कैलकुलेटर के आगमन से पहले, छात्रों और शिक्षकों ने हाथ से वर्गमूल की गणना की। किसी संख्या के वर्गमूल की मैन्युअल रूप से गणना करने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रदान करते हैं, अन्य सटीक उत्तर देते हैं।

कदम

मुख्य दलाली

मूल संख्या को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं।मूल संख्या के आधार पर, आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे पूरा वर्गमूल लिया जा सकता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, क्योंकि 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड हैं। कारक हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूल संख्या को वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 (मैन्युअल रूप से) के वर्गमूल की गणना करें। पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, जो 25 से विभाज्य है - यह एक वर्ग संख्या है। 400 को 25 से भाग देने पर आपको 16 प्राप्त होता है। 16 संख्या भी एक वर्ग संख्या होती है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400.
• इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 400 = √(25 x 16)।

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात (a x b) = a x b। इस नियम का प्रयोग करें और प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का वर्गमूल लें।
     • (25 x 16)
     • √25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूल संख्या दो वर्ग गुणनखंडों में कारक नहीं है (और यह ज्यादातर मामलों में होता है), तो आप पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर नहीं खोज पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक ऐसी संख्या जिससे पूरा वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणन का वर्गमूल लेंगे और आप साधारण गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3. समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो, जड़ के मूल्य का मूल्यांकन करें।अब आप मूल संख्या के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों ओर) वर्ग संख्याओं की जड़ों के मानों के साथ तुलना करके मूल के मान (अनुमानित मान का पता लगाएं) का मूल्यांकन कर सकते हैं। आपको मूल का मान दशमलव भिन्न के रूप में मिलेगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मूल संख्या 3 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) हैं। इस प्रकार, 3 का मान 1 और 2 के बीच है। चूँकि 3 का मान संभवतः 1 से 2 के अधिक निकट है, हमारा अनुमान है: 3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिह्न पर संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 \u003d 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणना करते हैं, तो आपको 12.13 मिलता है, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्या के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, 35 पर विचार करें। मूल संख्या 35 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) हैं। इस प्रकार, 35 का मान 5 और 6 के बीच होता है। चूँकि 35 का मान 5 की तुलना में 6 के अधिक निकट है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि 35 इससे थोड़ा कम है। 6. कैलकुलेटर से सत्यापन हमें उत्तर देता है 5.92 - हम सही थे।

4. दूसरा तरीका यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाए।अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। अभाज्य गुणनखंडों को एक पंक्ति में लिखिए और समान गुणनखंडों के युग्म ज्ञात कीजिए। ऐसे कारकों को जड़ के चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं: 45 \u003d 9 x 5, और 9 \u003d 3 x 3. इस प्रकार, 45 \u003d √ (3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न से निकाला जा सकता है: 45 = 3√5। अब हम 5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 88।
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11)। आपको तीन गुणक 2s मिले हैं; उनमें से कुछ ले लो और उन्हें जड़ के चिन्ह से बाहर निकालो।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11। अब हम √2 और 11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और अनुमानित उत्तर ढूंढ सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना

   स्तंभ विभाजन का उपयोग करना

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और एक सटीक उत्तर देती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करने वाली एक लंबवत रेखा खींचें, और फिर एक क्षैतिज रेखा को दाईं ओर और शीट के शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे लंबवत रेखा तक खींचें। अब मूल संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से शुरू करते हुए संख्याओं के जोड़े में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा जाता है।

      • उदाहरण के लिए, आइए संख्या 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचिए (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और ऊपर बाईं ओर संख्या को "7 80, 14" के रूप में लिखें। यह सामान्य है कि बाईं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। उत्तर (दिए गए नंबर का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखा होगा।

   2. बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एक संख्या) को देखते हुए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ज्ञात करें जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं (या एक संख्या) की जोड़ी से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एकल संख्या) के निकटतम, लेकिन उससे कम है, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल लें; आपको नंबर n मिलेगा। ऊपर दाईं ओर पाया गया n लिखें, और नीचे दाईं ओर वर्ग n लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 नंबर होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. संख्या n का वर्ग घटाएं जो आपको बाईं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एक संख्या) से मिला है।सबट्रेंड (संख्या n का वर्ग) के तहत गणना का परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाकर 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं के दूसरे जोड़े को नीचे लें और इसे पिछले चरण में प्राप्त मान के आगे लिख दें।फिर ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं की दूसरी जोड़ी "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर से संख्या को दोगुना करने पर 4 मिलता है। नीचे दाईं ओर से "4_×_=" लिखें।

   5. दाईं ओर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

      • हमारे मामले में, यदि हम डैश के बजाय संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 \u003d 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 ठीक है। डैश के बजाय 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 \u003d 329। ऊपर दाईं ओर से 7 लिखें - यह संख्या 780.14 के वांछित वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को वर्तमान संख्या के नीचे बाईं ओर लिखें, अंतर ज्ञात करें और घटाए गए के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 329 को 380 से घटाएँ, जो 51 के बराबर है।

   7. चरण 4 दोहराएं।यदि ध्वस्त की जा रही संख्याओं का युग्म मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक (अल्पविराम) को ऊपर दाईं ओर से वांछित वर्गमूल में रखें। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे ले जाएं। ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, ध्वस्त की जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपर दाईं ओर से आवश्यक वर्गमूल में रखें। 14 को ध्वस्त करें और नीचे बाईं ओर लिखें। ऊपर दाईं ओर डबल (27) 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_×_=" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएं।दाईं ओर डैश के स्थान पर सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें (डैश के बजाय आपको उसी संख्या को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन परिणाम बाईं ओर वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर वर्तमान संख्या से गुणा का परिणाम घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए और अधिक दशमलव स्थान खोजने की आवश्यकता है, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या के आगे शून्य का एक जोड़ा लिखें और चरण 4, 5 और 6 दोहराएं। दशमलव स्थानों)।

      प्रक्रिया को समझना

      1. इस विधि में महारत हासिल करने के लिए, उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल आप वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में खोजना चाहते हैं। इस स्थिति में, आप ऐसे वर्ग की भुजा L की लंबाई की तलाश करेंगे। L का मान परिकलित करें जिसके लिए L² = S।

         अपने उत्तर में प्रत्येक अंक के लिए एक अक्षर दर्ज करें।एल (इच्छित वर्गमूल) के मान में पहला अंक ए द्वारा निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा और इसी तरह।

         प्रमुख अंकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें। S a द्वारा मान S में अंकों की पहली जोड़ी, S b द्वारा अंकों की दूसरी जोड़ी, और इसी तरह से निरूपित करें।

         इस विधि का दीर्घ विभाजन से संबंध स्पष्ट कीजिए।जैसा कि डिवीजन ऑपरेशन में होता है, जहां हर बार हम केवल विभाज्य संख्या के अगले अंक में रुचि रखते हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अनुक्रम में अंकों की एक जोड़ी के साथ काम करते हैं (वर्गमूल मान में अगला एक अंक प्राप्त करने के लिए) .

      2. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंक Sa के पहले जोड़े पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस मामले में, वर्गमूल के मांगे गए मान का पहला अंक ए ऐसा अंक होगा, जिसका वर्ग एस ए से कम या बराबर है (अर्थात, हम ऐसे ए की तलाश कर रहे हैं जो असमानता ए को संतुष्ट करता है। सा< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • मान लें कि हमें 88962 को 7 से भाग देना है; यहां पहला चरण समान होगा: हम विभाज्य संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर का मान मिलता है। यानी, हम खोज रहे हैं एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. मानसिक रूप से उस वर्ग की कल्पना करें जिसका क्षेत्रफल आपको गणना करने की आवश्यकता है।आप L की तलाश कर रहे हैं, यानी एक वर्ग की भुजा की लंबाई जिसका क्षेत्रफल S है। A, B, C संख्या L में संख्याएँ हैं। आप इसे अलग तरह से लिख सकते हैं: 10A + B \u003d L (एक दो के लिए) -डिजिट नंबर) या 100A + 10B + C \u003d L (तीन अंकों की संख्या के लिए) और इसी तरह।

         • रहने दो (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². याद रखें कि 10A+B एक ऐसी संख्या है जिसका B का अर्थ इकाई और A का अर्थ दहाई है। उदाहरण के लिए, यदि A=1 और B=2, तो 10A+B संख्या 12 के बराबर है। (10ए+बी)²पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है, 100एबड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, बछोटे आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, 10ए × बीदो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है। वर्णित आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर आपको मूल वर्ग का क्षेत्रफल मिलेगा।

जड़ सूत्र। वर्गमूल के गुण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इसके बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियम- यह अनिवार्य रूप से वही बात है। वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कुछ सूत्र हैं। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! इसके बजाय, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां...

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साक्षरता का प्रतीक अनेक ज्ञानों में वर्णमाला का प्रथम स्थान है। अगला, वही "चिह्न" तत्व, जोड़-गुणा के कौशल हैं और, उनके निकट, लेकिन अर्थ में विपरीत, घटाव-विभाजन के अंकगणितीय संचालन। दूर के स्कूली बचपन में सीखे गए कौशल दिन-रात ईमानदारी से काम करते हैं: टीवी, अखबार, एसएमएस, और हर जगह हम पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, जोड़ते हैं, घटाते हैं, गुणा करते हैं। और, मुझे बताओ, क्या आपको देश को छोड़कर अक्सर जीवन में जड़ें जमानी पड़ी हैं? उदाहरण के लिए, ऐसी मनोरंजक समस्या, जैसे, संख्या 12345 का वर्गमूल ... क्या पाउडर फ्लास्क में अभी भी बारूद है? क्या हम इसे कर सकते हैं? हाँ, कुछ भी आसान नहीं है! मेरा कैलकुलेटर कहाँ है ... और इसके बिना, हाथ से हाथ, कमजोर?

सबसे पहले, आइए स्पष्ट करें कि यह क्या है - किसी संख्या का वर्गमूल। सामान्यतया, "एक संख्या से जड़ निकालने के लिए" का अर्थ है एक शक्ति को बढ़ाने के विपरीत अंकगणितीय संचालन करना - यहां आपके पास जीवन के अनुप्रयोग में विरोधों की एकता है। मान लीजिए कि एक वर्ग अपने आप में एक संख्या का गुणन है, अर्थात, जैसा कि उन्होंने स्कूल में पढ़ाया था, X * X = A या किसी अन्य अंकन में X2 = A, और शब्दों में - "X वर्ग बराबर A"। फिर उलटा समस्या इस तरह लगती है: संख्या ए का वर्गमूल संख्या एक्स है, जो वर्ग होने पर ए के बराबर होता है।

वर्गमूल निकालना

अंकगणित के स्कूल पाठ्यक्रम से, "एक कॉलम में" गणना के तरीके ज्ञात हैं, जो पहले चार अंकगणितीय कार्यों का उपयोग करके किसी भी गणना को करने में मदद करते हैं। काश ... वर्ग के लिए, और न केवल वर्ग के लिए, ऐसे एल्गोरिदम की जड़ें मौजूद नहीं होती हैं। और इस मामले में, कैलकुलेटर के बिना वर्गमूल कैसे निकालें? वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, केवल एक निष्कर्ष है - संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा परिणाम के मूल्य का चयन करना आवश्यक है, जिसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति के मूल्य तक पहुंचता है। केवल और सब कुछ! एक या दो घंटे बीतने से पहले, किसी भी वर्गमूल को "स्तंभ" में गुणा करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। यदि आपके पास कौशल है, तो इसके लिए कुछ मिनट पर्याप्त हैं। यहां तक ​​​​कि एक उन्नत कैलकुलेटर या पीसी उपयोगकर्ता भी इसे एक झटके में नहीं करता - प्रगति।

लेकिन गंभीरता से, वर्गमूल की गणना अक्सर "आर्टिलरी फोर्क" तकनीक का उपयोग करके की जाती है: सबसे पहले, वे एक संख्या लेते हैं जिसका वर्ग लगभग मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है। "हमारा वर्ग" इस अभिव्यक्ति से थोड़ा कम है तो बेहतर है। फिर वे अपने कौशल-समझ के अनुसार संख्या को सही करते हैं, उदाहरण के लिए, दो से गुणा करें, और ... इसे फिर से वर्ग करें। यदि परिणाम मूल संख्या से अधिक है, तो मूल संख्या को क्रमिक रूप से समायोजित करते हुए, धीरे-धीरे जड़ के नीचे अपने "सहयोगी" के पास पहुंचें। जैसा कि आप देख सकते हैं - कोई कैलकुलेटर नहीं, केवल "एक कॉलम में" गिनने की क्षमता। बेशक, वर्गमूल की गणना के लिए कई वैज्ञानिक रूप से तर्कपूर्ण और अनुकूलित एल्गोरिदम हैं, लेकिन "घरेलू उपयोग" के लिए उपरोक्त तकनीक परिणाम में 100% विश्वास देती है।

हां, मैं लगभग भूल गया था, हमारी बढ़ी हुई साक्षरता की पुष्टि करने के लिए, हम पहले बताई गई संख्या 12345 के वर्गमूल की गणना करते हैं। हम इसे चरण दर चरण करते हैं:

1. विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X=100 लें। आइए गणना करें: एक्स * एक्स = 10000। अंतर्ज्ञान शीर्ष पर है - परिणाम 12345 से कम है।

2. आइए कोशिश करें, विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X = 120। फिर: X * X = 14400। और फिर, अंतर्ज्ञान के साथ, क्रम - परिणाम 12345 से अधिक है।

3. ऊपर, 100 और 120 का एक "कांटा" प्राप्त होता है। आइए नई संख्याएँ चुनें - 110 और 115। हमें क्रमशः, 12100 और 13225 मिलते हैं - कांटा संकरा होता है।

4. हम "शायद" X = 111 पर प्रयास करते हैं। हमें X * X = 12321 मिलता है। यह संख्या पहले से ही 12345 के काफी करीब है। आवश्यक सटीकता के अनुसार, प्राप्त परिणाम पर "फिटिंग" को जारी रखा या रोका जा सकता है। बस इतना ही। जैसा कि वादा किया गया था - सब कुछ बहुत सरल और कैलकुलेटर के बिना है।

थोड़ा सा इतिहास...

यहां तक ​​​​कि पाइथागोरस, स्कूल के छात्र और पाइथागोरस के अनुयायी, वर्गमूल का उपयोग करने के बारे में सोचते थे, 800 ई.पू. और वहीं, संख्याओं के क्षेत्र में "नई खोजों" में भाग गया। और यह कहाँ से आया?

1. जड़ के निष्कर्षण से समस्या का समाधान नए वर्ग की संख्याओं के रूप में परिणाम देता है। उन्हें तर्कहीन कहा जाता था, दूसरे शब्दों में, "अनुचित", क्योंकि। उन्हें पूर्ण संख्या के रूप में नहीं लिखा जाता है। इस तरह का सबसे क्लासिक उदाहरण 2 का वर्गमूल है। यह मामला 1 के बराबर एक वर्ग के विकर्ण की गणना से मेल खाता है - यहाँ यह है, पाइथागोरस स्कूल का प्रभाव। यह पता चला कि पक्षों के एक बहुत विशिष्ट इकाई आकार वाले त्रिभुज में, कर्ण का एक आकार होता है जिसे एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसका "कोई अंत नहीं है।" तो गणित में दिखाई दिया

2. यह ज्ञात है कि यह पता चला है कि इस गणितीय ऑपरेशन में एक और पकड़ शामिल है - जड़ निकालना, हम नहीं जानते कि किस संख्या का वर्ग, सकारात्मक या नकारात्मक, मूल अभिव्यक्ति है। यह अनिश्चितता, एक ऑपरेशन से दोहरा परिणाम, नीचे लिखा गया है।

इस घटना से जुड़ी समस्याओं का अध्ययन गणित में एक दिशा बन गया है जिसे एक जटिल चर का सिद्धांत कहा जाता है, जिसका गणितीय भौतिकी में बहुत व्यावहारिक महत्व है।

यह उत्सुक है कि रूट - रेडिकल - का पदनाम उनके "यूनिवर्सल अंकगणित" में उसी सर्वव्यापी I. न्यूटन द्वारा इस्तेमाल किया गया था, और रूट लिखने के आधुनिक रूप को फ्रेंचमैन रोल की पुस्तक "बीजगणित मैनुअल" से 1690 के बाद से जाना जाता है। ".

इस लेख में, हम परिचय देंगे एक संख्या की जड़ की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम घनमूल के विवरण पर आगे बढ़ेंगे, उसके बाद हम nth डिग्री की जड़ को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाएं, संकेतन, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, किसी के पास . इस बिंदु पर, हम अक्सर एक संख्या की दूसरी शक्ति का सामना करेंगे - एक संख्या का वर्ग।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएं.

परिभाषा

a . का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25 , 0.09 , 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0 )। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग एक के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए, कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? इसका उत्तर यह है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं । आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आइए मामले से शुरू करें a=0 । आइए पहले हम यह दिखाएं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0·0 = 0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एक मात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। आइए मान लें कि कुछ गैर-शून्य संख्या बी है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त बी 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य बी के लिए अभिव्यक्ति बी 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए कि b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएं b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूंकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।

वर्गमूल के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक जड़ को धनात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन स्वीकार किया जाता है। इस चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल का संकेत भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूलांक है, और संकेतन में, व्यंजक एक मूलांक है।

पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल के बारे में बात कर रहे हैं।

प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a .

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न और के रूप में प्रयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और . शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, हम तब तक प्रविष्टियों का अर्थ नहीं जोड़ेंगे जब तक हम अध्ययन नहीं करते जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के हल होते हैं।

का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।

परिभाषा

a . का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

चलो लाते हैं घनमूलों के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उन्हें घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0 0=0 , . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और -2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 = ए। इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहाँ से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 । पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन धनात्मक पदों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।

a=0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य है। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 को धारण करना चाहिए, जो तभी संभव है जब b=0 ।

नकारात्मक a के लिए, कोई सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले से मेल खाएगा।

तो, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूल के रूप में निरूपित किया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल सूचक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, उन प्रविष्टियों का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिनमें ऋणात्मक संख्या अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य आलेख में मूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट के मूल्य की गणना को क्यूब रूट निकालना कहा जाता है, इस क्रिया की चर्चा जड़ों को निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।

वां मूल, n . का अंकगणितीय मूल

हम एक संख्या से मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए

परिभाषा

a . का nवां मूलएक संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या a से पहली डिग्री का मूल संख्या a ही है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = a लिया।

ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात, n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम शक्तियाँ (अर्थात n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम अंशों की जड़ें घनमूल के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करते हैं, जिनकी घातें सम संख्याएँ 4, 6, 8, ... हैं, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी सम घात का मूल केवल अऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a से सम अंश के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।

आइए हम पिछले दावे को सही ठहराते हैं। मान लीजिए b एक सम अंश का मूल है (हम इसे 2·m से निरूपित करते हैं, जहां m कुछ प्राकृत संख्या है) a से। मान लीजिए कि एक संख्या c है - a का दूसरा 2 m मूल। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (बी-सी) (बी+सी) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह निम्नानुसार है कि b−c=0 , या b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानता का मतलब है कि संख्या बी और सी बराबर हैं या बी और सी विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल के लिए मान्य है b=c=0 , क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a से विषम घात 2·m+1 के मूल की विशिष्टता, a से घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। समानता की जगह सिर्फ यहीं a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = . के रूप की समानता (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम). अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम-2 +सी 2 एम-2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी-सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तो व्यंजक b 2 +c 2 +b·c , जो नेस्टिंग के उच्चतम स्तर के कोष्ठकों में होता है, धनात्मक के योग के रूप में धनात्मक होता है संख्याएं। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल का निर्धारण.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी nवीं घात a के बराबर होती है।

एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्गमीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर तब भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूँकि, शर्त के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तो एक्स= 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या होती है। एक धनात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x ज्ञात करना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स= 81. इस समीकरण के दो मूल हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों संख्या 9 और - 9 को संख्या 81 का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे 81 से दर्शाया जाता है, इसलिए 81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 और 6, 36 का वर्गमूल हैं। संख्या 6, 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² = 36। संख्या -6 एक अंकगणितीय मूल नहीं है।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एनिम्नानुसार दर्शाया गया है: ए।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एमूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति एपढ़ना इस तरह: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल ए।उदाहरण के लिए, 36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय मूल के बारे में बात कर रहे हैं, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया चुकता का उल्टा है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक संख्या वर्गमूल नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करते हुए एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक है।

अभिव्यक्ति एकेवल तभी समझ में आता है जब एक 0. वर्गमूल की परिभाषा को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक 0, (√ए)² = ए. समानता ए)² = एके लिए मान्य एक 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एबराबरी बी, यानी, कि ए =बी, आपको यह जांचना होगा कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी 0, बी² = ए।

भिन्न का वर्गमूल

आइए गणना करें। ध्यान दें कि 25 = 5, √36 = 6, और जाँच करें कि क्या समानता है।

जैसा और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:यदि एक ए 0 और बी> 0, अर्थात् भिन्न का मूल हर के मूल से विभाजित अंश के मूल के बराबर होता है। यह साबित करना आवश्यक है कि: और .

चूंकि ए 0 और बी> 0, फिर।

भिन्न को घात तक बढ़ाने और वर्गमूल का निर्धारण करने के गुण से प्रमेय सिद्ध होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: सिद्ध कीजिए कि , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक और उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को जड़ के चिन्ह के नीचे से निकालना। एक अभिव्यक्ति दी जाए। यदि एक ए 0 और बी 0, तब गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न का गुणनखंडन कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणनाओं की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे के कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, जब मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते हैं, तो मूलक व्यंजक को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। फिर मूल उत्पाद प्रमेय लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालकर व्यंजक A = √8 + √18 - 4√2 को सरल कीजिए, हमें प्राप्त होता है: हम इस बात पर जोर देते हैं कि समानता तभी मान्य है जब ए 0 और बी 0. अगर ए < 0, то .