प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कभी-कभी रिकॉर्ड करने के लिए बहुत बोझिल हो जाता है और वे इसे सरल बनाने का प्रयास करते हैं। जोड़ ऑपरेशन के साथ भी ऐसा ही हुआ करता था। लोगों के लिए एक ही प्रकार के बार-बार परिवर्धन करना आवश्यक था, उदाहरण के लिए, एक सौ फारसी कालीनों की लागत की गणना करने के लिए, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के हैं। 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300। भारीपन के कारण, अंकन को 3 * 100 = 300 तक कम करने के लिए सोचा गया था। वास्तव में, अंकन "तीन गुना एक सौ" का अर्थ है कि आपको लेने की आवश्यकता है एक सौ तिगुना और उन्हें एक साथ जोड़ें। गुणन ने जड़ ली, सामान्य लोकप्रियता हासिल की। लेकिन दुनिया अभी भी खड़ी नहीं है, और मध्य युग में एक ही प्रकार के बार-बार गुणा करना आवश्यक हो गया। मुझे एक बुद्धिमान व्यक्ति के बारे में एक पुरानी भारतीय पहेली याद आती है, जिसने किए गए काम के लिए निम्नलिखित मात्रा में गेहूं के दाने मांगे थे: शतरंज की बिसात के पहले सेल के लिए उसने एक अनाज मांगा, दूसरे के लिए - दो, तीसरे - चार , पाँचवाँ - आठ, और इसी तरह। इस प्रकार शक्तियों का पहला गुणन प्रकट हुआ, क्योंकि अनाज की संख्या कोशिका संख्या की शक्ति के दो के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2*2*2*…*2 = 2^63 दाने होंगे, जो 18 वर्णों की संख्या के बराबर है, जो वास्तव में पहेली का अर्थ है।

एक शक्ति को बढ़ाने के संचालन ने बहुत तेज़ी से जड़ें जमा लीं, और डिग्री के जोड़, घटाव, विभाजन और गुणन को अंजाम देना भी जल्दी से आवश्यक हो गया। उत्तरार्द्ध अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। शक्तियों को जोड़ने के सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि वे कहां से आते हैं यदि पावर ऑपरेशन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। लेकिन पहले आपको प्राथमिक शब्दावली को समझने की जरूरत है। व्यंजक a ^ b (पढ़ें "a to power of b") का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं b गुना से गुणा किया जाना चाहिए, और "a" को डिग्री का आधार कहा जाता है, और "b" घातांक है। यदि शक्तियों के आधार समान हैं, तो सूत्र काफी सरलता से निकाले जाते हैं। विशिष्ट उदाहरण: व्यंजक 2^3 * 2^4 का मान ज्ञात कीजिए। क्या होना चाहिए, यह जानने के लिए आपको समाधान शुरू करने से पहले कंप्यूटर पर इसका उत्तर पता कर लेना चाहिए। किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, सर्च इंजन में इस एक्सप्रेशन को दर्ज करते हुए, "विभिन्न आधारों और समान के साथ शक्तियों का गुणन" या गणितीय पैकेज टाइप करके, आउटपुट 128 होगा। अब इस एक्सप्रेशन को लिखते हैं: 2^3 = 2*2*2, और 2^4 = 2 *2*2*2। यह पता चला है कि 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) । यह पता चला है कि समान आधार वाली शक्तियों का गुणनफल पिछली दो शक्तियों के योग के बराबर घात के लिए उठाए गए आधार के बराबर है।

आप सोच सकते हैं कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखता है: a^n * a^m = a^(n+m) । एक नियम यह भी है कि शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है। यहां हमें नकारात्मक शक्तियों का नियम याद रखना चाहिए: a^(-n) = 1 / a^n। अर्थात्, यदि 2^3 = 8, तो 2^(-3) = 1/8। इस नियम का उपयोग करके, हम समानता साबित कर सकते हैं a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) को कम किया जा सकता है और एक रहता है। इससे यह नियम निकलता है कि समान आधारों वाली घातों का भागफल इस आधार के बराबर होता है जो कि भाज्य और भाजक के भागफल के बराबर होता है: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) । उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) । गुणा एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, इसलिए गुणन घातांक को पहले जोड़ा जाना चाहिए: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. इसके बाद, आपको विभाजन से नकारात्मक डिग्री से निपटना चाहिए। भाजक घातांक को लाभांश घातांक से घटाना आवश्यक है: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. यह यह पता चलता है कि ऋणात्मक अंश से भाग देने की क्रिया समान धनात्मक घातांक द्वारा गुणन की संक्रिया के समान है। तो अंतिम उत्तर 8 है।

ऐसे उदाहरण हैं जहां शक्तियों का गैर-विहित गुणन होता है। विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करना अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। विभिन्न संभावित दृष्टिकोणों के कई उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: व्यंजक 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 को सरल बनाएं। जाहिर है, विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों का गुणन होता है। लेकिन, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आधार एक ट्रिपल की अलग-अलग शक्तियां हैं। 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6। नियम (a^n) ^m = a^(n*m) का उपयोग करते हुए, आपको व्यंजक को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) । उत्तर: 3^11. ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग आधार हैं, नियम a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n समान संकेतकों के लिए काम करता है। उदाहरण के लिए, 3^3 * 7^3 = 21^3। अन्यथा, जब विभिन्न आधार और संकेतक होते हैं, तो पूर्ण गुणा करना असंभव है। कभी-कभी आप कंप्यूटर तकनीक की मदद से आंशिक रूप से सरल या सहारा ले सकते हैं।

यदि आपको किसी विशिष्ट संख्या को घात में बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं। अब हम करीब से देखेंगे डिग्री के गुण.

घातीय संख्याबड़ी संभावनाएं खोलते हैं, वे हमें गुणन को जोड़ में बदलने की अनुमति देते हैं, और जोड़ गुणा की तुलना में बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, हमें 16 को 64 से गुणा करना है। इन दो संख्याओं को गुणा करने का गुणनफल 1024 है। लेकिन 16 4x4 है, और 64 4x4x4 है। तो 16 गुना 64=4x4x4x4x4 जो कि 1024 भी है।

संख्या 16 को 2x2x2x2 और 64 को 2x2x2x2x2x2 के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, और यदि हम गुणा करते हैं, तो हमें फिर से 1024 मिलता है।

आइए अब नियम का उपयोग करें। 16=4 2 , या 2 4 , 64=4 3 , या 2 6 , जबकि 1024=6 4 =4 5 , या 2 10 ।

इसलिए, हमारी समस्या को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: 4 2 x4 3 = 4 5 या 2 4 x2 6 = 2 10, और हर बार हमें 1024 मिलता है।

हम इसी तरह के कई उदाहरणों को हल कर सकते हैं और देख सकते हैं कि घातांक वाली संख्याओं का गुणन घटकर . हो जाता है घातांक जोड़ना, या एक घातांक, निश्चित रूप से, बशर्ते कि कारकों के आधार समान हों।

इस प्रकार, हम बिना गुणा किए तुरंत कह सकते हैं कि 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20।

संख्याओं को घातों से विभाजित करते समय यह नियम भी सत्य है, लेकिन इस मामले में, e भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है. इस प्रकार, 2 5:2 3 =2 2, जो सामान्य संख्याओं में 32:8=4 के बराबर है, अर्थात 2 2। आइए संक्षेप करें:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, जहाँ m और n पूर्णांक हैं।

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि शक्तियों के साथ संख्याओं का गुणा और भागबहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि पहले आपको संख्या को घातीय रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। इस रूप में संख्या 8 और 16 का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं है, यानी 2 3 और 2 4, लेकिन यह संख्या 7 और 17 के साथ कैसे करें? या उन मामलों में क्या करें जब संख्या को घातीय रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन संख्याओं के घातीय अभिव्यक्तियों के आधार बहुत भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 8×9 2 3 x 3 2 है, इस स्थिति में हम घातांकों का योग नहीं कर सकते। न तो 2 5 और न ही 3 5 उत्तर है, न ही दोनों के बीच का उत्तर है।

तो क्या यह इस पद्धति से परेशान होने लायक है? निश्चित रूप से इसके लायक। यह विशेष रूप से जटिल और समय लेने वाली गणनाओं के लिए भारी लाभ प्रदान करता है।

शक्तियों का जोड़ और घटाव

जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 \u003d -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।

तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n ।

a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;

इसलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सही है जिनके घातांक − . हैं नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।

2. y-n .y-m = y-n-m ।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

डिग्री का विभाजन

घातों वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।

5 को 3 से विभाजित करना $\frac . जैसा दिखता है $. लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । अर्थात्, $\frac = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक = एच ^ 2। \ फ्रैक = एच ^ 3 $

शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. $\frac $ में घातांक कम करें उत्तर: $\frac $।

2. घातांक को $\frac$ में घटाएं। उत्तर: $\frac $ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।

डिग्री गुण

हम आपको याद दिलाते हैं कि इस पाठ में हम समझते हैं डिग्री गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। तर्कसंगत संकेतकों और उनके गुणों के साथ डिग्री पर ग्रेड 8 के पाठों में चर्चा की जाएगी।

एक प्राकृतिक घातांक वाले घातांक में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो आपको घातांक उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति #1
शक्तियों का उत्पाद

समान आधार से घातों को गुणा करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

a m a n \u003d a m + n, जहाँ "a" कोई भी संख्या है, और "m", "n" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

शक्तियों का यह गुण तीन या अधिक शक्तियों के गुणनफल को भी प्रभावित करता है।

• अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
  बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
• उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

कृपया ध्यान दें कि संकेतित संपत्ति में यह केवल समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करने के बारे में था।. यह उनके जोड़ पर लागू नहीं होता है।

आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। यह समझ में आता है अगर
गणना करें (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 और 3 5 = 243

संपत्ति #2
निजी डिग्री

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है।

• भागफल को घात के रूप में लिखें
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• गणना करें।

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम आंशिक डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
3 8: टी = 3 4

उत्तर: टी = 3 4 = 81

गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से भावों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

उदाहरण। डिग्री गुणों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

2 11 − 5 = 2 6 = 64

कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 केवल समान आधारों के साथ शक्तियों के विभाजन से संबंधित है।

आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है यदि आप गणना करते हैं (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, और 4 1 = 4

संपत्ति #3
घातांक

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घात का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा किए जाते हैं।

(ए एन) एम \u003d ए एन एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर एक अंश को एक घात में बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।

शक्तियों को कैसे गुणा करें

शक्तियों को कैसे गुणा करें? किन शक्तियों को गुणा किया जा सकता है और कौन सी नहीं? आप किसी संख्या को घात से कैसे गुणा करते हैं?

बीजगणित में, आप दो स्थितियों में घातांक का गुणनफल पा सकते हैं:

1) यदि डिग्रियों का आधार समान है;

2) यदि डिग्री में समान संकेतक हैं।

समान आधार से घातों को गुणा करते समय, आधार वही रहना चाहिए, और घातांक जोड़े जाने चाहिए:

समान संकेतकों के साथ डिग्री गुणा करते समय, कुल संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है:

विशिष्ट उदाहरणों के साथ, शक्तियों को गुणा करने के तरीके पर विचार करें।

घातांक में इकाई नहीं लिखी जाती है, लेकिन डिग्री को गुणा करते समय, वे ध्यान में रखते हैं:

गुणा करते समय, डिग्री की संख्या कोई भी हो सकती है। यह याद रखना चाहिए कि आप अक्षर से पहले गुणन चिह्न नहीं लिख सकते हैं:

भावों में, घातांक पहले किया जाता है।

यदि आपको किसी संख्या को घात से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले घातांक करना होगा, और उसके बाद ही - गुणा करना होगा:

एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करना

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इस पाठ में, हम सीखेंगे कि समान आधार से घातों को कैसे गुणा किया जाए। सबसे पहले, हम डिग्री की परिभाषा को याद करते हैं और समानता की वैधता पर एक प्रमेय तैयार करते हैं . फिर हम विशिष्ट संख्याओं पर इसके अनुप्रयोग के उदाहरण देते हैं और इसे सिद्ध करते हैं। हम विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को भी लागू करेंगे।

विषय: एक प्राकृतिक संकेतक और उसके गुणों के साथ डिग्री

पाठ: समान आधारों से घातों को गुणा करना (सूत्र)

1. मूल परिभाषाएं

बुनियादी परिभाषाएँ:

एन- प्रतिपादक,

— एन-एक संख्या की शक्ति।

2. प्रमेय का कथन 1

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एऔर कोई भी प्राकृतिक एनऔर कसमानता सत्य है:

दूसरे शब्दों में: if ए- कोई संख्या; एनऔर कप्राकृतिक संख्याएँ, तब:

इसलिए नियम 1:

3. कार्यों की व्याख्या करना

निष्कर्ष:विशेष मामलों ने प्रमेय संख्या 1 की शुद्धता की पुष्टि की। आइए हम इसे सामान्य मामले में साबित करें, यानी किसी के लिए एऔर कोई भी प्राकृतिक एनऔर क।

4. प्रमेय का प्रमाण 1

एक नंबर दिया गया ए- कोई भी; नंबर एनऔर क-प्राकृतिक। सिद्ध करना:

प्रमाण डिग्री की परिभाषा पर आधारित है।

5. प्रमेय 1 का प्रयोग करके उदाहरणों का हल

उदाहरण 1:उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।

निम्नलिखित उदाहरणों को हल करने के लिए, हम प्रमेय 1 का उपयोग करते हैं।

जी)

6. प्रमेय का सामान्यीकरण 1

यहाँ एक सामान्यीकरण है:

7. प्रमेय 1 के सामान्यीकरण का उपयोग करके उदाहरणों का समाधान

8. प्रमेय 1 का प्रयोग करके विभिन्न समस्याओं का समाधान करना

उदाहरण 2:गणना करें (आप मूल डिग्री की तालिका का उपयोग कर सकते हैं)।

ए) (तालिका के अनुसार)

बी)

उदाहरण 3:आधार 2 के साथ एक शक्ति के रूप में लिखें।

ए)

उदाहरण 4:संख्या का संकेत निर्धारित करें:

, ए -ऋणात्मक क्योंकि -13 पर घातांक विषम है।

उदाहरण 5:( ) को आधार वाली घात से बदलें आर:

हमारे पास है, अर्थात्।

9. सारांशित करना

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल। बीजगणित 7. छठा संस्करण। एम.: ज्ञानोदय। 2010

1. स्कूल सहायक (स्रोत)।

1. डिग्री के रूप में व्यक्त करें:

ए बी सी डी ई)

3. आधार 2 के साथ एक शक्ति के रूप में लिखें:

4. संख्या का चिन्ह निर्धारित करें:

ए)

5. ( ) को किसी संख्या की घात के साथ आधार से बदलें आर:

क) आर 4 ( ) = आर 15 ; बी) ( ) आर 5 = आर 6

एक ही घातांक के साथ शक्तियों का गुणन और विभाजन

इस पाठ में हम समान घातांक वाली घातों के गुणन का अध्ययन करेंगे। सबसे पहले, आइए बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों को याद करें जो समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा और विभाजित करते हैं और एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाते हैं। फिर हम समान घातांक वाले गुणन और घातों के विभाजन पर प्रमेय बनाते और सिद्ध करते हैं। और फिर उनकी मदद से हम कई विशिष्ट समस्याओं का समाधान करेंगे।

बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों की याद

यहां ए- डिग्री का आधार

— एन-एक संख्या की शक्ति।

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एऔर कोई भी प्राकृतिक एनऔर कसमानता सत्य है:

समान आधार से घातों को गुणा करने पर, घातांक जोड़े जाते हैं, आधार अपरिवर्तित रहता है।

प्रमेय 2।किसी भी संख्या के लिए एऔर कोई भी प्राकृतिक एनऔर क,ऐसा है कि एन > कसमानता सत्य है:

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, घातांक घटाए जाते हैं, और आधार अपरिवर्तित रहता है।

प्रमेय 3.किसी भी संख्या के लिए एऔर कोई भी प्राकृतिक एनऔर कसमानता सत्य है:

उपरोक्त सभी प्रमेय समान शक्तियों के बारे में थे मैदान, यह पाठ उसी के साथ डिग्री पर विचार करेगा संकेतक.

समान घातांक वाली घातों को गुणा करने के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

आइए डिग्री निर्धारित करने के लिए व्यंजक लिखें।

निष्कर्ष:उदाहरणों से आप देख सकते हैं कि , लेकिन यह अभी भी साबित करने की जरूरत है। हम प्रमेय बनाते हैं और इसे सामान्य स्थिति में सिद्ध करते हैं, अर्थात किसी के लिए एऔर बीऔर कोई भी प्राकृतिक एन।

प्रमेय 4 . का कथन और प्रमाण

किसी भी संख्या के लिए एऔर बीऔर कोई भी प्राकृतिक एनसमानता सत्य है:

प्रमाणप्रमेय 4 .

डिग्री की परिभाषा के अनुसार:

तो हमने साबित कर दिया है कि .

एक ही घातांक के साथ शक्तियों को गुणा करने के लिए, यह आधारों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रमेय 5 . का कथन और प्रमाण

हम समान घातांक के साथ घातों को विभाजित करने के लिए एक प्रमेय तैयार करते हैं।

किसी भी संख्या के लिए एऔर बी() और कोई भी प्राकृतिक एनसमानता सत्य है:

प्रमाणप्रमेय 5 .

आइए नीचे लिखें और डिग्री की परिभाषा के अनुसार:

प्रमेयों का कथन शब्दों में

तो हमने इसे साबित कर दिया है।

एक ही घातांक के साथ डिग्री को एक दूसरे में विभाजित करने के लिए, यह एक आधार को दूसरे से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रमेय 4 का प्रयोग करके विशिष्ट समस्याओं का समाधान

उदाहरण 1:शक्तियों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें।

निम्नलिखित उदाहरणों को हल करने के लिए, हम प्रमेय 4 का प्रयोग करते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण को हल करने के लिए, सूत्रों को याद करें:

प्रमेय 4 . का सामान्यीकरण

प्रमेय 4 का सामान्यीकरण:

सामान्यीकृत प्रमेय का उपयोग करके उदाहरणों को हल करना 4

विशिष्ट समस्याओं को हल करना जारी रखें

उदाहरण 2:उत्पाद की डिग्री के रूप में लिखें।

उदाहरण 3: 2 के घातांक वाली घात के रूप में लिखिए।

गणना उदाहरण

उदाहरण 4:सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें।

2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7. एम .: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ई. और अन्य। बीजगणित 7 .M ।: शिक्षा। 2006

2. स्कूल सहायक (स्रोत)।

1. शक्तियों के उत्पाद के रूप में मौजूद:

ए) ; बी) ; में) ; जी) ;

2. उत्पाद की डिग्री के रूप में लिखें:

3. डिग्री के रूप में 2 के संकेतक के साथ लिखें:

4. सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें।

"गुणा और शक्तियों का विभाजन" विषय पर गणित का पाठ

अनुभाग:गणित

शैक्षणिक लक्ष्य:

छात्र सीखेगाएक प्राकृतिक घातांक के साथ गुणन और शक्तियों के विभाजन के गुणों के बीच अंतर करना; इन गुणों को समान आधारों के मामले में लागू करें;

छात्र के पास अवसर होगाविभिन्न आधारों के साथ डिग्री के परिवर्तन करने में सक्षम हो और संयुक्त कार्यों में परिवर्तन करने में सक्षम हो।

कार्य:

पहले से अध्ययन की गई सामग्री को दोहराकर छात्रों के काम को व्यवस्थित करें;

विभिन्न प्रकार के व्यायाम करके प्रजनन के स्तर को सुनिश्चित करना;

परीक्षण के माध्यम से छात्रों के स्व-मूल्यांकन को व्यवस्थित करें।

सिद्धांत की गतिविधि इकाइयाँ:एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का निर्धारण; डिग्री घटक; निजी की परिभाषा; गुणन का साहचर्य नियम।

I. छात्रों द्वारा मौजूदा ज्ञान में महारत हासिल करने के प्रदर्शन का संगठन। (स्टेप 1)

ए) ज्ञान को अद्यतन करना:

2) एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री की परिभाषा तैयार करें।

ए एन \u003d ए ए ए ए ... ए (एन बार)

b k \u003d b b b b a ... b (k बार) अपने उत्तर की पुष्टि करें।

द्वितीय. प्रासंगिक अनुभव के कब्जे की डिग्री द्वारा प्रशिक्षु के स्व-मूल्यांकन का संगठन। (चरण 2)

स्व-परीक्षा के लिए परीक्षण: (दो संस्करणों में व्यक्तिगत कार्य।)

A1) गुणनफल 7 7 7 7 x x x को घात के रूप में व्यक्त करें:

ए 2) उत्पाद के रूप में व्यक्त करें डिग्री (-3) 3 x 2

ए 3) गणना करें: -2 3 2 + 4 5 3

मैं कक्षा स्तर की तैयारी के अनुसार परीक्षण में कार्यों की संख्या का चयन करता हूं।

परीक्षण के लिए, मैं आत्म-परीक्षण की कुंजी देता हूं। मानदंड: पास-फेल।

III. शैक्षिक और व्यावहारिक कार्य (चरण 3) + चरण 4। (छात्र स्वयं गुण तैयार करेंगे)

गणना करें: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

सरल कीजिए: a 2 a 20 =? ख 30 ख 10 ख 15 = ?

समस्याओं को हल करने के दौरान 1) और 2), छात्र एक समाधान का प्रस्ताव करते हैं, और मैं, एक शिक्षक के रूप में, समान आधारों के साथ गुणा करते समय शक्तियों को सरल बनाने का एक तरीका खोजने के लिए एक कक्षा का आयोजन करता हूं।

शिक्षक: समान आधार से गुणा करने पर घातों को सरल बनाने का एक तरीका खोजें।

क्लस्टर पर एक प्रविष्टि दिखाई देती है:

पाठ का विषय तैयार किया गया है। शक्तियों का गुणन।

शिक्षक: डिग्री को समान आधारों से विभाजित करने का नियम बनाएं।

रीजनिंग: कौन सी कार्रवाई विभाजन की जाँच करती है? ए 5: ए 3 =? कि ए 2 ए 3 = ए 5

मैं योजना पर लौटता हूं - एक क्लस्टर और प्रविष्टि को पूरक करता हूं - .. विभाजित करते समय, पाठ का विषय घटाएं और जोड़ें। ... और डिग्री का विभाजन।

चतुर्थ। ज्ञान की सीमा के छात्रों के लिए संचार (न्यूनतम और अधिकतम के रूप में)।

शिक्षक: आज के पाठ के लिए न्यूनतम का कार्य यह सीखना है कि समान आधारों के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों को कैसे लागू किया जाए, और अधिकतम: गुणा और भाग को एक साथ लागू करना।

बोर्ड पर लिखें : ए एम ए एन = ए एम + एन; ए एम: ए एन = ए एम-एन

V. नई सामग्री के अध्ययन का संगठन। (चरण 5)

ए) पाठ्यपुस्तक के अनुसार: संख्या 403 (ए, सी, ई) विभिन्न शब्दों के साथ कार्य

नंबर 404 (ए, ई, एफ) स्वतंत्र कार्य, फिर मैं एक पारस्परिक जांच का आयोजन करता हूं, मैं चाबियाँ देता हूं।

b) m के किस मान के लिए समानता है? ए 16 ए एम \u003d ए 32; एक्स एच एक्स 14 = एक्स 28; एक्स 8 (*) = एक्स 14

कार्य: विभाजन के लिए समान उदाहरण प्रस्तुत करें।

सी) नंबर 417 (ए), नंबर 418 (ए) छात्रों के लिए जाल: एक्स 3 एक्स एन = एक्स 3एन; 3 4 3 2 = 9 6; ए 16: ए 8 \u003d ए 2.

VI. जो सीखा गया है उसे सारांशित करना, नैदानिक ​​कार्य करना (जो छात्रों को प्रोत्साहित करता है, शिक्षकों को नहीं, इस विषय का अध्ययन करने के लिए) (चरण 6)

नैदानिक ​​कार्य।

परीक्षण(कुंजियों को परीक्षण के पीछे रखें)।

कार्य विकल्प: भागफल x 15: x 3 डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें; एक शक्ति के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं उत्पाद (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; जिसके लिए m समानता a 16 a m = a 32 सत्य है; h = 0.2 के साथ व्यंजक h 0: h 2 का मान ज्ञात कीजिए; व्यंजक के मान की गणना करें (5 2 5 0) : 5 2 ।

पाठ का सारांश। प्रतिबिंब।मैं कक्षा को दो समूहों में विभाजित करता हूँ।

समूह I के तर्क खोजें: डिग्री के गुणों के ज्ञान के पक्ष में, और समूह II - तर्क जो कहेंगे कि आप गुणों के बिना कर सकते हैं। हम सभी उत्तरों को सुनते हैं, निष्कर्ष निकालते हैं। बाद के पाठों में, आप सांख्यिकीय डेटा की पेशकश कर सकते हैं और रूब्रिक को नाम दे सकते हैं "यह मेरे दिमाग में फिट नहीं है!"

औसत व्यक्ति अपने जीवन काल में 32 10 2 किलो खीरा खाता है।

ततैया 3.2 10 2 किमी की नॉन-स्टॉप उड़ान भरने में सक्षम है।

जब कांच टूटता है, तो दरार लगभग 5 10 3 किमी/घंटा की गति से फैलती है।

एक मेंढक अपने जीवन काल में 3 टन से अधिक मच्छरों को खा जाता है। डिग्री का प्रयोग करते हुए किग्रा में लिखिए।

सबसे विपुल समुद्री मछली है - चंद्रमा (मोला मोला), जो एक स्पॉनिंग में लगभग 1.3 मिमी के व्यास के साथ 300,000,000 अंडे देती है। इस संख्या को डिग्री की सहायता से लिखिए।

सातवीं। गृहकार्य।

इतिहास संदर्भ। फ़र्मेट नंबर किसे कहते हैं।

पी.19. #403, #408, #417

प्रयुक्त पुस्तकें:

पाठ्यपुस्तक "बीजगणित -7", लेखक यू.एन. मकारिचेव, एन.जी. मिंड्युक और अन्य।

ग्रेड 7, एल.वी. के लिए उपदेशात्मक सामग्री। कुज़नेत्सोवा, एल.आई. ज़वाविच, एस.बी. सुवोरोव।

गणित का विश्वकोश।

जर्नल "क्वांटम"।

डिग्री, फॉर्मूलेशन, सबूत, उदाहरण के गुण।

संख्या की डिग्री निर्धारित होने के बाद, बात करना तर्कसंगत है डिग्री गुण. इस लेख में, हम सभी संभावित घातांकों को स्पर्श करते हुए, किसी संख्या की घात के मूल गुण देंगे। यहां हम डिग्री के सभी गुणों का प्रमाण देंगे, और यह भी दिखाएंगे कि उदाहरणों को हल करते समय इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति की परिभाषा के अनुसार, n की शक्ति n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है। इस परिभाषा के आधार पर, और प्रयोग वास्तविक संख्या गुणन गुण, हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं और उसका औचित्य सिद्ध कर सकते हैं प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

डिग्री की मुख्य संपत्ति a m ·a n =a m+n , इसका सामान्यीकरण a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों का गुण a m:a n =a m−n ;

उत्पाद डिग्री गुण (a b) n =a n b n , इसका विस्तार (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n;

प्रकार में भागफल संपत्ति (a:b) n =a n:b n;

घातांक (a m) n =a m n , इसका सामान्यीकरण (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

शून्य के साथ डिग्री की तुलना:

• अगर a>0 , तो a n >0 किसी भी प्राकृतिक n के लिए;
• अगर a=0 , तो a n =0 ;
• यदि a 2 m >0 , यदि a 2 m−1 n ;
• यदि m और n प्राकृत संख्याएँ हैं जैसे कि m>n , तो 0m n के लिए, और a>0 के लिए असमानता a m >a n सत्य है।

हम तुरंत ध्यान दें कि सभी लिखित समानताएं हैं सदृशनिर्दिष्ट शर्तों के तहत, और उनके दाएं और बाएं हिस्सों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का मुख्य गुण a m a n = a m + n with भावों का सरलीकरणअक्सर a m+n = a m a n के रूप में उपयोग किया जाता है।

आइए अब उनमें से प्रत्येक को विस्तार से देखें।

आइए एक ही आधार वाले दो घातों के गुणनफल के गुण से शुरू करते हैं, जिसे कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n सत्य है।

आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति को साबित करें। एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, a m a n के समान आधार वाली शक्तियों के उत्पाद को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है . गुणन के गुणों के कारण, परिणामी व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और यह उत्पाद प्राकृतिक घातांक m+n के साथ a की शक्ति है, अर्थात a m+n । यह सबूत पूरा करता है।

आइए एक उदाहरण दें जो डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है। आइए समान आधारों 2 और प्राकृतिक शक्तियों 2 और 3 के साथ डिग्री लें, डिग्री की मुख्य संपत्ति के अनुसार, हम समानता 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 लिख सकते हैं। आइए इसकी वैधता की जांच करें, जिसके लिए हम 2 2 ·2 3 और 2 5 के भावों के मूल्यों की गणना करते हैं। घातांक प्रदर्शन करते हुए, हमारे पास 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 और 2 5 =2 2 2 2 2=32 है, क्योंकि हमें समान मान मिलते हैं, तो समानता 2 2 2 3 = 25 सत्य है, और यह डिग्री के मुख्य गुण की पुष्टि करता है।

गुणन के गुणों के आधार पर डिग्री की मुख्य संपत्ति को समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। तो किसी भी संख्या k के लिए प्राकृतिक संख्या n 1 , n 2 , …, n k समानता a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k सत्य है।

उदाहरण के लिए, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17।

आप एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री के अगले गुण पर जा सकते हैं - समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति: किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a और मनमानी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए शर्त m>n को संतुष्ट करने के लिए, समानता a m:a n =a m−n सत्य है।

इस संपत्ति का प्रमाण देने से पहले, आइए हम बयान में अतिरिक्त शर्तों के अर्थ पर चर्चा करें। 0 n = 0 के बाद से शून्य से विभाजन से बचने के लिए शर्त a≠0 आवश्यक है, और जब हम विभाजन से परिचित हुए, तो हम सहमत हुए कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। शर्त m>n की शुरुआत की गई है ताकि हम प्राकृतिक घातांक से आगे न जाएं। वास्तव में, m>n के लिए, घातांक a m−n एक प्राकृत संख्या है, अन्यथा यह या तो शून्य होगा (जो तब होता है जब m−n) या ऋणात्मक संख्या (जो तब होती है जब m m−n a n =a (m−n) + n = a m प्राप्त समानता a m−n a n = a m से और भाग के साथ गुणन के संबंध से यह निम्नानुसार है कि a m−n, m और a n की आंशिक घात है यह समान आधारों के साथ आंशिक घातों के गुण को सिद्ध करता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए समान आधार π और प्राकृतिक घातांक 5 और 2 के साथ दो डिग्री लें, डिग्री की मानी गई संपत्ति समानता π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 से मेल खाती है।

अब विचार करें उत्पाद डिग्री संपत्ति: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के गुणनफल की प्राकृतिक घात n, a n और b n के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (a b) n =a n b n।

वास्तव में, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है . गुणन के गुणों के आधार पर अंतिम उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है , जो a n b n के बराबर है।

यहाँ एक उदाहरण है: .

यह संपत्ति तीन या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री तक फैली हुई है। अर्थात्, k कारकों के गुणनफल की प्राकृतिक डिग्री संपत्ति n को (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n के रूप में लिखा जाता है।

स्पष्टता के लिए, हम इस संपत्ति को एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं। तीन कारकों के गुणनफल से 7 की घात के लिए, हमारे पास .

अगली संपत्ति है प्राकृतिक संपत्ति: वास्तविक संख्या a और b का भागफल, b≠0 से प्राकृतिक घात n, घातों a n और b n के भागफल के बराबर है, अर्थात (a:b) n =a n:b n।

पिछली संपत्ति का उपयोग करके सबूत किया जा सकता है। तो (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , और समानता से (a:b) n b n =a n यह इस प्रकार है कि (a:b) n a n से b n का भागफल है।

आइए विशिष्ट संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस गुण को लिखें: .

अब आवाज करते हैं घातांक संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृत संख्या m और n के लिए, m की घात n की घात के लिए घातांक m·n के साथ a की घात के बराबर है, अर्थात (a m) n =a m·n ।

उदाहरण के लिए, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।

एक डिग्री में शक्ति संपत्ति का प्रमाण समानता की निम्नलिखित श्रृंखला है: .

मानी गई संपत्ति को डिग्री के भीतर डिग्री के भीतर डिग्री तक बढ़ाया जा सकता है, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r, और s के लिए, समानता . अधिक स्पष्टता के लिए, आइए विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण दें: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 ।

यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

आइए एक प्राकृतिक घातांक के साथ शून्य और डिग्री की तुलना संपत्ति को साबित करके शुरू करें।

सबसे पहले, किसी a>0 के लिए a n >0 को उचित ठहराते हैं।

गुणन की परिभाषा के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। यह तथ्य और गुणन के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और प्राकृतिक घातांक n के साथ की शक्ति, परिभाषा के अनुसार, n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक के बराबर है। ये तर्क हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक आधार के लिए n की डिग्री एक सकारात्मक संख्या है। सिद्ध संपत्ति के आधार पर 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 और .

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए a=0 साथ n की डिग्री शून्य है। दरअसल, 0 n =0·0·…·0=0 । उदाहरण के लिए, 0 3 =0 और 0 762 =0 ।

आइए नकारात्मक आधारों पर चलते हैं।

आइए उस स्थिति से शुरू करें जब घातांक एक सम संख्या हो, इसे 2 m के रूप में निरूपित करें, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। फिर . ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के नियम के अनुसार, a का प्रत्येक गुणनफल a और a के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक धनात्मक संख्या है। इसलिए उत्पाद भी सकारात्मक होगा। और डिग्री 2 मी. यहां उदाहरण दिए गए हैं: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 और ।

अंत में, जब a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है और घातांक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी उत्पाद a·a धनात्मक संख्याएँ हैं, इन धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी धनात्मक होता है, और शेष ऋणात्मक संख्या से इसके गुणन से ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस गुण के आधार पर, (−5) 3 17 n n वास्तविक असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों का गुणनफल है a असमानताओं के गुण, सिद्ध की जा रही असमानता के रूप में है n n । उदाहरण के लिए, इस संपत्ति के कारण, असमानताएँ 3 7 7 और .

यह प्राकृतिक प्रतिपादकों के साथ शक्तियों के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। आइए इसे तैयार करें। प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से कम समान सकारात्मक आधारों में से, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक कम है; और प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से अधिक समान आधार, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक अधिक है। हम इस संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

आइए हम साबित करें कि m>n और 0m n के लिए। ऐसा करने के लिए, हम अंतर a m - a n लिखते हैं और इसकी तुलना शून्य से करते हैं। कोष्ठक में से n निकालने के बाद लिखित अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेगा। परिणामी उत्पाद ऋणात्मक है क्योंकि धनात्मक संख्या a n और ऋणात्मक संख्या a m−n −1 का गुणनफल है (a n धनात्मक संख्या की प्राकृतिक शक्ति के रूप में धनात्मक है, और m−n −1 का अंतर ऋणात्मक है, क्योंकि m−n >0 प्रारंभिक स्थिति m>n के कारण, जहां से यह इस प्रकार है कि 0m−n के लिए यह एक से कम है)। इसलिए, a m - a n m n , जिसे सिद्ध किया जाना था। उदाहरण के लिए, हम सही असमानता देते हैं।

यह संपत्ति का दूसरा हिस्सा साबित करना बाकी है। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 के लिए, a m >a n सत्य है। कोष्ठक में से n निकालने के बाद a m −a n का अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेता है। यह उत्पाद धनात्मक है, क्योंकि a>1 के लिए n की डिग्री एक धनात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 प्रारंभिक स्थिति के कारण, और a>1 के लिए, m−n की घात एक से अधिक होती है। इसलिए, a m - a n >0 और a m >a n , जिसे सिद्ध किया जाना था। यह गुण असमानता 3 7 >3 2 द्वारा दर्शाया गया है।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

चूँकि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, तो धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली घातों के सभी गुण पिछले अनुच्छेद में सूचीबद्ध और सिद्ध किए गए प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों से बिल्कुल मेल खाते हैं।

हमने एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री, साथ ही एक शून्य घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया है, ताकि समानता द्वारा व्यक्त प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण मान्य रहें। इसलिए, ये सभी गुण शून्य घातांक और ऋणात्मक घातांक दोनों के लिए मान्य हैं, जबकि, निश्चित रूप से, डिग्री के आधार गैर-शून्य हैं।

तो, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्णांक एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य हैं पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

• ए एम ए एन \u003d ए एम + एन;
• ए एम: ए एन = ए एम−एन;
• (ए बी) एन = ए एन बी एन;
• (ए: बी) एन = ए एन: बी एन;
• (ए एम) एन = एक एम एन;
• यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a n n और a−n>b−n ;
• यदि m और n पूर्णांक हैं, और m>n , तो 0m n के लिए, और a>1 के लिए, असमानता a m >a n संतुष्ट है।

a=0 के लिए, घात a m और a n तभी समझ में आता है जब m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हों, अर्थात प्राकृत संख्याएँ। इस प्रकार, अभी लिखे गए गुण उन मामलों के लिए भी मान्य हैं जब a=0 और संख्या m और n धनात्मक पूर्णांक हैं।

इन गुणों में से प्रत्येक को साबित करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए प्राकृतिक और पूर्णांक घातांक के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों की डिग्री की परिभाषाओं का उपयोग करना पर्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में, आइए साबित करें कि सकारात्मक पूर्णांक और गैर-धनात्मक पूर्णांक दोनों के लिए शक्ति गुण धारण करता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यदि p शून्य या एक प्राकृत संख्या है और q शून्य या एक प्राकृत संख्या है, तो समानताएँ (a p) q =a p q , (a - p) q =a (−p) q, (a p ) −q =a p (−q) और (a −p) −q =a (−p) (−q) । हो जाए।

सकारात्मक p और q के लिए, समानता (a p) q =a p·q पिछले उपखंड में सिद्ध हुई थी। अगर p=0 , तो हमारे पास (a 0) q =1 q =1 और a 0 q =a 0 =1 है, जहां से (a 0) q =a 0 q है। इसी तरह, यदि q=0 , तो (a p) 0 =1 और a p 0 =a 0 =1 , जहां से (a p) 0 =a p 0 । यदि दोनों p=0 और q=0 , तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0 0 =a 0 =1 , जहां से (a 0) 0 =a 0 0 है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि (a −p) q =a (−p) q । एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात की परिभाषा के अनुसार, तब . अंश में भागफल के गुणधर्म से, हमारे पास है . चूँकि 1 p =1·1·…·1=1 और , तब । अंतिम व्यंजक, परिभाषा के अनुसार, a -(p q) के रूप की एक घात है, जिसे गुणन के नियमों के आधार पर a (−p) q के रूप में लिखा जा सकता है।

उसी प्रकार .

और .

उसी सिद्धांत से, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के अन्य सभी गुणों को समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे गए गुणों के अंत में, यह असमानता के प्रमाण पर रहने लायक है a −n >b −n , जो किसी भी नकारात्मक पूर्णांक −n और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए सही है जिसके लिए शर्त a . हम इस असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच के अंतर को लिखते और बदलते हैं: . चूंकि शर्त के अनुसार a n n , इसलिए, b n - a n >0 । गुणनफल a n ·b n धनात्मक संख्याओं a n और b n के गुणनफल के रूप में भी धनात्मक है। तब परिणामी भिन्न धनात्मक संख्याओं b n - a n और a n b n के भागफल के रूप में धनात्मक होता है। इसलिए, जहां से a −n >b −n , जिसे सिद्ध किया जाना था।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की अंतिम संपत्ति उसी तरह साबित होती है जैसे प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की अनुरूप संपत्ति।

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

हमने डिग्री को एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का विस्तार करके एक भिन्नात्मक घातांक के साथ परिभाषित किया है। दूसरे शब्दों में, भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री में पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के समान गुण होते हैं। अर्थात्:

1. समान आधार वाली शक्तियों के गुणनफल की संपत्ति a>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 के लिए;
2. समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति एक>0 के लिए;
3. भिन्नात्मक उत्पाद गुण a>0 और b>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 और (या) b≥0 के लिए;
4. भिन्नात्मक घात का भागफल गुण a>0 और b>0 के लिए, और यदि , तो a≥0 और b>0 के लिए;
5. डिग्री संपत्ति में डिग्री a>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 के लिए;
6. समान परिमेय घातांक के साथ घातों की तुलना करने का गुण: किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए, a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए;
7. परिमेय घातांक और समान आधारों के साथ घातों की तुलना करने का गुण: परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0p q के लिए, और a>0 के लिए, असमानता a p >a q।

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का प्रमाण भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर, nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के गुणों पर और पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर आधारित होता है। आइए प्रमाण देते हैं।

एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार और, तब . अंकगणितीय मूल के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, जहां से, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से, हमारे पास है , और प्राप्त डिग्री के प्रतिपादक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:। यह सबूत पूरा करता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों का दूसरा गुण ठीक उसी तरह सिद्ध होता है:


शेष समानताएं समान सिद्धांतों द्वारा सिद्ध होती हैं:


हम अगली संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि किसी धनात्मक a और b के लिए, a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए। हम परिमेय संख्या p को m/n के रूप में लिखते हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। इस मामले में शर्तें पी 0 क्रमशः शर्तों एम 0 के बराबर होगी। एम>0 और एम एम के लिए। इस असमानता से, जड़ों की संपत्ति से, हमारे पास है, और चूंकि ए और बी सकारात्मक संख्याएं हैं, फिर, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के आधार पर, परिणामी असमानता को फिर से लिखा जा सकता है, अर्थात एपी पी।

इसी प्रकार, जब m m >b m , कहाँ से , अर्थात्, और a p >b p ।

यह सूचीबद्ध संपत्तियों में से अंतिम साबित करने के लिए बनी हुई है। आइए हम साबित करें कि परिमेय संख्या p और q के लिए, p>q 0p q के लिए, और a>0 असमानता a p >a q के लिए। हम हमेशा परिमेय संख्या p और q को एक सामान्य हर में कम कर सकते हैं, आइए हम साधारण भिन्न प्राप्त करें और जहाँ m 1 और m 2 पूर्णांक हैं, और n एक प्राकृत संख्या है। इस मामले में, शर्त p>q शर्त m 1 >m 2 के अनुरूप होगी, जो समान हर के साथ साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का अनुसरण करती है। फिर, समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ शक्तियों की तुलना करने के गुण से, 0m 1 m 2 के लिए, और a>1 के लिए, असमानता a m 1 >a m 2 के लिए। जड़ों के गुणों के संदर्भ में इन असमानताओं को क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है: और . और एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा हमें असमानताओं को पारित करने की अनुमति देती है और, क्रमशः। यहां से हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं: p>q और 0p q के लिए, और a>0 के लिए, असमानता a p >a q।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को कैसे परिभाषित किया जाता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसमें परिमेय घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण हैं। तो किसी a>0 , b>0 और अपरिमेय संख्या p और q के लिए निम्नलिखित सत्य हैं अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण:

1. ए पी ए क्यू = ए पी + क्यू;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (ए बी) पी = ए पी बी पी;
4. (ए: बी) पी = ए पी: बी पी;
5. (ए पी) क्यू = ए पी क्यू;
6. किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए a और b , a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए;
7. अपरिमेय संख्याओं के लिए p और q , p>q के लिए 0p q , और a>0 के लिए असमानता a p >a q ।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a>0 के लिए किसी भी वास्तविक घातांक p और q वाली घातों के गुण समान होते हैं।

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विषय पर पाठ: "समान और भिन्न घातांक के साथ घातों को गुणा और भाग करने के नियम। उदाहरण"

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पाठ का उद्देश्य: किसी संख्या की शक्तियों के साथ संचालन करना सीखें।

आरंभ करने के लिए, आइए "एक संख्या की शक्ति" की अवधारणा को याद करें। $\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n)$ जैसी अभिव्यक्ति को $a^n$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

रिवर्स भी सच है: $a^n= \underbrace(a * a * \ldots * a)_(n)$।

इस समानता को "डिग्री को एक उत्पाद के रूप में रिकॉर्ड करना" कहा जाता है। यह हमें यह निर्धारित करने में मदद करेगा कि कैसे शक्तियों को गुणा और विभाजित किया जाए।
याद है:
ए- डिग्री का आधार।
एन- प्रतिपादक।
यदि एक एन = 1, जिसका अर्थ है संख्या एएक बार और क्रमशः लिया गया: $a^n= 1$।
यदि एक एन = 0, फिर $a^0= 1$।

ऐसा क्यों होता है, हम इसका पता तब लगा सकते हैं जब हम घातों को गुणा और भाग करने के नियमों से परिचित हो जाते हैं।

गुणन नियम

a) यदि समान आधार वाली घातों को गुणा किया जाता है।
$a^n * a^m$ के लिए, हम एक उत्पाद के रूप में शक्तियों को लिखते हैं: $\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n) * \underbrace(a * a * \ldots * a)_ (एम) $।
आंकड़ा दर्शाता है कि संख्या एले लिया है एन+एमबार, फिर $a^n * a^m = a^(n + m)$।

उदाहरण।
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

किसी संख्या को बड़ी शक्ति तक बढ़ाते समय कार्य को सरल बनाने के लिए इस संपत्ति का उपयोग करना सुविधाजनक है।
उदाहरण।
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

बी) यदि शक्तियों को एक अलग आधार से गुणा किया जाता है, लेकिन एक ही एक्सपोनेंट।
$a^n * b^n$ के लिए, हम एक उत्पाद के रूप में शक्तियों को लिखते हैं: $\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n) * \underbrace(b * b * \ldots * b)_ (एम) $।
यदि हम कारकों की अदला-बदली करते हैं और परिणामी युग्मों की गणना करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: $\underbrace((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$।

तो $a^n * b^n= (a * b)^n$।

उदाहरण।
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

विभाजन नियम

a) डिग्री का आधार समान है, घातांक भिन्न हैं।
एक डिग्री को एक छोटे घातांक के साथ विभाजित करके एक बड़े घातांक के साथ एक डिग्री को विभाजित करने पर विचार करें।

इसलिए यह आवश्यक है $\frac(a^n)(a^m)$, कहाँ पे एन>एम.

हम अंशों को भिन्न के रूप में लिखते हैं:

$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n))(\underbrace(a * a * \ldots * a)_(m))$।

सुविधा के लिए हम भाग को साधारण भिन्न के रूप में लिखते हैं।

अब हम भिन्न को कम करते हैं।

यह पता चला है: $\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n-m)= a^(n-m)$।
माध्यम, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

यह गुण किसी संख्या को शून्य की घात तक बढ़ाने के साथ स्थिति को समझाने में मदद करेगा। आइए मान लें कि एन = एम, फिर $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$।

उदाहरण।
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$।

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$।

बी) डिग्री के आधार अलग हैं, संकेतक समान हैं।
मान लीजिए कि आपको $\frac(a^n)(b^n)$ की जरूरत है। हम संख्याओं की घातों को भिन्न के रूप में लिखते हैं:

$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a)_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b)_(n))$।

आइए सुविधा के लिए कल्पना करें।

भिन्नों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, हम एक बड़ी भिन्न को छोटे अंशों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जो हमें प्राप्त होता है।
$\अंडरब्रेस(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$।
तदनुसार: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

उदाहरण।
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$।

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का दैनिक जीवन में उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निश्चित रूप से, डिग्री जानने से आप OGE या यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के करीब आ जाएंगे।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानव भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान दें। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ के साथ शुरू करें।

यहाँ समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी पेचीदा गिनने की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात को बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक मीटर आकार में एक नीचे और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि कितने मीटर मीटर क्यूब आपके पूल में प्रवेश करेंगे।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर वे इसे बहुत आसान बना देते हैं तो गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, आप एक बार एक उंगली से क्या गिनते हैं, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान ...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक संकेतक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री में" के रूप में पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृत संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है कि ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को दर्शाने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए उनके पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
3. किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।एक संख्या को एक प्राकृतिक घात में बढ़ाने के लिए संख्या को अपने आप से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं आपको अभी दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याएँ एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरा का पूराहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें।

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित को व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए समान संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .

III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात का व्युत्क्रम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें यदि आप इसे हल नहीं कर सके और आप सीखेंगे कि परीक्षा में उनसे आसानी से कैसे निपटें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं के वृत्त का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, के अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को अपने आप से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

पर इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

जवाब: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए सूचकडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याएँ एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम 3 लागू किया जा सकता है, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। जवाब: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

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