अपरिमेय संख्या- यह तर्कसंगत नहीं है वास्तविक संख्या, अर्थात। इसे भिन्न \(\frac(m)(n)\) (दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में) के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां एमएक पूर्णांक है, एन- प्राकृतिक संख्या। एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक अपरिमेय संख्या में नहीं हो सकता सही मूल्य. उदाहरण के लिए, दो का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है।

सेट को दर्शाया गया है तर्कहीन संख्याविशाल अंग्रेजी अक्षर\(मैं\) ।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय एक समुच्चय बनाता है वास्तविक संख्या. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को \(R\) अक्षर से प्रदर्शित किया जाता है।

वर्गमूल(अंकगणित वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या \(a\) का ऐसा कहा जाता है गैर-ऋणात्मक संख्या, जिसका वर्ग \(a\) है। \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).

अनुमानित मान वर्गमूलसे दी गई संख्याएक तक, दो लगातार प्राकृतिक संख्याएंजिसमें से पहले का वर्ग कम है और दूसरे का वर्ग दी गई संख्या से बड़ा है।

इनमें से पहली संख्या को नुकसान के साथ जड़ का अनुमानित मूल्य कहा जाता है, दूसरा - अतिरिक्त के साथ जड़ का अनुमानित मूल्य।

जड़ के अनुमानित मान इस प्रकार लिखे गए हैं: \(\sqrt(10)\लगभग 3 (\ s \ सप्ताह); \ \sqrt(10)\लगभग 4 (\ s \ est)\).

उदाहरण 1. दो दशमलव स्थानों के साथ अनुमानित मान \(\sqrt3\) ज्ञात कीजिए। आइए अनुमान लगाते हैं कट्टरपंथी अभिव्यक्ति 3 पहले पूर्ण संख्या के रूप में। 1 . के बाद से< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

आइए अब दहाई की संख्या ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम दशमलव भिन्न 1.1 का वर्ग करेंगे; 1.2; 1.3; ... जब तक हम इस तरह की संख्याओं के साथ फिर से रेडिकल एक्सप्रेशन 3 का मूल्यांकन नहीं करते हैं। हमारे पास: 1.12 = 1.21; 1.22 = 1.44; 1.32 = 1.69; 1.42 = 1.96; 1.52 = 2.25; 1.62 = 2.56; 1.72 = 2.89; 1.82 = 3.24। 2.89 . से< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

सौवें की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम दशमलव भिन्नों को क्रमशः 1.71 वर्गित करेंगे; 1.72; 1.73; ..., फिर से मूलक व्यंजक का मूल्यांकन 3. हमारे पास है: 1.712 = 2.9241; 1.722 = 2.9584; 1.732 = 2.9929; 1.742 = 3.0276। 1.732 . के बाद से< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

उदाहरण 2गणना \(\sqrt(138384)\) ।

समाधान: आइए संख्याओं को फलकों में विभाजित करें: 13 "83" 84 - उनमें से तीन हैं, जिसका अर्थ है कि परिणाम तीन अंकों की संख्या होनी चाहिए। परिणाम का पहला अंक 3 है, क्योंकि 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. 13 में से 9 को घटाने पर हमें 4 मिलता है ए= 483. परिणाम के उपलब्ध भाग, अर्थात संख्या 3 को दोगुना करने पर, हमें प्राप्त होता है ए= 6. आइए अब हम सबसे बड़ा अंक चुनें एक्सताकि दो अंकों की संख्या का गुणनफल कुल्हाड़ीपर एक्स 483 से कम था। यह संख्या 7 होगी, क्योंकि 67 * 7 = 469 483 से कम है, जबकि 68 * 8 = 544 483 से अधिक है। तो, परिणाम का दूसरा अंक 7 है।

483 में से 469 को घटाने पर हमें 14 प्राप्त होता है। इस संख्या के दायीं ओर का अंतिम किनारा निर्दिष्ट करने पर, हमें प्राप्त होता है बी= 1484. परिणाम के उपलब्ध भाग को दुगुना करना, अर्थात संख्या 37, हमें मिलता है बी= 74. आइए अब हम ऐसी सबसे बड़ी संख्या चुनें आपताकि तीन अंकों की संख्या का गुणनफल द्वारापर आप 1484 से अधिक नहीं था। यह आंकड़ा 2 होगा, क्योंकि 742 * 2 = 1484। संख्या 2 परिणाम का अंतिम अंक है। उत्तर 372 था।

\(\sqrt(138384)=372\) ।

यदि मूल नहीं निकाला जाता है, तो दी गई संख्या के अंतिम अंक के बाद एक अल्पविराम लगाया जाता है और आगे के फलक बनते हैं, जिनमें से प्रत्येक का रूप 00 होता है। इस स्थिति में, जड़ निकालने की प्रक्रिया अंतहीन होती है; आवश्यक सटीकता तक पहुंचने पर यह बंद हो जाता है।

वास्तविक संख्या II

§ 39 परिमेय संख्याओं से वर्गमूल निकालना

जैसा कि हम जानते हैं, परिमेय संख्याओं के समुच्चय में गुणन की संक्रिया हमेशा संभव होती है। विशेष रूप से, उत्पाद एम / एन एम / एन . इस गुणनफल को किसी संख्या का वर्ग कहा जाता है। एम / एन और निरूपित ( एम / एन ) 2:

( एम / एन ) 2 = एम / एन एम / एन

इस प्रकार, यदि कोई निश्चित संख्या परिमेय है, तो उसका वर्ग भी एक परिमेय संख्या है। यह संख्या स्पष्ट रूप से सकारात्मक है। और अब हम व्युत्क्रम समस्या प्रस्तुत करते हैं: क्या प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या किसी परिमेय संख्या का वर्ग है? बीजगणितीय समीकरणों की भाषा में, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। समीकरण को देखते हुए

एक्स 2 = ए ,

कहाँ पे ए कुछ धनात्मक परिमेय संख्या है, और एक्स - अज्ञात मूल्य। प्रश्न यह है कि क्या इस समीकरण के हमेशा परिमेय मूल होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक निकलता है। परिमेय संख्या ए चुना जा सकता है ताकि समीकरण एक्स 2 = ए एक भी तर्कसंगत जड़ नहीं होगी। हम इसके बारे में, विशेष रूप से, निम्नलिखित प्रमेय से आश्वस्त हैं।

प्रमेय।ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 हो।

प्रमाण विरोधाभास द्वारा किया जाएगा। मान लीजिए एक परिमेय संख्या है एम / एन , जिसका वर्ग 2 है: ( एम / एन ) 2 = 2.

अगर पूर्णांक टी और पी एक ही गुणक है, तो भिन्न एम / एन छोटा किया जा सकता है। इसलिए, शुरू से ही, हम यह मान सकते हैं कि भिन्न एम / एन अपूरणीय

शर्त से ( एम / एन ) 2 = 2 यह इस प्रकार है

टी 2 = 2पी 2 . .

संख्या 2 . के बाद से पी 2 सम है, तो संख्या टी 2 सम होना चाहिए। लेकिन तब संख्या सम होगी टी . (इसे साबित करो!) तो टी = 2क , कहाँ पे क कुछ पूर्णांक है। इस व्यंजक को के लिए प्रतिस्थापित करना टी सूत्र में टी 2 = 2पी 2 प्राप्त करें: 4 क 2 = 2पी 2, कहाँ से

पी 2 =2क 2 .

उस स्थिति में, संख्या पी 2 सम होगा; लेकिन फिर संख्या सम होनी चाहिए पी . यह पता चला है कि संख्या टी और पी यहाँ तक की। और यह इस तथ्य का खंडन करता है कि भिन्न एम / एन अपूरणीय इसलिए, एक भिन्न के अस्तित्व के बारे में हमारी प्रारंभिक धारणा एम / एन , शर्त को संतुष्ट करना ( एम / एन ) 2 = 2., गलत है। यह स्वीकार करना बाकी है कि सभी परिमेय संख्याओं में से कोई भी ऐसा नहीं है जिसका वर्ग 2 के बराबर होगा। इसलिए, समीकरण

एक्स 2 = 2

भीड़ में विवेकीसंख्या अनिर्णीत हैं। फॉर्म के कई अन्य समीकरणों के बारे में एक समान निष्कर्ष निकाला जा सकता है

एक्स 2 = ए ,

कहाँ पे ए एक धनात्मक पूर्णांक है। फिर भी, आठवीं कक्षा में हमने ऐसे समीकरणों की जड़ों के बारे में बार-बार बात की। और समीकरण का धनात्मक मूल एक्स 2 = ए हमने एक विशेष नाम भी दिया है "संख्या का वर्गमूल ए "और इसके लिए एक विशेष पदनाम पेश किया: ए .

अत: √2 परिमेय संख्याओं से संबंधित नहीं है। लेकिन, फिर, कोई √2 को कैसे चिह्नित कर सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए वर्गमूल निकालने के नियम को याद करें। संख्या 2 पर लागू होने पर, यह नियम देता है:

इस मामले में जड़ निकालने की प्रक्रिया किसी भी चरण पर समाप्त नहीं हो सकती है। अन्यथा, √2 कुछ परिमित दशमलव भिन्न के बराबर होगा और इसलिए एक परिमेय संख्या होगी। और यह ऊपर सिद्ध किए गए प्रमेय का खंडन करता है। इस प्रकार, 2 का वर्गमूल लेने पर एक अनंत दशमलव भिन्न प्राप्त होता है। यह भिन्न आवर्त नहीं हो सकता, अन्यथा इसे, किसी अन्य अनंत आवर्त भिन्न की तरह, दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। और यह ऊपर सिद्ध किए गए प्रमेय का भी खंडन करता है। इस प्रकार, 2 को एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव माना जा सकता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, पूर्णांकों से मूल निकालने की क्रिया हमें अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की ओर ले जाती है।

निम्नलिखित अनुच्छेदों में, हम एक और समस्या पर विचार करेंगे, जिसका आम तौर पर मूल निकालने से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन जो हमें अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की ओर ले जाती है।

अभ्यास

305. कई प्राकृतिक संख्याओं को इंगित करें, जिनके वर्गमूल परिमेय संख्याएँ होंगी।

306. सिद्ध कीजिए कि यदि एक प्राकृत संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या है, तो यह परिमेय संख्या अनिवार्य रूप से एक पूर्णांक है।

307. सिद्ध कीजिए कि समीकरण एक्स परिमेय संख्याओं के समुच्चय में 3 = 5 का कोई मूल नहीं है।

हम पहले ही दिखा चुके हैं कि $1\frac25$, $\sqrt2$ के करीब है। अगर यह $\sqrt2$ के बिल्कुल बराबर होता, . फिर अनुपात - $\frac(1\frac25)(1)$, जिसे भिन्न के ऊपरी और निचले हिस्सों को 5 से गुणा करके पूर्णांक $\frac75$ के अनुपात में बदला जा सकता है, वांछित मूल्य होगा।

लेकिन, दुर्भाग्य से, $1\frac25$, $\sqrt2$ का सटीक मान नहीं है। एक अधिक सटीक उत्तर $1\frac(41)(100)$ संबंध $\frac(141)(100)$ द्वारा दिया जाता है। जब हम $\sqrt2$ को $1\frac(207)(500)$ के बराबर करते हैं तो हम और भी अधिक सटीकता प्राप्त करते हैं। इस मामले में, पूर्णांकों में अनुपात $\frac(707)(500)$ के बराबर होगा। लेकिन $1\frac(207)(500)$ 2 के वर्गमूल का भी सटीक मान नहीं है। ग्रीक गणितज्ञों ने $\sqrt2$ के सटीक मूल्य की गणना करने में बहुत समय और प्रयास लगाया, लेकिन वे कभी सफल नहीं हुए। वे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में $\frac(\sqrt2)(1)$ के अनुपात का प्रतिनिधित्व करने में विफल रहे।

अंत में, महान यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने साबित कर दिया कि गणना की सटीकता कितनी भी बढ़ जाए, $\sqrt2$ का सटीक मान प्राप्त करना असंभव है। ऐसा कोई अंश नहीं है, जिसका चुकता होने पर परिणाम 2 हो। ऐसा कहा जाता है कि पाइथागोरस इस निष्कर्ष पर पहुंचने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन इस अकथनीय तथ्य ने वैज्ञानिक को इतना प्रभावित किया कि उन्होंने खुद को शपथ दिलाई और अपने छात्रों से इसे बनाए रखने की शपथ ली। यह खोज एक रहस्य। हालाँकि, यह जानकारी सत्य नहीं हो सकती है।

लेकिन अगर संख्या $\frac(\sqrt2)(1)$ को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो $\sqrt2$ वाली कोई संख्या नहीं है, उदाहरण के लिए $\frac(\sqrt2)(2)$ या $\frac (4)(\sqrt2)$ को भी पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऐसे सभी भिन्नों को $\frac(\sqrt2)(1)$ में किसी संख्या से गुणा करके परिवर्तित किया जा सकता है। तो $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. या $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, जिसे $\frac(4) प्राप्त करने के लिए ऊपर और नीचे $\sqrt2$ से गुणा करके परिवर्तित किया जा सकता है (\ sqrt2) $। (हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि $\sqrt2$ कोई भी संख्या क्यों न हो, यदि हम इसे $\sqrt2$ से गुणा करते हैं तो हमें 2 प्राप्त होता है।)

चूँकि संख्या $\sqrt2$ को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, इसे कहा जाता है अपरिमेय संख्या. दूसरी ओर, वे सभी संख्याएँ जिन्हें पूर्णांकों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, कहलाती हैं विवेकी.

सभी पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ, दोनों धनात्मक और ऋणात्मक, परिमेय होती हैं।

जैसा कि यह पता चला है, अधिकांश वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ हैं। परिमेय वर्गमूल केवल वर्ग संख्याओं की श्रृंखला में शामिल संख्याओं के लिए होते हैं। इन संख्याओं को पूर्ण वर्ग भी कहते हैं। परिमेय संख्याएँ भी इन पूर्ण वर्गों से बनी भिन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, $\sqrt(1\frac79)$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ या $1\frac13$ (4 मूल है) 16 का वर्ग, और 3 9 का वर्गमूल है)।