व्याख्यान

व्याख्यान 4-5.किसी कठोर पिंड की समतल गति और उसके तल में एक सपाट आकृति की गति। समतल गति के समीकरण, स्वतंत्रता की कोटि की संख्या। गति का ध्रुव के साथ-साथ ट्रांसलेशनल और ध्रुव से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूर्णी में विघटित होना। एक समतल आकृति पर किन्हीं दो बिंदुओं के वेगों के बीच संबंध। तात्कालिक वेग केंद्र - एमवीसी; इसे खोजने के तरीके. एमडीएस का उपयोग करके बिंदु वेगों का निर्धारण। कोणीय वेग निर्धारित करने के विभिन्न तरीके। किसी समतल आकृति के किन्हीं दो बिंदुओं के त्वरण के बीच संबंध। त्वरण के तात्कालिक केंद्र की अवधारणा। कोणीय त्वरण निर्धारित करने के विभिन्न तरीके। उदाहरण OL4-5.14.

ओएल-1, च. 3, §§ 3.1-3.9.

व्याख्यान 6-7.किसी कठोर पिंड का एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमना। स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या. यूलर कोण. गति के समीकरण. तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष. कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के सदिश. शरीर के बिंदुओं का वेग: वेक्टर और अदिश यूलर सूत्र। पॉइसन सूत्र. शरीर के बिंदुओं का त्वरण। उदाहरण L5-19.4. एक स्वतंत्र कठोर पिंड की गति का सामान्य मामला। ध्रुव के साथ अनुवादात्मक और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी में गति का विघटन। गति के समीकरण. शरीर के बिंदुओं का वेग और त्वरण।

ओएल-1, च. 4, चौ. 5.

व्याख्यान 8-9.जटिल बिंदु आंदोलन, बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ। एक वेक्टर का कुल और स्थानीय व्युत्पन्न, बोअर का सूत्र। वेगों के योग पर प्रमेय. त्वरणों के योग पर प्रमेय कोरिओलिस प्रमेय है। कोरिओलिस त्वरण, ज़ुकोवस्की का नियम। विशेष स्थितियां। उदाहरण: एल4-7.9, 7.18. किसी कठोर पिंड की जटिल गति. स्थानांतरीय गतियों का योग, प्रतिच्छेदी अक्षों के चारों ओर घूर्णन का योग।

ओएल-1, च. 6, चौ. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

छात्र स्वतंत्र रूप से "समानांतर अक्षों के चारों ओर घूर्णन का जोड़, घूर्णन की एक जोड़ी" विषय का अध्ययन करते हैं।

ओएल-1, च. 7, § 7.3.

व्याख्यान 10.वक्ररेखीय निर्देशांक की अवधारणा. बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में किसी बिंदु की गति निर्दिष्ट करते समय उसकी गति और त्वरण का निर्धारण।

ओएल-1, च. 1, § 1.4.

सेमिनार

पाठ 5.किसी कठोर पिंड की समतल गति के दौरान उसके बिंदुओं के वेग का निर्धारण। तात्कालिक वेग केंद्र - एमवीसी; इसे खोजने के तरीके. एमडीएस का उपयोग करके बिंदुओं के वेग का निर्धारण करना, किसी पिंड के कोणीय वेग का निर्धारण करना।

कमरा: OL5-16.29, L4-5.6,5.7,5.14.

घर पर: OL4-5.8,5.15,5.20.

पाठ 6.किसी समतल आकृति के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण उसके किन्हीं दो बिंदुओं के त्वरण के बीच संबंध और त्वरण के तात्कालिक केंद्र का उपयोग करके किया जाता है। कोणीय त्वरण निर्धारित करने के विभिन्न तरीके।

सभागार: OL5-18.11, L4-5.26, 5.30.

घर पर: OL4-5.21, 5.28.

पाठ 7

सभागार: OL4-5.38, 5.37.

घर पर: OL4-5.39, 5.43.

पाठ 8स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ प्रणालियों में समतल गति के दौरान कठोर पिंडों के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण।

सभागार: OL4-5.40.

घर पर: OL4-5.41.

पाठ 9. DZ-2 प्रकार की समस्याओं का समाधान "एक कठोर पिंड की समतल गति की गतिकी"

श्रोता: DZ-2 प्रकार की समस्याएँ।

घर पर: डीजेड-2, एमपी 5-7।

पाठ 10.दिए गए पोर्टेबल और सापेक्ष आंदोलनों के लिए बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण।

पाठ 11.इसकी पूर्ण गति के ज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ जटिल गति में बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण।

सभागार: OL5-23.18, 23.27, 23.30, OL4-7.17.

घर पर: OL4-7.6(7.3),7.16(7.13).

पाठ 12. DZ-3 प्रकार की समस्याओं का समाधान "एक बिंदु की जटिल गति"

सभागार: OL4-7.34 (7.29). DZ-3 प्रकार की समस्याएँ।

घर पर: डीजेड नंबर 3, एमपी 8-10।

मॉड्यूल 3: स्टैटिक्स

व्याख्यान

व्याख्यान 11.सांख्यिकी, बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ। स्थैतिक के सिद्धांत. मुख्य प्रकार के कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएँ: चिकनी सतह, बेलनाकार काज, बॉल जोड़, थ्रस्ट बेयरिंग, लचीला धागा, काज रॉड।

ओएल-1, च. 8, §§ 8.1, 8.2.

व्याख्यान 12.अभिसरण बलों की प्रणाली, संतुलन की स्थिति। एक बिंदु के चारों ओर बल के बीजगणितीय और सदिश क्षण। अक्ष के परितः बल का आघूर्ण. एक बिंदु के बारे में बल के वेक्टर क्षण और इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी के बारे में बल के क्षण के बीच संबंध। समन्वय अक्षों के बारे में बल के क्षणों के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ। कुछ बल. किसी बिंदु या अक्ष के बारे में एक जोड़ी बनाने वाले बलों के क्षणों के योग के बारे में एक प्रमेय। एक जोड़ी के वेक्टर और बीजगणितीय क्षण।

ओएल-1, च. 8, §§ 8.3-8.5.

व्याख्यान 13.जोड़ियों की समानता. जोड़ियों का जोड़ बल युग्मों की एक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति। समानांतर बल स्थानांतरण पर लेम्मा। बलों की एक मनमानी प्रणाली को एक बल और बलों की एक जोड़ी में कम करने पर प्रमेय स्थैतिक का मुख्य प्रमेय है।

ओएल-1, च. 8, § 8.6.

व्याख्यान 14.बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण। उनकी गणना के लिए सूत्र. बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति। विशेष मामले: समानांतर बलों की प्रणाली, बलों की सपाट प्रणाली - मुख्य रूप। परिणामी, वितरित बलों के क्षण पर वेरिग्नन का प्रमेय। उदाहरण: L5-4.26, L4-2.17. कमी के दो केंद्रों के सापेक्ष बलों की प्रणाली के मुख्य क्षणों के बीच निर्भरता।

ओएल-1, च. 8, § 8.6, अध्याय. 9, § 9.1.

व्याख्यान 15-16.बल प्रणाली के अपरिवर्तनीय. कास्टिंग के विशेष मामले. निकायों की प्रणाली का संतुलन। बाहरी और आंतरिक ताकतें. आंतरिक शक्तियों के गुण. समस्याएँ स्थैतिक रूप से परिभाषित और स्थैतिक रूप से अनिश्चित हैं। खुरदुरी सतह पर शरीर का संतुलन। सर्पी घर्षण। कूलम्ब के नियम. घर्षण का कोण और शंकु. उदाहरण L5-5.29. रोलिंग घर्षण. रोलिंग घर्षण गुणांक.

ओएल-1, च. 9, § 9.2, अध्याय। 10.

व्याख्यान 17.समानांतर बलों की प्रणाली का केंद्र. त्रिज्या वेक्टर के लिए सूत्र और समानांतर बलों की प्रणाली के केंद्र के निर्देशांक। किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र: आयतन, क्षेत्रफल, रेखा। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खोजने की विधियाँ: समरूपता विधि, विभाजन विधि, ऋणात्मक द्रव्यमान विधि। उदाहरण।

ओएल-1, च. ग्यारह।

सेमिनार

पाठ 13.

सभागार: OL5-2.19,2.29,4.17,4.25.

घर पर: एल4-1.3, 1.5.

पाठ 14.पिंडों की समतल प्रणाली के संतुलन में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण।

कमरा: OL4-1.14,1.15,1.17.

घर पर: एल4-1.12, 1.16, एमपी 11.14।

पाठ 15.बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली के संतुलन में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण।

सभागार: OL4-1.26, L5-8.17, 8.19.

घर पर: OL4-1.24,1.25,1.29.

पाठ 16बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली के संतुलन में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण। DZ-4 जैसी समस्याओं का समाधान।

कक्ष: OL5-8.26, L4-2.12,2.18,2.19.

घर पर: OL4-2.16, DZ नंबर 4, MP 12-14।

पाठ 17.घर्षण को ध्यान में रखते हुए संतुलन में बलों का निर्धारण।

सभागार: OL5-5.26,5.28, L4-1.39 (1.38).

घर पर: OL4-1.43(1.42),1.46(1.45).

मॉड्यूल 4: परीक्षा

परीक्षा मॉड्यूल 1-4 की सामग्री के आधार पर आयोजित की जाती है।

स्व तैयारी

· व्याख्यान 1 - 17, सेमिनार 1 - 17 के विषयों पर व्याख्यान, पाठ्यपुस्तकों, शिक्षण सहायक सामग्री के पाठ्यक्रम का विकास

· होमवर्क क्रमांक 1-4 पूरा करना।

· लिखित कार्य संख्या 1-4 और उनके लेखन की तैयारी।

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति।

1. समतल-समानांतर गति के समीकरण

समतल-समानांतर (या समतल) एक कठोर पिंड की गति है जिसमें इसके सभी बिंदु किसी निश्चित तल P के समानांतर चलते हैं।

आइए हम किसी तल द्वारा शरीर के अनुभाग S पर विचार करें हेxy, समतल के समानांतर पी. समतल-समानांतर गति में, शरीर के सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं एमएम/ , अनुभाग के लंबवत (एस) , यानी हवाई जहाज़ तक पी समान रूप से आगे बढ़ें और समय के प्रत्येक क्षण में समान गति और त्वरण रखें। इसलिए, पूरे शरीर की गति का अध्ययन करने के लिए, यह अध्ययन करना पर्याप्त है कि अनुभाग कैसे चलता है एस विमान में शव हेxy.

(4.1)

समीकरण (4.1) चालू गति के नियम को निर्धारित करते हैं और कहलाते हैं किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति के समीकरण।

2. समतल-समानांतर गति का अनुवादात्मक गति में अपघटन

ध्रुव के साथ मिलकर ध्रुव के चारों ओर घूम रहा है

आइए हम दिखाते हैं कि समतल गति में अनुवादात्मक और घूर्णी गति शामिल होती है। ऐसा करने के लिए, दो क्रमिक पदों I और II पर विचार करें, जिन पर अनुभाग का कब्जा है एससमय के क्षणों में शरीर का हिलना टी 1 और टी 2= टी 1 + Δt . यह देखना आसान है कि अनुभाग एस, और इसके साथ पूरे शरीर को स्थिति I से स्थिति II तक इस प्रकार लाया जा सकता है: पहले हम शरीर को अनुवादात्मक रूप से घुमाते हैं, ताकि ध्रुव ए, अपने पथ पर चलते हुए एक स्थिति में आ गया ए 2. इस मामले में, खंड ए 1 बी 1एक स्थिति लेगा, और फिर ध्रुव के चारों ओर अनुभाग को घुमाएगा ए 2एक कोण पर Δφ 1.

नतीजतन, एक कठोर शरीर की समतल-समानांतर गति स्थानान्तरणीय गति से बनी होती है, जिसमें शरीर के सभी बिंदु ध्रुव की तरह ही चलते हैं और इस ध्रुव के चारों ओर घूमने वाली गति से भी।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शरीर की घूर्णी गति विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर होती है पी और पोल से गुजर रहा है ए. हालाँकि, संक्षिप्तता के लिए, हम अब से इस गति को केवल ध्रुव के चारों ओर घूमना कहेंगे ए.

समतल-समानांतर गति का अनुवादात्मक भाग स्पष्ट रूप से समीकरणों के पहले दो (2.1) और ध्रुव के चारों ओर घूमने द्वारा वर्णित है ए -समीकरणों का तीसरा (2.1)।

समतल गति की बुनियादी गतिक विशेषताएँ

आप शरीर पर किसी भी बिंदु को ध्रुव के रूप में चुन सकते हैं

निष्कर्ष : समतल गति का घूर्णी घटक ध्रुव की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए, कोणीय वेगω और कोणीय त्वरणइसभी ध्रुवों के लिए सामान्य हैं और कहलाते हैंएक समतल आकृति का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

वेक्टर और ध्रुव से गुजरने वाली धुरी के साथ निर्देशित होते हैं और आकृति के विमान के लंबवत होते हैं

3डी छवि

3. शरीर बिंदुओं के वेग का निर्धारण

प्रमेय: समतल आकृति पर किसी भी बिंदु की गति ध्रुव की गति के ज्यामितीय योग और ध्रुव के चारों ओर इस बिंदु की घूर्णन गति के बराबर होती है।

प्रमाण में, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि एक कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति स्थानांतरीय गति से बनी होती है, जिसमें पिंड के सभी बिंदु गति से चलते हैं वीएऔर इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति से। इन दो प्रकार की गति को अलग करने के लिए, हम दो संदर्भ प्रणालियाँ पेश करते हैं: ऑक्सी - स्थिर, और ऑक्स 1 वाई 1 - ध्रुव के साथ अनुवादिक रूप से चलती हुई एक।गतिमान संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष, एक बिंदु की गति एम"ध्रुव के चारों ओर घूर्णनशील" होगा ए».

इस प्रकार, पिंड के किसी भी बिंदु M की गति ज्यामितीय रूप से किसी अन्य बिंदु की गति का योग है ए, एक ध्रुव के रूप में लिया गया, और बिंदु की गति एमइस ध्रुव के चारों ओर शरीर के साथ अपनी घूर्णी गति में।

प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या

परिणाम 1. किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होता है।

इस परिणाम से किसी पिंड के दिए गए बिंदु की गति का पता लगाना आसान हो जाता है यदि इस बिंदु की गति की दिशा और उसी पिंड के किसी अन्य बिंदु की गति ज्ञात हो।

किसी कठोर पिंड की समतल (समांतर-समानांतर) गति किसी पिंड की ऐसी गति है जिसमें उसके सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर समतल में गति करते हैं।

एक कठोर पिंड की समतल गति को पिंड के एक निश्चित बिंदु (ध्रुव) के साथ मिलकर पिंड की अनुवादात्मक गति में विघटित किया जा सकता है और गति के तल के लंबवत ध्रुव से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूम सकता है।

समतल गति में स्वतंत्रता की कोटि की संख्या तीन होती है। आइए शरीर का बिंदु A चुनें - ध्रुव। दो निर्देशांक ध्रुव की गति निर्धारित करेंगे, और तीसरा घूर्णन कोण निर्धारित करेगा - ध्रुव के चारों ओर घूमना:

,
,
.

अंतिम भावों को किसी कठोर पिंड की समतल गति के समीकरण कहा जाता है।

3.2. समतल गति में पिंड बिंदुओं का वेग।

तात्क्षणिक वेग केंद्र

बिंदुओं पर विचार करें एऔर मेंएक कठोर पिंड समतल गति से गुजर रहा है। त्रिज्या सदिश बिंदु में
,
, चूँकि यह एक ठोस पिंड में दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। आइए इस समानता के दोनों पक्षों में अंतर करें:
या
. के लिए
आइए हम एक स्थिर मापांक वाले वेक्टर के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करें:

-बिंदु गति मेंजब कोई पिंड किसी ध्रुव के चारों ओर घूमता है ए. तब,
या
, कहाँ - शरीर के कोणीय वेग का वेक्टर, यह बिंदु से गुजरने वाली धुरी के साथ निर्देशित होता है एगति के तल के लंबवत। मॉड्यूल - तब से अबएक विमान में स्थित है, और विमान के लंबवत.

समतल गति के दौरान पिंड के वेग का तात्कालिक केंद्र पिंड का बिंदु या पिंड से कठोरता से जुड़ा हुआ गतिमान तल होता है, जिसकी गति किसी निश्चित समय पर शून्य होती है।

आइए हम दिखाते हैं कि यदि किसी निश्चित समय पर शरीर का कोणीय वेग होता है
, तो एक तात्कालिक वेग केंद्र मौजूद होता है। ड्राइंग तल में घूमती हुई एक सपाट आकृति पर विचार करें,
, बिंदु गति ए–. आइए एक लम्बवत रेखा बनाएं एतेज़ी से और उस पर एक खंड लगाएं
. चलिए वो दिखाते हैं आर- वेगों का तात्कालिक केंद्र, अर्थात
.

बिंदु गति आर
,
, अर्थात।
, इस तरह
, मतलब आर- वेगों का तात्कालिक केंद्र।

मान लीजिए कि अब पिंड समतल गति करता है और वेग के तात्कालिक केंद्र की स्थिति ज्ञात हो जाती है आर. आइए सबसे पहले बिंदु की गति निर्धारित करें ए:,
; बिंदु गति में:
; तब
. नतीजतन, समतल गति में किसी पिंड के बिंदुओं के वेग, वेग के तात्कालिक केंद्र से उनकी दूरी के रूप में संबंधित होते हैं।

आइए वेगों के तात्कालिक केंद्र को खोजने के तरीकों पर विचार करें।

3.3. समतल गति के दौरान शरीर के बिंदुओं का त्वरण।

त्वरित त्वरण केंद्र

बिंदुओं पर विचार करें एऔर मेंएक कठोर पिंड समतल गति से गुजर रहा है। बिंदु गति में
. आइए इस समानता के दोनों पक्षों में अंतर करें:
. चलो निरूपित करें
,
,
- कोणीय त्वरण,
-बिंदु गति मेंध्रुव के सापेक्ष ए,. आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
– किसी बिंदु का स्पर्शरेखीय (घूर्णी) त्वरण में, जब शरीर ध्रुव के चारों ओर घूमता है ए,- गति के तल के लंबवत निर्देशित कोणीय त्वरण का वेक्टर; - बिंदु का सामान्य त्वरण बीजब कोई पिंड किसी ध्रुव के चारों ओर घूमता है ए. इन नोटेशनों का उपयोग करते हुए, त्वरण के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार लिखी गई है:
. इस प्रकार, समतल गति के दौरान पिंड के किसी भी बिंदु का त्वरण पिंड के किसी अन्य बिंदु (ध्रुव) के त्वरण और ध्रुव के चारों ओर घूमने के दौरान पिंड के एक बिंदु के त्वरण के ज्यामितीय योग के बराबर होता है। यदि हम नामित करते हैं
, वह
,
,
,
.

समतल गति के दौरान किसी पिंड के त्वरण का तात्क्षणिक केंद्र पिंड का एक बिंदु या पिंड से मजबूती से जुड़ा हुआ एक गतिमान तल होता है, जिसका त्वरण किसी निश्चित समय पर शून्य होता है।

आइए हम यह दिखाएं कि यदि किसी निश्चित समय पर
और
, तो एक तात्कालिक त्वरण केंद्र मौजूद है। ड्राइंग तल में घूमती हुई एक सपाट आकृति पर विचार करें,
,
बिंदु त्वरण ए–
. आइए बिंदु पर आगे बढ़ें एकोणीय बीम
जल्दी करो
और उस पर एक खंड लगाएं
. चलिए वो दिखाते हैं क्यू- तात्कालिक त्वरण केंद्र, यानी
.

बिंदु त्वरण क्यू
,

,
,
,
, इस तरह
, मतलब क्यू– तात्कालिक त्वरण केंद्र. तब
,
,
.

आइए समतल गति में किसी पिंड के कोणीय त्वरण को निर्धारित करने के तरीकों पर विचार करें।

1. यदि घूर्णन कोण ज्ञात हो
, वह
.

2. एक सदिश समीकरण प्रक्षेपित करना
बिंदु के त्वरण के लंबवत अक्ष पर में(ज्ञात के साथ , दिशा और परिमाण
, वेक्टर दिशा
), हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिससे हम निर्धारित करते हैं
और तब
.

अब तक, किसी बिंदु (एक व्यक्तिगत बिंदु, किसी पिंड का एक बिंदु) की गति का अध्ययन करते समय, हमने हमेशा यह माना है कि ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली, जिसके सापेक्ष गति पर विचार किया जाता है, स्थिर है। अब आइए उस मामले पर विचार करें जब ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली भी गतिमान है, ताकि बिंदु एम और ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली दोनों गतिमान हों - एक अन्य समन्वय प्रणाली के संबंध में, जो स्थिर है (चित्र 111)। यह मामला, जब बिंदु एम की गति को दो समन्वय प्रणालियों में एक साथ माना जाता है - गतिमान और स्थिर, बिंदु की जटिल गति कहलाती है।

किसी निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को निरपेक्ष गति कहा जाता है। स्थिर अक्षों के सापेक्ष इसकी गति और त्वरण को क्रमशः निरपेक्ष गति और निरपेक्ष त्वरण कहा जाता है।

किसी गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को सापेक्ष गति कहा जाता है।

गतिमान अक्षों के सापेक्ष किसी बिंदु की गति और त्वरण को सापेक्ष गति (निरूपित) और सापेक्ष त्वरण कहा जाता है। इंडेक्स - लैटिन शब्द रिलेटिवस (रिश्तेदार) से।

एक निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गतिशील समन्वय प्रणाली की गति, इसके साथ हमेशा जुड़े हुए ज्यामितीय बिंदुओं के साथ, पोर्टेबल गति कहलाती है। बिंदु M की पोर्टेबल गति और पोर्टेबल त्वरण, बिंदु M की निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गति और त्वरण है, जो हमेशा गतिमान अक्षों से जुड़ा होता है, जिसके साथ गतिमान बिंदु M एक निश्चित समय पर मेल खाता है। सूचकांक ई है लैटिन एंटेनेर से (अपने साथ ले जाना)।

स्थानांतरण गति और स्थानांतरण त्वरण की अवधारणाएँ अधिक सूक्ष्म हैं। आइए हम निम्नलिखित अतिरिक्त स्पष्टीकरण प्रदान करें। सापेक्ष गति की प्रक्रिया में, बिंदु M स्वयं को गतिमान समन्वय प्रणाली के विभिन्न स्थानों (बिंदुओं) में पाता है।

आइए हम गतिमान समन्वय प्रणाली के उस बिंदु को एम द्वारा निरूपित करें जिसके साथ गतिमान बिंदु एम वर्तमान में मेल खाता है। बिंदु एम एक निश्चित गति और त्वरण के साथ निश्चित प्रणाली के सापेक्ष गतिमान समन्वय प्रणाली के साथ चलता है। ये मात्राएँ बिंदु M की पोर्टेबल गति और पोर्टेबल त्वरण के रूप में कार्य करती हैं:

आइए दो और टिप्पणियाँ करें।

1. जटिल गति की समस्या के निरूपण में दिखाई देने वाली गतिमान और स्थिर समन्वय अक्षों की आवश्यकता केवल समस्या के निरूपण की व्यापकता के लिए होती है। व्यवहार में, समन्वय प्रणालियों की भूमिका विशिष्ट निकायों और वस्तुओं द्वारा निभाई जाती है - चल और स्थिर।

2. पोर्टेबल गति या, जो समान है, स्थिर अक्षों के सापेक्ष गतिमान अक्षों की गति, एक कठोर पिंड की गतियों में से एक में कम हो जाती है - अनुवादात्मक, घूर्णी, आदि। इसलिए, पोर्टेबल गति और पोर्टेबल त्वरण की गणना करते समय, आपको विभिन्न प्रकार की शरीर गति के लिए स्थापित उचित नियमों का उपयोग करना चाहिए।

जटिल गति में वेग और त्वरण सख्त गणितीय संबंधों से जुड़े होते हैं - वेगों के योग का प्रमेय और त्वरणों के योग का प्रमेय।

एक बिंदु की गतिकी, एक कठोर पिंड की गतिकी, अनुवादात्मक गति, घूर्णी गति, समतल-समानांतर गति, वेग प्रक्षेपण पर प्रमेय, वेग का तात्कालिक केंद्र, एक समतल पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण, एक बिंदु की जटिल गति

सामग्री

कठोर शरीर कीनेमेटिक्स

किसी कठोर पिंड की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको तीन निर्देशांक निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है (x ए , वाई ए , जेड ए )शरीर के बिंदु ए और तीन घूर्णन कोणों में से एक। इस प्रकार, एक कठोर पिंड की स्थिति छह निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती है। अर्थात्, एक कठोर शरीर में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है।

सामान्य स्थिति में, एक निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक कठोर शरीर पर बिंदुओं के निर्देशांक की निर्भरता बल्कि बोझिल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है। हालाँकि, बिंदुओं के वेग और त्वरण को काफी सरलता से निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक, मनमाने ढंग से चयनित, बिंदु ए और कोणीय वेग वेक्टर के समय पर निर्देशांक की निर्भरता जानने की आवश्यकता है। समय के संबंध में अंतर करते हुए, हम बिंदु A की गति और त्वरण और शरीर का कोणीय त्वरण पाते हैं:
; ; .
फिर त्रिज्या वेक्टर वाले किसी पिंड के एक बिंदु की गति और त्वरण सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(1) ;
(2) .
यहां और नीचे, वर्गाकार कोष्ठकों में सदिशों के गुणनफल का अर्थ सदिश गुणनफल है।

ध्यान दें कि कोणीय वेग वेक्टर शरीर के सभी बिंदुओं के लिए समान है. यह शरीर के बिंदुओं के निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है। भी कोणीय त्वरण वेक्टर शरीर के सभी बिंदुओं के लिए समान है.

सूत्र आउटपुट देखें (1) और (2) पृष्ठ पर: एक कठोर पिंड के बिंदुओं का वेग और त्वरण > > >

एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति

स्थानांतरीय गति के दौरान, कोणीय वेग शून्य होता है। शरीर के सभी बिंदुओं का वेग बराबर होता है। शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपनी प्रारंभिक दिशा के समानांतर रहकर गति करती है। इस प्रकार, स्थानांतरीय गति के दौरान किसी कठोर पिंड की गति का अध्ययन करने के लिए, इस पिंड के किसी एक बिंदु की गति का अध्ययन करना पर्याप्त है। खंड देखें।

समान रूप से त्वरित गति

आइए हम समान रूप से त्वरित गति के मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि x अक्ष पर पिंड के एक बिंदु के त्वरण का प्रक्षेपण स्थिर और x के बराबर है। फिर वेग v x और x का प्रक्षेपण - इस बिंदु का निर्देशांक कानून के अनुसार समय t पर निर्भर करता है:
वी एक्स = वी एक्स 0 + ए एक्स टी;
,
कहां वी एक्स 0 और एक्स 0 - समय के प्रारंभिक क्षण में बिंदु की गति और समन्वय t = 0 .

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति

एक ऐसे पिंड पर विचार करें जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। आइए बिंदु O पर केंद्र के साथ एक निश्चित समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनें। आइए z अक्ष को घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित करें। हम मानते हैं कि शरीर के सभी बिंदुओं के z-निर्देशांक स्थिर रहते हैं। तब गति xy तल में होती है। कोणीय वेग ω और कोणीय त्वरण ε को z अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है:
; .
मान लीजिए φ पिंड के घूर्णन का कोण है, जो समय t पर निर्भर करता है। समय के संबंध में विभेद करने पर हम पाते हैं कोणीय वेग और कोणीय त्वरण का अनुमान z अक्ष पर:
;
.

आइए एक बिंदु M की गति पर विचार करें, जो घूर्णन अक्ष से दूरी r पर स्थित है। गति का प्रक्षेपवक्र त्रिज्या r का एक वृत्त (या वृत्त का चाप) है।
बिंदु गति:
वी = ωr.
वेग वेक्टर को प्रक्षेपवक्र पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण:
ए τ = ε आर .
स्पर्शरेखीय त्वरण भी प्रक्षेपवक्र की ओर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।
सामान्य त्वरण:
.
यह घूर्णन अक्ष O की ओर निर्देशित है।
पूर्ण त्वरण:
.
चूँकि सदिश और एक दूसरे के लंबवत हैं त्वरण मॉड्यूल:
.

समान रूप से त्वरित गति

समान रूप से त्वरित गति के मामले में, जिसमें कोणीय त्वरण स्थिर होता है और ε के बराबर होता है, कोणीय वेग ω और घूर्णन का कोण φ कानून के अनुसार समय t के साथ बदलता है:
ω = ω 0 + εt;
,
कहां ω 0 और φ 0 - समय के प्रारंभिक क्षण में कोणीय वेग और घूर्णन का कोण t = 0 .

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति

समतल-समानांतर या समतलयह एक कठोर पिंड की गति है जिसमें इसके सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर चलते हैं। आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनें। हम x और y अक्षों को उस तल में रखेंगे जिसमें पिंड के बिंदु गति करते हैं। तब सभी z - शरीर के बिंदुओं के निर्देशांक स्थिर रहते हैं, z - वेग और त्वरण के घटक शून्य के बराबर होते हैं। इसके विपरीत, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के सदिश, z अक्ष के अनुदिश निर्देशित होते हैं। उनके x और y घटक शून्य हैं।

इन बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी पर किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होता है।
वी ए cos α = v B cos β.

तात्क्षणिक वेग केंद्र

तात्क्षणिक वेग केंद्रएक समतल आकृति का बिंदु है जिसका वेग वर्तमान में शून्य है।

एक सपाट आकृति के वेगों के तात्कालिक केंद्र P की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको केवल वेगों की दिशा और उसके दो बिंदु A और B जानने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, वेग की दिशा के लंबवत बिंदु A से होकर एक सीधी रेखा खींचें। बिंदु B से होकर हम वेग की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वेगों का तात्कालिक केंद्र P है। शरीर के घूमने का कोणीय वेग:
.

यदि दो बिंदुओं के वेग एक दूसरे के समानांतर हैं, तो ω = 0 . शरीर के सभी बिंदुओं के वेग एक दूसरे के बराबर होते हैं (किसी निश्चित समय पर)।

यदि किसी समतल पिंड के किसी बिंदु A की गति और उसकी कोणीय गति ω ज्ञात हो, तो एक मनमाना बिंदु M की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है (1) , जिसे अनुवादात्मक और घूर्णी गति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
बिंदु A के सापेक्ष बिंदु M की घूर्णी गति की गति कहां है। अर्थात वह गति जो बिंदु M की त्रिज्या |AM| के वृत्त में घूमने पर होगी कोणीय वेग के साथ ω यदि बिंदु A स्थिर होता।
सापेक्ष वेग मॉड्यूल:
v एमए = ω |एएम| .
वेक्टर त्रिज्या |AM| के वृत्त की स्पर्श रेखा पर निर्देशित है बिंदु A पर केंद्र के साथ.

एक सपाट पिंड के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण सूत्र का उपयोग करके किया जाता है (2) . बिंदु A को स्थिर मानते हुए, किसी भी बिंदु M का त्वरण किसी बिंदु A के त्वरण और बिंदु A के चारों ओर घूमने के दौरान बिंदु M के त्वरण के सदिश योग के बराबर होता है:
.
स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण में विघटित किया जा सकता है:
.
स्पर्शरेखीय त्वरण प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। सामान्य त्वरण बिंदु M से बिंदु A की ओर निर्देशित होता है। यहां ω और ε पिंड का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण हैं।

जटिल बिंदु आंदोलन

चलो ओ 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1- निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली। इस समन्वय प्रणाली में बिंदु M की गति और त्वरण को निरपेक्ष गति और निरपेक्ष त्वरण कहा जाएगा।

मान लीजिए कि ऑक्सीज़ एक गतिमान आयताकार समन्वय प्रणाली है, मान लीजिए, प्रणाली O के सापेक्ष गतिमान एक निश्चित कठोर पिंड से कठोरता से जुड़ा हुआ है 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1. ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली में बिंदु M की गति और त्वरण को सापेक्ष गति और सापेक्ष त्वरण कहा जाएगा। माना O के सापेक्ष Oxyz प्रणाली के घूर्णन का कोणीय वेग है 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1.

आइए एक ऐसे बिंदु पर विचार करें, जो किसी निश्चित समय पर, बिंदु एम के साथ मेल खाता है और ऑक्सीज़ सिस्टम (एक ठोस शरीर से मजबूती से जुड़ा हुआ बिंदु) के सापेक्ष गतिहीन है। समन्वय प्रणाली O में ऐसे बिंदु का वेग और त्वरण 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1हम इसे पोर्टेबल गति और पोर्टेबल त्वरण कहेंगे।

वेग जोड़ प्रमेय

एक बिंदु की पूर्ण गति सापेक्ष और पोर्टेबल गति के वेक्टर योग के बराबर है:
.

त्वरण जोड़ प्रमेय (कोरिओलिस प्रमेय)

किसी बिंदु का पूर्ण त्वरण सापेक्ष, परिवहन और कोरिओलिस त्वरण के वेक्टर योग के बराबर है:
,
कहाँ
- कोरिओलिस त्वरण.

सन्दर्भ:
एस.एम. टार्ग, सैद्धांतिक यांत्रिकी में लघु पाठ्यक्रम, "हायर स्कूल", 2010।