अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक चर को एक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर, पहले से अज्ञात एक मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगऔर निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर- यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकता है, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता से हमारा तात्पर्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों को क्रमांकित किया जा सकता है।

उदाहरण 1 . यहां असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दिए गए हैं:

a) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

बी) सिक्का उछालते समय गिराए गए प्रतीकों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

ग) बोर्ड पर आने वाले जहाजों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।

घ) पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का गणनीय सेट)।

1. असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ संभावनाओं $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ के साथ मान $x_1,\dots ,\ x_n$ ले सकता है। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति मानों को इंगित करती है $x_1,\dots ,\ x_n$, और दूसरी पंक्ति में संभावनाएं शामिल हैं $p_1,\dots ,\ p_n$ के अनुरूप ये मूल्य.

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \dots और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \dots और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$

उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासा उछालने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान ले सकता है: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की संभावनाएँ $1/6$ के बराबर हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(सरणी)$

टिप्पणी. चूँकि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण नियम में घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $ \sum(p_i)=1$.

2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षाइसका "केंद्रीय" अर्थ निर्धारित करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना $x_1,\dots ,\ x_n$ मानों और इन मानों के अनुरूप संभावनाओं $p_1,\dots ,\ p_n$ के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी भाषा के साहित्य में, एक अन्य संकेतन $E\left(X\right)$ का उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण$M\बाएं(X\दाएं)$:

1. $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों के बीच स्थित है।
2. किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात। $M\left(C\right)=C$.
3. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

उदाहरण 3 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\ओवर (6))+4\cdot ((1)\ओवर (6))+5\cdot ((1)\ओवर (6))+6\cdot ((1) )\ओवर (6))=3.5.$$

हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच स्थित है।

उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ मिलता है cdot 2 +5=$11.

उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है cdot 4 -9=-1$.

3. असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से फैल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा का औसत स्कोर 4 निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता है जो यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा के आसपास प्रसार को दिखाएगी। यह विशेषता है फैलाव.

असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण$X$ इसके बराबर है:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

अंग्रेजी साहित्य में $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ का प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) का उपयोग करके की जाती है बाएँ(X \दाएँ)\दाएँ))^2$।

फैलाव गुण$D\left(X\right)$:

1. विचरण हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X\right)\ge 0$.
2. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है, अर्थात $D\left(C\right)=0$.
3. स्थिरांक गुणनखंड को विचरण के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्गांकित हो, अर्थात। $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के बीच अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

उदाहरण 6 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना करें।

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\ओवर (6))\cdot (\left(6-3.5\दाएं))^2=((35)\ओवर (12))\लगभग 2.92.$$

उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= पाते हैं 16D\ बाएँ(X\दाएँ)=16\cdot 2=32$.

उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= पाते हैं 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$.

4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि एकमात्र नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।

वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ को एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ कहा जाता है, जो यह संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेगा, अर्थात, $F\ बाएँ(x\दाएँ )=P\बाएँ(X< x\right)$

वितरण फलन के गुण:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ से मान लेगा, इसके अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है अंतराल: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - न घटने वाला।
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$.

उदाहरण 9 . आइए उदाहरण $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ ढूंढें।

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$

यदि $x\le 1$, तो, जाहिर है, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$).

यदि $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

यदि $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

यदि $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

यदि $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

यदि $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

यदि $x > 6$, तो $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

तो $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,पर\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2,पर\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ के लिये\ x > 6.
\end(मैट्रिक्स)\right.$

संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, प्रयोग की मात्रात्मक विशेषताएं प्राथमिक महत्व की हैं। एक मात्रा जिसे मात्रात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप मामले के आधार पर विभिन्न मान ले सकती है, कहलाती है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

यादृच्छिक चर के उदाहरण:

1. एक पासे को दस बार उछालने पर सम संख्या में अंक कितनी बार आते हैं।

2. एक निशानेबाज द्वारा निशाने पर लगाए गए प्रहारों की संख्या, जो श्रृंखलाबद्ध तरीके से गोलियाँ दागता है।

3. विस्फोटित गोले के टुकड़ों की संख्या।

दिए गए प्रत्येक उदाहरण में, यादृच्छिक चर केवल पृथक मान ले सकता है, अर्थात वे मान जिन्हें संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग करके क्रमांकित किया जा सकता है।

ऐसा यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं, जिन्हें यह चर कुछ संभावनाओं के साथ लेता है, कहलाता है पृथक.

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या परिमित या अनंत (गणनीय) हो सकती है।

वितरण का नियमएक असतत यादृच्छिक चर इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की एक सूची है। असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को एक तालिका (संभावना वितरण श्रृंखला), विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से (संभावना वितरण बहुभुज) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

किसी प्रयोग को करते समय, अध्ययन किए जा रहे मूल्य का "औसतन" मूल्यांकन करना आवश्यक हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के औसत मान की भूमिका एक संख्यात्मक विशेषता द्वारा निभाई जाती है जिसे कहा जाता है गणितीय अपेक्षा,जो सूत्र द्वारा निर्धारित होता है

कहाँ एक्स 1 , एक्स 2 ,.. , एक्स एन- यादृच्छिक चर मान एक्स, ए पी 1 ,पी 2 , ... , पी एन- इन मूल्यों की संभावनाएँ (ध्यान दें पी 1 + पी 2 +…+ पी एन = 1).

उदाहरण। लक्ष्य पर निशानेबाजी की जाती है (चित्र 11)।

I में एक हिट तीन अंक देता है, II में - दो अंक, III में - एक अंक। एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट में बनाए गए अंकों की संख्या के रूप में वितरण कानून होता है

निशानेबाजों के कौशल की तुलना करने के लिए, प्राप्त अंकों के औसत मूल्यों की तुलना करना पर्याप्त है, अर्थात। गणितीय अपेक्षाएँ एम(एक्स) और एम(वाई):

एम(एक्स) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

एम(वाई) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

दूसरा शूटर औसतन कुछ अधिक अंक देता है, यानी। बार-बार फायर करने पर यह बेहतर परिणाम देगा।

आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर ध्यान दें:

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(सी) = सी.

2. यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम=(एक्स 1 + एक्स 2 +…+ एक्स एन)= एम(एक्स 1)+ एम(एक्स 2)+…+ एम(एक्स एन).

3. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा कारकों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है

एम(एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन) = एम(एक्स 1)एम(एक्स 2)… एम(एक्स एन).

4. द्विपद वितरण का गणितीय निषेध परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटित होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है (कार्य 4.6)।

एम(एक्स) = जनसंपर्क.

यह आकलन करने के लिए कि एक यादृच्छिक चर "औसतन" अपनी गणितीय अपेक्षा से कैसे विचलित होता है, अर्थात संभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, फैलाव की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सवर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

डी(एक्स) = एम[(एक्स - एम(एक्स)) 2 ].

फैलाव एक यादृच्छिक चर के फैलाव की एक संख्यात्मक विशेषता है। परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एक यादृच्छिक चर का फैलाव जितना छोटा होता है, उसके संभावित मान उतने ही करीब गणितीय अपेक्षा के आसपास स्थित होते हैं, अर्थात, यादृच्छिक चर के मान उतने ही बेहतर होते हैं जो उसकी गणितीय अपेक्षा से चित्रित होते हैं। .

परिभाषा से यह पता चलता है कि विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

.

किसी अन्य सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करना सुविधाजनक है:

डी(एक्स) = एम(एक्स 2) - (एम(एक्स)) 2 .

फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:

1. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है:

डी(सी) = 0.

2. अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:

डी(सीएक्स) = सी 2 डी(एक्स).

3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरण के योग के बराबर है:

डी(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 +…+ एक्स एन)= डी(एक्स 1)+ डी(एक्स 2)+…+ डी(एक्स एन)

4. द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के बराबर एक संख्यात्मक विशेषता का उपयोग अक्सर किया जाता है। इस संख्यात्मक विशेषता को माध्य वर्ग विचलन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है

.

यह एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से विचलन के अनुमानित आकार को दर्शाता है और इसका आयाम यादृच्छिक चर के समान है।

4.1. निशानेबाज़ लक्ष्य पर तीन गोलियाँ चलाता है। प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.3 है।

हिट की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान. हिट की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. प्रत्येक मान एक्स एन अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सएक निश्चित संभावना से मेल खाता है पी एन .

इस मामले में एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून निर्दिष्ट किया जा सकता है निकट वितरण.

इस समस्या में एक्सबर्नौली के सूत्र के अनुसार मान 0, 1, 2, 3 लेता है

,

आइए यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संभावनाएं खोजें:

आर 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

आर 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

आर 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

आर 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

यादृच्छिक चर के मानों को व्यवस्थित करके एक्सबढ़ते क्रम में, हम वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

एक्स एन

ध्यान दें कि राशि

इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर की संभावना एक्ससंभावित मानों में से कम से कम एक मान लेगा, और इसलिए यह घटना विश्वसनीय है

.

4.2 कलश में 1 से 4 तक संख्याओं वाली चार गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्स– गेंद संख्या का योग. एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का निर्माण करें एक्स.

समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्स 3, 4, 5, 6, 7 हैं। आइए संगत प्रायिकताएँ ज्ञात करें। यादृच्छिक चर मान 3 एक्सइसे केवल उसी स्थिति में स्वीकार किया जा सकता है जब चयनित गेंदों में से एक का नंबर 1 और दूसरे का 2 हो। संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या दो के चार (गेंदों के संभावित जोड़े की संख्या) के संयोजन की संख्या के बराबर है।

शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

वैसे ही,

आर(एक्स= 4) =आर(एक्स= 6) =आर(एक्स= 7) = 1/6.

योग 5 दो स्थितियों में प्रकट हो सकता है: 1 + 4 और 2 + 3, इसलिए

.

एक्सइसका रूप है:

वितरण फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सऔर इसकी साजिश रचें. के लिए गणना करें एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण।

समाधान. एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एफ(एक्स) =पी(एक्स एक्स).

वितरण समारोह एफ(एक्स) संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित एक गैर-घटता हुआ, बाएं-निरंतर फ़ंक्शन है, जबकि

एफ (- )= 0,एफ (+ )= 1.

असतत यादृच्छिक चर के लिए, यह फ़ंक्शन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

.

इसलिए इस मामले में

वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) एक चरणबद्ध रेखा है (चित्र 12)

	एफ(एक्स)

अपेक्षित मूल्यएम(एक्स) मानों का भारित अंकगणितीय औसत है एक्स 1 , एक्स 2 ,……एक्स एनअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सतराजू के साथ ρ 1, ρ 2, …… , ρ एन और इसे यादृच्छिक चर का माध्य मान कहा जाता है एक्स. सूत्र के अनुसार

एम(एक्स)= एक्स 1 ρ 1 + एक्स 2 ρ 2 +……+ एक्स एन ρ एन

एम(एक्स) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

फैलावएक यादृच्छिक चर के मूल्यों के उसके औसत मूल्य से फैलाव की डिग्री को दर्शाता है और दर्शाया गया है डी(एक्स):

डी(एक्स)=एम[(एचएम(एक्स)) 2 ]= एम(एक्स 2) –[एम(एक्स)] 2 .

असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण का रूप होता है

या इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

समस्या के संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

एम(एक्स 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

डी(एक्स) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. दो पासे एक ही समय में दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स- दो पासों पर अंकों की सम कुल संख्या के घटित होने की संख्या।

समाधान. आइए एक यादृच्छिक घटना का परिचय दें

ए= (दो पासों को एक बार फेंकने पर कुल अंक सम संख्या में प्राप्त हुए)।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए हम पाते हैं

आर(ए)= ,

कहाँ एन - संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या नियम के अनुसार पाई जाती है

गुणा:

एन = 6∙6 =36,

एम - आयोजन का समर्थन करने वाले लोगों की संख्या एपरिणाम - बराबर

एम= 3∙6=18.

इस प्रकार, एक परीक्षण में सफलता की संभावना है

ρ = पी(ए)= 1/2.

बर्नौली परीक्षण योजना का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है। यहां एक चुनौती दो पासों को एक बार घुमाने की होगी। ऐसे परीक्षणों की संख्या एन = 2. यादृच्छिक चर एक्ससंभावनाओं के साथ मान 0, 1, 2 लेता है

आर 2 (0) =,आर 2 (1) =∙,आर 2 (2) =

यादृच्छिक चर का आवश्यक द्विपद वितरण एक्सवितरण श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एक्स एन
ρ एन

4.5 . छह भागों के एक बैच में चार मानक होते हैं। तीन भागों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। एक असतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण बनाएं एक्स- चयनित भागों में से मानक भागों की संख्या और इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्ससंख्याएँ 0,1,2,3 हैं। यह स्पष्ट है कि आर(एक्स=0)=0, चूँकि केवल दो गैर-मानक भाग हैं।

आर(एक्स=1) =
=1/5,

आर(एक्स= 2) =
= 3/5,

आर(एक्स=3) =
= 1/5.

यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सआइए इसे वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करें:

एक्स एन
ρ एन

अपेक्षित मूल्य

एम(एक्स)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . सिद्ध कीजिए कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एवी एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना बराबर होती है ρ - एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर, यानी यह साबित करने के लिए कि द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा

एम(एक्स) =एन . ρ ,

और फैलाव

डी(एक्स) =एन.पी. .

समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्समान ले सकते हैं 0, 1, 2..., एन. संभावना आर(एक्स= k) बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

आर(एक्स=क)= आर एन(के)= ρ को (1-ρ ) एन-को

एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्सइसका रूप है:

एक्स एन
ρ एन	क्यू एन	ρq एन- 1	ρq एन- 2		ρ एन

कहाँ क्यू= 1- ρ .

गणितीय अपेक्षा के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति है:

एम(एक्स)=ρq एन - 1 +2 ρ 2 क्यू एन - 2 +…+.एन ρ एन

एक परीक्षण के मामले में, अर्थात्, साथ में एन=यादृच्छिक चर के लिए 1 एक्स 1 - घटना के घटित होने की संख्या ए- वितरण श्रृंखला का रूप है:

एक्स एन
ρ एन

एम(एक्स 1)= 0∙q + 1 ∙ पी = पी

डी(एक्स 1) = पी – पी 2 = पी(1- पी) = पी क्यू.

अगर एक्स k - घटना के घटित होने की संख्या एफिर किस परीक्षा में आर(एक्स को)= ρ और

एक्स=एक्स 1 +एक्स 2 +...+एक्स एन .

यहीं से हमें मिलता है

एम(एक्स)=एम(एक्स 1 )+एम(एक्स 2)+ … +एम(एक्स एन)= nρ,

डी(एक्स)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+ ... +डी(एक्स एन)=npq.

4.7. गुणवत्ता नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 उत्पाद होते हैं। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में 4 मानक उत्पाद होंगे - यदि 50 बैच निरीक्षण के अधीन हैं।

समाधान. प्रत्येक यादृच्छिक रूप से चयनित बैच में 4 मानक उत्पाद होने की संभावना स्थिर है; आइए इसे निरूपित करें ρ .तब यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सके बराबर होती है एम(एक्स)= 50∙ρ.

आइए संभाव्यता ज्ञात करें ρ बर्नौली के सूत्र के अनुसार:

ρ=पी 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

एम(एक्स)= 50∙0,32=16.

4.8 . तीन पासे फेंके जाते हैं. गिराए गए अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आप एक यादृच्छिक चर का वितरण पा सकते हैं एक्स- गिराए गए अंकों का योग और फिर उसकी गणितीय अपेक्षा। हालाँकि, यह रास्ता बहुत कठिन है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने वाली किसी अन्य तकनीक का उपयोग करना आसान है एक्स, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना कई सरल यादृच्छिक चरों के योग के रूप में की जानी चाहिए, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना करना आसान है। यदि यादृच्छिक चर एक्स मैंरोल किए गए अंकों की संख्या है मैं–वें हड्डियाँ ( मैं= 1, 2, 3), तो अंकों का योग एक्सरूप में व्यक्त किया जायेगा

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 .

मूल यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, जो कुछ बचा है वह गणितीय अपेक्षा की संपत्ति का उपयोग करना है

एम(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 )= एम(एक्स 1 )+ एम(एक्स 2)+ एम(एक्स 3 ).

यह तो स्पष्ट है

आर(एक्स मैं = के)= 1/6, को= 1, 2, 3, 4, 5, 6, मैं= 1, 2, 3.

इसलिए, यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स मैंकी तरह लगता है

एम(एक्स मैं) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

एम(एक्स) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. परीक्षण के दौरान विफल हुए उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें यदि:

ए) सभी उपकरणों के लिए विफलता की संभावना समान है आर, और परीक्षण के तहत उपकरणों की संख्या के बराबर है एन;

बी) विफलता की संभावना मैं – डिवाइस के बराबर है पी मैं , मैं= 1, 2, … , एन.

समाधान।चलो यादृच्छिक चर एक्सतो, विफल उपकरणों की संख्या है

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 +… + एक्स एन ,

एक्स मैं =

यह स्पष्ट है कि

आर(एक्स मैं = 1)= आर मैं , आर(एक्स मैं = 0)= 1– आर मैं ,मैं= 1, 2, … ,एन।

एम(एक्स मैं)= 1∙आर मैं + 0∙(1-आर मैं)=पी मैं ,

एम(एक्स)=एम(एक्स 1)+एम(एक्स 2)+… +एम(एक्स एन)=पी 1 +पी 2 +… + पी एन .

मामले "ए" में डिवाइस विफलता की संभावना समान है, अर्थात

आर मैं =पी,मैं= 1, 2, … ,एन.

एम(एक्स)= एन.पी..

यह उत्तर तुरंत प्राप्त किया जा सकता है यदि हम ध्यान दें कि यादृच्छिक चर एक्समापदंडों के साथ एक द्विपद वितरण है ( एन, पी).

4.10. दो पासे एक साथ दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स -दो पासों पर सम संख्या में अंकों को घुमाने की संख्या।

समाधान। होने देना

ए=(पहले पासे पर एक सम संख्या घुमाना),

बी =(दूसरे पासे पर एक सम संख्या घुमाने पर)।

एक बार में दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करना गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाता है एबी.तब

आर (अब) = आर(ए)∙आर(में) =
.

दो पासों को दूसरी बार फेंकने का परिणाम पहले पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए बर्नौली का सूत्र कब लागू होता है

एन = 2,पी = 1/4, क्यू = 1– पी = 3/4.

यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2 ले सकते हैं , जिसकी संभाव्यता बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है:

आर(एक्स= 0)= पी 2 (0) = क्यू 2 = 9/16,

आर(एक्स= 1)= पी 2 (1)= सी ,आर∙क्यू = 6/16,

आर(एक्स= 2)= पी 2 (2)= सी , आर 2 = 1/16.

एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्स:

4.11. डिवाइस में बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं और समय के साथ प्रत्येक तत्व की विफलता की बहुत कम संभावना होती है टी. समय के साथ इनकारों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए टीतत्व, यदि संभावना है कि इस समय के दौरान कम से कम एक तत्व विफल हो जाएगा 0.98 है।

समाधान। समय के साथ इनकार करने वाले लोगों की संख्या टीतत्व - यादृच्छिक चर एक्स, जिसे पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, क्योंकि तत्वों की संख्या बड़ी है, तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं और प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना छोटी है। किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या एनपरीक्षण बराबर हैं

एम(एक्स) = एन.पी..

असफलता की संभावना के बाद से कोसे तत्व एनसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

आर एन (को)
,

कहाँ  = एन.पी., तो संभावना है कि समय के दौरान एक भी तत्व विफल नहीं होगा टी हम पहुंच गए के = 0:

आर एन (0)= ई -  .

इसलिए, विपरीत घटना की संभावना समय में है टी कम से कम एक तत्व विफल रहता है - 1 के बराबर - इ -  . समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह संभावना 0.98 है। Eq से.

1 - इ -  = 0,98,

इ -  = 1 – 0,98 = 0,02,

यहाँ से  = -एल.एन 0,02  4.

तो, समय में टीडिवाइस के संचालन में, औसतन 4 तत्व विफल हो जाएंगे।

4.12 . पासों को तब तक घुमाया जाता है जब तक कि "दो" न आ जाएँ। थ्रो की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान. आइए एक यादृच्छिक चर का परिचय दें एक्स- हमारे लिए रुचि की घटना घटित होने तक किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या। संभावना यह है कि एक्स= 1 इस प्रायिकता के बराबर है कि पासे को एक बार फेंकने पर "दो" दिखाई देंगे, अर्थात

आर(एक्स= 1) = 1/6.

आयोजन एक्स= 2 का अर्थ है कि पहले परीक्षण में "दो" सामने नहीं आए, लेकिन दूसरे में आए। घटना की संभावना एक्स= 2 स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के नियम से पाया जाता है:

आर(एक्स= 2) = (5/6)∙(1/6)

वैसे ही,

आर(एक्स= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, आर(एक्स= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

वगैरह। हमें संभाव्यता वितरणों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है:

					(5/6) को ∙1/6

थ्रो (परीक्षण) की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा है

एम(एक्स) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + को (5/6) को -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + को (5/6) को -1 + …)

आइए श्रृंखला का योग ज्ञात करें:

कोजी को -1 = (जी को) जी 
.

इस तरह,

एम(एक्स) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

इस प्रकार, आपको "दो" आने तक पासों को औसतन 6 बार उछालना होगा।

4.13. घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं एहर परीक्षा में. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए, यदि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या का अंतर 0.63 है .

समाधान।तीन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स, द्विपद नियम के अनुसार वितरित। स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का अंतर (प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ) घटना के घटित होने और न होने की संभावनाओं द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर होता है। (समस्या 4.6)

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

शर्त से एन = 3, डी(एक्स) = 0.63, तो आप कर सकते हैं आरसमीकरण से खोजें

0,63 = 3∙आर(1-आर),

जिसके दो समाधान हैं आर 1 = 0.7 और आर 2 = 0,3.

अलग एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ व्यक्तिगत, पृथक मान ले सकता है।

उदाहरण 1।तीन सिक्के उछालने पर राज्य-चिह्न कितनी बार प्रकट होता है। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, उनकी संभावनाएँ क्रमशः बराबर हैं:

पी(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

उदाहरण 2.पांच तत्वों से युक्त एक उपकरण में विफल तत्वों की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, 4, 5; उनकी संभावनाएँ प्रत्येक तत्व की विश्वसनीयता पर निर्भर करती हैं।

असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला या वितरण फलन (अभिन्न वितरण कानून) द्वारा दिया जा सकता है।

वितरण के निकट सभी संभावित मानों का समुच्चय है एक्समैंऔर उनकी संगत संभावनाएँ आरमैं = पी(एक्स = एक्समैं), इसे एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है:

एक्स मैं				एक्स एन
पी मैं				आरपी एन

उसी समय, संभावनाएँ आरमैंशर्त पूरी करो

आरमैं= 1 क्योंकि

संभावित मानों की संख्या कहां है एनपरिमित या अनंत हो सकता है.

वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व वितरण बहुभुज कहा जाता है . इसे बनाने के लिए, यादृच्छिक चर के संभावित मान ( एक्समैं) को x-अक्ष और संभावनाओं के साथ प्लॉट किया जाता है आरमैं- कोर्डिनेट अक्ष के साथ; अंक एमैंनिर्देशांक के साथ ( एक्समैं,आरमैं) टूटी हुई रेखाओं से जुड़े हुए हैं।

वितरण समारोह अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सफ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स), बिंदु पर जिसका मूल्य एक्सयादृच्छिक चर की प्रायिकता के बराबर है एक्सइस मान से कम होगा एक्स, वह है

एफ(एक्स) = पी(एक्स< х).

समारोह एफ(एक्स) के लिए असतत यादृच्छिक चरसूत्र द्वारा गणना की गई

एफ(एक्स) = आरमैं , (1.10.1)

जहां सभी मूल्यों का योग किया जाता है मैं, जिसके लिए एक्समैं< х.

उदाहरण 3. 100 उत्पादों वाले एक बैच से, जिनमें से 10 दोषपूर्ण हैं, उनकी गुणवत्ता की जांच करने के लिए पांच उत्पादों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक यादृच्छिक संख्या के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्सनमूने में दोषपूर्ण उत्पाद शामिल हैं।

समाधान. चूंकि नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या 0 से 5 सहित कोई भी पूर्णांक हो सकती है, तो संभावित मान एक्समैंअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सबराबर हैं:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।

संभावना आर(एक्स = के) कि नमूने में बिल्कुल सही जानकारी है क(क = 0, 1, 2, 3, 4, 5) दोषपूर्ण उत्पाद, बराबर

पी (एक्स = के) = .

0.001 की सटीकता के साथ इस सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

आर 1 = पी(एक्स = 0) @ 0,583;आर 2 = पी(एक्स = 1) @ 0,340;आर 3 = पी(एक्स = 2) @ 0,070;

आर 4 = पी(एक्स = 3) @ 0,007;आर 5 = पी(एक्स= 4) @ 0;आर 6 = पी(एक्स = 5) @ 0.

जाँचने के लिए समानता का उपयोग करना आरक=1, हम सुनिश्चित करते हैं कि गणना और पूर्णांकन सही ढंग से किया गया है (तालिका देखें)।

एक्स मैं
पी मैं

उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला दी गई है एक्स :

एक्स मैं
पी मैं

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन खोजें एफ(एक्स) इस यादृच्छिक चर का और इसका निर्माण करें।

समाधान. अगर एक्सफिर £10 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0;

यदि 10<एक्सफिर £20 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 ;

यदि 20<एक्सफिर £30 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

यदि 30<एक्सफिर £40 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

यदि 40<एक्सफिर £50 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

अगर एक्स> 50, फिर एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.