लेकिन उस समय हमने इसे "सरलीकृत" रूप में तैयार किया, जो सामान्य भिन्नों के साथ काम करने के लिए सुविधाजनक और पर्याप्त था। इस लेख में, हम भिन्नों के मूल गुण को देखेंगे क्योंकि यह बीजगणितीय भिन्नों पर लागू होता है (अर्थात्, वे अंश जिनके अंश और हर बहुपद हैं; कुछ बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में ऐसे भिन्नों को बीजगणितीय के बजाय परिमेय भिन्न कहा जाता है)। सबसे पहले सूत्रीकरण करते हैं बीजगणितीय भिन्न का मुख्य गुण, हम इसे उचित ठहराएंगे, और उसके बाद हम इसके अनुप्रयोग के मुख्य क्षेत्रों को सूचीबद्ध करेंगे।

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निरूपण एवं तर्क

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण भिन्नों के लिए भिन्न का मूल गुण कैसे तैयार किया गया था: यदि किसी साधारण भिन्न के अंश और हर दोनों को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह कथन समानताओं से मेल खाता है और (जो कि और के रूप में पुनर्व्यवस्थित भागों के साथ भी मान्य हैं), जहां ए, बी और एम कुछ हैं।

वास्तव में, अंश और हर को किसी संख्या से विभाजित करने के बारे में बात करने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह मामला फॉर्म की समानता द्वारा कवर किया गया है। उदाहरण के लिए, समानता का उपयोग करके विभाजन के माध्यम से समानता को उचित ठहराया जा सकता है लेकिन इसे समानता के आधार पर भी उचित ठहराया जा सकता है . इसलिए, आगे हम भिन्न के मुख्य गुण को समानता (और) के साथ जोड़ेंगे, और समानता (और) पर ध्यान नहीं देंगे।

अब हम दिखाएंगे कि भिन्न का मुख्य गुण उन भिन्नों पर भी लागू होता है जिनके अंश और हर होते हैं। ऐसा करने के लिए, हम साबित करते हैं कि लिखित समानता न केवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए, बल्कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए भी सत्य है। दूसरे शब्दों में, हम साबित करेंगे कि समानता किसी भी वास्तविक संख्या ए, बी और एम के लिए सत्य है, और बी और एम गैर-शून्य हैं (अन्यथा हम शून्य से विभाजन का सामना करेंगे)।

मान लीजिए कि भिन्न a/b संख्या z का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। आइए हम सिद्ध करें कि भिन्न भी संख्या z से मेल खाती है, अर्थात हम सिद्ध करते हैं। इससे समानता सिद्ध होगी.

यह ध्यान देने योग्य है कि यदि किसी बीजगणितीय अंश में भिन्नात्मक गुणांक होते हैं, तो उसके अंश और हर को एक निश्चित संख्या से गुणा करने से हमें पूर्णांक गुणांक की ओर बढ़ने की अनुमति मिलती है, और इस तरह इसका रूप सरल हो जाता है। जैसे, . और बीजीय भिन्न के सदस्यों के चिह्न बदलने के नियम अंश और हर को शून्य से एक गुणा करने पर आधारित होते हैं।

भिन्नों के मूल गुण का दूसरा सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग बीजगणितीय भिन्नों को कम करना है। सामान्य स्थिति में, कटौती दो चरणों में की जाती है: सबसे पहले, अंश और हर का गुणनखंड किया जाता है, जिससे एक सामान्य कारक एम ढूंढना संभव हो जाता है, और फिर, समानता के आधार पर, एक अंश के लिए एक संक्रमण किया जाता है। इस सामान्य कारक के बिना ए/बी बनाएं। उदाहरण के लिए, अंश और हर का गुणनखंड करने के बाद एक बीजगणितीय अंश www.site का रूप ले लेता है, जिसमें आंतरिक सामग्री और बाहरी डिज़ाइन शामिल है, कॉपीराइट धारक की पूर्व लिखित अनुमति के बिना किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है या उपयोग नहीं किया जा सकता है।

जब कोई छात्र हाई स्कूल में प्रवेश करता है, तो गणित को दो विषयों में विभाजित किया जाता है: बीजगणित और ज्यामिति। अधिक से अधिक अवधारणाएँ हैं, कार्य अधिक से अधिक कठिन होते जा रहे हैं। कुछ लोगों को भिन्न समझने में कठिनाई होती है। इस विषय पर पहला पाठ छूट गया, और वोइला। अंश? एक प्रश्न जो मेरे स्कूली जीवन भर परेशान करता रहेगा।

बीजगणितीय भिन्न की अवधारणा

आइए एक परिभाषा से शुरू करें। अंतर्गत बीजगणितीय अंशअभिव्यक्ति P/Q को संदर्भित करता है, जहां P अंश है और Q हर है। एक संख्या, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति, या एक संख्यात्मक-वर्णमाला अभिव्यक्ति को एक अक्षर प्रविष्टि के तहत छिपाया जा सकता है।

यह सोचने से पहले कि बीजीय भिन्नों को कैसे हल किया जाए, आपको पहले यह समझना होगा कि ऐसी अभिव्यक्ति संपूर्ण का हिस्सा है।

एक नियम के रूप में, एक पूर्णांक 1 होता है। हर में संख्या दर्शाती है कि इकाई कितने भागों में विभाजित है। कितने तत्व लिए गए हैं यह जानने के लिए अंश-गणक की आवश्यकता होती है। भिन्न पट्टी विभाजन चिन्ह से मेल खाती है। इसे एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को गणितीय ऑपरेशन "डिवीजन" के रूप में लिखने की अनुमति है। इस मामले में, अंश लाभांश है, हर भाजक है।

उभयनिष्ठ भिन्नों का मूल नियम

जब छात्र स्कूल में इस विषय का अध्ययन करते हैं, तो उन्हें सुदृढ़ करने के लिए उदाहरण दिए जाते हैं। उन्हें सही ढंग से हल करने और जटिल परिस्थितियों से बाहर निकलने के विभिन्न तरीके खोजने के लिए, आपको भिन्नों के मूल गुण को लागू करने की आवश्यकता है।

यह इस प्रकार होता है: यदि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या या अभिव्यक्ति (शून्य के अलावा) से गुणा करते हैं, तो सामान्य भिन्न का मान नहीं बदलता है। इस नियम का एक विशेष मामला किसी व्यंजक के दोनों पक्षों को एक ही संख्या या बहुपद से विभाजित करना है। ऐसे परिवर्तनों को समरूप समानताएँ कहा जाता है।

नीचे हम देखेंगे कि बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव को कैसे हल किया जाए, भिन्नों को गुणा, भाग और घटाया जाए।

भिन्नों के साथ गणितीय संक्रियाएँ

आइए देखें कि बीजगणितीय भिन्न के मुख्य गुण को कैसे हल किया जाए और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए। यदि आपको दो भिन्नों को गुणा करना है, उन्हें जोड़ना है, एक को दूसरे से विभाजित करना है, या घटाना है, तो आपको हमेशा नियमों का पालन करना चाहिए।

इस प्रकार, जोड़ और घटाव के संचालन के लिए, भावों को एक सामान्य हर में लाने के लिए एक अतिरिक्त कारक पाया जाना चाहिए। यदि भिन्न प्रारंभ में समान भाव Q के साथ दिए गए हैं, तो इस पैराग्राफ को हटा दिया जाना चाहिए। एक बार उभयनिष्ठ हर मिल जाए, तो आप बीजगणितीय भिन्नों को कैसे हल करेंगे? आपको अंशों को जोड़ना या घटाना होगा। लेकिन! यह याद रखना चाहिए कि यदि भिन्न के सामने "-" चिह्न है, तो अंश में सभी चिह्न उलट जाते हैं। कभी-कभी आपको कोई प्रतिस्थापन या गणितीय संक्रियाएँ नहीं करनी चाहिए। भिन्न के सामने चिन्ह बदलने के लिए यह पर्याप्त है।

इस अवधारणा का प्रयोग प्रायः इस प्रकार किया जाता है अंशों को कम करना. इसका मतलब निम्नलिखित है: यदि अंश और हर को एक से भिन्न अभिव्यक्ति (दोनों भागों के लिए समान) से विभाजित किया जाता है, तो एक नया अंश प्राप्त होता है। लाभांश और भाजक पहले की तुलना में छोटे हैं, लेकिन भिन्नों के मूल नियम के कारण वे मूल उदाहरण के बराबर रहते हैं।

इस ऑपरेशन का उद्देश्य एक नई अपरिवर्तनीय अभिव्यक्ति प्राप्त करना है। आप अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से घटाकर इस समस्या का समाधान कर सकते हैं। ऑपरेशन एल्गोरिदम में दो बिंदु होते हैं:

1. भिन्न के दोनों पक्षों के लिए gcd ढूँढना।
2. अंश और हर को प्राप्त अभिव्यक्ति से विभाजित करना और पिछले एक के बराबर एक अघुलनशील अंश प्राप्त करना।

नीचे सूत्रों को दर्शाने वाली एक तालिका है। सुविधा के लिए, आप इसे प्रिंट कर सकते हैं और एक नोटबुक में अपने साथ रख सकते हैं। हालाँकि, ताकि भविष्य में, किसी परीक्षण या परीक्षा को हल करते समय, बीजगणितीय भिन्नों को कैसे हल किया जाए, इस प्रश्न में कोई कठिनाई न हो, इन सूत्रों को दिल से याद किया जाना चाहिए।

समाधान के साथ कई उदाहरण

सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, बीजगणितीय भिन्नों को कैसे हल किया जाए, इस प्रश्न पर विचार किया जाता है। लेख में दिए गए उदाहरण आपको सामग्री को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे।

1. भिन्नों को रूपांतरित करें और उन्हें एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

2. भिन्नों को रूपांतरित करें और उन्हें एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

सैद्धांतिक भाग का अध्ययन करने और व्यावहारिक भाग पर विचार करने के बाद, कोई और प्रश्न नहीं उठना चाहिए।

§ 1 बीजगणितीय भिन्न की अवधारणा

एक बीजगणितीय भिन्न व्यंजक है

जहाँ P और Q बहुपद हैं; P बीजीय भिन्न का अंश है, Q बीजगणितीय भिन्न का हर है।

यहां बीजगणितीय भिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं:

कोई भी बहुपद बीजगणितीय भिन्न का एक विशेष मामला है, क्योंकि किसी भी बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण के लिए:

बीजीय भिन्न का मान चरों के मान पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्न के मान की गणना करें

1)

2)

पहले मामले में हमें मिलता है:

ध्यान दें कि इस अंश को कम किया जा सकता है:

इस प्रकार, बीजीय भिन्न के मान की गणना करना सरल हो जाता है। आइए इसका लाभ उठाएं.

दूसरे मामले में हमें मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, चरों के मानों में परिवर्तन के साथ, बीजगणितीय भिन्न का मान बदल गया।

§ 2 बीजीय भिन्न के चरों के स्वीकार्य मान

बीजीय भिन्न पर विचार करें

इस भिन्न के लिए मान x = -1 अमान्य है, क्योंकि x के इस मान पर भिन्न का हर शून्य हो जाता है। चर के इस मान के साथ, बीजगणितीय भिन्न का कोई अर्थ नहीं है।

इस प्रकार, बीजीय भिन्न के चरों के अनुमेय मान उन चरों के वे मान होते हैं जिन पर भिन्न का हर लुप्त नहीं होता है।

आइए कुछ उदाहरण हल करें।

चर के किन मानों पर बीजगणितीय भिन्न का कोई अर्थ नहीं है:

चरों के अमान्य मान ज्ञात करने के लिए भिन्न के हर को शून्य पर सेट किया जाता है, और संबंधित समीकरण के मूल ज्ञात किए जाते हैं।

चर के किन मानों पर बीजीय भिन्न शून्य के बराबर है:

यदि अंश शून्य है तो भिन्न शून्य के बराबर है। आइए हमारे अंश के अंश को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण की जड़ें खोजें:

इस प्रकार, x = 0 और x = 3 के लिए, इस बीजीय भिन्न का कोई मतलब नहीं है, जिसका अर्थ है कि हमें चर के इन मानों को उत्तर से बाहर करना होगा।

तो, इस पाठ में आपने बीजगणितीय भिन्न की बुनियादी अवधारणाएँ सीखीं: भिन्न का अंश और हर, साथ ही बीजगणितीय भिन्न के चरों के स्वीकार्य मान।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" आठवीं कक्षा। 2 घंटे पर। शैक्षिक संस्थानों के लिए भाग 1 पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच. - 9वां संस्करण, संशोधित। - एम.: मेनेमोसिन, 2007. - 215 पी.: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" आठवीं कक्षा। 2 घंटे पर। शैक्षिक संस्थानों के लिए भाग 2 समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, ई.ई. तुलचिंस्काया। - 8वां संस्करण, - एम.: मेनेमोसिन, 2006 - 239 पी।
3. बीजगणित. 8 वीं कक्षा। एल.ए. के शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए टेस्ट अलेक्जेंड्रोव, एड. ए.जी. मोर्दकोविच दूसरा संस्करण, मिटा दिया गया। - एम.: मेनेमोसिन 2009. - 40 पी।
4. बीजगणित. 8 वीं कक्षा। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य: पाठ्यपुस्तक के लिए ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोव, एड. ए.जी. मोर्दकोविच. 9वां संस्करण, मिटा दिया गया। - एम.: मेनेमोसिन 2013. - 112 पी।

§ 42 में कहा गया था कि यदि बहुपदों का विभाजन पूर्णतः नहीं किया जा सकता तो भागफल को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है जिसमें भाज्य अंश और भाजक हर होता है।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के अंश और हर स्वयं भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:

भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में से, आपको अक्सर उन अभिव्यक्तियों से निपटना पड़ता है जिनमें अंश और हर बहुपद (विशेष रूप से, एकपदी) होते हैं। ऐसे प्रत्येक व्यंजक को बीजगणितीय भिन्न कहा जाता है।

परिभाषा। एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति जो एक भिन्न है जिसका अंश और हर बहुपद हैं, बीजगणितीय भिन्न कहलाती है।

अंकगणित की तरह, बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर को भिन्न के पद कहा जाता है।

भविष्य में, बीजीय भिन्नों पर संक्रियाओं का अध्ययन करने के बाद, हम समान परिवर्तनों का उपयोग करके किसी भी भिन्नात्मक व्यंजक को बीजगणितीय भिन्न में बदलने में सक्षम होंगे।

बीजीय भिन्नों के उदाहरण:

ध्यान दें कि संपूर्ण अभिव्यक्ति, यानी एक बहुपद, को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है; ऐसा करने के लिए, इस अभिव्यक्ति को अंश में और 1 को हर में लिखना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए:

2. स्वीकार्य अक्षर मान.

केवल अंश में शामिल अक्षर कोई भी मान ले सकते हैं (जब तक कि समस्या की स्थिति के कारण कोई अतिरिक्त प्रतिबंध न लगाया जाए)।

हर में शामिल अक्षरों के लिए, केवल वे मान मान्य हैं जो हर को शून्य में नहीं बदलते हैं। इसलिए, निम्नलिखित में हम हमेशा यह मानेंगे कि बीजगणितीय भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं है।