एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का स्थान है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग F_1, और F_2 एक स्थिर मान (2a) है, जो इन दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी (2c) से अधिक है (चित्र। 3.36, ए)। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है एक दीर्घवृत्त की फोकल संपत्ति.
एक दीर्घवृत्त की फोकल संपत्ति
अंक F_1 और F_2 को दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है, उनके बीच की दूरी 2c=F_1F_2 फोकल लंबाई है, खंड का मध्य बिंदु O F_1F_2 दीर्घवृत्त का केंद्र है, संख्या 2a प्रमुख अक्ष की लंबाई है दीर्घवृत्त (क्रमशः, संख्या a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष है)। खंड F_1M तथा F_2M दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु M को उसकी नाभियों से जोड़ने वाले खंड बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहलाते हैं। दीर्घवृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को दीर्घवृत्त की जीवा कहते हैं।
अनुपात e=\frac(c)(a) दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता कहलाता है। परिभाषा (2a>2c) से यह इस प्रकार है कि 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा, इसकी फोकल संपत्ति को व्यक्त करते हुए, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:
दरअसल, आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश करें (चित्र 3.36, सी)। अंडाकार के केंद्र ओ को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में लिया जाता है; फॉसी (फोकल अक्ष या दीर्घवृत्त की पहली धुरी) से गुजरने वाली सीधी रेखा, हम भुज अक्ष (बिंदु F_1 से बिंदु F_2 तक उस पर सकारात्मक दिशा) के रूप में लेंगे; फोकल अक्ष के लंबवत और दीर्घवृत्त के केंद्र (दीर्घवृत्त की दूसरी धुरी) से गुजरने वाली सीधी रेखा को y-अक्ष के रूप में लिया जाता है (y-अक्ष पर दिशा को चुना जाता है ताकि आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी सही हो )
आइए हम इसकी ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त का समीकरण तैयार करें, जो फोकल गुण को व्यक्त करता है। चयनित समन्वय प्रणाली में, हम foci . के निर्देशांक निर्धारित करते हैं F_1(-c,0),~F_2(c,0). अंडाकार से संबंधित एक मनमाना बिंदु एम (एक्स, वाई) के लिए, हमारे पास है:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
इस समानता को समन्वय रूप में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
हम दूसरे रेडिकल को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं और समान पद देते हैं:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx।
4 से भाग देने पर हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)।
दर्शाने b=\sqrt(a^2-c^2)>0, हम पाते हैं b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. दोनों भागों को a^2b^2\ne0 से विभाजित करने पर, हम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर पहुँचते हैं:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
इसलिए, चयनित समन्वय प्रणाली विहित है।
यदि दीर्घवृत्त की नाभियाँ मेल खाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है (चित्र 3.36.6), क्योंकि a=b है। इस मामले में, बिंदु पर मूल के साथ कोई भी आयताकार समन्वय प्रणाली O\equiv F_1\equiv F_2, और समीकरण x^2+y^2=a^2 केंद्र O और त्रिज्या a वाले वृत्त का समीकरण है।
पीछे की ओर तर्क करके, यह दिखाया जा सकता है कि सभी बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरण (3.49) को संतुष्ट करते हैं, और केवल वे, बिंदुओं के स्थान से संबंधित हैं, जिन्हें दीर्घवृत्त कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक अंडाकार की विश्लेषणात्मक परिभाषा इसकी ज्यामितीय परिभाषा के बराबर है, जो अंडाकार की फोकल संपत्ति को व्यक्त करती है।
एक दीर्घवृत्त की निर्देशिका संपत्ति
एक दीर्घवृत्त की दिशाएँ दो सीधी रेखाएँ होती हैं जो विहित समन्वय प्रणाली के कोर्डिनेट अक्ष के समानांतर समान दूरी \frac(a^2)(c) से गुजरती हैं। c=0 के लिए, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है, तो कोई डायरेक्ट्रिक्स नहीं होते हैं (हम मान सकते हैं कि डायरेक्ट्रिक्स असीम रूप से हटा दिए गए हैं)।
विलक्षणता के साथ दीर्घवृत्त 0
दरअसल, उदाहरण के लिए, फोकस F_2 और डायरेक्ट्रिक्स d_2 (चित्र 3.37.6) के लिए स्थिति \frac(r_2)(\rho_2)=eसमन्वय रूप में लिखा जा सकता है:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
अतार्किकता से छुटकारा और प्रतिस्थापित करना e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, हम दीर्घवृत्त (3.49) के विहित समीकरण पर पहुँचते हैं। फोकस F_1 और डायरेक्ट्रिक्स के लिए भी इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ध्रुवीय निर्देशांक में दीर्घवृत्त समीकरण
ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में दीर्घवृत्त समीकरण F_1r\varphi (Fig.3.37,c and 3.37(2)) का रूप है
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
जहां p=\frac(b^2)(a) अंडाकार का फोकल पैरामीटर है।
वास्तव में, आइए दीर्घवृत्त के बाएं फोकस F_1 को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव के रूप में और किरण F_1F_2 को ध्रुवीय अक्ष के रूप में चुनें (चित्र 3.37, c)। फिर एक मनमाना बिंदु के लिए M(r,\varphi) , एक अंडाकार की ज्यामितीय परिभाषा (फोकल संपत्ति) के अनुसार, हमारे पास r+MF_2=2a है। हम बिंदु M(r,\varphi) और F_2(2c,0) के बीच की दूरी को व्यक्त करते हैं (टिप्पणी 2.8 का बिंदु 2 देखें):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)।\end(संरेखित)
इसलिए, समन्वय रूप में, अंडाकार के समीकरण F_1M+F_2M=2a का रूप है
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
हम रेडिकल को अलग करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं, 4 से विभाजित करते हैं और समान पद देते हैं:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
हम ध्रुवीय त्रिज्या r व्यक्त करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
क्यू.ई.डी.
दीर्घवृत्त समीकरण में गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ
आइए दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र 3.37, ए देखें) को निर्देशांक अक्षों (zllips के शीर्ष) के साथ खोजें। समीकरण में y=0 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम दीर्घवृत्त के भुज अक्ष (फोकल अक्ष के साथ) के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: x=\pm a । इसलिए, अंडाकार के भीतर संलग्न फोकल अक्ष के खंड की लंबाई 2a के बराबर है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस खंड को दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है, और संख्या a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष है। x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=\pm b प्राप्त होता है। इसलिए, दीर्घवृत्त के अंदर संलग्न दीर्घवृत्त के दूसरे अक्ष के खंड की लंबाई 2b के बराबर है। इस खंड को दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहा जाता है, और संख्या b को दीर्घवृत्त का लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है।
सच में, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, और समानता b=a केवल c=0 स्थिति में प्राप्त होती है जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है। रवैया k=\frac(b)(a)\leqslant1दीर्घवृत्त का संकुचन कारक कहलाता है।
टिप्पणी 3.9
1. रेखाएँ x=\pm a,~y=\pm b निर्देशांक तल पर मुख्य आयत को सीमित करती हैं, जिसके अंदर दीर्घवृत्त स्थित है (चित्र 3.37, a देखें)।
2. एक दीर्घवृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है एक वृत्त को उसके व्यास से सिकोड़कर प्राप्त किए गए बिंदुओं का बिंदुपथ।
दरअसल, आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में सर्कल समीकरण का रूप है x^2+y^2=a^2 । 0 . के गुणनखंड के साथ x-अक्ष पर संपीडित होने पर \begin(मामलों)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(मामलों) x=x" और y=\frac(1)(k)y" को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम बिंदु M(x) के प्रतिबिम्ब M"(x",y") के निर्देशांकों के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं , वाई): (x")^2+(\बाएं(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} चूंकि b=k\cdot a । यह दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। 3. निर्देशांक अक्ष (विहित समन्वय प्रणाली के) दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ हैं (जिन्हें दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है), और इसका केंद्र समरूपता का केंद्र है। वास्तव में, यदि बिंदु M(x,y) दीर्घवृत्त से संबंधित है। तब बिंदु M"(x,-y) और M""(-x,y) , जो निर्देशांक अक्षों के संबंध में बिंदु M के सममित हैं, भी एक ही दीर्घवृत्त से संबंधित हैं। 4. ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण से r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(अंजीर देखें। 3.37, सी), फोकल पैरामीटर का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट किया गया है - यह दीर्घवृत्त की जीवा की आधी लंबाई है जो इसके फोकस से फोकल अक्ष पर लंबवत गुजरती है ( r = p पर \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. विलक्षणता ई दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है, अर्थात् दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच का अंतर। जितना बड़ा ई, उतना ही लंबा अंडाकार, और करीब ई शून्य के करीब है, अंडाकार सर्कल के करीब है (चित्र 3.38, ए)। वास्तव में, दिया गया है कि e=\frac(c)(a) तथा c^2=a^2-b^2 , हम पाते हैं E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} जहाँ k दीर्घवृत्त का संकुचन कारक है, 0 6. समीकरण \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1एक के लिए
7. समीकरण \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bबिंदु O "(x_0, y_0) पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसकी कुल्हाड़ियाँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर होती हैं (चित्र 3.38, c)। समानांतर अनुवाद (3.36) का उपयोग करके यह समीकरण विहित में कम हो जाता है। के लिए a=b=R समीकरण (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2बिंदु O"(x_0,y_0) पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त का वर्णन करता है। एक दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरणविहित समन्वय प्रणाली में रूप है \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
वास्तव में, इन व्यंजकों को समीकरण (3.49) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान \cos^2t+\sin^2t=1 पर पहुंचते हैं। उदाहरण 3.20।दीर्घवृत्त खींचना \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1विहित समन्वय प्रणाली ऑक्सी में। अर्ध-अक्ष, फोकल लंबाई, विलक्षणता, पहलू अनुपात, फोकल पैरामीटर, डायरेक्ट्रिक्स समीकरण खोजें। फेसला।दिए गए समीकरण की विहित समीकरण से तुलना करते हुए, हम अर्ध-अक्ष निर्धारित करते हैं: a=2 - प्रमुख अर्ध-अक्ष, b=1 - दीर्घवृत्त का लघु अर्ध-अक्ष। हम मुख्य आयत का निर्माण करते हैं जिसकी भुजाएँ 2a=4,~2b=2 मूल बिंदु पर केन्द्रित हैं (चित्र 3.39)। अंडाकार की समरूपता को देखते हुए, हम इसे मुख्य आयत में फिट करते हैं। यदि आवश्यक हो, तो हम दीर्घवृत्त के कुछ बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 को दीर्घवृत्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ क्वाड y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). इसलिए, निर्देशांक वाले बिंदु \बाएं(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- एक दीर्घवृत्त के हैं। संपीड़न अनुपात की गणना करें k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); फोकल लम्बाई 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); सनक e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); फोकल पैरामीटर p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण बनाते हैं: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). परिभाषा। एक अंडाकार एक विमान में बिंदुओं का स्थान है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से उनमें से प्रत्येक की दूरी का योग, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर मूल्य है (बशर्ते यह मान फॉसी के बीच की दूरी से अधिक हो)। आइए उनके बीच की दूरी के माध्यम से foci को निरूपित करें - के माध्यम से, और दीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु से foci तक की दूरी के योग के बराबर एक स्थिर मूल्य, के माध्यम से (शर्त के अनुसार)। आइए एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करें ताकि फॉसी एब्सिस्सा अक्ष पर हो, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड के मध्य के साथ मेल खाती है (चित्र। 44)। फिर फ़ोकस में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: बायाँ फ़ोकस और दायाँ फ़ोकस। आइए हमारे द्वारा चुने गए समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करें। यह अंत करने के लिए, दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु पर विचार करें। एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इस बिंदु से नाभियों तक की दूरी का योग है: दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, इसलिए, इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम इसे इस रूप में लिखते हैं तब समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है या, स्पष्ट सरलीकरण के बाद: अब हम फिर से समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, जिसके बाद हमारे पास होगा: या, समान परिवर्तनों के बाद: चूँकि दीर्घवृत्त की परिभाषा में शर्त के अनुसार, तो एक धनात्मक संख्या होती है। हम संकेतन का परिचय देते हैं तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसके किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (26) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन समीकरण (29) समीकरण (26) का परिणाम है। इसलिए, यह दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है। यह दिखाया जा सकता है कि उन बिंदुओं के निर्देशांक जो दीर्घवृत्त पर नहीं हैं, समीकरण (29) को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार, समीकरण (29) एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहते हैं। आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें। सबसे पहले, ध्यान दें कि इस समीकरण में केवल x और y की सम घातें हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई बिंदु एक दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो इसमें एक बिंदु भी शामिल है जो भुज अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है, और एक बिंदु जो y-अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त में समरूपता के दो परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं, जो हमारे चुने हुए समन्वय प्रणाली में समन्वय अक्षों के साथ मेल खाते हैं। दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियों को दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ी कहा जाएगा, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु - दीर्घवृत्त का केंद्र। वह अक्ष जिस पर दीर्घवृत्त का फॉसी स्थित होता है (इस मामले में, भुज अक्ष) को फोकल अक्ष कहा जाता है। आइए पहली तिमाही में पहले दीर्घवृत्त का आकार निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम y के संबंध में समीकरण (28) को हल करते हैं: यह स्पष्ट है कि यहाँ, क्योंकि y के लिए काल्पनिक मान लेता है। 0 से a की वृद्धि के साथ, y, b से 0 तक घट जाता है। पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त का भाग बिंदु B (0; b) से घिरा एक चाप होगा और निर्देशांक अक्षों पर स्थित होगा (चित्र। 45)। अब दीर्घवृत्त की सममिति का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 45. दीर्घवृत्त का अक्षों से प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। यह दीर्घवृत्त की समरूपता का अनुसरण करता है कि, शीर्षों के अलावा, दीर्घवृत्त में दो और शीर्ष होते हैं (चित्र 45 देखें)। दीर्घवृत्त के विपरीत शीर्षों के साथ-साथ उनकी लंबाई को जोड़ने वाले खंडों को क्रमशः दीर्घवृत्त की प्रमुख और छोटी कुल्हाड़ियों कहा जाता है। संख्या ए और बी को क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है। दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष और नाभियों के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और इसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है: चूँकि , तब दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक से कम होती है: विलक्षणता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता होती है। वास्तव में, यह सूत्र (28) से अनुसरण करता है, इससे यह देखा जा सकता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसका लघु अर्ध-अक्ष b प्रमुख अर्ध-अक्ष से भिन्न होगा, अर्थात, दीर्घवृत्त उतना ही कम होगा (फोकल के साथ) एक्सिस)। सीमित स्थिति में, जब आपको त्रिज्या a: , या का एक वृत्त प्राप्त होता है। उसी समय, दीर्घवृत्त का केंद्र, जैसा कि था, एक बिंदु पर विलीन हो जाता है - वृत्त का केंद्र। वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य है: दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच का संबंध दूसरे दृष्टिकोण से स्थापित किया जा सकता है। आइए हम दिखाते हैं कि अर्ध-अक्ष a और b वाले एक दीर्घवृत्त को त्रिज्या a के एक वृत्त का प्रक्षेपण माना जा सकता है। आइए हम दो विमानों P और Q पर विचार करें, जो आपस में एक ऐसा कोण बनाते हैं, जिसके लिए (चित्र 46)। आइए हम पी विमान में एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करें, और क्यू विमान में एक ऑक्सी प्रणाली का निर्माण करें जिसमें एक सामान्य मूल ओ और विमानों के चौराहे की रेखा के साथ मेल खाने वाला एक सामान्य एब्सिस्सा अक्ष हो। विमान पी में सर्कल पर विचार करें मूल और त्रिज्या a पर केंद्रित है। आज्ञा देना एक मनमाने ढंग से वृत्त का चुना हुआ बिंदु हो, Q समतल पर इसका प्रक्षेपण हो, और ऑक्स अक्ष पर बिंदु M का प्रक्षेपण हो। आइए हम दिखाते हैं कि बिंदु अर्ध-अक्ष a और b वाले दीर्घवृत्त पर स्थित है। 11.1. बुनियादी अवधारणाओं वर्तमान निर्देशांक के संबंध में दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन के अनुसार कम से कमसंख्या ए, बी या सी में से एक शून्य से अलग है। ऐसी रेखाओं को द्वितीय कोटि की रेखाएँ (वक्र) कहते हैं। यह नीचे स्थापित किया जाएगा कि समीकरण (11.1) विमान में एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय या परवलय को परिभाषित करता है। इस अभिकथन पर आगे बढ़ने से पहले, आइए हम प्रगणित वक्रों के गुणों का अध्ययन करें। 11.2. घेरा तब स्थिति से हम समीकरण प्राप्त करते हैं समीकरण (11.2) दिए गए वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है और किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं है जो वृत्त पर स्थित नहीं है। समीकरण (11.2) कहलाता है वृत्त का विहित समीकरण विशेष रूप से, यह मानकर और , हम मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं सरल परिवर्तन के बाद वृत्त समीकरण (11.2) का रूप लेगा। दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) के साथ इस समीकरण की तुलना करते समय, यह देखना आसान है कि एक वृत्त के समीकरण के लिए दो शर्तें संतुष्ट हैं: 1) x 2 और y 2 पर गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं; 2) वर्तमान निर्देशांक के xy उत्पाद वाला कोई सदस्य नहीं है। आइए उलटा समस्या पर विचार करें। समीकरण (11.1) में मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें: यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) शर्त के तहत एक सर्कल को परिभाषित करता है अगर यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है यदि एक 11.3. अंडाकार एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण अंडाकार
तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, उनमें से प्रत्येक से इस तल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग कहलाता है चाल
, एक स्थिर मान है जो फ़ोकस के बीच की दूरी से अधिक है। एक दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1और F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2. तब foci में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: तथा . आज्ञा देना दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्। यह, वास्तव में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। हम समीकरण (11.5) को एक सरल रूप में इस प्रकार बदलते हैं: जैसा ए>साथ, तब । चलो रखो तब अंतिम समीकरण रूप लेता है या यह सिद्ध किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के तुल्य है। यह कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण
. दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का एक वक्र है। एक दीर्घवृत्त के आकार का उसके समीकरण के अनुसार अध्ययन आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें। 1. समीकरण (11.7) में केवल सम घातों में x और y होते हैं, इसलिए यदि कोई बिंदु एक दीर्घवृत्त का है, तो बिंदु भी उसी से संबंधित हैं। यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही उस बिंदु के संबंध में है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है। 3. समीकरण (11.7) से यह पता चलता है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात। असमानताएँ हैं और या और। इसलिए, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं से बने आयत के अंदर होते हैं। 4. समीकरण (11.7) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग और एक के बराबर होता है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाता है, अर्थात यदि बढ़ता है, तो घटता है और इसके विपरीत। जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त का आकार अंजीर में दिखाया गया है। 50 (अंडाकार बंद वक्र)। दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानकारी दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त समीकरण (11.7) का रूप ले लेता है। दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता के रूप में, अनुपात का अधिक बार उपयोग किया जाता है। अंडाकार के अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और o6o को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा दर्शाया जाता है: 0 . के साथ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде इससे पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, दीर्घवृत्त उतना ही कम तिरछा होगा; यदि हम = 0 डालते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है। सूत्र हैं सीधी रेखाएं कहलाती हैं यह समानता (11.6) से इस प्रकार है कि . यदि , तो समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसका प्रमुख अक्ष ओए अक्ष पर स्थित होता है, और लघु अक्ष ऑक्स अक्ष पर स्थित होता है (चित्र 52 देखें)। ऐसे दीर्घवृत्त की नाभियाँ बिन्दुओं पर होती हैं और जहाँ 11.4. अतिशयोक्ति अतिपरवलय का विहित समीकरण अतिशयोक्ति
समतल के सभी बिन्दुओं के समुच्चय को कहा जाता है, इस तल के प्रत्येक बिन्दु से दो बिन्दुओं तक की दूरी के अंतर का मापांक कहलाता है चाल
, एक स्थिर मान है, जो foci के बीच की दूरी से छोटा है। अतिपरवलय समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1और F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2(अंजीर देखें। 53)। तब foci के निर्देशांक होंगे और आज्ञा देना अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु हो। फिर अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है। इसके समीकरण के अनुसार अतिपरवलय के रूप की जांच आइए हम अतिपरवलय के आकार को उसके कोकोनिक समीकरण का उपयोग करके स्थापित करें। 1. समीकरण (11.9) में केवल सम घातों में x और y हैं। इसलिए, अतिपरवलय कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही बिंदु के संबंध में, जिसे कहा जाता है हाइपरबोला का केंद्र।
2. निर्देशांक अक्षों के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। समीकरण (11.9) में रखने पर, हम हाइपरबोला के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाते हैं: और। (11.9) डालने पर, हम प्राप्त करते हैं, जो नहीं हो सकता। अत: अतिपरवलय y-अक्ष को नहीं काटता। अंक और कहलाते हैं
चोटियों
अतिपरवलय, और खंड वास्तविक धुरी
, रेखा खंड - वास्तविक अर्ध-अक्ष
अतिशयोक्ति। बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को कहते हैं
काल्पनिक धुरी
, संख्या बी - काल्पनिक धुरी
. भुजाओं वाला आयत 2एऔर 2 बीबुलाया अतिपरवलय का मुख्य आयत
. 3. समीकरण (11.9) से यह पता चलता है कि मिन्यूअंड एक से कम नहीं है, अर्थात् वह या । इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के बिंदु रेखा के दाईं ओर (हाइपरबोला की दाहिनी शाखा) और रेखा के बाईं ओर (हाइपरबोला की बाईं शाखा) में स्थित होते हैं। 4. अतिपरवलय के समीकरण (11.9) से यह देखा जा सकता है कि जब यह बढ़ता है तो यह भी बढ़ता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अंतर एक स्थिर मान को एक के बराबर रखता है। यह कहा गया है कि हाइपरबोला का आकार चित्र 54 में दिखाया गया है (एक वक्र जिसमें दो अनबाउंड शाखाएं होती हैं)। अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख
रेखा L को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है आइए हम दिखाते हैं कि हाइपरबोला में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं: चूँकि रेखाएँ (11.11) और अतिपरवलय (11.9) निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित हैं, यह संकेतित रेखाओं के केवल उन बिंदुओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो पहले चतुर्थांश में स्थित हैं। हाइपरबोला पर एक बिंदु के रूप में एक ही भुज x वाले बिंदु N को एक सीधी रेखा पर लें जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, भिन्न का हर बढ़ता जाता है; अंश एक स्थिर मान है। इसलिए, खंड की लंबाई हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, यह सलाह दी जाती है कि पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करें (चित्र 57 देखें), इस आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख और शीर्षों को चिह्नित करें और हाइपरबोला . एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण। जिनके स्पर्शोन्मुख निर्देशांक अक्ष हैं एक समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख में समीकरण होते हैं और इसलिए समन्वय कोणों के द्विभाजक होते हैं। नई समन्वय प्रणाली में इस अतिपरवलय के समीकरण पर विचार करें (चित्र 58 देखें), जो पुराने से प्राप्त निर्देशांक अक्षों को एक कोण से घुमाकर प्राप्त किया जाता है। हम निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं: हम समीकरण (11.12) में x और y के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण, जिसके लिए अक्ष ऑक्स और ओए स्पर्शोन्मुख हैं, का रूप होगा। अतिशयोक्ति के बारे में अधिक सनक
हाइपरबोला (11.9) हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के फॉसी के बीच की दूरी का अनुपात है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है: चूंकि अतिपरवलय के लिए अतिपरवलय की उत्केन्द्रता एक से अधिक होती है: . विलक्षणता एक अतिपरवलय के आकार की विशेषता है। वास्तव में, यह समानता (11.10) से निम्नानुसार है कि। और इससे यह देखा जा सकता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, अनुपात उतना ही छोटा होगा - इसके अर्ध-अक्षों का, जिसका अर्थ है कि इसका मुख्य आयत जितना अधिक विस्तारित होता है। एक समबाहु अतिपरवलय की उत्केन्द्रता है। सच में, फोकल त्रिज्या सीधी रेखाओं को हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। चूंकि अतिपरवलय > 1 के लिए, तो . इसका मतलब है कि दायां डायरेक्ट्रिक्स हाइपरबोला के केंद्र और दाएं शीर्ष के बीच स्थित है, बाएं डायरेक्ट्रिक्स केंद्र और बाएं चरम के बीच है। हाइपरबोला के डायरेक्ट्रिक्स में एक दीर्घवृत्त के डायरेक्ट्रिक्स के समान गुण होते हैं। समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक अतिपरवलय है, जिसका वास्तविक अक्ष 2b ओए अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 ए- ऑक्स अक्ष पर। चित्र 59 में, इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है। जाहिर है, हाइपरबोलस और सामान्य स्पर्शोन्मुख हैं। ऐसे अतिपरवलय संयुग्म कहलाते हैं। 11.5. परवलय विहित परवलय समीकरण एक परवलय एक तल में सभी बिंदुओं का समूह होता है, जिनमें से प्रत्येक किसी दिए गए बिंदु से समान रूप से दूर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है। 1. समीकरण (11.13) में, चर y को सम अंश में शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; x-अक्ष परवलय की सममिति की धुरी है। 2. चूंकि ρ > 0, यह (11.13) से अनुसरण करता है कि . इसलिए, परवलय y-अक्ष के दाईं ओर स्थित है। 3. जब हमारे पास y \u003d 0 होता है। इसलिए, परवलय मूल से होकर गुजरता है। 4. x में असीमित वृद्धि के साथ, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है। परवलय का रूप (आकृति) चित्र 61 में दिखाया गया है। बिंदु O (0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM \u003d r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है। समीकरण , , ( पी>0) परवलय को भी परिभाषित करते हैं, उन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है यह दिखाना आसान है कि एक वर्ग ट्रिनोमियल का ग्राफ, जहां, बी और सी कोई भी वास्तविक संख्या है, उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में एक परवलय है। 11.6. द्वितीय कोटि रेखाओं का सामान्य समीकरण निर्देशांक अक्षों के समानांतर समरूपता के अक्षों के साथ दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण आइए पहले बिंदु पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात करें, जिसकी सममिति कुल्हाड़ियाँ निर्देशांक अक्षों ऑक्स और ओए के समानांतर हैं और अर्ध-अक्ष क्रमशः हैं एऔर बी. आइए हम दीर्घवृत्त ओ 1 के केंद्र में नई समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति रखें, जिसकी कुल्हाड़ियों और अर्ध-अक्ष एऔर बी(अंजीर देखें। 64): और अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलय में संगत समीकरण होते हैं। समीकरण एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय के समीकरण और परिवर्तन के बाद एक वृत्त का समीकरण (खुले कोष्ठक, समीकरण के सभी पदों को एक दिशा में ले जाना, समान पद लाना, गुणांकों के लिए नया संकेतन प्रस्तुत करना) के एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है फार्म जहां गुणांक ए और सी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या प्रपत्र का कोई समीकरण (11.14) दूसरे क्रम के किसी एक वक्र (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) को निर्धारित करता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है। प्रमेय 11.2. समीकरण (11.14) हमेशा परिभाषित करता है: या तो एक सर्कल (ए = सी के लिए), या एक अंडाकार (ए सी> 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (एसी के लिए)< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण अब दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें: यह निर्देशांक (बी¹ 0) के उत्पाद के साथ एक शब्द की उपस्थिति से समीकरण (11.14) से भिन्न होता है। यह संभव है कि निर्देशांक अक्षों को कोण a से घुमाकर इस समीकरण को रूपांतरित किया जाए ताकि निर्देशांक के गुणनफल वाला पद इसमें अनुपस्थित हो। कुल्हाड़ियों को मोड़ने के लिए सूत्रों का उपयोग करना आइए पुराने निर्देशांकों को नए के रूप में व्यक्त करें: हम कोण को चुनते हैं ताकि x "y" पर गुणांक गायब हो जाए, यानी, ताकि समानता इस प्रकार, जब कुल्हाड़ियों को एक कोण के माध्यम से घुमाया जाता है जो स्थिति (11.17) को संतुष्ट करता है, समीकरण (11.15) समीकरण (11.14) में कम हो जाता है। निष्कर्ष: दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण (11.15) विमान पर (अपक्षय और क्षय के मामलों को छोड़कर) निम्नलिखित वक्रों को परिभाषित करता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय। नोट: यदि ए = सी, तो समीकरण (11.17) अपना अर्थ खो देता है। इस स्थिति में cos2α = 0 (देखें (11.16)), फिर 2α = 90°, यानी α = 45°। तो, ए = सी पर, समन्वय प्रणाली को 45 डिग्री घुमाया जाना चाहिए। दूसरे क्रम के वक्रसमतल पर समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ कहलाती हैं जिनमें चर निर्देशांक होते हैं एक्सऔर आपदूसरी डिग्री में निहित है। इनमें दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शामिल हैं। दूसरे क्रम के वक्र समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार है: कहाँ पे ए, बी, सी, डी, ई, एफ- संख्याएं और कम से कम एक गुणांक ए, बी, सीशून्य के बराबर नहीं है। दूसरे क्रम के वक्रों के साथ समस्याओं को हल करते समय, एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के विहित समीकरणों पर सबसे अधिक विचार किया जाता है। सामान्य समीकरणों से उन्हें पास करना आसान है, उदाहरण 1 दीर्घवृत्त के साथ समस्याओं के लिए समर्पित होगा। एक दीर्घवृत्त की परिभाषा।एक दीर्घवृत्त तल में सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जिसके लिए बिंदुओं की दूरियों का योग, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर और फॉसी के बीच की दूरी से अधिक होता है। फ़ोकस को नीचे दिए गए चित्र के अनुसार चिह्नित किया गया है। एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है: कहाँ पे एऔर बी (ए > बी) - अर्ध-अक्षों की लंबाई, यानी, निर्देशांक अक्षों पर दीर्घवृत्त द्वारा काटे गए खंडों की आधी लंबाई। दीर्घवृत्त के नाभि से गुजरने वाली सीधी रेखा इसकी सममिति की धुरी है। दीर्घवृत्त की समरूपता का एक अन्य अक्ष इस खंड के लंबवत खंड के मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। दूरसंचार विभाग हेइन रेखाओं का प्रतिच्छेदन दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, या केवल दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है। दीर्घवृत्त का भुज अक्ष बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है ( ए, हे) और (- ए, हे), और y-अक्ष बिंदुओं पर है ( बी, हे) और (- बी, हे) इन चार बिंदुओं को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहते हैं। एब्सिस्सा अक्ष पर दीर्घवृत्त के शीर्षों के बीच के खंड को इसकी प्रमुख धुरी कहा जाता है, और कोटि अक्ष पर - लघु अक्ष। दीर्घवृत्त के केंद्र से ऊपर तक के उनके खंडों को अर्ध-अक्ष कहा जाता है। यदि एक ए = बी, तब दीर्घवृत्त का समीकरण रूप लेता है। यह त्रिज्या के एक वृत्त के लिए समीकरण है ए, और एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है। त्रिज्या के एक वृत्त से एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है ए, यदि आप इसे संपीड़ित करते हैं ए/बीअक्ष के साथ समय ओए
. उदाहरण 1जाँच करें कि क्या सामान्य समीकरण द्वारा दी गई रेखा फेसला। हम सामान्य समीकरण के परिवर्तन करते हैं। हम फ्री टर्म के दायीं ओर ट्रांसफर, समीकरण के टर्म-बाय-टर्म डिवीजन को एक ही नंबर से और फ्रैक्शंस की कमी को लागू करते हैं: जवाब। परिणामी समीकरण दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। अतः यह रेखा एक दीर्घवृत्त है। उदाहरण 2एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि उसके अर्ध-अक्ष क्रमशः 5 और 4 हैं। फेसला। हम दीर्घवृत्त और स्थानापन्न के विहित समीकरण के सूत्र को देखते हैं: अर्ध-प्रमुख अक्ष है ए= 5 , लघु अर्धअक्ष है बी= 4। हमें दीर्घवृत्त का विहित समीकरण मिलता है: अंक और प्रमुख अक्ष पर हरे रंग में चिह्नित, जहां बुलाया चाल. बुलाया सनकअंडाकार रवैया बी/एदीर्घवृत्त की "चतुरता" की विशेषता है। यह अनुपात जितना छोटा होता है, उतना ही अधिक दीर्घवृत्त दीर्घ अक्ष के साथ विस्तारित होता है। हालाँकि, दीर्घवृत्त के बढ़ाव की डिग्री को अक्सर विलक्षणता के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, जिसका सूत्र ऊपर दिया गया है। विभिन्न दीर्घवृत्तों के लिए, विलक्षणता 0 से 1 तक भिन्न होती है, हमेशा एक से कम शेष रहती है। उदाहरण 3एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है और दीर्घ अक्ष 10 है। फेसला। हम सरल निष्कर्ष निकालते हैं: यदि दीर्घ अक्ष 10 है, तो इसका आधा, अर्थात् अर्ध-अक्ष ए = 5
, यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है, तो संख्या सीफोकस निर्देशांक का 4 है। प्रतिस्थापित करें और गणना करें: परिणाम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है: उदाहरण 4एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि उसकी दीर्घ अक्ष 26 है और उत्केन्द्रता है। फेसला। दीर्घ अक्ष के आकार और उत्केंद्रता समीकरण दोनों के अनुसार, दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष ए= 13. विलक्षणता समीकरण से, हम संख्या व्यक्त करते हैं सी, लघु अर्ध-अक्ष की लंबाई की गणना करने के लिए आवश्यक: हम लघु अर्ध-अक्ष की लंबाई के वर्ग की गणना करते हैं: हम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करते हैं: उदाहरण 5विहित समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त का फोकस ज्ञात कीजिए। फेसला। एक नंबर खोजने की जरूरत है सी, जो दीर्घवृत्त के foci के पहले निर्देशांक को परिभाषित करता है: हमें दीर्घवृत्त का फोकस मिलता है: उदाहरण 6दीर्घवृत्त का केंद्र अक्ष पर स्थित होता है बैलउत्पत्ति के बारे में सममित। एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि: 1) नाभियों के बीच की दूरी 30 है, और प्रमुख अक्ष 34 . है 2) लघु अक्ष 24 है, और फोकस में से एक बिंदु पर है (-5; 0) 3) विलक्षणता, और फोकस में से एक बिंदु पर है (6; 0) यदि - दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु (दीर्घवृत्त के ऊपरी दाहिने हिस्से में ड्राइंग में हरे रंग में चिह्नित) और - इस बिंदु से दूरियों की दूरी, तो दूरियों के सूत्र इस प्रकार हैं: दीर्घवृत्त से संबंधित प्रत्येक बिंदु के लिए, नाभियों से दूरियों का योग 2 के बराबर एक स्थिर मान है ए. समीकरणों द्वारा परिभाषित सीधी रेखाएँ बुलाया निर्देशकोंदीर्घवृत्त (ड्राइंग में - किनारों के साथ लाल रेखाएँ)। उपरोक्त दो समीकरणों से यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए जहां और इस बिंदु की दूरी डायरेक्ट्रिक्स और हैं। उदाहरण 7एक दीर्घवृत्त दिया। इसकी नियताओं के लिए एक समीकरण लिखिए। फेसला। हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण में देखते हैं और पाते हैं कि अंडाकार की विलक्षणता को खोजने की आवश्यकता है, यानी। इसके लिए सभी डेटा है। हम गणना करते हैं: हमें दीर्घवृत्त की नियता का समीकरण प्राप्त होता है: उदाहरण 8एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए, यदि उसके नाभियाँ बिंदु हों और नियताएँ रेखाएँ हों।एक दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण
गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!
दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R का एक वृत्त उस तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो शर्त को पूरा करता है। मान लीजिए कि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली के एक बिंदु में निर्देशांक x 0, y 0 a - वृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 48 देखें)।
(11.2)
.
(11.4)
. इसका केंद्र बिंदु पर है 
, और त्रिज्या
.
, तो समीकरण (11.3) का रूप है
.
. इस मामले में, वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में विकृत हो गया है" (शून्य त्रिज्या है)।
, फिर समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा का निर्धारण नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण का दायां पक्ष (11.4) ऋणात्मक है, और बायां पक्ष ऋणात्मक नहीं है (जैसे: "काल्पनिक वृत्त")।
द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1और F2, उनके बीच की दूरी 2 . में सी, और दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से foci तक की दूरी का योग - 2 . के माध्यम से ए(अंजीर देखें। 49)। परिभाषा के अनुसार 2 ए > 2सी, अर्थात। ए
> सी.
(11.6)
(11.7)
2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। रखने पर, हम दो बिंदु पाते हैं और, जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को काटती है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखने पर, हम दीर्घवृत्त के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं: और। अंक ए 1 ,
ए2 , बी 1, बी2बुलाया दीर्घवृत्त के शीर्ष. सेगमेंट ए 1 ए2और बी1 बी2, साथ ही उनकी लंबाई 2 एऔर 2 बीक्रमशः कहा जाता है प्रमुख और लघु कुल्हाड़ियोंअंडाकार नंबर एऔर बीक्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं। धुरा शाफ्टअंडाकार
मान लीजिए कि M(x; y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है जिसका फोकस F 1 और F 2 है (चित्र 51 देखें)। F 1 M=r 1 और F 2 M = r 2 खंडों की लंबाई को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। स्पष्टतः,
प्रमेय 11.1.यदि दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से कुछ फ़ोकस तक की दूरी है, d इस फ़ोकस के अनुरूप समान बिंदु से नियति तक की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है:
.
द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1और F2के माध्यम से उनके बीच की दूरी 2s, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से फॉसी के माध्यम से दूरी में अंतर का मापांक 2ए. ए-प्राथमिकता 2ए < 2s, अर्थात। ए < सी.
या, यानी सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं
अतिपरवलय का विहित समीकरण
(11.9)
(11.10)
एक असंबद्ध वक्र K के लिए यदि वक्र K के बिंदु M से इस रेखा तक की दूरी d शून्य हो जाती है क्योंकि बिंदु M वक्र K के साथ मूल से अनिश्चित काल तक चलता है। चित्र 55 एक स्पर्शोन्मुख की अवधारणा को दर्शाता है: रेखा L वक्र K के लिए एक स्पर्शोन्मुख है।
(11.11)
(देखिए आकृति 56), और सरल रेखा की कोटि और अतिपरवलय की शाखा के बीच N का अंतर ज्ञात कीजिए:
ΜN शून्य हो जाता है। चूँकि N बिंदु से रेखा तक की दूरी d से अधिक है, तो d और भी अधिक शून्य हो जाता है। इस प्रकार, रेखाएँ अतिपरवलय (11.9) की स्पर्शोन्मुख हैं।
हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि इसके अर्ध-अक्ष बराबर () हों। इसका विहित समीकरण
(11.12)
.
और 
हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के बिंदुओं के लिए रूप है और , और बाईं ओर - 
और 
.
परवलय समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम ऑक्सी समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष फोकस F से होकर डायरेक्ट्रिक्स से F की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स की ओर जाए, और मूल O फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित हो। (चित्र 60 देखें)। चयनित सिस्टम में, फ़ोकस F में निर्देशांक होते हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप , या होता है।
विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त
, एक दीर्घवृत्त।
.
.
हम एक साथ दीर्घवृत्त पर समस्याओं को हल करना जारी रखते हैं
,
.
