16.1. टेलर श्रृंखला में प्राथमिक कार्यों का विस्तार और

मक्लौरिन

आइए हम दिखाते हैं कि यदि किसी सेट पर एक मनमाना फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है
, बिंदु के आसपास के क्षेत्र में
इसके कई व्युत्पन्न हैं और यह एक घात श्रृंखला का योग है:

तो आप इस श्रृंखला के गुणांक पा सकते हैं।

आइए एक शक्ति श्रृंखला में स्थानापन्न करें
. तब
.

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें
:

पर
:
.

दूसरे व्युत्पन्न के लिए हमें मिलता है:

पर
:
.

यह प्रक्रिया जारी है एनएक बार हमें मिल जाए:
.

इस प्रकार, हमें फॉर्म की एक शक्ति श्रृंखला प्राप्त हुई:

,

जिसे कहा जाता है टेलर के बगल मेंसमारोह के लिए
बिंदु के आसपास
.

टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है मैकलॉरिन श्रृंखलापर
:

टेलर (मैकलॉरिन) श्रृंखला का शेष भाग मुख्य श्रृंखला को हटाकर प्राप्त किया जाता है एनपहले सदस्यों और के रूप में दर्शाया गया है
. फिर फ़ंक्शन
योग के रूप में लिखा जा सकता है एनश्रृंखला के पहले सदस्य
और शेष
:,

.

शेष प्रायः है
विभिन्न सूत्रों में व्यक्त किया गया है।

उनमें से एक लैग्रेंज रूप में है:

, कहाँ
.
.

ध्यान दें कि व्यवहार में मैकलॉरिन श्रृंखला का अधिक बार उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन लिखने के लिए
घात श्रृंखला के योग के रूप में यह आवश्यक है:

1) मैकलॉरिन (टेलर) श्रृंखला के गुणांक ज्ञात करें;

2) परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें;

3) सिद्ध करें कि यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है
.

प्रमेय1 (मैकलॉरिन श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। माना श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या
. इस श्रृंखला को अंतराल में अभिसरण करने के लिए
कार्य करने के लिए
, शर्त पूरी होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:
निर्दिष्ट अंतराल में.

प्रमेय 2.यदि फ़ंक्शन के किसी भी क्रम का व्युत्पन्न
कुछ अंतराल में
पूर्ण मान में समान संख्या तक सीमित एम, वह है
, फिर इस अंतराल में फ़ंक्शन
मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है।

उदाहरण1 . एक बिंदु के पड़ोस में टेलर श्रृंखला में विस्तार करें
समारोह

समाधान।

.

, ;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

अभिसरण क्षेत्र
.

उदाहरण2 . किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास
.

समाधान:

फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

आइए इन मानों को एक पंक्ति में रखें। हम पाते हैं:

या
.

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें। डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण के अनुसार, एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि

.

इसलिए, किसी के लिए यह सीमा 1 से कम है, और इसलिए श्रृंखला के अभिसरण की सीमा होगी:
.

आइए बुनियादी प्राथमिक कार्यों के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार के कई उदाहरणों पर विचार करें। मैकलॉरिन श्रृंखला को याद करें:

.

अंतराल पर एकत्रित होता है
कार्य करने के लिए
.

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए यह आवश्यक है:

ए) इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला के गुणांक खोजें;

बी) परिणामी श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या की गणना करें;

ग) साबित करें कि परिणामी श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
.

उदाहरण 3.फ़ंक्शन पर विचार करें
.

समाधान।

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान की गणना करें
.

तब श्रृंखला के संख्यात्मक गुणांक का रूप होता है:

किसी के लिए भी एन।आइए पाए गए गुणांकों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

आइए हम परिणामी श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें, अर्थात्:

.

इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
.

यह शृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है किसी भी मान के लिए , क्योंकि किसी भी अंतराल पर
समारोह और निरपेक्ष मूल्य में इसके व्युत्पन्न संख्या द्वारा सीमित हैं .

उदाहरण4 . फ़ंक्शन पर विचार करें
.

समाधान.

:

यह देखना आसान है कि व्युत्पन्न सम क्रम का है
, और व्युत्पन्न विषम क्रम के हैं। आइए हम पाए गए गुणांकों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और विस्तार प्राप्त करें:

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल ज्ञात करें। डी'एलेम्बर्ट के संकेत के अनुसार:

किसी के लिए भी . इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
.

यह शृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
, क्योंकि इसके सभी व्युत्पन्न एकता तक ही सीमित हैं।

उदाहरण5 .
.

समाधान।

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
:

इस प्रकार, इस श्रृंखला के गुणांक:
और
, इस तरह:

पिछली पंक्ति के समान, अभिसरण का क्षेत्र
. श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
, क्योंकि इसके सभी व्युत्पन्न एकता तक ही सीमित हैं।

कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन
विषम शक्तियों में विषम और श्रृंखला विस्तार, कार्य
- सम और सम घातों में एक शृंखला में विस्तार।

उदाहरण6 . द्विपद श्रृंखला:
.

समाधान.

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
:

इससे यह देखा जा सकता है कि:

आइए हम इन गुणांक मानों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और इस फ़ंक्शन का पावर श्रृंखला में विस्तार प्राप्त करें:

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें:

इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
. सीमित बिंदुओं पर
और
घातांक के आधार पर कोई श्रृंखला अभिसरित हो भी सकती है और नहीं भी
.

अध्ययन की गई श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
कार्य करने के लिए
, अर्थात् श्रृंखला का योग
पर
.

उदाहरण7 . आइए मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें
.

समाधान।

इस फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, हम द्विपद श्रृंखला का उपयोग करते हैं
. हम पाते हैं:

शक्ति श्रृंखला की संपत्ति के आधार पर (एक शक्ति श्रृंखला को इसके अभिसरण के क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है), हम इस श्रृंखला के बाएं और दाएं पक्षों का अभिन्न अंग पाते हैं:

आइये इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र ज्ञात करें:
,

अर्थात् इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र अंतराल है
. आइए हम अंतराल के अंत में श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें। पर

. यह शृंखला एक सामंजस्यपूर्ण शृंखला है, अर्थात विचलन करती है। पर
हमें एक सामान्य पद वाली एक संख्या श्रृंखला मिलती है
.

श्रृंखला लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार अभिसरण करती है। इस प्रकार, इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र अंतराल है
.

16.2. अनुमानित गणना में शक्ति श्रृंखला का अनुप्रयोग

अनुमानित गणना में, शक्ति श्रृंखला अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उनकी सहायता से, त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएँ, लघुगणक की तालिकाएँ, अन्य कार्यों के मूल्यों की तालिकाएँ संकलित की गई हैं, जिनका उपयोग ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में। इसके अलावा, कार्यों का एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार उनके सैद्धांतिक अध्ययन के लिए उपयोगी है। अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का उपयोग करते समय मुख्य मुद्दा श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग के साथ प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि का अनुमान लगाने का प्रश्न है एनसदस्य.

आइए दो मामलों पर विचार करें:

फ़ंक्शन को संकेत-प्रत्यावर्ती श्रृंखला में विस्तारित किया गया है;

फ़ंक्शन को स्थिर चिह्न की एक श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।

वैकल्पिक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

कार्य करने दो
एक वैकल्पिक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित। फिर किसी विशिष्ट मान के लिए इस फ़ंक्शन की गणना करते समय हमें एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है जिस पर हम लाइबनिज़ मानदंड लागू कर सकते हैं। इस मानदंड के अनुसार, यदि किसी श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग से बदल दिया जाए एनशर्तें, तो पूर्ण त्रुटि इस श्रृंखला के शेष के पहले पद से अधिक नहीं है, अर्थात:
.

उदाहरण8 . गणना
0.0001 की सटीकता के साथ।

समाधान.

हम मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करेंगे
, कोण मान को रेडियन में प्रतिस्थापित करने पर:

यदि हम दी गई सटीकता के साथ श्रृंखला के पहले और दूसरे शब्दों की तुलना करते हैं, तो:।

विस्तार का तीसरा कार्यकाल:

निर्दिष्ट गणना सटीकता से कम। इसलिए, गणना करने के लिए
यह श्रृंखला के दो पदों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है, अर्थात

.

इस प्रकार
.

उदाहरण9 . गणना
0.001 की सटीकता के साथ.

समाधान.

हम द्विपद श्रृंखला सूत्र का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए लिखें
जैसा:
.

इस अभिव्यक्ति में
,

आइए श्रृंखला के प्रत्येक पद की निर्दिष्ट सटीकता के साथ तुलना करें। यह स्पष्ट है कि
. इसलिए, गणना करने के लिए
यह श्रृंखला के तीन पदों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है।

या
.

सकारात्मक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

उदाहरण10 . संख्या की गणना करें 0.001 की सटीकता के साथ.

समाधान.

किसी समारोह के लिए एक पंक्ति में
आइए स्थानापन्न करें
. हम पाते हैं:

आइए उस त्रुटि का अनुमान लगाएं जो किसी श्रृंखला के योग को पहली श्रृंखला के योग से प्रतिस्थापित करने पर उत्पन्न होती है सदस्य. आइए हम स्पष्ट असमानता को लिखें:

वह 2 है<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

समस्या के अनुसार आपको ढूंढना होगा एनजैसे कि निम्नलिखित असमानता कायम है:
या
.

यह जांचना आसान है कि कब एन= 6:
.

इस तरह,
.

उदाहरण11 . गणना
0.0001 की सटीकता के साथ।

समाधान.

ध्यान दें कि लघुगणक की गणना करने के लिए फ़ंक्शन के लिए एक श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है
, लेकिन यह शृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरित होती है और दी गई सटीकता प्राप्त करने के लिए 9999 पद लेना आवश्यक होगा! इसलिए, लघुगणक की गणना करने के लिए, एक नियम के रूप में, फ़ंक्शन के लिए एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है
, जो अंतराल पर एकत्रित होता है
.

चलिए हिसाब लगाते हैं
इस श्रृंखला का उपयोग कर रहे हैं. होने देना
, तब .

इस तरह,
,

गणना करने के लिए
दी गई सटीकता के साथ, पहले चार पदों का योग लें:
.

शेष शृंखला
चलो इसे त्यागें. आइए त्रुटि का अनुमान लगाएं. यह तो स्पष्ट है

या
.

इस प्रकार, गणना के लिए जिस श्रृंखला का उपयोग किया गया था, उसमें फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला में 9999 के बजाय केवल पहले चार पद लेने के लिए पर्याप्त था
.

स्व-निदान प्रश्न

1. टेलर श्रृंखला क्या है?

2. मैकलॉरिन श्रृंखला का क्या रूप था?

3. टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर एक प्रमेय तैयार करें।

4. मैकलॉरिन श्रृंखला के मुख्य कार्यों का विस्तार लिखिए।

5. विचाराधीन श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्रों को इंगित करें।

6. पावर श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना में त्रुटि का अनुमान कैसे लगाएं?

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिए कि हमें दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग एक निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित फ़ंक्शन बन जाता है। प्रश्न उठता है: क्या यह कहना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) एक निश्चित घात श्रृंखला का योग है? अर्थात्, किन परिस्थितियों में फ़ंक्शन f(x) को घात श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि किसी घात श्रृंखला, यानी एक बहुपद के पहले कुछ पदों के योग के साथ फ़ंक्शन f(x) को लगभग प्रतिस्थापित करना संभव है। एक फ़ंक्शन का एक सरल अभिव्यक्ति के साथ यह प्रतिस्थापन - एक बहुपद - कुछ समस्याओं को हल करते समय भी सुविधाजनक होता है, अर्थात्: अभिन्न को हल करते समय, गणना करते समय, आदि।

यह सिद्ध हो चुका है कि एक निश्चित फ़ंक्शन f(x) के लिए, जिसमें (α - R; x 0 + R) के पड़ोस में, अंतिम सहित (n+1)वें क्रम तक डेरिवेटिव की गणना करना संभव है ) कुछ बिंदु x = α, यह सत्य है कि सूत्र:

इस फॉर्मूले का नाम मशहूर वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है. पिछली श्रृंखला से जो श्रृंखला प्राप्त होती है उसे मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

वह नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार करना संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे... ऑर्डर के डेरिवेटिव निर्धारित करें।
2. गणना करें कि x=0 पर व्युत्पन्न किसके बराबर हैं।
3. इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला लिखें, और फिर इसके अभिसरण का अंतराल निर्धारित करें।
4. अंतराल (-R;R) निर्धारित करें, जहां मैकलॉरिन सूत्र का शेष है

आर एन (एक्स) -> 0 एन पर -> अनंत। यदि कोई मौजूद है, तो उसमें मौजूद फ़ंक्शन f(x) को मैकलॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

आइए अब हम व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. तो, पहला f(x) = e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, ऐसे फ़ंक्शन में बहुत अलग ऑर्डर के व्युत्पन्न होते हैं, और f (k) (x) = e x, जहां k सभी के बराबर होता है। x = 0 रखें। हमें f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 मिलता है... उपरोक्त के आधार पर, श्रृंखला e x इस तरह दिखेगी:

2. फलन f(x) = पाप x के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला। आइए हम तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में डेरिवेटिव होंगे, इसके अलावा, f "(x) = cos x = पाप (x + n/2), f "" (x) = -sin x = पाप (x + 2*n/2)..., f (k) (x) = syn(x+k*n/2), जहां k किसी प्राकृतिक संख्या के बराबर है। यानी, सरल गणना करने के बाद, हम इस पर आ सकते हैं निष्कर्ष यह है कि f(x) = पाप x के लिए श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

3. अब आइए फलन f(x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। सभी अज्ञात के लिए इसमें मनमाना क्रम के व्युत्पन्न हैं, और |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन कुछ कार्यों के लिए उन्हें टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक किया गया है। अब हम उनकी सूची बनाएंगे. यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के व्यावहारिक कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।

1. पहली फ़ंक्शन f(x) = ln(1+x) के लिए श्रृंखला होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, दिए गए f(x) = ln(1+x) के लिए हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हम ऐसे नमूने के f(x) = ln(1+x) के लिए एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f(x) = arctan x के लिए श्रृंखला होगी। अंतराल [-1;1] से संबंधित x के लिए विस्तार मान्य है:

बस इतना ही। इस लेख ने उच्च गणित में, विशेष रूप से अर्थशास्त्र और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला की जांच की।

यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले एक निश्चित अंतराल पर सभी आदेशों का व्युत्पन्न है, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x, x और a के बीच है।

कार्यों में प्रवेश के नियम:

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन→0 पर एन→∞, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण हो जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) को विचाराधीन बिंदु x पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

जब a = 0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर=∞
त्रिकोणमितीय कार्य
, आर=∞
, आर=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फ़ंक्शन actgx x की शक्तियों में विस्तारित नहीं होता है, क्योंकि ctg0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणकीय कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें एफ(एक्स)= 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0
एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;
च"(x) = 2एक्सएलएन2, एफ"( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;
च""(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;
…
एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ के लिए मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण क्रमांक 2. टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=इ एक्स.
समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;
च"(x)= ई एक्स, एफ"(-4) = ई -4 ;
च""(x)= ई एक्स, एफ""(-4) = ई -4 ;
…
एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .
इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

यह विस्तार -∞ के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण संख्या 3. किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).
समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरण करती है<1 . Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। जब x=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

उदाहरण संख्या 4. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. विस्तार (1) में हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:
, -∞

उदाहरण क्रमांक 5. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें .
समाधान. हमारे पास है
सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

सूत्र में x के स्थान पर -x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

यहां से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें प्राप्त होता है
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है, क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करती है।

टिप्पणी .
सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण संख्या 5ए. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें।
समाधान। सबसे पहले हम 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , पाते हैं।
प्रारंभिक करने के लिए:

भिन्न 3/(1-3x) को 3x के हर के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में माना जा सकता है, यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.

उदाहरण संख्या 6. बिंदु x = 3 के आसपास फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):
=
परिणामी श्रृंखला या -3 पर अभिसरित होती है

उदाहरण संख्या 7. फ़ंक्शन ln(x+2) की शक्तियों (x -1) में टेलर श्रृंखला लिखें।
समाधान.


श्रृंखला , या -2 पर एकत्रित होती है< x < 5.

उदाहरण संख्या 8. फ़ंक्शन f(x)=sin(πx/4) को बिंदु x =2 के आसपास टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. आइए प्रतिस्थापन t=x-2 करें:

विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के स्थान पर π/4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी श्रृंखला -∞ पर दिए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞इस प्रकार,
, (-∞

पावर श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी सहायता से, आप दी गई सटीकता के साथ मूलों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक और निश्चित अभिन्नों के मूल्यों की गणना कर सकते हैं। विभेदक समीकरणों को एकीकृत करते समय श्रृंखला का भी उपयोग किया जाता है।
घात श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, इसके विस्तार में पहले वाले बचे हैं एनसदस्य ( एन- एक परिमित संख्या), और शेष पद हटा दिए जाते हैं:

प्राप्त अनुमानित मान की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, छोड़े गए शेषफल rn (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करें:

• यदि परिणामी श्रृंखला वैकल्पिक है, तो निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है: एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए जो लीबनिज़ की शर्तों को पूरा करती है, श्रृंखला का शेष पूर्ण मूल्य में पहले छोड़े गए पद से अधिक नहीं है.
• यदि दी गई श्रृंखला स्थिर चिह्न वाली है, तो छोड़े गए पदों से बनी श्रृंखला की तुलना अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति से की जाती है।
• सामान्य स्थिति में, टेलर श्रृंखला के शेष का अनुमान लगाने के लिए, आप लैग्रेंज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: a एक्स ).

उदाहरण क्रमांक 1. निकटतम 0.01 तक ln(3) की गणना करें।
समाधान. आइए विस्तार का उपयोग करें जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):

आइए देखें कि क्या हम विस्तार के पहले तीन पदों के बाद शेषफल को त्याग सकते हैं; ऐसा करने के लिए, हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करेंगे:

अतः हम इस शेषफल को त्याग कर प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण क्रमांक 2. निकटतम 0.0001 तक गणना करें।
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 के निकटतम पूर्णांक का घन है, इसलिए संख्या 130 को 130 = 5 3 +5 के रूप में दर्शाने की सलाह दी जाती है।



चूंकि लीबनिज़ मानदंड को संतुष्ट करने वाली परिणामी वैकल्पिक श्रृंखला का चौथा पद पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद के शब्दों को ख़ारिज किया जा सकता है।
कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित अभिन्नों की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग प्रतिअवकलन खोजने से जुड़ा है, जिसकी अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि प्रतिअवकलन खोजना संभव है, लेकिन यह अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य है। हालाँकि, यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, और एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ इंटीग्रल की अनुमानित गणना संभव है।

इस प्रकार, हम पाते हैं
.

उदाहरण संख्या 4. 0.001 की सटीकता के साथ अभिन्न ∫ 0 1 4 e x 2 की गणना करें।
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेषफल को हटा सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, .

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, केंद्रीय स्थान पर एक फ़ंक्शन के श्रृंखला में विस्तार के लिए समर्पित अनुभाग का कब्जा है।

इस प्रकार, कार्य निर्धारित है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए हमें ऐसी शक्ति शृंखला खोजने की आवश्यकता है

जो एक निश्चित अंतराल पर एकत्रित होता था और उसका योग बराबर होता था
, वे।

= ..

इस कार्य को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या।

किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए एक आवश्यक शर्तक्या इसकी भिन्नता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से निम्नानुसार है। यह शर्त, एक नियम के रूप में, उनकी परिभाषा के क्षेत्र में प्राथमिक कार्यों के लिए संतुष्ट है।

तो चलिए मान लेते हैं कि function
किसी भी क्रम का व्युत्पन्न है। क्या इसे पावर श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? यदि हां, तो हम इस श्रृंखला को कैसे ढूंढ सकते हैं? समस्या का दूसरा भाग हल करना आसान है, तो चलिए इससे शुरू करते हैं।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन
बिंदु युक्त अंतराल में अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ ए 0 ,ए 1 ,ए 2 ,...,ए पी ,... - अज्ञात (अभी तक) गुणांक।

आइए हम मान को समानता (*) में रखें एक्स = एक्स 0 , तो हम पाते हैं

.

आइए हम पद दर पद घात श्रृंखला (*) में अंतर करें

= ..

और यहाँ विश्वास है एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं

.

अगले विभेदन से हमें श्रृंखला प्राप्त होती है

= ..

विश्वास एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ
.

बाद पी- हमें कई भेदभाव मिलते हैं

अंतिम समानता में मानते हुए एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ

तो, गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

जिसे श्रृंखला (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

परिणामी श्रृंखला कहलाती है टेलर के बगल में समारोह के लिए
.

इस प्रकार, हमने इसे स्थापित किया है यदि फ़ंक्शन को घातों (x - x) में घात श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है 0 ), तो यह विस्तार अद्वितीय है और परिणामी श्रृंखला आवश्यक रूप से एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है जिसमें बिंदु पर किसी भी क्रम का व्युत्पन्न होता है एक्स = एक्स 0 . लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि फ़ंक्शन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिह्न रखा जा सकता है, अर्थात। कि श्रृंखला का योग मूल फलन के बराबर है। सबसे पहले, ऐसी समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला भिन्न हो सकती है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल फ़ंक्शन के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2. टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ

आइए एक कथन तैयार करें जिसकी सहायता से कार्य हल हो जाएगा।

यदि फ़ंक्शन
बिंदु x के किसी पड़ोस में 0 तक डेरिवेटिव हैं (एन+ 1) आदेश समावेशी, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैFORMULA टेलर

कहाँआर एन (एक्स)-टेलर सूत्र के शेष पद का रूप है (लैग्रेंज रूप)

कहाँ डॉटξ x और x के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र के बीच अंतर है: टेलर सूत्र एक सीमित योग है, अर्थात। पी -निर्धारित अंक।

श्रृंखला के उस योग को याद करें एस(एक्स) इसे आंशिक योगों के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस पी (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार, किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का मतलब किसी के लिए ऐसी श्रृंखला ढूंढना है एक्सएक्स

आइए टेलर के सूत्र को इस रूप में लिखें

नोटिस जो
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करता है एफ(एक्स) बहुपद एस एन (एक्स).

अगर
, वह
,वे। फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है। इसके विपरीत, यदि
, वह
.

इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए मानदंड।

समारोह के लिएएफ(x) टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है, इस अंतराल पर यह आवश्यक और पर्याप्त है
, कहाँआर एन (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष पद है।

तैयार किए गए मानदंड का उपयोग करके, कोई भी प्राप्त कर सकता है पर्याप्तटेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x का कुछ पड़ोस 0 फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के निरपेक्ष मान समान संख्या M तक सीमित हैं≥ 0, यानी

, टीo इस पड़ोस में फ़ंक्शन टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है।

ऊपर से यह इस प्रकार है कलन विधिकार्य विस्तार एफ(एक्स) टेलर श्रृंखला मेंएक बिंदु के आसपास एक्स 0 :

1. फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न ढूँढना एफ(एक्स):

एफ(एक्स), एफ'(एक्स), एफ"(एक्स), एफ'"(एक्स), एफ (एन) (एक्स),…

2. बिंदु पर फ़ंक्शन के मान और उसके डेरिवेटिव के मान की गणना करें एक्स 0

एफ(एक्स 0 ), एफ'(एक्स 0 ), एफ”(एक्स 0 ), एफ''(x 0 ), एफ (एन) (एक्स 0 ),…

3. हम औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला लिखते हैं और परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ढूंढते हैं।

4. हम पर्याप्त शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं, अर्थात। जिसके लिए हम स्थापित करते हैं एक्सअभिसरण क्षेत्र से, शेष पद आर एन (एक्स) के रूप में शून्य हो जाता है
या
.

इस एल्गोरिथम का उपयोग करके टेलर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार को कहा जाता है परिभाषा के अनुसार किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला में विस्तारया प्रत्यक्ष अपघटन.

यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)कुछ अंतराल पर बिंदु युक्त है ए, सभी आदेशों के व्युत्पन्न, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:

कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:

, जहां संख्या x बीच में है एक्सऔर ए.

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन®0 पर एन®¥, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए एक अभिसरण सूत्र में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:

तो समारोह एफ(एक्स)विचाराधीन बिंदु पर इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है एक्स, अगर:

1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;

2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

पर ए=0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:

उदाहरण 1 एफ(एक्स)= 2एक्स.

समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0

एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;

एफ¢(एक्स) = 2एक्सएलएन2, एफ¢( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;

f¢¢(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ¢¢( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;

एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.

डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -¥ के लिए मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 2 एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=इ एक्स.

समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.

एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;

एफ¢(एक्स)= ई एक्स, एफ¢(-4) = ई -4 ;

f¢¢(x)= ई एक्स, एफ¢¢(-4) = ई -4 ;

एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .

इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

यह विस्तार -¥ के लिए भी मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 3 . किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),

(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).

समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला कब अभिसरण करती है

½ एक्स- 1½<1. Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। पर एक्स=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है. इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

आइए हम इस प्रकार प्राप्त विस्तारों को मैकलॉरिन श्रृंखला (अर्थात बिंदु के आसपास) में प्रस्तुत करें एक्स=0) कुछ प्राथमिक कार्यों के लिए:

(2) ,

(3) ,

(अंतिम अपघटन कहलाता है द्विपद श्रृंखला)

उदाहरण 4 . फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें

समाधान. विस्तार में (1) हम प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपर - एक्स 2, हमें मिलता है:

उदाहरण 5 . मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें

समाधान. हमारे पास है

सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करना एक्ससूत्र में -एक्स, हम पाते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं:

कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें प्राप्त होता है

यह शृंखला अंतराल में अभिसरित होती है

(-1;1), चूँकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होता है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करता है।

टिप्पणी .

सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी फ़ंक्शन की शक्ति श्रृंखला विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय को दर्शाती है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण 6 . किसी बिंदु के पड़ोस में टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें एक्स=3.

समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):

परिणामी श्रृंखला पर अभिसरित होती है या -3<एक्स- 3<3, 0<एक्स< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

उदाहरण 7 . टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स-1) कार्य .

समाधान.

शृंखला यहाँ एकत्रित होती है , या 2< एक्स£5.