इस लेख में . के बारे में बुनियादी जानकारी है वास्तविक संख्या. सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं की परिभाषा दी गई है और उदाहरण दिए गए हैं। निर्देशांक रेखा पर वास्तविक संख्याओं की स्थिति को आगे दिखाया गया है। और निष्कर्ष में, इसका विश्लेषण किया जाता है कि वास्तविक संख्याएं संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के रूप में कैसे दी जाती हैं।

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वास्तविक संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

व्यंजक के रूप में वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याओं की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्याएँ हैं:

• कोई भी प्राकृतिक संख्या;
• कोई पूर्णांक;
• कोई भी साधारण अंश (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों);
• कोई मिश्रित संख्या;
• कोई भी दशमलव अंश (धनात्मक, ऋणात्मक, परिमित, अनंत आवर्त, अनंत गैर-आवधिक)।

लेकिन बहुत बार वास्तविक संख्याओं को रूप आदि में देखा जा सकता है। इसके अलावा, वास्तविक संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल भी वास्तविक संख्याएँ हैं (देखें .) वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन) उदाहरण के लिए, ये वास्तविक संख्याएँ हैं।

और यदि आप और आगे जाते हैं, तो अंकगणितीय चिह्नों, मूल चिह्नों, अंशों, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलनों आदि का प्रयोग करते हुए वास्तविक संख्याओं से। आप सभी प्रकार के संख्यात्मक भावों की रचना कर सकते हैं, जिनके मान भी वास्तविक संख्याएँ होंगे। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति मान और वास्तविक संख्याएँ हैं।

इस लेख के अंत में, हम ध्यान दें कि संख्या की अवधारणा के विस्तार में अगला कदम वास्तविक संख्याओं से में संक्रमण है जटिल आंकड़े.

ग्रंथ सूची।

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• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

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प्राकृतिक संख्याओं को सकारात्मक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है। प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग वस्तुओं को गिनने और कई अन्य उद्देश्यों के लिए किया जाता है। यहाँ संख्याएँ हैं:

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है।
शून्य एक प्राकृत संख्या है? नहीं, शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है।
प्राकृतिक संख्याएँ कितनी होती हैं? प्राकृत संख्याओं का एक अनंत समुच्चय है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या है।
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? इसे निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।

प्राकृत संख्याओं का योग एक प्राकृत संख्या है। अतः प्राकृत संख्याओं का योग a और b:

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल एक प्राकृत संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्या a और b का गुणनफल:

c हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है।

प्राकृत संख्याओं का अंतर हमेशा एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। यदि मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है, तो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा ऐसा नहीं है।

प्राकृत संख्याओं का भागफल सदैव एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। यदि प्राकृत संख्याओं के लिए a और b

जहाँ c एक प्राकृत संख्या है, इसका अर्थ है कि a, b से समान रूप से विभाज्य है। इस उदाहरण में, a भाज्य है, b भाजक है, c भागफल है।

एक प्राकृत संख्या का भाजक वह प्राकृत संख्या है जिससे पहली संख्या समान रूप से विभाज्य होती है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

साधारण प्राकृत संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। यहाँ हमारा मतलब पूरी तरह से विभाजित है। उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। ये सरल प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

एक को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है।

वे संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जो अभाज्य न हों, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। संयुक्त संख्याओं के उदाहरण:

एक को समग्र संख्या नहीं माना जाता है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में एक, अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N से निरूपित किया जाता है।

प्राकृत संख्याओं के योग और गुणन के गुण:

जोड़ की क्रमविनिमेय संपत्ति

जोड़ की साहचर्य संपत्ति

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);

गुणन का क्रमविनिमेय गुण

गुणन की साहचर्य संपत्ति

(एबी) सी = ए (बीसी);

गुणन का वितरण गुण

ए (बी + सी) = एबी + एसी;

पूर्ण संख्याएं

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं, उदाहरण के लिए:

1; -2; -3; -4;…

पूर्णांकों के समुच्चय को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है।

परिमेय संख्या

परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ और भिन्न होती हैं।

किसी भी परिमेय संख्या को आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि कोई भी पूर्णांक एक आवर्त भिन्न होता है जिसका आवर्त शून्य होता है।

किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। आइए पिछले उदाहरण से संख्या 3,(6) को ऐसे भिन्न के रूप में निरूपित करें:

एक अन्य उदाहरण: परिमेय संख्या 9 को एक साधारण भिन्न के रूप में 18/2 या 36/4 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक अन्य उदाहरण: परिमेय संख्या -9 को एक साधारण भिन्न के रूप में -18/2 या -72/8 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यह लेख "परिमेय संख्या" विषय के अध्ययन के लिए समर्पित है। निम्नलिखित परिमेय संख्याओं की परिभाषाएँ हैं, उदाहरण दिए गए हैं, और यह कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं।

परिमेय संख्या। परिभाषाएं

परिमेय संख्याओं की परिभाषा देने से पहले, आइए याद करें कि संख्याओं के अन्य सेट क्या हैं और वे एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

प्राकृत संख्याएँ, उनके विपरीत और शून्य संख्या के साथ मिलकर पूर्णांकों का एक समुच्चय बनाती हैं। बदले में, पूर्णांक भिन्नात्मक संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाता है।

परिभाषा 1. परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें धनात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b, ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b या संख्या शून्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस प्रकार, हम परिमेय संख्याओं के कई गुण छोड़ सकते हैं:

1. कोई भी प्राकृत संख्या एक परिमेय संख्या होती है। स्पष्ट है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या n को भिन्न 1 n के रूप में दर्शाया जा सकता है।
2. 0 सहित कोई भी पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। वास्तव में, किसी भी धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक को क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में आसानी से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 ।
3. कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक उभयनिष्ठ भिन्न a b एक परिमेय संख्या होती है। यह उपरोक्त परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।
4. कोई भी मिश्रित संख्या परिमेय होती है। दरअसल, आखिरकार, एक मिश्रित संख्या को एक साधारण अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।
5. किसी भी परिमित या आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, प्रत्येक आवर्त या अंतिम दशमलव एक परिमेय संख्या होती है।
6. अनंत और अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। इन्हें साधारण भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

आइए हम परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें। संख्याएँ 5 , 105 , 358 , 1100055 प्राकृत, धनात्मक और पूर्णांक हैं। आखिरकार, ये परिमेय संख्याएँ हैं। संख्याएँ - 2 , - 358 , - 936 ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और वे परिभाषा के अनुसार परिमेय भी हैं। सार्व भिन्न 3 5 , 8 7 , - 35 8 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है। आइए फिर से इस प्रश्न का उत्तर दें कि परिमेय संख्या क्या है।

परिभाषा 2. परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न ± z n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है, n एक प्राकृत संख्या है।

यह दिखाया जा सकता है कि यह परिभाषा परिमेय संख्याओं की पिछली परिभाषा के बराबर है। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि भिन्न का दंड भाग चिह्न के समान होता है। पूर्णांकों के विभाजन के नियमों और गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित निष्पक्ष असमानताएँ लिख सकते हैं:

0 एन = 0 एन = 0; - एम एन = (- एम) एन = - एम एन।

इस प्रकार, कोई लिख सकता है:

z n = z n , p p और z > 0 0 , p p और z = 0 - z n , p p और z< 0

दरअसल, यह रिकॉर्ड सबूत है। हम दूसरी परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। संख्याओं पर विचार करें - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 और - 1 3 5 । ये सभी संख्याएँ परिमेय हैं, क्योंकि इन्हें एक पूर्णांक अंश और प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 ।

हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा का एक और समतुल्य रूप प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 3. परिमेय संख्याएं

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा इस अनुच्छेद की पहली परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है।

इस मद पर सारांश तैयार करने और सारांश तैयार करने के लिए:

1. धनात्मक और ऋणात्मक भिन्नात्मक और पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं।
2. प्रत्येक परिमेय संख्या को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अंश एक पूर्णांक और हर एक प्राकृतिक संख्या है।
3. प्रत्येक परिमेय संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है: परिमित या अनंत आवर्त।

कौन सी संख्या परिमेय है?

जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं, कोई भी प्राकृत संख्या, पूर्णांक, नियमित और अनुचित साधारण भिन्न, आवर्त और अंतिम दशमलव भिन्न परिमेय संख्याएँ होती हैं। इस ज्ञान से लैस होकर, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं।

हालांकि, व्यवहार में, किसी को अक्सर संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से निपटना पड़ता है जिसमें जड़ें, शक्तियां और लघुगणक होते हैं। कुछ मामलों में, प्रश्न का उत्तर "क्या एक संख्या परिमेय है?" स्पष्ट से बहुत दूर है। आइए देखें कि इस प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए।

यदि एक संख्या को एक व्यंजक के रूप में दिया जाता है जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं और उनके बीच अंकगणितीय संक्रियाएँ होती हैं, तो व्यंजक का परिणाम एक परिमेय संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) का मान एक परिमेय संख्या है और 18 के बराबर है।

इस प्रकार, एक जटिल संख्यात्मक अभिव्यक्ति को सरल बनाने से आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि इसके द्वारा दी गई संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

अब आइए जड़ के चिन्ह से निपटें।

यह पता चला है कि संख्या m की घात n के मूल के रूप में दी गई संख्या m n तभी परिमेय होती है जब m किसी प्राकृत संख्या की nवीं घात हो।

आइए एक उदाहरण देखें। संख्या 2 तर्कसंगत नहीं है। जबकि 9, 81 परिमेय संख्याएँ हैं। 9 और 81 क्रमशः संख्या 3 और 9 के पूर्ण वर्ग हैं। संख्याएँ 199, 28, 15 1 परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, क्योंकि मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ किसी भी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

अब एक और जटिल मामला लेते हैं। क्या संख्या 243 5 परिमेय है? यदि आप 3 को पांचवीं घात तक बढ़ाते हैं, तो आपको 243 मिलता है, इसलिए मूल व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 243 5 = 3 5 5 = 3। अतः यह संख्या परिमेय है। अब संख्या 121 5 लेते हैं। यह संख्या परिमेय नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई भी प्राकृत संख्या नहीं है जिसके पाँचवें घात को बढ़ाने पर 121 प्राप्त हो।

यह पता लगाने के लिए कि क्या किसी संख्या a का आधार b का लघुगणक एक परिमेय संख्या है, विरोधाभास विधि को लागू करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि क्या संख्या लॉग 2 5 परिमेय है। मान लीजिए कि यह संख्या परिमेय है। यदि ऐसा है, तो इसे साधारण भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है log 2 5 = mn. लघुगणक के गुणों और घात के गुणों से, निम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:

5 = 2 लघुगणक 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

जाहिर है, अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः विषम और सम संख्याएँ होती हैं। इसलिए, की गई धारणा गलत है, और संख्या लॉग 2 5 एक परिमेय संख्या नहीं है।

यह ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता और अपरिमेयता का निर्धारण करते समय अचानक निर्णय नहीं लेना चाहिए। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल का परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या नहीं होता है। एक उदाहरण उदाहरण: 2 · 2 = 2।

ऐसी अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं जिनकी अपरिमेय घात को बढ़ाने से एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है। प्रपत्र 2 लॉग 2 3 की घात में, आधार और घातांक अपरिमेय संख्याएँ हैं। हालाँकि, संख्या ही परिमेय है: 2 log 2 3 = 3 ।

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वास्तविक संख्या की अवधारणा: वास्तविक संख्या- (वास्तविक संख्या), कोई गैर-ऋणात्मक या ऋणात्मक संख्या या शून्य। वास्तविक संख्याओं की सहायता से प्रत्येक भौतिक राशि का मापन व्यक्त कीजिए।

असली, या वास्तविक संख्यादुनिया की ज्यामितीय और भौतिक मात्राओं को मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुआ। इसके अलावा, रूट निकालने, लॉगरिदम की गणना करने, बीजीय समीकरणों को हल करने आदि के संचालन के लिए।

प्राकृतिक संख्याएँ गिनती के विकास के साथ बनाई गईं, और परिमेय संख्याओं को पूरे के कुछ हिस्सों को प्रबंधित करने की आवश्यकता के साथ बनाया गया, फिर वास्तविक संख्या (वास्तविक) का उपयोग निरंतर मात्रा को मापने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, मानी जाने वाली संख्याओं के भंडार के विस्तार ने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को जन्म दिया है, जो कि परिमेय संख्याओं के अतिरिक्त, अन्य तत्वों से मिलकर बना है जिन्हें कहा जाता है तर्कहीन संख्या.

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय(निरूपित आर) परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को एक साथ रखा जाता है।

वास्तविक संख्याओं को से विभाजित किया जाता हैविवेकीऔर तर्कहीन.

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है और अक्सर कहा जाता है असलीया संख्या रेखा. वास्तविक संख्याएँ साधारण वस्तुओं से बनी होती हैं: पूरा का पूराऔर परिमेय संख्या.

एक संख्या जिसे अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँएमएक पूर्णांक है, और एनएक प्राकृतिक संख्या हैपरिमेय संख्या.

किसी भी परिमेय संख्या को परिमित भिन्न या अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में आसानी से दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण,

अनंत दशमलव, एक दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है।

वे संख्याएँ जिन्हें इस प्रकार प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है तर्कहीन संख्या.

उदाहरण:

किसी भी अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में प्रदर्शित करना आसान है।

उदाहरण,

परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ बनाती हैं वास्तविक संख्याओं का समूह।सभी वास्तविक संख्याएं निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु के अनुरूप होती हैं, जिसे कहा जाता है संख्या रेखा.

संख्यात्मक सेट के लिए, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है:

• एन- प्राकृतिक संख्याओं का सेट;
• जेड- पूर्णांकों का सेट;
• क्यू- तर्कसंगत संख्याओं का सेट;
• आरवास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

अनंत दशमलव अंशों का सिद्धांत।

एक वास्तविक संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है अनंत दशमलव, अर्थात।:

±ए 0, ए 1 ए 2 …ए एन …

जहां ± + या − का एक प्रतीक है, एक संख्या का चिह्न,

a 0 एक धनात्मक पूर्णांक है,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… दशमलव स्थानों का एक क्रम है, अर्थात। एक संख्यात्मक सेट के तत्व {0,1,…9}.

एक अनंत दशमलव अंश को एक संख्या के रूप में समझाया जा सकता है जो परिमेय बिंदुओं के बीच संख्या रेखा पर होती है जैसे:

±ए 0, ए 1 ए 2 …ए एनऔर ±(ए 0, ए 1 ए 2 …ए एन +10 -एन)सबके लिए एन = 0,1,2,…

वास्तविक संख्याओं की अनंत दशमलव भिन्नों के रूप में तुलना बिट दर बिट होती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि 2 धनात्मक संख्याएँ दी गई हैं:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+बी 0 ,बी 1 बी 2 …बी एन …

यदि एक ए 0 0,तब α<β ; अगर ए0>बी0तब α>β . कब ए 0 = बी 0आइए अगले स्तर की तुलना पर चलते हैं। आदि। कब α≠β , इसलिए चरणों की एक सीमित संख्या के बाद पहला अंक सामने आएगा एन, ऐसा है कि ए एन ≠ बी एन. यदि एक एक और नहीं, तब α<β ; अगर ए एन> बी एनतब α>β .

लेकिन साथ ही, इस तथ्य पर ध्यान देना कठिन है कि संख्या a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n ।इसलिए, यदि एक निश्चित अंक से शुरू होने वाली तुलना संख्याओं में से एक का रिकॉर्ड एक आवधिक दशमलव अंश है, जिसमें अवधि में 9 है, तो इसे अवधि में शून्य के साथ समकक्ष रिकॉर्ड के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

अनंत दशमलव अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन तर्कसंगत संख्याओं के साथ संबंधित संचालन की निरंतर निरंतरता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का योग α और β एक वास्तविक संख्या है α+β , जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए′, ए′′, बी′, बी′′∈ क्यू (ए′⩽ α ⩽ ए'')∧ (बी'⩽ β ⩽ बी'')⇒ (ए′+बी′⩽ α + β ⩽ ए′′+बी′′)

इसी तरह अनंत दशमलव अंशों को गुणा करने के संचालन को परिभाषित करता है।