पर लंबवत और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं आर।तब

a) त्रिभुज की माध्यिका एआरवीकिनारे पर लंबवत सीडी;

बी) टूटी हुई रेखा एओसीएक चतुर्भुज को विभाजित करता है ए बी सी डीदो समान आकार की आकृतियों में;

वी) एबी 2 +सीडी 2=4आर 2 ;

जी) एआर 2 +बीपी 2 +सीपी 2 +डीपी 2 = 4आर 2 और एबी 2 +बीसी 2 +सीडी 2 +एडी 2 =8आर 2;

ई) वृत्त के केंद्र से चतुर्भुज की भुजा तक की दूरी विपरीत भुजा की आधी है।

ई) यदि लंब किनारे की ओर गिर गए विज्ञापनशीर्ष से मेंऔर साथ,विकर्णों को पार करें एसीऔर बी.डीबिंदुओं पर इऔर एफ,वह बीसीएफई- रोम्बस;

छ) एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष एक बिंदु के प्रक्षेपण हैं आरचतुर्भुज के किनारों पर ए बी सी डी,- उत्कीर्ण और वर्णित दोनों;

ज) चतुर्भुज के परिवृत्त की स्पर्शरेखाओं से बना एक चतुर्भुज ए बी सी डी,इसके शीर्षों पर खींचा गया, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है।

17 . अगर ए, बी, सी, डी- चतुर्भुज की क्रमिक भुजाएँ, एसतो, इसका क्षेत्रफल है, और समानता केवल एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के लिए होती है जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।

18 . ब्रह्मगुप्त का सूत्र.यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर हों ए, बी, सीऔर डी,फिर उसका क्षेत्रफल एससूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है,

कहाँ - चतुर्भुज का अर्ध-परिधि।

19 . यदि भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है ए, बी, सी, डीअंकित किया जा सकता है और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो इसका क्षेत्रफल बराबर होता है .

20 . बिंदु P वर्ग के अंदर स्थित है ए बी सी डी,और कोण पीएबीकोण के बराबर आरवीएऔर बराबर है 15°. फिर त्रिकोण डीपीसी- समबाहु.

21 . यदि चक्रीय चतुर्भुज के लिए ए बी सी डीसमानता संतुष्ट है सीडी=एडी+बीसी,फिर इसके कोणों के समद्विभाजक एऔर मेंकिनारे पर प्रतिच्छेद करें सीडी.

22 . विपरीत पक्षों की निरंतरता अबऔर सीडीचक्रीय चतुर्भुज ए बी सी डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एम,और पार्टियां विज्ञापनऔर सूरज- बिंदु पर एन।तब

ए) कोण समद्विभाजक एएमडीऔर डी.एन.सी.परस्पर लंबवत;

बी) सीधा एमक्यूऔर एनक्यूचतुर्भुज की भुजाओं को समचतुर्भुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करें;

ग) प्रतिच्छेदन बिंदु क्यूइन समद्विभाजकों का एक भाग चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड पर स्थित होता है ए बी सी डी।

23 . टॉलेमी का प्रमेय.एक चक्रीय चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के दो युग्मों के गुणनफल का योग उसके विकर्णों के गुणनफल के बराबर होता है।

24 . न्यूटन का प्रमेय.किसी भी परिबद्ध चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्यबिंदु और अंकित वृत्त का केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

25 . मोंगे का प्रमेय.एक उत्कीर्ण चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर विपरीत भुजाओं पर खींची गई रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

27 . उत्तल चतुर्भुज के किनारों पर व्यास के रूप में बने चार वृत्त, पूरे चतुर्भुज को कवर करते हैं।

29 . उत्तल चतुर्भुज के दो विपरीत कोण अधिक कोण होते हैं। तब इन कोणों के शीर्षों को जोड़ने वाला विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा होता है।

30. किसी समांतर चतुर्भुज के बाहर उसकी भुजाओं पर बने वर्गों के केंद्र स्वयं एक वर्ग बनाते हैं।

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• यूक्लिडियन ज्यामिति में, उत्कीर्ण चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हैं। इस वृत्त को कहा जाता है परिबद्ध घेराचतुर्भुज, और कहा जाता है कि शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हैं। इस वृत्त का केंद्र और उसकी त्रिज्या क्रमशः कहलाती है केंद्रऔर RADIUSपरिबद्ध घेरा. इस चतुर्भुज के लिए अन्य शर्तें: एक चतुर्भुज एक वृत्त पर स्थित है, अंतिम चतुर्भुज की भुजाएँ वृत्त की जीवाएँ हैं। उत्तल चतुर्भुज को आमतौर पर उत्तल चतुर्भुज माना जाता है। नीचे दिए गए सूत्र और गुण उत्तल स्थिति में मान्य हैं।
• उनका कहना है कि अगर एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, वह इस वृत्त में चतुर्भुज अंकित है, और इसके विपरीत।

चतुर्भुज के शिलालेख के लिए सामान्य मानदंड

• एक उत्तल चतुर्भुज के चारों ओर $\backslash pi$रेडियंस), अर्थात्:

$\backslash कोण\; A+\backslash कोण\; C\; =\; \backslash कोण\; B\; +\; \backslash कोण\; D\; =\; 180^\backslash circ$

या चित्र संकेतन में:

$\backslash alpha\; +\; \backslash गामा\; =\; \backslash बीटा\; +\; \backslash डेल्टा\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• किसी भी चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है जिसमें इसकी भुजाओं के चार लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (या इसकी भुजाओं की मध्यस्थ रेखाएं, यानी, भुजाओं के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली भुजाओं के लंबवत)।
• आप किसी भी चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं जिसके समीप एक बाह्य कोण हो आंतरिक कोण दिया गया, विपरीत दूसरे आंतरिक कोण के बिल्कुल बराबर है आंतरिक कोना दिया गया. संक्षेप में, यह स्थिति चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाओं की प्रतिसमानांतरता की स्थिति है। चित्र में. नीचे हरे पंचकोण के बाहरी और निकटवर्ती आंतरिक कोने हैं।

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• चौराहा एक्सवृत्त का आंतरिक या बाहरी हो सकता है। पहले मामले में, हमें चक्रीय चतुर्भुज प्राप्त होता है ए बी सी डी, और बाद वाले मामले में हमें एक उत्कीर्ण चतुर्भुज प्राप्त होता है एबीडीसी. किसी वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करते समय, समानता बताती है कि उन खंडों की लंबाई का गुणनफल जिसमें बिंदु है एक्सएक विकर्ण को विभाजित करता है, उन खंडों की लंबाई के उत्पाद के बराबर होता है जिसमें बिंदु होता है एक्सदूसरे विकर्ण को विभाजित करता है। इस स्थिति को "इंटरसेक्टिंग कॉर्ड प्रमेय" के रूप में जाना जाता है। हमारे मामले में, अंकित चतुर्भुज के विकर्ण वृत्त की जीवाएँ हैं।
• शामिल करने का एक और मानदंड. उत्तल चतुर्भुज ए बी सी डीएक वृत्त अंकित है यदि और केवल यदि

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

चतुर्भुज के शिलालेख के लिए विशेष मानदंड

एक सरल खुदा हुआ (स्व-प्रतिच्छेदन रहित) चतुर्भुज उत्तल होता है। उत्तल चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन तभी किया जा सकता है जब इसके सम्मुख कोणों का योग 180° के बराबर हो ( $\backslash pi$रेडियन)। आप चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं:

• कोई भी प्रतिसमानांतर चतुर्भुज
• कोई भी आयत (एक विशेष स्थिति एक वर्ग है)
• कोई भी समद्विबाहु समलम्बाकार
• कोई भी चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत समकोण हों।

गुण

विकर्णों वाले सूत्र

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

अंतिम सूत्र में अंश की आसन्न भुजाओं के युग्म का एऔर डी, बीऔर सीउनके सिरों को एक विकर्ण लंबाई पर टिकाएं इ. एक समान कथन हर के लिए लागू होता है।

• विकर्ण लंबाई के लिए सूत्र(नतीजे ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$और $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

कोणों के साथ सूत्र

भुजाओं के अनुक्रम वाले चक्रीय चतुर्भुज के लिए ए , बी , सी , डी, अर्ध-परिधि के साथ पीऔर कोण एपार्टियों के बीच एऔर डी, त्रिकोणमितीय कोण कार्य एसूत्रों द्वारा दिये गये हैं

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

कोना θ विकर्णों के बीच है:p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• यदि विपरीत भुजाएँ एऔर सीएक कोण पर प्रतिच्छेद करें φ , तो यह बराबर है

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

कहाँ पीएक अर्ध-परिधि है. :पृ.31

एक चतुर्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या

परमेश्वर सूत्र

यदि एक चतुर्भुज क्रमागत भुजाओं वाला हो ए , बी , सी , डीऔर अर्ध-परिधि पीएक वृत्त में अंकित है, तो उसकी त्रिज्या के बराबर है परमेश्वर का सूत्र:पी। 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

इसकी व्युत्पत्ति भारतीय गणितज्ञ परमेश्वर ने 15वीं शताब्दी (लगभग 1380-1460) में की थी।

• चार आंकड़ों से बना उत्तल चतुर्भुज (दाईं ओर का चित्र देखें)। मिकेल की सीधी रेखाएँ, एक वृत्त में अंकित है यदि और केवल यदि मिकेल बिंदु एमएक चतुर्भुज रेखाओं के प्रतिच्छेदन के छह बिंदुओं में से दो को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है (वे जो चतुर्भुज के शीर्ष नहीं हैं)। तभी एमपर स्थित है ई.एफ..

एक मानदंड कि दो त्रिभुजों से बना एक चतुर्भुज एक निश्चित वृत्त में अंकित है

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• अंतिम शर्त विकर्ण के लिए व्यंजक देती है एफएक चतुर्भुज अपनी चारों भुजाओं की लंबाई से होकर एक वृत्त में बना हुआ है ( ए, बी, सी, डी). गुणा करते समय और एक दूसरे से बराबर करते समय यह सूत्र सार को व्यक्त करने वाले सूत्रों के बाएँ और दाएँ भागों का तुरंत अनुसरण करता है टॉलेमी की पहली और दूसरी प्रमेय(ऊपर देखें)।

एक कसौटी यह है कि एक त्रिभुज से एक सीधी रेखा द्वारा काटा गया चतुर्भुज एक निश्चित वृत्त में अंकित होता है

• एक सीधी रेखा, त्रिभुज की भुजा के प्रतिसमानांतर और उसे काटती हुई, उसमें से एक चतुर्भुज को काटती है, जिसके चारों ओर हमेशा एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
• परिणाम। एक प्रतिसमांतर चतुर्भुज के चारों ओर, जिसमें दो विपरीत भुजाएं प्रतिसमानांतर होती हैं, एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल

ब्रह्मगुप्त के सूत्र की विविधताएँ

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$जहाँ p चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है। $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

अन्य क्षेत्र सूत्र

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

कहाँ θ विकर्णों के बीच का कोई भी कोण। बशर्ते कि कोण एयह एक सीधी रेखा नहीं है, क्षेत्रफल को :p.26 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

कहाँ आरपरिवृत्त की त्रिज्या है. इसके प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में हमारे सामने असमानता है

$S\backslash le\; 2R^2,$

जहां समानता तभी संभव है जब यह चतुर्भुज एक वर्ग हो।

ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज

ब्रह्मगुप्त चतुर्भुजपूर्णांक भुजाओं की लंबाई, पूर्णांक विकर्ण और पूर्णांक क्षेत्रफल के साथ एक वृत्त में अंकित एक चतुर्भुज है। भुजाओं सहित सभी संभावित ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज ए , बी , सी , डी, विकर्णों के साथ इ , एफ, क्षेत्र के साथ एस, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या आरतर्कसंगत मापदंडों वाले निम्नलिखित भावों के हरों को हटाकर प्राप्त किया जा सकता है टी , यू, और वी :

$ए=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $एस=यूवी$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

उदाहरण

• एक वृत्त में अंकित विशेष चतुर्भुज हैं: आयत, वर्ग, समद्विबाहु या समद्विबाहु समलंब, प्रतिसमांतर चतुर्भुज।

लंबवत विकर्णों के साथ एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज (अंकित ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज)

लम्बवत विकर्णों वाले एक वृत्त में अंकित चतुर्भुजों के गुण

परिधि और क्षेत्रफल

लंबवत विकर्णों वाले एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के लिए, मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन एक विकर्ण को लंबाई के खंडों में विभाजित करता है पी 1 और पी 2, और दूसरे विकर्ण को लंबाई खंडों में विभाजित करता है क्यू 1 और क्यू 2. फिर (पहली समानता आर्किमिडीज़ का प्रस्ताव 11 है) लेम्मास की पुस्तक)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

कहाँ डी- वृत्त का व्यास. यह सत्य है क्योंकि विकर्ण वृत्त की जीवा पर लंबवत होते हैं। इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या आरके रूप में लिखा जा सकता है

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

या चतुर्भुज की भुजाओं के रूप में

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

यह उसका अनुसरण भी करता है

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• अंकित क्रमिक चतुर्भुजों के लिए, ब्रह्मगुप्त का प्रमेय मानता है:

यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज के लंब विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं $एम$, फिर इसके दो जोड़ेएंटीमीडियाट्रिस एक बिंदु से गुजरें $एम$.

टिप्पणी. इस प्रमेय में नीचे एंटी-मीडियाट्रिक्सखंड को समझें $एफ.ई.$दाईं ओर की आकृति में चतुर्भुज (त्रिभुज के किनारे पर लंबवत द्विभाजक (मीडियाट्रिक्स) के अनुरूप)। यह एक तरफ से लंबवत है और साथ ही चतुर्भुज के विपरीत दिशा के मध्य से होकर गुजरता है।

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टिप्पणियाँ

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यह सभी देखें

भुजाओं की संख्या से सही त्रिभुज चतुर्भुज यह सभी देखें

लेख में उन प्रकाशनों के संक्षिप्त ("हार्वर्ड") संदर्भ शामिल हैं जो सूचीबद्ध नहीं हैं या ग्रंथ सूची अनुभाग में गलत तरीके से वर्णित हैं। टूटी कड़ियों की सूची: , , , , , , , , , - अच्छा, क्या, मेरा कोसैक? (मरिया दिमित्रिग्ना ने नताशा को कोसैक कहा) - उसने नताशा को अपने हाथ से सहलाते हुए कहा, जो बिना किसी डर और खुशी के उसके हाथ के पास आई। - मुझे पता है कि पोशन एक लड़की है, लेकिन मैं उससे प्यार करता हूं। उसने अपनी विशाल जाली से नाशपाती के आकार की यखोन बालियां निकालीं और उन्हें नताशा को देते हुए, जो अपने जन्मदिन के लिए मुस्कुरा रही थी और शरमा रही थी, तुरंत उससे दूर हो गई और पियरे की ओर मुड़ गई। - एह, एह! दयालु! "यहाँ आओ," उसने बनावटी शांत और पतली आवाज में कहा। - चलो, मेरे प्रिय... और उसने खतरनाक तरीके से अपनी आस्तीनें और भी ऊंची कर लीं। पियरे उसके पास आया, भोलेपन से उसे अपने चश्मे से देख रहा था। - आओ, आओ, मेरे प्रिय! मैं ही वह एकमात्र व्यक्ति था जिसने मौका मिलने पर तुम्हारे पिता को सच बताया था, लेकिन ईश्वर तुम्हें इसकी आज्ञा देता है। वह रुक गयी. हर कोई चुप था, इंतजार कर रहा था कि क्या होगा, और महसूस कर रहा था कि यह केवल एक प्रस्तावना थी। - अच्छा, कहने को कुछ नहीं! अच्छा लड़का!... पिता अपने बिस्तर पर लेटे हुए हैं, और वह पुलिसकर्मी को भालू पर बिठाकर अपना मनोरंजन कर रहे हैं। यह शर्म की बात है, पिताजी, यह शर्म की बात है! युद्ध करना ही बेहतर होगा. वह मुड़ गई और अपना हाथ काउंट की ओर बढ़ाया, जो बड़ी मुश्किल से खुद को हंसने से रोक सका। - अच्छा, मेज पर आओ, मेरे पास चाय है, क्या समय हो गया है? - मरिया दिमित्रिग्ना ने कहा। गिनती मरिया दिमित्रिग्ना के साथ आगे बढ़ी; फिर काउंटेस, जिसका नेतृत्व एक हुस्सर कर्नल ने किया, वह सही व्यक्ति था जिसके साथ निकोलाई को रेजिमेंट के साथ मिलना था। अन्ना मिखाइलोव्ना - शिनशिन के साथ। बर्ग ने वेरा से हाथ मिलाया। मुस्कुराती हुई जूली कारागिना निकोलाई के साथ मेज पर चली गई। उनके पीछे अन्य जोड़े पूरे हॉल में फैले हुए थे, और उनके पीछे एक-एक करके बच्चे, शिक्षक और गवर्नेस थे। वेटरों में हलचल शुरू हो गई, कुर्सियाँ खड़खड़ाने लगीं, गायन मंडली में संगीत बजने लगा और मेहमान अपनी जगह पर बैठ गए। काउंट के घरेलू संगीत की आवाज़ की जगह चाकू और कांटों की आवाज़, मेहमानों की बकबक और वेटरों के शांत कदमों ने ले ली। मेज़ के एक छोर पर काउंटेस सिरहाने बैठी थी। दाईं ओर मरिया दिमित्रिग्ना हैं, बाईं ओर अन्ना मिखाइलोव्ना और अन्य अतिथि हैं। दूसरे छोर पर गिनती बैठी थी, बायीं ओर हुस्सर कर्नल, दाहिनी ओर शिनशिन और अन्य पुरुष अतिथि बैठे थे। लंबी मेज के एक तरफ वृद्ध युवा लोग हैं: बर्ग के बगल में वेरा, बोरिस के बगल में पियरे; दूसरी ओर - बच्चे, शिक्षक और शासन। क्रिस्टल, बोतलों और फलों के फूलदानों के पीछे से, काउंट ने अपनी पत्नी और उसकी नीली रिबन वाली लंबी टोपी को देखा और खुद को न भूलते हुए, लगन से अपने पड़ोसियों के लिए शराब डाली। काउंटेस ने भी, अनानास के पीछे से, एक गृहिणी के रूप में अपने कर्तव्यों को नहीं भूलते हुए, अपने पति पर महत्वपूर्ण नज़र डाली, जिसका गंजा सिर और चेहरा, उसे ऐसा लग रहा था, उनकी लालिमा में उसके भूरे बालों से बहुत अलग थे। महिलाओं की ओर से लगातार बड़बड़ाना जारी था; पुरुषों के कमरे में, आवाज़ें तेज़ और तेज़ सुनाई देती थीं, ख़ासकर हसर कर्नल की, जो इतना खाता-पीता था, और अधिक शरमाता था, कि गिनती पहले से ही उसे अन्य मेहमानों के लिए एक उदाहरण के रूप में स्थापित कर रही थी। बर्ग ने हल्की मुस्कान के साथ वेरा से कहा कि प्यार कोई सांसारिक नहीं, बल्कि एक स्वर्गीय एहसास है। बोरिस ने अपने नए दोस्त पियरे को मेज पर मेहमानों का नाम दिया और नताशा से नज़रें मिलाईं, जो उसके सामने बैठी थी। पियरे कम बोलता था, नये चेहरों को देखता था और खूब खाता था। दो सूपों से शुरुआत करते हुए, जिसमें से उन्होंने एक ला टोर्ट्यू, [कछुआ,] और कुलेब्याकी और हेज़ल ग्राउज़ को चुना, उन्होंने एक भी डिश या एक भी वाइन नहीं छोड़ी, जिसे बटलर ने रहस्यमय तरीके से एक नैपकिन में लपेटी हुई बोतल में डाल दिया था। अपने पड़ोसी के कंधे के पीछे से, या तो "ड्रे मदीरा", या "हंगेरियन", या "राइन वाइन" कहें। उन्होंने काउंट के मोनोग्राम वाले चार क्रिस्टल ग्लासों में से पहला ग्लास रखा, जो प्रत्येक उपकरण के सामने खड़ा था, और मेहमानों को तेजी से सुखद अभिव्यक्ति के साथ देखते हुए, खुशी से पी लिया। उसके सामने बैठी नताशा ने बोरिस को ऐसे देखा जैसे तेरह साल की लड़कियाँ उस लड़के को देखती हैं जिसके साथ उन्होंने पहली बार चुंबन किया था और जिसके साथ वे प्यार करती हैं। उसकी यही नज़र कभी-कभी पियरे की ओर मुड़ जाती थी, और इस मज़ेदार, जीवंत लड़की की नज़र में वह खुद हँसना चाहता था, न जाने क्यों। निकोलाई सोन्या से दूर, जूली कारागिना के बगल में बैठ गया, और फिर से उसी अनैच्छिक मुस्कान के साथ उसने उससे बात की। सोन्या भव्य रूप से मुस्कुराई, लेकिन जाहिर तौर पर ईर्ष्या से परेशान थी: वह पीली पड़ गई, फिर शरमा गई और अपनी पूरी ताकत से सुनने लगी कि निकोलाई और जूली एक-दूसरे से क्या कह रहे थे। गवर्नेस ने बेचैनी से चारों ओर देखा, जैसे कि अगर किसी ने बच्चों को नाराज करने का फैसला किया तो वह जवाबी कार्रवाई करने की तैयारी कर रही थी। जर्मन ट्यूटर ने जर्मनी में अपने परिवार को लिखे एक पत्र में हर चीज का विस्तार से वर्णन करने के लिए सभी प्रकार के व्यंजनों, मिठाइयों और वाइन को याद करने की कोशिश की, और इस तथ्य से बहुत आहत हुए कि बटलर एक बोतल को रुमाल में लपेटकर ले गया। उसके चारों ओर. जर्मन ने भौंहें सिकोड़ लीं, यह दिखाने की कोशिश की कि वह यह शराब नहीं लेना चाहता था, लेकिन नाराज था क्योंकि कोई भी यह नहीं समझना चाहता था कि उसे अपनी प्यास बुझाने के लिए शराब की जरूरत है, लालच से नहीं, बल्कि कर्तव्यनिष्ठ जिज्ञासा से। मेज के पुरुष छोर पर बातचीत अधिक से अधिक एनिमेटेड हो गई। कर्नल ने कहा कि युद्ध की घोषणा करने वाला घोषणापत्र पहले ही सेंट पीटर्सबर्ग में प्रकाशित हो चुका था और जो प्रति उन्होंने खुद देखी थी वह अब कमांडर-इन-चीफ को कूरियर द्वारा पहुंचा दी गई थी। - और हमारे लिए बोनापार्ट से लड़ना मुश्किल क्यों है? - शिनशिन ने कहा। - II ए देजा रबट्टू ले कैक्वेट अल "ऑट्रिच। जे क्रिन्स, क्यू सेटे फोइस सीई ने सोइट नोट्रे टूर। [उसने पहले ही ऑस्ट्रिया के अहंकार को खत्म कर दिया है। मुझे डर है कि अब हमारी बारी नहीं आएगी।] कर्नल एक हट्टा-कट्टा, लंबा और उत्साही जर्मन था, जाहिर तौर पर एक नौकर और देशभक्त था। वह शिनशिन की बातों से आहत था। "और फिर, हम एक अच्छे संप्रभु हैं," उन्होंने ई के बजाय ई और ई के बजाय ई का उच्चारण करते हुए कहा। "तो फिर सम्राट यह जानता है। उसने अपने घोषणापत्र में कहा कि वह रूस को खतरे में डालने वाले खतरों और साम्राज्य की सुरक्षा, उसकी गरिमा और उसके गठबंधनों की पवित्रता को उदासीनता से देख सकता है," उन्होंने कहा, किसी कारण से विशेष रूप से जोर देते हुए शब्द "यूनियन्स", मानो यही मामले का संपूर्ण सार था। और अपनी विशिष्ट अचूक, आधिकारिक स्मृति के साथ, उन्होंने घोषणापत्र के शुरुआती शब्दों को दोहराया... "और इच्छा, संप्रभु का एकमात्र और अपरिहार्य लक्ष्य: ठोस नींव पर यूरोप में शांति स्थापित करना - उन्होंने अब इसका हिस्सा भेजने का फैसला किया विदेश में सेना और इस इरादे को हासिल करने के लिए नए प्रयास करें।” "इसीलिए, हम एक अच्छे संप्रभु हैं," उन्होंने एक ग्लास वाइन पीते हुए और प्रोत्साहन के लिए पीछे मुड़कर देखते हुए निष्कर्ष निकाला। - कनैसेज़ वौस ले कहावत: [आप कहावत जानते हैं:] "एरेमा, एरेमा, तुम्हें घर पर बैठना चाहिए, अपनी तकलियों को तेज करना चाहिए," शिनशिन ने कहा, जीतते हुए और मुस्कुराते हुए। - सेला नूस कन्विएंट ए मर्विल्ले। [यह हमारे काम आता है।] सुवोरोव क्यों - उन्होंने उसे काट दिया, एक प्लेट कॉउचर, [उसके सिर पर] और हमारे सुवोरोव अब कहां हैं? जे वौस डिमांडे अन पेउ, [मैं आपसे पूछता हूं,] - उन्होंने कहा, लगातार रूसी से फ्रेंच में कूदते हुए। "हमें खून की आखिरी बूंद तक लड़ना चाहिए," कर्नल ने मेज पर हाथ मारते हुए कहा, "और अपने सम्राट के लिए मरना चाहिए, और फिर सब कुछ ठीक हो जाएगा।" और जितना संभव हो उतना बहस करने के लिए (उन्होंने विशेष रूप से "संभव" शब्द पर अपनी आवाज निकाली), जितना संभव हो उतना कम," उन्होंने समाप्त किया, फिर से गिनती की ओर मुड़ते हुए। "इसी तरह हम पुराने हुस्सरों का मूल्यांकन करते हैं, बस इतना ही।" आप कैसे निर्णय करते हैं, युवक और युवा हुस्सर? - उन्होंने निकोलाई की ओर मुड़ते हुए कहा, जिन्होंने यह सुनकर कि यह युद्ध के बारे में था, अपने वार्ताकार को छोड़ दिया और अपनी सारी आँखों से देखा और अपने सभी कानों से कर्नल की बात सुनी। "मैं आपसे पूरी तरह सहमत हूं," निकोलाई ने जवाब दिया, पूरी तरह से लाल हो गए, प्लेट को घुमाया और चश्मे को ऐसे निर्णायक और हताश नज़र से फिर से व्यवस्थित किया, जैसे कि इस समय वह एक बड़े खतरे के संपर्क में था, "मुझे विश्वास है कि रूसियों को मरना होगा या जीतो,'' उन्होंने कहा। दूसरों की तरह ही महसूस करना, शब्द पहले ही कहा जा चुका था, कि यह वर्तमान अवसर के लिए बहुत उत्साही और आडंबरपूर्ण था और इसलिए अजीब था। "सी"एस्ट बिएन ब्यू सी क्यू वौस वेनेज़ डे डायर, [अद्भुत! आपने जो कहा वह अद्भुत है],'' जूली ने कहा, जो उसके बगल में बैठी थी, आह भरते हुए। सोन्या पूरी तरह कांप गई और कानों तक, कानों के पीछे और कानों तक शरमा गई। गर्दन और कंधों तक, जब निकोलाई बोल रहे थे, पियरे ने कर्नल के भाषण सुने और अनुमोदन में अपना सिर हिलाया। "यह अच्छा है," उन्होंने कहा। “असली हुस्सर, जवान आदमी,” मेज़ पर फिर से हाथ मारते हुए कर्नल चिल्लाया। -तुम वहाँ किस बारे में शोर मचा रहे हो? - मरिया दिमित्रिग्ना की बास की आवाज अचानक मेज के पार सुनाई दी। -तुम मेज क्यों खटखटा रहे हो? - वह हुस्सर की ओर मुड़ी, - आप किसके बारे में उत्साहित हो रहे हैं? ठीक है, आपको लगता है कि फ्रांसीसी आपके सामने हैं? "मैं सच कह रहा हूं," हुस्सर ने मुस्कुराते हुए कहा। "युद्ध के बारे में सब कुछ," काउंट मेज पर चिल्लाया। - आख़िरकार, मेरा बेटा आ रहा है, मरिया दिमित्रिग्ना, मेरा बेटा आ रहा है। - और मेरे चार बेटे सेना में हैं, लेकिन मुझे कोई चिंता नहीं है। सब कुछ भगवान की इच्छा है: आप चूल्हे पर पड़े-पड़े मर जाएंगे, और युद्ध में भगवान दया करेंगे,'' मेज के दूसरे छोर से मरिया दिमित्रिग्ना की मोटी आवाज बिना किसी प्रयास के सुनाई दी। - यह सच है। और बातचीत फिर से केंद्रित हो गई - महिलाएं मेज के अपने अंत में थीं, पुरुष उसके पास थे। "लेकिन आप नहीं पूछेंगे," छोटे भाई ने नताशा से कहा, "लेकिन आप नहीं पूछेंगे!" "मैं पूछूंगी," नताशा ने जवाब दिया। हताश और प्रसन्न संकल्प व्यक्त करते हुए उसका चेहरा अचानक लाल हो गया। वह उठ खड़ी हुई, पियरे को, जो उसके सामने बैठा था, सुनने के लिए आमंत्रित किया, और अपनी माँ की ओर मुड़ी: - माँ! - उसकी बचकानी, कर्कश आवाज मेज पर सुनाई दी। - आप क्या चाहते हैं? - काउंटेस ने डर के मारे पूछा, लेकिन, अपनी बेटी के चेहरे से यह देखकर कि यह एक शरारत थी, उसने सख्ती से अपना हाथ लहराया, अपने सिर से धमकी भरा और नकारात्मक इशारा किया। बातचीत बंद हो गई. - माँ! यह किस प्रकार का केक होगा? - नताशा की आवाज बिना टूटे और भी निर्णायक लग रही थी। काउंटेस नाराज़ होना चाहती थी, लेकिन नहीं कर सकी। मरिया दिमित्रिग्ना ने अपनी मोटी उंगली हिलाई। "कोसैक," उसने धमकी भरे लहजे में कहा। अधिकांश मेहमानों ने बड़ों की ओर देखा, समझ नहीं आ रहा था कि इस तरकीब को कैसे अपनाया जाए। - मैं यहां हूं! - काउंटेस ने कहा। - माँ! कैसा केक होगा? - नताशा अब साहसपूर्वक और मनमौजी ढंग से खुशी से चिल्लाई, पहले से ही आश्वस्त थी कि उसकी शरारत को खूब सराहा जाएगा। सोन्या और मोटी पेट्या हँसी से छिप रहे थे। "यही कारण है कि मैंने पूछा," नताशा ने अपने छोटे भाई और पियरे से फुसफुसाया, जिसे उसने फिर से देखा। "आइसक्रीम, लेकिन वे तुम्हें यह नहीं देंगे," मरिया दिमित्रिग्ना ने कहा। नताशा ने देखा कि डरने की कोई बात नहीं है, और इसलिए वह मरिया दिमित्रिग्ना से नहीं डरती थी। - मरिया दिमित्रिग्ना? क्या आइसक्रीम! मुझे क्रीम पसंद नहीं है. - गाजर। - नहीं, कौन सा? मरिया दिमित्रिग्ना, कौन सी? - वह लगभग चीख पड़ी। - मैं जानना चाहता हूँ! मरिया दिमित्रिग्ना और काउंटेस हँसे, और सभी मेहमान उनके पीछे हो लिए। हर कोई मरिया दिमित्रिग्ना के जवाब पर नहीं, बल्कि इस लड़की के अतुलनीय साहस और निपुणता पर हँसा, जो जानती थी कि उसने मरिया दिमित्रिग्ना के साथ ऐसा व्यवहार करने की हिम्मत कैसे की। नताशा तभी पीछे पड़ गईं जब उन्हें बताया गया कि अनानास होगा. आइसक्रीम से पहले शैम्पेन परोसी गई। संगीत फिर से बजने लगा, काउंट ने काउंटेस को चूमा, और मेहमानों ने खड़े होकर काउंटेस को बधाई दी, काउंट, बच्चों और एक-दूसरे के साथ मेज पर गिलास टकराते हुए। वेटर फिर से अंदर भागे, कुर्सियाँ खड़खड़ाने लगीं, और उसी क्रम में, लेकिन अधिक लाल चेहरों के साथ, मेहमान ड्राइंग रूम और काउंट के कार्यालय में लौट आए। बोस्टन टेबलों को अलग कर दिया गया, पार्टियों की व्यवस्था की गई, और काउंट के मेहमान दो लिविंग रूम, एक सोफा रूम और एक लाइब्रेरी में बस गए। काउंट, अपने पत्ते फैलाते हुए, बड़ी मुश्किल से दोपहर की झपकी की आदत का विरोध कर सका और हर बात पर हँसता रहा। काउंटेस द्वारा उकसाए गए युवा, क्लैविकॉर्ड और वीणा के आसपास एकत्र हुए। सबके अनुरोध पर, जूली ने सबसे पहले वीणा पर विविधताओं के साथ एक टुकड़ा बजाया और, अन्य लड़कियों के साथ, नताशा और निकोलाई से, जो अपनी संगीतमयता के लिए जानी जाती हैं, कुछ गाने के लिए कहने लगीं। नताशा, जिसे एक बड़ी लड़की के रूप में संबोधित किया जाता था, जाहिर तौर पर इस पर बहुत गर्व करती थी, लेकिन साथ ही वह डरपोक भी थी। - हम क्या गाने जा रहे हैं? - उसने पूछा। "कुंजी," निकोलाई ने उत्तर दिया। - अच्छा, चलो जल्दी करें। बोरिस, यहाँ आओ,'' नताशा ने कहा। - सोन्या कहाँ है? उसने इधर-उधर देखा और यह देखकर कि उसकी सहेली कमरे में नहीं है, उसके पीछे दौड़ी। सोन्या के कमरे में भागते हुए और अपनी सहेली को वहाँ न पाकर, नताशा नर्सरी में भागी - और सोन्या वहाँ नहीं थी। नताशा को एहसास हुआ कि सोन्या छाती पर गलियारे में थी। गलियारे में संदूक रोस्तोव घर की युवा महिला पीढ़ी के दुखों का स्थान था। दरअसल, सोन्या अपनी हवादार गुलाबी पोशाक में, उसे कुचलते हुए, अपनी नानी के गंदे धारीदार पंखों वाले बिस्तर पर छाती के बल लेट गई और, अपनी उंगलियों से अपना चेहरा ढँकते हुए, अपने नंगे कंधों को हिलाते हुए फूट-फूट कर रोने लगी। पूरे दिन जन्मदिन से उत्साहित नताशा का चेहरा अचानक बदल गया: उसकी आँखें बंद हो गईं, फिर उसकी चौड़ी गर्दन काँप उठी, उसके होंठों के कोने झुक गए। - सोन्या! तुम क्या हो?... क्या, तुम्हें क्या परेशानी है? वाह वाह!… और नताशा, अपना बड़ा मुंह खोलकर और पूरी तरह से मूर्ख बनकर, एक बच्चे की तरह दहाड़ने लगी, न जाने इसका कारण और केवल इसलिए कि सोन्या रो रही थी। सोन्या अपना सिर उठाना चाहती थी, जवाब देना चाहती थी, लेकिन वह ऐसा नहीं कर सकी और और भी अधिक छिप गई। नताशा नीले पंख वाले बिस्तर पर बैठकर और अपने दोस्त को गले लगाते हुए रोई। अपनी ताकत इकट्ठा करके, सोन्या उठ खड़ी हुई, अपने आँसू पोंछने लगी और कहानी बताने लगी। - निकोलेंका एक हफ्ते में जा रही है, उसका...कागज...बाहर आ गया...उसने मुझे खुद बताया...हां, मैं अब भी नहीं रोऊंगी... (उसने कागज का वह टुकड़ा दिखाया जो उसने पकड़ रखा था उसका हाथ: यह निकोलाई द्वारा लिखी गई कविता थी) मैं अब भी नहीं रोऊंगा, लेकिन तुम नहीं रो सकते... कोई नहीं समझ सकता... उसके पास किस तरह की आत्मा है। और वह फिर रोने लगी क्योंकि उसकी आत्मा बहुत अच्छी थी। "तुम्हें अच्छा लग रहा है... मैं तुमसे ईर्ष्या नहीं करती... मैं तुमसे प्यार करती हूँ, और बोरिस भी," उसने थोड़ी ताकत जुटाते हुए कहा, "वह प्यारा है... तुम्हारे लिए कोई बाधा नहीं है।" और निकोलाई मेरा चचेरा भाई है... मुझे खुद... महानगर की जरूरत है... और यह असंभव है। और फिर, अगर माँ... (सोन्या ने काउंटेस की बात मानी और अपनी माँ को बुलाया), तो वह कहेगी कि मैं निकोलाई का करियर बर्बाद कर रही हूँ, मेरे पास कोई दिल नहीं है, कि मैं कृतघ्न हूँ, लेकिन वास्तव में... भगवान के लिए... (उसने खुद को पार कर लिया) मैं भी उससे बहुत प्यार करता हूं, और आप सभी से, केवल वेरा से... किस लिए? मैंने उसके साथ क्या किया? मैं आपका बहुत आभारी हूं कि मुझे अपना सब कुछ बलिदान करने में खुशी होगी, लेकिन मेरे पास कुछ भी नहीं है... सोन्या अब बोल नहीं सकी और उसने फिर से अपना सिर अपने हाथों और पंख वाले बिस्तर में छिपा लिया। नताशा शांत होने लगी, लेकिन उसके चेहरे से लग रहा था कि वह अपनी दोस्त के दुःख का महत्व समझती है। - सोन्या! - उसने अचानक कहा, जैसे उसे अपने चचेरे भाई के दुःख का असली कारण पता चल गया हो। - यह सही है, दोपहर के भोजन के बाद वेरा ने आपसे बात की? हाँ? - हाँ, निकोलाई ने स्वयं ये कविताएँ लिखीं, और मैंने दूसरों की नकल की; उसने उन्हें मेरी मेज पर पाया और कहा कि वह उन्हें मम्मा को दिखाएगी, और यह भी कहा कि मैं कृतघ्न हूँ, माँ उसे कभी मुझसे शादी करने की अनुमति नहीं देगी, और वह जूली से शादी करेगा। आप देखिए कि वह पूरे दिन उसके साथ कैसा रहता है... नताशा! किस लिए?… और फिर वह पहले से भी अधिक फूट-फूट कर रोने लगी। नताशा ने उसे उठाया, गले लगाया और आंसुओं के बीच मुस्कुराते हुए उसे शांत कराने लगी। - सोन्या, उस पर विश्वास मत करो, प्रिये, उस पर विश्वास मत करो। क्या आपको याद है कि हम तीनों ने सोफे वाले कमरे में निकोलेंका से कैसे बात की थी; रात के खाने के बाद याद है? आख़िरकार, हमने सब कुछ तय कर लिया कि यह कैसा होगा। मुझे याद नहीं है कि कैसे, लेकिन आपको याद है कि सब कुछ कैसे अच्छा था और सब कुछ संभव था। चाचा शिनशिन के भाई की शादी चचेरी बहन से हुई है, और हम दूसरे चचेरे भाई हैं। और बोरिस ने कहा कि ये बहुत संभव है. तुम्हें पता है, मैंने उसे सब कुछ बता दिया। और वह बहुत स्मार्ट और अच्छा है,'' नताशा ने कहा... ''तुम, सोन्या, रोओ मत, मेरी प्यारी डार्लिंग, सोन्या।'' - और उसने हंसते हुए उसे चूम लिया। - आस्था बुरी है, भगवान उसे आशीर्वाद दें! लेकिन सब कुछ ठीक हो जाएगा, और वह माँ को नहीं बताएगी; निकोलेंका इसे स्वयं कहेंगे, और उन्होंने जूली के बारे में सोचा भी नहीं। और उसने उसके सिर को चूम लिया. सोन्या उठ खड़ी हुई, और बिल्ली का बच्चा खुश हो गया, उसकी आँखें चमक उठीं, और वह अपनी पूंछ हिलाने, अपने मुलायम पंजों पर कूदने और फिर से गेंद से खेलने के लिए तैयार लग रहा था, जैसा कि उसके लिए उचित था। - आपको लगता है? सही? भगवान से? - उसने जल्दी से अपनी पोशाक और बाल ठीक करते हुए कहा। - सचमुच, भगवान की कसम! - नताशा ने अपनी सहेली की चोटी के नीचे बिखरे हुए मोटे बालों को सीधा करते हुए उत्तर दिया। और वे दोनों हंस पड़े. - ठीक है, चलिए "द की" गाते हैं। - के लिए चलते हैं। "तुम्हें पता है, यह मोटा पियरे जो मेरे सामने बैठा था वह कितना मजाकिया है!" - नताशा ने अचानक रुकते हुए कहा। - मुझे बहुत मज़ा आ रहा है! और नताशा गलियारे से नीचे भाग गई। सोन्या, फुलाना झाड़ते हुए और कविताओं को अपनी छाती में, उभरी हुई छाती की हड्डियों के साथ गर्दन तक छिपाते हुए, हल्के, हर्षित कदमों के साथ, एक लाल चेहरे के साथ, गलियारे के साथ सोफे तक नताशा के पीछे भागी। मेहमानों के अनुरोध पर, युवाओं ने "की" चौकड़ी गाई, जो सभी को बहुत पसंद आई; फिर निकोलाई ने वह गाना दोबारा गाया जो उसने सीखा था। एक सुहानी रात में, चांदनी में, अपने आप को खुशी से कल्पना करो कि दुनिया में अब भी कोई है, आपके बारे में भी कौन सोचता है! जैसे वह, अपने सुंदर हाथ से, सुनहरी वीणा के साथ चलना, अपने भावपूर्ण सामंजस्य के साथ खुद को बुला रहा है, तुम्हें बुला रहा है! एक या दो दिन और, और स्वर्ग आ जाएगा... लेकिन आह! तुम्हारा दोस्त जीवित नहीं रहेगा! और उन्होंने अभी अंतिम शब्द गाना समाप्त नहीं किया था जब हॉल में युवा लोग नृत्य करने की तैयारी कर रहे थे और गायक मंडली के संगीतकारों ने अपने पैर पटकना और खांसना शुरू कर दिया। पियरे लिविंग रूम में बैठे थे, जहां शिनशिन ने, जैसे कि विदेश से आए किसी आगंतुक के साथ, उनके साथ एक राजनीतिक बातचीत शुरू की जो पियरे के लिए उबाऊ थी, जिसमें अन्य लोग भी शामिल हो गए। जब संगीत बजना शुरू हुआ, तो नताशा लिविंग रूम में दाखिल हुई और सीधे पियरे के पास जाकर हँसते और शरमाते हुए बोली: - माँ ने मुझसे कहा था कि तुम्हें डांस करने के लिए कहूँ। "मैं आंकड़ों को भ्रमित करने से डरता हूं," पियरे ने कहा, "लेकिन अगर आप मेरे शिक्षक बनना चाहते हैं..." और उसने अपना मोटा हाथ नीचे करते हुए पतली लड़की की ओर बढ़ाया। जब जोड़े बस रहे थे और संगीतकार लाइन में लगे थे, पियरे अपनी छोटी महिला के साथ बैठ गया। नताशा पूरी तरह खुश थी; उसने विदेश से आए किसी व्यक्ति के साथ जमकर डांस किया। वह सबके सामने बैठी और एक बड़ी लड़की की तरह उससे बात की। उसके हाथ में एक पंखा था, जिसे एक युवती ने उसे पकड़ने के लिए दिया था। और, सबसे धर्मनिरपेक्ष मुद्रा धारण करते हुए (भगवान जानता है कि उसे यह कहां और कब पता चला), उसने खुद को पंखा करते हुए और पंखे के माध्यम से मुस्कुराते हुए, अपने सज्जन से बात की। - यह क्या है, यह क्या है? देखो, देखो,'' बूढ़ी काउंटेस ने कहा, हॉल से गुजरते हुए और नताशा की ओर इशारा करते हुए। नताशा शरमा गई और हंस पड़ी. - अच्छा, तुम्हारे बारे में क्या, माँ? अच्छा, आप किस प्रकार के शिकार की तलाश में हैं? यहाँ आश्चर्य की क्या बात है? तीसरे इको-सेशन के बीच में, लिविंग रूम में कुर्सियाँ, जहाँ काउंट और मरिया दिमित्रिग्ना खेल रहे थे, हिलने लगीं, और अधिकांश सम्मानित अतिथि और बूढ़े लोग, लंबे समय तक बैठने और बटुए और पर्स रखने के बाद खिंच गए वे अपनी जेबों में भरकर हॉल के दरवाज़ों से बाहर चले गए। मरिया दिमित्रिग्ना गिनती के साथ आगे बढ़ीं - दोनों प्रसन्न चेहरों के साथ। काउंट ने बैले की तरह चंचल विनम्रता के साथ अपना गोल हाथ मरिया दिमित्रिग्ना को दिया। वह सीधा हो गया, और उसका चेहरा एक विशेष रूप से बहादुर, धूर्त मुस्कान से चमक उठा, और जैसे ही इकोसेज़ का अंतिम चित्र नृत्य किया गया, उसने संगीतकारों के लिए ताली बजाई और पहले वायलिन को संबोधित करते हुए गाना बजानेवालों को चिल्लाया: - शिमशोन! क्या आप डेनिला कुपोर को जानते हैं? यह काउंट का पसंदीदा नृत्य था, जिसे उन्होंने अपनी युवावस्था में नृत्य किया था। (डैनिलो कुपोर वास्तव में एंगल्स का एक व्यक्ति था।) "पिताजी को देखो," नताशा ने पूरे हॉल में चिल्लाया (यह पूरी तरह से भूल गई कि वह एक बड़े नृत्य के साथ नृत्य कर रही थी), अपने घुंघराले सिर को घुटनों पर झुकाकर और पूरे हॉल में अपनी खनकती हंसी के साथ गूंज उठी। वास्तव में, हॉल में हर कोई उस हंसमुख बूढ़े व्यक्ति को खुशी की मुस्कान के साथ देख रहा था, जिसने अपनी प्रतिष्ठित महिला मरिया दिमित्रिग्ना के बगल में, जो उससे लंबी थी, अपनी बाहों को गोल किया, उन्हें समय पर हिलाया, अपने कंधों को सीधा किया, अपने कंधों को मोड़ा। पैर, हल्के से पैर पटकते हुए, और अपने गोल चेहरे पर और अधिक खिलती हुई मुस्कान के साथ, उन्होंने दर्शकों को आने वाले समय के लिए तैयार किया। जैसे ही डेनिला कुपोर की हर्षित, उद्दंड आवाजें सुनाई दीं, जो एक हर्षित बकबक के समान थीं, हॉल के सभी दरवाजे अचानक एक तरफ पुरुषों के चेहरों से भर गए और दूसरी तरफ नौकरों की महिलाओं के मुस्कुराते चेहरों से भर गए, जो बाहर आ रहे थे। प्रसन्न स्वामी को देखो. - पिता हमारे हैं! गरुड़! - नानी ने एक दरवाजे से जोर से कहा। काउंट अच्छा नृत्य करता था और यह जानता था, लेकिन उसकी महिला यह नहीं जानती थी और वह अच्छा नृत्य नहीं करना चाहती थी। उसका विशाल शरीर उसकी शक्तिशाली भुजाओं के साथ सीधा खड़ा था (उसने रेटिकुल को काउंटेस को सौंप दिया); केवल उसका सख्त लेकिन सुंदर चेहरा नाच रहा था। गिनती के पूरे गोल आंकड़े में जो व्यक्त किया गया था, वह मरिया दिमित्रिग्ना में केवल एक तेजी से मुस्कुराते चेहरे और एक हिलती नाक में व्यक्त किया गया था। लेकिन अगर काउंट, अधिक से अधिक असंतुष्ट होता जा रहा था, तो दर्शकों को अपने कोमल पैरों की चतुर घुमावों और हल्की छलांगों के आश्चर्य से मंत्रमुग्ध कर देता था, मरिया दिमित्रिग्ना, अपने कंधों को हिलाने या बारी-बारी से अपनी बाहों को गोल करने और मुद्रांकन करने में थोड़े से उत्साह के साथ, कोई जवाब नहीं देती थी। योग्यता पर कम प्रभाव, जिससे सभी ने उसके मोटापे और हमेशा मौजूद गंभीरता की सराहना की। नृत्य और अधिक जीवंत हो गया। समकक्ष एक मिनट के लिए भी ध्यान अपनी ओर आकर्षित नहीं कर सके और उन्होंने ऐसा करने की कोशिश भी नहीं की. हर चीज़ पर काउंट और मरिया दिमित्रिग्ना का कब्जा था। नताशा ने उन सभी उपस्थित लोगों की आस्तीन और पोशाकें खींच लीं, जो पहले से ही नर्तकियों पर नज़र रख रहे थे, और मांग की कि वे डैडी को देखें। नृत्य के अंतराल के दौरान, काउंट ने गहरी सांस ली, हाथ हिलाया और संगीतकारों को जल्दी से बजाने के लिए चिल्लाया। तेज़, तेज़ और तेज़, तेज़ और तेज़ और तेज़, गिनती खुल गई, अब पंजों पर, अब ऊँची एड़ी पर, मरिया दिमित्रिग्ना के चारों ओर दौड़ते हुए और अंत में, अपनी महिला को उसकी जगह पर घुमाते हुए, आखिरी कदम उठाया, अपने नरम पैर को ऊपर उठाया पीछे, मुस्कुराते चेहरे के साथ अपने पसीने से लथपथ सिर को झुकाकर और विशेष रूप से नताशा की तालियों और हँसी की गड़गड़ाहट के बीच अपने दाहिने हाथ को गोल-गोल घुमाते हुए। दोनों नर्तक रुक गए, जोर से हाँफने लगे और कैम्ब्रिक रूमाल से खुद को पोंछने लगे। काउंट ने कहा, "हमारे समय में वे इसी तरह नृत्य करते थे, मा चेरे।" - अरे हाँ डेनिला कुपोर! - मरिया दिमित्रिग्ना ने कहा, आत्मा को जोर से और लंबे समय तक बाहर निकालते हुए, अपनी आस्तीन ऊपर चढ़ाते हुए। जब रोस्तोव हॉल में थके हुए संगीतकारों की बेसुरी धुनों पर छठी एंग्लिज़ नृत्य कर रहे थे, और थके हुए वेटर और रसोइये रात के खाने की तैयारी कर रहे थे, छठा झटका काउंट बेजुखी को लगा। डॉक्टरों ने घोषणा कर दी कि ठीक होने की कोई उम्मीद नहीं है; रोगी को मौन स्वीकारोक्ति और भोज दिया गया; वे समारोह की तैयारी कर रहे थे, और घर में उम्मीद की हलचल और चिंता थी, जो ऐसे क्षणों में आम थी। घर के बाहर, फाटकों के पीछे, उपक्रमकर्ताओं की भीड़ थी, जो आने वाली गाड़ियों से छिप रहे थे, काउंट के अंतिम संस्कार के लिए एक समृद्ध आदेश की प्रतीक्षा कर रहे थे। मॉस्को के कमांडर-इन-चीफ, जिन्होंने काउंट की स्थिति के बारे में पूछताछ करने के लिए लगातार सहायक भेजे, उस शाम खुद प्रसिद्ध कैथरीन के रईस, काउंट बेजुखिम को अलविदा कहने आए। भव्य स्वागत कक्ष खचाखच भरा हुआ था। जब कमांडर-इन-चीफ, लगभग आधे घंटे तक मरीज के साथ अकेले रहे, वहां से बाहर आए, तो हर कोई सम्मानपूर्वक खड़ा हो गया, थोड़ा सा धनुष लौटाया और जितनी जल्दी हो सके डॉक्टरों, पादरी और रिश्तेदारों की निगाहों से गुजरने की कोशिश की। उस पर तय किया गया. प्रिंस वसीली, जिनका वजन इन दिनों में कम हो गया था और पीला पड़ गया था, ने कमांडर-इन-चीफ को विदा किया और चुपचाप कई बार उनसे कुछ दोहराया। कमांडर-इन-चीफ को देखने के बाद, प्रिंस वसीली हॉल में एक कुर्सी पर अकेले बैठ गए, अपने पैरों को ऊंचा कर लिया, अपनी कोहनी को अपने घुटने पर टिका दिया और अपने हाथ से अपनी आँखें बंद कर लीं। कुछ देर तक ऐसे ही बैठे रहने के बाद, वह खड़ा हुआ और असामान्य रूप से तेज़ कदमों से, चारों ओर भयभीत आँखों से देखते हुए, लंबे गलियारे से होते हुए घर के पिछले आधे हिस्से में सबसे बड़ी राजकुमारी के पास चला गया। मंद रोशनी वाले कमरे में मौजूद लोग एक-दूसरे से असमान फुसफुसाहट में बात करते थे और हर बार चुप हो जाते थे और सवाल और उम्मीद से भरी आँखों से उस दरवाजे की ओर देखते थे जो मरते हुए आदमी के कक्ष की ओर जाता था और जब कोई बाहर आता था तो हल्की सी आवाज निकालता था। इसका या इसमें प्रवेश किया। "मानवीय सीमा," बूढ़े व्यक्ति, एक पादरी, ने उस महिला से कहा, जो उसके बगल में बैठी थी और भोलेपन से उसकी बात सुन रही थी, "सीमा निर्धारित की गई है, लेकिन आप इसे पार नहीं कर सकते।" "मैं सोच रहा हूं कि क्या कार्रवाई करने में बहुत देर हो गई है?" - आध्यात्मिक शीर्षक जोड़ते हुए महिला ने पूछा, जैसे इस मामले पर उसकी अपनी कोई राय नहीं है।

चतुर्भुज का परिबद्ध वृत्त। ? ? एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है यदि विपरीत कोणों का योग 180° हो: ? + ? =? + ? यदि एक वृत्त में एक चतुर्भुज अंकित है तो सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। ? ? एक। डी। d1. टॉलोमी का प्रमेय विपरीत भुजाओं के गुणनफल का योग विकर्णों के गुणनफल के बराबर होता है: ac + bd = d1 d2। डी2. बी। सी। बी। चतुर्भुज का क्षेत्रफल. एक। सी। डी। जहाँ p चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है।

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ज्यामिति 9वीं कक्षा

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"परिधि और वृत्त" - एक वृत्त की परिधि ज्ञात करें। एक वृत्त का क्षेत्रफल. गणना करें. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। कथन पूरा करें. घेरा। वृत्ताकार क्षेत्र. भूमध्य रेखा की लंबाई की गणना करें. परिधि. स्वतंत्र काम। घेरा। एक खेल। छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। केंद्र K और त्रिज्या 2 सेमी वाला एक वृत्त बनाएं।

"पॉलीहेड्रा पर प्रश्न" - सिलेंडर को काटने पर कौन सी ज्यामितीय आकृति प्राप्त होगी। आयत। आर्किमिडीज़ के कुछ ठोस पदार्थ प्राप्त करना। वी = एबीसी. सिलेंडर की ऊंचाई. घन, समान्तर चतुर्भुज, पिरामिड। कुछ ज्यामितीय निकाय. चित्र में दिखाए गए एक्वेरियम का आयतन ज्ञात कीजिए। कौन सी वस्तुएं बेलनाकार आकार की होती हैं? शंकु. आपने घन, समान्तर चतुर्भुज और पिरामिड को बहुफलक के रूप में वर्गीकृत क्यों किया? एक गेंद और एक ग्लोब गोले हैं। गोला, बेलन, शंकु, कटा हुआ शंकु।