जैसा कि आप जानते हैं, वह पिंड जो अपनी गति में किसी भी तरह से सीमित नहीं है, स्वतंत्र कहलाता है, क्योंकि वह किसी भी दिशा में गति कर सकता है। इसलिए, प्रत्येक स्वतंत्र कठोर शरीर में गति की छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है। इसमें निम्नलिखित गतियाँ उत्पन्न करने की क्षमता है: तीन अनुवादात्मक गतियाँ, तीन मुख्य समन्वय प्रणालियों के अनुरूप, और इन तीन समन्वय अक्षों के चारों ओर तीन घूर्णी गतियाँ।

कनेक्शन लगाने (फिक्सिंग) से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि कोई पिंड एक बिंदु पर स्थिर है, तो यह समन्वय अक्षों के साथ नहीं चल सकता है; इसकी गति केवल इन अक्षों के चारों ओर घूमने तक ही सीमित है, अर्थात। शरीर में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है। ऐसे मामले में जब दो बिंदु तय होते हैं, तो शरीर में स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री होती है; यह केवल इन दोनों बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा (अक्ष) के चारों ओर घूम सकता है। और अंत में, तीन निश्चित बिंदुओं के साथ जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या शून्य है, और शरीर की कोई भी हलचल नहीं हो सकती है। मनुष्यों में, गति के निष्क्रिय तंत्र में उसके शरीर के कुछ हिस्से होते हैं जिन्हें लिंक कहा जाता है। वे सभी एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं, इसलिए वे समन्वय अक्षों के साथ तीन प्रकार की गति करने की क्षमता खो देते हैं। उनमें केवल इन अक्षों के चारों ओर घूमने की क्षमता होती है। इस प्रकार, एक बॉडी लिंक की उससे सटे दूसरे लिंक के संबंध में स्वतंत्रता की डिग्री की अधिकतम संख्या तीन हो सकती है।

यह मानव शरीर के सबसे गतिशील जोड़ों को संदर्भित करता है, जिनका आकार गोलाकार होता है।

शरीर के अंगों के अनुक्रमिक या शाखित कनेक्शन (लिंक) गतिज श्रृंखला बनाते हैं।

मनुष्यों में हैं:

• - गतिज शृंखलाएँ खोलेंएक स्वतंत्र गतिशील सिरा होना, जो केवल एक छोर पर स्थिर हो (उदाहरण के लिए, शरीर के संबंध में एक हाथ);
• - बंद गतिज श्रृंखलाएँ, दोनों सिरों पर स्थिर (उदाहरण के लिए, कशेरुका - पसली - उरोस्थि - पसली - कशेरुका)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह जोड़ों में गतिविधियों की संभावित सीमा से संबंधित है। वास्तव में, एक जीवित व्यक्ति में, ये संकेतक हमेशा कम होते हैं, जो कि घरेलू शोधकर्ताओं के कई कार्यों से साबित हुआ है - पी. एफ. लेसगाफ्ट, एम. एफ. इवानित्सकी, एम. जी. प्रिवेस, एन. जी. ओज़ोलिन, आदि। एक जीवित व्यक्ति में हड्डी के जोड़ों में गतिशीलता की मात्रा पर व्यक्ति, यह उम्र, लिंग, व्यक्तिगत विशेषताओं, तंत्रिका तंत्र की कार्यात्मक स्थिति, मांसपेशियों में खिंचाव की डिग्री, परिवेश का तापमान, दिन का समय और अंत में, एथलीटों के लिए क्या महत्वपूर्ण है, से संबंधित कई कारकों से प्रभावित होता है। प्रशिक्षण की डिग्री. इस प्रकार, सभी हड्डी कनेक्शनों (असंतत और निरंतर) में, युवा लोगों में गतिशीलता की डिग्री वृद्ध लोगों की तुलना में अधिक होती है; औसतन, महिलाओं में पुरुषों की तुलना में अधिक है। गतिशीलता की मात्रा उन मांसपेशियों के खिंचाव की डिग्री से प्रभावित होती है जो गति के विपरीत दिशा में होती हैं, साथ ही इस गति को उत्पन्न करने वाली मांसपेशियों की ताकत से भी प्रभावित होती है। इन मांसपेशियों में से पहली जितनी अधिक लचीली होगी और दूसरी जितनी मजबूत होगी, किसी दिए गए हड्डी के कनेक्शन में आंदोलनों की सीमा उतनी ही अधिक होगी, और इसके विपरीत। यह ज्ञात है कि ठंडे कमरे में गतिविधियों का दायरा गर्म कमरे की तुलना में छोटा होता है; सुबह में वे शाम की तुलना में कम होते हैं। विभिन्न व्यायामों के उपयोग से जोड़ों की गतिशीलता पर अलग-अलग प्रभाव पड़ता है। इस प्रकार, "लचीलेपन" अभ्यासों के साथ व्यवस्थित प्रशिक्षण से जोड़ों में गति की सीमा बढ़ जाती है, जबकि इसके विपरीत, "ताकत" व्यायाम इसे कम कर देते हैं, जिससे जोड़ों में "कठोरता" आ जाती है। हालाँकि, शक्ति व्यायाम का उपयोग करते समय जोड़ों में गति की सीमा में कमी बिल्कुल अपरिहार्य नहीं है। समान मांसपेशी समूहों के लिए शक्ति प्रशिक्षण और स्ट्रेचिंग व्यायाम के सही संयोजन से इसे रोका जा सकता है।

मानव शरीर की खुली गतिज श्रृंखलाओं में, गतिशीलता की गणना स्वतंत्रता की दसियों डिग्री में की जाती है। उदाहरण के लिए, स्कैपुला के सापेक्ष कलाई की गतिशीलता और श्रोणि के सापेक्ष टारसस की गतिशीलता में सात डिग्री की स्वतंत्रता होती है, और छाती के सापेक्ष हाथ की उंगलियों की युक्तियों में 16 डिग्री की स्वतंत्रता होती है। यदि हम शरीर के सापेक्ष अंगों और सिर की स्वतंत्रता की सभी डिग्री को जोड़ते हैं, तो इसे निम्नलिखित पदों से बनी संख्या 105 द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

• - सिर - स्वतंत्रता की 3 डिग्री;
• - हथियार - स्वतंत्रता की 14 डिग्री;
• - पैर - स्वतंत्रता की 12 डिग्री;
• - हाथ और पैर - 76 डिग्री स्वतंत्रता।

तुलना के लिए, हम बताते हैं कि अधिकांश मशीनों में आवाजाही की स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री होती है।

बॉल और सॉकेट जोड़ों में, तीन परस्पर लंबवत अक्षों के चारों ओर घूमना संभव है। इन जोड़ों में जिन अक्षों के चारों ओर घूमना संभव है उनकी कुल संख्या अनंत रूप से बड़ी है। नतीजतन, गोलाकार जोड़ों के संबंध में, हम कह सकते हैं कि उनमें जुड़े लिंक, आंदोलन की स्वतंत्रता की संभावित छह डिग्री में से, तीन डिग्री स्वतंत्रता और तीन डिग्री युग्मन हैं।

गति की दो डिग्री की स्वतंत्रता और चार डिग्री के युग्मन वाले जोड़ों में कम गतिशीलता होती है। इनमें अंडाकार या अण्डाकार और काठी आकार के जोड़ शामिल हैं, अर्थात। द्विअक्षीय. वे इन दो अक्षों के चारों ओर गति की अनुमति देते हैं।

शरीर उन जोड़ों में जुड़ता है जिनमें घूर्णन की एक धुरी होती है, यानी गतिशीलता की एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है और साथ ही कनेक्टिविटी की पांच डिग्री होती है। दो निश्चित बिंदु हैं.

मानव शरीर में अधिकांश जोड़ों में दो या तीन डिग्री की स्वतंत्रता होती है। गति की स्वतंत्रता की कई डिग्री (दो या अधिक) के साथ, अनंत संख्या में प्रक्षेप पथ संभव हैं। खोपड़ी की हड्डियों के कनेक्शन में छह डिग्री का कनेक्शन होता है और ये गतिहीन होते हैं। उपास्थि और स्नायुबंधन (सिनकॉन्ड्रोसिस और सिंडेसमोसिस) की मदद से हड्डियों के कनेक्शन में कुछ मामलों में महत्वपूर्ण गतिशीलता हो सकती है, जो लोच और इन हड्डियों के बीच स्थित उपास्थि या संयोजी ऊतक संरचनाओं के आकार पर निर्भर करती है।

स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली प्रणालियाँ स्वतंत्रता की कई डिग्री वाली प्रणालियों का एक विशेष मामला है। लेकिन ये प्रणालियाँ सबसे सरल हैं, जो किसी को कंपन आवृत्तियों, आयामों और गतिशील विक्षेपों को निर्धारित करने के लिए अंतिम रूप में गणना सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देती हैं।

जड़त्वीय बलों के कारण वाईबीम विक्षेपण:

पी 2 =1 (1)

भाव (1) में चिह्न (-) इस तथ्य के कारण हैं कि जड़त्वीय बल और इकाइयाँ। गतिविधियां विपरीत दिशा में हैं।

हमारा मानना ​​है कि सामूहिक कंपन हार्मोनिक नियम के अनुसार होते हैं:

(2)

आइए द्रव्यमान गति का त्वरण ज्ञात करें:

(3)

समीकरण (1) में व्यंजक (2) और (3) को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

(5)

हम दोलनों ए 1 और ए 2 के आयामों को अज्ञात मानते हैं, और हम समीकरणों को बदलते हैं:

(6)

सजातीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान ए 1 = ए 2 =0 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है; एक गैर-शून्य समाधान प्राप्त करने के लिए, हम प्रणाली के निर्धारकों (6) को शून्य के बराबर करते हैं:

(7)

आइए अज्ञात प्राकृतिक दोलनों की वृत्ताकार आवृत्ति पर विचार करते हुए समीकरण (8) को रूपांतरित करें:

समीकरण (9) को स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ प्रणालियों के मुक्त दोलनों का बायोहार्मोनिक समीकरण कहा जाता है।

चर  2 =Z को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

यहां से हम Z 1 और Z 2 निर्धारित करते हैं।

परिणामस्वरूप, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले सिस्टम के मुक्त कंपन दो आवृत्तियों  1 और  2 के साथ होते हैं। निचली आवृत्ति 1 को मूल या मौलिक स्वर कहा जाता है, उच्च आवृत्ति 2 को दूसरी आवृत्ति या ओवरटोन कहा जाता है।

स्वतंत्रता की एन-डिग्री वाले सिस्टम के मुक्त कंपन एन-टोन हैं, जिसमें एन-मुक्त कंपन शामिल हैं।

2. द्रव्यमान एम 1 और एम 2 की गति को निम्नलिखित सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यानी, यदि आवृत्ति  1 के साथ दोलन होते हैं, तो समय के किसी भी क्षण में द्रव्यमान आंदोलनों के समान संकेत होते हैं।

यदि दोलन केवल आवृत्ति  2 के साथ होते हैं, तो किसी भी समय द्रव्यमान आंदोलनों के विपरीत संकेत होते हैं।

आवृत्ति  1 और  2 के साथ द्रव्यमान के एक साथ दोलन के साथ, सिस्टम मुख्य रूप से आवृत्ति  1 पर दोलन करता है और आवृत्ति  2 के साथ एक ओवरटोन इन दोलनों में फिट बैठता है।

यदि दो डिग्री स्वतंत्रता वाला सिस्टम आवृत्ति  के ​​साथ एक प्रेरक शक्ति के अधीन है, तो यह आवश्यक है कि:

  0.7  1 .

व्याख्यान 9

स्वतंत्रता की अनंत कोटि वाली प्रणालियों का दोलन।

यांत्रिक कंपन के सिद्धांत के प्रौद्योगिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में असंख्य और बहुत विविध अनुप्रयोग हैं। विभिन्न यांत्रिक प्रणालियों के उद्देश्य और डिजाइन समाधान के बावजूद, उनके कंपन समान भौतिक कानूनों के अधीन हैं, जिनका अध्ययन लोचदार प्रणालियों के कंपन के सिद्धांत का विषय है। दोलनों का रैखिक सिद्धांत पूर्णतः विकसित हो चुका है। स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ सिस्टम के दोलनों का सिद्धांत 18 वीं शताब्दी में लैग्रेंज द्वारा अपने क्लासिक काम "एनालिटिकल मैकेनिक्स" में दिया गया था।

जोसेफ लुई लैग्रेंज (1736 - 1813) - 19 साल की उम्र से ट्यूरिन में गणित के प्रोफेसर। 1759 से - सदस्य, और 1766 से - बर्लिन विज्ञान अकादमी के अध्यक्ष; 1787 से वह पेरिस में रहे। 1776 में उन्हें सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज का मानद विदेशी सदस्य चुना गया।

19वीं शताब्दी के अंत में, रेले ने स्वतंत्रता की अनंत डिग्री (यानी, विकृत प्रणाली के पूरे आयतन में द्रव्यमान के निरंतर वितरण के साथ) के साथ सिस्टम के दोलनों के रैखिक सिद्धांत की नींव रखी। 20वीं शताब्दी में, रैखिक सिद्धांत को पूरा किया गया कहा जा सकता है (बुबनोव-गैलेर्किन विधि, जो क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करके उच्च दोलन आवृत्तियों को निर्धारित करना भी संभव बनाती है)।

जॉन विलियम स्ट्रेट (लॉर्ड रेले) (1842 - 1919) - अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, दोलन के सिद्धांत पर कई कार्यों के लेखक।

इवान ग्रिगोरिएविच बुब्नोव (1872 - 1919) - जहाज संरचनात्मक यांत्रिकी के संस्थापकों में से एक। 1910 से सेंट पीटर्सबर्ग पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट में प्रोफेसर - मैरीटाइम अकादमी में।

बोरिस ग्रिगोरिएविच गैलेर्किन (1871-1945) - लेनिनग्राद पॉलिटेक्निक संस्थान में प्रोफेसर।

लोचदार प्रणालियों के कंपन और स्थिरता के सिद्धांत में रेले का सूत्र सबसे लोकप्रिय है। रेले के सूत्र की व्युत्पत्ति में अंतर्निहित विचार निम्नलिखित पर आधारित है। आवृत्ति  के साथ एक लोचदार प्रणाली के मोनोहार्मोनिक (एक-स्वर) मुक्त दोलनों के साथ, इसके बिंदुओं की गति हार्मोनिक कानून के अनुसार समय में होती है:

जहां  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) बिंदु के स्थानिक निर्देशांक के कार्य हैं जो प्रश्न (आयाम) में दोलन आकार निर्धारित करते हैं।

यदि ये कार्य ज्ञात हैं, तो मुक्त कंपन की आवृत्ति इस स्थिति से पाई जा सकती है कि शरीर की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर है। यह स्थिति एक ऐसे समीकरण की ओर ले जाती है जिसमें केवल एक अज्ञात मात्रा होती है।

हालाँकि, इन कार्यों के बारे में पहले से पता नहीं होता है। रेले विधि का मार्गदर्शक विचार इन कार्यों को सीमा स्थितियों और कंपन के अपेक्षित आकार के साथ उनकी पसंद से मेल खाते हुए निर्दिष्ट करना है।

आइए हम एक छड़ के समतल झुकने वाले कंपन के लिए इस विचार के कार्यान्वयन पर अधिक विस्तार से विचार करें; कंपन का आकार फ़ंक्शन =(x) द्वारा वर्णित है। मुक्त दोलनों का वर्णन निर्भरता द्वारा किया जाता है

एक मुड़ी हुई छड़ की स्थितिज ऊर्जा

(2)

गतिज ऊर्जा

(3)

कहाँ एल- छड़ की लंबाई, m=m(x) छड़ के वितरित द्रव्यमान की तीव्रता;

छड़ की घुमावदार धुरी की वक्रता; - अनुप्रस्थ कंपन की गति।

दिया गया (1)

.

(4)

(5)

समय के साथ, इनमें से प्रत्येक मात्रा लगातार बदलती रहती है, लेकिन, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, उनका योग स्थिर रहता है, अर्थात।

या यहां भाव (4), (5) को प्रतिस्थापित करके

(7)

इससे रेले का सूत्र प्राप्त होता है:

(8)

यदि द्रव्यमान M i के साथ संकेंद्रित भार को वितरित द्रव्यमान m के साथ एक छड़ से जोड़ा जाता है, तो रेले का सूत्र इस प्रकार होता है:

(9)

व्युत्पत्ति के पूरे पाठ्यक्रम से पता चलता है कि, स्वीकृत मान्यताओं (छड़ के झुकने के तकनीकी सिद्धांत की वैधता, बेलोचदार प्रतिरोध की अनुपस्थिति) के ढांचे के भीतर, यह सूत्र सटीक है यदि (x) कंपन का सही रूप है . हालाँकि, function(x) पहले से अज्ञात है। रेले के सूत्र का व्यावहारिक महत्व यह है कि इसका उपयोग कंपन आकार(x) को देखते हुए, प्राकृतिक आवृत्ति खोजने के लिए किया जा सकता है। साथ ही, निर्णय में निकटता का कमोबेश गंभीर तत्व शामिल किया जाता है। इस कारण से, रेले के सूत्र को कभी-कभी अनुमानित सूत्र भी कहा जाता है।

m=cosnt आइए कंपन को फ़ंक्शन के रूप में लें:(x)=ax 2, जो समस्या की गतिक सीमा स्थितियों को संतुष्ट करता है।

हम परिभाषित करते हैं:

सूत्र के अनुसार (8)

यह परिणाम सटीक परिणाम से काफी भिन्न है

ग्रैमेल फॉर्मूला अधिक सटीक है, जो अभी तक रेले फॉर्मूला जितना लोकप्रिय नहीं हुआ है (शायद इसके सापेक्ष "युवा" के कारण - इसे 1939 में प्रस्तावित किया गया था)।

आइए हम फिर से छड़ के मुक्त झुकने वाले कंपन की उसी समस्या पर ध्यान दें।

मान लीजिए (x) छड़ के मुक्त दोलनों का निर्दिष्ट रूप है। फिर अधिकतम जड़त्वीय बलों की तीव्रता अभिव्यक्ति m 2  द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां, पहले की तरह, m=m(x) छड़ के वितरित द्रव्यमान की तीव्रता है;  2 प्राकृतिक आवृत्ति का वर्ग है। ये बल उस समय निर्दिष्ट मान तक पहुँचते हैं जब विक्षेपण अधिकतम होता है, अर्थात। फ़ंक्शन(x) द्वारा निर्धारित होते हैं।

आइए हम अधिकतम जड़त्वीय बलों के कारण होने वाले झुकने वाले क्षणों के संदर्भ में उच्चतम संभावित झुकने वाली ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति लिखें:

. (10)

यहाँ - भार m 2  के कारण होने वाले झुकने वाले क्षण। आइए हम सशर्त भार m के कारण होने वाले झुकने वाले क्षण को निरूपित करें, अर्थात।  जड़त्वीय बल से 2 गुना कम।

, (11)

और अभिव्यक्ति (10) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

. (12)

उच्चतम गतिज ऊर्जा, ऊपर के समान

. (13)

अभिव्यक्ति (12) और (13) को बराबर करने पर हम ग्रैमेल सूत्र पर पहुंचते हैं:

(14)

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने के लिए, आपको पहले एक उपयुक्त फ़ंक्शन (x) निर्दिष्ट करना होगा। इसके बाद, सशर्त भार m=m(x)(x) निर्धारित किया जाता है और सशर्त भार m के कारण होने वाले भाव लिखे जाते हैं। सूत्र (14) का उपयोग करके, सिस्टम की प्राकृतिक दोलन आवृत्ति निर्धारित की जाती है।

उदाहरण: (पिछले वाले पर विचार करें)

य

m(x)·(x)=अधिकतम 2

आइए स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली के छोटे दोलनों पर विचार करें, जो एक संभावित क्षेत्र की ताकतों और समय-समय पर समय-समय पर बदलने वाली ताकतों के अधीन है। सिस्टम के परिणामी आंदोलनों को मजबूर दोलन कहा जाता है।

बता दें कि परेशान करने वाली सामान्यीकृत ताकतें समय के साथ एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती रहती हैं, जिसमें समान अवधि और प्रारंभिक चरण होते हैं। तब विचाराधीन प्रणाली की गति के समीकरण इस प्रकार होंगे:

विचाराधीन मामले में गति के समीकरण स्थिर गुणांक और दाहिनी ओर वाले रैखिक दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली हैं।

मुख्य निर्देशांक पर जाएँ

गति के समीकरणों का अध्ययन करने की सुविधा के लिए, आइए सिस्टम के मुख्य निर्देशांकों पर आगे बढ़ें। निर्देशांक के बीच संबंध फॉर्म के पिछले पैराग्राफ के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आइए हम सामान्य निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बलों को तदनुसार निरूपित करें। चूंकि सामान्यीकृत बल सिस्टम पर कार्य करने वाले बलों के प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंधित बदलावों के लिए गुणांक का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो

इस तरह:

इस प्रकार, मुख्य निर्देशांक में गति के समीकरण निम्न रूप लेते हैं:

सामान्य निर्देशांक में स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली के मजबूर दोलनों के समीकरण एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और अलग से एकीकृत किए जा सकते हैं।

अशांतकारी बल की क्रांतिक आवृत्तियाँ

सामान्य निर्देशांक में परिवर्तन की दोलन प्रकृति का समीकरण या निर्धारण करता है, एक सीधी रेखा के साथ एक बिंदु के मजबूर दोलन पर विचार करते समय विस्तार से अध्ययन किया जाता है, क्योंकि गति के अंतर समीकरण दोनों मामलों में समान होते हैं। विशेष रूप से, यदि विक्षुब्ध बल की आवृत्ति प्रणाली के प्राकृतिक दोलनों में से किसी एक की आवृत्ति के बराबर है, या फिर समाधान में समय टी को एक कारक के रूप में शामिल किया जाएगा। नतीजतन, पर्याप्त रूप से बड़े टी के लिए सामान्य सामान्यीकृत निर्देशांक में से एक मनमाने ढंग से बड़ा होगा, या हमारे पास अनुनाद की घटना होगी।

स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ दोलन।

सिद्धांत से संक्षिप्त जानकारी.

n शक्तियों वाले सिस्टमस्वतंत्रतागतिशीलता में ऐसी प्रणालियों को कॉल करने की प्रथा है, जिनकी ज्यामितीय स्थिति को पूरी तरह से ठीक करने के लिए किसी भी समय सेट करना आवश्यक है पीपैरामीटर, उदाहरण के लिए स्थिति (विक्षेपण) पीअंक. अन्य बिंदुओं की स्थिति पारंपरिक स्थैतिक तकनीकों द्वारा निर्धारित की जाती है।

के साथ एक प्रणाली का एक उदाहरण पीस्वतंत्रता की डिग्री एक बीम या एक सपाट फ्रेम हो सकती है यदि इसके व्यक्तिगत भागों या तत्वों के द्रव्यमान को सशर्त रूप से (गतिशील गणना की सुविधा के लिए) केंद्रित माना जाता है पीअंक, या यदि इसमें n बड़े द्रव्यमान (इंजन, मोटर) होते हैं, जिसकी तुलना में तत्वों के स्वयं के वजन की उपेक्षा करना संभव है। यदि अलग-अलग संकेंद्रित ("बिंदु") द्रव्यमान, दोलन करते समय, दो दिशाओं में आगे बढ़ सकते हैं, तो सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या उन कनेक्शनों की संख्या के बराबर होगी जो विस्थापन को खत्म करने के लिए सिस्टम पर लगाए जाने चाहिए। सभी जनसमूह का.

यदि स्वतंत्रता की n डिग्री वाली एक प्रणाली को संतुलन से बाहर लाया जाता है, तो यह प्रतिबद्ध होगी मुक्त कंपन, और प्रत्येक "बिंदु" (द्रव्यमान) इस प्रकार के जटिल पॉलीहार्मोनिक दोलन करेगा:

स्थिरांक ए मैंऔर बी मैंगति की प्रारंभिक स्थितियों (समय के क्षण में स्थिर स्तर और वेग से द्रव्यमान का विचलन) पर निर्भर करते हैं टी=0). केवल दोलनों की उत्तेजना के कुछ विशेष मामलों में ही व्यक्तिगत द्रव्यमान के लिए पॉलीहार्मोनिक गति हार्मोनिक में बदल सकती है, अर्थात। जैसा कि एक स्तर की स्वतंत्रता वाली प्रणाली में होता है:

किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या उसकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर होती है।

प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करने के लिए, इस रूप में लिखे गए तथाकथित आवृत्ति निर्धारक को हल करना आवश्यक है:

विस्तारित रूप में यह स्थिति समीकरण देती है पीनिर्धारित करने के लिए वें डिग्री पीω 2 का मान, जिसे आवृत्ति समीकरण कहा जाता है।

δ 11, δ 12, δ 22, आदि के माध्यम से। संभावित गतिविधियों का संकेत दिया गया है. इस प्रकार, δ 12 दूसरी दिशा में लगाए गए एक इकाई बल से पहले द्रव्यमान के स्थान बिंदु की पहली दिशा में दूसरे द्रव्यमान के स्थान बिंदु आदि में विस्थापन है।

स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ, आवृत्ति समीकरण इस प्रकार बनता है:

हमारे पास दो आवृत्तियों के लिए कहां है:

ऐसे मामले में जब व्यक्तिगत द्रव्यमान एम मैंफिर, रैखिक आंदोलनों के साथ संयोजन में घूर्णी या केवल घूर्णी गतियाँ भी कर सकता है मैं-वह समन्वय घूर्णन का कोण होगा, और आवृत्ति निर्धारक में द्रव्यमान होगा

एम मैंद्रव्यमान J के जड़त्व आघूर्ण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए मैं; तदनुसार, दिशा में संभावित हलचलें मैं-वें निर्देशांक ( δ मैं 2 , δ मैं 2 इत्यादि) कोणीय गतियाँ होंगी।

यदि कोई द्रव्यमान कई दिशाओं में दोलन करता है - मैं-मु और क-वें (उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज), तो ऐसा द्रव्यमान संख्या एम के तहत कई बार निर्धारक में भाग लेता है मैंउन्हें कऔर यह कई संभावित आंदोलनों से मेल खाता है ( δ द्वितीय, δ के.के., δ इंद्रकुमार, वगैरह।)।

ध्यान दें कि प्रत्येक प्राकृतिक आवृत्ति में दोलन का अपना विशेष रूप होता है (घुमावदार अक्ष की प्रकृति, विक्षेपण की रेखा, विस्थापन इत्यादि), जो व्यक्तिगत, विशेष मामलों में दोलन का एक वैध रूप बन सकता है, यदि केवल मुक्त हो दोलन उचित रूप से उत्तेजित होते हैं (उचित चयन आवेग, उनके अनुप्रयोग के बिंदु, आदि)। इस मामले में, सिस्टम एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ सिस्टम की गति के नियमों के अनुसार दोलन करेगा।

सामान्य मामले में, अभिव्यक्ति (9.1) के अनुसार, सिस्टम पॉलीहार्मोनिक दोलन करता है, लेकिन यह स्पष्ट है कि कोई भी जटिल लोचदार रेखा, जो सभी प्राकृतिक आवृत्तियों के प्रभाव को दर्शाती है, को फॉर्म के अलग-अलग घटकों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक जो उसकी अपनी आवृत्ति से मेल खाता है कंपन के वास्तविक मोड को घटकों में विघटित करने की प्रक्रिया (जो संरचनात्मक गतिशीलता की जटिल समस्याओं को हल करते समय आवश्यक है) को प्राकृतिक कंपन के मोड में अपघटन कहा जाता है।

यदि प्रत्येक द्रव्यमान में, अधिक सटीक रूप से - स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री की दिशा में, एक अशांतकारी बल लगाया जाता है, जो हार्मोनिक कानून के अनुसार समय में भिन्न होता है

या, जो आगे के उद्देश्यों के लिए उदासीन है, और प्रत्येक द्रव्यमान के लिए बलों के आयाम अलग-अलग हैं, और आवृत्ति और चरण समान हैं, तो ऐसी परेशान करने वाली ताकतों की लंबी कार्रवाई के साथ सिस्टम आवृत्ति के साथ स्थिर-अवस्था मजबूर दोलन करेगा प्रेरक शक्ति का. किसी भी दिशा में गति का आयाम मैं-इस मामले में वह डिग्री होगी:

जहां निर्धारक डी को (9.2) के अनुसार लिखा जाता है, जिसमें ω को θ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और, इसलिए, D≠0; डी मैंअभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

वे। मैंनिर्धारक डी के वें कॉलम को फॉर्म की शर्तों से बने कॉलम द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है: स्वतंत्रता की दो डिग्री के मामले में: (9.6)

और तदनुसार

संकेंद्रित द्रव्यमान ले जाने वाले निरंतर क्रॉस-सेक्शन के बीमों के मजबूर कंपन की गणना करते समय (चित्र 9.1)।

हालाँकि, बीम के किसी भी खंड में विक्षेपण के आयाम, घूर्णन के कोण, झुकने के क्षण और कतरनी बल के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करना आसान है:

(9.7)

कहाँ य 0 , φ 0 , एम 0 , क्यू 0 - प्रारंभिक खंड (प्रारंभिक पैरामीटर) के विक्षेपण, घूर्णन, क्षण और कतरनी बल के आयाम; एम मैंऔर जे मैं- द्रव्यमान और इसकी जड़ता का क्षण (केंद्रित द्रव्यमान); चिह्न ∑ प्रारंभिक खंड से विषय तक स्थित सभी बलों और संकेंद्रित द्रव्यमानों पर लागू होता है।

संकेतित सूत्र (9.7) का उपयोग प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करते समय भी किया जा सकता है, जिसके लिए अशांतकारी शक्तियों पर विचार करना आवश्यक है ∑ आरमैंऔर क्षण ∑ एममैंशून्य के बराबर, मजबूर दोलनों की आवृत्ति को प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के साथ बदलें ω और, दोलनों (मुक्त दोलनों) के अस्तित्व को मानते हुए, उन वर्गों के संबंध में अभिव्यक्ति (9.7) लिखें जहां केंद्रित द्रव्यमान स्थित हैं और आयाम पहले से ही ज्ञात हैं ( संदर्भ अनुभाग, समरूपता की धुरी, आदि)। हमें सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। इस प्रणाली के निर्धारक को शून्य के बराबर करके, हम प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करने में सक्षम होंगे।

आयाम निर्धारित करने के लिए अभिव्यक्ति (9.4) और (9.5) का उपयोग करना उचित साबित होता है ( य 0 , φ 0 , आदि) पर एक्स=0, और फिर (9.7) का उपयोग करके अन्य सभी विक्षेपण तत्वों की गणना करें।

एक मनमाने भार की कार्रवाई के तहत स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ एक प्रणाली की गति की गणना करने की समस्या अधिक जटिल है जो समय के साथ बदलती है और विभिन्न द्रव्यमानों पर लागू होती है।

ऐसी समस्या का समाधान करते समय, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना चाहिए:

क) प्राकृतिक कंपनों की प्राकृतिक आवृत्तियों और तरीकों का निर्धारण;

बी) द्रव्यमान के बीच दिए गए भार को फिर से इकट्ठा करें या, जैसा कि वे कहते हैं, प्राकृतिक कंपन के तरीकों के अनुसार इसे विघटित करें। लोड समूहों की संख्या सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या के बराबर है;

ग) उपरोक्त दो सहायक संचालन करने के बाद, एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक प्रणाली के दोलनों के सिद्धांत से ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके भार के प्रत्येक समूह के लिए गणना करें, और इन सूत्रों में प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति को एक माना जाता है यह भार समूह किससे मेल खाता है;

घ) प्रत्येक श्रेणी के भार से आंशिक समाधानों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है, जो समस्या का अंतिम समाधान निर्धारित करता है।

प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण (9.2) के अनुसार किया जाता है। जहाँ तक प्राकृतिक कंपनों के रूपों की पहचान करने की बात है, यहाँ प्राकृतिक कंपनों के किसी भी रूप की मूल संपत्ति द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है, कि यह बलों से विक्षेपण के प्रभाव की रेखा का प्रतिनिधित्व करता है (जिसकी संख्या की संख्या के बराबर है) स्वतंत्रता की डिग्री) जनता के उत्पाद के आनुपातिक और जनता के लगाव के बिंदुओं के विक्षेपण के निर्देशांक। समान द्रव्यमान के लिए, प्राकृतिक कंपन का रूप विक्षेपण की कोटि के आनुपातिक बलों से विक्षेपण की रेखा का प्रतिनिधित्व करता है; भार आरेख विक्षेपण आरेख के समान है।

सबसे कम आवृत्ति कंपन के सबसे सरल रूप से मेल खाती है। बीम के लिए, अक्सर यह आकार अपने स्वयं के वजन के प्रभाव में सिस्टम की घुमावदार धुरी से निकटता से मेल खाता है। यदि यह संरचना किसी भी दिशा में कम कठोर हो जाती है, उदाहरण के लिए क्षैतिज में, तो वांछित घुमावदार अक्ष की प्रकृति की पहचान करने के लिए, व्यक्ति को इस दिशा में सशर्त रूप से अपना वजन लागू करना होगा।

सैद्धांतिक यांत्रिकी

यूडीसी 531.8:621.8

डी.एम. कोबिलान्स्की, वी.एफ. गोर्बुनोव, वी.ए. गोगोलिन

स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ पिंडों के घूर्णन और कंपन की अनुकूलता

आइए हम एक सपाट पिंड टी पर विचार करें, जिस पर तीन आदर्श प्रतिबंध लगाए गए हैं, जो सभी दिशाओं में केवल पिंड की गति को रोकते हैं, जैसा कि चित्र 1 ए में दिखाया गया है। कनेक्शन बिंदु ए, बी, सी हैं, जो एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित हैं। एक समन्वय प्रणाली चुनने पर ताकि इसका केंद्र त्रिभुज के केंद्र के साथ मेल खाए और इसके साथ संरेखित हो (चित्र 1 ए), हमारे पास कनेक्शन के निर्देशांक हैं: ए (0; आर), बी (^ एल / 3 /2) ; -आर/2), सी ^-एलडी/ई /2; -I/2), जहां I त्रिभुज के केंद्र से उसके शीर्षों तक की दूरी है, यानी, बिंदु A, B, C से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या। इस स्थिति में, शरीर को एक डिग्री की स्वतंत्रता होगी केवल यदि बिंदु A, B, C पर इसकी सीमा के मानक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो वेग का तात्कालिक केंद्र होगा। अन्यथा, शरीर की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या शून्य है और यह न केवल अनुवादात्मक रूप से चल सकती है, बल्कि घूर्णी गति भी कर सकती है। जब किसी पिंड के पास एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, तो यह उपरोक्त मानदंडों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर घूर्णन के तात्कालिक केंद्र के साथ घूमना शुरू कर सकता है। मान लीजिए कि यह बिंदु निर्देशांकों का मूल बिंदु है, बिंदु O. यदि घूर्णन का तात्कालिक केंद्र अपनी स्थिति नहीं बदलता है, तो पिंड T का एकमात्र संभावित आकार बिंदु O पर केंद्र के साथ त्रिज्या R का एक चक्र है।

समस्या उत्पन्न होती है: क्या शरीर के अन्य रूप हैं जो इसे किसी गतिमान केंद्र के सापेक्ष घूमने की अनुमति देते हैं ताकि

क्या शरीर का शरीर इन कनेक्शनों को तोड़े बिना लगातार तीन बिंदुओं ए, बी, सी से होकर गुजरा? हमें ज्ञात साहित्य में ऐसी समस्या पर विचार नहीं किया गया है और जाहिर तौर पर इसे पहली बार हल किया जा रहा है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले पिंड T से जुड़े X1O1Y1 समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक कठोर पिंड के रूप में त्रिभुज ABC की गति पर विचार करते हैं (चित्र 1b)। फिर, यदि त्रिभुज की गति इस प्रकार होती है कि त्रिभुज के 360° के पूर्ण घूर्णन के दौरान उसके शीर्ष लगातार पिंड की सीमा पर बने रहते हैं, तो पिंड निर्धारित के सापेक्ष विपरीत दिशा में भी आवश्यक गति करेगा। त्रिभुज ABC और संबंधित समन्वय प्रणाली XOU।

हम त्रिभुज ABC की गति को केंद्र O के सापेक्ष एक घूर्णन और केंद्र O की गति को ОіХі अक्ष के साथ /(g), ОіУі अक्ष के साथ g(t) के रूप में परिभाषित करते हैं। तब बिंदु A के प्रक्षेपवक्र के पैरामीट्रिक समीकरण का रूप होगा: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

चूँकि g=0 पर बिंदु O को बिंदु O1 के साथ संपाती होना चाहिए, तो शर्त /(0)= g(0)=0 को संतुष्ट होना चाहिए। हमें आवश्यकता है कि जब कोण r = 2n/3 से घुमाया जाए, तो बिंदु A, बिंदु B1 के साथ संपाती हो, बिंदु B, बिंदु C के साथ संपाती हो, और बिंदु C के साथ संपाती हो।

बिंदु A1 के साथ. कोण r = 4n/3 से मुड़ते समय, बिंदु A को बिंदु C1 पर, बिंदु B को बिंदु A1 पर, और बिंदु C को बिंदु B1 पर जाना चाहिए। त्रिभुज के शीर्षों की गति के लिए इन आवश्यकताओं के संयोजन से घूर्णन के केंद्र को स्थानांतरित करने के कार्यों के मूल्यों के लिए स्थितियां बनती हैं /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) शर्तें (2) कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी से संतुष्ट होती हैं, विशेष रूप से फॉर्म पाप (3एमटी/2) के कार्यों में, जहां एम एक पूर्णांक है, और फॉर्म के आम तौर पर परिवर्तनीय गुणांक के साथ उनके रैखिक संयोजन:

एच (जी) = ^ बीटी (जी) 8Іп(3тґ / 2)

इसके अलावा, जैसे

चित्र .1। गणना योजना: ए) - एक्सओयू प्रणाली में स्थिर निकाय और उसके कनेक्शन की स्थिति; बी) - शरीर से जुड़ी निश्चित प्रणाली X1O1U1 की स्थिति, और त्रिकोण एबीसी से जुड़ी चल प्रणाली XOU

सैद्धांतिक यांत्रिकी

अंक 2। पिंडों के आकार और उनके घूर्णन केंद्रों की गति के प्रक्षेप पथ

चावल। 3. किसी कोण पर मुड़ते समय पिंड की स्थिति और उसके घूर्णन केंद्र की गति का संगत प्रक्षेप पथ

विस्थापन कार्य, ऐसे कार्य जो बंद वक्रों को परिभाषित करते हैं, जैसे साइक्लोइड्स, ट्रोकोइड्स, लेम्निस्केट्स, स्थिति (2) के अनुसार उपयुक्त मापदंडों के साथ लिए जा सकते हैं। इस मामले में, सभी संभावित कार्य 2n/3 की अवधि के साथ आवधिक होने चाहिए।

इस प्रकार, पैरामीट्रिक समीकरणों की प्रणाली (1) कार्यों के मूल्यों पर शर्तों के साथ /(^, जी(टी) (2) या उनके रूप में (3) शरीर टी की सीमा के लिए वांछित समीकरण देती है। चित्र 2 संभावित शरीर आकृतियों के उदाहरण दिखाता है जो कार्य की शर्तों को पूरा करते हैं। प्रत्येक आकृति के केंद्र में रोटेशन के केंद्र O1 का प्रक्षेपवक्र दिखाया गया है, और बिंदु कनेक्शन ए, बी, सी को उनके बेहतर दृश्य के लिए बड़ा किया गया है। ये उदाहरण दिखाएँ कि निरंतर गुणांक वाले अभिव्यक्ति (3) द्वारा परिभाषित वर्ग के सरल प्रकार के कार्य भी हमें घूर्णन से गुजरने वाले निकायों की सीमाओं का वर्णन करने वाले वक्रों का एक विस्तृत सेट देते हैं और

स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री के साथ एक साथ दोलन। चित्र 2 में सीमा वक्र ए), सी) केवल क्षैतिज अक्ष के साथ घूर्णन के केंद्र की गति के अनुरूप हैं

ОіХі हार्मोनिक कानून के अनुसार, और जैसा कि देखा जा सकता है, समरूपता के दो अक्ष हैं और या तो पूरी तरह से उत्तल, अंडाकार (छवि 2 ए) हो सकते हैं, या अवतलता के साथ उत्तलता को जोड़ सकते हैं (छवि 2 बी)। घूर्णन के केंद्र की गति के समान आयाम के साथ एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज हार्मोनिक कानून के साथ, सीमा वक्र अपनी समरूपता खो देते हैं (छवि 2 सी, डी)। किसी पिंड के सीमा वक्र के आकार पर हार्मोनिक कंपन की आवृत्ति का महत्वपूर्ण प्रभाव चित्र 2 डी, एफ में दिखाया गया है। सीमा के आकार और ज्यामितीय गुणों पर आयाम और आवृत्ति के प्रभाव का पूर्ण विश्लेषण किए बिना इस कार्य में वक्र, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि चित्र 2 में प्रस्तुत उदाहरण पहले से ही वांछित आकार चुनने में तकनीकी समस्याओं को हल करने की क्षमता दिखाते हैं

पिंड अपनी घूर्णी गति को घूर्णन के तल में दोलनों के साथ संयोजित करता है।

अब त्रिभुज ABC से जुड़े निश्चित समन्वय प्रणाली घूर्णन का दिया गया कोण p x = cosp-

कोस्प(4)

या समीकरण (1) को ध्यान में रखते हुए, समीकरण (4) x = cosp- का रूप लेते हैं

- [आर कॉस(टी) + जी (टी) - जी (पी)] पाप पी, वाई = पाप पी +

क्योंकि पी.

समीकरण (5) शरीर के किसी भी बिंदु के प्रक्षेपवक्र को उसकी दी गई ध्रुवताओं के अनुसार वर्णित करना संभव बनाता है।

टी-जी.आई एम*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. डी-0

चावल। 4. अलग-अलग संख्या में कनेक्शन के साथ शरीर के आकार के वेरिएंट, पिंडों के घूर्णन और कंपन की अनुकूलता सुनिश्चित करते हैं

nal निर्देशांक R,t. विशेष रूप से, R=0, t=0 पर हमारे पास एक बिंदु है जो निर्देशांक ओबी की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, यानी, रोटेशन का केंद्र, विचाराधीन योजना में प्रक्षेपवक्र को निम्नलिखित समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है (5) :

*0 = -एफ (पीएच) कॉस पीएच + जी (पीएच) सिन पीएच, वाई0 = - एफ (पीएच) सिन पीएच- जी (पीएच) कॉस आर।

चित्र 3 शरीर की स्थिति का एक उदाहरण दिखाता है (चित्र 2बी) जब इसे कोण φ के माध्यम से घुमाया जाता है, और प्रत्येक चित्र के केंद्र में घूर्णन के केंद्र का प्रक्षेपवक्र दिखाया गया है

ओआई, इस कोण के माध्यम से शरीर के घूर्णन के अनुरूप। तकनीकी रूप से एनीमेशन बनाना कठिन नहीं है

भौतिक मॉडल के बजाय चित्र 3 में दिखाए गए शरीर की गति, हालांकि, एक जर्नल लेख की रूपरेखा केवल इलेक्ट्रॉनिक संस्करण में ही इसकी अनुमति दे सकती है। दिखाया गया उदाहरण अभी भी था

विचार की गई समस्या का सामान्यीकरण एक नियमित त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित बिंदुओं के रूप में एन आदर्श कनेक्शन की एक प्रणाली है, जो शरीर के केवल अनुवाद संबंधी आंदोलनों को रोकता है। इसलिए, जैसा कि एक त्रिभुज के मामले में होता है, पिंड घूर्णन के केंद्र के सापेक्ष घूमना शुरू कर सकता है, जो कनेक्शन बिंदुओं पर शरीर की सीमा के मानदंडों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है। इस मामले में, ओयू अक्ष पर स्थित और घूर्णन के केंद्र से दूरी एच पर स्थित शरीर ए के एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के समीकरण का रूप (1) के समान होगा। इस मामले में घूर्णन के केंद्र (2) को स्थानांतरित करने के कार्यों के मूल्यों के लिए शर्तें लगेंगी

कोबिल्यांस्की गोर्बुनोव

दिमित्री मिखाइलोविच वालेरी फेडोरोविच

विभाग के स्नातकोत्तर छात्र। स्थिर और - डॉक्टर। तकनीक. विज्ञान, प्रो. विभाग सौ

परिवहन वाहन, स्थिर और परिवहन वाहन

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

स्थिति (7) 2एन/एन की अवधि के साथ आवधिक कार्यों से मेल खाती है, उदाहरण के लिए 8एम(एन-एम4/2), साथ ही फॉर्म (3) के उनके रैखिक संयोजन और बंद वक्रों का वर्णन करने वाले अन्य फ़ंक्शन। ऊपर वर्णित के समान तर्क समान समीकरणों (4-6) की ओर ले जाता है, जो शरीर के आकार, घूर्णन के दौरान इसकी स्थिति और घूर्णन के अनुरूप शरीर के दोलनों के साथ घूर्णन के केंद्र के प्रक्षेपवक्र की गणना करना संभव बनाता है। . ऐसी गणनाओं का एक उदाहरण चित्र 4 है, जिसमें बिंदीदार रेखा पिंडों की प्रारंभिक स्थिति दिखाती है, ठोस रेखा कोण l/3 के माध्यम से घूमते समय पिंडों की स्थिति दिखाती है, और प्रत्येक आकृति के केंद्र में शरीर के पूर्ण घूर्णन के दौरान घूर्णन के केंद्र का पूर्ण प्रक्षेप पथ। और यद्यपि इस उदाहरण में केवल रोटेशन के केंद्र ओ के क्षैतिज आंदोलन को एन-गॉन के केंद्र के रूप में माना जाता है, प्राप्त परिणाम एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ शरीर के संभावित आकार की एक विस्तृत श्रृंखला दिखाते हैं, घूर्णी गति का संयोजन चार, पांच और छह कनेक्शन की उपस्थिति में दोलन के साथ।

स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ पिंडों के घूर्णन और दोलन आंदोलनों की अनुकूलता की गणना करने के लिए परिणामी विधि का उपयोग स्थानिक पिंडों के लिए बिना किसी अतिरिक्त के भी किया जा सकता है, जिसके लिए तीसरे समन्वय के साथ गति और अन्य समन्वय विमानों में घुमाव निषिद्ध हैं।

गोगोलिन व्याचेस्लाव अनातोलीविच

डॉ। तकनीक. विज्ञान, प्रो. विभाग अनुप्रयुक्त गणितज्ञ और