वास्तविक संख्याएँ, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। अपरिमेय संख्याएँ, परिभाषा, उदाहरण कैसे सिद्ध करें कि लघुगणक अपरिमेय है

प्राचीन गणितज्ञ पहले से ही इकाई लंबाई के एक खंड के बारे में जानते थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग की भुजा की असंगतता, जो संख्या की अतार्किकता के बराबर है।

तर्कहीन हैं:

अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

2 की जड़

आइए इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम सम और है। इसे वहीं रहने दो जहां संपूर्ण है। तब

अत: सम का अर्थ सम और है। हमने पाया कि और सम हैं, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसका मतलब यह है कि मूल धारणा गलत थी, और यह एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 का द्विआधारी लघुगणक

आइए हम इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे भिन्न के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और को सकारात्मक चुना जा सकता है। तब

लेकिन सम और विषम. हमें एक विरोधाभास मिलता है.

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। .

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था, जिसने पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके यह प्रमाण पाया था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जो किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक में प्रवेश करती थी। हालाँकि, हिप्पासस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या सम और विषम दोनों होनी चाहिए। प्रमाण इस तरह दिखता था:

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ एऔर बीजितना संभव हो उतना छोटा चुना गया।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए² = 2 बी².
क्योंकि ए- यहां तक की, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
क्योंकि ए:बीअलघुकरणीय बीअजीब होना चाहिए.
क्योंकि एयहां तक कि, हम निरूपित करते हैं ए = 2य.
तब ए² = 4 य² = 2 बी².
बी² = 2 य², इसलिए बी- फिर भी बीयहां तक की।
हालाँकि, यह बात सिद्ध हो चुकी है बीविषम। विरोधाभास।

यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

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कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं? अपरिमेय संख्याएक परिमेय वास्तविक संख्या नहीं है, अर्थात इसे भिन्न के रूप में (दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में) प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है एम- पूर्णांक, एन- प्राकृतिक संख्या । अपरिमेय संख्याइसे अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याइसका कोई सटीक अर्थ नहीं हो सकता. केवल प्रारूप 3.333333 में... उदाहरण के लिए, दो का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है।

कौन सी संख्या अपरिमेय है? अपरिमेय संख्या(तर्कसंगत के विपरीत) को अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न कहा जाता है।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चयअक्सर छायांकन के बिना बोल्ड शैली में बड़े लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। वह।:

वे। अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं के गुण.

2 गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या हो सकता है।
अपरिमेय संख्याएँ तर्कसंगत संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कटौती को परिभाषित करती हैं, जिसके निचले वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है, और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजगणितीय या पारलौकिक हैं।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या रेखा पर हर जगह सघन होता है: संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय के समरूपी होता है।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत है और दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।
परिमेय संख्याओं (0 से विभाजन को छोड़कर) के साथ प्रत्येक अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम एक परिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं का परिणाम या तो परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकता है।
एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग सदैव एक अपरिमेय संख्या ही होगा।
अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या हो सकता है। उदाहरण के लिए,होने देना एक्सफिर तर्कहीन y=x*(-1)तर्कहीन भी; x+y=0,और संख्या 0 परिमेय (उदाहरण के लिए, यदि हम 7 की किसी भी घात के मूल को जोड़ते हैं और सात की उसी घात के मूल को घटाते हैं, तो हमें परिमेय संख्या 0 प्राप्त होती है)।

अपरिमेय संख्याएँ, उदाहरण.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — इ — π — δ

बीजगणित में मानी जाने वाली सभी संक्रियाएँ परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में संभव नहीं हैं। एक उदाहरण वर्गमूल संक्रिया है. इसलिए, यदि समानता के मानों के लिए है, तो समानता किसी भी तर्कसंगत मूल्य के लिए मान्य नहीं है। आइए इसे साबित करें। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि एक पूर्णांक का वर्ग 2 के बराबर नहीं हो सकता: क्योंकि हमारे पास और निश्चित रूप से 2 से बड़ा है। आइए अब मान लें कि भिन्न है: (अंश को अपरिवर्तनीय माना जाता है) और

इसलिए हमारे पास एक सम संख्या होनी चाहिए (अन्यथा वर्ग सम नहीं होगा)। चलिए डालते हैं.

अब यह पता चला है कि यह सम है, जो इस धारणा का खंडन करता है कि अंश अपरिवर्तनीय है

इससे पता चलता है कि परिमेय संख्याओं के दायरे में संख्या 2 का वर्गमूल नहीं हो सकता, परिमेय संख्याओं के दायरे में प्रतीक का कोई अर्थ नहीं है। इस बीच, कार्य: "एक वर्ग की भुजा ज्ञात करें, यह जानते हुए कि इसका क्षेत्रफल S के बराबर है" उतना ही स्वाभाविक है जितना कि। इससे और अन्य समान कठिनाइयों से बाहर निकलने का तरीका संख्या की अवधारणा का और विस्तार करना है, परिचय देना है एक नये प्रकार की संख्याएँ - अपरिमेय संख्याएँ।

आइए दिखाते हैं कि संख्या 2 का वर्गमूल निकालने की समस्या के उदाहरण का उपयोग करके अपरिमेय संख्याओं का परिचय कैसे दिया जाए; सरलता के लिए, हम स्वयं को मूल के सकारात्मक मान तक सीमित रखेंगे।

प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या के लिए, असमानताओं में से एक या स्पष्ट रूप से,। फिर हम संख्याओं पर विचार करते हैं और उनमें से दो पड़ोसी संख्याओं को इस गुण के साथ ढूंढते हैं कि पहले का वर्ग दो से छोटा है, और दूसरे का वर्ग दो से बड़ा है। अर्थात्, इसी तरह, इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम असमानताओं की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं (यहां लिखे दशमलव अंशों को प्राप्त करने के लिए, आप अनुमानित वर्गमूल निष्कर्षण के लिए प्रसिद्ध एल्गोरिदम का भी उपयोग कर सकते हैं, चरण 13):

पहले संपूर्ण भागों की, और फिर परिमेय संख्याओं के दशमलव बिंदु के बाद के पहले, दूसरे, तीसरे आदि अंकों की तुलना करके, जिनके वर्गों के बीच 2 है, हम क्रमिक रूप से इन दशमलव स्थानों को लिख सकते हैं:

परिमेय संख्याओं (परिमित दशमलव अंशों के रूप में व्यक्त) के जोड़े खोजने की प्रक्रिया जो m को बढ़ाकर एक दूसरे से भिन्न होती है, अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इसलिए, हम भिन्न (6.1) को एक अनंत दशमलव भिन्न (गैर-आवधिक, क्योंकि यदि आवर्त होता तो यह एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता) के रूप में विचार कर सकते हैं।

यह अनंत गैर-आवधिक अंश, दशमलव स्थानों की कोई भी संख्या जिसे हम लिख सकते हैं, लेकिन जिसके लिए सभी संकेतों को एक ही समय में लिखना असंभव है, को (यानी, एक संख्या जिसका वर्ग) के बराबर संख्या के रूप में लिया जाता है 2 के बराबर है)।

हम दो के वर्गमूल के ऋणात्मक मान को इस प्रकार निरूपित करते हैं

या, प्रपत्र में संख्याओं को लिखने के कृत्रिम रूप का उपयोग करना

आइए अब निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करें: एक अपरिमेय संख्या कोई भी अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है

जहां a संख्या का निर्माणकारी भाग है (यह धनात्मक, शून्य के बराबर या ऋणात्मक हो सकता है), और इसके भिन्नात्मक भाग के दशमलव स्थान (अंक) हैं।

एक अनंत गैर-आवधिक अंश द्वारा परिभाषित एक अपरिमेय संख्या परिमित दशमलव अंशों के दो अनुक्रमों को परिभाषित करती है, जिन्हें कमी और अधिकता से दशमलव सन्निकटन कहा जाता है:

उदाहरण के लिए, हम लिखते हैं

आदि। यहां, उदाहरण के लिए, 1.41 कमी के लिए 0.01 की सटीकता के साथ एक दशमलव अनुमान है, और अधिकता के लिए 1.42 है।

एक अपरिमेय संख्या और उसके दशमलव सन्निकटन के बीच असमानताओं की रिकॉर्डिंग एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा की परिभाषा में शामिल है और इसका उपयोग अपरिमेय संख्याओं के लिए "से अधिक" और "से कम" संबंधों को निर्धारित करने के आधार के रूप में किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं को उनके तेजी से सटीक दशमलव सन्निकटन द्वारा दर्शाने की संभावना भी अपरिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं की परिभाषा को रेखांकित करती है, जो वास्तव में कमी या अधिकता द्वारा उनके अपरिमेय सन्निकटन पर निष्पादित की जाती हैं।

कई क्रियाएं अपरिमेय संख्याओं की ओर ले जाती हैं, जैसे किसी परिमेय संख्या से घात का मूल निकालने की क्रिया (यदि यह किसी अन्य परिमेय संख्या की घात का प्रतिनिधित्व नहीं करती है), लघुगणक, आदि। एक अपरिमेय संख्या अनुपात के बराबर होती है एक वृत्त की परिधि से उसके व्यास तक (आइटम 229)।

सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का समूह बनाती हैं। इस प्रकार, प्रत्येक दशमलव अंश, परिमित या अनंत (आवधिक या गैर-आवधिक), हमेशा एक वास्तविक संख्या निर्धारित करता है।

शून्य के अलावा प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो धनात्मक या ऋणात्मक होती है।

इस संबंध में, आइए निम्नलिखित परिभाषा को याद करें। किसी वास्तविक संख्या a का निरपेक्ष मान या मापांक, समानता a if द्वारा निर्धारित एक संख्या है

इस प्रकार, एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक स्वयं उस संख्या (समानता की शीर्ष रेखा) के बराबर होता है; एक ऋणात्मक संख्या का मापांक विपरीत चिह्न (नीचे की रेखा) से ली गई इस संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए,

मापांक की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है; यदि किसी संख्या का मापांक शून्य के बराबर है, तो वह संख्या स्वयं शून्य के बराबर है; अन्य मामलों में, मापांक सकारात्मक है।

वास्तविक संख्याएँ एक संख्या क्षेत्र बनाती हैं - वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र: वास्तविक संख्याओं पर तर्कसंगत संचालन का परिणाम फिर से एक वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। ध्यान दें कि अलग-अलग ली गई अपरिमेय संख्याएँ न तो फ़ील्ड बनाती हैं और न ही कोई रिंग बनाती हैं: उदाहरण के लिए, दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय संख्या 3 के बराबर होता है।

योजना के अनुसार निर्मित संख्या की अवधारणा के विकास की हमारी संक्षिप्त रूपरेखा

हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के सबसे महत्वपूर्ण गुणों को इंगित करके निष्कर्ष निकालेंगे।

1. वास्तविक संख्याएँ एक फ़ील्ड बनाती हैं।

2. वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ सामान्य कानूनों के अधीन होती हैं (उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणन - क्रमविनिमेयता, साहचर्यता, वितरणशीलता के नियम, पैराग्राफ 1)।

3. किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, तीन संबंधों में से केवल एक ही मान्य है: a, b से बड़ा है (a > b), और से कम है, और इसके बराबर है। इसलिए, वे कहते हैं कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय क्रमबद्ध है।

4. अंत में, यह कहने की प्रथा है कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में निरंतरता का गुण होता है। इस अभिव्यक्ति को दिया गया अर्थ अनुच्छेद 8 में समझाया गया है। यह वह गुण है जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र को तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र से महत्वपूर्ण रूप से अलग करता है।

पूर्णांकों

गिनती में प्रयुक्त संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, $1,2,3$, आदि। प्राकृतिक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं का समूह बनाती हैं, जिन्हें $N$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह पदनाम लैटिन शब्द से आया है प्राकृतिक-प्राकृतिक।

विपरीत संख्याएँ

परिभाषा 1

यदि दो संख्याएँ केवल चिन्हों में भिन्न हों तो उन्हें गणित में कहा जाता है विपरीत संख्याएँ.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ $5$ और $-5$ विपरीत संख्याएँ हैं, क्योंकि वे केवल संकेतों में भिन्न हैं।

नोट 1

किसी भी संख्या के लिए एक विपरीत संख्या होती है, और केवल एक।

नोट 2

शून्य संख्या स्वयं के विपरीत है।

पूर्ण संख्याएं

परिभाषा 2

साबुतसंख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत और शून्य हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं और उनके विपरीत संख्याओं का समुच्चय शामिल होता है।

पूर्णांकों को निरूपित करें $Z.$

भिन्नात्मक संख्याएँ

$\frac(m)(n)$ रूप की संख्याओं को भिन्न या आंशिक संख्या कहा जाता है। भिन्नात्मक संख्याओं को दशमलव रूप में भी लिखा जा सकता है, अर्थात्। दशमलव भिन्न के रूप में.

उदाहरण के लिए: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ आदि।

पूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्नात्मक संख्याएँ भी धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं।

भिन्नात्मक संख्याएं

परिभाषा 3

भिन्नात्मक संख्याएंसंख्याओं का एक समूह है जिसमें पूर्णांकों और भिन्नों का एक समूह होता है।

किसी भी परिमेय संख्या, दोनों पूर्णांक और भिन्नात्मक, को भिन्न $\frac(a)(b)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $a$ एक पूर्णांक है और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है।

इस प्रकार, एक ही परिमेय संख्या को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

इससे पता चलता है कि किसी भी परिमेय संख्या को एक परिमित दशमलव अंश या अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $Q$ से दर्शाया जाता है।

परिमेय संख्याओं पर कोई अंकगणितीय संक्रिया करने के परिणामस्वरूप, परिणामी उत्तर एक परिमेय संख्या होगी। यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य के कारण कि साधारण भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने पर, आपको एक साधारण भिन्न प्राप्त होता है

तर्कहीन संख्या

गणित पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय, आपको अक्सर उन संख्याओं से जूझना पड़ता है जो तर्कसंगत नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याओं के अलावा अन्य संख्याओं के समूह के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए, आइए समीकरण $x^2=6$ को हल करें। इस समीकरण की जड़ें $\surd 6$ और -$\surd 6$ संख्याएं होंगी। . ये संख्याएँ तर्कसंगत नहीं होंगी.

साथ ही, $3$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण ज्ञात करते समय, हम पायथागॉरियन प्रमेय लागू करते हैं और पाते हैं कि विकर्ण $\surd 18$ के बराबर होगा। यह संख्या भी तर्कसंगत नहीं है.

ऐसे नंबरों को कहा जाता है तर्कहीन.

तो, एक अपरिमेय संख्या एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है।

अक्सर सामने आने वाली अपरिमेय संख्याओं में से एक संख्या $\pi $ है

अपरिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करते समय, परिणामी परिणाम या तो परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकता है।

आइए अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इसे सिद्ध करें। पता लगाते हैं:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

निर्णय से

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

यह उदाहरण दर्शाता है कि परिणाम या तो एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या हो सकता है।

यदि परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ एक ही समय में अंकगणितीय संक्रियाओं में शामिल होती हैं, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होगी (बेशक, $0$ से गुणा को छोड़कर)।