मैं = ∑r मैं 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

सिद्धांत रूप में, परिभाषा और इसका वर्णन करने वाला सूत्र दोनों ही जटिल नहीं हैं और सार को समझने की तुलना में उन्हें याद रखना बहुत आसान है। लेकिन फिर भी, आइए यह जानने का प्रयास करें कि जड़ता का क्षण क्या है और यह कहां से आता है।

जड़ता के क्षण की अवधारणा भौतिक विज्ञान की एक अन्य शाखा से सामग्री और संरचनात्मक यांत्रिकी की शक्ति में आई, जो विशेष रूप से घूर्णी गति में गति की गतिकी का अध्ययन करती है। लेकिन चलो फिर भी दूर से शुरुआत करें।

मैं निश्चित रूप से नहीं जानता कि एक सेब आइजैक न्यूटन के सिर पर गिरा या नहीं, क्या वह पास में गिरा, या क्या वह बिल्कुल नहीं गिरा; संभाव्यता का सिद्धांत इन सभी विकल्पों की अनुमति देता है (इसके अलावा, इस सेब में बहुत कुछ है) ज्ञान के वृक्ष के बारे में बाइबिल की किंवदंती से), लेकिन मुझे यकीन है कि न्यूटन एक पर्यवेक्षक व्यक्ति था, जो अपनी टिप्पणियों से निष्कर्ष निकालने में सक्षम था। इस प्रकार, अवलोकन और कल्पना ने न्यूटन को गतिकी का मौलिक नियम (न्यूटन का दूसरा नियम) तैयार करने की अनुमति दी, जिसके अनुसार किसी पिंड का द्रव्यमान एम, त्वरण से गुणा किया गया ए, अभिनय बल के बराबर है क्यू(वास्तव में, पदनाम एफ बल के लिए अधिक सामान्य है, लेकिन आगे से हम क्षेत्र से निपटेंगे, जिसे अक्सर एफ के रूप में भी दर्शाया जाता है, मैं बाहरी बल के लिए पदनाम क्यू का उपयोग करता हूं, जिसे सैद्धांतिक यांत्रिकी में एक केंद्रित भार के रूप में माना जाता है, वास्तव में यह नहीं बदलता है):

क्यू = मा (1.2)

मेरे लिए, न्यूटन की महानता इस परिभाषा की सरलता और स्पष्टता में निहित है। और साथ ही, यदि हम इस बात को ध्यान में रखें कि समान रूप से त्वरित गति के साथ, त्वरण एगति वृद्धि अनुपात के बराबर ΔVसमय की एक अवधि के लिए Δt, जिसके दौरान गति बदल गई:

ए = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)

V o = 0 पर ए = वी/टी (1.3.2)

तब आप गति के बुनियादी मापदंडों, जैसे दूरी, गति, समय और यहां तक ​​कि गति को भी निर्धारित कर सकते हैं आर, गति की मात्रा का वर्णन:

पी = एमवी (1.4)

उदाहरण के लिए, अकेले गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में विभिन्न ऊंचाइयों से गिरने वाले सेब को जमीन तक पहुंचने में अलग-अलग समय लगेगा, लैंडिंग के समय उसकी गति अलग होगी और तदनुसार गति भी अलग होगी। दूसरे शब्दों में, अधिक ऊंचाई से गिरने वाला सेब उड़ने में अधिक समय लेगा और बदकिस्मत प्रेक्षक के माथे पर अधिक जोर से टूटेगा। और न्यूटन ने इस सब को एक सरल और समझने योग्य सूत्र में बदल दिया।

न्यूटन ने जड़त्व का नियम (न्यूटन का पहला नियम) भी तैयार किया: यदि त्वरण ए = 0, तो एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में यह निर्धारित करना असंभव है कि क्या मनाया गया शरीर, जिस पर बाहरी बलों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है, आराम की स्थिति में है या एक स्थिर गति से एक सीधी रेखा में घूम रहा है। भौतिक पिंडों की अपनी गति, यहां तक ​​कि शून्य भी बनाए रखने की इस संपत्ति को जड़त्व कहा जाता है। जड़त्व का माप पिंड का जड़त्व द्रव्यमान है। कभी-कभी जड़ द्रव्यमान को निष्क्रिय कहा जाता है, लेकिन इससे पदार्थ का सार नहीं बदलता है। ऐसा माना जाता है कि जड़त्वीय द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के बराबर होता है और इसलिए अक्सर यह निर्दिष्ट नहीं किया जाता है कि किस द्रव्यमान का मतलब है, बल्कि केवल पिंड के द्रव्यमान का उल्लेख किया जाता है।

न्यूटन का तीसरा नियम भी कम महत्वपूर्ण और सार्थक नहीं है, जिसके अनुसार यदि बलों को एक सीधी रेखा में, लेकिन विपरीत दिशाओं में निर्देशित किया जाता है, तो क्रिया बल प्रतिक्रिया बल के बराबर होता है। अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, न्यूटन का यह निष्कर्ष शानदार है और इस नियम के महत्व को कम करके आंकना मुश्किल है। इस कानून के अनुप्रयोगों में से एक पर नीचे चर्चा की गई है।

हालाँकि, ये प्रावधान केवल अनुवादात्मक रूप से आगे बढ़ने वाले निकायों के लिए मान्य हैं, अर्थात। एक सीधे रास्ते पर और एक ही समय में ऐसे पिंडों के सभी भौतिक बिंदु समान गति या समान त्वरण के साथ चलते हैं। वक्रीय गति के दौरान और विशेष रूप से घूर्णी गति के दौरान, उदाहरण के लिए, जब कोई पिंड अपनी समरूपता की धुरी के चारों ओर घूमता है, तो ऐसे पिंड के भौतिक बिंदु समान कोणीय वेग के साथ अंतरिक्ष में चलते हैं डब्ल्यू, लेकिन साथ ही रैखिक गति भी वीअलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग मान होंगे और यह रैखिक गति दूरी के सीधे आनुपातिक है आरघूर्णन अक्ष से इस बिंदु तक:

v=wr (1.5)

इस मामले में, कोणीय वेग घूर्णन कोण की वृद्धि के अनुपात के बराबर है Δφ समय की एक अवधि के लिए Δt, जिसके लिए घूर्णन का कोण बदल गया है:

w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)

φ o = 0 पर डब्ल्यू = φ/टी (1.7.2)

तदनुसार सामान्य त्वरण और nघूर्णी गति के दौरान यह इसके बराबर है:

ए एन = वी 2 /आर = डब्ल्यू 2 आर (1.8)

और यह पता चला है कि घूर्णी गति के लिए हम सीधे सूत्र (1.2) का उपयोग नहीं कर सकते हैं, क्योंकि घूर्णी गति में अकेले शरीर के द्रव्यमान का मूल्य पर्याप्त नहीं है; हमें शरीर में इस द्रव्यमान के वितरण को भी जानना होगा। इससे पता चलता है कि पिंड के भौतिक बिंदु घूर्णन अक्ष के जितने करीब होंगे, पिंड को घुमाने के लिए उतना ही कम बल लगाना होगा, और इसके विपरीत, पिंड के भौतिक बिंदु घूर्णन अक्ष से उतने ही दूर होंगे, पिंड को घूमने के लिए मजबूर करने के लिए उतना ही अधिक बल लगाना होगा (इस मामले में हम उसी बिंदु पर बल लगाने के बारे में बात कर रहे हैं)। इसके अलावा, किसी पिंड को घुमाते समय, अभिनय बल नहीं, बल्कि टॉर्क पर विचार करना अधिक सुविधाजनक होता है, क्योंकि घूर्णी गति के दौरान बल के अनुप्रयोग का बिंदु भी बहुत महत्वपूर्ण होता है।

टॉर्क के अद्भुत गुण हमें आर्किमिडीज़ के समय से ज्ञात हैं, और यदि हम टॉर्क की अवधारणा को घूर्णी गति पर लागू करते हैं, तो टॉर्क का अर्थ एमदूरी जितनी अधिक होगी उतनी अधिक होगी आरघूर्णन के अक्ष से बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक एफ(संरचनात्मक यांत्रिकी में, एक बाहरी बल को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है आरया क्यू):

एम = क्यूआर (1.9)

यह भी बहुत जटिल सूत्र नहीं है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि घूर्णन अक्ष के अनुदिश कोई बल लगाया जाता है, तो कोई घूर्णन नहीं होगा, क्योंकि r = 0, और यदि बल घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी पर लगाया जाता है, तो क्षण का मान अधिकतम होगा. और यदि हम सूत्र (1.9) में सूत्र (1.2) से बल का मान और सामान्य त्वरण और सूत्र (1.8) का मान प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

एम = एमडब्ल्यू 2 आर आर = एमडब्ल्यू 2 आर 2 (1.10)

विशेष मामले में जब पिंड एक भौतिक बिंदु है जिसका आयाम इस बिंदु से घूर्णन अक्ष की दूरी से बहुत छोटा है, तो समीकरण (1.10) अपने शुद्ध रूप में लागू होता है। हालाँकि, समरूपता के अपने अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए, इस शरीर को बनाने वाले प्रत्येक भौतिक बिंदु से दूरी हमेशा शरीर के ज्यामितीय आयामों में से एक से कम होती है और इसलिए शरीर के द्रव्यमान का वितरण बहुत महत्वपूर्ण है, इस मामले में प्रत्येक बिंदु के लिए इन दूरियों को अलग से ध्यान में रखना आवश्यक है:

एम = ∑आर आई 2 डब्ल्यू 2 एम मैं (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 डीएम

और फिर यह पता चलता है कि, न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, टोक़ की कार्रवाई के जवाब में, जड़ता का तथाकथित क्षण उत्पन्न होगा मैं. इस मामले में, टोक़ और जड़ता के क्षण का मान बराबर होगा, और क्षण स्वयं विपरीत दिशाओं में निर्देशित होंगे। घूर्णन के निरंतर कोणीय वेग पर, उदाहरण के लिए w = 1, जड़ता के टॉर्क या क्षण को दर्शाने वाली मुख्य मात्रा शरीर को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं का द्रव्यमान और इन बिंदुओं से रोटेशन की धुरी तक की दूरी होगी। परिणामस्वरूप, जड़ता के क्षण का सूत्र निम्नलिखित रूप लेगा:

[- एम] = आई = ∑आर आई 2 मीटर मैं (1.12.1)

मैं सी = ∫r 2 डीएम(1.11.2) - जब शरीर समरूपता के अक्ष के चारों ओर घूमता है

कहाँ मैं- जड़ता के क्षण के लिए आम तौर पर स्वीकृत पदनाम, मैं सी- शरीर की जड़ता के अक्षीय क्षण का पदनाम, किग्रा/मी 2। समान घनत्व वाले सजातीय पिंड के लिए ρ पूरे शरीर में वीकिसी पिंड के जड़त्व के अक्षीय आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:

मैं सी = ∫ρr 2 डीवी (1.13)

इस प्रकार, जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का एक माप है, जैसे द्रव्यमान अनुवादात्मक सीधी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का एक माप है।

चक्र पूरा हो गया है. और यहां यह सवाल उठ सकता है कि गतिकी और गतिकी के इन सभी नियमों का स्थैतिक भवन संरचनाओं की गणना से क्या लेना-देना है? यह पता चला है कि दोनों में से कोई भी सबसे प्रत्यक्ष और तत्काल चीज़ नहीं है। सबसे पहले, क्योंकि ये सभी सूत्र भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा उन दूर के समय में प्राप्त किए गए थे जब "सैद्धांतिक यांत्रिकी" या "सामग्री की ताकत का सिद्धांत" जैसे अनुशासन मौजूद नहीं थे। और दूसरी बात, क्योंकि भवन संरचनाओं की पूरी गणना संकेतित कानूनों और फॉर्मूलेशन और उस कथन पर आधारित है जिसका गुरुत्वाकर्षण और जड़त्वीय द्रव्यमान की समानता के बारे में अभी तक किसी ने खंडन नहीं किया है। लेकिन सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत में सब कुछ अभी भी सरल है, चाहे यह कितना भी विरोधाभासी क्यों न लगे।

और यह सरल है क्योंकि कुछ समस्याओं को हल करते समय, पूरे शरीर पर विचार नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल इसके क्रॉस सेक्शन और, यदि आवश्यक हो, तो कई क्रॉस सेक्शन पर विचार किया जा सकता है। लेकिन इन वर्गों में समान भौतिक शक्तियाँ कार्य करती हैं, भले ही उनकी प्रकृति थोड़ी भिन्न हो। इस प्रकार, यदि हम एक निश्चित पिंड पर विचार करते हैं जिसकी लंबाई स्थिर है, और शरीर स्वयं सजातीय है, तो यदि हम स्थिर मापदंडों - लंबाई और घनत्व को ध्यान में नहीं रखते हैं ( एल = स्थिरांक, ρ = स्थिरांक) - हमें एक क्रॉस-सेक्शनल मॉडल मिलता है। ऐसे क्रॉस सेक्शन के लिए, गणितीय दृष्टिकोण से, निम्नलिखित समीकरण मान्य होगा:

मैं р = ∫r 2 डीएफ (2.1) → (1.1)

कहाँ आईपी- क्रॉस सेक्शन की जड़ता का ध्रुवीय क्षण, एम 4। परिणामस्वरूप, हमें वह सूत्र प्राप्त हुआ जिसके साथ हमने शुरुआत की थी (लेकिन क्या यह स्पष्ट हो गया है कि किसी खंड की जड़ता का क्षण क्या है, मुझे नहीं पता)।

चूंकि सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत में अक्सर आयताकार खंडों पर विचार किया जाता है, और आयताकार समन्वय प्रणाली अधिक सुविधाजनक होती है, समस्याओं को हल करते समय, क्रॉस सेक्शन की जड़ता के दो अक्षीय क्षणों पर आमतौर पर विचार किया जाता है:

मैं z = ∫y 2 dF (2.2.1)

मैं y = ∫z 2 dF (2.2.2)

चित्र 1. जड़ता के अक्षीय क्षणों का निर्धारण करते समय मूल्यों का समन्वय करें।

यहां यह प्रश्न उठ सकता है कि कुल्हाड़ियों का प्रयोग क्यों किया जाता है जेडऔर पर, और अधिक परिचित वाले नहीं एक्सऔर पर? ऐसा ही होता है कि एक क्रॉस सेक्शन में बलों का निर्धारण करना और एक ऐसे सेक्शन का चयन करना जो लागू बलों के बराबर परिचालन तनाव का सामना कर सके, दो अलग-अलग कार्य हैं। पहला कार्य - बलों का निर्धारण - संरचनात्मक यांत्रिकी द्वारा हल किया जाता है, दूसरा कार्य - क्रॉस-सेक्शन का चयन - सामग्री की ताकत के सिद्धांत द्वारा हल किया जाता है। उसी समय, संरचनात्मक यांत्रिकी में, सरल समस्याओं को हल करते समय, अक्सर एक निश्चित लंबाई वाली एक छड़ (रेक्टिलिनियर संरचनाओं के लिए) पर विचार किया जाता है एल, और अनुभाग की ऊंचाई और चौड़ाई को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जबकि इसे अक्ष माना जाता है एक्ससटीक रूप से सभी क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से होकर गुजरता है और इस प्रकार, आरेख (कभी-कभी काफी जटिल) बनाते समय, लंबाई एलयह अक्ष के अनुदिश सटीक रूप से जमा होता है एक्स, और अक्ष के अनुदिश परप्लॉट मान प्लॉट किए गए हैं। साथ ही, सामग्रियों की ताकत का सिद्धांत सटीक रूप से क्रॉस सेक्शन पर विचार करता है, जिसके लिए चौड़ाई और ऊंचाई महत्वपूर्ण होती है, और लंबाई को ध्यान में नहीं रखा जाता है। बेशक, सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत में समस्याओं को हल करते समय, जो कभी-कभी काफी जटिल भी होती हैं, वही परिचित कुल्हाड़ियों का उपयोग किया जाता है एक्सऔर पर. यह स्थिति मुझे पूरी तरह से सही नहीं लगती, क्योंकि अंतर के बावजूद, ये अभी भी संबंधित कार्य हैं और इसलिए गणना की जा रही संरचना के लिए सामान्य अक्षों का उपयोग करना अधिक उपयुक्त होगा।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में जड़त्व के ध्रुवीय क्षण का मान होगा:

मैं р = ∫r 2 डीएफ =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

चूँकि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है, और जैसा कि आप जानते हैं, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। और क्रॉस सेक्शन की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण की अवधारणा भी है:

मैं xz = ∫xzdF(2.4)

क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली आयताकार समन्वय प्रणाली की अक्षों के बीच, दो परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं, जिनके सापेक्ष जड़ता के अक्षीय क्षण अधिकतम और न्यूनतम मान लेते हैं, जबकि जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण अनुभाग मैं ज़ी = 0. ऐसे अक्षों को क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्ष कहा जाता है, और ऐसे अक्षों के बारे में जड़ता के क्षणों को जड़त्व के मुख्य केंद्रीय क्षण कहा जाता है

जब हम सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत में जड़ता के क्षणों के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब आमतौर पर क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणों से होता है। वर्गाकार, आयताकार, वृत्ताकार खंडों के लिए, मुख्य अक्ष समरूपता के अक्षों के साथ मेल खाएंगे। जड़त्व के क्रॉस-सेक्शनल क्षणों को जड़त्व के ज्यामितीय क्षण या जड़त्व के क्षेत्र क्षण भी कहा जाता है, लेकिन सार वही रहता है।

सिद्धांत रूप में, सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों - वर्ग, आयत, वृत्त, पाइप, त्रिकोण और कुछ अन्य के क्रॉस सेक्शन के लिए जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणों के मूल्यों को निर्धारित करने की कोई बड़ी आवश्यकता नहीं है। जड़ता के ऐसे क्षणों को लंबे समय से परिभाषित और व्यापक रूप से जाना जाता है। और जटिल ज्यामितीय आकृतियों के वर्गों के लिए जड़ता के अक्षीय क्षणों की गणना करते समय, ह्यूजेंस-स्टाइनर प्रमेय मान्य है:

मैं = मैं सी + आर 2 एफ (2.5)

इस प्रकार, यदि एक जटिल खंड बनाने वाली सरल ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ज्ञात हैं, तो पूरे खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण का मूल्य निर्धारित करना मुश्किल नहीं होगा। और किसी जटिल खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के लिए, क्रॉस सेक्शन के स्थिर क्षणों का उपयोग किया जाता है। स्थैतिक क्षणों पर एक अन्य लेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है, मैं बस इसे यहां जोड़ूंगा। स्थैतिक क्षण का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: किसी पिंड का स्थैतिक क्षण शरीर को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं के क्षणों का योग है, किसी बिंदु (ध्रुवीय स्थैतिक क्षण) के सापेक्ष या किसी अक्ष (अक्षीय स्थैतिक क्षण) के सापेक्ष ), और चूंकि क्षण बल और भुजा (1.9) का गुणनफल है, तो शरीर का स्थिर क्षण तदनुसार निर्धारित किया जाता है:

एस = ∑एम = ∑आर मैंएम मैं= ∫rdm (2.6)

और फिर क्रॉस सेक्शन का ध्रुवीय स्थैतिक क्षण होगा:

एस р = ∫rdF (2.7)

जैसा कि आप देख सकते हैं, स्थैतिक क्षण की परिभाषा जड़त्व क्षण की परिभाषा के समान है। लेकिन एक बुनियादी अंतर है. स्थैतिक क्षण को स्थैतिक कहा जाता है क्योंकि जिस पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, उसके लिए स्थैतिक क्षण गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष शून्य के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर समर्थन लगाया जाता है तो ऐसा शरीर संतुलन की स्थिति में होता है। और न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, ऐसा पिंड या तो आराम की स्थिति में है या स्थिर गति से चल रहा है, यानी। त्वरण = 0. और विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, स्थैतिक टोक़ शून्य के बराबर हो सकता है इस साधारण कारण से कि स्थैतिक टोक़ का निर्धारण करते समय, टोक़ की कार्रवाई की दिशा को ध्यान में रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आयत के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष, आयत के ऊपरी भाग और निचले हिस्से का क्षेत्रफल सकारात्मक होगा क्योंकि वे एक दिशा में कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का प्रतीक हैं। इस मामले में, अक्ष से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी को सकारात्मक माना जा सकता है (सशर्त: आयत के ऊपरी भाग के गुरुत्वाकर्षण बल से क्षण खंड को दक्षिणावर्त घुमाने की कोशिश करता है), और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक निचला हिस्सा - नकारात्मक के रूप में (सशर्त: आयत के निचले हिस्से के गुरुत्वाकर्षण बल से पल खंड को वामावर्त घुमाने की कोशिश करता है)। और चूंकि ऐसे क्षेत्र संख्यात्मक रूप से बराबर हैं और आयत के ऊपरी हिस्से और आयत के निचले हिस्से के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों से दूरी के बराबर हैं, तो अभिनय क्षणों का योग वांछित 0 होगा।

एस जेड = ∫ydF = 0 (2.8)

यह महान शून्य भवन संरचनाओं की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना भी संभव बनाता है। यदि हम एक इमारत संरचना पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु पर एक केंद्रित भार क्यू लगाया जाता है, तो ऐसी इमारत संरचना को बल के आवेदन के बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ एक शरीर के रूप में माना जा सकता है, और इस मामले में समर्थन प्रतिक्रियाओं को समर्थन के बिंदुओं पर लागू बल के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, संकेंद्रित भार Q का मान और भार के अनुप्रयोग के बिंदु से भवन संरचना के समर्थन तक की दूरी को जानकर, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना संभव है। उदाहरण के लिए, दो समर्थनों पर बस समर्थित बीम के लिए, समर्थन प्रतिक्रियाओं का मूल्य बल के आवेदन के बिंदु की दूरी के समानुपाती होगा, और समर्थन प्रतिक्रियाओं का योग लागू भार के बराबर होगा। लेकिन एक नियम के रूप में, समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करते समय, वे और भी सरलता से आगे बढ़ते हैं: समर्थनों में से एक को गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के रूप में लिया जाता है, और फिर लागू भार और शेष समर्थन प्रतिक्रियाओं से क्षणों का योग अभी भी शून्य के बराबर होता है। इस मामले में, समर्थन प्रतिक्रिया से वह क्षण जिसके संबंध में क्षण समीकरण संकलित किया गया है, शून्य के बराबर है, क्योंकि बल की भुजा = 0, जिसका अर्थ है कि क्षणों के योग में केवल दो बल बचे हैं: लागू भार और अज्ञात समर्थन प्रतिक्रिया (सांख्यिकीय रूप से निर्धारित संरचनाओं के लिए)।

इस प्रकार, स्थैतिक क्षण और जड़ता के क्षण के बीच मूलभूत अंतर यह है कि स्थैतिक क्षण उस खंड की विशेषता है, जिसे गुरुत्वाकर्षण बल गुरुत्वाकर्षण के केंद्र या समरूपता की धुरी के सापेक्ष आधे में तोड़ने की कोशिश कर रहा है, और का क्षण जड़ता शरीर की विशेषता है, जिसके सभी भौतिक बिंदु गतिमान हैं (या एक दिशा में जाने की कोशिश कर रहे हैं)। शायद एक आयताकार खंड के लिए निम्नलिखित पारंपरिक गणना योजनाएं इस अंतर की अधिक स्पष्ट रूप से कल्पना करने में मदद करेंगी:

चित्र 2. स्थैतिक क्षण और जड़त्व क्षण के बीच स्पष्ट अंतर।

आइए अब एक बार फिर गति की गतिकी पर लौटते हैं। यदि हम भवन संरचनाओं के क्रॉस सेक्शन और विभिन्न प्रकार के आंदोलन में उत्पन्न होने वाले तनावों के बीच समानताएं बनाते हैं, तो केंद्रीय रूप से फैलाए गए और केंद्रीय रूप से संपीड़ित तत्वों में तनाव उत्पन्न होता है जो पूरे क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र पर समान होते हैं। इन तनावों की तुलना किसी पिंड पर किसी बल की कार्रवाई से की जा सकती है, जिसमें शरीर सीधी और उत्तरोत्तर गति करेगा। और सबसे दिलचस्प बात यह है कि केंद्रीय रूप से फैलाए गए या केंद्रीय रूप से संपीड़ित तत्वों के क्रॉस सेक्शन वास्तव में चलते हैं, क्योंकि अभिनय तनाव विकृतियों का कारण बनता है। और ऐसी विकृतियों का परिमाण संरचना के किसी भी क्रॉस सेक्शन के लिए निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्रभावी तनाव का मूल्य, तत्व की लंबाई, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र और उस सामग्री के लोचदार मापांक को जानना पर्याप्त है जिससे संरचना बनाई गई है।

मोड़ने योग्य तत्वों के लिए, क्रॉस सेक्शन भी जगह पर नहीं रहते हैं, बल्कि चलते हैं, और मोड़ने योग्य तत्वों के क्रॉस सेक्शन की गति एक निश्चित अक्ष के बारे में एक निश्चित शरीर के घूमने के समान होती है। जैसा कि आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, जड़ता का क्षण आपको क्रॉस सेक्शन और विस्थापन के झुकाव के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देता है Δ एल अनुभाग के चरम बिंदुओं के लिए. एक आयताकार खंड के लिए ये चरम बिंदु खंड की आधी ऊंचाई के बराबर दूरी पर स्थित हैं (क्यों लेख "शक्ति की मूल बातें। विक्षेपण का निर्धारण" में पर्याप्त विवरण में वर्णित है)। और यह, बदले में, आपको संरचना के विक्षेपण को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

और जड़ता का क्षण आपको अनुभाग के प्रतिरोध के क्षण को निर्धारित करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, एक आयताकार खंड के लिए, जड़ता के क्षण को खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से खंड के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी से h/2 से विभाजित किया जाना चाहिए। और चूँकि अध्ययनाधीन अनुभाग हमेशा सममित नहीं होते हैं, इसलिए अनुभाग के विभिन्न भागों के लिए प्रतिरोध के क्षण का मान भिन्न हो सकता है।

और यह सब एक साधारण सेब से शुरू हुआ... हालाँकि नहीं, यह सब एक शब्द से शुरू हुआ।

हम अक्सर अभिव्यक्तियाँ सुनते हैं: "यह निष्क्रिय है", "जड़ता से आगे बढ़ें", "जड़ता का क्षण"। लाक्षणिक अर्थ में, "जड़ता" शब्द की व्याख्या पहल और कार्रवाई की कमी के रूप में की जा सकती है। हम प्रत्यक्ष अर्थ में रुचि रखते हैं।

जड़ता क्या है

परिभाषा के अनुसार जड़ताभौतिकी में, यह बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में आराम या गति की स्थिति बनाए रखने की निकायों की क्षमता है।

यदि अंतर्ज्ञान के स्तर पर जड़ता की अवधारणा के साथ सब कुछ स्पष्ट है, तो निष्क्रियता के पल- एक अलग प्रश्न. सहमत हूँ, आपके मन में यह कल्पना करना कठिन है कि यह क्या है। इस लेख में आप सीखेंगे कि विषय पर बुनियादी समस्याओं को कैसे हल किया जाए "निष्क्रियता के पल".

जड़त्व आघूर्ण का निर्धारण

स्कूल के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है द्रव्यमान - किसी पिंड की जड़ता का माप. यदि हम अलग-अलग द्रव्यमान की दो गाड़ियों को धक्का दें, तो भारी गाड़ी को रोकना अधिक कठिन होगा। अर्थात्, द्रव्यमान जितना अधिक होगा, शरीर की गति को बदलने के लिए बाहरी प्रभाव उतना ही अधिक होगा। जो माना जाता है वह अनुवादात्मक गति पर लागू होता है, जब उदाहरण से गाड़ी एक सीधी रेखा में चलती है।

द्रव्यमान और स्थानांतरीय गति के अनुरूप, जड़ता का क्षण एक अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप है।

निष्क्रियता के पल- एक अदिश भौतिक राशि, एक अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप। पत्र द्वारा निरूपित किया गया जे और सिस्टम में एस.आई प्रति वर्ग मीटर गुणा किलोग्राम में मापा जाता है।

जड़त्व आघूर्ण की गणना कैसे करें? भौतिकी में एक सामान्य सूत्र है जिसके द्वारा किसी पिंड के जड़त्व आघूर्ण की गणना की जाती है। यदि कोई पिंड द्रव्यमान के साथ अनंत छोटे टुकड़ों में टूट जाता है डी.एम , तो जड़ता का क्षण घूर्णन अक्ष की दूरी के वर्ग द्वारा इन प्राथमिक द्रव्यमानों के उत्पादों के योग के बराबर होगा।

यह भौतिकी में जड़त्व आघूर्ण का सामान्य सूत्र है। द्रव्यमान के एक भौतिक बिंदु के लिए एम , एक दूरी पर एक अक्ष के चारों ओर घूम रहा है आर इससे यह सूत्र इस प्रकार बनता है:

स्टीनर का प्रमेय

जड़त्व का क्षण किस पर निर्भर करता है? द्रव्यमान से, घूर्णन अक्ष की स्थिति, पिंड का आकार और आकार।

ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

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ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय कहता है:

एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण एक मनमाना अक्ष के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष पिंड के जड़त्व के क्षण और वर्ग द्वारा पिंड के द्रव्यमान के उत्पाद के योग के बराबर होता है। अक्षों के बीच की दूरी का.

उन लोगों के लिए जो जड़ता के क्षण को खोजने की समस्याओं को हल करते समय लगातार एकीकृत नहीं होना चाहते हैं, हम कुछ सजातीय निकायों की जड़ता के क्षणों को दर्शाने वाला एक चित्र प्रस्तुत करते हैं जो अक्सर समस्याओं में सामने आते हैं:

जड़ता का क्षण ज्ञात करने के लिए किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

आइए दो उदाहरण देखें. पहला कार्य जड़त्व का क्षण ज्ञात करना है। दूसरा कार्य ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय का उपयोग करना है।

समस्या 1. द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक सजातीय डिस्क की जड़ता का क्षण ज्ञात करें। घूर्णन की धुरी डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है।

समाधान:

आइए हम डिस्क को असीम रूप से पतले छल्लों में विभाजित करें, जिनकी त्रिज्या भिन्न-भिन्न होती है 0 पहले आरऔर ऐसी ही एक अंगूठी पर विचार करें। माना इसकी त्रिज्या है आर, और द्रव्यमान - डी.एम. तब वलय का जड़त्व आघूर्ण है:

वलय के द्रव्यमान को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यहाँ dz- रिंग की ऊंचाई. आइए जड़त्व क्षण के सूत्र में द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करें और एकीकृत करें:

परिणाम एक पूर्ण पतली डिस्क या सिलेंडर की जड़ता के क्षण के लिए एक सूत्र था।

समस्या 2. मान लीजिए कि फिर से द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक डिस्क है। अब हमें इसकी एक त्रिज्या के मध्य से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समाधान:

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण पिछली समस्या से ज्ञात होता है। आइए स्टीनर के प्रमेय को लागू करें और खोजें:

वैसे, हमारे ब्लॉग पर आप भौतिकी और समस्या समाधान पर अन्य उपयोगी सामग्री पा सकते हैं।

हमें उम्मीद है कि आपको लेख में अपने लिए कुछ उपयोगी मिलेगा। यदि जड़त्व टेंसर की गणना करने की प्रक्रिया में कठिनाइयाँ आती हैं, तो छात्र सेवा के बारे में न भूलें। हमारे विशेषज्ञ किसी भी मुद्दे पर सलाह देंगे और कुछ ही मिनटों में समस्या का समाधान करने में मदद करेंगे।

आयताकार खंड.

एक आयताकार क्रॉस-सेक्शन में समरूपता के दो अक्ष होते हैं, और मुख्य केंद्रीय अक्ष Cx और Cy समानांतर पक्षों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं।

x-अक्ष के परितः जड़त्व का प्रमुख केंद्रीय क्षण

इस मामले में, प्रारंभिक क्षेत्र डीए को अनुभाग की पूरी चौड़ाई और मोटाई डाई के साथ एक पट्टी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है डीए = बी * डाई। आइए हम अभिन्न चिह्न के नीचे मान dA को प्रतिस्थापित करें और संपूर्ण क्षेत्र पर एकीकृत करें, अर्थात। कोटि y को -h/2 से +h/2 में बदलने की सीमा के भीतर, हमें मिलता है

अंत में

इसी प्रकार, हम y-अक्ष के सापेक्ष एक आयत की जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षण के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

गोल खंड

एक वृत्त के लिए, x और y अक्षों के बारे में जड़त्व के मुख्य केंद्रीय क्षण बराबर होते हैं।

अत: समता से

त्रिकोण

2. केंद्रीय अक्षों से समानांतर अक्षों में संक्रमण के दौरान जड़ता के क्षणों में परिवर्तन:

जे एक्स1 =जे एक्स + ए 2 ए;

जे वाई1 =जे वाई + बी 2 ए;

किसी भी अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण दिए गए केंद्रीय अक्ष के समानांतर जड़त्व के क्षण के बराबर होता है, साथ ही आकृति के क्षेत्र और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग का गुणनफल होता है। जे वाई 1 एक्स 1 =जे वाईएक्स + एबीएफ; ("ए" और "बी" को उनके संकेत को ध्यान में रखते हुए सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है)।

3.कुल्हाड़ियों को घुमाते समय जड़ता के क्षणों में परिवर्तन

जे एक्स1 =जे एक्स कॉस 2  + जे वाई पाप 2  - जे एक्सवाई पाप2; जे वाई1 =जे वाई कॉस 2  + जे एक्स पाप 2  + जे एक्सवाई पाप2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xycos2 ;

कोण >0, यदि पुराने समन्वय प्रणाली से नए में संक्रमण वामावर्त होता है। जे वाई1 + जे एक्स1 = जे वाई + जे एक्स

जड़ता के क्षणों के चरम (अधिकतम और न्यूनतम) मान कहलाते हैं जड़ता के मुख्य क्षण. वे अक्ष जिनके बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों का चरम मान होता है, कहलाते हैं जड़त्व की मुख्य धुरी. जड़त्व के मुख्य अक्ष परस्पर लंबवत होते हैं। मुख्य अक्षों के बारे में जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण = 0, अर्थात। जड़त्व के मुख्य अक्ष - वे अक्ष जिनके बारे में जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण = 0 है। यदि इनमें से एक अक्ष संपाती है या दोनों समरूपता के अक्ष के साथ संपाती हैं, तो वे मुख्य हैं। मुख्य अक्षों की स्थिति को परिभाषित करने वाला कोण:
, अगर

 0 >0  अक्ष वामावर्त घूमते हैं। अधिकतम अक्ष सदैव उन अक्षों के साथ एक छोटा कोण बनाता है जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण का मान अधिक होता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली मुख्य अक्षों को कहा जाता है जड़त्व के मुख्य केंद्रीय अक्ष. इन अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण:

जे अधिकतम + जे मिनट = जे एक्स + जे वाई। जड़त्व के मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण 0 के बराबर है। यदि जड़त्व के मुख्य क्षण ज्ञात हैं, तो घुमाए गए अक्षों में संक्रमण के सूत्र हैं:

जे एक्स 1 = जे अधिकतम कॉस 2  + जे मिनट पाप 2 ; जे वाई 1 =जे अधिकतम कॉस 2  + जे मिनट पाप 2 ; जे एक्स 1 वाई 1 =(जे अधिकतम - जे मिनट)sin2;

4.संरचनात्मक तत्वों का वर्गीकरण

छड़ीबुलाया जिओम निकाय जिनमें से एक का आकार अन्य की तुलना में बहुत बड़ा होता है।

प्लेट या गोले- यह उन पिंडों का भूभाग है जिनका आकार एक होता है<< других

विशाल शरीर- सभी आकार समान क्रम में हैं

5.सामग्री के गुणों के बारे में बुनियादी धारणाएँ

सजातीय - प्रेम में। बिंदु सामग्री समान हैं। भौतिक रासायनिक साधू संत;

सतत् माध्यम क्रिस्टलीय होता है। संरचना और सूक्ष्म दोषों पर ध्यान नहीं दिया जाता;

आइसोट्रोपिक - यांत्रिक। गुण लोडिंग की दिशा पर निर्भर नहीं करते;

आदर्श लोच - भार हटाने के बाद आकार और आकार को पूरी तरह से पुनर्स्थापित करता है।

6. समर्थन के प्रकार

ए) टिका हुआ - स्थिर (दोगुना जुड़ा हुआ) समर्थन: ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दोनों बल (एक कोण पर बल) प्राप्त करता है।

बी) टिका हुआ - चल समर्थन - केवल ऊर्ध्वाधर भार को मानता है। समर्थन प्रतिक्रिया हमेशा समर्थन रॉड के साथ, सहायक सतह के लंबवत निर्देशित होती है

ग) कठोर सील (तीन-जुड़ा हुआ)

समर्थनों में प्रतिक्रियाएं संतुलन स्थिति (स्थैतिक समीकरण) से निर्धारित होती हैं।

7. भार वर्गीकरण

स्थान के अनुसार

सतही और बड़ा

ए) संकेंद्रित बल

बी) वितरित बल

आयताकार Rq= qa

त्रिकोणीय Rq= ½ qa

ग) संकेंद्रित क्षण

झुकने

घुमा

घ) वितरित क्षण

आरएमजेड= एमजेड ए - संतुलन

अवधि के अनुसार

स्थायी और अस्थायी

क्रिया की प्रकृति से

स्थिर एवं गतिशील

घटना की प्रकृति से

सक्रिय (ज्ञात) और प्रतिक्रियाशील (अज्ञात)

8. अध्ययन किए जा रहे पाठ्यक्रम के बुनियादी सिद्धांत

जटिल प्रतिरोध की गणना करते समय इसका उपयोग किया जाता है बलों की स्वतंत्र कार्रवाई का सिद्धांत. एक जटिल प्रकार की लोडिंग को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले सरल प्रकार की लोडिंग की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है। जटिल प्रतिरोध का समाधान सरल प्रकार की लोडिंग के लिए प्राप्त समाधानों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

सेंट-वेनेंट सिद्धांत

उस स्थान से पर्याप्त दूरी पर जहां भार लगाया जाता है, इसके प्रभाव की प्रकृति इसके आवेदन की विधि पर निर्भर नहीं करती है, बल्कि परिणाम के परिमाण पर निर्भर करती है।

9. आंतरिक प्रयास. अनुभाग विधि (रोज़ू विधि)

Nz=∑z (pi) सामान्य के साथ

Qx=∑x (pi) अनुप्रस्थ के साथ

Mz=∑mz (pi) टॉर्क

Mx=∑mx (pi) झुकना

विचार शरीर को सपाट काटना

हम आंतरिक शक्तियों में से एक को त्याग देते हैं

आंतरिक प्रयासों से बदलें

आंतरिक और बाह्य ताप को संतुलित करके

10. आंतरिक प्रयासों के संकेतों का नियम

झुकने के दौरान अनुप्रस्थ बलों के संकेतों के लिए नियम:

टॉर्कः

पक्ष से देखने पर आपात्कालीन स्थितियों के विरुद्ध +

झुकने वाले क्षणों के संकेतों के लिए नियम:

लोड आरेखों के निर्माण की शुद्धता की जाँच के लिए नियम:

बीम के अनुभागों में जहां बाहरी संकेंद्रित भार आरेख d.b. पर लागू होते हैं। इस भार के परिमाण में उछाल.

11. आंतरिक बलों के आरेख

जब तनाव-संपीड़न

मरोड़

सीधे मोड़ पर

12. झुकने के दौरान विभेदक निर्भरताएँ

;
;

13. विभेदक निर्भरता के परिणाम

यदि क्षेत्र में कोई भार वितरण नहीं है (q = 0), तो इस क्षेत्र में अनुप्रस्थ बल का वेग स्थिर होता है, और झुकने वाले आरेख रैखिक कानून के अनुसार बदलते हैं

प्रशिक्षण मैदान पर जहां गर्मी वितरण मौजूद है, पोस्ट गहन है। अनुप्रस्थ बल रेखा के अनुसार बदलता है, और आरेख द्विघात परवलय के नियम के अनुसार बदलता है। इसके अलावा, एमएक्स का आरेख हमेशा वितरण भार की ओर निर्देशित होता है। जहां Qy 0 के बराबर है, आरेख mx में एक चरम है। यदि पूरे क्षेत्र में Qy 0 के बराबर है, तो mx एक स्थिर मान है

4. उस क्षेत्र में जहां Qy>0 mx आरेख बाएं से दाएं बढ़ता है

5. उस अनुभाग में. जहां एक केंद्रीय बल लगाया जाता है, आरेख Qy में इस बल के वेग पर उछाल होता है। उस बिंदु पर जहां क्षण केंद्रित है, आरेख एमएक्स में इस क्षण के मूल्य से उछाल होता है

श्रेणी का चयन करें किताबें गणित भौतिकी पहुंच नियंत्रण और प्रबंधन अग्नि सुरक्षा उपयोगी उपकरण आपूर्तिकर्ता मापने के उपकरण आर्द्रता माप - रूसी संघ में आपूर्तिकर्ता। दबाव माप. खर्च मापना. प्रवाह मीटर। तापमान माप स्तर माप। लेवल गेज. ट्रेंचलेस प्रौद्योगिकियां सीवेज सिस्टम। रूसी संघ में पंपों के आपूर्तिकर्ता। पंप की मरम्मत. पाइपलाइन सहायक उपकरण. तितली वाल्व (तितली वाल्व)। जांच कपाट। नियंत्रक वाल्व। जाल फिल्टर, मिट्टी फिल्टर, चुंबकीय-यांत्रिक फिल्टर। गेंद वाल्व। पाइप और पाइपलाइन तत्व। धागे, फ्लैंज आदि के लिए सील। इलेक्ट्रिक मोटर, इलेक्ट्रिक ड्राइव... मैनुअल अक्षर, मूल्यवर्ग, इकाइयाँ, कोड... अक्षर, सहित। ग्रीक और लैटिन. प्रतीक. कोड. अल्फा, बीटा, गामा, डेल्टा, एप्सिलॉन... विद्युत नेटवर्क की रेटिंग। डेसीबल माप की इकाइयों का रूपांतरण। सपना। पृष्ठभूमि। माप की इकाइयाँ किसके लिए? दबाव और निर्वात के लिए माप की इकाइयाँ। दबाव और निर्वात इकाइयों का रूपांतरण। लंबाई की इकाइयाँ. लंबाई इकाइयों का रूपांतरण (रैखिक आयाम, दूरियां)। आयतन इकाइयाँ. आयतन इकाइयों का रूपांतरण. घनत्व इकाइयाँ. घनत्व इकाइयों का रूपांतरण. क्षेत्र इकाइयाँ. क्षेत्र इकाइयों का रूपांतरण. कठोरता माप की इकाइयाँ। कठोरता इकाइयों का रूपांतरण. तापमान इकाइयाँ। तापमान इकाइयों का केल्विन / सेल्सियस / फ़ारेनहाइट / रैंकिन / डेलिसल / न्यूटन / कोणों की माप की इकाइयों ("कोणीय आयाम") में रूपांतरण। कोणीय वेग और कोणीय त्वरण की माप की इकाइयों का रूपांतरण। माप की मानक त्रुटियाँ कार्यशील माध्यम के रूप में गैसें भिन्न होती हैं। नाइट्रोजन N2 (रेफ्रिजरेंट R728) अमोनिया (रेफ्रिजरेंट R717)। एंटीफ्ऱीज़। हाइड्रोजन H^2 (रेफ्रिजरेंट R702) जल वाष्प। वायु (वायुमंडल) प्राकृतिक गैस - प्राकृतिक गैस। बायोगैस सीवर गैस है. तरलीकृत गैस. एनजीएल. एलएनजी. प्रोपेन-ब्यूटेन। ऑक्सीजन O2 (रेफ्रिजरेंट R732) तेल और स्नेहक मीथेन CH4 (रेफ्रिजरेंट R50) पानी के गुण। कार्बन मोनोऑक्साइड CO. कार्बन मोनोआक्साइड। कार्बन डाइऑक्साइड CO2. (रेफ्रिजरेंट R744)। क्लोरीन सीएल2 हाइड्रोजन क्लोराइड एचसीएल, जिसे हाइड्रोक्लोरिक एसिड भी कहा जाता है। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R11 - फ्लोरोट्राइक्लोरोमेथेन (CFCI3) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R12 - डिफ्लुओरोडीक्लोरोमेथेन (CF2CCl2) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R125 - पेंटाफ्लोरोइथेन (CF2HCF3)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R134a - 1,1,1,2-टेट्राफ्लुओरोएथेन (CF3CFH2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R22 - डिफ्लुओरोक्लोरोमेथेन (CF2ClH) रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) R32 - डिफ्लुओरोक्लोरोमेथेन (CH2F2)। रेफ्रिजरेंट (रेफ्रिजरेंट) आर407सी - आर-32 (23%) / आर-125 (25%) / आर-134ए (52%) / वजन के अनुसार प्रतिशत। अन्य सामग्रियाँ - तापीय गुण, अपघर्षक - धैर्य, सूक्ष्मता, पीसने के उपकरण। मिट्टी, पृथ्वी, रेत और अन्य चट्टानें। मिट्टी और चट्टानों के ढीलेपन, सिकुड़न और घनत्व के संकेतक। सिकुड़न और ढीलापन, भार। ढलान के कोण, ब्लेड. कगारों की ऊँचाई, ढेर। लकड़ी। लकड़ी. इमारती लकड़ी. लॉग. जलाऊ लकड़ी... चीनी मिट्टी की चीज़ें। चिपकने वाले और चिपकने वाले जोड़ बर्फ और बर्फ (पानी बर्फ) धातु एल्यूमीनियम और एल्यूमीनियम मिश्र धातु तांबा, कांस्य और पीतल कांस्य पीतल तांबा (और तांबा मिश्र धातु का वर्गीकरण) निकल और मिश्र धातु मिश्र धातु ग्रेड के पत्राचार स्टील और मिश्र धातु लुढ़का हुआ धातु और पाइप के वजन की संदर्भ तालिकाएँ . +/-5% पाइप वजन। धातु का वजन. स्टील्स के यांत्रिक गुण। कच्चा लोहा खनिज. अभ्रक. खाद्य उत्पाद और खाद्य कच्चे माल। गुण, आदि परियोजना के दूसरे अनुभाग से लिंक करें। रबर, प्लास्टिक, इलास्टोमर्स, पॉलिमर। इलास्टोमर्स पीयू, टीपीयू, एक्स-पीयू, एच-पीयू, एक्सएच-पीयू, एस-पीयू, एक्सएस-पीयू, टी-पीयू, जी-पीयू (सीपीयू), एनबीआर, एच-एनबीआर, एफपीएम, ईपीडीएम, एमवीक्यू का विस्तृत विवरण , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE संशोधित), सामग्री की ताकत। सोप्रोमैट। निर्माण सामग्री। भौतिक, यांत्रिक और तापीय गुण। ठोस। ठोस समाधान. समाधान। निर्माण फिटिंग. स्टील और अन्य. सामग्री प्रयोज्यता तालिकाएँ। रासायनिक प्रतिरोध। तापमान प्रयोज्यता. जंग प्रतिरोध। सीलिंग सामग्री - संयुक्त सीलेंट। पीटीएफई (फ्लोरोप्लास्टिक-4) और व्युत्पन्न सामग्री। FUM टेप. अवायवीय चिपकने वाले गैर-सुखाने वाले (गैर-कठोर) सीलेंट। सिलिकॉन सीलेंट (ऑर्गेनोसिलिकॉन)। ग्रेफाइट, एस्बेस्टस, पैरोनाइट और व्युत्पन्न सामग्री पैरोनाइट। थर्मली विस्तारित ग्रेफाइट (टीईजी, टीएमजी), रचनाएँ। गुण। आवेदन पत्र। उत्पादन। प्लंबिंग फ्लैक्स। रबर इलास्टोमेर सील। हीट इन्सुलेशन और थर्मल इन्सुलेशन सामग्री। (परियोजना अनुभाग से लिंक) इंजीनियरिंग तकनीक और अवधारणाएँ विस्फोट सुरक्षा। पर्यावरणीय प्रभावों से सुरक्षा. संक्षारण. जलवायु संस्करण (सामग्री अनुकूलता तालिकाएँ) दबाव, तापमान, जकड़न की श्रेणियाँ दबाव में गिरावट (नुकसान)। - इंजीनियरिंग अवधारणा. अग्नि सुरक्षा। आग. स्वचालित नियंत्रण (विनियमन) का सिद्धांत। टीएयू गणितीय संदर्भ पुस्तक अंकगणित, ज्यामितीय प्रगति और कुछ संख्या श्रृंखलाओं का योग। ज्यामितीय आंकड़े. गुण, सूत्र: परिधि, क्षेत्रफल, आयतन, लंबाई। त्रिभुज, आयत आदि। रेडियन को डिग्री. सपाट आंकड़े. गुण, भुजाएँ, कोण, विशेषताएँ, परिमाप, समानताएँ, समानताएँ, जीवाएँ, क्षेत्र, क्षेत्र, आदि। अनियमित आकृतियों का क्षेत्रफल, अनियमित पिंडों का आयतन। औसत सिग्नल परिमाण. क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र और विधियाँ। चार्ट. ग्राफ़ बनाना. ग्राफ़ पढ़ना. इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस. सारणीबद्ध व्युत्पन्न और अभिन्न। डेरिवेटिव की तालिका. अभिन्नों की तालिका. प्रतिअवकलजों की तालिका. व्युत्पन्न खोजें. अभिन्न खोजें. डिफ्यूरस। जटिल आंकड़े। काल्पनिक इकाई. लीनियर अलजेब्रा। (वेक्टर, मैट्रिक्स) छोटों के लिए गणित। किंडरगार्टन - 7वीं कक्षा। गणितीय तर्क. समीकरण हल करना. द्विघात और द्विघात समीकरण. सूत्र. तरीके. अंतर समीकरणों को हल करना पहले से अधिक क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। सरलतम = विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य प्रथम कोटि के साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के उदाहरण। सिस्टम संयोजित करें। आयताकार कार्टेशियन, ध्रुवीय, बेलनाकार और गोलाकार। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी। संख्या प्रणाली. संख्याएँ और अंक (वास्तविक, जटिल, ....)। संख्या प्रणाली तालिकाएँ. टेलर, मैकलॉरिन (=मैकलेरन) और आवधिक फूरियर श्रृंखला की पावर श्रृंखला। श्रृंखला में कार्यों का विस्तार. लघुगणक और बुनियादी सूत्रों की तालिकाएँ संख्यात्मक मानों की तालिकाएँ ब्रैडिस तालिकाएँ। संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़े त्रिकोणमितीय कार्य, सूत्र और ग्राफ़। पाप, कॉस, टीजी, सीटीजी….त्रिकोणमितीय कार्यों के मान। त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ. संख्यात्मक तरीके उपकरण - मानक, आकार घरेलू उपकरण, घरेलू उपकरण। जल निकासी और जल निकासी व्यवस्था. कंटेनर, टैंक, जलाशय, टैंक। इंस्ट्रुमेंटेशन और ऑटोमेशन इंस्ट्रुमेंटेशन और ऑटोमेशन. तापमान माप। कन्वेयर, बेल्ट कन्वेयर। कंटेनर (लिंक) फास्टनरों। प्रयोगशाला के उपकरण। पंप और पंपिंग स्टेशन तरल पदार्थ और लुगदी के लिए पंप। इंजीनियरिंग शब्दजाल. शब्दकोष। स्क्रीनिंग. छानने का काम। जालों और छलनी के माध्यम से कणों को अलग करना। विभिन्न प्लास्टिक से बनी रस्सियों, केबलों, डोरियों, रस्सियों की अनुमानित ताकत। रबर उत्पाद. जोड़ और कनेक्शन. व्यास पारंपरिक, नाममात्र, डीएन, डीएन, एनपीएस और एनबी हैं। मीट्रिक और इंच व्यास. एसडीआर. कुंजी और कुंजीमार्ग. संचार मानक. ऑटोमेशन सिस्टम में सिग्नल (इंस्ट्रूमेंटेशन और कंट्रोल सिस्टम) उपकरणों, सेंसर, फ्लो मीटर और ऑटोमेशन उपकरणों के एनालॉग इनपुट और आउटपुट सिग्नल। कनेक्शन इंटरफ़ेस. संचार प्रोटोकॉल (संचार) टेलीफोन संचार। पाइपलाइन सहायक उपकरण. नल, वाल्व, वाल्व... निर्माण की लंबाई. फ्लैंज और धागे. मानक। कनेक्टिंग आयाम. धागे. पदनाम, आकार, उपयोग, प्रकार... (संदर्भ लिंक) खाद्य, डेयरी और दवा उद्योगों में पाइपलाइनों के कनेक्शन ("स्वच्छ", "एसेप्टिक")। पाइप, पाइपलाइन. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पाइपलाइन व्यास का चयन. प्रवाह की दरें। खर्चे। ताकत। चयन तालिकाएँ, दबाव में गिरावट। कॉपर पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पॉलीविनाइल क्लोराइड (पीवीसी) पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पॉलीथीन पाइप. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। एचडीपीई पॉलीथीन पाइप। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। स्टील पाइप (स्टेनलेस स्टील सहित)। पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। लोह के नल। पाइप स्टेनलेस है. स्टेनलेस स्टील पाइप. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। पाइप स्टेनलेस है. कार्बन स्टील पाइप. पाइप व्यास और अन्य विशेषताएं। लोह के नल। फिटिंग. GOST, DIN (EN 1092-1) और ANSI (ASME) के अनुसार फ्लैंगेस। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। निकला हुआ किनारा कनेक्शन। पाइपलाइन तत्व. इलेक्ट्रिक लैंप इलेक्ट्रिकल कनेक्टर और तार (केबल) इलेक्ट्रिक मोटर। विद्युत मोटर्स। विद्युत स्विचिंग उपकरण. (अनुभाग से लिंक) इंजीनियरों के व्यक्तिगत जीवन के लिए मानक इंजीनियरों के लिए भूगोल। दूरियाँ, मार्ग, मानचित्र... रोजमर्रा की जिंदगी में इंजीनियर। परिवार, बच्चे, मनोरंजन, कपड़े और आवास। इंजीनियरों के बच्चे. कार्यालयों में इंजीनियर. इंजीनियर और अन्य लोग. इंजीनियरों का समाजीकरण. जिज्ञासाएँ। आराम कर रहे इंजीनियर. इससे हमें सदमा लगा. इंजीनियर और भोजन. नुस्खे, उपयोगी बातें. रेस्तरां के लिए युक्तियाँ. इंजीनियरों के लिए अंतर्राष्ट्रीय व्यापार। आइए एक ठग की तरह सोचना सीखें। परिवहन एवं यात्रा. निजी कारें, साइकिलें... मानव भौतिकी और रसायन विज्ञान। इंजीनियरों के लिए अर्थशास्त्र. फाइनेंसरों की बोर्मोटोलॉजी - मानव भाषा में। तकनीकी अवधारणाएँ और चित्र लेखन, ड्राइंग, कार्यालय कागज और लिफाफे। मानक फोटो आकार. वेंटिलेशन और एयर कंडीशनिंग. जल आपूर्ति और सीवरेज गर्म पानी की आपूर्ति (डीएचडब्ल्यू)। पेयजल आपूर्ति अपशिष्ट जल. ठंडे पानी की आपूर्ति इलेक्ट्रोप्लेटिंग उद्योग प्रशीतन स्टीम लाइनें/सिस्टम। घनीभूत लाइनें/प्रणालियाँ। भाप लाइनें. घनीभूत पाइपलाइनें। खाद्य उद्योग प्राकृतिक गैस आपूर्ति वेल्डिंग धातु चित्र और आरेख पर उपकरण के प्रतीक और पदनाम। ANSI/ASHRAE मानक 134-2005 के अनुसार, हीटिंग, वेंटिलेशन, एयर कंडीशनिंग और हीटिंग और कूलिंग परियोजनाओं में पारंपरिक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व। उपकरण और सामग्री का बंध्याकरण गर्मी की आपूर्ति इलेक्ट्रॉनिक उद्योग बिजली की आपूर्ति भौतिक संदर्भ पुस्तक अक्षर। स्वीकृत नोटेशन. बुनियादी भौतिक स्थिरांक. आर्द्रता निरपेक्ष, सापेक्ष एवं विशिष्ट होती है। हवा मैं नमी। साइकोमेट्रिक टेबल. रामज़िन आरेख। समय श्यानता, रेनॉल्ड्स संख्या (पुनः)। श्यानता इकाइयाँ। गैसें। गैसों के गुण. व्यक्तिगत गैस स्थिरांक. दबाव और वैक्यूम वैक्यूम लंबाई, दूरी, रैखिक आयाम ध्वनि। अल्ट्रासाउंड. ध्वनि अवशोषण गुणांक (दूसरे अनुभाग से लिंक) जलवायु। जलवायु डेटा. प्राकृतिक डेटा. एसएनआईपी 01/23/99। निर्माण जलवायु विज्ञान. (जलवायु डेटा आँकड़े) एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 3 - औसत मासिक और वार्षिक वायु तापमान, डिग्री सेल्सियस। पूर्व यूएसएसआर. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 1. वर्ष की ठंडी अवधि के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 2. वर्ष की गर्म अवधि के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर. एसएनआईपी 01/23/99 तालिका 2. वर्ष की गर्म अवधि के जलवायु पैरामीटर। आरएफ. एसएनआईपी 23-01-99 तालिका 3. औसत मासिक और वार्षिक वायु तापमान, डिग्री सेल्सियस। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 5ए* - जलवाष्प का औसत मासिक और वार्षिक आंशिक दबाव, एचपीए = 10^2 पा। आरएफ. एसएनआईपी 01/23/99। तालिका 1. ठंड के मौसम के जलवायु पैरामीटर। पूर्व यूएसएसआर. घनत्व. वज़न. विशिष्ट गुरुत्व। थोक घनत्व। सतह तनाव। घुलनशीलता. गैसों और ठोस पदार्थों की घुलनशीलता. प्रकाश और रंग. परावर्तन, अवशोषण और अपवर्तन के गुणांक। रंग वर्णमाला:) - रंग (रंगों) के पदनाम (कोडिंग)। क्रायोजेनिक सामग्री और मीडिया के गुण। टेबल्स। विभिन्न सामग्रियों के लिए घर्षण गुणांक। थर्मल मात्रा, जिसमें उबलना, पिघलना, लौ, आदि शामिल हैं... अधिक जानकारी के लिए, देखें: रुद्धोष्म गुणांक (संकेतक)। संवहन और कुल ताप विनिमय। थर्मल रैखिक विस्तार, थर्मल वॉल्यूमेट्रिक विस्तार के गुणांक। तापमान, उबलना, पिघलना, अन्य... तापमान इकाइयों का रूपांतरण। ज्वलनशीलता. तापमान में नरमी. क्वथनांक गलनांक तापीय चालकता। तापीय चालकता गुणांक। ऊष्मप्रवैगिकी। वाष्पीकरण (संघनन) की विशिष्ट ऊष्मा। वाष्पीकरण की एन्थैल्पी. दहन की विशिष्ट ऊष्मा (कैलोरी मान)। ऑक्सीजन की आवश्यकता. विद्युत और चुंबकीय मात्राएँ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण। ढांकता हुआ स्थिरांक. विद्युत स्थिरांक. विद्युत चुम्बकीय तरंग दैर्ध्य (दूसरे खंड की संदर्भ पुस्तक) चुंबकीय क्षेत्र की ताकत बिजली और चुंबकत्व के लिए अवधारणाएं और सूत्र। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स। पीजोइलेक्ट्रिक मॉड्यूल। सामग्रियों की विद्युत शक्ति विद्युत धारा विद्युत प्रतिरोध और चालकता। इलेक्ट्रॉनिक क्षमताएँ रासायनिक संदर्भ पुस्तक "रासायनिक वर्णमाला (शब्दकोश)" - पदार्थों और यौगिकों के नाम, संक्षिप्त रूप, उपसर्ग, पदनाम। धातु प्रसंस्करण के लिए जलीय घोल और मिश्रण। धातु कोटिंग्स लगाने और हटाने के लिए जलीय घोल। कार्बन जमा (डामर-राल जमा, आंतरिक दहन इंजन से कार्बन जमा...) से सफाई के लिए जलीय घोल। निष्क्रियता के लिए जलीय घोल। नक़्क़ाशी के लिए जलीय घोल - सतह से ऑक्साइड हटाना, फॉस्फेटिंग के लिए जलीय घोल, धातुओं के रासायनिक ऑक्सीकरण और रंग के लिए जलीय घोल और मिश्रण। रासायनिक पॉलिशिंग के लिए जलीय घोल और मिश्रण, जलीय घोल और कार्बनिक सॉल्वैंट्स पीएच मान को कम करना। पीएच टेबल. दहन और विस्फोट. ऑक्सीकरण और कमी. रसायनों के खतरे (विषाक्तता) के वर्ग, श्रेणियां, पदनाम। डी.आई. मेंडेलीव द्वारा रासायनिक तत्वों की आवर्त सारणी। मेंडेलीव तालिका. तापमान के आधार पर कार्बनिक सॉल्वैंट्स का घनत्व (जी/सेमी3)। 0-100 डिग्री सेल्सियस. समाधान के गुण. पृथक्करण स्थिरांक, अम्लता, मूलता। घुलनशीलता. मिश्रण. पदार्थों के तापीय स्थिरांक. एन्थैल्पीज़। एन्ट्रापी. गिब्स ऊर्जा... (परियोजना की रासायनिक निर्देशिका से लिंक) इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग नियामक गारंटीकृत और निर्बाध बिजली आपूर्ति की प्रणाली। प्रेषण और नियंत्रण प्रणाली संरचित केबल प्रणाली डेटा केंद्र

प्रतिरोध का अक्षीय क्षण- अक्ष के चारों ओर जड़ता के क्षण का उससे खंड के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी का अनुपात। [सेमी 3, एम 3]

मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष प्रतिरोध के क्षण विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:

आयत:
; वृत्त:W x =W y =
,

ट्यूबलर अनुभाग (रिंग): W x =W y =
, जहां = d N /d B .

प्रतिरोध का ध्रुवीय क्षण - जड़ता के ध्रुवीय क्षण का ध्रुव से खंड के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी का अनुपात:
.

एक वृत्त के लिए W р =
.

टोशन

टी

इस प्रकार की विकृति जिसमें क्रॉस सेक्शन में केवल एक टॉर्क होता है, एमके है। टॉर्क एमके का संकेत बाहरी क्षण की दिशा से आसानी से निर्धारित होता है। यदि, अनुभाग के किनारे से देखने पर, बाहरी क्षण को वामावर्त निर्देशित किया जाता है, तो M k >0 (विपरीत नियम भी पाया जाता है)। जब मरोड़ होता है, तो एक खंड दूसरे के सापेक्ष घूमता है मोड़ कोण-. जब एक गोल बीम (शाफ्ट) को मोड़ा जाता है, तो शुद्ध कतरनी की एक तनाव स्थिति उत्पन्न होती है (कोई सामान्य तनाव नहीं होता है), केवल स्पर्शरेखा तनाव उत्पन्न होता है। यह माना जाता है कि मोड़ने से पहले खंड सपाट होते हैं और घुमाने के बाद भी सपाट रहते हैं - समतल खंडों का नियम. क्रॉस-सेक्शन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा तनाव अक्ष से बिंदुओं की दूरी के अनुपात में भिन्न होता है। कतरनी के तहत हुक के नियम से: =G, G - कतरनी मापांक,
,
- एक वृत्ताकार खंड के प्रतिरोध का ध्रुवीय क्षण। केंद्र पर स्पर्शरेखीय तनाव शून्य हैं; केंद्र से जितना दूर, वे उतने ही अधिक होंगे। मोड़ कोण
,जीजे पी - मरोड़ वाले खंड की कठोरता.
-सापेक्ष मोड़ कोण. मरोड़ के दौरान संभावित ऊर्जा:
. ताकत की स्थिति:
, [] = , एक प्लास्टिक सामग्री के लिए  को कतरनी उपज शक्ति  t माना जाता है, एक भंगुर सामग्री के लिए -  तन्य शक्ति है, [n] सुरक्षा कारक है। मरोड़ कठोरता की स्थिति:  अधिकतम [] - अनुमेय मरोड़ कोण।

एक आयताकार बीम का मरोड़

पी इस मामले में, समतल खंडों के नियम का उल्लंघन होता है, गैर-वृत्ताकार खंड मरोड़ के दौरान मुड़ जाते हैं - विस्थापनक्रॉस सेक्शन।

एक आयताकार खंड के स्पर्शरेखा तनाव के आरेख।

;
,J k और W k को पारंपरिक रूप से जड़ता का क्षण और मरोड़ के दौरान प्रतिरोध का क्षण कहा जाता है। डब्ल्यू के = एचबी 2 ,

जे के = एचबी 3, अधिकतम स्पर्शरेखीय तनाव  अधिकतम लंबे पक्ष के मध्य में होगा, तनाव छोटे पक्ष के मध्य में होगा: =  अधिकतम, गुणांक: ,, संदर्भ पुस्तकों में दिए गए हैं अनुपात h/b पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, h/b=2 के साथ, =0.246; =0.229; =0.795।

झुकना

पी
समतल (सीधा) मोड़- जब झुकने वाला क्षण अनुभाग की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक से गुजरने वाले विमान में कार्य करता है, अर्थात। सभी बल किरण के सममिति तल में स्थित होते हैं। मुख्य परिकल्पनाएँ(धारणाएं): अनुदैर्ध्य फाइबर के गैर-दबाव के बारे में परिकल्पना: बीम की धुरी के समानांतर फाइबर तन्य-संपीड़न विरूपण का अनुभव करते हैं और अनुप्रस्थ दिशा में एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं; समतल खंडों की परिकल्पना: बीम का एक खंड जो विरूपण से पहले सपाट होता है, विरूपण के बाद बीम के घुमावदार अक्ष के लिए सपाट और सामान्य रहता है। सपाट झुकने के मामले में, सामान्यतः, आंतरिक शक्ति कारक: अनुदैर्ध्य बल N, अनुप्रस्थ बल Q और झुकने का क्षण M. N>0, यदि अनुदैर्ध्य बल तन्य है; M>0 पर, बीम के शीर्ष पर मौजूद तंतु संकुचित होते हैं और नीचे के तंतु खिंचते हैं। .

साथ
वह परत जिसमें कोई एक्सटेंशन नहीं होता, कहलाती है तटस्थ परत(अक्ष, रेखा). N=0 और Q=0 के लिए, हमारे पास मामला है शुद्ध मोड़.सामान्य वोल्टेज:
, तटस्थ परत की वक्रता की त्रिज्या है, y कुछ फाइबर से तटस्थ परत तक की दूरी है। झुकने में हुक का नियम:
, कहाँ से (नेवियर सूत्र):
,जे एक्स - झुकने वाले क्षण के विमान के लंबवत मुख्य केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता का क्षण, ईजे एक्स - झुकने वाली कठोरता, - तटस्थ परत की वक्रता।

एम
अधिकतम झुकने वाले तनाव तटस्थ परत से सबसे दूर के बिंदुओं पर होते हैं:
,J x /y अधिकतम =W x - झुकने के दौरान अनुभाग के प्रतिरोध का क्षण,
. यदि अनुभाग में समरूपता का क्षैतिज अक्ष नहीं है, तो सामान्य तनाव आरेख सममित नहीं होगा। अनुभाग की तटस्थ धुरी अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है। शुद्ध झुकने के लिए सामान्य तनाव निर्धारित करने के सूत्र Q0 होने पर भी लगभग मान्य होते हैं। यह माजरा हैं अनुप्रस्थ झुकना. अनुप्रस्थ झुकने के दौरान, झुकने के क्षण M के अलावा, एक अनुप्रस्थ बल Q कार्य करता है और अनुभाग में न केवल सामान्य , बल्कि स्पर्शरेखा  तनाव भी उत्पन्न होता है। कतरनी तनाव निर्धारित किए जाते हैं ज़ुरावस्की का सूत्र:
, जहां S x (y) क्षेत्र के उस हिस्से के तटस्थ अक्ष के सापेक्ष स्थिर क्षण है जो तटस्थ अक्ष से "y" दूरी पर स्थित परत के नीचे या ऊपर स्थित है; जे एक्स - जड़ता का क्षण कुलतटस्थ अक्ष के सापेक्ष क्रॉस सेक्शन, बी(वाई) परत में अनुभाग की चौड़ाई है जिस पर कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है।

डी
एक आयताकार खंड के लिए:
,F=bh, एक गोलाकार खंड के लिए:
,F=R 2, किसी भी आकार के अनुभाग के लिए
,

के-गुणांक, अनुभाग के आकार पर निर्भर करता है (आयत: के= 1.5; वृत्त - के= 1.33)।

एम

मैक्स और क्यू मैक्स झुकने वाले क्षणों और कतरनी बलों के आरेखों से निर्धारित होते हैं। ऐसा करने के लिए, बीम को दो भागों में काटा जाता है और उनमें से एक की जांच की जाती है। छोड़े गए हिस्से की कार्रवाई को आंतरिक बल कारकों एम और क्यू द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो संतुलन समीकरणों से निर्धारित होते हैं। कुछ विश्वविद्यालयों में, क्षण M>0 को नीचे की ओर स्थगित कर दिया जाता है, अर्थात। क्षण आरेख का निर्माण फैले हुए तंतुओं पर किया जाता है। Q = 0 पर हमारे पास आघूर्ण का एक चरम आरेख है। एम के बीच विभेदक निर्भरताएँ,क्यूऔरक्यू:

q - वितरित भार तीव्रता [kN/m]

अनुप्रस्थ झुकने के दौरान प्रमुख तनाव:

.

झुकने की ताकत की गणना: बीम के विभिन्न बिंदुओं से संबंधित दो ताकत की स्थिति: ए) सामान्य तनाव के अनुसार
, (सी से सबसे दूर अंक); बी) स्पर्शरेखीय तनावों द्वारा
, (तटस्थ अक्ष पर बिंदु)। ए से) बीम के आयाम निर्धारित करें:
, जिनकी जाँच b) द्वारा की जाती है। बीम के अनुभागों में ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहां एक साथ बड़े सामान्य और बड़े कतरनी तनाव होते हैं। इन बिंदुओं के लिए समतुल्य तनाव पाए जाते हैं, जो अनुमेय से अधिक नहीं होने चाहिए। विभिन्न शक्ति सिद्धांतों के विरुद्ध शक्ति स्थितियों का परीक्षण किया जाता है

पहला:
;II-वें: (पॉइसन के अनुपात के साथ=0.3); - बहुत कम प्रयुक्त।

मोहर का सिद्धांत:
(कच्चे लोहे के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें अनुमेय तन्य तनाव [ p ][ s ] - संपीड़न में होता है)।