कक्षा 10 . दूसरे क्रम के वक्र।

10.1. अंडाकार। विहित समीकरण। आधा शाफ्ट, विलक्षणता, ग्राफ।

10.2 अतिपरवलय। विहित समीकरण। अर्ध-अक्ष, विलक्षणता, स्पर्शोन्मुख, ग्राफ।

10.3. परवलय। विहित समीकरण। परवलय पैरामीटर, ग्राफ।

समतल में दूसरे क्रम के वक्रों को रेखाएँ कहा जाता है, जिसके निहित विनिर्देश का रूप होता है:

कहाँ पे
- वास्तविक संख्या दी गई,
- वक्र बिंदुओं के निर्देशांक। दूसरे क्रम के वक्रों में सबसे महत्वपूर्ण रेखाएँ दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय हैं।

10.1. अंडाकार। विहित समीकरण। आधा शाफ्ट, विलक्षणता, ग्राफ।

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा।एक दीर्घवृत्त एक समतल वक्र होता है जिसकी दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग होता है
किसी भी बिंदु पर विमान

(वे।)। अंक
दीर्घवृत्त का फोकस कहा जाता है।

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण:
. (2)

(या अक्ष
) foci . के माध्यम से गुजरता है
, और मूल एक बिंदु है - खंड के केंद्र में स्थित
(चित्र .1)। दीर्घवृत्त (2) समन्वय अक्षों और मूल (दीर्घवृत्त का केंद्र) के संबंध में सममित है। स्थायी
,
बुलाया एक दीर्घवृत्त की अर्ध-अक्ष.

यदि दीर्घवृत्त को समीकरण (2) द्वारा दिया जाता है, तो दीर्घवृत्त की नाभियाँ इस प्रकार पाई जाती हैं।

1) सबसे पहले, हम यह निर्धारित करते हैं कि फ़ॉसी कहाँ स्थित है: फ़ॉसी समन्वय अक्ष पर स्थित है जिस पर प्रमुख अर्ध-अक्ष स्थित हैं।

2) फिर फोकल लंबाई की गणना की जाती है (Foci से मूल की दूरी)।

पर
अक्ष पर केंद्रित झूठ
;
;
.

पर
अक्ष पर केंद्रित झूठ
;
;
.

सनकदीर्घवृत्त को मान कहा जाता है: (पर
);(पर
).

दीर्घवृत्त हमेशा होता है
. सनकीपन दीर्घवृत्त के संपीड़न की एक विशेषता है।

यदि दीर्घवृत्त (2) को इस प्रकार खिसकाया जाता है कि दीर्घवृत्त का केंद्र बिंदु पर हो

,
, तो परिणामी अंडाकार के समीकरण का रूप है

.

10.2 अतिपरवलय। विहित समीकरण। अर्ध-अक्ष, विलक्षणता, स्पर्शोन्मुख, ग्राफ।

हाइपरबोला की परिभाषा।अतिपरवलय एक समतल वक्र है, जिसमें दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों के अंतर का निरपेक्ष मान होता है
किसी भी बिंदु पर विमान
यह वक्र बिंदु से एक निरंतर स्वतंत्र है
(वे।)। अंक
हाइपरबोला का फॉसी कहा जाता है।

अतिपरवलय का विहित समीकरण:
या
. (3)

ऐसा समीकरण प्राप्त होता है यदि निर्देशांक अक्ष
(या अक्ष
) foci . के माध्यम से गुजरता है
, और मूल एक बिंदु है - खंड के केंद्र में स्थित
. अतिपरवलय (3) निर्देशांक अक्षों और मूल बिन्दु के संबंध में सममित होते हैं। स्थायी
,
बुलाया अतिपरवलय के अर्ध-अक्ष.

हाइपरबोला के फॉसी निम्नानुसार पाए जाते हैं।

अतिशयोक्ति पर
अक्ष पर केंद्रित झूठ
:
(चित्र 2.ए)।

अतिशयोक्ति पर
अक्ष पर केंद्रित झूठ
:
(चित्र 2.बी)

यहां - फोकल लंबाई (फोकस से मूल की दूरी)। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
.

सनकहाइपरबोला को मान कहा जाता है:

(के लिए
);(के लिए
).

हाइपरबोले हमेशा होता है
.

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख(3) दो सीधी रेखाएँ हैं:
. अतिपरवलय की दोनों शाखाएं अनंत काल तक स्पर्शोन्मुख के पास इस प्रकार पहुँचती हैं .

अतिपरवलय के ग्राफ़ का निर्माण इस प्रकार किया जाना चाहिए: पहला, अर्ध-अक्षों के अनुदिश
हम समन्वय अक्षों के समानांतर पक्षों के साथ एक सहायक आयत बनाते हैं; फिर हम इस आयत के विपरीत शीर्षों से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, ये अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख हैं; अंत में, हम अतिपरवलय की शाखाओं को चित्रित करते हैं, वे सहायक आयत के संगत पक्षों के मध्यबिंदुओं को स्पर्श करते हैं और वृद्धि के साथ पहुँचते हैं स्पर्शोन्मुख (चित्र। 2)।

यदि अतिपरवलय (3) को इस प्रकार खिसकाया जाता है कि उनका केंद्र बिंदु पर पड़ता है
, और अर्ध-अक्ष अक्षों के समानांतर रहेंगे
,
, तो परिणामी अतिपरवलय के समीकरण को रूप में लिखा जा सकता है

,
.

10.3. परवलय। विहित समीकरण। परवलय पैरामीटर, ग्राफ।

परवलय की परिभाषा।एक परवलय एक समतल वक्र है जिसमें किसी भी बिंदु के लिए
यह वक्र से दूरी है
एक निश्चित बिंदु तक समतल (परवलय का फोकस कहा जाता है) से दूरी के बराबर है
विमान पर एक निश्चित रेखा के लिए(परवलय का निदेशिका कहा जाता है) .

विहित परवलय समीकरण:
, (4)

कहाँ पे एक स्थिरांक है जिसे कहा जाता है पैरामीटरपरवलय

दूरसंचार विभाग
परवलय (4) परवलय का शीर्ष कहलाता है। एक्सिस
समरूपता की धुरी है। परवलय (4) का फोकस बिंदु . पर है
, डायरेक्ट्रिक्स समीकरण
. परवलय भूखंड (4) मूल्यों के साथ
और
अंजीर में दिखाया गया है। 3.ए और 3.बी, क्रमशः।

समीकरण
विमान में एक परवलय को भी परिभाषित करता है
, जिसमें परवलय (4) की तुलना में कुल्हाड़ियां हैं
,
स्विच किए गए स्थान।

यदि परवलय (4) को इस प्रकार खिसकाया जाता है कि उसका शीर्ष बिंदु से टकराए
, और सममिति का अक्ष अक्ष के समानांतर रहेगा
, तो परिणामी परवलय के समीकरण का रूप है

.

आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1. दूसरा क्रम वक्र समीकरण द्वारा दिया गया है
. इस वक्र को एक नाम दें। इसके फोकस और विलक्षणता का पता लगाएं। समतल में एक वक्र और उसकी नाभियाँ खींचिए
.

फेसला। यह वक्र बिंदु पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है
और धुरी शाफ्ट
. इसे बदलकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है
. इस परिवर्तन का अर्थ है किसी दिए गए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से आगे बढ़ना
नई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए
, जिसकी कुल्हाड़ी
कुल्हाड़ियों के समानांतर
,
. इस समन्वय परिवर्तन को सिस्टम शिफ्ट कहा जाता है।
बिल्कुल . नई समन्वय प्रणाली में
वक्र का समीकरण दीर्घवृत्त के विहित समीकरण में बदल जाता है
, इसका ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 4.

आइए जानें तरकीबें।
, तो चालें
अक्ष पर स्थित दीर्घवृत्त
.. समन्वय प्रणाली में
:
. क्योंकि
, पुराने समन्वय प्रणाली में
फोकस के निर्देशांक हैं।

उदाहरण 2. द्वितीय कोटि के वक्र का नाम दीजिए तथा उसका आलेख दीजिए।

फेसला। हम चर वाले पदों के आधार पर पूर्ण वर्गों का चयन करते हैं और .

अब, वक्र समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

इसलिए, दिया गया वक्र बिंदु पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है
और धुरी शाफ्ट
. प्राप्त जानकारी हमें इसका ग्राफ खींचने की अनुमति देती है।

उदाहरण 3. एक नाम दें और एक रेखा ग्राफ बनाएं
.

फेसला। . यह एक बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है
और धुरी शाफ्ट
.

जहां तक ​​कि,
, हम निष्कर्ष निकालते हैं: दिया गया समीकरण समतल पर परिभाषित करता है
दीर्घवृत्त का निचला आधा भाग (चित्र 5)।

उदाहरण 4. दूसरे क्रम के वक्र का नाम दें
. उसकी चाल, विलक्षणता का पता लगाएं। इस वक्र का आलेख दीजिए।

- अर्ध-अक्ष वाले अतिपरवलय का विहित समीकरण
.

फोकल लम्बाई।

ऋण चिह्न के साथ शब्द के सामने है , तो चालें
अतिपरवलय अक्ष पर स्थित है
:. अतिपरवलय की शाखाएं अक्ष के ऊपर और नीचे स्थित होती हैं
.

अतिपरवलय की विलक्षणता है।

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख: .

इस हाइपरबोला के ग्राफ का निर्माण उपरोक्त प्रक्रिया के अनुसार किया जाता है: हम एक सहायक आयत का निर्माण करते हैं, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख खींचते हैं, हाइपरबोला की शाखाएं खींचते हैं (चित्र 2. बी देखें)।

उदाहरण 5. समीकरण द्वारा दिए गए वक्र के रूप का पता लगाएं
और इसे प्लॉट करें।

- अतिपरवलय एक बिंदु पर केंद्रित
और आधा शाफ्ट।

क्योंकि , हम निष्कर्ष निकालते हैं: दिया गया समीकरण हाइपरबोला के उस भाग को निर्धारित करता है जो रेखा के दाईं ओर स्थित है
. एक सहायक समन्वय प्रणाली में एक अतिपरवलय खींचना बेहतर है
समन्वय प्रणाली से प्राप्त
खिसक जाना
, और फिर एक मोटी रेखा के साथ अतिपरवलय के वांछित भाग का चयन करें

उदाहरण 6. वक्र का प्रकार ज्ञात कीजिए और उसका आलेख खींचिए।

फेसला। चर वाले पदों के अनुसार पूर्ण वर्ग का चयन करें :

आइए वक्र के समीकरण को फिर से लिखें।

यह बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय का समीकरण है
. एक शिफ्ट परिवर्तन द्वारा, परवलय समीकरण विहित रूप में कम हो जाता है
, जिससे यह देखा जा सकता है कि परवलय का पैरामीटर है। केंद्र प्रणाली में परवलय
निर्देशांक हैं
,, और सिस्टम में
(शिफ्ट परिवर्तन के अनुसार)। परवलय ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 7.

गृहकार्य.

1. समीकरणों द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त खींचिए:
उनके अर्ध-अक्ष, फोकस दूरी, उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए और दीर्घवृत्त रेखांकन पर उनके फोकस का स्थान इंगित कीजिए।

2. समीकरणों द्वारा दिए गए अतिपरवलय खींचिए:
उनके अर्ध-अक्ष, फोकस दूरी, विलक्षणता का पता लगाएं और हाइपरबोला के ग्राफ पर उनके फोकस का स्थान इंगित करें। दिए गए अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी समीकरणों को लिखिए।

3. समीकरणों द्वारा दिए गए परवलय खींचिए:
. उनके पैरामीटर, फोकल लंबाई का पता लगाएं और परवलय ग्राफ पर फोकस के स्थान को इंगित करें।

4. समीकरण
दूसरे क्रम के वक्र के एक भाग को परिभाषित करता है। इस वक्र का विहित समीकरण ज्ञात कीजिए, उसका नाम लिखिए, उसका आलेख बनाइए और उस पर वक्र के उस भाग पर प्रकाश डालिए जो मूल समीकरण से मेल खाता है।

एक हाइपरबोला एक विमान में बिंदुओं का एक स्थान है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं F_1 और F_2 की दूरी के अंतर का मापांक एक स्थिर मान (2a) है, जो इन दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी (2c) से कम है (चित्र। 3.40, ए)। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है हाइपरबोला की फोकल संपत्ति.

हाइपरबोला की फोकल संपत्ति

अंक F_1 तथा F_2 को अतिपरवलय का नाभि कहा जाता है, उनके बीच की दूरी 2c=F_1F_2 फोकल लंबाई है, खंड का मध्य बिंदु O F_1F_2 अतिपरवलय का केंद्र है, संख्या 2a वास्तविक अक्ष की लंबाई है अतिपरवलय (क्रमशः, अतिपरवलय का वास्तविक अर्ध-अक्ष है)। खंड F_1M तथा F_2M अतिपरवलय के एक मनमाना बिंदु M को उसके नाभियों से जोड़ने वाले खंड M की फोकल त्रिज्या कहलाते हैं। अतिपरवलय के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड अतिपरवलय की जीवा कहलाता है।

संबंध e=\frac(c)(a) , कहा पे c=\sqrt(a^2+b^2) , कहा जाता है अतिशयोक्तिपूर्ण विलक्षणता. परिभाषा से (2a .)<2c) следует, что e>1 .

अतिपरवलय की ज्यामितीय परिभाषा, इसकी फोकल संपत्ति को व्यक्त करना, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - हाइपरबोला के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

दरअसल, आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय दें (चित्र 3.40, बी)। हम हाइपरबोला के केंद्र O को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में लेते हैं; फॉसी (फोकल अक्ष) से ​​गुजरने वाली सीधी रेखा, हम एब्सिस्सा अक्ष (बिंदु F_1 से बिंदु F_2 तक उस पर सकारात्मक दिशा) के रूप में लेंगे; एब्सिस्सा अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा और हाइपरबोला के केंद्र से गुजरने वाली को कोर्डिनेट अक्ष के रूप में लिया जाता है (ऑर्डिनेट अक्ष पर दिशा को चुना जाता है ताकि आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी सही हो)।

आइए फोकल गुण को व्यक्त करने वाली ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए अतिपरवलय का समीकरण लिखें। चयनित समन्वय प्रणाली में, हम foci के निर्देशांक निर्धारित करते हैं F_1(-c,0) तथा F_2(c,0) । हाइपरबोला से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x,y) के लिए, हमारे पास है:

\बाएं||\ओवरराइटएरो(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

दीर्घवृत्त समीकरण (अर्थात तर्कहीनता से छुटकारा) की व्युत्पत्ति में उपयोग किए गए परिवर्तनों के समान प्रदर्शन करते हुए, हम अतिपरवलय के विहित समीकरण पर पहुँचते हैं:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

जहाँ b=\sqrt(c^2-a^2) , यानी। चयनित समन्वय प्रणाली विहित है।

पीछे की ओर तर्क करके, यह दिखाया जा सकता है कि वे सभी बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरण (3.50) को संतुष्ट करते हैं, और केवल वे, अतिपरवलय कहे जाने वाले बिंदुओं के बिंदुपथ से संबंधित हैं। इस प्रकार, हाइपरबोला की विश्लेषणात्मक परिभाषा इसकी ज्यामितीय परिभाषा के बराबर है।

हाइपरबोला की निर्देशिका संपत्ति

हाइपरबोला की डायरेक्ट्रीक्स को दो सीधी रेखाएं कहा जाता है जो समान दूरी पर विहित समन्वय प्रणाली के y-अक्ष के समानांतर गुजरती हैं। a^2\!\!\not(\phantom(|))\,cइससे (चित्र। 3.41, ए)। के लिए a=0 , जब अतिपरवलय प्रतिच्छेदी रेखाओं के एक युग्म में परिवर्तित हो जाता है, तो नियतांक संपाती हो जाते हैं।

विलक्षणता के साथ एक अतिपरवलय e=1 को विमान में बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए किसी दिए गए बिंदु F (फोकस) से दूरी का अनुपात किसी दी गई सीधी रेखा d (डायरेक्ट्रिक्स) से होता है। किसी दिए गए बिंदु से नहीं गुजरना स्थिर है और विलक्षणता के बराबर है e ( हाइपरबोला की निर्देशिका संपत्ति) यहाँ F और d हाइपरबोला के फॉसी में से एक हैं और इसके एक डायरेक्ट्रिक्स हैं, जो विहित समन्वय प्रणाली के y-अक्ष के एक ही तरफ स्थित हैं।

दरअसल, उदाहरण के लिए, फोकस F_2 और डायरेक्ट्रिक्स d_2 (चित्र। 3.41, ए) के लिए स्थिति \frac(r_2)(\rho_2)=eसमन्वय रूप में लिखा जा सकता है:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)

अतार्किकता से छुटकारा और प्रतिस्थापित करना e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, हम अतिपरवलय (3.50) के विहित समीकरण पर पहुंचते हैं। फोकस F_1 और डायरेक्ट्रिक्स d_1 के लिए भी इसी तरह के तर्क दिए जा सकते हैं:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right )

ध्रुवीय निर्देशांक में अतिपरवलय समीकरण

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में अतिपरवलय की दाहिनी शाखा का समीकरण F_2r\varphi (चित्र 3.41, b) का रूप है

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), कहा पे p=\frac(p^2)(a) - अतिपरवलय फोकल पैरामीटर.

वास्तव में, चलो हाइपरबोला के सही फोकस F_2 को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव के रूप में चुनते हैं, और बिंदु F_2 पर मूल के साथ किरण, F_1F_2 रेखा से संबंधित है, लेकिन बिंदु F_1 (चित्र। 3.41, बी) से संबंधित नहीं है। ध्रुवीय अक्ष के रूप में। फिर अतिपरवलय की दाहिनी शाखा से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(r,\varphi) के लिए, अतिपरवलय की ज्यामितीय परिभाषा (फोकल गुण) के अनुसार, हमारे पास F_1M-r=2a है। हम बिंदुओं के बीच की दूरी को व्यक्त करते हैं M(r,\varphi) और F_1(2c,\pi) (टिप्पणी 2.8 का बिंदु 2 देखें):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)।

इसलिए, समन्वय रूप में, हाइपरबोला के समीकरण का रूप होता है

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

हम रेडिकल को अलग करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं, 4 से विभाजित करते हैं और समान पद देते हैं:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ दाएं) आर = सी ^ 2-ए ^ 2।

हम ध्रुवीय त्रिज्या r व्यक्त करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

क्यू.ई.डी. ध्यान दें कि ध्रुवीय निर्देशांक में, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त समीकरण मेल खाते हैं, लेकिन विभिन्न रेखाओं का वर्णन करते हैं, क्योंकि वे विलक्षणता में भिन्न होते हैं (e>1 अतिपरवलय के लिए, 0\leqslant e<1 для эллипса).

अतिपरवलय समीकरण में गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ

आइए अतिपरवलय (अंजीर। 3.42, क) के भुज अक्ष (अतिपरवलय के शीर्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। समीकरण में y=0 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज पाते हैं: x=\pm a । इसलिए, शीर्षों में निर्देशांक होते हैं (-a,0),\,(a,0) । शीर्षों को जोड़ने वाले खंड की लंबाई 2a है। इस खंड को अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष कहा जाता है, और संख्या a अतिपरवलय का वास्तविक अर्ध-अक्ष है। x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=\pm ib प्राप्त होता है। बिंदुओं को जोड़ने वाले y-अक्ष के खंड की लंबाई (0,-b),\,(0,b) 2b के बराबर है। इस खंड को अतिपरवलय का काल्पनिक अक्ष कहा जाता है, और संख्या b को अतिपरवलय का काल्पनिक अर्ध-अक्ष कहा जाता है। हाइपरबोला वास्तविक अक्ष वाली रेखा को काटता है और काल्पनिक अक्ष वाली रेखा को नहीं काटता है।

टिप्पणी 3.10.

1. रेखाएँ x=\pm a,~y=\pm b निर्देशांक तल पर मुख्य आयत को सीमित करती हैं, जिसके बाहर अतिपरवलय स्थित है (चित्र 3.42, a)।

2. मुख्य आयत के विकर्णों वाली सीधी रेखाएँ अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहलाती हैं (चित्र 3.42, क)।

के लिए समबाहु अतिपरवलय, समीकरण द्वारा वर्णित (अर्थात a=b के साथ), मुख्य आयत एक वर्ग है, जिसके विकर्ण लंबवत हैं। इसलिए, एक समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख भी लंबवत होते हैं, और उन्हें आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्स "वाई" (चित्र। 3.42, बी) के समन्वय अक्षों के रूप में लिया जा सकता है। इस समन्वय प्रणाली में, अतिपरवलय समीकरण का रूप होता है y"=\frac(a^2)(2x")(हाइपरबोला व्युत्क्रमानुपाती संबंध व्यक्त करने वाले प्राथमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ मेल खाता है)।

दरअसल, आइए हम विहित समन्वय प्रणाली को कोण से घुमाते हैं \varphi=-\frac(\pi)(4)(चित्र। 3.42, बी)। इस मामले में, पुराने और नए समन्वय प्रणालियों में बिंदु के निर्देशांक समानता से संबंधित हैं

\बाएं\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ लेफ्ट\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(aligned)\right.

इन भावों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1एक समबाहु अतिपरवलय और समान पदों को लाने पर, हम प्राप्त करते हैं

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x")।

3. निर्देशांक अक्ष (विहित समन्वय प्रणाली के) अतिपरवलय की सममिति की कुल्हाड़ियां हैं (जिन्हें अतिपरवलय का मुख्य अक्ष कहा जाता है), और इसका केंद्र सममिति का केंद्र है।

वास्तव में, यदि बिंदु M(x,y) अतिपरवलय से संबंधित है। तब बिंदु M"(x,y) और M""(-x,y) , जो निर्देशांक अक्षों के संबंध में बिंदु M के सममित हैं, भी उसी अतिपरवलय से संबंधित हैं।

समरूपता की धुरी, जिस पर अतिपरवलय का फॉसी स्थित है, फोकल अक्ष है।

4. ध्रुवीय निर्देशांक में अतिपरवलय समीकरण से r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(अंजीर देखें। 3.41, बी) फोकल पैरामीटर का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट किया गया है - यह हाइपरबोला की जीवा की लंबाई का आधा है जो फोकल अक्ष के लंबवत फोकस से गुजरता है (r = p पर \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. विलक्षणता ई हाइपरबोला के आकार की विशेषता है। जितना अधिक ई, हाइपरबोला की शाखाएं उतनी ही चौड़ी होती हैं, और एक के करीब ई, हाइपरबोला की शाखाएं संकरी होती हैं (चित्र। 3.43, ए)।

दरअसल, इसकी शाखा वाले अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख के बीच के कोण का मान \gamma मुख्य आयत के पक्षों के अनुपात से निर्धारित होता है: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). इसे ध्यान में रखते हुए e=\frac(c)(a) तथा c^2=a^2+b^2 , हम प्राप्त करते हैं

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

जितना बड़ा e , उतना बड़ा \gamma कोण। एक समबाहु अतिपरवलय (a=b) के लिए हमारे पास e=\sqrt(2) and . है \gamma=\frac(\pi)(2). e>\sqrt(2) के लिए कोण \gamma अधिक है, लेकिन 1 . के लिए

6. समीकरणों द्वारा एक ही समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो अतिपरवलय \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1और कहा जाता है एक दूसरे से जुड़े. संयुग्मित अतिपरवलय में समान स्पर्शोन्मुख (चित्र 3.43, बी) होते हैं। संयुग्मित अतिपरवलय समीकरण -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1निर्देशांक अक्षों (3.38) का नाम बदलकर विहित एक में घटा दिया गया है।

7. समीकरण \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1बिंदु O "(x_0, y_0) पर केंद्रित एक अतिपरवलय को परिभाषित करता है, जिसकी कुल्हाड़ियां निर्देशांक अक्षों के समानांतर होती हैं (चित्र 3.43, c)। यह समीकरण समानांतर अनुवाद (3.36) का उपयोग करके विहित समीकरण में बदल जाता है। समीकरण -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1बिंदु O"(x_0,y_0) पर केंद्रित एक संयुग्मित अतिपरवलय को परिभाषित करता है।

अतिपरवलय का पैरामीट्रिक समीकरण

विहित समन्वय प्रणाली में एक अतिपरवलय के पैरामीट्रिक समीकरण का रूप है

\begin(मामलों)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

कहाँ पे \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- अतिपरवलयिक कोज्या, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2)अतिशयोक्तिपूर्ण साइन।

वास्तव में, निर्देशांक व्यंजकों को समीकरण (3.50) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम मुख्य अतिपरवलयिक सर्वसमिका पर पहुँचते हैं \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1.

उदाहरण 3.21।एक अतिशयोक्ति बनाएं \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1विहित समन्वय प्रणाली ऑक्सी में। अर्ध-अक्ष, फोकस दूरी, उत्केंद्रता, फोकल पैरामीटर, स्पर्शोन्मुख और डायरेक्ट्रिक्स के समीकरण खोजें।

फेसला।दिए गए समीकरण की विहित समीकरण से तुलना करते हुए, हम अर्ध-अक्ष निर्धारित करते हैं: a=2 - वास्तविक अर्ध-अक्ष, b=3 - अतिपरवलय का काल्पनिक अर्ध-अक्ष। हम मुख्य आयत का निर्माण करते हैं जिसकी भुजाएँ 2a=4,~2b=6 मूल बिंदु पर केंद्रित हैं (चित्र 3.44)। हम मुख्य आयत के विकर्णों को फैलाकर अनंतस्पर्शी रेखाएँ खींचते हैं। हम निर्देशांक अक्षों के बारे में इसकी समरूपता को ध्यान में रखते हुए एक अतिपरवलय का निर्माण करते हैं। यदि आवश्यक हो, तो हम अतिपरवलय के कुछ बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, अतिपरवलय समीकरण में x=4 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

इसलिए, निर्देशांक वाले बिंदु (4;3\sqrt(3)) और (4;-3\sqrt(3)) अतिपरवलय से संबंधित हैं। फोकल लंबाई की गणना

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

सनक e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); फोकल पैरामीटर p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. हम स्पर्शोन्मुख समीकरणों की रचना करते हैं y=\pm\frac(b)(a)\,x, अर्थात y=\pm\frac(3)(2)\,x, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

बाकी पाठकों के लिए, मैं उनके स्कूली ज्ञान को परवलय और अतिपरवलय के बारे में महत्वपूर्ण रूप से फिर से भरने का प्रस्ताव करता हूं। अतिपरवलय और परवलय - क्या यह सरल है? ... रुको मत =)

अतिपरवलय और उसके विहित समीकरण

सामग्री की प्रस्तुति की सामान्य संरचना पिछले पैराग्राफ के समान होगी। आइए हाइपरबोला की सामान्य अवधारणा और इसके निर्माण की समस्या से शुरू करें।

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। ध्यान दें, विपरीत अंडाकार, यहाँ शर्त नहीं लगाई गई है, अर्थात "a" का मान "be" के मान से कम हो सकता है।

मुझे कहना होगा, काफी अप्रत्याशित रूप से ... "स्कूल" अतिशयोक्ति का समीकरण भी विहित रिकॉर्ड के समान नहीं है। लेकिन इस पहेली को अभी भी हमारे लिए इंतजार करना होगा, लेकिन अभी के लिए हम अपने सिर के पिछले हिस्से को खरोंचते हैं और याद करते हैं कि विचाराधीन वक्र की क्या विशेषता है? आइए इसे अपनी कल्पना के पर्दे पर फैलाएं फंक्शन ग्राफ ….

हाइपरबोला की दो सममित शाखाएँ होती हैं।

अच्छी प्रगति! किसी भी अतिशयोक्ति में ये गुण होते हैं, और अब हम इस रेखा की नेकलाइन पर वास्तविक प्रशंसा के साथ देखेंगे:

उदाहरण 4

समीकरण द्वारा दिए गए अतिपरवलय की रचना कीजिए

फेसला: पहले चरण में, हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं। कृपया सामान्य प्रक्रिया याद रखें। दाईं ओर, आपको "एक" प्राप्त करने की आवश्यकता है, इसलिए हम मूल समीकरण के दोनों भागों को 20 से विभाजित करते हैं:

यहां आप दोनों भिन्नों को कम कर सकते हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक को बनाना अधिक इष्टतम है तीन मंजिला:

और उसके बाद ही कमी को पूरा करने के लिए:

हम हर में वर्गों का चयन करते हैं:

इस तरह से परिवर्तन करना बेहतर क्यों है? आखिरकार, बाईं ओर के अंशों को तुरंत कम किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि विचाराधीन उदाहरण में, हम थोड़े भाग्यशाली थे: संख्या 20, 4 और 5 दोनों से विभाज्य है। सामान्य स्थिति में, ऐसी संख्या काम नहीं करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ, विभाज्यता के साथ, सब कुछ दुखद और बिना है तीन मंजिला अंशअब जरूरत नहीं:

तो, आइए हमारे परिश्रम के फल का उपयोग करें - विहित समीकरण:

हाइपरबोले का निर्माण कैसे करें?

हाइपरबोला के निर्माण के दो तरीके हैं - ज्यामितीय और बीजीय।
व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक कम्पास के साथ ड्राइंग ... मैं यूटोपियन भी कहूंगा, इसलिए सरल गणनाओं को फिर से बचाव में लाना अधिक लाभदायक है।

निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना उचित है, पहले तैयार ड्राइंग, फिर टिप्पणियाँ:

व्यवहार में, एक मनमाना कोण के माध्यम से घूर्णन का संयोजन और एक अतिपरवलय के समानांतर अनुवाद का अक्सर सामना किया जाता है। पाठ में इस स्थिति पर चर्चा की गई है। द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

परवलय और उसके विहित समीकरण

यह हो चुका है! वह सबसे ज्यादा है। कई राज खोलने को तैयार हैं। एक परवलय के विहित समीकरण का रूप होता है, जहाँ एक वास्तविक संख्या होती है। यह देखना आसान है कि इसकी मानक स्थिति में परवलय "अपनी तरफ स्थित है" और इसका शीर्ष मूल में है। इस मामले में, फ़ंक्शन इस लाइन की ऊपरी शाखा को सेट करता है, और फ़ंक्शन निचली शाखा को सेट करता है। जाहिर है, परवलय अक्ष के बारे में सममित है। दरअसल, क्या नहाएं:

उदाहरण 6

एक परवलय बनाएँ

फेसला: शीर्ष ज्ञात है, आइए अतिरिक्त बिंदु खोजें। समीकरण परवलय के ऊपरी चाप को निर्धारित करता है, समीकरण निचले चाप को निर्धारित करता है।

रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, हम "उसी ब्रश के नीचे" गणना करेंगे:

कॉम्पैक्ट नोटेशन के लिए, परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।

प्राथमिक बिंदु-दर-बिंदु आरेखण करने से पहले, हम एक सख्त . तैयार करते हैं

एक परवलय की परिभाषा:

एक परवलय एक विमान में सभी बिंदुओं का समूह होता है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं और एक दी गई रेखा जो बिंदु से नहीं गुजरती है।

बिंदु कहा जाता है केंद्रपरवलय, सीधी रेखा स्कूल की संचालिका (एक "es" के साथ लिखा)परवलय विहित समीकरण के स्थिर "पे" को कहा जाता है फोकल पैरामीटर, जो फोकस से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी के बराबर है। पर इस मामले में. इस मामले में, फोकस में निर्देशांक होते हैं, और निर्देश समीकरण द्वारा दिया जाता है।
हमारे उदाहरण में:

एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय की परिभाषाओं की तुलना में एक परवलय की परिभाषा को समझना और भी आसान है। परवलय के किसी भी बिंदु के लिए, खंड की लंबाई (फोकस से बिंदु तक की दूरी) लंबवत की लंबाई (बिंदु से दिशा की दूरी) के बराबर होती है:

बधाई हो! आप में से कई लोगों ने आज एक वास्तविक खोज की है। यह पता चला है कि हाइपरबोला और परबोला "साधारण" कार्यों के सभी ग्राफ़ पर नहीं हैं, लेकिन एक स्पष्ट ज्यामितीय मूल है।

जाहिर है, फोकल पैरामीटर में वृद्धि के साथ, ग्राफ की शाखाएं ऊपर और नीचे "फैल" जाएंगी, अक्ष के असीम रूप से करीब आ जाएंगी। "पे" के मूल्य में कमी के साथ, वे धुरी के साथ सिकुड़ना और खिंचाव करना शुरू कर देंगे

किसी भी परवलय की विलक्षणता एक के बराबर होती है:

परवलय का घूर्णन और अनुवाद

परवलय गणित में सबसे आम पंक्तियों में से एक है, और आपको इसे वास्तव में अक्सर बनाना होगा। इसलिए, कृपया पाठ के अंतिम पैराग्राफ पर विशेष ध्यान दें, जहां मैं इस वक्र के स्थान के लिए विशिष्ट विकल्पों का विश्लेषण करूंगा।

! टिप्पणी : जैसा कि पिछले वक्रों के मामलों में, समन्वय अक्षों के रोटेशन और समानांतर अनुवाद के बारे में बात करना अधिक सही है, लेकिन लेखक खुद को प्रस्तुति के सरलीकृत संस्करण तक सीमित रखेगा ताकि पाठक के पास प्रारंभिक विचार हो ये परिवर्तन।

परिभाषा। हाइपरबोला विमान y में बिंदुओं का स्थान है, जिनमें से प्रत्येक की दूरी में अंतर का निरपेक्ष मान, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से, जिसे foci कहा जाता है, y का एक स्थिर मूल्य है, बशर्ते कि यह मान बराबर न हो शून्य और फोकस के बीच की दूरी से कम है।

आइए हम फ़ॉसी के बीच की दूरी को हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से फ़ॉसी के बीच की दूरी के बीच अंतर के मापांक के बराबर एक स्थिर मान के रूप में निरूपित करें, (शर्त के अनुसार)। जैसा कि एक दीर्घवृत्त के मामले में, हम नाभियों के माध्यम से भुज अक्ष खींचते हैं, और खंड के मध्य को मूल के रूप में लेते हैं (चित्र 44 देखें)। ऐसी प्रणाली में फॉसी में निर्देशांक होंगे आइए हम चुने हुए समन्वय प्रणाली में हाइपरबोला के समीकरण को प्राप्त करें। हाइपरबोला की परिभाषा के अनुसार, इसके किसी भी बिंदु के लिए हमारे पास या

लेकिन । इसलिए, हमें मिलता है

दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते समय किए गए सरलीकरणों के समान, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

जो समीकरण (33) का परिणाम है।

यह देखना आसान है कि यह समीकरण एक दीर्घवृत्त के लिए प्राप्त समीकरण (27) से मेल खाता है। हालांकि, समीकरण (34) में अंतर, हाइपरबोला के लिए के बाद से। इसलिए, हम डालते हैं

तब समीकरण (34) को निम्न रूप में घटाया जाता है:

इस समीकरण को अतिपरवलय का विहित समीकरण कहा जाता है। समीकरण (36), समीकरण (33) के परिणाम के रूप में, अतिपरवलय के किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है। यह दिखाया जा सकता है कि अतिपरवलय पर स्थित नहीं होने वाले बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण (36) को संतुष्ट नहीं करते हैं।

आइए हम इसके विहित समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय का रूप स्थापित करें। इस समीकरण में वर्तमान निर्देशांक की केवल सम शक्तियाँ हैं। नतीजतन, हाइपरबोला में समरूपता के दो अक्ष होते हैं, इस मामले में समन्वय अक्षों के साथ मेल खाते हैं। निम्नलिखित में, अतिपरवलय की सममिति की कुल्हाड़ियों को अतिपरवलय का अक्ष कहा जाएगा, और उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु को अतिपरवलय का केंद्र कहा जाएगा। अतिपरवलय का वह अक्ष जिस पर नाभियाँ स्थित होती हैं, फोकल अक्ष कहलाती है। हम पहली तिमाही में अतिपरवलय के आकार का पता लगाते हैं, जहां

यहाँ, क्योंकि अन्यथा y काल्पनिक मान लेगा। x जैसे-जैसे a से बढ़ता है, यह 0 से बढ़ता जाता है, पहली तिमाही में अतिपरवलय का भाग चित्र में दिखाया गया चाप होगा। 47.

चूंकि अतिपरवलय निर्देशांक अक्षों के सममित रूप से स्थित होता है, इसलिए इस वक्र का रूप चित्र में दिखाया गया है। 47.

फोकल अक्ष के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु इसके शीर्ष कहलाते हैं। अतिपरवलय समीकरण में मानते हुए, हम इसके शीर्षों के भुज ज्ञात करते हैं: . इस प्रकार, अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं: . अतिपरवलय y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है। वास्तव में, अतिपरवलय समीकरण में डालने पर हमें y: के लिए काल्पनिक मान प्राप्त होते हैं। इसलिए, अतिपरवलय के फोकल अक्ष को वास्तविक अक्ष कहा जाता है, और फोकल अक्ष के लंबवत समरूपता के अक्ष को अतिपरवलय का काल्पनिक अक्ष कहा जाता है।

वास्तविक अक्ष को अतिपरवलय के शीर्षों को जोड़ने वाला खंड भी कहा जाता है और इसकी लंबाई 2a है। बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड (चित्र 47 देखें), साथ ही इसकी लंबाई को अतिपरवलय का काल्पनिक अक्ष कहा जाता है। संख्या a और b क्रमशः अतिपरवलय के वास्तविक और काल्पनिक अर्धअक्ष कहलाते हैं।

अब पहले चतुर्थांश में स्थित एक अतिपरवलय पर विचार करें और जो फलन का ग्राफ है

आइए हम दिखाते हैं कि मूल बिंदु से पर्याप्त दूरी पर स्थित इस ग्राफ के बिंदु मनमाने ढंग से सीधी रेखा के करीब हैं

उद्गम से गुजरना और ढलान होना

इसके लिए, दो बिंदुओं पर विचार करें जिनमें समान भुज हैं और वक्र (37) और सीधी रेखा (38) (चित्र 48) पर क्रमशः स्थित हैं, और इन बिंदुओं के निर्देशांक के बीच अंतर बनाते हैं।

इस भिन्न का अंश एक स्थिर मान है, और हर असीमित वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। इसलिए, अंतर शून्य हो जाता है, यानी, बिंदु एम और एन एब्सिस्सा में असीमित वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक पहुंचते हैं।

समन्वय अक्षों के संबंध में अतिपरवलय की समरूपता से, यह इस प्रकार है कि एक और सीधी रेखा है, जिसके लिए अतिपरवलय के बिंदु मूल से असीमित दूरी पर मनमाने ढंग से करीब हैं। सीधे

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहलाते हैं।

अंजीर पर। 49 अतिपरवलय और उसके स्पर्शोन्मुख की सापेक्ष स्थिति को दर्शाता है। यह आंकड़ा यह भी दिखाता है कि हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख का निर्माण कैसे किया जाता है।

ऐसा करने के लिए, एक आयत का निर्माण करें जो मूल बिंदु पर केंद्रित हो और जिसकी भुजाएँ कुल्हाड़ियों के समानांतर हों और, क्रमशः, के बराबर हों। इस आयत को मुख्य आयत कहते हैं। इसके प्रत्येक विकर्ण, दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तारित, एक अतिपरवलय का एक स्पर्शोन्मुख है। हाइपरबोला की रचना करने से पहले, इसके स्पर्शोन्मुख बनाने की सिफारिश की जाती है।

हाइपरबोला के वास्तविक अर्ध-अक्ष के लिए फॉसी के बीच की आधी दूरी के अनुपात को हाइपरबोला की विलक्षणता कहा जाता है और आमतौर पर इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है:

चूंकि अतिपरवलय के लिए अतिपरवलय की उत्केन्द्रता एक से अधिक होती है: उत्केन्द्रता अतिपरवलय के आकार की विशेषता है

वास्तव में, यह सूत्र (35) से इस प्रकार है कि . इससे पता चलता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी,

अनुपात जितना छोटा होगा - उसके अर्ध-अक्षों का। लेकिन संबंध - हाइपरबोला के मुख्य आयत के आकार को निर्धारित करता है, और इसलिए हाइपरबोला का आकार ही। हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसका मुख्य आयत (फोकल अक्ष की दिशा में) उतना ही विस्तारित होगा।

अतिपरवलय और परवलय

आइए लेख के दूसरे भाग पर चलते हैं। दूसरे क्रम की पंक्तियों के बारे में, दो अन्य सामान्य वक्रों को समर्पित - अतिशयोक्तिऔर परवलय. यदि आप इस पृष्ठ पर एक खोज इंजन से आए हैं या अभी तक विषय को नेविगेट करने का समय नहीं है, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ के पहले खंड का अध्ययन करें, जिसमें हमने न केवल मुख्य सैद्धांतिक बिंदुओं की जांच की, बल्कि परिचित भी हुए। साथ अंडाकार. बाकी पाठकों के लिए, मैं उनके स्कूली ज्ञान को परवलय और अतिपरवलय के बारे में महत्वपूर्ण रूप से फिर से भरने का प्रस्ताव करता हूं। अतिपरवलय और परवलय - क्या यह सरल है? ... रुको मत =)

अतिपरवलय और उसके विहित समीकरण

सामग्री की प्रस्तुति की सामान्य संरचना पिछले पैराग्राफ के समान होगी। आइए हाइपरबोला की सामान्य अवधारणा और इसके निर्माण की समस्या से शुरू करें।

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। ध्यान दें, विपरीत अंडाकार, यहाँ शर्त नहीं लगाई गई है, अर्थात "a" का मान "be" के मान से कम हो सकता है।

मुझे कहना होगा, काफी अप्रत्याशित रूप से ... "स्कूल" अतिशयोक्ति का समीकरण भी विहित रिकॉर्ड के समान नहीं है। लेकिन इस पहेली को अभी भी हमारे लिए इंतजार करना होगा, लेकिन अभी के लिए हम अपने सिर के पिछले हिस्से को खरोंचते हैं और याद करते हैं कि विचाराधीन वक्र की क्या विशेषता है? आइए इसे अपनी कल्पना के पर्दे पर फैलाएं फंक्शन ग्राफ ….

हाइपरबोला की दो सममित शाखाएँ होती हैं।

अतिशयोक्ति में दो होते हैं स्पर्शोन्मुख.

अच्छी प्रगति! किसी भी अतिशयोक्ति में ये गुण होते हैं, और अब हम इस रेखा की नेकलाइन पर वास्तविक प्रशंसा के साथ देखेंगे:

उदाहरण 4

समीकरण द्वारा दिए गए अतिपरवलय की रचना कीजिए

फेसला: पहले चरण में, हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं। कृपया सामान्य प्रक्रिया याद रखें। दाईं ओर, आपको "एक" प्राप्त करने की आवश्यकता है, इसलिए हम मूल समीकरण के दोनों भागों को 20 से विभाजित करते हैं:

यहां आप दोनों भिन्नों को कम कर सकते हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक को बनाना अधिक इष्टतम है तीन मंजिला:

और उसके बाद ही कमी को पूरा करने के लिए:

हम हर में वर्गों का चयन करते हैं:

इस तरह से परिवर्तन करना बेहतर क्यों है? आखिरकार, बाईं ओर के अंशों को तुरंत कम किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि विचाराधीन उदाहरण में, हम थोड़े भाग्यशाली थे: संख्या 20, 4 और 5 दोनों से विभाज्य है। सामान्य स्थिति में, ऐसी संख्या काम नहीं करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ, विभाज्यता के साथ, सब कुछ दुखद और बिना है तीन मंजिला अंशअब जरूरत नहीं:

तो, आइए हमारे परिश्रम के फल का उपयोग करें - विहित समीकरण:

हाइपरबोले का निर्माण कैसे करें?

हाइपरबोला के निर्माण के दो तरीके हैं - ज्यामितीय और बीजीय।
व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक कम्पास के साथ ड्राइंग ... मैं यूटोपियन भी कहूंगा, इसलिए सरल गणनाओं को फिर से बचाव में लाना अधिक लाभदायक है।

निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना उचित है, पहले तैयार ड्राइंग, फिर टिप्पणियाँ:

1) सबसे पहले, हम पाते हैं स्पर्शोन्मुख. यदि अतिपरवलय विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो इसके स्पर्शोन्मुख हैं: सीधा . हमारे मामले में: . यह वस्तु आवश्यक है!यह ड्राइंग की एक मूलभूत विशेषता है, और यह एक बड़ी गलती होगी यदि हाइपरबोला की शाखाएं अपने स्पर्शोन्मुख से परे "क्रॉल" करती हैं।

2) अब हम पाते हैं अतिपरवलय के दो शीर्ष, जो x-अक्ष पर बिन्दुओं पर स्थित हैं . यह मूल रूप से व्युत्पन्न है: यदि, तो विहित समीकरण में बदल जाता है, जहां से यह इस प्रकार है। माना अतिपरवलय में शीर्ष होते हैं

3) हम अतिरिक्त बिंदुओं की तलाश कर रहे हैं। आमतौर पर 2-3 पर्याप्त है। विहित स्थिति में, हाइपरबोला मूल और दोनों समन्वय अक्षों के बारे में सममित है, इसलिए यह पहली समन्वय तिमाही के लिए गणना करने के लिए पर्याप्त है। तकनीक बिल्कुल निर्माण के समान ही है अंडाकार. मसौदे पर विहित समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं:

समीकरण दो कार्यों में टूट जाता है:
- हाइपरबोला के ऊपरी चापों को परिभाषित करता है (हमें क्या चाहिए);
- हाइपरबोला के निचले चापों को परिभाषित करता है।

यह एब्सिसास के साथ अंक खोजने का सुझाव देता है:

4) रेखाचित्र पर अनंतस्पर्शी रेखाएँ खींचिए , कोने , अन्य समन्वय तिमाहियों में अतिरिक्त और सममित बिंदु। हम हाइपरबोला की प्रत्येक शाखा में संबंधित बिंदुओं को सावधानीपूर्वक जोड़ते हैं:

एक तर्कहीन के साथ एक तकनीकी कठिनाई उत्पन्न हो सकती है ढलान कारक, लेकिन यह पूरी तरह से हल करने योग्य समस्या है।

रेखा खंडबुलाया वास्तविक धुरीअतिशयोक्ति,
इसकी लंबाई - कोने के बीच की दूरी;
संख्या बुलाया वास्तविक अर्ध-अक्षअतिशयोक्ति;
संख्या – काल्पनिक धुरी.

हमारे उदाहरण में: , और, जाहिर है, यदि दिए गए अतिपरवलय को सममिति के केंद्र के चारों ओर घुमाया जाता है और/या स्थानांतरित किया जाता है, तो ये मान बदलेगा नहीं.

हाइपरबोला की परिभाषा। Foci और विलक्षणता

एक अतिशयोक्ति में, उसी तरह जैसे in अंडाकार, दो एकवचन बिंदु हैं, जिन्हें कहा जाता है चाल. मैंने यह नहीं कहा, लेकिन अगर अचानक कोई गलत समझे: समरूपता का केंद्र और फोकस बिंदु, निश्चित रूप से, वक्र से संबंधित नहीं हैं.

परिभाषा की सामान्य अवधारणा भी समान है:

अतिशयोक्तिसमतल में सभी बिंदुओं का समुच्चय है, निरपेक्ष मूल्यदो दिए गए बिंदुओं में से प्रत्येक की दूरियों का अंतर एक स्थिर मान है, संख्यात्मक रूप से इस अतिपरवलय के शीर्षों के बीच की दूरी के बराबर: . इस मामले में, foci के बीच की दूरी वास्तविक अक्ष की लंबाई से अधिक है: .

यदि अतिपरवलय विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो समरूपता के केंद्र से प्रत्येक foci . की दूरीसूत्र द्वारा गणना:।
और, तदनुसार, फ़ोकस में निर्देशांक होते हैं .

अध्ययन किए गए हाइपरबोला के लिए:

आइए परिभाषा पर चलते हैं। फॉसी से हाइपरबोला के एक मनमाना बिंदु तक की दूरी को निरूपित करें:

सबसे पहले, हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के साथ नीले बिंदु को मानसिक रूप से स्थानांतरित करें - हम जहां भी हों, मापांक(पूर्ण मान) खंडों की लंबाई के बीच का अंतर समान होगा:

यदि बिंदु को बाईं शाखा में "फेंक दिया" जाता है, और वहां ले जाया जाता है, तो यह मान अपरिवर्तित रहेगा।

मापांक का संकेत इस कारण से आवश्यक है कि लंबाई में अंतर सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। वैसे, दाहिनी शाखा पर किसी भी बिंदु के लिए (क्योंकि खंड खंड से छोटा है)। बाईं शाखा के किसी भी बिंदु के लिए स्थिति बिल्कुल विपरीत होती है और .

इसके अलावा, मापांक की स्पष्ट संपत्ति को देखते हुए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या घटाना है।

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में इस अंतर का मापांक वास्तव में कोने के बीच की दूरी के बराबर है। हाइपरबोला के दाहिने शीर्ष पर मानसिक रूप से एक बिंदु रखें। फिर: , जिसकी जांच होनी थी।