पाठ सारांश

"तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके"

भौतिक और गणितीय प्रोफ़ाइल की 11वीं कक्षा।

तातारस्तान गणराज्य का ज़ेलेनोडोल्स्की नगरपालिका जिला

वलीवा एस.जेड.

पाठ विषय: अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

पाठ का उद्देश्य: 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करें।

1. 
   अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्यीकरण, सही ढंग से विधियों का चयन करने की क्षमता विकसित करना।
2. 
   स्वतंत्रता का विकास करें, वाक् साक्षरता को शिक्षित करें

पाठ प्रकार:सेमिनार।
शिक्षण योजना:

1. 
   आयोजन का समय
2. 
   नई सामग्री सीखना
3. 
   एंकरिंग
4. 
   गृहकार्य
5. 
   पाठ सारांश

कक्षाओं के दौरान
मैं. आयोजन का समय:पाठ के विषय का संदेश, पाठ का उद्देश्य।

पिछले पाठ में, हमने वर्गमूल वाले अपरिमेय समीकरणों को उनका वर्ग करके हल करने पर विचार किया था। इस मामले में, हम एक परिणाम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो कभी-कभी बाहरी जड़ों की उपस्थिति की ओर जाता है। और फिर समीकरण को हल करने का एक अनिवार्य हिस्सा जड़ों की जाँच कर रहा है। हमने वर्गमूल की परिभाषा का उपयोग करके समीकरणों को हल करने पर भी विचार किया। इस मामले में, चेक छोड़ा जा सकता है। हालांकि, समीकरणों को हल करते समय, हमेशा समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम के "अंधा" अनुप्रयोग के लिए तुरंत आगे बढ़ना आवश्यक नहीं होता है। यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के कार्यों में काफी कुछ समीकरण होते हैं, जिन्हें हल करने में एक समाधान विधि चुनना आवश्यक होता है जो आपको समीकरणों को आसान और तेज़ हल करने की अनुमति देता है। अत: अपरिमेय समीकरणों को हल करने की अन्य विधियों को जानना आवश्यक है, जिनसे हम आज परिचित होंगे। पहले, कक्षा को 8 रचनात्मक समूहों में विभाजित किया गया था, और उन्हें एक विशेष विधि के सार को प्रकट करने के लिए विशिष्ट उदाहरण दिए गए थे। हम उन्हें एक शब्द देते हैं।

द्वितीय. नई सामग्री सीखना।

प्रत्येक समूह से, 1 छात्र बच्चों को अपरिमेय समीकरणों को हल करना समझाता है। पूरी कक्षा सुनती है और उनकी कहानी पर नोट्स लेती है।

1 रास्ता। एक नए चर का परिचय।

समीकरण हल करें: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, टी 0

एक्स 2 - 2x - 6 \u003d टी 2;

4t 2 - 3t - 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

एक्स 2 - 2x - 6 \u003d 9;

उत्तर: -3; 5.

2 रास्ते। ओडीजेड अनुसंधान।

प्रश्न हल करें

ओडीजेड:


x \u003d 2. जाँच करके हम सुनिश्चित करते हैं कि x \u003d 2 समीकरण का मूल है।

3 रास्ता। समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म कारक से गुणा करना।

+
(दोनों पक्षों को इससे गुणा करें -
)

एक्स + 3 - एक्स - 8 \u003d 5 (-)

2=4, इसलिए x=1. जाँच करने से हमें विश्वास हो जाता है कि x \u003d 1 इस समीकरण का मूल है।

4 तरफा। एक चर का परिचय देकर एक प्रणाली के समीकरण को कम करना।

प्रश्न हल करें

चलो = यू,
= वी।

हमें सिस्टम मिलता है:

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें। हमें u = 2, v = 2 प्राप्त होता है। इसलिए,

हमें एक्स = 1 मिलता है।

उत्तर: एक्स = 1।

5 रास्ता। एक पूर्ण वर्ग का चयन।

प्रश्न हल करें

आइए मॉड्यूल खोलें। क्योंकि -1≤cos0.5x≤1, फिर -4≤cos0.5x-3≤-2, इसलिए . वैसे ही,

तब हमें समीकरण मिलता है

एक्स = 4πn, एनजेड।

उत्तर: 4πn, nZ।

6 रास्ता। मूल्यांकन पद्धति

प्रश्न हल करें

ओडीजेड: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 0, परिभाषा के अनुसार, दाईं ओर -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

हम पाते हैं
वे। x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. गुणनखंड द्वारा समीकरण को हल करने पर हमें x = 2, x = -2 प्राप्त होता है।

विधि 7: कार्यों की एकरसता के गुणों का उपयोग करना।

प्रश्न हल करें। कार्य सख्ती से बढ़ रहे हैं। बढ़ते फलनों का योग बढ़ रहा है और इस समीकरण का अधिकतम एक मूल है। चयन से हम x = 1 पाते हैं।

8 रास्ता। वैक्टर का उपयोग।

प्रश्न हल करें। ओडीजेड: -1≤х≤3।

चलो वेक्टर
. सदिशों का अदिश गुणन बाईं ओर होता है। आइए उनकी लंबाई का गुणनफल ज्ञात करें। यह सही पक्ष है। मिलना
, अर्थात। सदिश a और b संरेख हैं। यहां से
. आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें। समीकरण को हल करने पर, हमें x \u003d 1 और x \u003d . मिलता है
.

1. 
   समेकन।(प्रत्येक छात्र को एक वर्कशीट दी जाती है)

फ्रंट ओरल वर्क

समीकरणों को हल करने के लिए एक उपाय खोजें (1-10)

1.
(ओडीजेड - )

2.
एक्स = 2

3. एक्स 2 - 3x +
(प्रतिस्थापन)

4. (एक पूर्ण वर्ग का चयन)

5.
(एक चर का परिचय देकर एक प्रणाली के समीकरण को कम करना।)

6.
(आसन्न व्यंजक से गुणा करके)

7.
क्योंकि
. इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

8. क्योंकि प्रत्येक पद गैर-ऋणात्मक है, हम उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और प्रणाली को हल करते हैं।

9. 3

10. समीकरण का मूल (या जड़ों का गुणनफल, यदि कई हैं) ज्ञात कीजिए।

बाद में सत्यापन के साथ लिखित स्वतंत्र कार्य

11,13,17,19 संख्या वाले समीकरणों को हल करें

समीकरण हल करें:

12. (एक्स + 6) 2 -

14.

मूल्यांकन पद्धति

कार्यों की एकरसता के गुणों का उपयोग करना।

वैक्टर का उपयोग।

1. 
   अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए इनमें से किस विधि का उपयोग किया जाता है?
2. 
   आपको इनमें से कौन सा तरीका सबसे ज्यादा पसंद आया और क्यों?

1. 
   गृहकार्य: शेष समीकरणों को हल करें।

ग्रंथ सूची:

1. 
   बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव, एन.एन. रेशेतनिकोव, ए.वी. शेवकिन। एम: ज्ञानोदय, 2009

1. 
   बीजगणित पर उपदेशात्मक सामग्री और ग्रेड 11 / बी.एम. के लिए विश्लेषण के सिद्धांत। इवलेव, एस.एम. सहक्यान, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम .: ज्ञानोदय, 2003।
2. 
   मोर्दकोविच ए जी बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 10 - 11 सेल: सामान्य शिक्षा के लिए कार्यपुस्तिका। संस्थान। - एम .: मेनेमोसिन, 2000।
3. 
   एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. ग्रेड 10-11 के लिए बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य। - एम .: इलेक्सा, 2004
4. 
   किम उपयोग 2002 - 2010

6. बीजीय सिम्युलेटर। ए.जी. मर्ज़लीक, वी.बी. पोलोनस्की, एम.एस. याकिर। स्कूली बच्चों और प्रवेशकों के लिए हैंडबुक। मॉस्को: "इलेक्सा" 2001।
7. समीकरण और असमानताएँ। गैर-मानक समाधान विधियां। शैक्षिक - पद्धति संबंधी मैनुअल। 10 - 11 कक्षाएं। एस.एन. ओलेनिक, एम.के. पोतापोव, पी.आई. पासिचेंको। मास्को। "बस्टर्ड"। 2001

एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिह्न के तहत एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:

ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल होते हैं:

1. जड़ को अलग करें। दूसरे शब्दों में, यदि समान चिह्न के बाईं ओर मूल के अलावा अन्य संख्याएँ या कार्य हैं, तो यह सब चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जाना चाहिए। उसी समय, केवल रेडिकल बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
2. 2. हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। साथ ही, याद रखें कि रूट की रेंज सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इसलिए दाईं ओर का कार्य अपरिमेय समीकरणगैर-ऋणात्मक भी होना चाहिए: जी (एक्स) 0।
3. तीसरा चरण दूसरे से तार्किक रूप से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमारे पास अतिरिक्त जड़ें हो सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और जांचना आवश्यक है: क्या सही संख्यात्मक समानता वास्तव में प्राप्त हुई है?

एक अपरिमेय समीकरण को हल करना

आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण से निपटें। यहां जड़ पहले से ही एकांत में है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
एक्स 2 - 4x - 12 = 0

हम परिणामी द्विघात समीकरण को विभेदक के माध्यम से हल करते हैं:

डी = बी 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 \u003d -2

यह केवल इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, अर्थात। एक जाँच करें। लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को आसान बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।

निर्णय को सरल कैसे करें

आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में भी जांच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जड़ों को प्रतिस्थापित करते समय, समान चिह्न के दाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होगी। आखिरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि यह बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, क्योंकि अंकगणितीय वर्गमूल (जिसके कारण हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) परिभाषा के अनुसार शून्य से कम नहीं हो सकता है।

इसलिए, हमें केवल यह जाँचने की आवश्यकता है कि फलन g ( x ) = 5 - x , जो समान चिह्न के दाईं ओर है, ऋणात्मक नहीं है:

जी (एक्स) 0

हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

जी (एक्स 1) \u003d जी (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
जी (एक्स 2) = जी (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

प्राप्त मूल्यों से यह निम्नानुसार है कि रूट x 1 = 6 हमें शोभा नहीं देता है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या मिलती है। लेकिन रूट x 2 \u003d −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:

1. यह मूल दोनों पक्षों को ऊपर उठाकर प्राप्त द्विघात समीकरण का हल है अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में।
2. मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना भाग, जब मूल x 2 = -2 को प्रतिस्थापित किया जाता है, एक धनात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणितीय जड़ की सीमा का उल्लंघन नहीं किया जाता है।

वह संपूर्ण एल्गोरिदम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, रेडिकल वाले समीकरणों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अतिरिक्त उत्तर मिलने की संभावना है।

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित के कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

नगर शिक्षण संस्थान

"कुडिंस्काया माध्यमिक विद्यालय नंबर 2"

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

द्वारा पूरा किया गया: ईगोरोवा ओल्गा,

सुपरवाइज़र:

शिक्षक

अंक शास्त्र,

उच्च योग्यता

परिचय....……………………………………………………………………………………… 3

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके…………………………………6

1.1 भाग सी के अपरिमेय समीकरणों को हल करना …………………………… 21

धारा 2. व्यक्तिगत कार्य…………………………………………….....………...24

जवाब………………………………………………………………………………………….25

ग्रन्थसूची…….…………………………………………………………………….26

परिचय

एक सामान्य शिक्षा विद्यालय में प्राप्त गणितीय शिक्षा सामान्य शिक्षा और आधुनिक व्यक्ति की सामान्य संस्कृति का एक अनिवार्य घटक है। आधुनिक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी रूप में गणित से जुड़ी होती है। और भौतिकी, इंजीनियरिंग और सूचना प्रौद्योगिकी में नवीनतम प्रगति में कोई संदेह नहीं है कि भविष्य में स्थिति समान रहेगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है जिन्हें हल करने के लिए सीखने की आवश्यकता होती है। इन प्रकारों में से एक अपरिमेय समीकरण हैं।

अपरिमेय समीकरण

मूल चिह्न के अंतर्गत एक अज्ञात (या किसी अज्ञात से तर्कसंगत बीजीय व्यंजक) वाले समीकरण को कहा जाता है अपरिमेय समीकरण. प्रारंभिक गणित में, अपरिमेय समीकरणों के समाधान वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में मांगे जाते हैं।

किसी भी अपरिमेय समीकरण को प्रारंभिक बीजीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, समीकरण के दोनों भागों को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाने) की सहायता से एक परिमेय बीजीय समीकरण में घटाया जा सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी तर्कसंगत बीजीय समीकरण मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात् इसमें "अतिरिक्त" जड़ें हो सकती हैं जो मूल अपरिमेय समीकरण की जड़ें नहीं होंगी। इसलिए, प्राप्त परिमेय बीजीय समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या परिमेय समीकरण के सभी मूल अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।

सामान्य स्थिति में, किसी भी अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए किसी भी सार्वभौमिक विधि को इंगित करना मुश्किल है, क्योंकि यह वांछनीय है कि मूल अपरिमेय समीकरण के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, न केवल किसी प्रकार का तर्कसंगत बीजीय समीकरण प्राप्त होता है, जड़ों के बीच जहां इस अपरिमेय समीकरण की जड़ें होंगी, लेकिन यथासंभव कम डिग्री वाले बहुपदों से बनने वाला एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण होगा। सबसे छोटी संभव डिग्री के बहुपदों से बने उस तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण को प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है, क्योंकि तर्कसंगत बीजीय समीकरण की सभी जड़ों को ढूंढना अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है, जिसे हम केवल बहुत सीमित संख्या में ही हल कर सकते हैं मामलों की।

अपरिमेय समीकरणों के प्रकार

सम घात वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करने से विषम कोटि के अपरिमेय समीकरणों को हल करने की अपेक्षा अधिक समस्याएँ उत्पन्न होती हैं। विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, नीचे हम अपरिमेय समीकरणों पर विचार करेंगे, जिनकी डिग्री सम है। अपरिमेय समीकरण दो प्रकार के होते हैं:

2..

आइए उनमें से पहले पर विचार करें।

ओडीज़ समीकरण: एफ (एक्स) 0. ODZ में, समीकरण का बायाँ भाग हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है, इसलिए एक समाधान तभी मौजूद हो सकता है जब जी(एक्स) 0. इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और घातांक 2 एनएक समान समीकरण देता है। हमें वह मिलता है

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जबकि ODZ स्वचालित रूप से किया जाता है, और आप इसे नहीं लिख सकते, लेकिन शर्तजी(x) 0 की जांच होनी चाहिए।

टिप्पणी: यह तुल्यता की एक बहुत ही महत्वपूर्ण शर्त है। सबसे पहले, यह छात्र को जांच करने की आवश्यकता से मुक्त करता है, और समाधान खोजने के बाद, मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता f(x) 0 की स्थिति की जांच करता है। दूसरे, यह स्थिति की जाँच पर केंद्रित हैजी(x) 0 दाईं ओर की गैर-नकारात्मकता है। आखिर चुकता करने के बाद समीकरण हल हो जाता है यानी, दो समीकरण एक साथ हल किए जाते हैं (लेकिन संख्यात्मक अक्ष के विभिन्न अंतरालों पर!):

1. - जहां जी(एक्स) 0 और

2. - जहां जी (एक्स) 0।

इस बीच, कई, ODZ खोजने की स्कूल की आदत के अनुसार, ऐसे समीकरणों को हल करते समय ठीक इसके विपरीत करते हैं:

ए) जाँच करें, समाधान खोजने के बाद, स्थिति f(x) 0 (जो स्वचालित रूप से संतुष्ट है), अंकगणितीय त्रुटियां करें और गलत परिणाम प्राप्त करें;

बी) शर्त को अनदेखा करेंजी(x) 0 - और फिर उत्तर गलत हो सकता है।

टिप्पणी: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय तुल्यता की स्थिति विशेष रूप से उपयोगी होती है, जिसमें ODZ खोजना त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने से जुड़ा होता है, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से कहीं अधिक कठिन होता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों में भी स्थितियों की जाँच करना जी(एक्स) 0 करना हमेशा आसान नहीं होता है।

दूसरे प्रकार के अपरिमेय समीकरणों पर विचार करें।

. चलो समीकरण . उनका ओडीजेड:

ODZ में, दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और चुकता बराबर समीकरण देता है एफ(एक्स) =जी(एक्स)।इसलिए, ODZ or . में

समाधान की इस पद्धति के साथ, किसी एक फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता की जांच करने के लिए पर्याप्त है - आप एक सरल चुन सकते हैं।

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

1 विधि। समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर रेडिकल से मुक्ति

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि समीकरण के दोनों हिस्सों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर मूलकों से मुक्त करने की विधि है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण मूल के बराबर होता है, और जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण समीकरण, सामान्यतया, मूल समीकरण के समकक्ष नहीं होगा। इसे समीकरण के दोनों पक्षों को किसी सम घात तक उठाकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस ऑपरेशन का परिणाम समीकरण में होता है , जिसका समाधान समाधान के सेट का संघ है: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. हालांकि, इसके बावजूद यह दोष, यह समीकरण के दोनों भागों को कुछ (अक्सर सम) घात तक बढ़ाने की प्रक्रिया है जो एक अपरिमेय समीकरण को एक परिमेय समीकरण में कम करने की सबसे सामान्य प्रक्रिया है।

प्रश्न हल करें:

कहाँ कुछ बहुपद हैं। वास्तविक संख्याओं के सेट में रूट निकालने के संचालन की परिभाषा के आधार पर, अज्ञात के स्वीकार्य मान https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 ऊँचाई = 21" ऊँचाई = "21">..gif "चौड़ाई = "243" ऊँचाई = "28 src = ">।

चूंकि पहले समीकरण के दोनों भाग चुकता थे, इसलिए यह पता चल सकता है कि दूसरे समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण के समाधान नहीं होंगे, जड़ों की जांच करना आवश्यक है।

प्रश्न हल करें:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन बनाने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह देखते हुए कि https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(अंतिम समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, आम तौर पर बोलते हुए, मूल नहीं हैं समीकरण ).

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाते हैं: . हम समीकरण को x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 के रूप में फिर से लिखते हैं। जाँच करके, हम यह स्थापित करते हैं कि x1 = 0 समीकरण का एक बाहरी मूल है (-2 1), और x2 = 1 संतुष्ट करता है मूल समीकरण।

जवाब:एक्स = 1.

2 विधि। स्थितियों की आसन्न प्रणाली को बदलना

सम-क्रम के मूलांक वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उत्तरों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें पहचानना हमेशा आसान नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के दौरान, बाहरी जड़ों को पहचानना और त्यागना आसान बनाने के लिए, इसे तुरंत आसन्न स्थितियों की प्रणाली द्वारा बदल दिया जाता है। सिस्टम में अतिरिक्त असमानताएं वास्तव में हल किए जा रहे समीकरण के ODZ को ध्यान में रखती हैं। आप ओडीजेड को अलग से ढूंढ सकते हैं और बाद में इसे ध्यान में रख सकते हैं, लेकिन मिश्रित परिस्थितियों की प्रणालियों का उपयोग करना बेहतर होता है: समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में इसे ध्यान में न रखने पर कुछ भूलने का खतरा कम होता है। इसलिए, कुछ मामलों में मिश्रित प्रणालियों में संक्रमण की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।

प्रश्न हल करें:

जवाब: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

जवाब:समीकरण का कोई हल नहीं है।

3 विधि। nवें मूल के गुणों का उपयोग करना

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, nth डिग्री के मूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय जड़ एन-वांके बीच से डिग्री एएक गैर-ऋणात्मक संख्या पर कॉल करें, एन-मैं जिसकी डिग्री के बराबर है ए. यदि एक एन-यहाँ तक की( 2एन), फिर a 0, अन्यथा रूट मौजूद नहीं है। यदि एक एन-अजीब( 2 एन+1), तो a कोई है और = - ..gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "19"> फिर:

2.

3.

4.

5.

इनमें से किसी भी फॉर्मूले को औपचारिक रूप से लागू करते हुए (बिना बताए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए), यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उनमें से प्रत्येक के बाएँ और दाएँ भागों का ODZ भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के साथ परिभाषित किया गया है च 0और जी 0, और व्यंजक in . के रूप में है च 0और जी 0, साथ ही च 0और जी 0.

प्रत्येक सूत्र 1-5 के लिए (बिना संकेतित प्रतिबंधों को ध्यान में रखे), इसके दाहिने हिस्से का ODZ बाईं ओर के ODZ से अधिक चौड़ा हो सकता है। यह इस प्रकार है कि 1-5 "बाएं से दाएं" सूत्रों के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरण के परिवर्तन (जैसा कि वे लिखे गए हैं) एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल एक का परिणाम है। इस मामले में, मूल समीकरण की बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, इसलिए मूल समीकरण को हल करने में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है।

सूत्र 1-5 "दाएं से बाएं" के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरणों के परिवर्तन अस्वीकार्य हैं, क्योंकि मूल समीकरण के ODZ का न्याय करना संभव है, और इसलिए जड़ों का नुकसान।

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

जो मूल का परिणाम है। इस समीकरण का हल समीकरणों के समुच्चय को हल करने के लिए घटाया गया है .

इस सेट के पहले समीकरण से हम पाते हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> जहां से हम पाते हैं। इस प्रकार, की जड़ें यह समीकरण केवल संख्या ( -1) और (-2) हो सकता है सत्यापन से पता चलता है कि दोनों जड़ें इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

जवाब: -1,-2.

प्रश्न हल करें: ।

हल: सर्वसमिकाओं के आधार पर, पहले पद को से बदलें। ध्यान दें कि बाईं ओर दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में। मॉड्यूल को "निकालें" और, समान पदों को लाने के बाद, समीकरण को हल करें। चूंकि, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। चूंकि और , फिर https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" चौड़ाई="145" ऊंचाई="21 src=">

जवाब:एक्स = 4.25।

4 विधि। नए चर का परिचय

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक और उदाहरण वह तरीका है जिसमें नए चर पेश किए जाते हैं, जिसके संबंध में या तो एक सरल अपरिमेय समीकरण या एक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण को उसके परिणाम के साथ बदलकर (मूलों की बाद की जाँच के साथ) अपरिमेय समीकरणों का समाधान निम्नानुसार किया जा सकता है:

1. मूल समीकरण का ODZ ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण से इसके उपफल पर जाएँ।

3. परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

4. जाँच कीजिए कि प्राप्त मूल मूल समीकरण के मूल हैं या नहीं।

चेक इस प्रकार है:

ए) ओडीजेड के प्रत्येक पाए गए मूल के मूल समीकरण से संबंधित जाँच की जाती है। वे मूल जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।

बी) मूल समीकरण के ODZ में शामिल प्रत्येक मूल के लिए, यह जाँच की जाती है कि क्या प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक सम घात तक उठाए जाते हैं, उनमें समान चिह्न होते हैं। वे जड़ें जिनके लिए किसी भी समीकरण के भागों को सम घात तक बढ़ा दिया गया है, मूल समीकरण के लिए अलग-अलग चिह्न हैं।

सी) केवल वे मूल जो मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं और जिसके लिए प्रत्येक समीकरण के दोनों भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक समान घात तक समान होते हैं, को सीधे प्रतिस्थापन द्वारा जाँचा जाता है मूल समीकरण।

सत्यापन की संकेतित विधि के साथ इस तरह की एक समाधान विधि अंतिम समीकरण की प्रत्येक मिली जड़ों को मूल में सीधे प्रतिस्थापन के मामले में बोझिल गणनाओं से बचना संभव बनाती है।

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

.

इस समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों का सेट:

सेटिंग , प्रतिस्थापन के बाद हम समीकरण प्राप्त करते हैं

या इसके समकक्ष समीकरण

जिसे द्विघात समीकरण के रूप में देखा जा सकता है। इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

इसलिए, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान सेट निम्नलिखित दो समीकरणों के समाधान सेटों का मिलन है:

, .

इन समीकरणों में से प्रत्येक के दोनों पक्षों को घन करें, और हमें दो तर्कसंगत बीजीय समीकरण मिलते हैं:

, .

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल x = 2 है (कोई सत्यापन आवश्यक नहीं है, क्योंकि सभी परिवर्तन समान हैं)।

जवाब:एक्स = 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

2x2 + 5x - 2 = t को निरूपित करें। तब मूल समीकरण का रूप ले लेगा . परिणामी समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके और समान पदों को लाकर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो पिछले एक का परिणाम है। इससे हम पाते हैं टी = 16.

अज्ञात x पर लौटने पर, हमें समीकरण 2x2 + 5x - 2 = 16 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ें x1 \u003d 2 और x2 \u003d - 9/2 मूल समीकरण के मूल हैं।

जवाब: x1 = 2, x2 = -9/2।

5 विधि। पहचान समीकरण परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, किसी को समीकरण के दोनों हिस्सों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर एक समीकरण को हल करना शुरू नहीं करना चाहिए, एक तर्कसंगत बीजीय समीकरण को हल करने के लिए एक अपरिमेय समीकरण के समाधान को कम करने का प्रयास करना चाहिए। सबसे पहले, यह देखना आवश्यक है कि क्या समीकरण के कुछ समान परिवर्तन करना संभव है, जो इसके समाधान को काफी सरल बना सकता है।

प्रश्न हल करें:

इस समीकरण के लिए मान्य मानों का सेट: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> इस समीकरण को से विभाजित करें।

.

हम पाते हैं:

a = 0 के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं होगा; के लिए, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

इस समीकरण के लिए कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी के लिए एक्स, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के सेट से संबंधित, समीकरण के बाईं ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है;

जब समीकरण का हल होता है

यह ध्यान में रखते हुए कि समीकरण के स्वीकार्य समाधानों का सेट शर्त द्वारा निर्धारित किया जाता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

इस अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> समीकरण का हल होगा। अन्य सभी मानों के लिए एक्ससमीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 10:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

सिस्टम के द्विघात समीकरण का समाधान दो जड़ें देता है: x1 \u003d 1 और x2 \u003d 4. प्राप्त जड़ों में से पहला सिस्टम की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए x \u003d 4.

टिप्पणियाँ।

1) समान परिवर्तन करना हमें सत्यापन के बिना करने की अनुमति देता है।

2) असमानता x - 3 0 समान परिवर्तनों को संदर्भित करती है, न कि समीकरण के क्षेत्र को।

3) समीकरण के बाईं ओर एक घटता हुआ कार्य है, और इस समीकरण के दाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। परिभाषा के अपने डोमेन के चौराहे पर घटते और बढ़ते कार्यों के ग्राफ में एक से अधिक सामान्य बिंदु नहीं हो सकते हैं। जाहिर है, हमारे मामले में, x = 4 ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है।

जवाब:एक्स = 4.

6 विधि। समीकरणों को हल करते समय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का उपयोग करना

समीकरणों को हल करते समय यह विधि सबसे प्रभावी है जिसमें https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> शामिल हैं और इसकी क्षेत्र परिभाषाएं खोजें (एफ)..gif" चौड़ाई = "53" ऊंचाई = "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, तो आपको यह जांचना होगा कि अंतराल के अंत में समीकरण सही है या नहीं, इसके अलावा, यदि a< 0, а b >0, तो अंतराल पर जांचना जरूरी है (ए; 0)और . E(y) में सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।

जवाब: एक्स = 3.

8 विधि। अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अवकलज का अनुप्रयोग

अक्सर, व्युत्पन्न विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, अनुमान पद्धति का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 15:

समीकरण हल करें: (1)

समाधान: चूंकि https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, या (2)। फ़ंक्शन पर विचार करें ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> और इसलिए बढ़ रही है। इसलिए, समीकरण एक समीकरण के बराबर है जिसका मूल मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

उदाहरण 16:

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन एक खंड है। आइए अंतराल पर इस फ़ंक्शन के मान का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं एफ(एक्स): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" चौड़ाई = "37 ऊंचाई = 19" ऊंचाई = "19">। आइए फ़ंक्शन के मान खोजें एफ(एक्स)खंड के अंत में और बिंदु पर: तो, लेकिन, और, इसलिए, समानता केवल शर्त के तहत संभव है https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 "ऊंचाई="19 src=" > सत्यापन से पता चलता है कि संख्या 3 इस समीकरण का मूल है।

जवाब:एक्स = 3.

9 विधि। कार्यात्मक

परीक्षाओं में, वे कभी-कभी समीकरणों को हल करने की पेशकश करते हैं जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है, जहां एक निश्चित कार्य है।

उदाहरण के लिए, कुछ समीकरण: 1) 2) . दरअसल, पहले मामले में , दूसरे मामले में . इसलिए, निम्नलिखित कथन का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करें: यदि कोई फ़ंक्शन सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है एक्सऔर किसी के लिए, तो समीकरण, आदि, सेट पर बराबर होते हैं एक्स .

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है आर,और https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > जिसका एक अद्वितीय मूल है इसलिए, समतुल्य समीकरण (1) का भी एक अद्वितीय मूल है

जवाब:एक्स = 3.

उदाहरण 18:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: (1)

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं कि यदि समीकरण (1) की जड़ें हैं, तो वे सेट से संबंधित हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" ऊंचाई = "47" >.(2)

फ़ंक्शन पर विचार करें https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> किसी भी ..gif" width="100" के लिए इस सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है ऊंचाई = "41"> जिसका एक ही मूल है इसलिए, और सेट पर इसके बराबर एक्ससमीकरण (1) का एक ही मूल है

जवाब: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

हल: यह समीकरण मिश्रित प्रणाली के तुल्य है

वे समीकरण जिनमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक तर्कसंगत समीकरण के साथ एक अपरिमेय समीकरण (कुछ परिवर्तनों की मदद से) को बदलने की संभावना पर आधारित होते हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। इस मामले में, एक समीकरण प्राप्त होता है, जो मूल का परिणाम होता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) यदि मूल सूचकांक एक सम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; रूट का मान भी गैर-ऋणात्मक है (सम घातांक वाले रूट की परिभाषा);

2) यदि मूल सूचकांक एक विषम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है; इस मामले में, रूट का चिन्ह रूट एक्सप्रेशन के संकेत के समान है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 \u003d 1;
हम -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान पदों की कमी करते हैं।
एक्स 2 \u003d 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें, इसके लिए हम चर x के मानों को मूल समीकरण में बदल देंगे।
इंतिहान।
जब x 1 \u003d -2 - सत्य:
जब x 2 \u003d -2- सत्य।
यह इस प्रकार है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें .

इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह ही विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।

आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। वर्गमूल की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में दो शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए:

दिए गए समीकरण का ODZ: x.

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें =+ 2.

इस समीकरण में ODZ ज्ञात करना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
एक्स 1 = 1; x2=0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 \u003d 0 एक अतिरिक्त रूट है।
उत्तर: एक्स 1 \u003d 1।

उदाहरण 4समीकरण x = को हल कीजिए।

इस उदाहरण में, ODZ खोजना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;)।

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करें, परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 \u003d x + 1 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें:

मिली जड़ों की जांच करना मुश्किल है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी। पर इस मामले मेंएक अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर होता है:

एक्स+10 और X 0 और x 2 \u003d x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमेय समीकरण के लिए ऋणात्मक मूल बाह्य है और इसे अवश्य छोड़ देना चाहिए।

उदाहरण 5.समीकरण को हल करें +=7.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें और समान पदों की कमी करें, समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करें और दोनों भागों को 0.5 से गुणा करें। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें। हमें समीकरण (x + 5) (20 - x) = 144 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।

इस समीकरण (जो मूल एक का परिणाम भी है) की जड़ें x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 हैं। दोनों जड़ें, जैसा कि चेक से पता चलता है, मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

प्रतिनिधि एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.

टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर प्रकार (*) के समीकरणों में मूल भावों को गुणा करते हैं, अर्थात, समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं = 12. इससे त्रुटियां नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण समीकरणों के परिणाम हैं। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन गैर-समतुल्य समीकरण देता है।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, पहले किसी एक रेडिकल को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव था। तब समीकरण के बाईं ओर एक मूलांक रहेगा, और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, समीकरण के बाईं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। इस तकनीक (कट्टरपंथी का एकांत) का उपयोग अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें-=3

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
=+ 3, जो मूल के बराबर है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, जो समीकरण के बराबर है

4x - 5 = 3 (*)। यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम समीकरण पर पहुँचते हैं
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), या

7x2 - 13x - 2 = 0.

यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, और दूसरा x 2 =- नहीं।

उत्तर: एक्स = 2.

ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, किसी एक मूलांक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों भागों का वर्ग कर रहे हैं, तो हमें काफी बोझिल परिवर्तन करने होंगे।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, रेडिकल के अलगाव के अलावा, अन्य तरीकों का भी उपयोग किया जाता है। अज्ञात को बदलने की विधि का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें (एक सहायक चर को पेश करने की विधि)।