सांख्यिकी कई समस्याओं को हल करने में हमारी सहायता करती है, उदाहरण के लिए: जब एक नियतात्मक मॉडल बनाना संभव नहीं होता है, जब बहुत सारे कारक होते हैं, या जब हमें उपलब्ध डेटा को ध्यान में रखते हुए बनाए गए मॉडल की संभावना का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। सांख्यिकी का संबंध अस्पष्ट है। ऐसा माना जाता है कि झूठ तीन प्रकार के होते हैं: झूठ, खुला झूठ और आँकड़े। दूसरी ओर, आँकड़ों के कई "उपयोगकर्ता" इस पर बहुत अधिक विश्वास करते हैं, पूरी तरह से यह नहीं समझते कि यह कैसे काम करता है: उदाहरण के लिए, किसी भी डेटा की सामान्यता की जाँच किए बिना उसका परीक्षण करना। इस तरह की लापरवाही गंभीर त्रुटियां उत्पन्न कर सकती है और परीक्षण के "प्रशंसकों" को आंकड़ों से नफरत करने वालों में बदल सकती है। आइए धाराओं को i पर डालने का प्रयास करें और पता लगाएं कि कुछ घटनाओं का वर्णन करने के लिए यादृच्छिक चर के कौन से मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए और उनके बीच किस प्रकार का आनुवंशिक संबंध मौजूद है।

सबसे पहले, यह सामग्री संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी का अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए रुचिकर होगी, हालांकि "परिपक्व" विशेषज्ञ इसे संदर्भ के रूप में उपयोग करने में सक्षम होंगे। निम्नलिखित कार्यों में से एक में, मैं एक्सचेंज ट्रेडिंग रणनीतियों के संकेतकों के महत्व का आकलन करने के लिए एक परीक्षण बनाने के लिए आंकड़ों का उपयोग करने का एक उदाहरण दिखाऊंगा।

कार्य पर विचार किया जाएगा:

लेख के अंत में विचार हेतु दिया जाएगा। मैं इस पर अपने विचार अपने अगले लेख में साझा करूंगा।

दिए गए कुछ सतत वितरण विशेष मामले हैं।

पृथक वितरण

अलग-अलग बिंदुओं पर परिभाषित गैर-भिन्न विशेषताओं वाली घटनाओं का वर्णन करने के लिए अलग-अलग वितरण का उपयोग किया जाता है। सीधे शब्दों में कहें तो, उन घटनाओं के लिए जिनके परिणाम को कुछ अलग श्रेणी में रखा जा सकता है: सफलता या विफलता, एक पूर्णांक (उदाहरण के लिए, रूलेट, पासा का खेल), चित या पट, आदि।

किसी घटना के प्रत्येक संभावित परिणाम के घटित होने की संभावना द्वारा एक असतत वितरण का वर्णन किया जाता है। किसी भी वितरण (निरंतर सहित) के लिए, अपेक्षा और विचरण की अवधारणाओं को अलग-अलग घटनाओं के लिए परिभाषित किया गया है। हालाँकि, यह समझा जाना चाहिए कि एक अलग यादृच्छिक घटना की अपेक्षा आम तौर पर एक यादृच्छिक घटना के परिणाम के रूप में अवास्तविक होती है, बल्कि एक मूल्य के रूप में होती है जिससे घटनाओं के परिणामों का अंकगणितीय माध्य उनकी संख्या बढ़ने के साथ बढ़ने लगता है।

असतत यादृच्छिक घटनाओं के मॉडलिंग में, कॉम्बिनेटरिक्स एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, क्योंकि किसी घटना के परिणाम की संभावना को उन संयोजनों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो संयोजनों की कुल संख्या के लिए वांछित परिणाम देते हैं। उदाहरण के लिए: टोकरी में 3 सफेद गेंदें और 7 काली गेंदें हैं। जब हम टोकरी से 1 गेंद चुनते हैं, तो हम इसे 10 अलग-अलग तरीकों से कर सकते हैं (संयोजनों की कुल संख्या), लेकिन सफेद गेंद को केवल 3 तरीकों से चुना जाएगा (3 संयोजन जो आवश्यक परिणाम देते हैं)। इस प्रकार, एक सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता है: ()।

प्रतिस्थापन वाले और प्रतिस्थापन रहित नमूनों के बीच अंतर करना भी आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दो सफेद गेंदों को चुनने की संभावना का वर्णन करने के लिए, यह निर्धारित करना महत्वपूर्ण है कि पहली गेंद टोकरी में वापस की जाएगी या नहीं। यदि नहीं, तो हम प्रतिस्थापन के बिना एक नमूने के साथ काम कर रहे हैं () और संभावना इस प्रकार होगी: - प्रारंभिक नमूने से एक सफेद गेंद को चुनने की संभावना को टोकरी में शेष लोगों में से एक सफेद गेंद को फिर से चुनने की संभावना से गुणा किया जाता है। . यदि पहली गेंद बास्केट में लौटा दी जाती है, तो यह रिटर्न फ़ेच () है। इस मामले में, दो सफेद गेंदों को चुनने की संभावना है।

यदि हम टोकरी के उदाहरण को इस प्रकार थोड़ा औपचारिक बनाते हैं: किसी घटना के परिणाम को क्रमशः संभावनाओं के साथ 0 या 1 के दो मानों में से एक लेने दें, तो प्रस्तावित परिणामों में से प्रत्येक को प्राप्त करने की संभावना के वितरण को बर्नौली वितरण कहा जाएगा। :

परंपरागत रूप से, 1 मान वाले परिणाम को "सफलता" कहा जाता है, और 0 मान वाले परिणाम को "असफलता" कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि परिणाम "सफलता या विफलता" प्राप्त करना संभाव्यता के साथ होता है।

बर्नौली वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

परीक्षणों में सफलताओं की संख्या, जिसके परिणाम को सफलता की संभावना के साथ वितरित किया जाता है (उदाहरण के लिए गेंदों को टोकरी में लौटाना), द्विपद वितरण द्वारा वर्णित है:

दूसरे तरीके से, हम कह सकते हैं कि द्विपद वितरण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वर्णन करता है जिन्हें सफलता की संभावना के साथ वितरित किया जा सकता है।
अपेक्षा और भिन्नता:

द्विपद वितरण केवल पुनर्प्रवेश नमूने के लिए मान्य है, अर्थात, जब परीक्षणों की पूरी श्रृंखला के लिए सफलता की संभावना स्थिर रहती है।

यदि मात्राएँ और क्रमशः मापदंडों के साथ द्विपद वितरण हैं, तो उनका योग भी मापदंडों के साथ द्विपद रूप से वितरित किया जाएगा।

ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां हम टोकरी से गेंदें निकालते हैं और उन्हें तब तक वापस लौटाते हैं जब तक कि एक सफेद गेंद नहीं निकल जाती। ऐसे परिचालनों की संख्या एक ज्यामितीय वितरण द्वारा वर्णित है। दूसरे शब्दों में: ज्यामितीय वितरण प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना को देखते हुए पहली सफलता तक परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है। यदि उस परीक्षण की संख्या निहित है जिसमें सफलता मिली, तो ज्यामितीय वितरण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित किया जाएगा:

ज्यामितीय वितरण की अपेक्षा और विचरण:

ज्यामितीय वितरण आनुवंशिक रूप से वितरण से संबंधित है, जो एक सतत यादृच्छिक चर का वर्णन करता है: घटना से पहले का समय, घटनाओं की निरंतर तीव्रता के साथ। ज्यामितीय वितरण भी एक विशेष मामला है।

पास्कल वितरण वितरण का एक सामान्यीकरण है: यह स्वतंत्र परीक्षणों में विफलताओं की संख्या के वितरण का वर्णन करता है, जिसके परिणाम को सफलताओं के योग से पहले सफलता की संभावना पर वितरित किया जाता है। के लिए, हम मात्रा के लिए एक वितरण प्राप्त करते हैं।

से संयोजनों की संख्या कहां है?

नकारात्मक द्विपद वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

पास्कल के अनुसार वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग भी पास्कल के अनुसार वितरित किया जाता है: इसे वितरण होने दें, और -। हम भी स्वतंत्र रहें, फिर उनके योग का वितरण होगा

अब तक, हमने पुनर्प्रवेश नमूनों के उदाहरणों को देखा है, यानी, परिणाम की संभावना परीक्षण से परीक्षण तक नहीं बदलती है।

अब प्रतिस्थापन के बिना एक स्थिति पर विचार करें और सफलताओं और असफलताओं की पूर्व निर्धारित संख्या (टोकरी में सफेद और काली गेंदों की पूर्व निर्धारित संख्या, डेक में ट्रम्प कार्ड, दोषपूर्ण भागों) के साथ जनसंख्या से सफल नमूनों की संख्या की संभावना का वर्णन करें। खेल, आदि)।

मान लीजिए कि कुल संग्रह में ऑब्जेक्ट शामिल हैं, जिनमें से "1" और "0" के रूप में लेबल किया गया है। हम "1" लेबल वाली वस्तु के चयन को सफलता और "0" लेबल वाली वस्तु के चयन को विफलता मानेंगे। आइए n परीक्षण करें, और चयनित ऑब्जेक्ट अब आगे के परीक्षणों में भाग नहीं लेंगे। सफलता की संभावना हाइपरज्यामितीय वितरण का अनुसरण करेगी:

से संयोजनों की संख्या कहां है?

अपेक्षा और भिन्नता:

पॉसों वितरण

(यहाँ से लिया गया)

पॉइसन वितरण अपने "विषय" क्षेत्र में ऊपर माने गए वितरणों से काफी भिन्न है: अब किसी विशेष परीक्षण परिणाम की संभावना पर विचार नहीं किया जाता है, बल्कि घटनाओं की तीव्रता, यानी प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या पर विचार किया जाता है।

पॉइसन वितरण घटनाओं की औसत तीव्रता के साथ समय के साथ स्वतंत्र घटनाओं के घटित होने की संभावना का वर्णन करता है:

पॉइसन वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

पॉइसन वितरण का विचरण और माध्य समान रूप से बराबर हैं।

के साथ संयोजन में पॉइसन वितरण, जो स्वतंत्र घटनाओं की शुरुआत के बीच के समय अंतराल का वर्णन करता है, विश्वसनीयता के सिद्धांत का गणितीय आधार बनाता है।

वितरण के साथ यादृच्छिक चर x और y () के उत्पाद की संभाव्यता घनत्व की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

नीचे दिए गए कुछ वितरण पियर्सन वितरण के विशेष मामले हैं, जो बदले में समीकरण का समाधान है:

वितरण पैरामीटर कहां और कहां हैं। मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, पियर्सन वितरण के 12 प्रकार हैं।

इस अनुभाग में जिन वितरणों पर चर्चा की जाएगी उनका एक दूसरे के साथ घनिष्ठ संबंध है। ये संबंध इस तथ्य में व्यक्त किए जाते हैं कि कुछ वितरण अन्य वितरणों के विशेष मामले हैं, या अन्य वितरणों के साथ यादृच्छिक चर के परिवर्तनों का वर्णन करते हैं।

नीचे दिया गया चित्र कुछ सतत वितरणों के बीच संबंधों को दर्शाता है जिन पर इस पेपर में चर्चा की जाएगी। आरेख में, ठोस तीर यादृच्छिक चर के परिवर्तन को दर्शाते हैं (तीर की शुरुआत प्रारंभिक वितरण को इंगित करती है, तीर का अंत - परिणामी को), और बिंदीदार तीर सामान्यीकरण संबंध को दर्शाते हैं (तीर की शुरुआत इंगित करती है) वितरण, जो तीर के अंत द्वारा इंगित वितरण का एक विशेष मामला है)। बिंदीदार तीरों के ऊपर पियर्सन वितरण के विशेष मामलों के लिए, पियर्सन वितरण के संबंधित प्रकार का संकेत दिया गया है।

वितरण के निम्नलिखित अवलोकन में डेटा विश्लेषण और प्रक्रिया मॉडलिंग में होने वाले कई मामलों को शामिल किया गया है, हालांकि, निश्चित रूप से, इसमें विज्ञान के लिए ज्ञात सभी वितरण शामिल नहीं हैं।

सामान्य वितरण (गाऊसी वितरण)

(यहाँ से लिया गया)

मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

यदि तथा, तो ऐसे वितरण को मानक कहा जाता है।

सामान्य वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

सामान्य वितरण की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

सामान्य वितरण एक प्रकार VI वितरण है।

स्वतंत्र सामान्य मानों के वर्गों का योग होता है, और स्वतंत्र गाऊसी मानों का अनुपात वितरित होता है।

सामान्य वितरण असीम रूप से विभाज्य है: सामान्य रूप से वितरित मात्राओं का योग और मापदंडों के साथ और क्रमशः मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण भी होता है, जहां और।

सामान्य वितरण अच्छी तरह से मात्राओं को मॉडल करता है जो प्राकृतिक घटनाओं, थर्मोडायनामिक प्रकृति के शोर और माप त्रुटियों का वर्णन करता है।

इसके अलावा, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, समान क्रम के बड़ी संख्या में स्वतंत्र पदों का योग, पदों के वितरण की परवाह किए बिना, एक सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है। इस गुण के कारण, सामान्य वितरण सांख्यिकीय विश्लेषण में लोकप्रिय है, कई सांख्यिकीय परीक्षण सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

z-परीक्षण सामान्य वितरण की अनंत विभाज्यता पर आधारित है। इस परीक्षण का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि सामान्य रूप से वितरित चर के नमूने की अपेक्षा कुछ मान के बराबर है या नहीं। विचरण मान होना चाहिए ज्ञात. यदि विचरण का मान अज्ञात है और विश्लेषण किए गए नमूने के आधार पर गणना की जाती है, तो एक टी-परीक्षण के आधार पर।

आइए मानक विचलन के साथ सामान्य जनसंख्या से n स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित मूल्यों का एक नमूना लें, आइए इसकी परिकल्पना करें। तब मान का एक मानक सामान्य वितरण होगा। मानक वितरण की मात्राओं के साथ प्राप्त z मान की तुलना करके, कोई आवश्यक स्तर के महत्व के साथ परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकता है।

गॉसियन वितरण की व्यापकता के कारण, कई शोधकर्ता जो आंकड़ों को बहुत अच्छी तरह से नहीं जानते हैं, सामान्यता के लिए डेटा की जांच करना भूल जाते हैं, या वितरण घनत्व प्लॉट का मूल्यांकन "आंख से" करते हैं, आँख बंद करके विश्वास करते हैं कि वे गॉसियन डेटा के साथ काम कर रहे हैं। तदनुसार, सामान्य वितरण के लिए डिज़ाइन किए गए परीक्षणों को साहसपूर्वक लागू करना और पूरी तरह से गलत परिणाम प्राप्त करना। संभवतः, यहीं से आंकड़ों के बारे में सबसे भयानक प्रकार का झूठ होने की अफवाह आई।

एक उदाहरण पर विचार करें: हमें एक निश्चित मूल्य के प्रतिरोधों के एक सेट के प्रतिरोध को मापने की आवश्यकता है। प्रतिरोध की एक भौतिक प्रकृति होती है, यह मान लेना तर्कसंगत है कि नाममात्र मूल्य से प्रतिरोध विचलन का वितरण सामान्य होगा। हम मापते हैं, हमें प्रतिरोधक रेटिंग के आसपास एक मोड के साथ मापा मूल्यों के लिए एक घंटी के आकार का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन मिलता है। क्या यह सामान्य वितरण है? यदि हां, तो हम दोषपूर्ण प्रतिरोधकों की तलाश करेंगे, या यदि हम वितरण विचरण को पहले से जानते हैं तो जेड-परीक्षण करेंगे। मुझे लगता है कि बहुत से लोग ऐसा ही करेंगे।

लेकिन आइए प्रतिरोध माप तकनीक पर करीब से नज़र डालें: प्रतिरोध को लागू वोल्टेज और वर्तमान प्रवाह के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। हमने उपकरणों के साथ वर्तमान और वोल्टेज को मापा, जो बदले में, सामान्य रूप से वितरित त्रुटियां हैं। अर्थात करंट और वोल्टेज के मापे गए मान हैं सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चरमापी गई मात्राओं के वास्तविक मानों के अनुरूप गणितीय अपेक्षाओं के साथ। और इसका मतलब यह है कि प्राप्त प्रतिरोध मान गॉस के अनुसार वितरित किए जाते हैं, न कि गॉस के अनुसार।

वितरण यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वर्णन करता है, जिनमें से प्रत्येक को मानक सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है:

स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कहाँ है?

वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

परिभाषा का क्षेत्र गैर-नकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। एक अपरिमित विभाज्य वितरण है। यदि और - को वितरित किया जाता है और क्रमशः स्वतंत्रता की डिग्री होती है, तो उनका योग भी वितरित किया जाएगा और स्वतंत्रता की डिग्री होगी।

यह एक विशेष मामला है (और इसलिए एक प्रकार III वितरण) और एक सामान्यीकरण है। वितरित से अधिक वितरित मात्राओं का अनुपात।

पियर्सन का फिट-ऑफ-फिट परीक्षण वितरण पर आधारित है। इस मानदंड का उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि यादृच्छिक चर का नमूना एक निश्चित सैद्धांतिक वितरण से संबंधित है या नहीं।

मान लीजिए हमारे पास कुछ यादृच्छिक चर का एक नमूना है। इस नमूने के आधार पर, हम संभावनाओं की गणना करते हैं कि मान अंतराल () में गिरेंगे। मान लीजिए कि वितरण की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के बारे में भी एक धारणा है, जिसके अनुसार, चयनित अंतराल में गिरने की संभावनाएं होनी चाहिए। फिर मात्राएँ सामान्य नियम के अनुसार वितरित की जाएंगी।

हम मानक सामान्य वितरण लाते हैं: ,
और कहां ।

प्राप्त मात्राओं का मापदंडों (0, 1) के साथ एक सामान्य वितरण होता है, और इसलिए, उनके वर्गों का योग स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरित किया जाता है। स्वतंत्रता की डिग्री में कमी अंतराल में आने वाले मूल्यों की संभावनाओं के योग पर एक अतिरिक्त प्रतिबंध से जुड़ी है: यह 1 के बराबर होना चाहिए।

वितरण की मात्राओं के साथ मूल्य की तुलना करके, कोई आवश्यक स्तर के महत्व के साथ डेटा के सैद्धांतिक वितरण के बारे में परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकता है।

छात्र के वितरण का उपयोग टी-टेस्ट आयोजित करने के लिए किया जाता है: एक निश्चित मूल्य के लिए वितरित यादृच्छिक चर के नमूने के अपेक्षित मूल्य की समानता के लिए एक परीक्षण, या समान भिन्नता वाले दो नमूनों के अपेक्षित मूल्यों की समानता के लिए एक परीक्षण ( भिन्नताओं की समानता की जाँच की जानी चाहिए)। विद्यार्थी का टी-वितरण एक वितरित यादृच्छिक चर और वितरित मूल्य के अनुपात का वर्णन करता है।

स्वतंत्रता की डिग्री के साथ क्रमशः स्वतंत्र यादृच्छिक चर होने दें। तब मात्रा में स्वतंत्रता की डिग्री के साथ फिशर वितरण होगा, और मात्रा में स्वतंत्रता की डिग्री के साथ फिशर वितरण होगा।
फिशर वितरण को वास्तविक गैर-नकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है और इसमें संभाव्यता घनत्व है:


फिशर वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

अपेक्षा को परिभाषित किया गया है और विचरण को परिभाषित किया गया है।

कई सांख्यिकीय परीक्षण फिशर वितरण पर आधारित हैं, जैसे कि प्रतिगमन मापदंडों के महत्व का आकलन, विषमलैंगिकता के लिए परीक्षण, और नमूना भिन्नताओं की समानता के लिए परीक्षण (एफ-परीक्षण, से अलग किया जाना है) शुद्धफिशर परीक्षण)।

एफ-परीक्षण: दो स्वतंत्र नमूने और क्रमशः वितरित डेटा वॉल्यूम होने दें। आइए हम नमूना भिन्नताओं की समानता के बारे में एक परिकल्पना सामने रखें और सांख्यिकीय रूप से इसका परीक्षण करें।

आइए मूल्य की गणना करें. इसमें स्वतंत्रता की डिग्री के साथ फिशर वितरण होगा।

संबंधित फिशर वितरण की मात्राओं के साथ मूल्य की तुलना करके, हम इस परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकते हैं कि नमूना भिन्नताएं महत्व के आवश्यक स्तर के बराबर हैं।

घातांकीय (घातांकीय) वितरण और लाप्लास वितरण (दोगुना घातांकीय, दोहरा घातांकीय)

(यहाँ से लिया गया)

घातीय वितरण औसत तीव्रता पर होने वाली स्वतंत्र घटनाओं के बीच समय अंतराल का वर्णन करता है। एक निश्चित अवधि में ऐसी घटना के घटित होने की संख्या को अलग-अलग वर्णित किया जाता है। घातीय वितरण मिलकर विश्वसनीयता के सिद्धांत का गणितीय आधार बनाता है।

विश्वसनीयता के सिद्धांत के अलावा, घातीय वितरण का उपयोग सामाजिक घटनाओं के वर्णन में, अर्थशास्त्र में, कतार के सिद्धांत में, परिवहन रसद में - जहां भी घटनाओं के प्रवाह को मॉडल करने के लिए आवश्यक हो, में किया जाता है।

घातीय वितरण एक विशेष मामला है (n=2 के लिए), और इसलिए। चूँकि घातीय रूप से वितरित मात्रा 2 डिग्री स्वतंत्रता के साथ एक ची-स्क्वायर मात्रा है, इसलिए इसकी व्याख्या दो स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित मात्राओं के वर्गों के योग के रूप में की जा सकती है।

इसके अलावा, घातीय वितरण एक ईमानदार मामला है

संभावना के साथ, पहली हिट से पहले लक्ष्य पर फायर किया जाना चाहिए पीप्रत्येक शॉट में लक्ष्य को भेदना एक समान है और यह पिछले शॉट के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, विचाराधीन प्रयोग में बर्नौली योजना लागू की गई है। एक यादृच्छिक चर X के रूप में हम चलाई गई गोलियों की संख्या पर विचार करेंगे। जाहिर है, यादृच्छिक चर X के संभावित मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं: एक्स 1 =1, एक्स 2 = 2, ...तो प्रायिकता है कि कशॉट्स के बराबर होंगे

इस फार्मूले में डाल रहे हैं क=1,2, ... हमें पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति मिलती है पीऔर गुणक क्यू:

इस कारण सूत्र (6.11) द्वारा परिभाषित वितरण कहलाता है ज्यामितिक .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके, इसे सत्यापित करना आसान है

.

आइए हम ज्यामितीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।

डीएसडब्ल्यू के लिए गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

.

हम सूत्र द्वारा फैलाव की गणना करते हैं

.

इसके लिए हम ढूंढते हैं

.

इस तरह,

.

तो, ज्यामितीय वितरण की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता है

. (6.12)

6.4.* जनरेटिंग फ़ंक्शन

डीएसवी से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स विधियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। संयुक्त विश्लेषण के सबसे विकसित सैद्धांतिक तरीकों में से एक फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि है, जो अनुप्रयोगों में सबसे शक्तिशाली तरीकों में से एक है। आइये उनके बारे में संक्षेप में जानते हैं।

यदि यादृच्छिक चर  केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान लेता है, अर्थात।

,

वह जनरेटिंग फ़ंक्शन यादृच्छिक चर  के संभाव्यता वितरण को फ़ंक्शन कहा जाता है

, (6.13)

कहाँ जेडएक वास्तविक या जटिल चर है. ध्यान दें कि जनरेटिंग फ़ंक्शंस के सेट के बीच  ( एक्स)और कई वितरण(पी(= क)} एक-से-एक पत्राचार होता है.

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर  है द्विपद वितरण

.

फिर, न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

,

वे। द्विपद वितरण का जनक कार्य रूप है

. (6.14)

परिशिष्ट. पॉइसन वितरण जनरेटिंग फ़ंक्शन

रूप है

. (6.15)

ज्यामितीय वितरण का सृजन कार्य

रूप है

. (6.16)

जनरेटिंग फ़ंक्शंस की सहायता से, DSW की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं को खोजना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा प्रारंभिक क्षण निम्नलिखित समानताओं द्वारा जनरेटिंग फ़ंक्शन से संबंधित हैं:

, (6.17)

. (6.18)

फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि अक्सर सुविधाजनक होती है क्योंकि कुछ मामलों में डीएसडब्ल्यू के वितरण फ़ंक्शन को निर्धारित करना बहुत मुश्किल होता है, जबकि जेनरेटिंग फ़ंक्शन को ढूंढना कभी-कभी आसान होता है। उदाहरण के लिए, लगातार स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों की योजना पर विचार करें, लेकिन हम इसमें एक बदलाव करेंगे। मान लीजिए घटना की प्रायिकता है एप्रत्येक परीक्षण में भिन्न होता है। इसका मतलब यह है कि ऐसी योजना के लिए बर्नौली फॉर्मूला अनुपयुक्त हो जाता है। इस मामले में वितरण फलन खोजने का कार्य काफी कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है। हालाँकि, किसी दिए गए सर्किट के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन आसानी से मिल जाता है, और परिणामस्वरूप, संबंधित संख्यात्मक विशेषताएँ भी आसानी से मिल जाती हैं।

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का व्यापक उपयोग इस तथ्य पर आधारित है कि यादृच्छिक चर के योगों के अध्ययन को संबंधित जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उत्पादों के अध्ययन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। तो, यदि  1 ,  2 , …,  एनफिर स्वतंत्र

होने देना पी क =पी क (ए) में "सफलता" की संभावना है कबर्नौली योजना में -वां परीक्षण (क्रमशः, क्यू क =1–पी क- में "विफलता" की संभावना कवां परीक्षण)। फिर, सूत्र (6.19) के अनुसार, जनरेटिंग फ़ंक्शन का रूप होगा

. (6.20)

इस जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

.

यहाँ इस बात का ध्यान रखा गया है पी क + क्यू क=1. अब, सूत्र (6.1) का उपयोग करके, हम दूसरा प्रारंभिक क्षण ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले गणना करते हैं

और
.

किसी विशेष मामले में पी 1 =पी 2 =…=पी एन =पी(अर्थात द्विपद वितरण के मामले में) प्राप्त सूत्रों से यह पता चलता है कि M= एनपी, डी= एनपीक्यू.

ज्यामितीय वितरण में, बर्नौली योजना में प्रयोग पहली सफलता तक किए जाते हैं, जिसमें एक ही प्रयोग में सफलता की संभावना p होती है।
ऐसे मूल्यों के उदाहरण हो सकते हैं:

• पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या;
• पहली विफलता से पहले डिवाइस के परीक्षणों की संख्या;
• सफेद रंग की पहली घटना से पहले गेंदों की संख्या. समाधान देखें;
• प्रथम पट आदि से पहले सिक्के को उछालने की संख्या।

DSW की ज्यामितीय वितरण श्रृंखला का रूप है:

एक्स	1	2	3	…	एम	…
पी	पी	क्यू.पी	क्यू 2 पी	…	क्यू एम-1 पी	…

संभावनाएँ पहले पद p और हर q के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाती हैं।
एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा और विचरण, जिसमें पैरामीटर p के साथ एक ज्यामितीय वितरण होता है, बराबर हैं:

हाइपरज्यामितीय वितरण

एक असतत यादृच्छिक चर में पैरामीटर n, k, m के साथ एक हाइपरजियोमेट्रिक वितरण होता है यदि यह संभावनाओं के साथ 0, 1, 2, ... मान लेता है .
हाइपरज्यामितीय वितरण में एक यादृच्छिक चर
उदाहरण के लिए:

• 10 भागों के एक बैच में, 3 ख़राब हैं। 4 आइटम हटा दिए गए हैं. एक्स निकाले गए हिस्सों में से अच्छे हिस्सों की संख्या है। (एम = 4, एन = 10, के = 3)। समाधान देखें

एक यादृच्छिक चर

उदाहरण 1। एक कलश में 2 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। गेंदें बिना किसी प्रतिस्थापन के कलश से यादृच्छिक रूप से तब तक निकाली जाती हैं जब तक कि एक सफेद गेंद दिखाई न दे। ऐसा होते ही प्रक्रिया रुक जाती है. एक यादृच्छिक चर X की वितरण तालिका बनाएं - किए गए प्रयोगों की संख्या, F(x), P(X ≤ 2), M(X), D(X) खोजें।
समाधान:ए द्वारा निरूपित करें - एक सफेद गेंद की उपस्थिति। प्रयोग केवल एक बार किया जा सकता है यदि सफेद गेंद तुरंत दिखाई दे: . यदि पहली बार सफेद गेंद दिखाई नहीं देती, लेकिन दूसरी बार निकालने के दौरान दिखाई देती है, तो X=2. ऐसी घटना की संभावना है. इसी प्रकार: , , . आइए डेटा को तालिका में लिखें:

एक्स	1	2	3	4
पी	0,4	0,3	0,2	0,1

F(x) खोजें:

P(X ≤ 2) = P(X = 1 या X = 2) = 0.4 + 0.3 = 0.7 ज्ञात कीजिए
एम(एक्स) = 1 0.4 + 2 0.3 + 3 0.2 + 4 0.1 = 2.
डी(एक्स) = (1-2) 2 0.4 + (2-2) 2 0.3 + (3-2) 2 0.2 + (4-2) 2 0.1 = 1।

उदाहरण #2. बॉक्स में 11 हिस्से हैं, जिनमें से 5 ख़राब हैं। असेंबलर यादृच्छिक रूप से 4 टुकड़े निकालता है।
1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए भागों में से: ए) 4 दोषपूर्ण; बी) एक दोषपूर्ण; सी) दो दोषपूर्ण; डी) कम से कम एक ख़राब है।
2. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाइये एक्स- निकाले गए भागों में से दोषपूर्ण भागों की संख्या।
3. M(X), D(X), σ(X) खोजें।
4. गणना करें पी(1
समाधान:
1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए भागों में से:
ए) 4 दोषपूर्ण;

बी) एक दोषपूर्ण;
इन परीक्षणों के लिए संभावित मौलिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनसे 11 में से 4 भाग निकाले जा सकते हैं:

आइए उन परिणामों की संख्या की गणना करें जो इस घटना के पक्ष में हैं (4 भागों में से, ठीक 1 भाग दोषपूर्ण है):

शेष 3 भागों को 7 में से चुना जा सकता है:

इसलिए, अनुकूल परिणामों की संख्या है: 5*20 = 100
वांछित संभाव्यता घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी प्रारंभिक परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है: पी(1) = 100/330 = 0.303
सी) दो दोषपूर्ण;

डी) कम से कम एक ख़राब है।
संभावना है कि कोई दोषपूर्ण भाग नहीं हैं. एक्स = 0.

तब कम से कम एक के ख़राब होने की प्रायिकता है:
पी = 1 - पी(0) = 1 - 0.0455 = 0.95

2. वितरण नियम P(x), X संकलित करें - निकाले गए भागों में से दोषपूर्ण भागों की संख्या।
तीन दोषपूर्ण उत्पादों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक्स	0	1	2	3	4
पी	0,0455	0,303	0,4545	0,182	0,015

2. खोजें एम(एक्स), डी(एक्स),σ(एक्स).
गणितीय अपेक्षा सूत्र m = ∑x i p i द्वारा पाई जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम[एक्स].
एम[x] = 0*0.0455 + 1*0.303 + 2*0.4545 + 3*0.182 + 4*0.015 = 1.818
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा पाया जाता है।
फैलाव डी[एक्स].
डी[एक्स] = 0 2 *0.0455 + 1 2 *0.303 + 2 2 *0.4545 + 3 2 *0.182 + 4 2 *0.015 - 1.818 2 = 0.694
मानक विचलन σ(x).

3. P(1) की गणना करें एफ(x≤0) = 0
एफ(0< x ≤1) = 0.0455
एफ(1< x ≤2) = 0.303 + 0.0455 = 0.349
एफ(2< x ≤3) = 0.455 + 0.349 = 0.803
एफ(3< x ≤4) = 0.182 + 0.803 = 0.985
एफ(x>4) = 1
किसी विशेष अंतराल में SW के गिरने की संभावना सूत्र द्वारा पाई जाती है:
पी(ए ≤ एक्स< b) = F(b) - F(a)
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि SW अंतराल 1 ≤ X में होगा< 4
पी(1 ≤ एक्स< 4) = F(4) - F(1) = 0.985 - 0.0455 = 0.9395

उदाहरण #3. लाॅट में 7 पार्ट हैं, 3 खराब हैं. नियंत्रक यादृच्छिक रूप से 4 भाग बनाता है। एक यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - नमूने में अच्छे भागों की संख्या। गणितीय अपेक्षा और प्रसरण X ज्ञात करें। वितरण फलन आलेखित करें।
कुल अच्छे भाग: 7-3 = 4
1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चयनित 4 भागों में से एक सेवा योग्य है।
इन परीक्षणों के लिए संभावित मौलिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनसे 7 में से 4 भाग निकाले जा सकते हैं:

आइए इस घटना के पक्ष में आने वाले परिणामों की संख्या की गणना करें।

ज्यामितीय वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन OTRBINOM.DIST() का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ तैयार करेंगे।

ज्यामितीय वितरण(अंग्रेज़ी) ज्यामितीय वितरण) एक विशेष मामला है (r=1 के लिए)।

परीक्षण किए जाएं, जिनमें से प्रत्येक में केवल "सफलता" घटना ही संभाव्यता के साथ घटित हो सकती है पी या संभावना के साथ घटना "विफलता"। क्यू =1-पी().

आइए परिभाषित करें एक्स उस मुकदमे की संख्या के रूप में जिसमें यह पंजीकृत किया गया था पहला सफलता। इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्स होगा ज्यामितीय वितरण:

एमएस एक्सेल में ज्यामितीय वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से प्रारंभ करते हुए नकारात्मक द्विपद वितरणएक फ़ंक्शन NEGBINOM.DIST() है, अंग्रेजी नाम NEGBINOM.DIST() है, जो आपको घटना की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है विफलताओं की संख्याजब तक कि सफलता की एक निश्चित संभावना के लिए एक निश्चित संख्या में सफलताएँ प्राप्त नहीं हो जातीं।

के लिए ज्यामितीय वितरणइस फ़ंक्शन का दूसरा तर्क 1 होना चाहिए, क्योंकि हम केवल पहली सफलता में रुचि रखते हैं।

यह परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से थोड़ी अलग है, जो इस संभावना की गणना करती है कि पहली सफलता इसके बाद मिलेगी एक्सपरीक्षण. अंतर रेंज परिवर्तन की सीमा तक आ जाता है एक्स: यदि संभाव्यता को परीक्षणों की संख्या के संदर्भ में परिभाषित किया गया है एक्स 1 से शुरू करके मान ले सकते हैं, और यदि विफलताओं की संख्या के माध्यम से, तो 0 से शुरू कर सकते हैं। इसलिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य है: p(x_ विफलताएं)=p(x_ परीक्षण-1). सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट उदाहरण, जहां गणना के 2 तरीके दिए गए हैं।

MS EXCEL फ़ंक्शन में अपनाए गए दृष्टिकोण का उपयोग नीचे किया गया है: विफलताओं की संख्या के माध्यम से।

की गणना करना संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन p(x), उपरोक्त सूत्र देखें, आपको INTBINOM.DIST() फ़ंक्शन में चौथा तर्क FALSE पर सेट करना होगा। की गणना करना , आपको चौथा तर्क सत्य पर सेट करना होगा।

टिप्पणी : MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL में एक फ़ंक्शन INTERBINOMDIST() था जो आपको केवल गणना करने की अनुमति देता था संभावित गहराई. नमूना फ़ाइल में गणना करने के लिए INTBINOMDIST() फ़ंक्शन पर आधारित एक सूत्र शामिल है अभिन्न वितरण समारोह. परिभाषा के माध्यम से संभाव्यता की गणना करने का एक सूत्र भी है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता वितरण घनत्वऔर अभिन्न वितरण समारोह.

टिप्पणी: पी पैरामीटर के लिए सूत्र लिखने की सुविधा के लिए, ए।

टिप्पणी: समारोह में डिस्टबिनोम.जिला( ) गैर-पूर्णांक मान के साथ एक्स, . उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूत्र समान मान लौटाएंगे:
डिस्टबिनोम.जिला( 2 ; 1; 0.4; सत्य)=
डिस्टबिनोम.जिला( 2,9 ; 1; 0.4; सत्य)

कार्य

समस्या समाधान दिए गए हैं शीट पर उदाहरण फ़ाइल उदाहरण.

कार्य 1. एक तेल कंपनी तेल निकालने के लिए कुएँ खोदती है। किसी कुएं में तेल मिलने की प्रायिकता 20% है.
इसकी क्या प्रायिकता है कि तीसरे प्रयास में पहला तेल प्राप्त हो जायेगा?
इसकी क्या प्रायिकता है कि पहला तेल खोजने में तीन प्रयास लगेंगे?
समाधान1:
=इंटरबिनोम.डिस्ट(3-1, 1, 0.2, गलत)
=इंटरबिनोम.जिला(3-1, 1, 0.2, सत्य)

कार्य2. रेटिंग एजेंसी शहर में यादृच्छिक राहगीरों से उनकी पसंदीदा कार ब्रांड के बारे में सर्वेक्षण करती है। बता दें कि 1% नागरिकों के पास पसंदीदा कार है लाडाग्रांटा. इसकी क्या संभावना है कि आप 10 लोगों के सर्वेक्षण के बाद इस ब्रांड की कार के पहले प्रशंसक से मिलेंगे?
समाधान2: = OTRBINOM.DIST (10-1, 1, 0.01; सत्य)=9,56%

हम असतत यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे सामान्य कानूनों को उजागर कर सकते हैं:

• द्विपद वितरण कानून
• पॉइसन वितरण कानून
• ज्यामितीय वितरण कानून
• हाइपरज्यामितीय वितरण कानून

असतत यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण के लिए, उनके मूल्यों की संभावनाओं की गणना, साथ ही संख्यात्मक विशेषताओं (गणितीय अपेक्षा, विचरण, आदि) को कुछ "सूत्रों" के अनुसार किया जाता है। इसलिए, इस प्रकार के वितरण और उनके मूल गुणों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है।

1. द्विपद वितरण नियम.

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ द्विपद संभाव्यता वितरण के अधीन है यदि यह संभावनाओं के साथ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ मान लेता है $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. वास्तव में, यादृच्छिक चर $X$ $n$ स्वतंत्र परीक्षणों में घटना $A$ की घटनाओं की संख्या है। यादृच्छिक चर $X$ के लिए संभाव्यता वितरण कानून:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और \बिंदु और n \\
\hline
p_i और P_n\left(0\right) और P_n\left(1\right) और \dots और P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(सरणी)$

ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, अपेक्षा $M\left(X\right)=np$ है, भिन्नता $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ है।

उदाहरण . परिवार में दो बच्चे हैं। एक लड़के और एक लड़की की जन्म संभावनाओं को $0.5$ के बराबर मानते हुए, यादृच्छिक चर $\xi $ के वितरण का नियम ज्ञात करें - परिवार में लड़कों की संख्या।

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $\xi $ परिवार में लड़कों की संख्या है। वे मान जो $\xi:\ 0,\ ​​​1,\ 2$ ले सकते हैं। इन मानों की संभावनाओं को सूत्र $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) द्वारा पाया जा सकता है )$, जहां $n =2$ - स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या, $p=0.5$ - $n$ परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संभावना। हम पाते हैं:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

फिर यादृच्छिक चर $\xi $ का वितरण कानून मान $0,\ 1,\ 2$ और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार है, यानी:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
\xi और 0 और 1 और 2 \\
\hline
पी(\xi) और 0.25 और 0.5 और 0.25 \\
\hline
\end(सरणी)$

वितरण कानून में संभावनाओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए, यानी $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

उम्मीद $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, भिन्नता $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, मानक विचलन $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\लगभग $0.707.

2. पॉइसन वितरण कानून।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

टिप्पणी. इस वितरण की ख़ासियत यह है कि, प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर, हम अनुमान $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ पाते हैं, यदि प्राप्त अनुमान एक दूसरे के करीब हैं, तो हम यह दावा करने का कारण है कि यादृच्छिक चर पॉइसन वितरण कानून के अधीन है।

उदाहरण . पॉइसन वितरण कानून के अधीन यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: गैस स्टेशन द्वारा कल सर्विस की जाने वाली कारों की संख्या; निर्मित उत्पाद में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या।

उदाहरण . प्लांट ने $500$ के उत्पाद बेस को भेजे। पारगमन में उत्पाद क्षति की संभावना $0.002$ है। क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम ज्ञात करें; जो $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ के बराबर है।

मान लीजिए कि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर पैरामीटर $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ के साथ पॉइसन वितरण कानून के अधीन है। मानों की संभावनाएं $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) हैं}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 और 4 और 5 और 6 और ... और k \\
\hline
पी_आई एवं 0.368; और 0.368 और 0.184 और 0.061 और 0.015 और 0.003 और 0.001 और ... और (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(सरणी)$

ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर $\lambda $ के बराबर हैं, यानी $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. वितरण का ज्यामितीय नियम.

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल प्राकृतिक मान $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ ले सकता है $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ दाएं)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, तो हम कहते हैं कि ऐसा यादृच्छिक चर $X$ संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय कानून के अधीन है। वास्तव में, ज्यामितीय वितरण पहली सफलता के लिए बर्नौली का परीक्षण प्रतीत होता है।

उदाहरण . ज्यामितीय वितरण वाले यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; पहली विफलता से पहले डिवाइस के परीक्षणों की संख्या; पहली बार शीर्षासन करने से पहले सिक्के उछाले जाने की संख्या, इत्यादि।

एक ज्यामितीय वितरण के अधीन एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता क्रमशः $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) हैं /पी^ 2$.

उदाहरण . मछली को अंडे देने के स्थान तक ले जाने के रास्ते में $4$ का ताला लगा होता है। प्रत्येक ताले से एक मछली के गुजरने की प्रायिकता $p=3/5$ है। यादृच्छिक चर $X$ की एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें - ताले पर पहले पड़ाव से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या। $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ खोजें।

मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ स्लुइस पर पहले पड़ाव से पहले मछली द्वारा पारित स्लुइस की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय नियम के अधीन है। यादृच्छिक चर $X जो मान ले सकता है वे हैं: 1, 2, 3, 4। इन मानों की संभावनाओं की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, जहां: $ p=2/5$ - ताले से मछली पकड़े जाने की संभावना, $q=1-p=3/5$ - ताले से मछली गुजरने की संभावना, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ ओवर(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ (5) से अधिक)\cdot ((9)\ओवर (25))=((18)\ओवर (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\ओवर (5))\राइट))^4=((27)\ओवर (125))=0.216.$

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 1 और 2 और 3 और 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) और 0.4 और 0.24 और 0.144 और 0.216 \\
\hline
\end(सरणी)$

अपेक्षित मूल्य:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

फैलाव:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ बाएँ(1-2,176\दाएँ))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\दाएँ))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\दाएँ))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\लगभग 1.377.$

मानक विचलन:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\लगभग 1,173.$

4. अतिज्यामितीय वितरण नियम.

यदि $N$ ऑब्जेक्ट हैं, जिनमें से $m$ ऑब्जेक्ट में दी गई संपत्ति है। यादृच्छिक रूप से, प्रतिस्थापन के बिना, $n$ ऑब्जेक्ट निकाले जाते हैं, जिनमें से $k$ ऑब्जेक्ट होते हैं जिनमें एक दी गई संपत्ति होती है। हाइपरज्यामितीय वितरण इस संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है कि नमूने में बिल्कुल $k$ वस्तुओं में एक दी गई संपत्ति है। मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में उन वस्तुओं की संख्या है जिनमें दी गई संपत्ति है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के मानों की संभावनाएँ:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

टिप्पणी. एक्सेल $f_x$ फ़ंक्शन विज़ार्ड का HYPERGEOMET सांख्यिकीय फ़ंक्शन आपको संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित संख्या में परीक्षण सफल होंगे।

$f_x\से $ सांख्यिकीय$\से $ हाइपरजीओमेट$\से $ ठीक है. एक डायलॉग बॉक्स दिखाई देगा जिसे आपको भरना होगा। ग्राफ़ में नमूने में सफलताओं की संख्या$k$ का मान निर्दिष्ट करें. नमूने का आकार$n$ के बराबर है। ग्राफ़ में जनसंख्या_में_सफलताओं_की_संख्या$m$ का मान निर्दिष्ट करें. जनसंख्या का आकार$N$ के बराबर है।

एक ज्यामितीय वितरण कानून के अधीन एक असतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) हैं (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

उदाहरण . बैंक का क्रेडिट विभाग उच्च वित्तीय शिक्षा वाले 5 विशेषज्ञों और उच्च कानूनी शिक्षा वाले 3 विशेषज्ञों को नियुक्त करता है। बैंक के प्रबंधन ने यादृच्छिक रूप से चयन करके 3 विशेषज्ञों को उन्नत प्रशिक्षण के लिए भेजने का निर्णय लिया।

ए) उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या की एक वितरण श्रृंखला बनाएं जिन्हें उन्नत प्रशिक्षण के लिए निर्देशित किया जा सकता है;

ख) इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए।

मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ चयनित तीन में से उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या है। मान जो $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ ले सकते हैं। यह यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मापदंडों के साथ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है: $N=8$ - जनसंख्या आकार, $m=5$ - जनसंख्या में सफलताओं की संख्या, $n=3$ - नमूना आकार, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - नमूने में सफलताओं की संख्या। फिर संभावनाओं $P\left(X=k\right)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ से अधिक। हमारे पास है:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\लगभग 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\लगभग 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\लगभग 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\लगभग 0.179.$

फिर यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 \\
\hline
p_i और 0.018 और 0.268 और 0.536 और 0.179 \\
\hline
\end(सरणी)$

आइए हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के सामान्य सूत्रों का उपयोग करके यादृच्छिक चर $X$ की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें।

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\दाएं))\ओवर (8-1))=((225)\ओवर (448))\लगभग 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\लगभग 0.7085.$