कुल अंतर में अंतर समीकरण. कुल अंतर में समीकरण, वक्ररेखीय समाकलन, कुल अंतर की बहाली

मानक फॉर्म $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, जिसमें बाईं ओर कुछ फ़ंक्शन $F का कुल अंतर है \left( x,y\right)$ को कुल अंतर समीकरण कहा जाता है।

कुल अंतर में समीकरण को हमेशा $dF\left(x,y\right)=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहां $F\left(x,y\right)$ एक फ़ंक्शन है जैसे कि $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; शून्य दाईं ओर का अभिन्न अंग एक मनमाना स्थिरांक $C$ के बराबर है। इस प्रकार, अंतर्निहित रूप में इस समीकरण का सामान्य समाधान $F\left(x,y\right)=C$ है।

किसी दिए गए अंतर समीकरण को कुल अंतर में एक समीकरण बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि शर्त $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ संतुष्ट होना। यदि निर्दिष्ट शर्त पूरी हो जाती है, तो एक फ़ंक्शन $F\left(x,y\right)$ है, जिसके लिए हम लिख सकते हैं: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\आंशिक F)(\आंशिक y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, जिससे हमें दो संबंध प्राप्त होते हैं : $\frac(\ आंशिक F)(\आंशिक x) =P\left(x,y\right)$ और $\frac(\आंशिक F)(\आंशिक y) =Q\left(x,y\right) )$.

हम पहले संबंध $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ को $x$ से अधिक एकीकृत करते हैं और $F\left(x,y\right)=\int प्राप्त करते हैं P\ बाएँ(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, जहाँ $U\left(y\right)$ $y$ का एक मनमाना कार्य है।

आइए इसे चुनें ताकि दूसरा संबंध $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ संतुष्ट हो। ऐसा करने के लिए, हम $F\left(x,y\right)$ के परिणामी संबंध को $y$ के संबंध में अलग करते हैं और परिणाम को $Q\left(x,y\right)$ के बराबर करते हैं। हमें मिलता है: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\दाएं)$.

आगे का समाधान यह है:

अंतिम समानता से हम पाते हैं $U"\left(y\right)$;
$U"\left(y\right)$ को एकीकृत करें और $U\left(y\right)$ ढूंढें;
$U\left(y\right)$ को समानता $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) में प्रतिस्थापित करें $ और अंततः हमें फ़ंक्शन $F\left(x,y\right)$ प्राप्त होता है।

हम अंतर पाते हैं:

हम $U"\left(y\right)$ को $y$ पर एकीकृत करते हैं और $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ पाते हैं।

परिणाम खोजें: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

हम सामान्य समाधान को $F\left(x,y\right)=C$ के रूप में लिखते हैं, अर्थात्:

एक विशेष समाधान खोजें $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, जहां $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

आंशिक समाधान का रूप इस प्रकार है: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

कुछ कार्य. यदि हम किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्स्थापित करते हैं, तो हम अंतर समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग पाएंगे। नीचे हम बात करेंगे किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्स्थापित करने की विधि.

अवकल समीकरण का बायाँ भाग किसी फलन का कुल अवकल होता है यू(एक्स, वाई) = 0, यदि शर्त पूरी होती है।

क्योंकि पूर्ण विभेदक कार्य यू(एक्स, वाई) = 0यह , जिसका अर्थ है कि जब शर्त पूरी हो जाती है, तो यह कहा जाता है।

तब, .

सिस्टम के पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है . हम सिस्टम के दूसरे समीकरण का उपयोग करके फ़ंक्शन पाते हैं:

इस तरह हम आवश्यक फ़ंक्शन ढूंढ लेंगे यू(एक्स, वाई) = 0.

उदाहरण।

आइए DE का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

हमारे उदाहरण में. शर्त पूरी हो गई है क्योंकि:

फिर, प्रारंभिक अंतर समीकरण का बायाँ भाग किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर है यू(एक्स, वाई) = 0. हमें यह फ़ंक्शन ढूंढना होगा.

क्योंकि फ़ंक्शन का कुल अंतर है यू(एक्स, वाई) = 0, मतलब:

हम द्वारा एकीकृत करते हैं एक्ससिस्टम का पहला समीकरण और इसके संबंध में अंतर यपरिणाम:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं। मतलब:

कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

इस प्रकार, दिए गए समीकरण का सामान्य समाकलन होगा .

एक दूसरा भी है किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से गणना करने की विधि. इसमें एक निश्चित बिंदु का रेखा अभिन्न अंग लेना शामिल है (x 0 , y 0)परिवर्तनीय निर्देशांक वाले एक बिंदु पर (एक्स, वाई): . इस मामले में, अभिन्न का मूल्य एकीकरण के पथ से स्वतंत्र है। एकीकरण पथ के रूप में एक टूटी हुई रेखा लेना सुविधाजनक है जिसके लिंक समन्वय अक्षों के समानांतर हैं।

उदाहरण।

आइए DE का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

हम शर्त की पूर्ति की जाँच करते हैं:

इस प्रकार, अवकल समीकरण का बायाँ भाग किसी फलन का पूर्ण अवकल है यू(एक्स, वाई) = 0. आइए बिंदु के वक्ररेखीय समाकलन की गणना करके इस फ़ंक्शन को खोजें (1; 1) पहले (एक्स, वाई). एकीकरण के मार्ग के रूप में हम एक टूटी हुई रेखा लेते हैं: टूटी हुई रेखा का पहला खंड एक सीधी रेखा के साथ गुजारा जाता है आप = 1बिंदु से (1, 1) पहले (एक्स, 1), पथ का दूसरा खंड बिंदु से एक सीधी रेखा खंड लेता है (एक्स, 1)पहले (एक्स, वाई):

तो, रिमोट कंट्रोल का सामान्य समाधान इस तरह दिखता है: .

उदाहरण।

आइए हम DE का सामान्य समाधान निर्धारित करें।

समाधान।

क्योंकि , जिसका अर्थ है कि शर्त पूरी नहीं हुई है, तो अंतर समीकरण का बाईं ओर फ़ंक्शन का पूर्ण अंतर नहीं होगा और आपको दूसरी समाधान विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है (यह समीकरण अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण है)।

इस विषय में, हम किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्निर्माण करने की विधि को देखेंगे और समाधान के संपूर्ण विश्लेषण के साथ समस्याओं के उदाहरण देंगे।

ऐसा होता है कि फॉर्म P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 के अंतर समीकरण (DE) में बाईं ओर कुछ कार्यों के पूर्ण अंतर शामिल हो सकते हैं। यदि हम पहले फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्निर्मित करते हैं तो हम अंतर समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग पा सकते हैं।

उदाहरण 1

समीकरण P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 पर विचार करें। बाईं ओर एक निश्चित फ़ंक्शन का अंतर होता है यू(एक्स, वाई) = 0. ऐसा करने के लिए, शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x को पूरा करना होगा।

फ़ंक्शन U (x, y) = 0 के कुल अंतर का रूप d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y है। स्थिति को ध्यान में रखते हुए ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x हम प्राप्त करते हैं:

पी (एक्स, वाई) डी एक्स + क्यू (एक्स, वाई) डी वाई = ∂ यू ∂ एक्स डी एक्स + ∂ यू ∂ वाई डी वाई

∂ यू ∂ एक्स = पी (एक्स, वाई) ∂ यू ∂ वाई = क्यू (एक्स, वाई)

समीकरणों की परिणामी प्रणाली से पहले समीकरण को रूपांतरित करके, हम प्राप्त कर सकते हैं:

यू (एक्स, वाई) = ∫ पी (एक्स, वाई) डी एक्स + φ (वाई)

हम पहले प्राप्त सिस्टम के दूसरे समीकरण से फ़ंक्शन φ (y) पा सकते हैं:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ पी (एक्स , वाई) डी एक्स ∂ वाई डी वाई

इस प्रकार हमने वांछित फलन U (x, y) = 0 पाया।

उदाहरण 2

अवकल समीकरण (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 के लिए सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

पी (एक्स, वाई) = एक्स 2 - वाई 2, क्यू (एक्स, वाई) = - 2 एक्स वाई

आइए जांचें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट है:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

हमारी शर्त पूरी हुई.

गणना के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल अंतर समीकरण का बायाँ भाग किसी फ़ंक्शन U (x, y) = 0 का कुल अंतर है। हमें यह फ़ंक्शन ढूंढना होगा.

चूँकि (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y फलन U (x, y) = 0 का कुल अंतर है, तो

∂ यू ∂ एक्स = एक्स 2 - वाई 2 ∂ यू ∂ वाई = - 2 एक्स वाई

आइए x के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को एकीकृत करें:

यू (एक्स, वाई) = ∫ (एक्स 2 - वाई 2) डी एक्स + φ (वाई) = एक्स 3 3 - एक्स वाई 2 + φ (वाई)

अब हम परिणामी परिणाम को y के संबंध में अलग करते हैं:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

सिस्टम के दूसरे समीकरण को रूपांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: ∂ U ∂ y = - 2 x y . यह मतलब है कि
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

हमें मिलता है: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. मूल समीकरण का सामान्य समाकलन x 3 3 - x y 2 + C = 0 है।

आइए ज्ञात कुल अंतर का उपयोग करके फ़ंक्शन खोजने की एक अन्य विधि देखें। इसमें एक निश्चित बिंदु (x 0, y 0) से चर निर्देशांक (x, y) वाले बिंदु तक एक वक्ररेखीय समाकलन का उपयोग शामिल है:

यू (एक्स, वाई) = ∫ (एक्स 0, वाई 0) (एक्स, वाई) पी (एक्स, वाई) डी एक्स + क्यू (एक्स, वाई) डी वाई + सी

ऐसे मामलों में, अभिन्न का मूल्य किसी भी तरह से एकीकरण के पथ पर निर्भर नहीं करता है। हम एकीकरण पथ के रूप में एक टूटी हुई रेखा ले सकते हैं, जिसके लिंक समन्वय अक्षों के समानांतर स्थित हैं।

उदाहरण 3

अवकल समीकरण (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 का सामान्य हल खोजें।

समाधान

आइए जांचें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट है:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

यह पता चला है कि अंतर समीकरण के बाईं ओर कुछ फ़ंक्शन यू (एक्स, वाई) = 0 के कुल अंतर द्वारा दर्शाया गया है। इस फ़ंक्शन को खोजने के लिए, बिंदु के रेखा अभिन्न अंग की गणना करना आवश्यक है (1 ; 1) पहले (एक्स, वाई). आइए हम एकीकरण के मार्ग के रूप में एक टूटी हुई रेखा लें, जिसके खंड एक सीधी रेखा में गुजरेंगे आप = 1बिंदु (1, 1) से (x, 1) तक और फिर बिंदु (x, 1) से (x, y) तक:

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

हमने x y - x y 2 + C = 0 के रूप के अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त किया है।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण y · cos x d x + syn 2 x d y = 0 का सामान्य समाधान निर्धारित करें।

समाधान

आइए जांचें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट है।

चूँकि ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 syn x · cos x, तो शर्त पूरी नहीं होगी। इसका अर्थ यह है कि अवकल समीकरण का बायाँ भाग फलन का पूर्ण अवकल नहीं है। यह वियोज्य चरों वाला एक विभेदक समीकरण है और इसे हल करने के लिए अन्य समाधान उपयुक्त हैं।

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अंतर प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है

पी(एक्स, वाई)डीएक्स + क्यू(एक्स, वाई)डीवाई = 0 ,

जहां बाईं ओर दो चर वाले किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर है।

आइए हम दो चरों के अज्ञात फ़ंक्शन को निरूपित करें (कुल अंतर में समीकरणों को हल करते समय इसे खोजने की आवश्यकता है) एफऔर हम जल्द ही इस पर वापस आएंगे।

पहली बात जिस पर आपको ध्यान देना चाहिए वह यह है कि समीकरण के दाईं ओर शून्य होना चाहिए, और बाईं ओर दो पदों को जोड़ने वाला चिह्न प्लस होना चाहिए।

दूसरा, कुछ समानता देखी जानी चाहिए, जो पुष्टि करती है कि यह अंतर समीकरण कुल अंतर में एक समीकरण है। यह जांच कुल अंतर में समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का एक अनिवार्य हिस्सा है (यह इस पाठ के दूसरे पैराग्राफ में है), इसलिए एक फ़ंक्शन ढूंढने की प्रक्रिया एफयह काफी श्रमसाध्य है और प्रारंभिक चरण में यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि हम समय बर्बाद न करें।

तो, जिस अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने की आवश्यकता है उसे द्वारा दर्शाया गया है एफ. सभी स्वतंत्र चरों के लिए आंशिक अंतरों का योग कुल अंतर देता है। इसलिए, यदि समीकरण कुल अंतर समीकरण है, तो समीकरण के बाईं ओर आंशिक अंतर का योग है। फिर परिभाषा के अनुसार

डीएफ = पी(एक्स, वाई)डीएक्स + क्यू(एक्स, वाई)डीवाई .

आइए हम दो चरों के किसी फ़ंक्शन के कुल अंतर की गणना के लिए सूत्र को याद करें:

अंतिम दो समानताओं को हल करके हम लिख सकते हैं

हम पहली समानता को चर "y" के संबंध में अलग करते हैं, दूसरी - चर "x" के संबंध में:

जो किसी दिए गए अंतर समीकरण के वास्तव में पूर्ण अंतर समीकरण होने की शर्त है।

कुल अंतर में अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

स्टेप 1।सुनिश्चित करें कि समीकरण पूर्ण अंतर समीकरण है। अभिव्यक्ति के लिए किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर था एफ(एक्स, वाई) आवश्यक एवं पर्याप्त है ताकि . दूसरे शब्दों में, आपको इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है एक्सऔर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न यएक अन्य पद और, यदि ये अवकलज बराबर हैं, तो समीकरण एक पूर्ण अवकल समीकरण है।

चरण दो।फ़ंक्शन बनाने वाले आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली लिखें एफ:

चरण 3।सिस्टम के पहले समीकरण को एकीकृत करें - द्वारा एक्स (य एफ:

,
य.

एक वैकल्पिक विकल्प (यदि इस तरह से अभिन्न को खोजना आसान है) सिस्टम के दूसरे समीकरण को एकीकृत करना है - द्वारा य (एक्सएक स्थिरांक रहता है और पूर्णांक चिह्न से बाहर कर दिया जाता है)। इस तरह फ़ंक्शन भी बहाल हो जाता है एफ:

,
का एक अभी तक अज्ञात कार्य कहां है एक्स.

चरण 4।चरण 3 का परिणाम (सामान्य अभिन्न पाया गया) द्वारा विभेदित किया गया है य(वैकल्पिक रूप से - के अनुसार एक्स) और सिस्टम के दूसरे समीकरण के बराबर:

और एक वैकल्पिक संस्करण में - सिस्टम के पहले समीकरण के लिए:

परिणामी समीकरण से हम निर्धारित करते हैं (वैकल्पिक रूप से)

चरण 5.चरण 4 का परिणाम एकीकृत करना और ढूंढना है (वैकल्पिक रूप से, ढूंढें)।

चरण 6.चरण 5 के परिणाम को चरण 3 के परिणाम में प्रतिस्थापित करें - आंशिक एकीकरण द्वारा बहाल किए गए फ़ंक्शन में एफ. मनमाना स्थिरांक सीअक्सर समान चिह्न के बाद लिखा जाता है - समीकरण के दाईं ओर। इस प्रकार हम कुल अंतरों में अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इसका स्वरूप है एफ(एक्स, वाई) = सी.

कुल अंतर में अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।

स्टेप 1। कुल अंतर में समीकरण एक्सअभिव्यक्ति के बायीं ओर एक पद

और के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न यएक और शब्द
कुल अंतर में समीकरण .

चरण दो। एफ:

चरण 3।द्वारा एक्स (यएक स्थिरांक रहता है और पूर्णांक चिह्न से बाहर कर दिया जाता है)। इस प्रकार हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एफ:

का एक अभी तक अज्ञात कार्य कहां है य.

चरण 4। य

चरण 5.

चरण 6. एफ. मनमाना स्थिरांक सी :
.

यहां कौन सी त्रुटि होने की सबसे अधिक संभावना है? सबसे आम गलतियाँ हैं कार्यों के उत्पाद के सामान्य अभिन्न अंग के लिए चर में से एक पर आंशिक अभिन्न अंग लेना और भागों या प्रतिस्थापन चर द्वारा एकीकृत करने का प्रयास करना, और दो कारकों के आंशिक व्युत्पन्न को व्युत्पन्न के रूप में लेना भी है। फ़ंक्शंस का उत्पाद और संबंधित सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश करें।

इसे याद रखना चाहिए: किसी एक चर के संबंध में आंशिक अभिन्न की गणना करते समय, दूसरा एक स्थिरांक होता है और उसे अभिन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है, और जब किसी एक चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो दूसरा यह भी एक स्थिरांक है और अभिव्यक्ति का व्युत्पन्न स्थिरांक से गुणा किए गए "अभिनय" चर के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है।

के बीच कुल अंतर में समीकरण घातांकीय फलन वाले उदाहरण मिलना कोई असामान्य बात नहीं है। यह अगला उदाहरण है. यह इस तथ्य के लिए भी उल्लेखनीय है कि इसका समाधान वैकल्पिक विकल्प का उपयोग करता है।

उदाहरण 2.अवकल समीकरण हल करें

स्टेप 1।आइए सुनिश्चित करें कि समीकरण है कुल अंतर में समीकरण . ऐसा करने के लिए, हम इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं एक्सअभिव्यक्ति के बायीं ओर एक पद

और के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न यएक और शब्द
. ये व्युत्पन्न बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण है कुल अंतर में समीकरण .

चरण दो।आइए हम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली लिखें जो फ़ंक्शन बनाती है एफ:

चरण 3।आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण को एकीकृत करें - द्वारा य (एक्सएक स्थिरांक रहता है और पूर्णांक चिह्न से बाहर कर दिया जाता है)। इस प्रकार हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एफ:

का एक अभी तक अज्ञात कार्य कहां है एक्स.

चरण 4।हम चरण 3 (पाए गए सामान्य अभिन्न अंग) के परिणाम को अलग करते हैं एक्स

और सिस्टम के पहले समीकरण के बराबर:

परिणामी समीकरण से हम निर्धारित करते हैं:
.

चरण 5.हम चरण 4 के परिणाम को एकीकृत करते हैं और पाते हैं:
.

चरण 6.हम चरण 5 के परिणाम को चरण 3 के परिणाम में प्रतिस्थापित करते हैं - आंशिक एकीकरण द्वारा बहाल किए गए फ़ंक्शन में एफ. मनमाना स्थिरांक सीबराबर चिह्न के बाद लिखें. इस प्रकार हमें कुल प्राप्त होता है कुल अंतर में एक अंतर समीकरण को हल करना :
.

निम्नलिखित उदाहरण में हम वैकल्पिक विकल्प से मुख्य विकल्प पर लौटते हैं।

उदाहरण 3.अवकल समीकरण हल करें

स्टेप 1।आइए सुनिश्चित करें कि समीकरण है कुल अंतर में समीकरण . ऐसा करने के लिए, हम इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं यअभिव्यक्ति के बायीं ओर एक पद

और के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न एक्सएक और शब्द
. ये व्युत्पन्न बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण है कुल अंतर में समीकरण .

चरण 3।आइए सिस्टम के पहले समीकरण को एकीकृत करें - द्वारा एक्स (यएक स्थिरांक रहता है और पूर्णांक चिह्न से बाहर कर दिया जाता है)। इस प्रकार हम फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं एफ:

का एक अभी तक अज्ञात कार्य कहां है य.

चरण 4।हम चरण 3 (पाए गए सामान्य अभिन्न अंग) के परिणाम को अलग करते हैं य

और सिस्टम के दूसरे समीकरण के बराबर:

परिणामी समीकरण से हम निर्धारित करते हैं:
.

चरण 5.हम चरण 4 के परिणाम को एकीकृत करते हैं और पाते हैं:

उदाहरण 4.अवकल समीकरण हल करें

स्टेप 1।आइए सुनिश्चित करें कि समीकरण है कुल अंतर में समीकरण . ऐसा करने के लिए, हम इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं यअभिव्यक्ति के बायीं ओर एक पद

और के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न एक्सएक और शब्द
. ये व्युत्पन्न समान हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण कुल अंतर समीकरण है।

का एक अभी तक अज्ञात कार्य कहां है य.

परिणामी समीकरण से हम निर्धारित करते हैं:
.

चरण 5.हम चरण 4 के परिणाम को एकीकृत करते हैं और पाते हैं:

उदाहरण 5.अवकल समीकरण हल करें

परिभाषा 8.4.प्रपत्र का विभेदक समीकरण

कहाँ
पूर्ण अवकल समीकरण कहलाता है।

ध्यान दें कि ऐसे समीकरण का बायां पक्ष किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर है
.

सामान्य तौर पर, समीकरण (8.4) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

समीकरण (8.5) के बजाय, हम समीकरण पर विचार कर सकते हैं

जिसका समाधान समीकरण (8.4) का सामान्य समाकलन है। इस प्रकार, समीकरण (8.4) को हल करने के लिए फलन ज्ञात करना आवश्यक है
. समीकरण (8.4) की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

(8.6)

समारोह
हम ऐसे फ़ंक्शन की तलाश करेंगे जो इनमें से किसी एक शर्त को पूरा करता हो (8.6):

कहाँ - से स्वतंत्र एक मनमाना कार्य .

समारोह
परिभाषित किया गया है ताकि अभिव्यक्ति की दूसरी शर्त (8.6) संतुष्ट हो

(8.7)

व्यंजक (8.7) से फलन निर्धारित होता है
. इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना
और मूल समीकरण का सामान्य समाकलन प्राप्त करें।

समस्या 8.3.एकीकृत समीकरण

यहाँ
.

इसलिए, यह समीकरण कुल अंतर में अंतर समीकरण के प्रकार से संबंधित है। समारोह
हम इसे फॉर्म में देखेंगे

दूसरी ओर,

कुछ मामलों में हालत
पूरा नहीं हो सकता.

फिर ऐसे समीकरणों को तथाकथित एकीकृत कारक से गुणा करके विचाराधीन प्रकार में घटा दिया जाता है, जो सामान्य स्थिति में, केवल एक फ़ंक्शन है या .

यदि किसी समीकरण में एक समाकलन कारक है जो केवल पर निर्भर करता है , तो यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

रिश्ता कहां है केवल एक कार्य होना चाहिए .

इसी प्रकार, एकीकृत कारक केवल पर निर्भर करता है , सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

रिश्ता कहां है
केवल एक कार्य होना चाहिए .

दिए गए संबंधों में, पहले मामले में, चर की अनुपस्थिति , और दूसरे में - चर , किसी दिए गए समीकरण के लिए एक एकीकृत कारक के अस्तित्व का संकेत हैं।

समस्या 8.4.इस समीकरण को कुल अंतर वाले समीकरण में घटाएँ।

संबंध पर विचार करें:

विषय 8.2. रैखिक विभेदक समीकरण

परिभाषा 8.5. अंतर समीकरण
यदि यह वांछित फ़ंक्शन के संबंध में रैखिक है तो इसे रैखिक कहा जाता है , इसका व्युत्पन्न और इसमें वांछित फ़ंक्शन का उत्पाद और उसका व्युत्पन्न शामिल नहीं है।

रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया गया है:

(8.8)

यदि संबंध में (8.8) दाहिनी ओर
, तो ऐसे समीकरण को रैखिक सजातीय कहा जाता है। मामले में जब दाहिनी ओर
, तो ऐसे समीकरण को रैखिक अमानवीय कहा जाता है।

आइए हम दिखाएं कि समीकरण (8.8) को चतुर्भुजों में एकीकृत किया जा सकता है।

पहले चरण में, हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करते हैं।

ऐसा समीकरण वियोज्य चर वाला एक समीकरण है। वास्तव में,

;

अंतिम संबंध एक रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान निर्धारित करता है।

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए, एक स्थिरांक के व्युत्पन्न को अलग करने की विधि का उपयोग किया जाता है। विधि का विचार यह है कि एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान के समान रूप में होता है, लेकिन एक मनमाना स्थिरांक होता है किसी फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित
निर्धारित किए जाने हेतु। तो हमारे पास:

(8.9)

संबंध (8.8) में संगत भावों को प्रतिस्थापित करना
और
, हम पाते हैं

अंतिम अभिव्यक्ति को संबंध (8.9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार, एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान दो चतुर्भुजों द्वारा निर्धारित किया जाता है: एक रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान और एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान।

समस्या 8.5.एकीकृत समीकरण