पाठ: परवलय या द्विघात फलन का निर्माण कैसे करें?

सैद्धांतिक भाग

परवलय सूत्र ax 2 +bx+c=0 द्वारा वर्णित फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ है।
परवलय बनाने के लिए आपको एक सरल एल्गोरिथम का पालन करना होगा:

1) परवलय सूत्र y=ax 2 +bx+c,
अगर ए>0तब परवलय की शाखाएँ निर्देशित होती हैं ऊपर,
अन्यथा परवलय की शाखाएँ निर्देशित होती हैं नीचे.
स्वतंत्र सदस्य सीयह बिंदु परवलय को ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है;

2), यह सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है x=(-b)/2a, हम पाए गए x को परवलय समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं य;

3)फ़ंक्शन शून्यया, दूसरे शब्दों में, OX अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु, उन्हें समीकरण की जड़ें भी कहा जाता है। मूल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण को 0 के बराबर करते हैं कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0;

समीकरणों के प्रकार:

a) संपूर्ण द्विघात समीकरण का रूप है कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0और विवेचक द्वारा हल किया जाता है;
बी) प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0.इसे हल करने के लिए, आपको कोष्ठक से x निकालना होगा, फिर प्रत्येक कारक को 0 के बराबर करना होगा:
कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0,
x(ax+b)=0,
x=0 और ax+b=0;
ग) प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 +सी=0.इसे हल करने के लिए, आपको अज्ञात को एक तरफ और ज्ञात को दूसरी तरफ ले जाना होगा। x =±√(c/a);

4) फ़ंक्शन के निर्माण के लिए कई अतिरिक्त बिंदु खोजें।

व्यावहारिक भाग

और इसलिए अब, एक उदाहरण का उपयोग करके, हम चरण दर चरण हर चीज़ का विश्लेषण करेंगे:
उदाहरण 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=3 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ a=1 1>0 से ऊपर की ओर देखती हैं।
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 शीर्ष बिंदु (-2;-1) पर है
आइए समीकरण x 2 +4x+3=0 के मूल ज्ञात करें
विवेचक का उपयोग करके हम जड़ें ढूंढते हैं
ए=1 बी=4 सी=3
डी=बी 2 -4एसी=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x = -2 के निकट स्थित हैं

एक्स -4 -3 -1 0
य 3 0 0 3

समीकरण में x के स्थान पर y=x 2 +4x+3 मान रखें
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = -2 के संबंध में सममित है

उदाहरण #2:
y=-x 2 +4x
c=0 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=0 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर देखती हैं क्योंकि a=-1 -1 आइए समीकरण की जड़ें खोजें -x 2 +4x=0
ax 2 +bx=0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण। इसे हल करने के लिए, आपको कोष्ठक से x निकालना होगा, फिर प्रत्येक गुणनखंड को 0 के बराबर करना होगा।
x(-x+4)=0, x=0 और x=4.

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x=2 के निकट स्थित हैं
x 0 1 3 4
य 0 3 3 0
समीकरण में x के स्थान पर y=-x 2 +4x मान रखें
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = 2 के बारे में सममित है

उदाहरण संख्या 3
y=x 2 -4
c=4 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=4 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ a=1 1>0 से ऊपर की ओर देखती हैं।
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 शीर्ष बिंदु (0;-) पर है 4 )
आइए समीकरण x 2 -4=0 के मूल ज्ञात करें
ax 2 +c=0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण। इसे हल करने के लिए, आपको अज्ञात को एक तरफ और ज्ञात को दूसरी तरफ ले जाना होगा। x =±√(c/a)
एक्स 2 =4
एक्स 1 =2
x 2 =-2

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x=0 के निकट स्थित हैं
एक्स -2 -1 1 2
य 0 -3 -3 0
समीकरण में x के स्थान पर y= x 2 -4 मान रखें
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = 0 के बारे में सममित है

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जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, द्विघात फ़ंक्शन के गुणों और ग्राफ़ पर कार्य गंभीर कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यह काफी अजीब है, क्योंकि वे 8वीं कक्षा में द्विघात फलन का अध्ययन करते हैं, और फिर 9वीं कक्षा की पहली तिमाही के दौरान वे परवलय के गुणों को "पीड़ा" देते हैं और विभिन्न मापदंडों के लिए इसके ग्राफ बनाते हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि जब छात्रों को परवलय बनाने के लिए मजबूर किया जाता है, तो वे व्यावहारिक रूप से ग्राफ़ को "पढ़ने" के लिए समय नहीं देते हैं, अर्थात, वे चित्र से प्राप्त जानकारी को समझने का अभ्यास नहीं करते हैं। जाहिरा तौर पर, यह माना जाता है कि, एक दर्जन या दो ग्राफ़ बनाने के बाद, एक स्मार्ट छात्र स्वयं सूत्र में गुणांक और ग्राफ़ की उपस्थिति के बीच संबंध की खोज और निर्माण करेगा। व्यवहार में यह काम नहीं करता. इस तरह के सामान्यीकरण के लिए, गणितीय लघु-अनुसंधान में गंभीर अनुभव की आवश्यकता होती है, जो कि अधिकांश नौवीं कक्षा के छात्रों के पास नहीं है। इस बीच, राज्य निरीक्षणालय अनुसूची का उपयोग करके गुणांक के संकेत निर्धारित करने का प्रस्ताव करता है।

हम स्कूली बच्चों से असंभव की मांग नहीं करेंगे और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक एल्गोरिदम की पेशकश करेंगे।

तो, प्रपत्र का एक कार्य y = ax 2 + bx + cद्विघात कहा जाता है, इसका ग्राफ एक परवलय है। जैसा कि नाम से पता चलता है, मुख्य शब्द है कुल्हाड़ी 2. वह है एशून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, शेष गुणांक ( बीऔर साथ) शून्य के बराबर हो सकता है.

आइए देखें कि इसके गुणांकों के संकेत परवलय की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।

गुणांक के लिए सबसे सरल निर्भरता ए. अधिकांश स्कूली बच्चे आत्मविश्वास से उत्तर देते हैं: “यदि ए> 0, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि ए < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ए > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

इस मामले में ए = 0,5

और अब के लिए ए < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

इस मामले में ए = - 0,5

गुणांक का प्रभाव साथइसका पालन करना भी काफी आसान है। आइए कल्पना करें कि हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना चाहते हैं एक्स= 0. सूत्र में शून्य रखें:

य = ए 0 2 + बी 0 + सी = सी. यह पता चला है कि वाई = सी. वह है साथ y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। आमतौर पर, इस बिंदु को ग्राफ़ पर ढूंढना आसान है। और निर्धारित करें कि यह शून्य से ऊपर है या नीचे। वह है साथ> 0 या साथ < 0.

साथ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

साथ < 0

y = x 2 + 4x - 3

तदनुसार, यदि साथ= 0, तो परवलय आवश्यक रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरेगा:

y = x 2 + 4x

पैरामीटर के साथ और अधिक कठिन बी. हम इसे किस बिंदु पर पाएंगे, यह केवल इस पर निर्भर नहीं करता है बीलेकिन से भी ए. यह परवलय का शीर्ष है. इसका भुज (अक्ष निर्देशांक) एक्स) सूत्र द्वारा पाया जाता है एक्स इन = - बी/(2ए). इस प्रकार, बी = - 2ax इंच. अर्थात्, हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं: हम ग्राफ़ पर परवलय का शीर्ष पाते हैं, उसके भुज का चिह्न निर्धारित करते हैं, अर्थात हम शून्य के दाईं ओर देखते हैं ( x इंच> 0) या बाईं ओर ( x इंच < 0) она лежит.

हालाँकि, यह सब नहीं है. हमें गुणांक के चिन्ह पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है ए. अर्थात्, देखें कि परवलय की शाखाएँ किस ओर निर्देशित हैं। और उसके बाद ही, सूत्र के अनुसार बी = - 2ax इंचचिन्ह निर्धारित करें बी.

आइए एक उदाहरण देखें:

शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, जिसका अर्थ है ए> 0, परवलय अक्ष को प्रतिच्छेद करता है परशून्य से नीचे, अर्थात् साथ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x इंच> 0. तो बी = - 2ax इंच = -++ = -. बी < 0. Окончательно имеем: ए > 0, बी < 0, साथ < 0.

8वीं कक्षा के माध्यमिक विद्यालय के लिए बीजगणित पाठ नोट्स

पाठ विषय: समारोह

पाठ का उद्देश्य:

· शैक्षिक:प्रपत्र के द्विघात फ़ंक्शन की अवधारणा को परिभाषित करें (फ़ंक्शंस के ग्राफ़ की तुलना करें और), एक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र दिखाएं (इस सूत्र को व्यवहार में लागू करना सिखाएं); एक ग्राफ़ से एक द्विघात फलन के गुणों को निर्धारित करने की क्षमता विकसित करना (समरूपता की धुरी का पता लगाना, एक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक, समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक)।

· विकास संबंधी: गणितीय भाषण का विकास, किसी के विचारों को सही ढंग से, लगातार और तर्कसंगत रूप से व्यक्त करने की क्षमता; प्रतीकों और नोटेशन का उपयोग करके गणितीय पाठ को सही ढंग से लिखने का कौशल विकसित करना; विश्लेषणात्मक सोच का विकास; सामग्री का विश्लेषण, व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण करने की क्षमता के माध्यम से छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि का विकास।

· शिक्षात्मक: स्वतंत्रता को बढ़ावा देना, दूसरों को सुनने की क्षमता, लिखित गणितीय भाषण में सटीकता और ध्यान विकसित करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना.

शिक्षण विधियों:

सामान्यीकृत प्रजनन, आगमनात्मक अनुमानी।

छात्रों के ज्ञान और कौशल के लिए आवश्यकताएँ

जानें कि रूप का द्विघात फलन क्या है, परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र; किसी परवलय के शीर्ष के निर्देशांक, निर्देशांक अक्षों के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक, और किसी द्विघात फ़ंक्शन के गुणों को निर्धारित करने के लिए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करने में सक्षम होना।

उपकरण:

शिक्षण योजना

I. संगठनात्मक क्षण (1-2 मिनट)

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन करना (10 मिनट)

तृतीय. नई सामग्री की प्रस्तुति (15 मिनट)

चतुर्थ. नई सामग्री को समेकित करना (12 मिनट)

वी. सारांश (3 मिनट)

VI. होमवर्क असाइनमेंट (2 मिनट)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

अभिवादन करना, अनुपस्थित लोगों की जाँच करना, नोटबुक एकत्र करना।

द्वितीय. ज्ञान को अद्यतन करना

अध्यापक: आज के पाठ में हम एक नए विषय का अध्ययन करेंगे: "फ़ंक्शन"। लेकिन पहले, आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री को दोहराएं।

फ्रंटल सर्वेक्षण:

1) द्विघात फलन किसे कहते हैं? (एक फ़ंक्शन जहां वास्तविक संख्याएं दी गई हैं, एक वास्तविक चर है, द्विघात फ़ंक्शन कहलाता है।)

2) द्विघात फलन का ग्राफ क्या है? (द्विघात फलन का ग्राफ़ एक परवलय है।)

3) द्विघात फलन के शून्य क्या होते हैं? (द्विघात फलन के शून्य वे मान हैं जिन पर यह शून्य हो जाता है।)

4) फ़ंक्शन के गुणों की सूची बनाएं। (फ़ंक्शन के मान सकारात्मक हैं और शून्य के बराबर हैं; फ़ंक्शन का ग्राफ कोटि अक्षों के संबंध में सममित है; पर - फ़ंक्शन बढ़ता है, पर - घटता है।)

5) फ़ंक्शन के गुणों की सूची बनाएं। (यदि, तो फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, यदि, तो फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, फ़ंक्शन का मान केवल 0 है; परवलय कोर्डिनेट अक्ष के बारे में सममित है; यदि, तो फ़ंक्शन बढ़ता है और पर घटता है, यदि , तो फलन पर बढ़ता है , घटता है - पर .)

तृतीय. नई सामग्री की प्रस्तुति

अध्यापक: आइए नई सामग्री सीखना शुरू करें। अपनी नोटबुक खोलें, पाठ की तारीख और विषय लिखें। बोर्ड पर ध्यान दें.

बोर्ड पर लिखना: संख्या।

समारोह।

अध्यापक: बोर्ड पर आपको फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ दिखाई देते हैं। पहला ग्राफ, और दूसरा. आइए उनकी तुलना करने का प्रयास करें।

आप फ़ंक्शन के गुण जानते हैं. उनके आधार पर, और अपने ग्राफ़ की तुलना करके, हम फ़ंक्शन के गुणों को उजागर कर सकते हैं।

तो, आपको क्या लगता है कि परवलय की शाखाओं की दिशा क्या निर्धारित करेगी?

छात्र:दोनों परवलयों की शाखाओं की दिशा गुणांक पर निर्भर करेगी।

अध्यापक:एकदम सही। आप यह भी देख सकते हैं कि दोनों परवलयों में समरूपता का एक अक्ष होता है। फ़ंक्शन के पहले ग्राफ़ में, समरूपता की धुरी क्या है?

छात्र:परवलय के लिए, समरूपता का अक्ष कोटि अक्ष है।

अध्यापक:सही। परवलय की सममिति अक्ष क्या है?

छात्र:परवलय की समरूपता की धुरी वह रेखा है जो कोटि अक्ष के समानांतर, परवलय के शीर्ष से होकर गुजरती है।

अध्यापक: सही। तो, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की समरूपता की धुरी को कोटि अक्ष के समानांतर, परवलय के शीर्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा कहा जाएगा।

और परवलय का शीर्ष निर्देशांक वाला एक बिंदु होता है। वे सूत्र द्वारा निर्धारित होते हैं:

सूत्र को अपनी नोटबुक में लिखें और उसे एक फ्रेम में घेर लें।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना

परवलय के शीर्ष के निर्देशांक.

अध्यापक: अब, इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान: सूत्र के अनुसार

अध्यापक: जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, समरूपता का अक्ष परवलय के शीर्ष से होकर गुजरता है। श्यामपट्ट पर देखें। इस चित्र को अपनी नोटबुक में बनाओ।

बोर्ड और नोटबुक में लिखें:

अध्यापक:चित्र में: - उस बिंदु पर शीर्ष के साथ परवलय की समरूपता के अक्ष का समीकरण जहां भुज परवलय का शीर्ष है।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 2:फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करके, परवलय की समरूपता के अक्ष के लिए समीकरण निर्धारित करें।

सममिति अक्ष के समीकरण का रूप है:, जिसका अर्थ है कि इस परवलय की समरूपता अक्ष के लिए समीकरण है।

उत्तर:- सममिति अक्ष का समीकरण।

IV. नई सामग्री का समेकन

अध्यापक: जिन कार्यों को कक्षा में हल करने की आवश्यकता होती है उन्हें बोर्ड पर लिखा जाता है।

बोर्ड पर लिखना: № 609(3), 612(1), 613(3)

अध्यापक:लेकिन पहले, आइए पाठ्यपुस्तक से नहीं बल्कि एक उदाहरण हल करें। हम बोर्ड में फैसला करेंगे.

उदाहरण 1: परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

समाधान: सूत्र के अनुसार

उत्तर: परवलय के शीर्ष के निर्देशांक।

उदाहरण 2: परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए समन्वय अक्षों के साथ.

समाधान: 1) अक्ष के साथ:

वे।

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (1;0) और (2;0) हैं।

2) धुरी के साथ:

कोटि अक्ष (0;2) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।

उत्तर: (1;0), (2;0), (0;2) - निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक।

क्रमांक 609(3). परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

एक ग्राफ़ से द्विघात फलन के गुणांकों का मान निर्धारित करना।

सागनेवा ए.एम. द्वारा पद्धतिगत विकास।

एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय नंबर 44, सर्गुट, खांटी-मानसी स्वायत्त ऑक्रग-युगरा .

Ι. गुणांक ज्ञात करना ए

• परवलय के ग्राफ़ का उपयोग करके, हम शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं (एम,एन)

2. परवलय के ग्राफ का उपयोग करके, हम किसी बिंदु A के निर्देशांक निर्धारित करते हैं (एक्स 1 ;य 1 )

3. हम इन मानों को एक अलग रूप में निर्दिष्ट द्विघात फ़ंक्शन के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

y=a(x-m)2+n

4. परिणामी समीकरण को हल करें।

ओह 1 ;य 1 )

परवलय

ΙΙ. गुणांक ज्ञात करना बी

1. सबसे पहले हम गुणांक का मान ज्ञात करते हैं ए

2. परवलय के भुज के सूत्र में एम= -बी/2एमूल्यों को प्रतिस्थापित करें एमऔर ए

3. गुणांक के मान की गणना करें बी .

ओह 1 ;य 1 )

परवलय

ΙΙΙ. गुणांक ज्ञात करना सी

1. हम ओए अक्ष के साथ परवलय ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात करते हैं, यह मान गुणांक के बराबर है साथ, अर्थात। डॉट (0;s)-ओए अक्ष के साथ परवलय ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु।

2. यदि ग्राफ़ से ओए अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजना असंभव है, तो हम गुणांक पाते हैं ए,बी

(चरण Ι, ΙΙ देखें)

3. पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें ए, बी, ए(एक्स 1; पर 1 ) समीकरण में

y=ax 2 +बीएक्स+सीऔर हम पाते हैं साथ।

ओह 1 ;य 1 )

परवलय

कार्य

संकेत

Ιx 2 Ι, और x 1 0, क्योंकि a ओए अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि गुणांक c है उत्तर: 5 c x 1 x 2 "चौड़ाई = "640"

• परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं,

• जड़ों के अलग-अलग चिह्न हैं, Ι x 1 ΙΙх 2 Ι, और x 1 0, क्योंकि ए
• ओए अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि गुणांक है साथ

एक्स 1

एक्स 2

पी संकेत

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. उत्तर: 5 "चौड़ाई = "640"

1.परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, जिसका अर्थ है a

• एक्स 1 +एक्स 2 = - बी/ए 0. ए 0.

0 क्योंकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं; 2. सी=वाई(0)3. परवलय के शीर्ष पर एक धनात्मक भुज है: इस मामले में a 0 है, इसलिए b4 है। D0, क्योंकि परवलय OX अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। "चौड़ाई = "640"

यह चित्र फ़ंक्शन y=ax का ग्राफ़ दिखाता है 2 +बीएक्स+सी. गुणांक ए, बी, सी और विवेचक डी के संकेतों को इंगित करें।

समाधान:

1. अ0, क्योंकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं;

3. परवलय के शीर्ष पर एक धनात्मक भुज है:

इस मामले में ए 0, इसलिए बी

4. D0, क्योंकि परवलय OX अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

चित्र एक परवलय दिखाता है

मान निर्दिष्ट करें कऔर टी .

परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और उस फलन को लिखिए जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

पता लगाएँ कि प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज कहाँ हैं

परवलय और क्षैतिज सीधी रेखाएँ (चित्र देखें)।

प्रस्तुति "फ़ंक्शन y=ax 2, इसका ग्राफ़ और गुण" एक दृश्य सहायता है जो इस विषय पर शिक्षक के स्पष्टीकरण के साथ बनाई गई थी। यह प्रस्तुति द्विघात फलन, उसके गुणों, आलेखन की विशेषताओं और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर विस्तार से चर्चा करती है।

उच्च स्तर की स्पष्टता प्रदान करते हुए, यह सामग्री शिक्षक को शिक्षण की प्रभावशीलता बढ़ाने में मदद करेगी और पाठ में समय को अधिक तर्कसंगत रूप से वितरित करने का अवसर प्रदान करेगी। एनीमेशन प्रभावों की मदद से, अवधारणाओं और महत्वपूर्ण बिंदुओं को रंग में उजागर करने से, छात्रों का ध्यान अध्ययन किए जा रहे विषय पर केंद्रित होता है, और समस्याओं को हल करते समय परिभाषाओं और तर्क के पाठ्यक्रम को बेहतर ढंग से याद किया जा सकता है।

प्रस्तुति प्रस्तुति के शीर्षक और द्विघात फलन की अवधारणा के परिचय के साथ शुरू होती है। इस विषय के महत्व पर बल दिया गया है। छात्रों को y=ax 2 +bx+c के रूप की कार्यात्मक निर्भरता के रूप में एक द्विघात फ़ंक्शन की परिभाषा को याद रखने के लिए कहा जाता है, जिसमें एक स्वतंत्र चर है, और a≠0 के साथ संख्याएं हैं। अलग से, स्लाइड 4 पर यह याद रखने के लिए नोट किया गया है कि इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक मूल्यों की संपूर्ण धुरी है। परंपरागत रूप से, इस कथन को D(x)=R द्वारा दर्शाया जाता है।

द्विघात फलन का एक उदाहरण भौतिकी में इसका महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है - समय पर समान रूप से त्वरित गति के दौरान पथ की निर्भरता का सूत्र। साथ ही, भौतिकी के पाठों में छात्र विभिन्न प्रकार की गति के लिए सूत्रों का अध्ययन करते हैं, इसलिए उन्हें ऐसी समस्याओं को हल करने की क्षमता की आवश्यकता होगी। स्लाइड 5 पर, छात्रों को याद दिलाया जाता है कि जब कोई पिंड त्वरण के साथ चलता है और समय की शुरुआत में तय की गई दूरी की गणना करता है और गति की गति ज्ञात होती है, तो ऐसी गति का प्रतिनिधित्व करने वाली कार्यात्मक निर्भरता सूत्र S = (पर) द्वारा व्यक्त की जाएगी 2)/2+v 0 t+S 0 . यदि त्वरण का मान = 8, प्रारंभिक गति = 3 और प्रारंभिक पथ = 18 है तो इस सूत्र को दिए गए द्विघात फ़ंक्शन में बदलने का एक उदाहरण नीचे दिया गया है। इस स्थिति में, फ़ंक्शन S=4t 2 +3t+18 का रूप लेगा।

स्लाइड 6 द्विघात फ़ंक्शन y=ax 2 के रूप की जांच करती है, जिसमें इसे दर्शाया गया है। यदि =1, तो द्विघात फलन का रूप y=x 2 है। यह ध्यान देने योग्य है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय होगा।

प्रस्तुति का अगला भाग एक द्विघात फलन की योजना बनाने के लिए समर्पित है। फ़ंक्शन y=3x 2 को प्लॉट करने पर विचार करने का प्रस्ताव है। सबसे पहले, तालिका फ़ंक्शन मानों और तर्क मानों के बीच पत्राचार को इंगित करती है। यह नोट किया गया है कि फ़ंक्शन y=3x 2 के निर्मित ग्राफ़ और फ़ंक्शन y=x 2 के ग्राफ़ के बीच अंतर यह है कि प्रत्येक मान संबंधित मान से तीन गुना अधिक होगा। यह अंतर तालिका दृश्य में अच्छी तरह से ट्रैक किया गया है। निकट ही चित्रमय निरूपण में परवलय के संकुचन का अंतर भी स्पष्ट दिखाई देता है।

अगली स्लाइड द्विघात फलन y=1/3 x 2 को आलेखित करने पर विचार करती है। एक ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको तालिका में फ़ंक्शन के मानों को उसके कई बिंदुओं पर इंगित करना होगा। यह नोट किया गया है कि फ़ंक्शन y=1/3 x 2 का प्रत्येक मान फ़ंक्शन y=x 2 के संबंधित मान से 3 गुना कम है। यह अंतर तालिका के अलावा ग्राफ़ में भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। फ़ंक्शन y=x 2 के परवलय की तुलना में इसका परवलय कोर्डिनेट अक्ष के सापेक्ष अधिक विस्तारित होता है।

उदाहरण सामान्य नियम को समझने में मदद करते हैं, जिसके अनुसार आप अधिक सरलता और शीघ्रता से संबंधित ग्राफ़ बना सकते हैं। स्लाइड 9 पर, एक अलग नियम पर प्रकाश डाला गया है कि द्विघात फलन y=ax 2 का ग्राफ़ ग्राफ़ को खींचकर या संकीर्ण करके गुणांक के मान के आधार पर बनाया जा सकता है। यदि a>1, तो ग्राफ़ x-अक्ष से एक कारक द्वारा खिंचता है। यदि 0

भुज अक्ष के सापेक्ष फ़ंक्शन y=ax 2 और y=-ax2 (≠0 पर) के ग्राफ़ की समरूपता के बारे में निष्कर्ष को याद रखने के लिए स्लाइड 12 पर अलग से हाइलाइट किया गया है और संबंधित ग्राफ़ पर स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया है। इसके बाद, एक द्विघात फलन y=x 2 के ग्राफ की अवधारणा को फलन y=ax 2 के अधिक सामान्य मामले तक विस्तारित किया गया है, जिसमें कहा गया है कि ऐसे ग्राफ को एक परवलय भी कहा जाएगा।

स्लाइड 14 सकारात्मक होने पर द्विघात फलन y=ax 2 के गुणों पर चर्चा करती है। यह ध्यान दिया जाता है कि इसका ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है, और इसे छोड़कर सभी बिंदु ऊपरी आधे तल में स्थित हैं। ऑर्डिनेट अक्ष के सापेक्ष ग्राफ़ की समरूपता नोट की जाती है, यह निर्दिष्ट करते हुए कि तर्क के विपरीत मान समान फ़ंक्शन मानों के अनुरूप हैं। यह इंगित किया जाता है कि इस फ़ंक्शन की कमी का अंतराल (-∞;0] है, और फ़ंक्शन की वृद्धि अंतराल पर की जाती है। इस फ़ंक्शन के मान वास्तविक अक्ष के संपूर्ण सकारात्मक भाग को कवर करते हैं, यह है बिंदु पर शून्य के बराबर है, और इसका कोई सबसे बड़ा मान नहीं है।

स्लाइड 15 नकारात्मक होने पर फ़ंक्शन y=ax 2 के गुणों का वर्णन करता है। यह ध्यान देने योग्य है कि इसका ग्राफ भी मूल बिंदु से होकर गुजरता है, लेकिन इसके अलावा इसके सभी बिंदु निचले आधे तल में स्थित हैं। ग्राफ़ अक्ष के बारे में सममित है, और तर्क के विपरीत मान फ़ंक्शन के समान मानों के अनुरूप हैं। फलन अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है। इस फ़ंक्शन का मान अंतराल में होता है, यह एक बिंदु पर शून्य के बराबर होता है, और इसका कोई न्यूनतम मान नहीं होता है।

विचार की गई विशेषताओं को सारांशित करते हुए, स्लाइड 16 पर यह निष्कर्ष निकाला गया है कि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर और ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। परवलय अक्ष के बारे में सममित है, और परवलय का शीर्ष अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है। परवलय y=ax 2 का शीर्ष मूल बिंदु है।

इसके अलावा, परवलय परिवर्तनों के बारे में एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष स्लाइड 17 पर प्रदर्शित होता है। यह एक द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ को बदलने के लिए विकल्प प्रस्तुत करता है। यह ध्यान दिया जाता है कि फ़ंक्शन y=ax 2 का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष ग्राफ़ को सममित रूप से प्रदर्शित करके रूपांतरित किया जाता है। ग्राफ़ को अक्ष के सापेक्ष संपीड़ित या खींचना भी संभव है।

अंतिम स्लाइड किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के परिवर्तनों के बारे में सामान्य निष्कर्ष निकालती है। निष्कर्ष प्रस्तुत किया गया है कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के बारे में सममित परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जाता है। और फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल ग्राफ़ को अक्ष से संपीड़ित या खींचकर प्राप्त किया जाता है। इस मामले में, अक्ष से तन्य विस्तार उस स्थिति में देखा जाता है जब। अक्ष को 1/a बार संपीड़ित करने से केस में ग्राफ बनता है।

प्रस्तुति "फ़ंक्शन y=ax 2, इसका ग्राफ़ और गुण" का उपयोग एक शिक्षक द्वारा बीजगणित पाठ में दृश्य सहायता के रूप में किया जा सकता है। साथ ही, यह मैनुअल विषय को अच्छी तरह से कवर करता है, जिससे विषय की गहन समझ मिलती है, इसलिए इसे छात्रों द्वारा स्वतंत्र अध्ययन के लिए पेश किया जा सकता है। यह सामग्री शिक्षक को दूरस्थ शिक्षा के दौरान स्पष्टीकरण देने में भी मदद करेगी।