हम गणित नहीं चुनतेउसका पेशा, और वह हमें चुनती है।

रूसी गणितज्ञ यू.आई. मानिन

मोडुलो समीकरण

स्कूली गणित में हल करने के लिए सबसे कठिन समस्याएं मॉड्यूल साइन के तहत चर वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, मॉड्यूल की परिभाषा और बुनियादी गुणों को जानना आवश्यक है। स्वाभाविक रूप से, छात्रों के पास इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का कौशल होना चाहिए।

बुनियादी अवधारणाएं और गुण

एक वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान)लक्षित और निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

मॉड्यूल के सरल गुणों में निम्नलिखित संबंध शामिल हैं:

टिप्पणी, कि अंतिम दो गुण किसी भी डिग्री के लिए धारण करते हैं।

इसके अलावा, अगर , कहाँ , तो और

अधिक जटिल मॉड्यूल गुण, जो मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने में प्रभावी ढंग से इस्तेमाल किया जा सकता है, निम्नलिखित प्रमेयों के माध्यम से तैयार किए जाते हैं:

प्रमेय 1.किसी भी विश्लेषणात्मक कार्यों के लिएऔर असमानता

प्रमेय 2।समानता असमानता के समान है।

प्रमेय 3.समानता असमानता के बराबर है.

"समीकरण" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त।

मापांक के साथ समीकरण हल करना

एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए स्कूली गणित में सबसे आम विधि है, मॉड्यूल विस्तार के आधार पर। यह विधि सामान्य है, हालाँकि, सामान्य स्थिति में, इसके अनुप्रयोग से बहुत बोझिल गणनाएँ हो सकती हैं। इस संबंध में, छात्रों को अन्य के बारे में भी पता होना चाहिए, ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए अधिक कुशल तरीके और तकनीक। विशेष रूप से, प्रमेयों को लागू करने के लिए कौशल की आवश्यकता है, इस लेख में दिया गया है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें। (एक)

फेसला। समीकरण (1) को "शास्त्रीय" विधि - मॉड्यूल विस्तार विधि द्वारा हल किया जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम संख्यात्मक अक्ष को तोड़ते हैंडॉट्स और अंतराल और तीन मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो , , , और समीकरण (1) रूप लेता है। यह यहाँ से अनुसरण करता है। हालाँकि, यहाँ, इसलिए पाया गया मान समीकरण (1) का मूल नहीं है।

2. अगर, तब समीकरण (1) से हम प्राप्त करते हैंया ।

तब से समीकरण की जड़ (1)।

3. अगर, तब समीकरण (1) रूप लेता हैया । ध्यान दें कि ।

जवाब: , ।

मॉड्यूल के साथ निम्नलिखित समीकरणों को हल करते समय, हम ऐसे समीकरणों को हल करने की दक्षता बढ़ाने के लिए मॉड्यूल के गुणों का सक्रिय रूप से उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें.

फेसला।चूंकि और तब यह समीकरण से अनुसरण करता है. इस सम्बन्ध में, , , और समीकरण बन जाता है. यहाँ से हमें मिलता है. हालांकि , इसलिए मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें.

फेसला।तब से । तो अगर , और समीकरण बन जाता है.

यहाँ से हमें मिलता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें.

फेसला।आइए हम समीकरण को एक समान रूप में फिर से लिखें. (2)

परिणामी समीकरण प्रकार के समीकरणों से संबंधित है।

प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, हम कह सकते हैं कि समीकरण (2) असमानता के बराबर है। यहाँ से हमें मिलता है।

जवाब: ।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें।

फेसला। इस समीकरण का रूप है. इसलिए , प्रमेय 3 . के अनुसार, यहाँ हमारे पास असमानता हैया ।

उदाहरण 6प्रश्न हल करें.

फेसला।आइए मान लें कि। जैसा , तब दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण का रूप ले लेता है, (3)

कहाँ पे . चूँकि समीकरण (3) का एक धनात्मक मूल हैऔर फिर . यहाँ से हमें मूल समीकरण के दो मूल प्राप्त होते हैं:और ।

उदाहरण 7 प्रश्न हल करें. (4)

फेसला। समीकरण के बाद सेदो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:और , फिर समीकरण (4) को हल करते समय दो मामलों पर विचार करना आवश्यक है।

1. यदि , तो या ।

यहाँ से हमें मिलता है , और .

2. यदि , तो या ।

तब से ।

जवाब: , , , ।

उदाहरण 8प्रश्न हल करें . (5)

फेसला।तब से और तब से। यहाँ से और समीकरण (5) से यह उसका अनुसरण करता है, अर्थात्। यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

हालाँकि, समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 9 प्रश्न हल करें. (6)

फेसला।अगर हम नामित करते हैं और समीकरण (6) से हम प्राप्त करते हैं

या । (7)

चूंकि समीकरण (7) का रूप है, यह समीकरण असमानता के बराबर है। यहाँ से हमें मिलता है। तब से , तब या ।

जवाब: ।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें. (8)

फेसला।प्रमेय 1 के अनुसार हम लिख सकते हैं

(9)

समीकरण (8) को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों असमानताएँ (9) समानता में बदल जाती हैं, अर्थात। समीकरणों की एक प्रणाली है

हालांकि, प्रमेय 3 के अनुसार, समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

(10)

असमानताओं की प्रणाली को हल करना (10) हम प्राप्त करते हैं। चूंकि असमानताओं की प्रणाली (10) समीकरण (8) के बराबर है, मूल समीकरण का एक ही मूल है।

जवाब: ।

उदाहरण 11. प्रश्न हल करें. (11)

फेसला।मान लीजिए और, तो समीकरण (11) का अर्थ समानता है।

इससे यह इस प्रकार है और . इस प्रकार, यहाँ हमारे पास असमानताओं की एक प्रणाली है

असमानताओं की इस प्रणाली का समाधान हैऔर ।

जवाब: , ।

उदाहरण 12.प्रश्न हल करें. (12)

फेसला। मॉड्यूल के क्रमिक विस्तार की विधि द्वारा समीकरण (12) को हल किया जाएगा। ऐसा करने के लिए, कई मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो ।

1.1. यदि , तो और , .

1.2. तो अगर । हालांकि , तो में इस मामले मेंसमीकरण (12) का कोई मूल नहीं है।

2. यदि , तो ।

2.1. यदि , तो और , .

2.2. यदि , तो और ।

जवाब: , , , , ।

उदाहरण 13प्रश्न हल करें. (13)

फेसला।चूँकि समीकरण (13) का बायाँ पक्ष ऋणात्मक नहीं है, तब तथा । इस संबंध में, और समीकरण (13)

या रूप धारण कर लेता है।

ज्ञात हो कि समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर हैऔर , हल जो हमें मिलता है,। जैसा , तब समीकरण (13) का एक मूल है.

जवाब: ।

उदाहरण 14 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (14)

फेसला।तब से और , तब और । इसलिए, समीकरणों के निकाय (14) से हमें समीकरणों के चार निकाय प्राप्त होते हैं:

समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों की जड़ें समीकरणों की प्रणाली की जड़ें हैं (14)।

जवाब: ,, , , , , , ।

उदाहरण 15 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (15)

फेसला।तब से । इस संबंध में, समीकरणों के निकाय (15) से हमें समीकरणों के दो निकाय प्राप्त होते हैं

समीकरणों की पहली प्रणाली की जड़ें हैं और, और समीकरणों की दूसरी प्रणाली से हम प्राप्त करते हैं और।

जवाब: , , , ।

उदाहरण 16 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (16)

फेसला।यह प्रणाली के पहले समीकरण (16) से इस प्रकार है कि।

तब से . सिस्टम के दूसरे समीकरण पर विचार करें। जहां तक ​​कि, तब , और समीकरण बन जाता है, , या ।

यदि हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के पहले समीकरण में (16), तो , या .

जवाब: , ।

समस्या समाधान विधियों के गहन अध्ययन के लिए, समीकरणों के हल से संबंधित, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से ट्यूटोरियल की सलाह दे सकते हैं।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: बढ़ी हुई जटिलता के कार्य। - एम।: केडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 200 पी।

3. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके। - एम।: केडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 296 पी।

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साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

टोचिलकिना जूलिया

पेपर एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों को प्रस्तुत करता है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान

"माध्यमिक विद्यालय नंबर 59"

मोडुलो समीकरण

सार कार्य

प्रदर्शन किया नौवीं कक्षा का छात्र

MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 59", बरनौली

टोचिलकिना जूलिया

सुपरवाइज़र

ज़खारोवा लुडमिला व्लादिमीरोवना,

गणित शिक्षक

MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 59", बरनौली

बरनौल 2015

परिचय

मैं नौवीं कक्षा में हूँ। इस शैक्षणिक वर्ष में मुझे बेसिक स्कूल के पाठ्यक्रम के लिए अंतिम प्रमाणीकरण पास करना है। परीक्षा की तैयारी के लिए, हमने डी. ए. माल्टसेव गणित का एक संग्रह खरीदा। श्रेणी 9 संग्रह को देखते हुए, मुझे न केवल एक, बल्कि कई मॉड्यूल वाले समीकरण मिले। शिक्षक ने मुझे और मेरे सहपाठियों को समझाया कि ऐसे समीकरणों को "नेस्टेड मॉड्यूल" समीकरण कहा जाता है। यह नाम हमारे लिए असामान्य लग रहा था, और पहली नज़र में समाधान, बल्कि जटिल। इस तरह मेरे काम का विषय "मापांक के साथ समीकरण" दिखाई दिया। मैंने इस विषय का अधिक गहराई से अध्ययन करने का फैसला किया, खासकर जब से स्कूल वर्ष के अंत में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय यह मेरे काम आएगा और मुझे लगता है कि मुझे कक्षा 10 और 11 में इसकी आवश्यकता होगी। उपरोक्त सभी मेरे द्वारा चुने गए विषय की प्रासंगिकता को निर्धारित करते हैं।

उद्देश्य :

1. मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न विधियों पर विचार करें।
2. विभिन्न विधियों का उपयोग करके निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरणों को हल करना सीखें

विषय पर काम करने के लिए, निम्नलिखित कार्य तैयार किए गए थे:

कार्य:

1. "वास्तविक संख्या का मापांक" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना।
2. समीकरणों को हल करने के तरीकों पर विचार करें और समस्याओं को हल करके प्राप्त ज्ञान को समेकित करें।
3. हाई स्कूल में मापांक के संकेत वाले विभिन्न समीकरणों को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करें

अध्ययन की वस्तु:मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके

अध्ययन का विषय:मॉड्यूलो समीकरण

तलाश पद्दतियाँ:

सैद्धांतिक : शोध विषय पर साहित्य का अध्ययन;

इंटरनेट - सूचना।

विश्लेषण साहित्य के अध्ययन में प्राप्त जानकारी; विभिन्न तरीकों से मापांक के साथ समीकरणों को हल करके प्राप्त परिणाम।

तुलना समीकरणों को हल करने के तरीके, मॉड्यूल के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने में उनके उपयोग की तर्कसंगतता का विषय।

"जब हम किसी चीज से टकराते हैं तो हम सोचने लगते हैं।" पॉल वैलेरी।

1. अवधारणाएं और परिभाषाएं।

"मापांक" की अवधारणा का व्यापक रूप से स्कूल गणित पाठ्यक्रम के कई वर्गों में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अनुमानित संख्या की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों के अध्ययन में; ज्यामिति और भौतिकी में, एक वेक्टर और उसकी लंबाई (वेक्टर मापांक) की अवधारणाओं का अध्ययन किया जाता है। मॉड्यूल की अवधारणा का उपयोग उच्च शिक्षण संस्थानों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में किया जाता है।

शब्द "मॉड्यूल" लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अनुवाद में "माप" होता है। इस शब्द के कई अर्थ हैं और इसका उपयोग न केवल गणित, भौतिकी और प्रौद्योगिकी में, बल्कि वास्तुकला, प्रोग्रामिंग और अन्य सटीक विज्ञानों में भी किया जाता है।

ऐसा माना जाता है कि न्यूटन के एक छात्र कोट्स द्वारा इस शब्द का इस्तेमाल करने का प्रस्ताव रखा गया था। मॉड्यूल साइन 19वीं शताब्दी में वीयरस्ट्रैस द्वारा पेश किया गया था।

वास्तुकला में, एक मॉड्यूल किसी दिए गए वास्तुशिल्प संरचना के लिए स्थापित माप की प्रारंभिक इकाई है।

इंजीनियरिंग में, यह प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाने वाला शब्द है, जो विभिन्न गुणांक और मात्राओं को निरूपित करने का कार्य करता है, उदाहरण के लिए, लोच का मापांक, जुड़ाव का मापांक ...

गणित में, मापांक के कई अर्थ होते हैं, लेकिन मैं इसे किसी संख्या का निरपेक्ष मान मानूंगा।

परिभाषा 1 : एक वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान)ए नंबर ही कहा जाता है ifए 0, या विपरीत संख्या -और अगर ए शून्य का मापांक शून्य है।

मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करते समय, मॉड्यूल के गुणों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

5,6,7 संपत्तियों के प्रमाण पर विचार करें।

कथन 5. समानता सच है अगरएवी 0.

प्रमाण। वास्तव में, इस समानता के दोनों भागों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है, a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ से │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av + b², जहाँ से av = av

और अंतिम समानता सत्य होगीए वी 0.

कथन 6. समानता a-c │=│ a │+│ c सच है जबए वी 0.

प्रमाण। इसे साबित करने के लिए, यह समानता में पर्याप्त है

a + in │=│ a │+│ in │ को - in से बदलें, फिर a (- in) 0, जहां से av 0।

कथन 7. समानता a +│ in │= a + in पर प्रदर्शन कियाए 0 और बी ≥0।

प्रमाण . चार मामलों पर विचारए 0 और बी ≥0; एक ≥0 और बी ए 0 पर; ए में ए 0 और बी ≥0।

(ए-सी) 0 में।

ज्यामितीय व्याख्या

|ए| निर्देशांक के साथ बिंदु से समन्वय रेखा पर दूरी हैए , निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए।

|-ए| |ए|

ए 0 ए एक्स

अर्थ की ज्यामितीय व्याख्या |ए| स्पष्ट रूप से पुष्टि करता है कि |-a|=|a|

यदि एक 0 है, तो निर्देशांक रेखा पर शून्य से समदूरस्थ दो बिंदु a और -a हैं, जिनके मॉड्यूल समान हैं।

यदि a=0, तो निर्देशांक रेखा पर |a| बिंदु 0 द्वारा दर्शाया गया है।

परिभाषा 2: मापांक वाला समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें निरपेक्ष मान चिह्न (मापांक चिह्न के तहत) के तहत एक चर होता है। उदाहरण के लिए: |x +3|=1

परिभाषा 3: किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना, या यह सिद्ध करना कि कोई मूल नहीं है।

2. समाधान के तरीके

मॉड्यूल की परिभाषा और गुणों से, मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य तरीकों का पालन करें:

1. एक मॉड्यूल का "विस्तार" करना (अर्थात परिभाषा का उपयोग करना);
2. मॉड्यूल के ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करना (संपत्ति 2);
3. चित्रमय समाधान विधि;
4. समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग (गुण 4.6);
5. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन (यह संपत्ति 5 का उपयोग करता है)।
6. अंतराल विधि।

मैंने काफी बड़ी संख्या में उदाहरणों को हल किया है, लेकिन मेरे काम में मैं आपके ध्यान में केवल कुछ ही प्रस्तुत करता हूं, मेरी राय में, विशिष्ट उदाहरणों को विभिन्न तरीकों से हल किया जाता है, क्योंकि बाकी एक दूसरे की नकल करते हैं और यह समझने के लिए कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए मापांक, सभी हल किए गए उदाहरणों पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

समीकरणों का समाधान | एफ(एक्स)| =ए

समीकरण पर विचार करें | एफ(एक्स)| =ए, और आर

मापांक को परिभाषित करके इस तरह के समीकरण को हल किया जा सकता है:

यदि एक ए तब समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

अगर एक = 0, तो समीकरण f(x)=0 के बराबर है।

अगर एक>0, तो समीकरण सेट के बराबर है

उदाहरण। समीकरण को हल करें |3x+2|=4।

फेसला।

|3x+2|=4, फिर 3x+2=4,

3x+2= -4;

एक्स = -2,

एक्स = 2/3

उत्तर: -2;2/3।

मॉड्यूल के ज्यामितीय गुणों का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

उदाहरण 1 समीकरण /x-1/+/x-3/=6 को हल करें।

फेसला।

इस समीकरण को हल करने का अर्थ है संख्यात्मक अक्ष ऑक्स पर ऐसे सभी बिंदुओं को खोजना, जिनमें से प्रत्येक के लिए निर्देशांक 1 और 3 के साथ बिंदुओं की दूरी का योग 6 के बराबर है।

खंड पर कोई भी बिंदुइस शर्त को पूरा नहीं करता है, क्योंकि निर्दिष्ट दूरियों का योग 2 है। इस खंड के बाहर, दो बिंदु हैं: 5 और -1।

1 1 3 5

उत्तर: -1;5

उदाहरण 2 समीकरण हल करें |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

फेसला।

x 2 + x-5 \u003d a, फिर / a / + / a-4 . को निरूपित करें /=10. आइए x-अक्ष पर ऐसे बिंदु खोजें कि उनमें से प्रत्येक के लिए निर्देशांक 0 और 4 वाले बिंदुओं की दूरी का योग 10 के बराबर हो। यह स्थिति -4 और 7 से संतुष्ट होती है।

3 0 4 7

तो x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

एक्स 2 + एक्स -2 \u003d 0 एक्स 2 + एक्स -12 \u003d 0

एक्स 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 उत्तर: -4; -2; एक; 3.

समीकरणों का समाधान |एफ(एक्स)| = | जी (एक्स) |।

1. चूंकि | ए |=|बी |, अगर ए = बी, तब फॉर्म का एक समीकरण |एफ(एक्स)| = | जी (एक्स )| एक समुच्चय के समान है

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें |एक्स-2| = |3 - एक्स |।

फेसला।

यह समीकरण दो समीकरणों के बराबर है:

एक्स - 2 \u003d 3 - एक्स (1) और एक्स - 2 \u003d -3 + एक्स (2)

2 एक्स = 5 -2 = -3 - गलत

एक्स = 2.5 समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर : 2.5.

उदाहरण 2

समीकरण हल करें |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|।

फेसला।

चूँकि समीकरण के दोनों पक्ष ऋणात्मक नहीं हैं, तोस्क्वेरिंग समतुल्य परिवर्तन है:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 या 2x 2 -18=0;

एक्स = 22/6, एक्स = 3, एक्स = -3।

एक्स = 11/3

उत्तर: -3; 3; 11/3.

देखने के समीकरणों का समाधान |एफ(एक्स)| = जी (एक्स)।

इन समीकरणों और के बीच का अंतर| एफ(एक्स)| = ए उसमें दायां पक्ष भी एक चर है। और यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है। इसलिए, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि यह गैर-ऋणात्मक है, क्योंकि मापांक ऋणात्मक संख्या (संपत्ति) के बराबर नहीं हो सकता है№1 )

1 रास्ता

समीकरण समाधान |एफ(एक्स)| = जी (एक्स ) समीकरणों के समाधान के समुच्चय में घटाया जाता हैऔर असमानता की वैधता की जाँचजी (एक्स )>0 अज्ञात के पाए गए मूल्यों के लिए।

2 रास्ता (मॉड्यूल परिभाषा के अनुसार)

चूंकि | एफ(एक्स)| = जी (एक्स) अगर एफ (एक्स) = 0; | एफ(एक्स)| = - f(x) यदि f(x)

उदाहरण।

समीकरण हल करें |3एक्स -10 | = एक्स - 2।

फेसला।

यह समीकरण दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

ओ टी ई टी: 3; 4.

फार्म के समीकरणों का समाधान |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

इस प्रकार के समीकरणों का हल मॉड्यूल की परिभाषा पर आधारित होता है। प्रत्येक समारोह के लिए f 1 (एक्स), एफ 2 (एक्स), …, एफ एन (x) परिभाषा के सामान्य डोमेन को अंतराल में विभाजित करते हुए, परिभाषा के क्षेत्र, उसके शून्य और असंततता बिंदुओं को खोजना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक में कार्य f 1 (एक्स), एफ 2 (एक्स), …, एफ एन (x) अपना चिन्ह रखें। इसके अलावा, मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, प्रत्येक पाए गए क्षेत्रों के लिए हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसे किसी दिए गए अंतराल पर हल किया जाना चाहिए। इस विधि को कहा जाता है "अंतराल विधि»

उदाहरण।

समीकरण को हल करें |x-2|-3|x+4|=1।

फेसला।

आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन शून्य के बराबर हैं

x-2=0, x+4=0,

एक्स = 2; एक्स = -4।

आइए संख्या रेखा को अंतराल x . में तोड़ें

समीकरण का समाधान तीन प्रणालियों के समाधान में घटाया गया है:

उत्तर: -15, -1.8।

शामिल समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिक विधिमॉड्यूल साइन।

समीकरणों को हल करने का ग्राफिकल तरीका अनुमानित है, क्योंकि सटीकता चयनित इकाई खंड पर निर्भर करती है, पेंसिल की मोटाई, कोण जिस पर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, आदि। लेकिन यह विधि आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि किसी विशेष समीकरण के कितने हल हैं।

उदाहरण। समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

फेसला। आइए हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन का निर्माण करें

वाई=|एक्स - 2| + |x - 3| + |2x - 8| और वाई = 9।

एक ग्राफ बनाने के लिए, प्रत्येक अंतराल पर इस फ़ंक्शन पर विचार करना आवश्यक है (-∞; 2); [ 3/2 ; )

उत्तर: (- ; 4/3] [ 3/2 ; )

हमने समीकरणों को हल करने में तुल्य परिवर्तन की विधि का भी उपयोग किया |एफ(एक्स)| = | जी (एक्स) |।

"जटिल मॉड्यूल" के साथ समीकरण

एक अन्य प्रकार के समीकरण "जटिल" मापांक वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों में ऐसे समीकरण शामिल होते हैं जिनमें "मॉड्यूल के भीतर मॉड्यूल" होते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को विभिन्न विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

उदाहरण 1

समीकरण हल करें ||||x| - |–2| -1| -2| = 2.

फेसला।

मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

आइए पहले समीकरण को हल करें।

1. ||| एक्स |-2| -1| = 4

| एक्स | - 2 = 5;

| एक्स | = 7;

एक्स = 7.

आइए दूसरे समीकरण को हल करें।

1. ||| एक्स | -2| -1| = 0,

|| एक्स | -2| = 1,

| एक्स | -2 = 1,

| एक्स | = 3 और | एक्स | = 1,

एक्स = 3; एक्स = 1.

ओ एन ई टी: 1; 3; 7.

उदाहरण 2

समीकरण हल करें |2 - |x + 1|| = 3.

फेसला।

आइए एक नया चर पेश करके समीकरण को हल करें।

चलो | एक्स + 1| = y , फिर |2 - y | = 3, इसलिए

आइए रिवर्स प्रतिस्थापन करें:

(1) | एक्स + 1| = -1 - कोई समाधान नहीं।

(2) | एक्स + 1| = 5

ए एन ई टी: -6; 4.

उदाहरण 3।

समीकरण के कितने मूल हैं | 2 | एक्स | -6 | = 5 - एक्स?

फेसला। आइए तुल्यता योजनाओं का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

समीकरण | 2 | एक्स | -6 | = 5 -x प्रणाली के बराबर है:

मापांक अभिव्यक्ति का निरपेक्ष मूल्य है। कम से कम किसी तरह एक मॉड्यूल को नामित करने के लिए, यह सीधे कोष्ठक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है। वह मान जो सम कोष्ठकों में संलग्न है, वह मान है जिसे मॉड्यूलो लिया जाता है। किसी भी मॉड्यूल को हल करने की प्रक्रिया में उन्हीं सीधे कोष्ठकों को खोलना होता है, जिन्हें गणितीय भाषा में मॉड्यूलर कोष्ठक कहा जाता है। उनका प्रकटीकरण एक निश्चित संख्या में नियमों के अनुसार होता है। साथ ही, मॉड्यूल को हल करने के क्रम में, उन भावों के मानों के सेट भी होते हैं जो मॉड्यूल ब्रैकेट में थे। ज्यादातर मामलों में, मॉड्यूल को इस तरह से विस्तारित किया जाता है कि जो अभिव्यक्ति सबमॉड्यूल थी, उसे सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान मिलते हैं, जिसमें मान शून्य भी शामिल है। यदि हम मॉड्यूल के स्थापित गुणों से शुरू करते हैं, तो प्रक्रिया में मूल अभिव्यक्ति से विभिन्न समीकरण या असमानताएं संकलित की जाती हैं, जिन्हें हल करने की आवश्यकता होती है। आइए जानें कि मॉड्यूल को कैसे हल किया जाए।

समाधान प्रक्रिया

मॉड्यूल का समाधान मॉड्यूल के साथ मूल समीकरण लिखने से शुरू होता है। एक मापांक के साथ समीकरणों को कैसे हल किया जाए, इस सवाल का जवाब देने के लिए, आपको इसे पूरी तरह से खोलना होगा। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, मॉड्यूल का विस्तार किया जाता है। सभी मॉड्यूलर अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाना चाहिए। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इसकी संरचना में शामिल अज्ञात मात्राओं के किन मूल्यों पर, कोष्ठक में मॉड्यूलर अभिव्यक्ति गायब हो जाती है। ऐसा करने के लिए, मॉड्यूलर ब्रैकेट में अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणामी समीकरण के समाधान की गणना करें। पाए गए मान दर्ज किए जाने चाहिए। उसी तरह, आपको इस समीकरण में सभी मॉड्यूल के लिए सभी अज्ञात चर का मान भी निर्धारित करना होगा। इसके बाद, अभिव्यक्ति में चर के अस्तित्व के सभी मामलों की परिभाषा और विचार करना आवश्यक है, जब वे मूल्य शून्य से भिन्न होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल असमानता में सभी मॉड्यूल के अनुरूप असमानताओं की कुछ प्रणाली लिखनी होगी। असमानताओं को तैयार किया जाना चाहिए ताकि वे संख्या रेखा पर पाए जाने वाले चर के लिए सभी उपलब्ध और संभावित मानों को कवर कर सकें। फिर आपको विज़ुअलाइज़ेशन के लिए इसी संख्या रेखा को खींचने की ज़रूरत है, जिस पर भविष्य में सभी प्राप्त मूल्यों को रखा जाए।

अब लगभग सब कुछ ऑनलाइन किया जा सकता है। मॉड्यूल नियमों का अपवाद नहीं है। आप इसे कई आधुनिक संसाधनों में से किसी एक पर ऑनलाइन हल कर सकते हैं। चर के वे सभी मान जो शून्य मॉड्यूल में हैं, एक विशेष बाधा होगी जिसका उपयोग मॉड्यूलर समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में किया जाएगा। मूल समीकरण में, अभिव्यक्ति के संकेत को बदलते हुए, सभी उपलब्ध मॉड्यूलर ब्रैकेट का विस्तार करना आवश्यक है ताकि वांछित चर के मान उन मानों के साथ मेल खाते हों जो संख्या रेखा पर दिखाई दे रहे हैं। परिणामी समीकरण को हल किया जाना चाहिए। चर का मान, जो समीकरण को हल करने के दौरान प्राप्त किया जाएगा, मॉड्यूल द्वारा निर्धारित प्रतिबंध के खिलाफ जांच की जानी चाहिए। यदि चर का मान पूरी तरह से शर्त को संतुष्ट करता है, तो यह सही है। सभी मूल जो समीकरण को हल करने के दौरान प्राप्त होंगे, लेकिन बाधाओं के अनुरूप नहीं होंगे, उन्हें त्याग दिया जाना चाहिए।

यह ऑनलाइन गणित कैलकुलेटर आपकी मदद करेगा मॉड्यूल के साथ समीकरण या असमानता को हल करें. के लिए कार्यक्रम मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करनान केवल समस्या का उत्तर देता है, यह नेतृत्व करता है स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत समाधान, अर्थात। परिणाम प्राप्त करने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

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|x| या एब्स(x) - मॉड्यूल x

मोडुलि के साथ समीकरण या असमानता दर्ज करें

समीकरण या असमानता को हल करें

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थोड़ा सिद्धांत।

मॉड्यूल के साथ समीकरण और असमानता

बुनियादी स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, आप मॉड्यूल के साथ सरलतम समीकरणों और असमानताओं को पूरा कर सकते हैं। उन्हें हल करने के लिए, आप इस तथ्य के आधार पर एक ज्यामितीय विधि लागू कर सकते हैं कि \(|x-a| \) अंक x और a के बीच संख्या रेखा पर दूरी है: \(|x-a| = \rho (x;\; a) ) \). उदाहरण के लिए, समीकरण \(|x-3|=2 \) को हल करने के लिए, आपको संख्या रेखा पर बिंदु 3 से 2 की दूरी पर बिंदु खोजने की जरूरत है। ऐसे दो बिंदु हैं: \(x_1=1 \) और \(x_2=5 \) ।

असमानता को हल करना \(|2x+7|

लेकिन मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका तथाकथित "परिभाषा द्वारा मॉड्यूल विस्तार" से संबंधित है:
अगर \(a \geq 0 \), तो \(|a|=a \);
अगर \(a एक नियम के रूप में, मॉड्यूल के साथ एक समीकरण (असमानता) समीकरणों (असमानताओं) के एक सेट को कम कर देता है जिसमें मॉड्यूल का संकेत नहीं होता है।

उपरोक्त परिभाषा के अतिरिक्त, निम्नलिखित अभिकथनों का उपयोग किया जाता है:
1) यदि \(c > 0 \), तो समीकरण \(|f(x)|=c \) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) यदि \(c > 0 \), तो असमानता \(|f(x)| 3) यदि \(c \geq 0 \), तो असमानता \(|f(x)| > c \) है असमानताओं के सेट के बराबर: \(\बाएं[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) यदि असमानता के दोनों पक्ष \(f(x) उदाहरण 1. समीकरण को हल करें \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \)।

यदि \(x-1 \geq 0 \), तो \(|x-1| = x-1 \) और दिया गया समीकरण बन जाता है
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \)।
अगर \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \)।
इस प्रकार, दिए गए समीकरण को दो संकेतित मामलों में से प्रत्येक में अलग से माना जाना चाहिए।
1) मान लीजिए \(x-1 \geq 0 \), अर्थात्। \(x \geq 1 \). समीकरण \(x^2 +2x -8 = 0 \) से हम \(x_1=2, \; x_2=-4\) पाते हैं। शर्त \(x \geq 1 \) केवल मान \(x_1=2\) से संतुष्ट है।
2) चलो \(x-1 उत्तर: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \)।

पहला तरीका(परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल विस्तार)।
उदाहरण 1 के अनुसार तर्क देते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए समीकरण को दो शर्तों के तहत अलग से माना जाना चाहिए: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) या \(x^2-6x+7

1) यदि \(x^2-6x+7 \geq 0 \), तो \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) और दिया गया समीकरण \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \)। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \)।
आइए जानें कि क्या मान \(x_1=6 \) शर्त को संतुष्ट करता है \(x^2-6x+7 \geq 0 \)। ऐसा करने के लिए, हम संकेतित मान को द्विघात असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), अर्थात्। \(7 \geq 0 \) सही असमानता है। अत: \(x_1=6 \) दिए गए समीकरण का मूल है।
आइए जानें कि क्या मान \(x_2=\frac(5)(3) \) शर्त को संतुष्ट करता है \(x^2-6x+7 \geq 0 \)। ऐसा करने के लिए, हम संकेतित मान को द्विघात असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: \(\बाएं(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), यानी। \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) एक अमान्य असमानता है। अतः \(x_2=\frac(5)(3) \) दिए गए समीकरण का मूल नहीं है।

2) अगर \(x^2-6x+7 मान \(x_3=3\) शर्त को संतुष्ट करता है \(x^2-6x+7 मान \(x_4=\frac(4)(3) \) करता है शर्त को संतुष्ट नहीं करता \ (x^2-6x+7 इसलिए, दिए गए समीकरण के दो मूल हैं: \(x=6, \; x=3 \)।

दूसरा तरीका।एक समीकरण दिया गया \(|f(x)| = h(x) \), फिर \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac के लिए (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
इन दोनों समीकरणों को ऊपर हल किया गया है (दिए गए समीकरण को हल करने की पहली विधि के साथ), उनके मूल इस प्रकार हैं: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3) \). इन चार मानों की शर्त \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) केवल दो: 6 और 3 से संतुष्ट है। इसलिए, दिए गए समीकरण के दो मूल हैं: \(x=6, \; एक्स = 3 \)।

तीसरा रास्ता(ग्राफिक)।
1) आइए फ़ंक्शन \(y = |x^2-6x+7| \) को प्लॉट करें। पहले हम एक परवलय \(y = x^2-6x+7\) बनाते हैं। हमारे पास \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) है। फंक्शन का ग्राफ \(y = (x-3)^2-2 \) फंक्शन के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है \(y = x^2 \) इसे 3 स्केल इकाइयों को दाईं ओर स्थानांतरित करके (पर) x-अक्ष) और 2 स्केल इकाइयाँ नीचे (y-अक्ष के अनुदिश)। सीधी रेखा x=3 उस परवलय की धुरी है जिसमें हम रुचि रखते हैं। अधिक सटीक प्लॉटिंग के लिए नियंत्रण बिंदु के रूप में, बिंदु (3; -2) - परवलय के शीर्ष, बिंदु (0; 7) और बिंदु (6; 7) को अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से लेना सुविधाजनक है। परवलय का।
अब फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने के लिए \(y = |x^2-6x+7| \), आपको निर्मित परवलय के उन हिस्सों को अपरिवर्तित छोड़ना होगा जो x-अक्ष के नीचे नहीं हैं, और इसके भाग को दर्पण करें परवलय जो x-अक्ष के परितः x-अक्ष के नीचे स्थित है।
2) आइए रैखिक फलन \(y = \frac(5x-9)(3) \) को आलेखित करें। अंक (0; -3) और (3; 2) को नियंत्रण बिंदु के रूप में लेना सुविधाजनक है।

यह आवश्यक है कि भुज अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु x = 1.8 भुज अक्ष के साथ परवलय के बाएं प्रतिच्छेदन बिंदु के दाईं ओर स्थित हो - यह वह बिंदु है \(x=3-\sqrt (2) \) (क्योंकि \(3-\sqrt(2 ) 3) ड्राइंग के आधार पर, ग्राफ दो बिंदुओं - ए (3; 2) और बी (6; 7) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इन बिंदुओं के भुजों को प्रतिस्थापित करना x \u003d 3 और x \u003d 6 दिए गए समीकरण में, हम सुनिश्चित करते हैं कि दोनों अन्य मान सही संख्यात्मक समानता देते हैं। तो, हमारी परिकल्पना की पुष्टि की गई - समीकरण की दो जड़ें हैं: x \u003d 3 और x \u003d 6. उत्तर: 3; 6.

टिप्पणी. चित्रमय विधि, इसकी सभी भव्यता के लिए, बहुत विश्वसनीय नहीं है। उदाहरण में, यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि समीकरण की जड़ें पूर्णांक होती हैं।

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

पहला तरीका
व्यंजक 2x–4 बिंदु x = 2 पर 0 हो जाता है, और व्यंजक x + 3 बिंदु x = -3 पर हो जाता है। ये दो बिंदु संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: \(x

पहले अंतराल पर विचार करें: \((-\infty; \; -3) \)।
यदि x दूसरे अंतराल पर विचार करें: \([-3; \; 2) \)।
यदि \(-3 \leq x तीसरे अंतराल पर विचार करें: \( उत्तर: गैप की लंबाई 6 है।№3 . समीकरण को हल करें, उत्तर में पूर्णांक समाधानों की संख्या इंगित करें: 2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] उत्तर: 4 संपूर्ण समाधान।№4 . समीकरण को हल करें, उत्तर में सबसे बड़ा मूल इंगित करें:
4 - एक्स -
= 4 - एक्स -
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 डी \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

उत्तर: एक्स = 3.

व्यायाम: №12. समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण मूल इंगित करें: x 2 + 6x + 8 │ = x 2 + 6x + 8 №13. समीकरण को हल करें, उत्तर में पूर्णांक समाधानों की संख्या इंगित करें: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. समीकरण को हल करें, उत्तर में एक पूर्णांक इंगित करें जो समीकरण की जड़ नहीं है:

खंड 5. F(x)│= │G(x)│ . के रूप के समीकरण

चूंकि समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, समाधान में दो मामलों पर विचार करना शामिल है: सबमॉड्यूलर एक्सप्रेशन साइन में बराबर या विपरीत होते हैं। इसलिए, मूल समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है: एफ(एक्स)│= │ जी(एक्स)│
उदाहरण: №1. समीकरण को हल करें, उत्तर में पूरे रूट को इंगित करें: x + 3│ \u003d │2x - 1│
उत्तर: पूर्णांक मूल x = 4।№2. प्रश्न हल करें: │ एक्स - एक्स 2 - 1│ \u003d 2x - 3 - एक्स 2
उत्तर: एक्स = 2.№3 . समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें:




समीकरण की जड़ें 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 उत्तर: जड़ों का गुणनफल 0.25 है। व्यायाम: №15 . समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण समाधान इंगित करें: x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटे मूल को इंगित करें: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . समीकरण को हल करें, उत्तर में मूलों का योग लिखें:

धारा 6. गैर-मानक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

इस खंड में, हम गैर-मानक समीकरणों के उदाहरणों पर विचार करते हैं, जिनके समाधान में अभिव्यक्ति का निरपेक्ष मान परिभाषा द्वारा प्रकट होता है। उदाहरण:

№1. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: x x│- 5x - 6 \u003d 0
उत्तर: जड़ों का योग 1 . है №2. . समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटे मूल को इंगित करें: x 2 - 4x
- 5 = 0
उत्तर: छोटा मूल x=-5. №3. प्रश्न हल करें:

उत्तर: एक्स = -1। व्यायाम: №18. समीकरण को हल करें और मूलों का योग लिखें: x 3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. समीकरण हल करें: x 2 - 3x \u003d

№20. प्रश्न हल करें:

धारा 7. फॉर्म के समीकरण │F(x)│+│G(x)│=0

यह देखना आसान है कि इस प्रकार के समीकरण के बाईं ओर, गैर-ऋणात्मक मात्राओं का योग। इसलिए, मूल समीकरण का एक हल होता है यदि और केवल तभी जब दोनों पद एक साथ शून्य के बराबर हों। समीकरण समीकरणों की प्रणाली के बराबर है: एफ(एक्स)│+│ जी(एक्स)│=0
उदाहरण: №1 . प्रश्न हल करें:
उत्तर: एक्स = 2. №2. प्रश्न हल करें: उत्तर: एक्स = 1। व्यायाम: №21. प्रश्न हल करें: №22 . समीकरण को हल करें, उत्तर में मूलों का योग लिखें: №23 . समीकरण को हल करें, उत्तर में समाधानों की संख्या इंगित करें:

धारा 8. फॉर्म के समीकरण

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग किया जाता है। यदि इसे मॉड्यूल के क्रमिक विस्तार द्वारा हल किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं एनसिस्टम के सेट, जो बहुत बोझिल और असुविधाजनक है। अंतराल विधि के एल्गोरिथ्म पर विचार करें: 1)। परिवर्तनीय मान खोजें एक्स, जिसके लिए प्रत्येक मॉड्यूल शून्य (सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य) के बराबर है:
2))। पाए गए मूल्यों को एक संख्या रेखा पर चिह्नित किया जाता है, जिसे अंतराल में विभाजित किया जाता है (अंतराल की संख्या, क्रमशः के बराबर होती है) एन+1 ) 3) । निर्धारित करें कि प्रत्येक प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत के साथ प्रकट होता है (समाधान करते समय, आप एक संख्या रेखा का उपयोग कर सकते हैं, उस पर संकेतों को चिह्नित कर सकते हैं) 4)। मूल समीकरण सेट के बराबर है एन+1 सिस्टम, जिनमें से प्रत्येक में चर की सदस्यता का संकेत दिया गया है एक्सअंतराल में से एक। उदाहरण: №1 . समीकरण को हल करें, उत्तर में सबसे बड़ा मूल इंगित करें:
एक)। आइए सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात करें: x = 2; एक्स = -3 2)। हम संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत के साथ प्रकट होता है:
एक्स - 2 एक्स - 2 एक्स - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- कोई हल नहीं समीकरण के दो मूल हैं। उत्तर: सबसे बड़ा मूल x = 2 है। №2. समीकरण को हल करें, उत्तर में संपूर्ण मूल लिखें:
एक)। आइए सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात करें: x = 1.5; एक्स = - 1 2)। हम संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत से प्रकट होता है: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1.5 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).
अंतिम प्रणाली का कोई हल नहीं है, इसलिए समीकरण के दो मूल हैं। समीकरण को हल करते समय, आपको दूसरे मॉड्यूल के सामने "-" चिह्न पर ध्यान देना चाहिए। उत्तर: पूर्णांक मूल x = 7. №3. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: 1)। आइए सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात करें: x = 5; एक्स = 1; एक्स = - 2 2)। हम संख्या रेखा पर पाए गए मानों को चिह्नित करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल किस संकेत के साथ प्रकट होता है: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
समीकरण के दो मूल x = 0 और 2 हैं। उत्तर : मूलों का योग 2 होता है। №4 . समीकरण हल करें: 1)। आइए सबमॉड्यूल व्यंजकों के शून्य ज्ञात करें: x = 1; एक्स = 2; एक्स = 3. 2)। आइए हम उस चिह्न को निर्धारित करें जिसके साथ प्राप्त अंतराल पर प्रत्येक मॉड्यूल का विस्तार किया जाता है। 3))।
हम पहले तीन प्रणालियों के समाधानों को मिलाते हैं। जवाब: ; एक्स = 5.
व्यायाम: №24. प्रश्न हल करें:
№25. समीकरण को हल करें, उत्तर में मूलों का योग लिखें: №26. समीकरण को हल करें, उत्तर में छोटी जड़ को इंगित करें: №27. समीकरण को हल करें, अपने उत्तर में बड़ा मूल दें:

धारा 9. कई मॉड्यूल वाले समीकरण

कई मॉड्यूल वाले समीकरण सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन में निरपेक्ष मान ग्रहण करते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का मूल सिद्धांत "बाहरी" से शुरू होने वाले मॉड्यूल का अनुक्रमिक प्रकटीकरण है। समाधान के दौरान, खंड संख्या 1, संख्या 3 में चर्चा की गई तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण: №1. प्रश्न हल करें:
उत्तर: एक्स = 1; - ग्यारह। №2. प्रश्न हल करें:
उत्तर: एक्स = 0; 4; - 4. №3. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें:
उत्तर: जड़ों का गुणनफल 8 है। №4. प्रश्न हल करें:
जनसंख्या समीकरणों को निरूपित करें (1) और (2) और डिजाइन की सुविधा के लिए उनमें से प्रत्येक के समाधान पर अलग से विचार करें। चूंकि दोनों समीकरणों में एक से अधिक मॉड्यूल होते हैं, इसलिए सिस्टम के सेट के बराबर संक्रमण करना अधिक सुविधाजनक होता है। (1)

(2)


जवाब:
व्यायाम: №36. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. समीकरण को हल करें, यदि एक से अधिक मूल हैं, तो उत्तर में मूलों का योग इंगित करें: x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. समीकरण हल करें: 3 2x -4│ \u003d 9 x│ №39. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों की संख्या इंगित करें: 2 │ sin x │ = √2 №40 . समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों की संख्या इंगित करें:

धारा 3. लघुगणक समीकरण।

निम्नलिखित समीकरणों को हल करने से पहले, लॉगरिदम के गुणों और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की समीक्षा करना आवश्यक है। उदाहरण: №1. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों के उत्पाद को इंगित करें: लॉग 2 (x + 1) 2 + लॉग 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z। एक्स+1≠0 एक्स≠ - 1

स्थिति 1: यदि x - 1, तो लघुगणक 2 (x+1) 2 + लघुगणक 2 (x+1) = 6 लघुगणक 2 (x+1) 3 = लघुगणक 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 - शर्त को संतुष्ट करता है x ≥ - 1 2 केस: यदि x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 लघुगणक 2 (-(x+1) 3) = लघुगणक 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 - शर्त को संतुष्ट करता है x - 1
उत्तर: जड़ों का गुणनफल 15 है।
№2. समीकरण को हल करें, उत्तर में जड़ों का योग इंगित करें: lg
ओ.डी.जेड.

उत्तर: जड़ों का योग 0.5 है।
№3. समीकरण हल करें: लॉग 5
ओ.डी.जेड.

उत्तर: एक्स = 9। №4. समीकरण हल करें: 2 + लॉग 0.2 x│+ 3 = │1 + लॉग 5 x│ O.D.Z. x > 0 दूसरे आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। 2 - लॉग 5 x│+ 3 = │1 + लॉग 5 x│
│2 - लॉग 5 x│- │1 + लॉग 5 x│= - 3 आइए सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य खोजें: x = 25; x \u003d ये संख्याएँ अनुमेय मानों के क्षेत्र को तीन अंतरालों में विभाजित करती हैं, इसलिए समीकरण तीन प्रणालियों की समग्रता के बराबर है।
जवाब: )