गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में नंबरिंगहम प्राकृत संख्याओं को निर्दिष्ट करने और उनका नामकरण करने की विधियों की समग्रता को समझेंगे।
प्राकृतिक संख्याओं का अध्ययन सांद्रता द्वारा किया जाता है। एकाग्रता सामान्य विशेषताओं द्वारा एकजुट मानी गई संख्याओं का क्षेत्र है। प्रारंभिक पाठ्यक्रम में, निम्नलिखित सांद्रता प्रतिष्ठित हैं: दस, एक सौ (2 चरण - 11 से 20 तक; 21 से 100 तक); हजार, एकाधिक अंक।
नंबरिंग का अध्ययन करने का अंतिम लक्ष्य दशमलव संख्या प्रणाली, मौखिक और लिखित संख्या में अंतर्निहित कई सामान्य सिद्धांतों को आत्मसात करना है, जो छात्रों को व्यवस्थित सामान्यीकरण के लिए अग्रणी बनाता है, सामान्य को उजागर करने और उस पर जोर देने की क्षमता जो एक नए क्षेत्र में पाया जाता है। संख्या, और नए के आधार पर और पहले से सीखा की तुलना में विचार।
नंबरिंग के अध्ययन के मुख्य शैक्षिक कार्यों को कहा जा सकता है:
1. एक ज्ञान प्रणाली तैयार करें:
प्राकृतिक संख्या और संख्या "0" पर;
प्राकृतिक उत्तराधिकार पर;
मौखिक और लिखित क्रमांकन के बारे में।
2. नंबरिंग के ज्ञान के आधार पर कम्प्यूटेशनल तकनीकों से परिचित होना।
इस विषय का अध्ययन करते समय, छात्रों को निम्नलिखित कौशल विकसित करने चाहिए:
लिखित रूप में संख्या का संकेत दें;
विभिन्न तरीकों से किसी भी संख्या की तुलना करें;
संख्या को बिट शब्दों के योग से बदलें;
किसी भी संख्या का वर्णन करें।
इस विषय में अध्ययन की गई बुनियादी गणितीय अवधारणाओं से परिचित होने की विधि पर विचार करें।
प्राकृतिक संख्या की अवधारणा अनुभवजन्य स्तर पर दी गई है।
संख्या को किसी दिए गए सेट की वस्तुओं और शब्दों - अंकों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने के क्रम में दर्शाया गया है।
प्राथमिक विद्यालय में:
संख्या समतुल्य समुच्चयों के एक वर्ग की मात्रात्मक विशेषता है।
एक संख्या एक आदेशित सेट का एक तत्व है, एक प्राकृतिक अनुक्रम का सदस्य है।
क्रियाओं का अध्ययन करते समय, संख्या एक वस्तु के रूप में कार्य करती है जिस पर अंकगणितीय संक्रिया की जाती है।
छात्रों को निम्नलिखित ज्ञान और कौशल विकसित करने की आवश्यकता है:
अन्य अवधारणाओं से एक संख्या का चयन करें;
संख्या का सही नाम दें;
एक संख्या बनाने का तरीका जानें (गिनती के परिणामस्वरूप; माप के परिणामस्वरूप; अंकगणितीय संचालन करने के परिणामस्वरूप);
संख्याओं का उपयोग करके संख्याओं को निर्दिष्ट करना जानते हैं; एक अंक एक संख्या के लिए एक संकेत है;
किसी संख्या के विभिन्न फलन (मात्रा फलन, क्रम फलन, मापन फलन) को जानें।
संख्या और संख्या "0"।
शून्य को रिक्त समुच्चयों (2-2, 4-4) के वर्ग की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जाता है, अर्थात। सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है।
शून्य को शासक पर माप (माप) की शुरुआत को इंगित करने वाली संख्या के रूप में माना जाता है।
शून्य को I और II चरणों (5+0, 05) की क्रियाओं का एक घटक माना जाता है।
4. यदि किसी अंक की कोई इकाई नहीं है (लेकिन कोई अंक नहीं है) तो संख्या शून्य का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण के लिए, संख्या 300 में I और II श्रेणी की कोई इकाइयाँ नहीं हैं, अर्थात। इकाई और दहाई, हम इकाइयों और दहाई की संख्या को शून्य से निरूपित करते हैं।
संख्याओं का प्राकृतिक क्रम।
पारंपरिक कार्यक्रम के अनुसार, प्राकृतिक अनुक्रम संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में दर्ज किया जाता है, जिसके अनुसार स्कोर रखा जाता है।
प्राकृतिक श्रृंखला के एक खंड के गुण:
संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला एक से शुरू होती है।
प्रत्येक संख्या का अपना स्थान होता है। प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से एक अधिक है; प्रत्येक पिछला एक अगले एक से कम है।
चयनित संख्या से पहले की सभी संख्याएँ इससे कम हैं; बाद में खड़ा होना - अध्ययन की गई संख्या से अधिक।
संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला की अनंतता।
संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में, छात्रों को परिमित अनुक्रमों की पहचान करने में सक्षम होना चाहिए: एकल-अंक, दो-अंक, n-अंकीय संख्याएँ।
9, 99, 999, 9999… - सबसे बड़ी एक अंक, दो अंक, तीन अंक, चार अंक, एन अंक संख्या।
क्यों? यदि हम उनमें से प्रत्येक में 1 जोड़ दें, तो हमें अगले अनुक्रम की सबसे छोटी संख्या प्राप्त होती है।
10, 100, 1000, 10000 ... - दो अंकों की सबसे छोटी, तीन अंकों वाली, n-अंकीय संख्या, क्योंकि प्रत्येक इकाई से घटाने पर हमें सबसे अधिक प्राप्त होता है अधिकपिछला क्रम।
मौखिक और लिखित क्रमांकन के बीच भेद।
मौखिक क्रमांकन नियमों का एक समूह है जो कुछ शब्दों की सहायता से कई संख्याओं के नाम बनाना संभव बनाता है। मौखिक अंकन के अध्ययन के दौरान, गिनती, पढ़ने और संख्याओं के निर्माण के नियमों को प्रकट करना आवश्यक है; 0 से 9 तक की संख्याएँ जानें, शब्द-अंक - चालीस, नब्बे, एक सौ, हजार, मिलियन, अरब। खाता नियम:
गिनती करते समय, अंतिम संख्या पूरे सेट को संदर्भित करती है।
नाम बनाने और संख्या पढ़ने के नियम।
1. 10 से 20 तक की संख्याओं के नाम पहले दस संख्याओं के लिए अपनाए गए नामों का उपयोग करके बनाए जाते हैं, लेकिन इसकी अपनी ख़ासियत है - पढ़ते समय, निचले अंक को पहले कहा जाता है, फिर बाकी (एक-पर-बीस; दो) -पर-बीस)।
2. संख्याओं के शेष नाम बिट्स के सिद्धांत के अनुसार बनते हैं; पठन संख्या उच्चतम अंकों की इकाइयों से शुरू होती है।
3. बहु-अंकीय संख्याएँ बनाते और पढ़ते समय, वर्ग द्वारा पढ़ने के सिद्धांत का पालन किया जाता है।
लिखित अंकन नियमों का एक समूह है जो कुछ वर्णों की सहायता से किसी भी संख्या को निर्दिष्ट करना संभव बनाता है।
लिखित अंकन के अध्ययन के क्रम में, "संख्याओं" की अवधारणा को पेश किया जाता है।
एक अंक एक संख्या के लिए एक प्रतीक है। "संख्या" और "संख्या" की अवधारणाओं के बीच अंतर करने के लिए उद्देश्यपूर्ण व्यवस्थित कार्य किया जा रहा है।
पहले नौ नंबरों को इंगित करने के लिए संकेत (संख्याएं) दर्ज किए जाते हैं। अन्य सभी संख्याएँ समान दस अंकों (0 से 9 तक) का उपयोग करके लिखी जाती हैं, लेकिन दो या अधिक अंकों का उपयोग करते हुए, जिसका मान संख्या प्रविष्टि में अंक के स्थान पर निर्भर करता है (अर्थात अंक का स्थानीय मान या संख्या लिखने का स्थितीय सिद्धांत)।
संख्याओं की मौखिक और लिखित संख्या दशमलव संख्या प्रणाली के ज्ञान पर आधारित है। गणित में, संख्या प्रणाली संकेतों का एक समूह, संचालन के नियम और क्रम है जिसमें संख्या बनाते समय इन संकेतों को लिखा जाता है। संख्या प्रणाली दो प्रकार की होती है:
एक गैर-स्थितीय प्रणाली, जिसे इस तथ्य की विशेषता है कि प्रत्येक वर्ण, एक संख्या लिखने के रूप की परवाह किए बिना, एक अच्छी तरह से परिभाषित मूल्य (उदाहरण के लिए, रोमन अंक) सौंपा गया है।
स्थितीय प्रणाली (उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या प्रणाली), जो निम्नलिखित गुणों की विशेषता है:
प्रत्येक अंक संख्या के अंकन (स्थितित्मक संकेतन सिद्धांत) में अपनी स्थिति के आधार पर अलग-अलग अर्थ लेता है।
प्रत्येक अंक, उसकी स्थिति के आधार पर, बिट इकाई कहलाता है; बिट इकाइयाँ इस प्रकार हैं: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, आदि।
एक अंक की 10 इकाइयाँ अगले अंक की एक इकाई बनाती हैं, अर्थात। बिट इकाइयों का अनुपात दस है (10 इकाइयाँ = 1 dec; 10 dec = 1 सौ, आदि)।
दाएं से बाएं और एक पंक्ति में, प्रत्येक 3 बिट इकाइयां बिट वर्ग (इकाइयां, हजारों, लाखों, आदि) बनाती हैं।
किसी दी गई श्रेणी की एक और इकाई को नौ इकाइयों में जोड़ने से अगली, उच्चतर (वरिष्ठ) श्रेणी की एक इकाई मिलती है।
दशमलव संख्या प्रणाली की मूल अवधारणाओं को उजागर करना आवश्यक है:
खाते की इकाई वह है जिसे हम खाते के आधार के रूप में लेते हैं। प्रत्येक अगली गिनती इकाई पिछले एक से 10 गुना बड़ी है।
एक अंक एक संख्या प्रविष्टि में एक अंक का स्थान है।
3. I, II, III श्रेणियों आदि की इकाइयाँ। - संख्या रिकॉर्ड में पहले (इकाइयों), दूसरे (दसियों), तीसरे (सैकड़ों) स्थान पर खड़ी इकाइयाँ, दाएँ से बाएँ गिनती।
4. अंक संख्या - एक अंक की इकाइयों से मिलकर बनी संख्या।
5. गैर-अंकीय संख्या - एक संख्या जिसमें विभिन्न अंकों की इकाइयाँ होती हैं।
6. वर्ग - कुछ मानदंडों के अनुसार तीन श्रेणियों की इकाइयों का संघ। अगली कक्षा की प्रत्येक इकाई पिछली कक्षा के एक हजार गुना से अधिक है। (इस प्रकार, इकाइयों के वर्ग की पहली इकाई हजारों के वर्ग की पहली इकाई से 1000 गुना कम है, आदि)
अंकन के अध्ययन का क्रम तालिका में परिलक्षित हो सकता है:
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों की गणना का अध्ययन करने की तकनीक विभिन्न दृष्टिकोणों की संभावना का सुझाव देती है।
प्राथमिक शिक्षा की पद्धति में, सांद्रता द्वारा संख्या का अध्ययन करना पारंपरिक है। यह दृष्टिकोण बंटोवा एम.ए., बेल्त्युकोवा जी.वी. द्वारा विकसित गणित की पाठ्यपुस्तकों में परिलक्षित होता है। और आदि।
संख्यात्मक क्षेत्र का क्रमिक विस्तार ज्ञान के निर्माण के लिए अच्छी स्थिति बनाता है, संख्या में कौशल: संख्याओं के बारे में ज्ञान और उन्हें कैसे नामित किया जाए, यह धीरे-धीरे समृद्ध होता है; संख्याओं के साथ व्यावहारिक क्रियाएं अधिक जटिल हो जाती हैं (गठन, नाम, रिकॉर्डिंग, तुलना, परिवर्तन, आदि)।
नंबरिंग के अध्ययन में तीन मुख्य चरण हैं: प्रारंभिक, नई सामग्री से परिचित होना, ज्ञान और कौशल का समेकन।
प्रारंभिक चरण में, छात्रों में नंबरिंग के अध्ययन के लिए एक मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण बनाना आवश्यक है, अपने पिछले अनुभव और मौजूदा ज्ञान को सक्रिय करने के लिए, नए नंबरों में रुचि जगाने के लिए। यह अंत करने के लिए, पिछली एकाग्रता की संख्याओं की संख्या के मुख्य प्रश्नों को दोहराने के लिए अग्रिम अभ्यासों को शामिल करने का प्रस्ताव है: अध्ययन की गई गिनती इकाइयों का अनुपात, संख्याओं की दशमलव संरचना, प्राकृतिक अनुक्रम, अंकन के नियम और तरीके संख्याओं की तुलना करना; अंकन के ज्ञान के आधार पर जोड़ और घटाव तकनीक। साथ ही, वस्तुओं को गिनने या एक नई एकाग्रता तक पहुंच के साथ एक प्राकृतिक क्रम में संख्याओं के नामकरण में अभ्यास विकसित किया गया है, इससे छात्रों को यह समझने में मदद मिलती है कि अध्ययन की गई एकाग्रता के बाहर संख्याएं हैं और वे कुछ हद तक बच्चों के लिए पहले से परिचित संख्याओं के समान हैं।
नंबरिंग से परिचित होने पर, अभ्यास छात्रों को बनने वाली अवधारणाओं की आवश्यक विशेषताओं की पहचान करने, अध्ययन किए गए कार्यों के तरीकों में महारत हासिल करने में मदद करते हैं।
प्रश्नों का चयन किया गया और प्रत्येक केंद्र में अध्ययन का क्रम निर्धारित किया गया:
सबसे पहले, एक गिनती इकाई के गठन पर विचार किया जाता है, इस गिनती इकाई का उपयोग करके वस्तुओं की गिनती रखी जाती है;
खाते के आधार पर, नए बिट नंबर पेश किए जाते हैं, उनके गठन और नाम प्रकट होते हैं;
सभी ज्ञात गणना इकाइयों की सहायता से खाते के आधार पर, गैर-अंकीय संख्याओं का गठन और मौखिक पदनाम दिखाया गया है; बिट से उनकी रचना;
नई संख्याओं का उपयोग करके वस्तुओं को गिनने में अभ्यास शामिल हैं; संख्याओं का प्राकृतिक क्रम आत्मसात किया जाता है;
दशमलव रचना के ज्ञान और संख्याओं के स्थानीय अर्थ के आधार पर, संख्याओं की लिखित संख्या का पता चलता है;
सभी केंद्रों में, खाते के साथ, लंबाई, द्रव्यमान, लागत जैसी मात्राओं की माप पर विचार किया जाता है; इन मात्राओं की माप की इकाइयों और उनके अनुपात का अध्ययन संबंधित गिनती इकाइयों की तुलना में किया जाता है और उन्हें आत्मसात करने में मदद करता है (उदाहरण के लिए, 1 डीएम \u003d 10 सेमी; 1 आर। \u003d 100 के।; 1 किलो \u003d 1000 ग्राम , आदि।);
संख्याओं की तुलना करने के तरीकों को इसके आधार पर पेश किया गया है:
एक प्राकृतिक अनुक्रम के गठन का सिद्धांत;
सेट के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करना;
संख्याओं की बिट संरचना का ज्ञान;
वर्ग संरचना का ज्ञान;
प्रत्येक केंद्र में, क्रमांकन के ज्ञान के आधार पर कम्प्यूटेशनल तकनीकों को पेश किया जाता है:
ए) एक प्राकृतिक अनुक्रम के गठन का सिद्धांत, रूप के मामले a + 1, जहां a कोई प्राकृत संख्या है;
बी) संख्याओं की बिट संरचना (बिट संख्याओं को जोड़ने में अभ्यास और गैर-बिट संख्याओं को बिट संख्याओं के योग के साथ बदलने के साथ-साथ गैर-बिट संख्याओं से घटाकर व्यक्तिगत बिट संख्याएं जो उनकी संख्या बनाती हैं) के लिए उदाहरण:
400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;
842-800=42; 842-2=840.
नंबरिंग से परिचित होने पर, छात्रों की विषय क्रियाओं पर भरोसा करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, विभिन्न शिक्षण सहायक सामग्री का उपयोग करने का प्रस्ताव है: गिनती सामग्री, जिस पर गिनती करते समय वस्तुओं के दशमलव समूह को चित्रित करना आसान होता है (छड़ें, लाठी के गुच्छे, वर्ग, वर्गों की धारियाँ, 10 हलकों के साथ त्रिकोण); दृश्य एड्स जो संख्याओं के प्राकृतिक अनुक्रम के बारे में विचार बनाते हैं (शासक, टेप उपाय, हाइलाइट किए गए सेंटीमीटर के साथ टेप, डेसीमीटर, मीटर); दृश्य एड्स जो संख्याओं को लिखने के स्थितिगत सिद्धांत को समझने में मदद करते हैं (श्रेणियों और वर्गों की संख्या तालिका, अबेकस)।
परिचय के बाद, ज्ञान को मजबूत करने और कौशल विकसित करने के लिए उद्देश्यपूर्ण कार्य किया जाता है। प्रशिक्षण अभ्यासों को रचनात्मक अभ्यासों के साथ जोड़ा जाता है।
विशिष्ट त्रुटियों का विश्लेषण करने, तुलना करने, वर्गीकृत करने, सामान्यीकरण करने, किसी भी संख्या को चिह्नित करने के लिए कार्य दिए गए हैं। एकल-मूल्यवान से बहु-मूल्यवान तक शुरू होने वाली संख्याओं को पार्स करने की योजना (योजना), धीरे-धीरे विस्तारित, गहरी और नई सैद्धांतिक सामग्री से समृद्ध होगी। प्रारंभिक चरण में, इसे छात्रों के तैयार उत्तरों के सामान्यीकरण के आधार पर संकलित किया जा सकता है और इसमें निम्नलिखित प्रश्न शामिल हैं:
एक नंबर पढ़ना।
गिनती में किसी संख्या का स्थान।
दशमलव रचना।
संख्याओं का प्रयोग करते हुए एक संख्या लिखिए।
बहु-अंकीय संख्याओं की संख्या का अध्ययन करते समय, पार्सिंग योजना में अधिक कार्य शामिल होंगे।
यह काम गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या पर छात्रों के ज्ञान को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने की अनुमति देगा।
नंबरिंग के अध्ययन के लिए एक और दृष्टिकोण संभव है, जो इस्तोमिना एन.बी. द्वारा विकसित कार्यक्रम और पाठ्यपुस्तकों में परिलक्षित होता है।
पाठ्यक्रम की विषयगत संरचना के संबंध में, यह सांद्रता में अंतर नहीं करता है, लेकिन विषय: "एकल अंकों की संख्या", "दो अंकों की संख्या", "तीन अंकों की संख्या", "चार अंकों की संख्या", "पांच- अंक और छह अंकों की संख्या", जिसके अध्ययन की प्रक्रिया में बच्चे सचेत पढ़ने और लिखने के कौशल का निर्माण करते हैं।
उन विषयों को हाइलाइट करना जिनके नाम एक संख्या में वर्णों की संख्या पर केंद्रित होते हैं, बच्चों को एक संख्या और एक संख्या के बीच के अंतर को समझने में मदद करते हैं।
पहले चरण में, "एकल अंकों की संख्या" विषय में, छात्र मात्रात्मक और क्रमिक संख्याओं, गिनती कौशल के बारे में विचार बनाते हैं; वे संख्याओं के अंकन और एकल-अंकीय संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के एक खंड से परिचित हो जाते हैं। फिर वे जोड़ और घटाव का अर्थ और एकल अंकों की संख्याओं की संरचना सीखते हैं। नंबरिंग को आत्मसात करने का काम इस अहसास से शुरू होता है कि दो अंकों की संख्या में दहाई और एक होते हैं।
बाद का काम, दशमलव संख्या प्रणाली में महारत हासिल करने और दो अंकों की संख्या को पढ़ने और लिखने की क्षमता विकसित करने के उद्देश्य से, किसी संख्या के ऑब्जेक्ट मॉडल और उसके प्रतीकात्मक संकेतन के बीच एक पत्राचार स्थापित करने से जुड़ा है। 10 वृत्तों वाले त्रिभुज के रूप में एक दृश्य सहायता का उपयोग दस वस्तु मॉडल के रूप में किया जाता है।
नौकरी की पेशकश की:
दो अंकों और तीन अंकों की संख्याओं के बीच समानता और अंतर के संकेतों की पहचान करना;
कुछ संख्याओं में संख्याएँ लिखने के लिए;
संख्याओं की तुलना करने के लिए;
संख्याओं की एक श्रृंखला के निर्माण के लिए नियमों (पैटर्न) की पहचान करना।
इस प्रकार के कार्यों का उपयोग अन्य विषयों के अध्ययन में भी किया जाता है।
व्यायाम: कार्यान्वयन की प्रक्रिया में अभ्यासों की तुलना करें, जिसमें छात्र प्रारंभिक ग्रेड के लिए गणित की विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में संख्याओं की मौखिक और लिखित संख्या सीखते हैं। प्रत्येक पाठ्यपुस्तक में इन अभ्यासों की क्या विशेषताएं हैं?
किसी भी नंबरिंग का उद्देश्य कम संख्या में व्यक्तिगत संकेतों का उपयोग करके किसी भी प्राकृतिक संख्या को चित्रित करना है। यह एक ही चिन्ह - 1 (एक) के साथ प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृत संख्या को तब इकाई चिन्ह को उतनी ही बार दोहराते हुए लिखा जाएगा, जितनी बार इस संख्या में इकाइयाँ हैं। जोड़ केवल इकाइयों को निर्दिष्ट करने के लिए घटाया जाएगा, और उन्हें हटाने (मिटाने) के लिए घटाया जाएगा। इस तरह की प्रणाली में अंतर्निहित विचार सरल है, लेकिन यह प्रणाली बहुत असुविधाजनक है। यह व्यावहारिक रूप से बड़ी संख्या में लिखने के लिए उपयुक्त नहीं है, और इसका उपयोग केवल किसके द्वारा किया जाता है जिन लोगों के पास खाता है वे एक या दो दहाई से आगे नहीं जाते।
मानव समाज के विकास के साथ, लोगों का ज्ञान बढ़ता है और काफी बड़े सेटों को गिनने और बड़ी मात्रा को मापने के परिणामों को गिनने और रिकॉर्ड करने की आवश्यकता अधिक से अधिक हो जाती है।
आदिम लोगों के पास कोई लिखित भाषा नहीं थी, कोई अक्षर या संख्या नहीं थी, हर चीज, हर क्रिया को एक चित्र के साथ चित्रित किया गया था। ये इस या उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक चित्र थे। धीरे-धीरे वे सरल हो गए, लिखने के लिए अधिक से अधिक सुविधाजनक हो गए। हम चित्रलिपि में संख्या लिखने की बात कर रहे हैं। संख्याएँ। हालांकि, खाते को और बेहतर बनाने के लिए, एक अधिक सुविधाजनक संकेतन पर स्विच करना आवश्यक था जो संख्याओं को विशेष, अधिक सुविधाजनक संकेतों (संख्याओं) द्वारा निरूपित करने की अनुमति देगा। प्रत्येक व्यक्ति के लिए संख्याओं की उत्पत्ति अलग होती है।
पहले आंकड़े 2 हजार साल ईसा पूर्व में बेबीलोन में पाए जाते हैं। बेबीलोनियों ने नरम मिट्टी के स्लैब पर लाठी से लिखा और फिर अपने रिकॉर्ड को सुखाया। प्राचीन बेबीलोनियों के लेखन को कहा जाता था क्यूनिफॉर्मवेजेज को उनके मूल्य के आधार पर क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से रखा गया था। ऊर्ध्वाधर वेजेज इकाइयों को दर्शाता है, और क्षैतिज, तथाकथित दहाई, दूसरे अंक की इकाइयां।
कुछ संस्कृतियों में संख्याओं को लिखने के लिए अक्षरों का प्रयोग किया जाता था। संख्याओं के बजाय, उन्होंने अंकों के शब्दों के प्रारंभिक अक्षर लिखे। इस तरह की संख्या, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों में से थी। इसे प्रस्तावित करने वाले वैज्ञानिक के नाम से, उन्होंने नाम के तहत संस्कृति के इतिहास में प्रवेश किया जेरोडियननंबरिंग इसलिए, इस नंबरिंग में, "पांच" को "पिंटा" कहा जाता था और "पी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था, और संख्या दस को "डेका" कहा जाता था और "डी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था। वर्तमान में, कोई भी इस नंबरिंग का उपयोग नहीं करता है। इसके विपरीत रोमननंबरिंग को संरक्षित किया गया है और हमारे दिनों में आ गया है। हालांकि अब रोमन अंक इतने आम नहीं हैं: घड़ी के डायल पर, किताबों, सदियों, पुरानी इमारतों आदि में अध्यायों को इंगित करने के लिए। रोमन अंक में सात प्रमुख संकेत हैं: I, V, X, L, C, D, M।
आप अंदाजा लगा सकते हैं कि ये संकेत कैसे दिखाई दिए। चिन्ह (1) - एक - एक चित्रलिपि है जो उंगली (काम) को दर्शाती है, चिन्ह V हाथ की छवि है (अंगूठे के साथ कलाई को बढ़ाया गया है), और संख्या 10 के लिए, दो फाइव (X) की छवि ) एक साथ संख्या II, III, IV लिखने के लिए, उनके साथ क्रियाओं को प्रदर्शित करते हुए, समान संकेतों का उपयोग करें। इसलिए, संख्या II और III इकाई को समान संख्या में बार-बार दोहराते हैं। संख्या IV लिखने के लिए, I को पाँच से पहले रखा जाता है। इस अंकन में, पाँच से पहले की इकाई को V से घटाया जाता है, और V के बाद की इकाइयों को रखा जाता है।
इसमें जोड़े जाते हैं। और इसी तरह दस (X) से पहले लिखी गई इकाई को दस में से घटा दिया जाता है और दाईं ओर वाली इकाई को इसमें जोड़ दिया जाता है। संख्या 40 को XL द्वारा दर्शाया जाता है। इस स्थिति में, 50 में से 10 घटाया जाता है। संख्या 90 लिखने के लिए 100 में से 10 घटाया जाता है और XC लिखा जाता है।
रोमन अंक संख्या लिखने के लिए बहुत सुविधाजनक है, लेकिन गणना के लिए लगभग अनुपयुक्त है। रोमन अंकों के साथ लिखित रूप में कोई भी क्रिया ("कॉलम" और अन्य गणना विधियों के साथ गणना) करना लगभग असंभव है। यह रोमन नंबरिंग का एक बहुत बड़ा दोष है।
कुछ लोगों के लिए, संख्याएं वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके दर्ज की जाती थीं, जो व्याकरण में उपयोग की जाती थीं। यह रिकॉर्ड स्लाव, यहूदी, अरब और जॉर्जियाई लोगों के बीच हुआ था।
वर्णमालानंबरिंग सिस्टम का इस्तेमाल सबसे पहले यूनान में किया गया था। इस प्रणाली के अनुसार बनाया गया सबसे पुराना रिकॉर्ड 5वीं शताब्दी के मध्य का है। ई.पू. सभी वर्णमाला प्रणालियों में, 1 से 9 तक की संख्याओं को वर्णमाला के संगत अक्षरों का उपयोग करके अलग-अलग वर्णों द्वारा निर्दिष्ट किया गया था। ग्रीक और स्लाव संख्या में, अक्षरों के ऊपर एक "टाइटलो" डैश (~) रखा गया था जो संख्याओं को सामान्य से अलग करने के लिए संख्याओं को दर्शाता था। शब्दों। उदाहरण के लिए, ए, बी,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ , क्यू; आदि।
वर्णमाला प्रणाली के निशान हमारे समय तक जीवित रहे हैं। इस प्रकार, हम अक्सर पत्रों के साथ रिपोर्ट, संकल्प आदि के पैराग्राफ को क्रमांकित करते हैं। हालाँकि, हमने केवल क्रमसूचक संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए वर्णानुक्रमिक संख्या पद्धति को बनाए रखा है। हम कभी भी कार्डिनल संख्याओं को अक्षरों के साथ निर्दिष्ट नहीं करते हैं, बहुत कम हम कभी भी वर्णमाला प्रणाली में लिखी संख्याओं के साथ काम नहीं करते हैं।
पुरानी रूसी संख्या भी वर्णमाला थी। 10वीं शताब्दी में संख्याओं का स्लाव वर्णानुक्रमिक पदनाम उत्पन्न हुआ।
अब मौजूद है भारतीय प्रणालीसंख्या प्रविष्टियाँ। इसे अरबों द्वारा यूरोप लाया गया था, यही वजह है कि इसे यह नाम मिला अरबीनंबरिंग। अरबी नंबरिंग दुनिया भर में फैल गई है, अन्य सभी नंबर प्रविष्टियों को विस्थापित कर रही है। इस नंबरिंग में, 10 चिह्नों का उपयोग संख्याओं को लिखने के लिए किया जाता है, जिन्हें संख्या कहा जाता है। उनमें से नौ 1 से 9 तक की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
2 आदेश1391
दसवां चिह्न - शून्य (0) - का अर्थ है संख्याओं के एक निश्चित अंक का अभाव। इन दस वर्णों की सहायता से आप अपनी पसंद की कोई भी बड़ी संख्या लिख सकते हैं। 18वीं शताब्दी तक। रूस में, शून्य को छोड़कर, लिखित संकेतों को संकेत कहा जाता था।
तो, विभिन्न देशों के लोगों की अलग-अलग लिखित संख्याएँ थीं: चित्रलिपि - मिस्रियों के बीच; क्यूनिफॉर्म - बेबीलोनियों के बीच; हेरोडियन - प्राचीन यूनानियों के बीच, फोनीशियन; वर्णमाला - यूनानियों और स्लावों के बीच; रोमन - यूरोप के पश्चिमी देशों में; अरबी - मध्य पूर्व में। यह कहा जाना चाहिए कि अरबी नंबरिंग अब लगभग हर जगह उपयोग की जाती है।
विभिन्न लोगों की संस्कृतियों के इतिहास में हुई संख्या (संख्या) लिखने की प्रणालियों का विश्लेषण करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी लेखन प्रणालियों को दो बड़े समूहों में विभाजित किया गया है: स्थितीय और गैर-स्थितित्मक संख्या प्रणाली।
गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में शामिल हैं: चित्रलिपि, वर्णमाला, रोमन में संख्याएँ लिखना तथाकुछ अन्य प्रणालियाँ। एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली संख्याओं को लिखने की एक ऐसी प्रणाली है जब प्रत्येक वर्ण की सामग्री उस स्थान पर निर्भर नहीं करती है जिसमें यह लिखा गया है। ये वर्ण हैं, जैसा कि यह था, नोडल संख्या और एल्गोरिथम संख्याएं हैं इन वर्णों से संयुक्त। उदाहरण के लिए, गैर-स्थित रोमन अंक में संख्या 33 को इस प्रकार लिखा गया है: XXXIII। यहां, संकेत X (दस) और I (एक) प्रत्येक तीन बार संख्या के संकेतन में उपयोग किए जाते हैं। इसके अलावा, हर बार यह चिन्ह समान मान को दर्शाता है: X दस इकाइयाँ हैं, I एक है, चाहे वे अन्य संकेतों की एक पंक्ति में खड़े हों।
स्थितीय प्रणालियों में, प्रत्येक चिह्न का एक अलग अर्थ होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह संख्या प्रविष्टि में कहां है। उदाहरण के लिए, संख्या 222 में, संख्या "2" को तीन बार दोहराया जाता है, लेकिन दाईं ओर का पहला अंक दो को इंगित करता है, दूसरा - दो दहाई, और तीसरा - दो सौ। इस मामले में हमारा मतलब है दशमलव संख्या प्रणाली।गणित के विकास के इतिहास में दशमलव संख्या प्रणाली के साथ-साथ बाइनरी, फाइव-फोल्ड, टू-दशमलव आदि भी थे।
पोजिशनल नंबर सिस्टम इस मायने में सुविधाजनक हैं कि वे अपेक्षाकृत कम संख्या में वर्णों का उपयोग करके बड़ी संख्या में लिखना संभव बनाते हैं। स्थितीय प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण लाभ इन प्रणालियों में लिखी संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को करने में सरलता और सुगमता है।
संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए स्थितीय प्रणालियों का उद्भव संस्कृति के इतिहास में प्रमुख मील के पत्थर में से एक था। यह कहा जाना चाहिए कि यह संयोग से नहीं हुआ, बल्कि लोगों के सांस्कृतिक विकास में एक प्राकृतिक कदम के रूप में हुआ। इसकी पुष्टि स्थितीय प्रणालियों के स्वतंत्र उद्भव से होती है। परविभिन्न लोग: बेबीलोनियों के बीच - 2 हजार वर्ष ईसा पूर्व से अधिक; माया जनजातियों (मध्य अमेरिका) के बीच - एक नए युग की शुरुआत में; भारतीयों के बीच - IV-VI सदी ईस्वी में।
स्थितीय सिद्धांत की उत्पत्ति को सबसे पहले संकेतन के गुणक रूप की उपस्थिति से समझाया जाना चाहिए। तो, गुणक संकेतन में, संख्या 154 लिखी जा सकती है: 1x10 2 + 5x10 + 4। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह रिकॉर्ड इस तथ्य को प्रदर्शित करता है कि जब पहले अंक की इकाइयों की कुछ संख्या की गणना की जाती है, तो इस मामले में दस इकाइयाँ होती हैं। अगले अंक की एक इकाई के लिए लिया जाता है, दूसरे अंक की इकाइयों की एक निश्चित संख्या को तीसरे अंक की इकाई के रूप में लिया जाता है, और इसी तरह। यह आपको विभिन्न अंकों की इकाइयों की संख्या प्रदर्शित करने के लिए समान संख्यात्मक प्रतीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है। परिमित समुच्चयों के किसी भी अवयव की गणना करते समय भी यही संकेतन संभव है।
पांच गुना प्रणाली में, गिनती "एड़ी" द्वारा की जाती है - प्रत्येक पांच। तो, अफ्रीकी अश्वेत कंकड़ या मेवों पर भरोसा करते हैं और उन्हें पांच-पांच वस्तुओं के ढेर में डाल देते हैं। वे ऐसे पाँच ढेरों को एक नए ढेर में मिलाते हैं, इत्यादि। वहीं कंकड़ पहले गिने जाते हैं, फिर ढेर, फिर बड़े ढेर। गिनती की इस पद्धति के साथ, इस तथ्य पर जोर दिया जाता है कि कंकड़ के ढेर के साथ एक ही संचालन किया जाना चाहिए जैसा कि व्यक्तिगत कंकड़ के साथ किया जाना चाहिए। रूसी यात्री मिक्लुखो-मैकले इस प्रणाली के अनुसार गिनती की तकनीक को दिखाता है। इस प्रकार, माल गिनने की प्रक्रिया की विशेषता है न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा, वे लिखते हैं, कि कागज के स्ट्रिप्स की संख्या की गणना करने के लिए, जो कि वाइटाज़ कार्वेट की वापसी से पहले दिनों की संख्या का संकेत देता था, पापुआंस ने निम्नलिखित किया: दस, दूसरे ने उसी शब्द को दोहराया , लेकिन साथ ही उसने अपनी उंगलियों को पहले एक पर, फिर दूसरी ओर झुकाया। दस तक गिनने और दोनों हाथों की अंगुलियों को मोड़ने के बाद, पापुआन ने "इबेन करे" - दो हाथों का उच्चारण करते हुए दोनों मुट्ठियों को अपने घुटनों तक नीचे कर लिया। तीसरे पापुआन ने उसी समय एक उंगली अपने हाथ पर झुका ली
ऐसा ही किया गया, तीसरे पापुआन ने दूसरी उंगली को झुकाया, और तीसरे दस के लिए, तीसरी उंगली आदि। ऐसा ही हिसाब दूसरे राष्ट्रों में भी हुआ। ऐसे खाते के लिए कम से कम तीन लोगों की जरूरत थी। एक ने इकाइयाँ गिनीं, दूसरी - दहाई, तीसरी - सैकड़ों। अगर हम उन लोगों की उंगलियों को बदल दें जो अलग-अलग कंकड़ से गिने जाते हैं एक मिट्टी के बोर्ड या टहनियों पर फँसा हुआ, तो सबसे सरल गणना उपकरण निकलेगा।
समय के साथ, अंक लिखते समय अंकों के नाम छोड़ दिए जाने लगे। हालाँकि, स्थिति प्रणाली को पूरा करने के लिए, अंतिम चरण गायब था - शून्य का परिचय। अपेक्षाकृत छोटे गिनती के आधार के साथ, जो कि संख्या 10 थी, और अपेक्षाकृत बड़ी संख्या के साथ संचालन, विशेष रूप से बिट इकाइयों के नामों को छोड़े जाने के बाद, शून्य का परिचय बस आवश्यक हो गया। छूटे हुए अंक का स्थान। एक तरह से या किसी अन्य, हालांकि, शून्य का परिचय विकास की प्राकृतिक प्रक्रिया में एक बिल्कुल अपरिहार्य चरण था, जिसके कारण एक आधुनिक स्थिति प्रणाली का निर्माण हुआ।
संख्या प्रणाली 1 (एक) और 0 (शून्य) को छोड़कर किसी भी संख्या पर आधारित हो सकती है। बाबुल में, उदाहरण के लिए, संख्या 60 थी। यदि संख्या प्रणाली पर आधारित है बड़ी संख्या, तो अंक का अंकन बहुत छोटा होगा, लेकिन अंकगणितीय संक्रियाओं का निष्पादन अधिक कठिन होगा। यदि, इसके विपरीत, संख्या 2 या 3 लें, तो अंकगणितीय संक्रियाएं बहुत आसानी से की जाती हैं, लेकिन अंकन स्वयं ही होगा अधिक सुविधाजनक के साथ दशमलव प्रणाली को बदलना संभव होगा, लेकिन यह संक्रमण बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा होगा: सबसे पहले, सभी वैज्ञानिक पुस्तकों को नए सिरे से छापना, सभी गणना उपकरणों को रीमेक करने के लिए आवश्यक होगा और मशीनें। यह संभावना नहीं है कि ऐसा प्रतिस्थापन उपयुक्त होगा। दशमलव प्रणाली परिचित हो गई है, और इसलिए सुविधाजनक है।
आत्म-परीक्षा के लिए व्यायाम
संख्याओं की एक अनुक्रमिक श्रृंखला निर्धारित की जाती है
धीरे-धीरे फीका। ... संख्याओं के निर्माण में मुख्य भूमिका ... जोड़ द्वारा निभाई गई थी। इसके अलावा, ... का उपयोग किया गया था, साथ ही गुणन भी।
एल्गोरिथम
संचालन
घटाव
लक्षण
क्यूनिफॉर्म चित्रलिपि वर्णमाला
संख्या लिखने के लिए, अलग-अलग लोगों ने अलग-अलग आविष्कार किए .... तो, हमारे से पहले
दिन, निम्न प्रकार के रिकॉर्ड आ चुके हैं:,
गेरोडियानोव, ..., रोमन, आदि।
और अब लोग कभी-कभी
वर्णानुक्रम का उपयोग करें और .., नंबरिंग, रोमन
सबसे अधिक बार जब क्रमिक संख्याओं को निरूपित करते हैं।
आज के समाज में अधिकांश
लोग अरबी (...) संख्याओं का उपयोग करते हैं- हिंदू
लिखित नंबरिंग (सिस्टम) डी
दो बड़े समूहों में गिरना: स्थिति
nye और ... नंबर सिस्टम। गैर स्थितीय
§ 6. उपकरणों की गणना
गिनती और गणना की सुविधा के लिए सबसे प्राचीन उपकरण मानव हाथ और कंकड़ थे। उंगलियों पर गिनती के लिए धन्यवाद, पांच अंकों और दशमलव (दशमलव) संख्या प्रणालियों का उदय हुआ। यह वैज्ञानिक गणितज्ञ एन.एन. द्वारा सही ढंग से नोट किया गया था। हमारे पास दस उंगलियां नहीं थीं हमारे हाथों पर, लेकिन आठ, तब मानवता अष्टक प्रणाली का उपयोग करेगी।
व्यावहारिक गतिविधियों में, वस्तुओं की गिनती करते समय, लोगों ने कंकड़, निशान के साथ टैग, गांठों के साथ रस्सियों आदि का इस्तेमाल किया। कंप्यूटिंग के लिए विशेष रूप से डिजाइन किया गया पहला और अधिक उन्नत उपकरण एक साधारण अबेकस था, जिससे कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का विकास शुरू हुआ। एक अबेकस की मदद से लेखांकन, जो हमारे युग से बहुत पहले चीन, प्राचीन मिस्र और प्राचीन ग्रीस में जाना जाता था, कई सहस्राब्दियों तक अस्तित्व में रहा जब लिखित गणनाओं ने अबेकस को बदल दिया। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अबेकस ने वास्तविक गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए इतना काम नहीं किया। , लेकिन मध्यवर्ती परिणामों को याद रखने के लिए .
अबेकस की कई किस्में ज्ञात हैं: ग्रीक, जो एक मिट्टी की गोली के रूप में बनाई गई थी, जिस पर एक ठोस वस्तु के साथ रेखाएं खींची गई थीं और कंकड़ को परिणामस्वरूप खांचे (खांचे) में रखा गया था। रोमन अबेकस और भी सरल था, जिस पर कंकड़ खांचे के साथ नहीं, बल्कि बोर्ड पर खींची गई रेखाओं के साथ चल सकते थे।
चीन में, अबेकस जैसे उपकरण को सुआन-पैन और जापान में सोरोबन कहा जाता था। इन उपकरणों का आधार गेंदें थीं
टहनियों पर की स्ट्रॉन्ग; काउंटिंग टेबल, जिसमें इकाइयों, दहाई, सैकड़ों, आदि के अनुरूप क्षैतिज रेखाएं होती हैं, और अलग-अलग शर्तों और कारकों के लिए लंबवत रेखाएं होती हैं। इन पंक्तियों पर टोकन रखे गए थे - चार तक।
हमारे पूर्वजों के पास भी अबेकस था - रूसी अबेकस। वे 16 वीं -17 वीं शताब्दी में दिखाई दिए, वे आज भी उपयोग किए जाते हैं। अबेकस के आविष्कारकों की मुख्य योग्यता एक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग है।
कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास में अगला महत्वपूर्ण कदम मशीनों को जोड़ने और मशीनों को जोड़ने का था। ऐसी मशीनों को विभिन्न आविष्कारकों द्वारा स्वतंत्र रूप से डिजाइन किया गया था।
इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची (1452-1519) की पांडुलिपियों में 13-बिट जोड़ने वाले उपकरण का एक स्केच है। जर्मन वैज्ञानिक वी। स्किकार्ड (1592-1636) और मशीन द्वारा एक 6-बिट स्केच विकसित किया गया था। खुद 1623 के आसपास बनाया गया था। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये आविष्कार केवल 20 वीं शताब्दी के मध्य में ज्ञात हुए, इसलिए कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास पर उनका कोई प्रभाव नहीं पड़ा। ऐसा माना जाता था कि पहली जोड़ने वाली मशीन (8-बिट) को 1641 में डिजाइन किया गया था, और बनाया गया था 1645 में बी पास्कल द्वारा। इसलिए परियोजना को उनके धारावाहिक उत्पादन शुरू किया गया था। इन मशीनों की कई प्रतियां आज तक बची हुई हैं। उनका लाभ यह था कि उन्होंने आपको सभी चार अंकगणितीय कार्यों को करने की अनुमति दी: जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
शब्द "कंप्यूटर प्रौद्योगिकी" को तकनीकी प्रणालियों के एक सेट के रूप में समझा जाता है, अर्थात कंप्यूटर, गणितीय उपकरण, विधियों और तकनीकों का उपयोग सूचना प्रसंस्करण (गणना), साथ ही साथ शाखा से संबंधित श्रम-गहन कार्यों के समाधान को सुविधाजनक बनाने और गति देने के लिए किया जाता है। कंप्यूटर के विकास और संचालन में शामिल प्रौद्योगिकी की। आधुनिक कंप्यूटर या कंप्यूटर के मुख्य कार्यात्मक तत्व इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों पर बने होते हैं, इसलिए उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर - कंप्यूटर कहा जाता है। सूचना प्रस्तुत करने की विधि के अनुसार, कंप्यूटर को तीन समूहों में विभाजित किया जाता है;
एनालॉग कंप्यूटर (एवीएम), जिसमें कुछ भौतिक मात्राओं द्वारा व्यक्त लगातार बदलते चर के रूप में जानकारी प्रस्तुत की जाती है;
- डिजिटल कंप्यूटर (DCM), जिसमें
जानकारी असतत मूल्यों के रूप में प्रस्तुत की जाती है
बेल्ट (संख्या) असतत मूल्यों के संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है
किसी भी भौतिक मात्रा (संख्याओं) के मूल्य; - हाइब्रिड कंप्यूटर (HVM)
ryh, जानकारी प्रस्तुत करने के दोनों तरीकों का उपयोग किया जाता है।
पहला एनालॉग कंप्यूटिंग डिवाइस 17वीं सदी में सामने आया। यह एक स्लाइड नियम था।
XVIII-XIX सदियों में। इलेक्ट्रिक ड्राइव के साथ मैकेनिकल एरिथमोमीटर का निरंतर सुधार। यह सुधार विशुद्ध रूप से यांत्रिक प्रकृति का था और इलेक्ट्रॉनिक्स में संक्रमण के साथ इसका महत्व खो गया था। एकमात्र अपवाद अंग्रेजी वैज्ञानिक Ch. Be-bidzha की मशीनें हैं: अंतर (1822) और विश्लेषणात्मक (1830)।
अंतर मशीन बहुपदों को सारणीबद्ध करने के लिए थी और, आधुनिक दृष्टिकोण से, एक निश्चित (कठिन) प्रोग्राम वाला एक विशेष कंप्यूटर था। मशीन में "मेमोरी" थी - संख्याओं को संग्रहीत करने के लिए कई रजिस्टर। जब गणना के चरणों की एक निश्चित संख्या का प्रदर्शन किया गया था, तो संचालन की संख्या का काउंटर चालू हो गया था - एक घंटी सुनाई दी थी। परिणाम एक प्रिंटिंग डिवाइस द्वारा मुद्रित किए गए थे। इसके अलावा, इस ऑपरेशन को समय पर गणना के साथ जोड़ा गया था।
डिफरेंशियल इंजन पर काम करते हुए, बेबिज को विभिन्न वैज्ञानिक और तकनीकी गणना करने के लिए एक डिजिटल कंप्यूटर बनाने का विचार आया। स्वचालित रूप से कार्य करते हुए, इस मशीन ने एक दिए गए कार्यक्रम का प्रदर्शन किया। लेखक ने इस मशीन को विश्लेषणात्मक कहा। यह मशीन आधुनिक कंप्यूटरों का एक प्रोटोटाइप है। Bebidzh के विश्लेषणात्मक इंजन में निम्नलिखित उपकरण शामिल थे:
- डिजिटल जानकारी संग्रहीत करने के लिए (अब कहा जाता है
एक भंडारण उपकरण द्वारा संग्रहीत); - संख्याओं पर संचालन करने के लिए (अब यह
अंकगणितीय उपकरण); - डिवाइस जिसके लिए बेबीज एक नाम के साथ नहीं आया
और जो मा . के कार्यों के अनुक्रम को नियंत्रित करता है
टायर (अब यह एक नियंत्रण उपकरण है); - सूचना के इनपुट और आउटपुट के लिए।
इनपुट और आउटपुट के लिए सूचना वाहक के रूप में, बेबिज का इरादा करघे के नियंत्रण में उपयोग किए जाने वाले प्रकार के छिद्रित कार्ड (छिद्रित कार्ड) का उपयोग करना था। मशीन में नियंत्रण के साथ फ़ंक्शन वैल्यू टेबल के इनपुट के लिए बेबिज प्रदान किया गया।
जिससे यदि आवश्यक हो, तो इसे कार में फिर से प्रवेश करना संभव हो गया।
इस प्रकार, Bebidzh का विश्लेषणात्मक इंजन दुनिया का पहला प्रोग्राम-नियंत्रित कंप्यूटर था। इस मशीन के लिए, दुनिया के पहले प्रोग्राम भी संकलित किए गए थे। पहला प्रोग्रामर अंग्रेजी कवि बायरन, ऑगस्टा एडा लवलेस (1815-1852) की बेटी थी। उनके सम्मान में, आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक को "एडा" कहा जाता है।
पहला इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर अमेरिका के पेन्सिलवेनिया विश्वविद्यालय में विकसित एक मशीन माना जाता है। यह ENIAC मशीन 1945 में बनाई गई थी, इसमें स्वचालित प्रोग्राम नियंत्रण था। इस मशीन का नुकसान कमांड को संग्रहीत करने के लिए मेमोरी डिवाइस की कमी थी।
आधुनिक मशीनों के सभी घटकों के साथ पहला कंप्यूटर अंग्रेजी EDSAK मशीन था, जिसे 1949 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में बनाया गया था। इस मशीन के मेमोरी डिवाइस में नंबर (बाइनरी कोड में लिखा हुआ) और प्रोग्राम ही होता है। के संख्यात्मक रूप के कारण प्रोग्राम कमांड लिखना, मशीन विभिन्न ऑपरेशन कर सकती है।
लेबेदेव (1902-1974) के नेतृत्व में पहला घरेलू कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) विकसित किया गया था। एमईएसएम ने केवल 12 कमांड किए, क्रियाओं की नाममात्र गति 50 ऑपरेशन प्रति सेकंड थी। एमईएसएम रैम 31 सत्रह-बिट बाइनरी नंबर और 64 बीस-बिट कमांड स्टोर कर सकता है। इसके अलावा, बाहरी भंडारण उपकरण थे।1966 में, उसी डिजाइनर के मार्गदर्शन में, एक बड़ी इलेक्ट्रॉनिक गणना मशीन (बीईएसएम) विकसित की गई थी।
इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करते हैं - यह सूचना डेटा और कार्यक्रमों (एल्गोरिदम) का वर्णन करने के लिए एक संकेतन प्रणाली है।
मशीनी भाषा में प्रोग्राम में संख्याओं की तालिका का रूप होता है, प्रत्येक पंक्ति एक ऑपरेटर-मशीन कमांड से मेल खाती है। उसी समय, कमांड में, उदाहरण के लिए, पहले कुछ अंक ऑपरेशन कोड होते हैं, यानी वे मशीन को बताते हैं कि क्या करना है (जोड़ें, गुणा करें, आदि), और शेष संख्याएं इंगित करती हैं कि आवश्यक संख्याएं कहां हैं मशीन की मेमोरी (शर्तें, कारक) में स्थित हैं और जहां आपको संचालन के परिणाम (उत्पादों का योग, आदि) याद रखना चाहिए।
एक प्रोग्रामिंग भाषा को तीन घटकों द्वारा परिभाषित किया जाता है: वर्णमाला, वाक्य रचना और शब्दार्थ।
आज तक विकसित अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाएं (बेसिक, फोरट्रान, पास्कल, एडीए, कोबोल, एलआईएसपी) अनुक्रमिक हैं। उनमें लिखे गए प्रोग्राम ऑर्डर (निर्देश) का एक क्रम हैं। वे क्रमिक रूप से, एक के बाद एक, संसाधित होते हैं तथाकथित अनुवादकों की मदद से मशीन द्वारा।
संचालन के समानांतर (एक साथ) निष्पादन के कारण कंप्यूटर का प्रदर्शन बढ़ जाएगा, जबकि अधिकांश मौजूदा प्रोग्रामिंग भाषाओं को संचालन के क्रमिक निष्पादन के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसलिए, भविष्य, जाहिरा तौर पर, ऐसी प्रोग्रामिंग भाषाओं से संबंधित है जो समस्या को हल करने का वर्णन करने की अनुमति देगा, न कि ऑपरेटरों के निष्पादन का क्रम।
सेल्फ टेस्ट एक्सरसाइज
गणित के इतिहास में उपकरणों का विकास... गिनती
मैटिक्स धीरे-धीरे हुआ। is . से
अपने शरीर के अंगों का उपयोग करना उंगलियों
...
- विभिन्न विशेष के उपयोग के लिए अबेकस
अलनो निर्मित डिवाइस: ... रैखिक रूप से लघुगणक
का, अबेकस, ..., विश्लेषणात्मक इंजन और कम्प्यूटिंग
इलेक्ट्रॉनिक ... कार।
के लिए कार्यक्रम ... मशीनें हैं इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग
संख्याओं की तालिकाएँ। तेलनी
प्रोग्रामिंग भाषाओं के घटक
निया वर्णमाला, ... और शब्दार्थ हैं। वाक्य - विन्यास
7. गठन, वर्तमान स्थिति और संभावनाएं
बच्चों को गणित के तत्वों को पढ़ाने के लिए विकसित पद्धति
पूर्वस्कूली उम्र
पूर्वस्कूली बच्चों के गणितीय विकास के मुद्दे शास्त्रीय और लोक शिक्षाशास्त्र में निहित हैं। बच्चों को गिनना सिखाने के लिए विभिन्न गिनती की कविताएँ, कहावतें, कहावतें, पहेलियाँ, नर्सरी कविताएँ अच्छी सामग्री थीं, जिससे बच्चे को संख्याओं, आकार, आकार के बारे में अवधारणाएँ बनाने की अनुमति मिली। स्थान और समय। उदाहरण के लिए,
सफेद तरफा मैगपाई ने दलिया पकाया, बच्चों को खिलाया।
मैंने यह दिया, मैंने यह दिया और मैंने यह दिया, लेकिन मैंने यह नहीं दिया:
तुमने पानी नहीं ढोया, तुमने जलाऊ लकड़ी नहीं काटी, तुमने दलिया नहीं बनाया - तुम्हारे लिए कुछ नहीं है।
आई। फेडोरोव "प्राइमर" (1574) द्वारा पहली मुद्रित पाठ्यपुस्तक में विभिन्न अभ्यासों की प्रक्रिया में बच्चों को गिनने के लिए सिखाने की आवश्यकता के बारे में विचार शामिल थे। Ya.A के शैक्षणिक कार्य। कोमेनियस, एम.जी. पेस्टलोज़ी, के.डी. उशिंस्की, एफ. फ़्रेबेल, एल.एन.
तो, "मदर्स स्कूल" पुस्तक में वाईए कोमेन्स्की (1592-1670) ने स्कूल से पहले ही एक बच्चे को बीस के भीतर गिनने के लिए सिखाने की सिफारिश की, बड़ी-छोटी, सम-विषम संख्याओं के बीच अंतर करने की क्षमता, आकार के आधार पर वस्तुओं की तुलना करना, पहचानना और कुछ ज्यामितीय आकृतियों को नाम दें, माप की अभ्यास इकाइयों में उपयोग करें: इंच, स्पैन, स्टेप, पाउंड, आदि।
एफ। फ्रीबेल (1782-1852) और एम। मोंटेसरी (1870-1952) द्वारा संवेदी सीखने की शास्त्रीय प्रणाली बच्चों को ज्यामितीय आकार, आकार, माप और गिनती से परिचित कराने के लिए एक पद्धति प्रस्तुत करती है। फ्रोबेल द्वारा बनाए गए "उपहार" अभी भी बच्चों को संख्या, आकार, आकार और स्थानिक संबंधों से परिचित कराने के लिए उपदेशात्मक सामग्री के रूप में उपयोग किए जाते हैं।
केडी उशिंस्की (1824-1871) ने बार-बार बच्चों को स्कूल से पहले गिनना सिखाने के महत्व के बारे में लिखा। उन्होंने बच्चे को व्यक्तिगत वस्तुओं और उनके समूहों की गणना करना, जोड़ और घटाव करना, खाते की इकाई के रूप में दस की अवधारणा बनाना सिखाना महत्वपूर्ण समझा। हालाँकि, यह सब सिर्फ इच्छाएँ थीं जिनका कोई वैज्ञानिक औचित्य नहीं था।
19 वीं -20 वीं शताब्दी के मोड़ पर प्राथमिक विद्यालय के शैक्षणिक साहित्य में गणितीय विकास की कार्यप्रणाली के मुद्दे विशेष महत्व के हैं। उस समय की पद्धति संबंधी सिफारिशों के लेखक उन्नत शिक्षक और कार्यप्रणाली थे। व्यावहारिक श्रमिकों के अनुभव को हमेशा वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित नहीं किया गया था।
nym, लेकिन व्यवहार में इसका परीक्षण किया गया था। समय के साथ, इसमें सुधार हुआ, मजबूत और अधिक पूरी तरह से, प्रगतिशील शैक्षणिक विचार इसमें प्रकाश में आया। 19 वीं के अंत में - 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, पद्धतिविदों को अंकगणित की पद्धति के लिए एक वैज्ञानिक आधार विकसित करने की आवश्यकता थी। कार्यप्रणाली के विकास में एक महत्वपूर्ण योगदान उन्नत रूसी शिक्षकों और कार्यप्रणाली पी.एस. गुरेव, ए। I.Goldenberg, D.F.Egorov, VAEvtushevsky, D.D.Galanin और अन्य।
एक नियम के रूप में, गिनने के लिए प्रीस्कूलरों को पढ़ाने की पद्धति पर पहला पद्धति मैनुअल, शिक्षकों, माता-पिता और शिक्षकों को एक साथ संबोधित किया गया था। बच्चों के साथ व्यावहारिक कार्य के अनुभव के आधार पर, वी.ए. वार्तालाप, खेल, व्यावहारिक अभ्यास काम करने के तरीकों द्वारा पेश किए जाते हैं बच्चों के साथ लेखक बच्चों को इस तरह की अवधारणाओं से परिचित कराना आवश्यक समझता है: एक, अनेक, अनेक, जोड़ी, अधिक, कम, समान, समान, समान, समानऔर अन्य। मुख्य कार्य 1 से 10 तक की संख्याओं का अध्ययन करना है, प्रत्येक संख्या को अलग से माना जाता है। साथ ही, बच्चे इन संख्याओं पर क्रियाएं सीखते हैं। दृश्य सामग्री का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
बातचीत और कक्षाओं के दौरान, बच्चे रूप, स्थान और समय के बारे में, संपूर्ण को भागों में विभाजित करने, मात्राओं और उनके माप के बारे में ज्ञान प्राप्त करते हैं।
विधियों के बारे में प्रश्न, बच्चों को गिनने के लिए पढ़ाने की सामग्री और सामान्य रूप से गणितीय विकास, जो स्कूल में उनकी सफल आगे की शिक्षा का आधार बन सकता है, विशेष रूप से पूर्वस्कूली शिक्षाशास्त्र में सार्वजनिक पूर्वस्कूली शिक्षा के एक विस्तृत नेटवर्क के निर्माण के बाद से गरमागरम बहस हुई है।
सबसे चरम स्थिति गणित के किसी भी उद्देश्यपूर्ण शिक्षण को प्रतिबंधित करना था। यह के। फ्लेबेडिन्सेव के कार्यों में सबसे स्पष्ट रूप से परिलक्षित होता है। वस्तुओं के समूहों, सेटों की धारणा के आधार पर बच्चे। और आगे, इन छोटे समुच्चय से परे, संख्या की अवधारणा के निर्माण में मुख्य भूमिका खाते की है, जो सेट की एक साथ (समग्र) धारणा को विस्थापित करता है। साथ ही, उन्होंने यह वांछनीय माना कि बच्चा इस अवधि के दौरान "अगोचर रूप से" स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करता है। केएफ लेबेदिंत्सेव इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि बच्चों के पहले संख्यात्मक अभ्यावेदन सीखने और उन्हें महारत हासिल करने के अवलोकन के आधार पर
वास्तव में, बहुत कम उम्र के बच्चे सजातीय वस्तुओं के कुछ छोटे समूहों को अलग करना शुरू कर देते हैं और वयस्कों की नकल करते हुए, इसे एक संख्या कहते हैं। लेकिन यह ज्ञान अभी भी उथला है, पर्याप्त रूप से जागरूक नहीं है। बच्चों की संख्याओं को नाम देने की क्षमता हमेशा गणितीय क्षमताओं का एक उद्देश्य संकेतक नहीं होती है। और फिर भी, 20 के दशक में, कई पद्धतिविदों, शिक्षकों ने के.एफ. लेबेडिन्सेव के दृष्टिकोण को अपनाया। उनकी राय में, एक बच्चे में संख्यात्मक प्रतिनिधित्व मुख्य रूप से पर्यावरण तालिका, कार पहियों में स्थित सजातीय वस्तुओं के छोटे समूहों की समग्र धारणा के कारण उत्पन्न होता है। , आदि।)। इस आधार पर बच्चों को गिनती सिखाना वैकल्पिक समझा जाता था।
हालांकि, अग्रणी शिक्षक - 20-30 के दशक में "प्रीस्कूलर" (ई.आई. टिखेवा, एल.के. श्लेगर और अन्य) ने नोट किया कि बच्चों में संख्यात्मक प्रतिनिधित्व बनाने की प्रक्रिया बहुत जटिल है, और इसलिए उन्हें उद्देश्यपूर्ण तरीके से गिनती करना सिखाना आवश्यक है। खेल को बच्चों को गिनती सिखाने के मुख्य तरीके के रूप में मान्यता दी गई थी। तो, "लिविंग नंबर, लिविंग थॉट्स एंड हैंड्स एट वर्क" पुस्तक के लेखक (कीव, 1920) ई। गोर्बुनोव-पासाडोव और आई। त्सुंजर ने लिखा है कि बच्चा अपने गतिविधि-खेल में पेश करने की कोशिश कर रहा है जो उसके लिए दिलचस्प है फिलहाल, गणित के तत्वों से परिचित होना बच्चे की सक्रिय गतिविधि पर आधारित होना चाहिए। यह माना जाता था कि खेलते समय, बच्चे खाते को बेहतर ढंग से सीखते हैं, संख्याओं और उन पर कार्यों से बेहतर परिचित होते हैं।
1920 और 1930 के दशक के अधिकांश शिक्षकों का बालवाड़ी के लिए, लक्ष्य-उन्मुख शिक्षा के लिए कार्यक्रम बनाने की आवश्यकता के प्रति नकारात्मक दृष्टिकोण था। विशेष रूप से, एल.के. श्लेगर ने तर्क दिया कि बच्चों को अपने स्वयं के अनुरोध पर स्वतंत्र रूप से अपनी गतिविधियों का चयन करना चाहिए, अर्थात हर कोई वह कर सकता है जो उसके मन में है, उपयुक्त सामग्री का चयन करें, अपने लिए लक्ष्य निर्धारित करें और उन्हें प्राप्त करें। उनकी राय में यह कार्यक्रम बच्चों के स्वाभाविक झुकाव और आकांक्षाओं पर आधारित होना चाहिए। शिक्षक की भूमिका केवल बच्चों की स्व-शिक्षा के लिए अनुकूल परिस्थितियों का निर्माण करने की होगी। एल.के. श्लेगर का मानना था कि खाते को बच्चे की विभिन्न गतिविधियों से जोड़ा जाना चाहिए, और शिक्षक को खाते में उनका प्रयोग करने के लिए बच्चों के जीवन के विभिन्न क्षणों का उपयोग करना चाहिए।
ई। आई। तिखेवा, एम। या। मोरोज़ोवा और अन्य के कार्यों में, इस बात पर जोर दिया गया था कि बच्चे को स्कूल से पहले ही पहले दस नंबरों के बारे में ज्ञान सीखना चाहिए और साथ ही उन्हें "बिना किसी व्यवस्थित कक्षाओं और विशेष शिक्षण विधियों के सीखना चाहिए।
अलग प्रकृति।" काम में "आधुनिक बालवाड़ी, इसका महत्व और उपकरण" (पीटर्सबर्ग, 1920), लेखकों ने उल्लेख किया कि बालवाड़ी का जीवन, बच्चों की गतिविधियाँ, खेल बड़ी संख्या में क्षण प्रदान करते हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है बच्चों के लिए उनकी उम्र उपलब्ध सीमा के भीतर खाता सीखने के लिए, और आत्मसात पूरी तरह से आसान है। गणितीय सोच की नींव आसानी से एक बच्चे की आत्मा में रखी जाती है, जो छात्र और शिक्षक दोनों के लिए बहुत आवश्यक है यदि स्कूल ( किंडरगार्टन) वैज्ञानिक और व्यवस्थित शिक्षा के लिए प्रयास करता है।
ई। आई। तिखेवा ने पूर्वस्कूली बच्चों को संख्याओं और गिनती से परिचित कराने की सामग्री की स्पष्ट रूप से कल्पना की और बार-बार इस बात पर जोर दिया कि आधुनिक कार्यप्रणाली बच्चों को अपने दम पर ज्ञान को आत्मसात करने के लिए प्रेरित करती है, बच्चे के लिए ऐसी स्थितियाँ पैदा करती है जो उसे संज्ञानात्मक सामग्री के लिए एक स्वतंत्र खोज प्रदान करती है और उसका उपयोग। उसने लिखा कि बच्चों को गणना नहीं सिखाई जानी चाहिए, लेकिन बच्चे को पहले दस सीखना चाहिए, बेशक, स्कूल से पहले। इस उम्र के बच्चों के लिए उपलब्ध सभी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व, उन्हें उस जीवन से लेना चाहिए जिसमें वे सक्रिय भाग लेते हैं। और सामान्य परिस्थितियों में जीवन में बच्चे की भागीदारी केवल एक चीज में व्यक्त की जानी चाहिए - काम, खेल, i. यही है, खेलते समय, काम करते हुए, जीवित रहते हुए, बच्चा निश्चित रूप से अपने दम पर गिनना सीखेगा, अगर वयस्क एक ही समय में उसके लिए अगोचर सहायक और नेता हैं।
"युवा बच्चों के जीवन में खाता" (1920) के काम में, ई। आई। तिखेवा ने बच्चे के गणितीय विकास में "उत्पीड़न और हिंसा" का भी विरोध किया। क्षणों, लेकिन बच्चे की सहज परवरिश पर भी आपत्ति जताई। बिल्कुल सही, उन्होंने संवेदी धारणा को गणितीय ज्ञान का मुख्य स्रोत माना। संख्या की अवधारणा को बच्चे के जीवन में केवल "वस्तुओं के साथ एक अविभाज्य एकता" में प्रवेश करना चाहिए जो बच्चे के आसपास हैं। इस संबंध में, लेखक बालवाड़ी और घर पर आवश्यक दृश्य सामग्री की उपलब्धता पर ध्यान आकर्षित करता है। बच्चे द्वारा इन या अन्य संख्यात्मक अभ्यावेदन प्राप्त होने के बाद, आप खेल-पाठों का उपयोग कर सकते हैं। लेखक इन विचारों को परिचित करने और समेकित करने, गिनती में आवश्यक कौशल को गहरा करने के लिए उपदेशात्मक सामग्री के साथ विशेष खेल-पाठों की सिफारिश करता है।
यह महसूस करते हुए कि संख्यात्मक अभ्यावेदन की सहज महारत में उचित अनुक्रम, स्थिरता नहीं हो सकती है, ई। आई। टिखेवा ने ज्ञान को व्यवस्थित करने के साधन के रूप में उपदेशात्मक सामग्री के विशेष सेट की पेशकश की। उसने प्राकृतिक सामग्री को एक गिनती सामग्री के रूप में उपयोग करने की सिफारिश की: कंकड़, पत्ते, सेम, शंकु, आदि। उन्होंने जोड़ीदार चित्र और लोट्टो जैसी उपदेशात्मक सामग्री बनाई, मात्रात्मक और स्थानिक अभ्यावेदन को मजबूत करने के लिए विकसित कार्य।
गणितीय ज्ञान की सामग्री ई। आई। तिखेवा ने काफी व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व किया। यह मूल्य, माप, संख्या, यहां तक कि भिन्नों के साथ एक परिचित है। ई. आई. तिखेवा ने परिमाण और माप के बारे में बच्चों के विचारों के निर्माण के लिए गणित पढ़ाने की सामग्री में एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। उन्होंने बच्चों को माप परिणाम और माप के परिमाण के बीच कार्यात्मक संबंध को प्रकट करना महत्वपूर्ण माना। व्यावहारिक कार्यों से जुड़े सभी प्रकार के माप उपयुक्त होने चाहिए, उदाहरण के लिए, एक स्टोर ("दुकान") में खेलना।
दुर्भाग्य से, ई। आई। तिखेवा ने सामूहिक गतिविधियों की भूमिका की सराहना नहीं की, उन्हें बाहर से बच्चे पर थोपने पर विचार किया। उसने मान लिया कि बालवाड़ी में बच्चों का ज्ञान अलग होगा; उनके विकास की डिग्री समान नहीं है, लेकिन यह "शिक्षक को डराना नहीं चाहिए।" हालांकि लेखक विकास के विभिन्न स्तरों के बच्चों के साथ काम करने के बारे में कहीं भी विशिष्ट सिफारिशें नहीं देता है।
ई। आई। तिखेवा ने "पूर्वस्कूली बच्चों" के लिए उपलब्ध ज्ञान की मात्रा निर्धारित करते हुए, बच्चों को गिनती सिखाने के तरीकों के विकास में एक निश्चित योगदान दिया। अधिक-कम, चौड़ा-संकरा, छोटा-लंबे समय तकऔर अन्य। एक उत्कृष्ट मास्टर व्यवसायी जो बच्चे को गहराई से जानती थी, उसने प्रशिक्षण की आवश्यकता महसूस की, शैक्षिक सामग्री की लगातार जटिलता, हालांकि उसने मूल रूप से केवल व्यक्तिगत प्रशिक्षण को मान्यता दी थी। वास्तव में, ई। आई। तिखेवा ने गिनती सिखाने की पद्धति को विकसित और सैद्धांतिक रूप से प्रमाणित नहीं किया, बच्चों को प्रारंभिक गणितीय ज्ञान में महारत हासिल करने के मुख्य तरीके नहीं दिखाए, हालाँकि, उनके द्वारा बनाई गई उपदेशात्मक सामग्री और उपदेशात्मक खेल का उपयोग आधुनिक शैक्षणिक अभ्यास में भी किया जाता है। .
1930 के दशक के अंत में, किंडरगार्टन में असंगठित शिक्षा से दूर एक कदम था, और उसी क्षण से, किंडरगार्टन में विभिन्न आयु वर्ग के बच्चों को पढ़ाने की सामग्री और विधियों को निर्धारित करने से संबंधित समस्याएं उत्पन्न होती हैं।
गणितीय अभ्यावेदन के विकास के तरीकों के विकास में एक महत्वपूर्ण चरण एफ.एन. ब्लेहर का काम था। पूर्वस्कूली शिक्षा के क्षेत्र में अपने समय के एक नवप्रवर्तनक-व्यवसायी होने के नाते, उन्होंने शिक्षकों को गणित में प्रारंभिक ज्ञान के आकार, मात्रा, स्थान, समय और माप को पढ़ाने के लिए एक विस्तृत कार्यक्रम का विकास, परीक्षण और पेशकश की। जबकि गिनना सीखना आम तौर पर होता है व्यक्तिगत उपयोग के लिए बनाया गया है, बच्चों को एक साथ लाने के लिए बहुत सारी सामग्री है। शिक्षक के लिए सामग्री को वितरित करना आसान बनाने के लिए, मैनुअल की पूरी सामग्री को पाठों (81 पाठ) में विभाजित किया गया है - इस तरह लेखक कक्षाओं को बुलाता है।
किसी भी प्राकृतिक संख्या की छवि कम संख्या में व्यक्तिगत संकेतों की मदद से संभव है। यह एक ही चिन्ह - 1 (एक) के साथ प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृत संख्या को तब इकाई चिन्ह को उतनी ही बार दोहराते हुए लिखा जाएगा, जितनी बार इस संख्या में इकाइयाँ हैं। जोड़ को इकाइयों के एक साधारण एट्रिब्यूशन में घटा दिया जाएगा, और घटाव - उनमें से विलोपन (मिटाने) के लिए। ऐसी प्रणाली के पीछे का विचार सरल है, लेकिन यह प्रणाली बहुत असुविधाजनक है। यह बड़ी संख्या में रिकॉर्ड करने के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और इसका उपयोग केवल उन लोगों द्वारा किया जाता है जिनकी गिनती एक या दो दर्जन से अधिक नहीं होती है।
मानव समाज के विकास के साथ, लोगों का ज्ञान बढ़ता है और बड़ी मात्रा में गिनती के परिणामों को गिनने और रिकॉर्ड करने की आवश्यकता अधिक से अधिक हो जाती है।
आदिम लोगों के पास कोई लिखित भाषा नहीं थी, कोई अक्षर या संख्या नहीं थी, हर चीज, हर क्रिया को एक चित्र के साथ चित्रित किया गया था। ये वास्तविक चित्र थे जो इस या उस मात्रा को दिखा रहे थे। धीरे-धीरे वे सरल हो गए, रिकॉर्डिंग के लिए अधिक से अधिक सुविधाजनक हो गए। हम चित्रलिपि में संख्याएँ लिखने की बात कर रहे हैं। प्राचीन मिस्रवासियों के चित्रलिपि इस बात की गवाही देते हैं कि उनके बीच गिनती की कला अत्यधिक विकसित थी, चित्रलिपि की मदद से बड़ी संख्या में चित्रित किया गया था। हालांकि, खाते को और बेहतर बनाने के लिए, एक अधिक सुविधाजनक संकेतन पर स्विच करना आवश्यक था जो संख्याओं को विशेष, अधिक सुविधाजनक संकेतों (संख्याओं) द्वारा निरूपित करने की अनुमति देगा। प्रत्येक राष्ट्र के लिए संख्याओं की उत्पत्ति अलग-अलग होती है।
पहले आंकड़े 2 हजार साल ईसा पूर्व से अधिक पाए जाते हैं। बाबुल में। बेबीलोन के लोग नरम मिट्टी की पटियों पर लाठियों से लिखते थे और फिर अपने नोट सुखाते थे। प्राचीन बेबीलोनियाई वर्णमाला को कहा जाता था क्यूनिफॉर्मवेजेज को उनके मूल्य के आधार पर क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से रखा गया था। लंबवत वेजेज इकाइयों को निरूपित करते हैं, और क्षैतिज, तथाकथित दसियों, दूसरी श्रेणी की इकाइयाँ।
कुछ संस्कृतियों में संख्याओं को लिखने के लिए अक्षरों का प्रयोग किया जाता था। उन्होंने अंकों की जगह शब्द-अंकों के शुरुआती अक्षर लिखे। उदाहरण के लिए, इस तरह की संख्या प्राचीन यूनानियों के बीच थी। जिस वैज्ञानिक ने इसे प्रस्तावित किया, उसके नाम से उसने संस्कृति के इतिहास में नाम दर्ज किया जेरोडियननंबरिंग तो, इस संख्या में, संख्या "पांच" को "पिंटा" कहा जाता था और "पी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था, और संख्या दस को "डेका" कहा जाता था और "डी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था। वर्तमान में, कोई भी इस नंबरिंग का उपयोग नहीं करता है। उसके विपरीत रोमननंबरिंग को संरक्षित किया गया है और हमारे दिनों में आ गया है। हालाँकि अब रोमन अंक इतने आम नहीं हैं: घड़ी के डायल पर, किताबों में अध्यायों को इंगित करने के लिए, सदियों, पुरानी इमारतों आदि पर। रोमन अंक में सात प्रमुख संकेत हैं: I, V, X, L, C, D, M।
आप अंदाजा लगा सकते हैं कि ये संकेत कैसे दिखाई दिए। चिन्ह (1) - इकाई - एक चित्रलिपि है जो I उंगली (काम) को दर्शाती है, चिन्ह V हाथ की छवि है (अंगूठे के साथ कलाई को बढ़ाया गया है), और संख्या 10 के लिए - दो फाइव की छवि (एक्स) एक साथ। संख्याओं II, III, IV को लिखने के लिए, उनके साथ क्रियाओं को प्रदर्शित करते हुए समान चिह्नों का उपयोग करें। इसलिए, संख्या II और III इकाई को समान संख्या में बार-बार दोहराते हैं। संख्या IV लिखने के लिए, I से पहले पांच आता है। इस संकेतन में, पांच से पहले की इकाई को V से घटाया जाता है, और इसके बाद रखी गई इकाइयों को इसमें जोड़ा जाता है। और इसी तरह दस (X) से पहले लिखी गई इकाई को दस में से घटा दिया जाता है और दाईं ओर वाली इकाई को इसमें जोड़ दिया जाता है। संख्या 40 को XL द्वारा निरूपित किया जाता है। ऐसे में 50 में से 10 घटाया जाता है। 90 को लिखने के लिए 100 में से 10 घटाया जाता है और XC लिखा जाता है।
रोमन अंक संख्या लिखने के लिए बहुत सुविधाजनक है, लेकिन गणना के लिए लगभग अनुपयुक्त है। रोमन अंकों के साथ लिखित रूप में कोई भी क्रिया ("कॉलम" और अन्य गणना विधियों द्वारा गणना) करना लगभग असंभव है। यह रोमन अंक की एक बहुत बड़ी खामी है।
कुछ लोगों के लिए, वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके संख्याएँ दर्ज की जाती थीं, जिनका उपयोग व्याकरण में किया जाता था। यह रिकॉर्ड स्लाव, यहूदी, अरब, जॉर्जियाई लोगों के बीच हुआ।
वर्णमालानंबरिंग सिस्टम का इस्तेमाल सबसे पहले यूनान में किया गया था। इस प्रणाली के अनुसार बनाया गया सबसे पुराना रिकॉर्ड ईसा पूर्व 5वीं शताब्दी के मध्य का है। ई.पू. सभी वर्णमाला प्रणालियों में, 1 से 9 तक की संख्याओं को अलग-अलग वर्णों द्वारा वर्णमाला के संगत अक्षरों का उपयोग करके निर्दिष्ट किया गया था। ग्रीक और स्लाव अंकों में, संख्याओं को दर्शाने वाले अक्षरों के ऊपर, सामान्य शब्दों से संख्याओं को अलग करने के लिए, एक डैश "टाइटलो" (~) रखा गया था। उदाहरण के लिए, ए बी सीआदि। 1 से 999 तक की सभी संख्याओं को संख्याओं के लिए 27 अलग-अलग वर्णों को जोड़ने के सिद्धांत के आधार पर लिखा गया था।
वर्णमाला प्रणाली के निशान हमारे समय तक जीवित रहे हैं। इसलिए, हम अक्सर रिपोर्टों, संकल्पों आदि के पैराग्राफों को अक्षरों के साथ क्रमांकित करते हैं। हालाँकि, वर्णमाला क्रमांकन पद्धति को हमारे पास केवल क्रमसूचक संख्याओं को दर्शाने के लिए संरक्षित किया गया है। हम अक्षरों के साथ मात्रात्मक संख्याओं को कभी भी निर्दिष्ट नहीं करते हैं, खासकर जब से हम वर्णमाला प्रणाली में लिखी गई संख्याओं के साथ काम नहीं करते हैं।
पुरानी रूसी संख्या भी वर्णानुक्रम में थी। 10 वीं शताब्दी में संख्याओं का स्लाव वर्णानुक्रमिक पदनाम उत्पन्न हुआ।
अब मौजूद है भारतीय प्रणालीसंख्या प्रविष्टियाँ। इसे अरबों द्वारा यूरोप लाया गया था, यही वजह है कि इसे यह नाम मिला अरबीनंबरिंग अरबी नंबरिंग दुनिया भर में फैल गई है, अन्य सभी नंबर प्रविष्टियों को विस्थापित कर रही है। इस क्रमांक में 10 चिह्नों का प्रयोग संख्याएँ लिखने के लिए किया जाता है, जो संख्याएँ कहलाती हैं।इनमें से नौ चिह्न 1 से 9 तक की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
दसवां चिह्न - शून्य (0) - का अर्थ है संख्याओं के एक निश्चित अंक का अभाव। इन दस अक्षरों की सहायता से आप अपनी पसंद की कोई भी बड़ी संख्या लिख सकते हैं। 18वीं शताब्दी तक रूस में, शून्य को छोड़कर, लिखित संकेतों को संकेत कहा जाता था।
इसलिए, विभिन्न देशों के लोगों की अलग-अलग लिखित संख्याएँ थीं: चित्रलिपि - मिस्रियों के बीच; क्यूनिफॉर्म - बेबीलोनियों के बीच; गेरोडियन - प्राचीन यूनानियों के बीच, फोनीशियन; वर्णमाला - यूनानियों और स्लावों के बीच; रोमन - यूरोप के पश्चिमी देशों में; अरबी - मध्य पूर्व में। यह कहा जाना चाहिए कि अब लगभग हर जगह अरबी नंबरिंग का उपयोग किया जाता है।
विभिन्न लोगों की संस्कृतियों के इतिहास में हुई संख्या (संख्या) लिखने की प्रणालियों का विश्लेषण करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी लेखन प्रणालियों को दो बड़े समूहों में विभाजित किया गया है: स्थितीय और गैर-स्थितित्मक संख्या प्रणाली।
गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में शामिल हैं: चित्रलिपि, वर्णमाला, रोमन और कुछ अन्य प्रणालियों में संख्याएँ लिखना। एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली संख्याओं को लिखने की एक ऐसी प्रणाली है जब प्रत्येक वर्ण की सामग्री उस स्थान पर निर्भर नहीं करती है जिसमें यह लिखा गया है। ये सिंबल नोडल नंबर की तरह होते हैं और एल्गोरिथम नंबर इन सिंबल से जुड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, गैर-स्थितीय रोमन अंक में 33 की संख्या इस प्रकार लिखी जाती है: XXXIII। यहाँ, चिह्न X (दस) और I (एक) का प्रयोग संख्या लिखने में तीन-तीन बार किया जाता है। इसके अलावा, हर बार यह चिन्ह एक ही मान को दर्शाता है: X - दस इकाइयाँ, I - एक, चाहे वे उस स्थान की परवाह किए बिना कई अन्य चिह्नों में खड़े हों।
स्थितीय प्रणालियों में, प्रत्येक चिन्ह का एक अलग अर्थ होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह संख्या के अंकन में कहाँ है। उदाहरण के लिए, संख्या 222 में, संख्या "2" को तीन बार दोहराया जाता है, लेकिन दाईं ओर की पहली संख्या दो इकाइयों को इंगित करती है, दूसरी दो दहाई और तीसरी दो सौ। इस मामले में, हमारा मतलब दशमलव संख्या प्रणाली से है। गणित के विकास के इतिहास में दशमलव संख्या प्रणाली के साथ-साथ बाइनरी, फाइव-फोल्ड, बीस-दशमलव आदि भी थे।
पोजिशनल नंबर सिस्टम इस मायने में सुविधाजनक हैं कि वे अपेक्षाकृत कम संख्या में वर्णों का उपयोग करके बड़ी संख्या में लिखना संभव बनाते हैं। स्थितीय प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण लाभ इन प्रणालियों में लिखी संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को करने में सरलता और सुगमता है।
संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए स्थितीय प्रणालियों का उद्भव संस्कृति के इतिहास में प्रमुख मील के पत्थर में से एक था। यह कहा जाना चाहिए कि यह संयोग से नहीं हुआ, बल्कि लोगों के सांस्कृतिक विकास में एक स्वाभाविक कदम के रूप में हुआ। विभिन्न लोगों के बीच स्थितीय प्रणालियों के स्वतंत्र उद्भव से इसकी पुष्टि होती है: बेबीलोनियों के बीच - 2 हजार वर्ष ईसा पूर्व से अधिक; माया जनजातियों (मध्य अमेरिका) के बीच - एक नए युग की शुरुआत में; हिंदुओं के बीच - IV-VI सदियों में। विज्ञापन
स्थितीय सिद्धांत की उत्पत्ति, सबसे पहले, एक गुणक संकेतन की उपस्थिति से समझाया जाना चाहिए। गुणक संकेतन गुणन का उपयोग कर संकेतन है। वैसे, यह रिकॉर्ड पहले गिनती उपकरण के आविष्कार के साथ-साथ दिखाई दिया, जिसे स्लाव ने अबेकस कहा। तो, एक गुणक संकेतन में, संख्या 154 लिखी जा सकती है: 1 x 104 - 5 x 10 + 4. जैसा कि आप देख सकते हैं, यह संकेतन इस तथ्य को दर्शाता है कि इस मामले में, पहले अंक की कुछ इकाइयों की गिनती करते समय, दस इकाइयाँ, अगली रैंक की एक इकाई के लिए ली जाती हैं, दूसरी रैंक की एक निश्चित संख्या की इकाइयाँ, बदले में, तीसरी रैंक की एक इकाई के रूप में ली जाती हैं, और इसी तरह। यह आपको विभिन्न अंकों की इकाइयों की संख्या प्रदर्शित करने के लिए समान संख्यात्मक प्रतीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है। परिमित समुच्चयों के किसी भी अवयव की गणना करते समय भी यही संकेतन संभव है।
पांच गुना प्रणाली में, गिनती "एड़ी" द्वारा की जाती है - प्रत्येक पांच। तो, अफ्रीकी अश्वेत कंकड़ या मेवों पर भरोसा करते हैं और उन्हें पांच-पांच वस्तुओं के ढेर में डाल देते हैं। वे ऐसे पाँच ढेरों को एक नए ढेर में मिलाते हैं, इत्यादि। वहीं कंकड़ पहले गिने जाते हैं, फिर ढेर, फिर बड़े ढेर। गिनती की इस पद्धति के साथ, इस तथ्य पर जोर दिया जाता है कि कंकड़ के ढेर के साथ अलग-अलग कंकड़ के समान संचालन किया जाना चाहिए।
इस प्रणाली के अनुसार गिनती की तकनीक का चित्रण रूसी यात्री मिक्लुखो-मैकले ने किया है। इस प्रकार, न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा माल गिनने की प्रक्रिया की विशेषता बताते हुए, वह लिखते हैं कि कागज के स्ट्रिप्स की संख्या की गणना करने के लिए, जो वाइटाज़ कार्वेट की वापसी से पहले दिनों की संख्या को इंगित करता है, पापुआन ने निम्नलिखित किया: (एक ), "वर्ग" (दो) और इसी तरह दस तक, दूसरे ने एक ही शब्द दोहराया, लेकिन साथ ही अपनी उंगलियों को पहले एक पर, फिर दूसरी तरफ झुका दिया। दस तक गिनने और दोनों हाथों की अंगुलियों को मोड़ने के बाद, पापुआन ने "इबेन करे" - दो हाथों का उच्चारण करते हुए दोनों मुट्ठियों को अपने घुटनों तक नीचे कर लिया। तीसरे पापुआन ने उसी समय उसके हाथ पर एक उंगली झुका दी। अन्य दस के साथ भी ऐसा ही किया गया, तीसरे पापुआन ने दूसरी उंगली को झुकाया, और तीसरे दस के लिए - तीसरी उंगली, और इसी तरह। इसी तरह का खाता अन्य लोगों के बीच हुआ। ऐसे खाते के लिए कम से कम तीन लोगों की जरूरत थी। एक ने इकाइयाँ गिनीं, दूसरे ने दसियों की गिनती की, तीसरे ने सैकड़ों की गिनती की। हालांकि, अगर हम उन लोगों की उंगलियों को बदलते हैं जो मिट्टी के बोर्ड के अलग-अलग खांचे में रखे कंकड़ से गिने जाते हैं या टहनियों पर बंधे होते हैं, तो हमें सबसे सरल गिनती उपकरण मिलेगा।
समय के साथ-साथ अंक लिखते समय अंकों के नाम छूटने लगे। हालांकि, स्थितीय प्रणाली को पूरा करने के लिए, अंतिम चरण गायब था - शून्य की शुरूआत। अपेक्षाकृत छोटे गिनती के आधार के साथ, जो कि संख्या 10 थी, और अपेक्षाकृत बड़ी संख्या के साथ संचालन, विशेष रूप से बिट इकाइयों के नाम छोड़ने के बाद, शून्य का परिचय बस आवश्यक हो गया। शून्य प्रतीक पहले एक खाली अबेकस टोकन की छवि या एक संशोधित साधारण बिंदु हो सकता है जिसे छूटे हुए निर्वहन के स्थान पर रखा जा सकता है। एक तरह से या किसी अन्य, हालांकि, शून्य का परिचय विकास की प्राकृतिक प्रक्रिया में एक बिल्कुल अपरिहार्य चरण था, जिसके कारण एक आधुनिक स्थिति प्रणाली का निर्माण हुआ।
संख्या प्रणाली 1 (एक) और 0 (शून्य) को छोड़कर किसी भी संख्या पर आधारित हो सकती है। बाबुल में, उदाहरण के लिए, संख्या 60 थी। यदि बड़ी संख्या को संख्या प्रणाली के आधार के रूप में लिया जाता है, तो संख्या का रिकॉर्ड बहुत छोटा होगा, लेकिन अंकगणितीय कार्यों का निष्पादन अधिक कठिन होगा। यदि, इसके विपरीत, हम संख्या 2 या 3 लेते हैं, तो अंकगणितीय संचालन बहुत आसानी से किए जाते हैं, लेकिन अंकन स्वयं बोझिल हो जाएगा। दशमलव प्रणाली को अधिक सुविधाजनक तरीके से बदलना संभव होगा, लेकिन इसके लिए संक्रमण बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा होगा: सबसे पहले, सभी वैज्ञानिक पुस्तकों को पुनर्मुद्रण करना होगा, सभी गणना उपकरणों और मशीनों को फिर से बनाना होगा। यह संभावना नहीं है कि ऐसा प्रतिस्थापन उचित होगा। दशमलव प्रणाली परिचित हो गई है, और इसलिए सुविधाजनक है।
किसी भी प्राकृतिक संख्या की छवि कम संख्या में व्यक्तिगत संकेतों की मदद से संभव है। यह एक ही चिन्ह - 1 (एक) के साथ प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृत संख्या को तब इकाई चिन्ह को उतनी ही बार दोहराते हुए लिखा जाएगा, जितनी बार इस संख्या में इकाइयाँ हैं। जोड़ को इकाइयों के एक साधारण एट्रिब्यूशन में घटा दिया जाएगा, और घटाव - उनमें से विलोपन (मिटाने) के लिए। ऐसी प्रणाली के पीछे का विचार सरल है, लेकिन यह प्रणाली बहुत असुविधाजनक है। यह बड़ी संख्या में रिकॉर्ड करने के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और इसका उपयोग केवल उन लोगों द्वारा किया जाता है जिनकी गिनती एक या दो दर्जन से अधिक नहीं होती है।
मानव समाज के विकास के साथ, लोगों का ज्ञान बढ़ता है और बड़ी मात्रा में गिनती के परिणामों को गिनने और रिकॉर्ड करने की आवश्यकता अधिक से अधिक हो जाती है।
आदिम लोगों के पास कोई लिखित भाषा नहीं थी, कोई अक्षर या संख्या नहीं थी, हर चीज, हर क्रिया को एक चित्र के साथ चित्रित किया गया था। ये वास्तविक चित्र थे जो इस या उस मात्रा को दिखा रहे थे। धीरे-धीरे वे सरल हो गए, रिकॉर्डिंग के लिए अधिक से अधिक सुविधाजनक हो गए। हम चित्रलिपि में संख्याएँ लिखने की बात कर रहे हैं। हालांकि, खाते को और बेहतर बनाने के लिए, एक अधिक सुविधाजनक संकेतन पर स्विच करना आवश्यक था जो संख्याओं को विशेष, अधिक सुविधाजनक संकेतों (संख्याओं) द्वारा निरूपित करने की अनुमति देगा। प्रत्येक राष्ट्र के लिए संख्याओं की उत्पत्ति अलग-अलग होती है।
पहले आंकड़े 2 हजार साल ईसा पूर्व से अधिक पाए जाते हैं। बाबुल में। बेबीलोन के लोग नरम मिट्टी की पटियों पर लाठियों से लिखते थे और फिर अपने नोट सुखाते थे।
कुछ संस्कृतियों में संख्याओं को लिखने के लिए अक्षरों का प्रयोग किया जाता था। उन्होंने अंकों की जगह शब्द-अंकों के शुरुआती अक्षर लिखे। उदाहरण के लिए, इस तरह की संख्या प्राचीन यूनानियों के बीच थी। तो, इस संख्या में, "पांच" संख्या को "पिंटा" कहा जाता था और इसे "पी" अक्षर से दर्शाया जाता था। वर्तमान में कोई भी इस नंबरिंग का उपयोग नहीं करता है। उसके विपरीत रोमननंबरिंग को संरक्षित किया गया है और हमारे दिनों में आ गया है। हालाँकि अब रोमन अंक इतने आम नहीं हैं: घड़ी के डायल पर, किताबों में अध्यायों को इंगित करने के लिए, सदियों, पुरानी इमारतों आदि पर। रोमन अंक में सात प्रमुख संकेत हैं: I, V, X, L, C, D, M।
कुछ लोगों के लिए, वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके संख्याएँ दर्ज की जाती थीं, जिनका उपयोग व्याकरण में किया जाता था। यह रिकॉर्ड स्लाव, यहूदी, अरब, जॉर्जियाई लोगों के बीच हुआ।
वर्णमालानंबरिंग सिस्टम का इस्तेमाल सबसे पहले यूनान में किया गया था। उदाहरण के लिए, ए बी सीआदि।
वर्णमाला प्रणाली के निशान हमारे समय तक जीवित रहे हैं। इसलिए, हम अक्सर रिपोर्टों, संकल्पों आदि के पैराग्राफों को अक्षरों के साथ क्रमांकित करते हैं। हालाँकि, वर्णमाला क्रमांकन पद्धति को हमारे पास केवल क्रमसूचक संख्याओं को दर्शाने के लिए संरक्षित किया गया है। हम अक्षरों के साथ मात्रात्मक संख्याओं को कभी भी निर्दिष्ट नहीं करते हैं, खासकर जब से हम वर्णमाला प्रणाली में लिखी गई संख्याओं के साथ काम नहीं करते हैं।
पुरानी रूसी संख्या भी वर्णानुक्रम में थी। 10 वीं शताब्दी में संख्याओं का स्लाव वर्णानुक्रमिक पदनाम उत्पन्न हुआ।
इसलिए, विभिन्न देशों के लोगों की अलग-अलग लिखित संख्याएँ थीं: चित्रलिपि - मिस्रियों के बीच; क्यूनिफॉर्म - बेबीलोनियों के बीच; गेरोडियन - प्राचीन यूनानियों के बीच, फोनीशियन; वर्णमाला - यूनानियों और स्लावों के बीच; रोमन - यूरोप के पश्चिमी देशों में; अरबी - मध्य पूर्व में। यह कहा जाना चाहिए कि अब लगभग हर जगह अरबी नंबरिंग का उपयोग किया जाता है।
पोजिशनल नंबर सिस्टम इस मायने में सुविधाजनक हैं कि वे अपेक्षाकृत कम संख्या में वर्णों का उपयोग करके बड़ी संख्या में लिखना संभव बनाते हैं। स्थितीय प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण लाभ इन प्रणालियों में लिखी संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को करने में सरलता और सुगमता है।
स्थितीय सिद्धांत की उत्पत्ति, सबसे पहले, एक गुणक संकेतन की उपस्थिति से समझाया जाना चाहिए। गुणक संकेतन गुणन का उपयोग कर संकेतन है। वैसे, यह रिकॉर्ड पहले गणना उपकरण के आविष्कार के साथ-साथ दिखाई दिया, जिसे स्लाव ने अबेकस कहा। तो, गुणक अंकन में, संख्या 154 लिखी जा सकती है: 1 x 104 - 5 x 10 + 4।
पांच गुना प्रणाली में, गिनती "एड़ी" द्वारा की जाती है - प्रत्येक पांच। तो, अफ्रीकी अश्वेत कंकड़ या मेवों पर भरोसा करते हैं और उन्हें पांच-पांच वस्तुओं के ढेर में डाल देते हैं। वे ऐसे पाँच ढेरों को एक नए ढेर में मिलाते हैं, इत्यादि। वहीं कंकड़ पहले गिने जाते हैं, फिर ढेर, फिर बड़े ढेर। गिनती की इस पद्धति के साथ, इस तथ्य पर जोर दिया जाता है कि कंकड़ के ढेर के साथ अलग-अलग कंकड़ के समान संचालन किया जाना चाहिए।
समय के साथ-साथ अंक लिखते समय अंकों के नाम छूटने लगे। हालांकि, स्थितीय प्रणाली को पूरा करने के लिए, अंतिम चरण गायब था - शून्य की शुरूआत। अपेक्षाकृत छोटे गिनती के आधार के साथ, जो कि संख्या 10 थी, और अपेक्षाकृत बड़ी संख्या के साथ संचालन, विशेष रूप से बिट इकाइयों के नाम छोड़ने के बाद, शून्य का परिचय बस आवश्यक हो गया। शून्य प्रतीक पहले एक खाली अबेकस टोकन की छवि या एक संशोधित साधारण बिंदु हो सकता है जिसे छूटे हुए निर्वहन के स्थान पर रखा जा सकता है। एक तरह से या किसी अन्य, हालांकि, शून्य का परिचय विकास की प्राकृतिक प्रक्रिया में एक बिल्कुल अपरिहार्य चरण था, जिसके कारण एक आधुनिक स्थिति प्रणाली का निर्माण हुआ।
संख्या प्रणाली 1 (एक) और 0 (शून्य) को छोड़कर किसी भी संख्या पर आधारित हो सकती है। बाबुल में, उदाहरण के लिए, संख्या 60 थी। यदि बड़ी संख्या को संख्या प्रणाली के आधार के रूप में लिया जाता है, तो संख्या का रिकॉर्ड बहुत छोटा होगा, लेकिन अंकगणितीय कार्यों का निष्पादन अधिक कठिन होगा। यदि, इसके विपरीत, हम संख्या 2 या 3 लेते हैं, तो अंकगणितीय संचालन बहुत आसानी से किए जाते हैं, लेकिन अंकन स्वयं बोझिल हो जाएगा। दशमलव प्रणाली को अधिक सुविधाजनक तरीके से बदलना संभव होगा, लेकिन इसके लिए संक्रमण बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा होगा: सबसे पहले, सभी वैज्ञानिक पुस्तकों को पुनर्मुद्रण करना होगा, सभी गणना उपकरणों और मशीनों को फिर से बनाना होगा। यह संभावना नहीं है कि ऐसा प्रतिस्थापन उचित होगा। दशमलव प्रणाली परिचित हो गई है, और इसलिए सुविधाजनक है।
किसी भी नंबरिंग का उद्देश्य कम संख्या में व्यक्तिगत संकेतों का उपयोग करके किसी भी प्राकृतिक संख्या को चित्रित करना है। यह एक ही चिन्ह - 1 (एक) के साथ प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृत संख्या को तब इकाई चिन्ह को उतनी ही बार दोहराते हुए लिखा जाएगा, जितनी बार इस संख्या में इकाइयाँ हैं। जोड़ केवल इकाइयों को निर्दिष्ट करने के लिए घटाया जाएगा, और उन्हें हटाने (मिटाने) के लिए घटाया जाएगा। इस तरह की प्रणाली में अंतर्निहित विचार सरल है, लेकिन यह प्रणाली बहुत असुविधाजनक है। यह व्यावहारिक रूप से बड़ी संख्या में लिखने के लिए उपयुक्त नहीं है, और इसका उपयोग केवल किसके द्वारा किया जाता है जिन लोगों के पास खाता है वे एक या दो दहाई से आगे नहीं जाते।
मानव समाज के विकास के साथ, लोगों का ज्ञान बढ़ता है और काफी बड़े सेटों को गिनने और बड़ी मात्रा को मापने के परिणामों को गिनने और रिकॉर्ड करने की आवश्यकता अधिक से अधिक हो जाती है।
आदिम लोगों के पास कोई लिखित भाषा नहीं थी, कोई अक्षर या संख्या नहीं थी, हर चीज, हर क्रिया को एक चित्र के साथ चित्रित किया गया था। ये इस या उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक चित्र थे। धीरे-धीरे वे सरल हो गए, लिखने के लिए अधिक से अधिक सुविधाजनक हो गए। हम चित्रलिपि में संख्या लिखने की बात कर रहे हैं। संख्याएँ। हालांकि, खाते को और बेहतर बनाने के लिए, एक अधिक सुविधाजनक संकेतन पर स्विच करना आवश्यक था जो संख्याओं को विशेष, अधिक सुविधाजनक संकेतों (संख्याओं) द्वारा निरूपित करने की अनुमति देगा। प्रत्येक व्यक्ति के लिए संख्याओं की उत्पत्ति अलग होती है।
पहले आंकड़े 2 हजार साल ईसा पूर्व में बेबीलोन में पाए जाते हैं। बेबीलोनियों ने नरम मिट्टी के स्लैब पर लाठी से लिखा और फिर अपने रिकॉर्ड को सुखाया। प्राचीन बेबीलोनियों के लेखन को कहा जाता था क्यूनिफॉर्मवेजेज को उनके मूल्य के आधार पर क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से रखा गया था। ऊर्ध्वाधर वेजेज इकाइयों को दर्शाता है, और क्षैतिज, तथाकथित दहाई, दूसरे अंक की इकाइयां।
कुछ संस्कृतियों में संख्याओं को लिखने के लिए अक्षरों का प्रयोग किया जाता था। संख्याओं के बजाय, उन्होंने अंकों के शब्दों के प्रारंभिक अक्षर लिखे। इस तरह की संख्या, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों में से थी। इसे प्रस्तावित करने वाले वैज्ञानिक के नाम से, उन्होंने नाम के तहत संस्कृति के इतिहास में प्रवेश किया जेरोडियननंबरिंग इसलिए, इस नंबरिंग में, "पांच" को "पिंटा" कहा जाता था और "पी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था, और संख्या दस को "डेका" कहा जाता था और "डी" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता था। वर्तमान में, कोई भी इस नंबरिंग का उपयोग नहीं करता है। इसके विपरीत रोमननंबरिंग को संरक्षित किया गया है और हमारे दिनों में आ गया है। हालांकि अब रोमन अंक इतने आम नहीं हैं: घड़ी के डायल पर, किताबों, सदियों, पुरानी इमारतों आदि में अध्यायों को इंगित करने के लिए। रोमन अंक में सात प्रमुख संकेत हैं: I, V, X, L, C, D, M।
आप अंदाजा लगा सकते हैं कि ये संकेत कैसे दिखाई दिए। चिन्ह (1) - एक - एक चित्रलिपि है जो उंगली (काम) को दर्शाती है, चिन्ह V हाथ की छवि है (अंगूठे के साथ कलाई को बढ़ाया गया है), और संख्या 10 के लिए, दो फाइव (X) की छवि ) एक साथ संख्या II, III, IV लिखने के लिए, उनके साथ क्रियाओं को प्रदर्शित करते हुए, समान संकेतों का उपयोग करें। इसलिए, संख्या II और III इकाई को समान संख्या में बार-बार दोहराते हैं। संख्या IV लिखने के लिए, I को पाँच से पहले रखा जाता है। इस अंकन में, पाँच से पहले की इकाई को V से घटाया जाता है, और V के बाद की इकाइयों को रखा जाता है।
इसमें जोड़े जाते हैं। और इसी तरह दस (X) से पहले लिखी गई इकाई को दस में से घटा दिया जाता है और दाईं ओर वाली इकाई को इसमें जोड़ दिया जाता है। संख्या 40 को XL द्वारा दर्शाया जाता है। इस स्थिति में, 50 में से 10 घटाया जाता है। संख्या 90 लिखने के लिए 100 में से 10 घटाया जाता है और XC लिखा जाता है।
रोमन अंक संख्या लिखने के लिए बहुत सुविधाजनक है, लेकिन गणना के लिए लगभग अनुपयुक्त है। रोमन अंकों के साथ लिखित रूप में कोई भी क्रिया ("कॉलम" और अन्य गणना विधियों के साथ गणना) करना लगभग असंभव है। यह रोमन नंबरिंग का एक बहुत बड़ा दोष है।
कुछ लोगों के लिए, संख्याएं वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके दर्ज की जाती थीं, जो व्याकरण में उपयोग की जाती थीं। यह रिकॉर्ड स्लाव, यहूदी, अरब और जॉर्जियाई लोगों के बीच हुआ था।
वर्णमालानंबरिंग सिस्टम का इस्तेमाल सबसे पहले यूनान में किया गया था। इस प्रणाली के अनुसार बनाया गया सबसे पुराना रिकॉर्ड 5वीं शताब्दी के मध्य का है। ई.पू. सभी वर्णमाला प्रणालियों में, 1 से 9 तक की संख्याओं को वर्णमाला के संगत अक्षरों का उपयोग करके अलग-अलग वर्णों द्वारा निर्दिष्ट किया गया था। ग्रीक और स्लाव संख्या में, अक्षरों के ऊपर एक "टाइटलो" डैश (~) रखा गया था जो संख्याओं को सामान्य से अलग करने के लिए संख्याओं को दर्शाता था। शब्दों। उदाहरण के लिए, ए, बी,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ , क्यू; आदि।
वर्णमाला प्रणाली के निशान हमारे समय तक जीवित रहे हैं। इस प्रकार, हम अक्सर पत्रों के साथ रिपोर्ट, संकल्प आदि के पैराग्राफ को क्रमांकित करते हैं। हालाँकि, हमने केवल क्रमसूचक संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए वर्णानुक्रमिक संख्या पद्धति को बनाए रखा है। हम कभी भी कार्डिनल संख्याओं को अक्षरों के साथ निर्दिष्ट नहीं करते हैं, बहुत कम हम कभी भी वर्णमाला प्रणाली में लिखी संख्याओं के साथ काम नहीं करते हैं।
पुरानी रूसी संख्या भी वर्णमाला थी। 10वीं शताब्दी में संख्याओं का स्लाव वर्णानुक्रमिक पदनाम उत्पन्न हुआ।
अब मौजूद है भारतीय प्रणालीसंख्या प्रविष्टियाँ। इसे अरबों द्वारा यूरोप लाया गया था, यही वजह है कि इसे यह नाम मिला अरबीनंबरिंग। अरबी नंबरिंग दुनिया भर में फैल गई है, अन्य सभी नंबर प्रविष्टियों को विस्थापित कर रही है। इस नंबरिंग में, 10 चिह्नों का उपयोग संख्याओं को लिखने के लिए किया जाता है, जिन्हें संख्या कहा जाता है। उनमें से नौ 1 से 9 तक की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
2 आदेश1391
दसवां चिह्न - शून्य (0) - का अर्थ है संख्याओं के एक निश्चित अंक का अभाव। इन दस वर्णों की सहायता से आप अपनी पसंद की कोई भी बड़ी संख्या लिख सकते हैं। 18वीं शताब्दी तक। रूस में, शून्य को छोड़कर, लिखित संकेतों को संकेत कहा जाता था।
तो, विभिन्न देशों के लोगों की अलग-अलग लिखित संख्याएँ थीं: चित्रलिपि - मिस्रियों के बीच; क्यूनिफॉर्म - बेबीलोनियों के बीच; हेरोडियन - प्राचीन यूनानियों के बीच, फोनीशियन; वर्णमाला - यूनानियों और स्लावों के बीच; रोमन - यूरोप के पश्चिमी देशों में; अरबी - मध्य पूर्व में। यह कहा जाना चाहिए कि अरबी नंबरिंग अब लगभग हर जगह उपयोग की जाती है।
विभिन्न लोगों की संस्कृतियों के इतिहास में हुई संख्या (संख्या) लिखने की प्रणालियों का विश्लेषण करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी लेखन प्रणालियों को दो बड़े समूहों में विभाजित किया गया है: स्थितीय और गैर-स्थितित्मक संख्या प्रणाली।
गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में शामिल हैं: चित्रलिपि, वर्णमाला, रोमन में संख्याएँ लिखना तथाकुछ अन्य प्रणालियाँ। एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली संख्याओं को लिखने की एक ऐसी प्रणाली है जब प्रत्येक वर्ण की सामग्री उस स्थान पर निर्भर नहीं करती है जिसमें यह लिखा गया है। ये वर्ण हैं, जैसा कि यह था, नोडल संख्या और एल्गोरिथम संख्याएं हैं इन वर्णों से संयुक्त। उदाहरण के लिए, गैर-स्थित रोमन अंक में संख्या 33 को इस प्रकार लिखा गया है: XXXIII। यहां, संकेत X (दस) और I (एक) प्रत्येक तीन बार संख्या के संकेतन में उपयोग किए जाते हैं। इसके अलावा, हर बार यह चिन्ह समान मान को दर्शाता है: X दस इकाइयाँ हैं, I एक है, चाहे वे अन्य संकेतों की एक पंक्ति में खड़े हों।
स्थितीय प्रणालियों में, प्रत्येक चिह्न का एक अलग अर्थ होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह संख्या प्रविष्टि में कहां है। उदाहरण के लिए, संख्या 222 में, संख्या "2" को तीन बार दोहराया जाता है, लेकिन दाईं ओर का पहला अंक दो को इंगित करता है, दूसरा - दो दहाई, और तीसरा - दो सौ। इस मामले में हमारा मतलब है दशमलव संख्या प्रणाली।गणित के विकास के इतिहास में दशमलव संख्या प्रणाली के साथ-साथ बाइनरी, फाइव-फोल्ड, टू-दशमलव आदि भी थे।
पोजिशनल नंबर सिस्टम इस मायने में सुविधाजनक हैं कि वे अपेक्षाकृत कम संख्या में वर्णों का उपयोग करके बड़ी संख्या में लिखना संभव बनाते हैं। स्थितीय प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण लाभ इन प्रणालियों में लिखी संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को करने में सरलता और सुगमता है।
संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए स्थितीय प्रणालियों का उद्भव संस्कृति के इतिहास में प्रमुख मील के पत्थर में से एक था। यह कहा जाना चाहिए कि यह संयोग से नहीं हुआ, बल्कि लोगों के सांस्कृतिक विकास में एक प्राकृतिक कदम के रूप में हुआ। इसकी पुष्टि स्थितीय प्रणालियों के स्वतंत्र उद्भव से होती है। परविभिन्न लोग: बेबीलोनियों के बीच - 2 हजार वर्ष ईसा पूर्व से अधिक; माया जनजातियों (मध्य अमेरिका) के बीच - एक नए युग की शुरुआत में; भारतीयों के बीच - IV-VI सदी ईस्वी में।
स्थितीय सिद्धांत की उत्पत्ति को सबसे पहले संकेतन के गुणक रूप की उपस्थिति से समझाया जाना चाहिए। तो, गुणक संकेतन में, संख्या 154 लिखी जा सकती है: 1x10 2 + 5x10 + 4। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह रिकॉर्ड इस तथ्य को प्रदर्शित करता है कि जब पहले अंक की इकाइयों की कुछ संख्या की गणना की जाती है, तो इस मामले में दस इकाइयाँ होती हैं। अगले अंक की एक इकाई के लिए लिया जाता है, दूसरे अंक की इकाइयों की एक निश्चित संख्या को तीसरे अंक की इकाई के रूप में लिया जाता है, और इसी तरह। यह आपको विभिन्न अंकों की इकाइयों की संख्या प्रदर्शित करने के लिए समान संख्यात्मक प्रतीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है। परिमित समुच्चयों के किसी भी अवयव की गणना करते समय भी यही संकेतन संभव है।
पांच गुना प्रणाली में, गिनती "एड़ी" द्वारा की जाती है - प्रत्येक पांच। तो, अफ्रीकी अश्वेत कंकड़ या मेवों पर भरोसा करते हैं और उन्हें पांच-पांच वस्तुओं के ढेर में डाल देते हैं। वे ऐसे पाँच ढेरों को एक नए ढेर में मिलाते हैं, इत्यादि। वहीं कंकड़ पहले गिने जाते हैं, फिर ढेर, फिर बड़े ढेर। गिनती की इस पद्धति के साथ, इस तथ्य पर जोर दिया जाता है कि कंकड़ के ढेर के साथ एक ही संचालन किया जाना चाहिए जैसा कि व्यक्तिगत कंकड़ के साथ किया जाना चाहिए। रूसी यात्री मिक्लुखो-मैकले इस प्रणाली के अनुसार गिनती की तकनीक को दिखाता है। इस प्रकार, माल गिनने की प्रक्रिया की विशेषता है न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा, वे लिखते हैं, कि कागज के स्ट्रिप्स की संख्या की गणना करने के लिए, जो कि वाइटाज़ कार्वेट की वापसी से पहले दिनों की संख्या का संकेत देता था, पापुआंस ने निम्नलिखित किया: दस, दूसरे ने उसी शब्द को दोहराया , लेकिन साथ ही उसने अपनी उंगलियों को पहले एक पर, फिर दूसरी ओर झुकाया। दस तक गिनने और दोनों हाथों की अंगुलियों को मोड़ने के बाद, पापुआन ने "इबेन करे" - दो हाथों का उच्चारण करते हुए दोनों मुट्ठियों को अपने घुटनों तक नीचे कर लिया। तीसरे पापुआन ने उसी समय एक उंगली अपने हाथ पर झुका ली
ऐसा ही किया गया, तीसरे पापुआन ने दूसरी उंगली को झुकाया, और तीसरे दस के लिए, तीसरी उंगली आदि। ऐसा ही हिसाब दूसरे राष्ट्रों में भी हुआ। ऐसे खाते के लिए कम से कम तीन लोगों की जरूरत थी। एक ने इकाइयाँ गिनीं, दूसरी - दहाई, तीसरी - सैकड़ों। अगर हम उन लोगों की उंगलियों को बदल दें जो अलग-अलग कंकड़ से गिने जाते हैं एक मिट्टी के बोर्ड या टहनियों पर फँसा हुआ, तो सबसे सरल गणना उपकरण निकलेगा।
समय के साथ, अंक लिखते समय अंकों के नाम छोड़ दिए जाने लगे। हालाँकि, स्थिति प्रणाली को पूरा करने के लिए, अंतिम चरण गायब था - शून्य का परिचय। अपेक्षाकृत छोटे गिनती के आधार के साथ, जो कि संख्या 10 थी, और अपेक्षाकृत बड़ी संख्या के साथ संचालन, विशेष रूप से बिट इकाइयों के नामों को छोड़े जाने के बाद, शून्य का परिचय बस आवश्यक हो गया। छूटे हुए अंक का स्थान। एक तरह से या किसी अन्य, हालांकि, शून्य का परिचय विकास की प्राकृतिक प्रक्रिया में एक बिल्कुल अपरिहार्य चरण था, जिसके कारण एक आधुनिक स्थिति प्रणाली का निर्माण हुआ।
संख्या प्रणाली 1 (एक) और 0 (शून्य) को छोड़कर किसी भी संख्या पर आधारित हो सकती है। बाबुल में, उदाहरण के लिए, संख्या 60 थी। यदि बड़ी संख्या को संख्या प्रणाली के आधार के रूप में लिया जाता है, तो संख्या का रिकॉर्ड बहुत छोटा होगा, लेकिन अंकगणितीय संचालन का प्रदर्शन अधिक कठिन होगा। यदि, इसके विपरीत, संख्या 2 या 3 लें, फिर अंकगणितीय संचालन बहुत आसानी से किया जाता है, लेकिन रिकॉर्ड खुद ही बोझिल हो जाएगा। दशमलव प्रणाली को अधिक सुविधाजनक के साथ बदलना संभव होगा, लेकिन इसके लिए संक्रमण जुड़ा होगा बड़ी कठिनाइयों के साथ: सबसे पहले, सभी वैज्ञानिक पुस्तकों को पुनर्मुद्रित करना होगा, सभी गणना उपकरणों और मशीनों को फिर से तैयार किया जाएगा। यह संभावना नहीं है कि ऐसा प्रतिस्थापन उपयुक्त होगा। दशमलव प्रणाली परिचित हो गई है, और इसलिए सुविधाजनक है।
आत्म-परीक्षा के लिए व्यायाम
संख्याओं की एक अनुक्रमिक श्रृंखला निर्धारित की जाती है
धीरे-धीरे फीका। ... संख्याओं के निर्माण में मुख्य भूमिका ... जोड़ द्वारा निभाई गई थी। इसके अलावा, ... का उपयोग किया गया था, साथ ही गुणन भी।
एल्गोरिथम
संचालन
घटाव
लक्षण
क्यूनिफॉर्म चित्रलिपि वर्णमाला
संख्या लिखने के लिए, अलग-अलग लोगों ने अलग-अलग आविष्कार किए .... तो, हमारे से पहले
दिन, निम्न प्रकार के रिकॉर्ड आ चुके हैं:,
गेरोडियानोव, ..., रोमन, आदि।
और आजकल लोग कभी-कभी अल्फाबेटिकल और.., नंबरिंग का इस्तेमाल करते हैं, रोमन
सबसे अधिक बार जब क्रमिक संख्याओं को निरूपित करते हैं।
आधुनिक समाज में अधिकांश लोग अरबी (...) अंकों का प्रयोग करते हैं- हिंदू
लिखित संख्या (सिस्टम) दो बड़े समूहों में विभाजित हैं: स्थितीय और ... संख्या प्रणाली। गैर स्थितीय
