रूसी भाषाविद् दिमित्री निकोलाइविच उशाकोव ने अपने व्याख्यात्मक शब्दकोश में "विधि" की अवधारणा की ऐसी परिभाषा दी है - एक तरीका, एक विधि, सैद्धांतिक अनुसंधान की एक विधि या किसी चीज़ के व्यावहारिक कार्यान्वयन (डी। एन। उशाकोव, 2000)।

गणित में समस्याओं को हल करने की शिक्षण की कौन-सी विधियाँ हैं, जिन्हें हम वर्तमान में गैर-मानक मानते हैं? दुर्भाग्य से, इन कार्यों की विशिष्टता को देखते हुए, कोई भी सार्वभौमिक नुस्खा के साथ नहीं आया है। कुछ शिक्षक टेम्पलेट अभ्यास में प्रशिक्षण देते हैं। यह इस प्रकार होता है: शिक्षक हल करने का तरीका दिखाता है, और फिर छात्र कई बार समस्याओं को हल करते समय इसे दोहराता है। वहीं, छात्रों की गणित के प्रति रुचि की हत्या हो रही है, जो कम से कम दुखद है।

गणित में, ऐसे कोई सामान्य नियम नहीं हैं जो किसी भी गैर-मानक समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं, क्योंकि ऐसी समस्याएं कुछ हद तक अद्वितीय होती हैं। ज्यादातर मामलों में एक गैर-मानक कार्य को "बुद्धि के लिए चुनौती" के रूप में माना जाता है, और विकास में बाधाओं पर काबू पाने में स्वयं को महसूस करने की आवश्यकता को जन्म देता है। रचनात्मकता» .

गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों पर विचार करें:

• · बीजीय;
• · अंकगणित;
• गणना विधि;
• तर्क करने की विधि;
• व्यावहारिक;
• अनुमान लगाने की विधि।

बीजगणितीय विधिसमस्या समाधान रचनात्मक क्षमता विकसित करता है, सामान्यीकरण करने की क्षमता, अमूर्त सोच बनाता है और समीकरण बनाते समय लेखन और तर्क की संक्षिप्तता जैसे फायदे हैं, समय बचाता है।

बीजगणितीय विधि द्वारा समस्या को हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

• मुख्य अज्ञात का चयन करने और मात्राओं के बीच संबंध की पहचान करने के लिए समस्या का विश्लेषण करने के साथ-साथ दो बीजीय अभिव्यक्तियों के रूप में गणितीय भाषा में इन निर्भरताओं की अभिव्यक्ति;
• इन व्यंजकों को "=" चिह्न से जोड़ने का आधार ज्ञात कीजिए और एक समीकरण बनाइए;
• परिणामी समीकरण के हल ढूँढ़ें, समीकरण के हल की जाँच का आयोजन करें।

समस्या को हल करने के ये सभी चरण तार्किक रूप से परस्पर जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, हम दो बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को एक विशेष चरण के रूप में एक समान चिह्न के साथ जोड़ने के लिए एक आधार की खोज का उल्लेख करते हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि पिछले चरण में, इन अभिव्यक्तियों को मनमाने ढंग से नहीं बनाया गया है, लेकिन उन्हें जोड़ने की संभावना को ध्यान में रखते हुए "=" चिह्न के साथ।

मात्राओं के बीच निर्भरता की पहचान और इन निर्भरताओं के गणितीय भाषा में अनुवाद दोनों के लिए गहन विश्लेषणात्मक और सिंथेटिक मानसिक गतिविधि की आवश्यकता होती है। इस गतिविधि में सफलता, विशेष रूप से, इस बात पर निर्भर करती है कि क्या छात्र जानते हैं कि इन मात्राओं में सामान्य रूप से क्या संबंध हो सकते हैं, और क्या वे इन संबंधों के वास्तविक अर्थ को समझते हैं (उदाहरण के लिए, "बाद में ...", "शब्दों द्वारा व्यक्त संबंध" पुराने ... समय "आदि)। इसके अलावा, यह समझने की आवश्यकता है कि किस प्रकार की गणितीय क्रिया या, क्रिया की संपत्ति, या घटकों और क्रिया के परिणाम के बीच क्या संबंध (निर्भरता), इस या उस विशेष संबंध का वर्णन किया जा सकता है।

आइए हम बीजीय विधि द्वारा एक गैर-मानक समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

एक कार्य। मछुआरे ने एक मछली पकड़ी। जब पूछा गया: "इसका द्रव्यमान क्या है?", उन्होंने उत्तर दिया: "पूंछ का द्रव्यमान 1 किलो है, सिर का द्रव्यमान पूंछ के द्रव्यमान और शरीर के आधे हिस्से के समान है। और शरीर का द्रव्यमान सिर और पूंछ के द्रव्यमान के बराबर होता है। मछली का द्रव्यमान कितना होता है?

माना x kg पिण्ड का द्रव्यमान है; तब (1+1/2x) किग्रा सिर का द्रव्यमान है। चूंकि, शर्त के अनुसार, शरीर का द्रव्यमान सिर और पूंछ के द्रव्यमान के योग के बराबर होता है, हम समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:

एक्स = 1 + 1/2x + 1,

4 किलो शरीर का द्रव्यमान है, फिर 1+1/2 4=3 (किलो) सिर का द्रव्यमान है और 3+4+1=8 (किलो) पूरी मछली का द्रव्यमान है;

उत्तर : 8 किग्रा.

अंकगणित विधिसमाधान के लिए बहुत अधिक मानसिक तनाव की आवश्यकता होती है, जिसका मानसिक क्षमताओं के विकास पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है, गणितीय अंतर्ज्ञान, वास्तविक जीवन की स्थिति को देखने की क्षमता के निर्माण पर।

एक अंकगणितीय विधि द्वारा गैर-मानक समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें:

एक कार्य। दो मछुआरों से पूछा गया, "तुम्हारी टोकरियों में कितनी मछलियाँ हैं?"

"मेरी टोकरी में उसके पास टोकरी में आधा है, और 10 अधिक है," पहले ने उत्तर दिया। “और मेरी टोकरी में जितने उसके पास हैं उतने हैं, और 20 भी हैं,” दूसरे ने गणना की। हमने गिना, और अब तुम गिनते हो।

आइए समस्या के लिए एक आरेख बनाएं। मान लें कि आरेख का पहला खंड पहले मछुआरे के पास मछलियों की संख्या को दर्शाता है। दूसरा खंड दूसरे मछुआरे से मछलियों की संख्या को दर्शाता है।

इस तथ्य के कारण कि एक आधुनिक व्यक्ति को डेटा विश्लेषण और संभाव्य पैटर्न के मुख्य तरीकों का एक विचार होना चाहिए जो विज्ञान, प्रौद्योगिकी और अर्थशास्त्र में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व, संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़े पेश किए जाते हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में, जिसका उपयोग करके समझना सुविधाजनक है गणना विधि.

गणित के पाठ्यक्रम में संयोजक समस्याओं को शामिल करने से स्कूली बच्चों के विकास पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है। "जुझारू समस्याओं को हल करने के लिए लक्षित शिक्षा परिवर्तनशीलता के रूप में गणितीय सोच की ऐसी गुणवत्ता के विकास में योगदान करती है। सोच की परिवर्तनशीलता के तहत, हमारा मतलब है कि छात्र की मानसिक गतिविधि की दिशा उस मामले में समस्या के विभिन्न समाधानों की खोज करती है जब इसके लिए कोई विशेष निर्देश नहीं होते हैं।

संयुक्त समस्याओं को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है। परंपरागत रूप से, इन विधियों को "औपचारिक" और "अनौपचारिक" में विभाजित किया जा सकता है। "औपचारिक" समाधान पद्धति के साथ, आपको पसंद की प्रकृति का निर्धारण करने की आवश्यकता है, उपयुक्त सूत्र या संयोजन नियम का चयन करें (योग और उत्पाद नियम हैं), स्थानापन्न संख्याएं और परिणाम की गणना करें। परिणाम संभावित विकल्पों की संख्या है, लेकिन इस मामले में विकल्प स्वयं नहीं बनते हैं।

हल करने की "अनौपचारिक" पद्धति के साथ, विभिन्न विकल्पों को संकलित करने की प्रक्रिया सामने आती है। और मुख्य बात यह नहीं है कि कितना है, लेकिन क्या विकल्प प्राप्त किए जा सकते हैं। इस तरह के तरीकों में शामिल हैं गणना विधि।यह विधि युवा छात्रों के लिए भी उपलब्ध है, और आपको कॉम्बीनेटरियल समस्याओं के व्यावहारिक समाधान में अनुभव प्राप्त करने की अनुमति देती है, जो भविष्य में कॉम्बीनेटरियल सिद्धांतों और सूत्रों की शुरूआत के आधार के रूप में कार्य करती है। इसके अलावा, जीवन में एक व्यक्ति को न केवल संभावित विकल्पों की संख्या निर्धारित करनी होती है, बल्कि इन सभी विकल्पों की सीधे रचना भी करनी होती है, और व्यवस्थित गणना के तरीकों में महारत हासिल करने के बाद, यह अधिक तर्कसंगत रूप से किया जा सकता है।

गणना की जटिलता के अनुसार कार्यों को तीन समूहों में बांटा गया है:

• एक । कार्य जिसमें आपको सभी संभावित विकल्पों की पूरी गणना करने की आवश्यकता है।
• 2. ऐसे कार्य जिनमें पूर्ण गणना तकनीक का उपयोग करना अव्यावहारिक है और कुछ विकल्पों पर विचार किए बिना उन्हें तुरंत बाहर करना आवश्यक है (अर्थात संक्षिप्त गणना करना)।
• 3. ऐसे कार्य जिनमें गणन कार्य कई बार और विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के संबंध में किया जाता है।

कार्यों के प्रासंगिक उदाहरण यहां दिए गए हैं:

एक कार्य। दी गई संख्याओं 9 ... 2 ... 4 के बीच "+" और "-" चिह्न लगाकर सभी संभावित व्यंजक बनाएं।

विकल्पों की पूरी सूची है:

• क) व्यंजक में दो वर्ण समान हो सकते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
  • 9 + 2 + 4 या 9 - 2 - 4;
• बी) दो संकेत भिन्न हो सकते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:
  • 9 + 2 - 4 या 9 - 2 + 4।

एक कार्य। शिक्षक कहता है कि उसने एक पंक्ति में 4 आकृतियाँ बनाईं: बड़े और छोटे वर्ग, बड़े और छोटे वृत्त ताकि वृत्त पहले स्थान पर रहे और एक ही आकार के आंकड़े कंधे से कंधा मिलाकर खड़े न हों, और छात्रों को अनुमान लगाने के लिए आमंत्रित करते हैं। जिस क्रम में इन आकृतियों को व्यवस्थित किया गया है।

इन आंकड़ों की कुल मिलाकर 24 अलग-अलग व्यवस्थाएं हैं। और उन सभी की रचना करना उचित नहीं है, और फिर उन लोगों को चुनें जो इस स्थिति के अनुरूप हैं, इसलिए एक संक्षिप्त गणना की जाती है।

एक बड़ा वृत्त पहले स्थान पर हो सकता है, फिर एक छोटा केवल तीसरे स्थान पर हो सकता है, जबकि बड़े और छोटे वर्ग दो तरह से रखे जा सकते हैं - दूसरे और चौथे स्थान पर।

एक समान तर्क किया जाता है यदि पहला स्थान एक छोटा वृत्त है, और दो विकल्प भी संकलित हैं।

एक कार्य। एक ही फर्म के तीन साझेदार प्रतिभूतियों को 3 तालों वाली तिजोरी में रखते हैं। साथी ताले की चाबियां आपस में बांटना चाहते हैं ताकि तिजोरी कम से कम दो साथियों की मौजूदगी में ही खुल सके, लेकिन एक नहीं। मैं उसे कैसे कर सकता हूँ?

सबसे पहले, कुंजी वितरण के सभी संभावित मामलों की गणना की जाती है। प्रत्येक साथी को एक कुंजी, या दो अलग-अलग चाबियां, या तीन दी जा सकती हैं।

आइए मान लें कि प्रत्येक साथी के पास तीन अलग-अलग चाबियां हैं। फिर एक साथी द्वारा तिजोरी खोली जा सकती है, और यह शर्त पूरी नहीं करता है।

आइए मान लें कि प्रत्येक साथी के पास एक कुंजी है। फिर उनमें से दो आ भी गए तो तिजोरी नहीं खोल सकेंगे।

आइए प्रत्येक साथी को दो अलग-अलग चाबियां दें। पहली - 1 और 2 कुंजियाँ, दूसरी - 1 और 3 कुंजियाँ, तीसरी - 2 और 3 कुंजियाँ। देखते हैं कि कोई दो साथी कब तिजोरी खोल पाते हैं।

पहले और दूसरे साथी आ सकते हैं, उनके पास सारी चाबियां होंगी (1 और 2, 1 और 3)। पहले और तीसरे साथी आ सकते हैं, उनके पास भी सारी चाबियां होंगी (1 और 2, 2 और 3)। अंत में, दूसरा और तीसरा साथी आ सकता है, उनके पास सभी चाबियां भी होंगी (1 और 3, 2 और 3)।

इस प्रकार, इस समस्या का उत्तर खोजने के लिए, आपको कई बार पुनरावृत्ति संचालन करने की आवश्यकता है।

संयोजक समस्याओं का चयन करते समय, इन समस्याओं की प्रस्तुति के विषय और रूप पर ध्यान देना चाहिए। यह वांछनीय है कि कार्य कृत्रिम न दिखें, लेकिन बच्चों के लिए समझने योग्य और दिलचस्प हों, उनमें सकारात्मक भावनाएं पैदा करें। आप कार्यों को तैयार करने के लिए जीवन से व्यावहारिक सामग्री का उपयोग कर सकते हैं।

अन्य समस्याएं हैं जिन्हें गणना द्वारा हल किया जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए समस्या को हल करें: "मारकिस करबास 31 साल के थे, और बूट्स में उनका युवा ऊर्जावान पुस 3 साल का था, जब परियों की कहानी से ज्ञात घटनाएं हुईं। तब से कितने वर्ष बीत चुके हैं, यदि अब बिल्ली अपने मालिक से तीन गुना छोटी है? विकल्पों की गणना एक तालिका द्वारा दर्शायी जाती है।

Carabas के Marquis की आयु और जूते में खरहा

14 - 3 = 11 (वर्ष)

उत्तर 11 साल बीत चुके हैं।

उसी समय, छात्र, जैसा कि वह था, प्रयोग करता है, देखता है, तथ्यों की तुलना करता है और विशेष निष्कर्षों के आधार पर, कुछ सामान्य निष्कर्ष निकालता है। इन अवलोकनों की प्रक्रिया में, उनका वास्तविक-व्यावहारिक अनुभव समृद्ध होता है। यह गणना समस्याओं का व्यावहारिक मूल्य है। इस मामले में, "गणना" शब्द का उपयोग उन सभी संभावित मामलों का विश्लेषण करने के अर्थ में किया जाता है जो समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं, यह दिखाते हुए कि कोई अन्य समाधान नहीं हो सकता है।

इस समस्या को बीजगणितीय विधि से भी हल किया जा सकता है।

मान लीजिए बिल्ली x वर्ष की है, तो Marquis 3x है, समस्या की स्थिति के आधार पर, हम समीकरण की रचना करेंगे:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

बिल्ली अब 14 साल की हो गई है, फिर 14 - 3 = 11 (वर्ष) बीत गई।

उत्तर 11 साल बीत चुके हैं।

तर्क विधिगणितीय परिष्कार को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

परिष्कार में की गई गलतियाँ आमतौर पर निम्नलिखित पर आती हैं: "निषिद्ध" क्रियाएं करना, गलत चित्र का उपयोग करना, गलत शब्द उपयोग, गलत फॉर्मूलेशन, "अवैध" सामान्यीकरण, प्रमेयों का गलत अनुप्रयोग।

परिष्कार प्रकट करने का अर्थ है तर्क में त्रुटि को इंगित करना, जिसके आधार पर प्रमाण का बाहरी स्वरूप बनाया गया था।

परिष्कार का विश्लेषण, सबसे पहले, तार्किक सोच विकसित करता है, सही सोच के कौशल को पैदा करता है। परिष्कार में एक त्रुटि का पता लगाने का अर्थ है इसे पहचानना, और एक त्रुटि की जागरूकता इसे अन्य गणितीय तर्कों में दोहराए जाने से रोकती है। गणितीय सोच की आलोचनात्मकता के अलावा, इस प्रकार के गैर-मानक कार्यों से सोच के लचीलेपन का पता चलता है। क्या छात्र इस पथ के "बंधन से बाहर निकलने" में सक्षम होगा, जो पहली नज़र में सख्ती से तार्किक है, गलत लिंक पर अनुमानों की श्रृंखला को तोड़ने के लिए और आगे के सभी तर्कों को गलत बनाता है?

परिष्कार का विश्लेषण भी अध्ययन की जा रही सामग्री के सचेत आत्मसात करने में मदद करता है, अवलोकन विकसित करता है और जो अध्ययन किया जा रहा है उसके प्रति एक महत्वपूर्ण दृष्टिकोण विकसित करता है।

a) यहाँ, उदाहरण के लिए, प्रमेय के गलत अनुप्रयोग के साथ एक परिष्कार है।

आइए हम सिद्ध करें कि 2 2 = 5।

आइए निम्नलिखित स्पष्ट समानता को प्रारंभिक अनुपात के रूप में लें: 4: 4 = 5: 5 (1)

हम कोष्ठक से बाएँ और दाएँ भागों में सामान्य गुणनखंड निकालते हैं, हमें मिलता है:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

कोष्ठक में संख्याएँ समान हैं, इसलिए 4 = 5 या 2 2 = 5।

तर्क में, समानता (1) से समानता (2) में जाने पर, योग के संबंध में गुणन की वितरण संपत्ति के साथ एक झूठी सादृश्यता के आधार पर संभावना का भ्रम पैदा होता है।

बी) "अवैध" सामान्यीकरण का उपयोग करते हुए परिष्कार।

दो परिवार हैं - इवानोव्स और पेट्रोव्स। प्रत्येक में 3 लोग होते हैं - पिता, माता और पुत्र। इवानोव के पिता पेट्रोव के पिता को नहीं जानते हैं। इवानोव की माँ पेट्रोवा की माँ को नहीं जानती। इवानोव्स का इकलौता बेटा पेट्रोव्स के इकलौते बेटे को नहीं जानता। निष्कर्ष: इवानोव परिवार का एक भी सदस्य पेट्रोव परिवार के एक भी सदस्य को नहीं जानता है। क्या ये सच है?

यदि इवानोव परिवार का कोई सदस्य पेट्रोव परिवार के सदस्य को वैवाहिक स्थिति के बराबर नहीं जानता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि वह पूरे परिवार को नहीं जानता है। उदाहरण के लिए, इवानोव के पिता पेट्रोव की मां और बेटे को जान सकते हैं।

तार्किक समस्याओं को हल करने के लिए तर्क विधि का भी उपयोग किया जा सकता है। तार्किक कार्यों को आमतौर पर उन कार्यों के रूप में समझा जाता है जिन्हें केवल तार्किक संचालन का उपयोग करके हल किया जाता है। कभी-कभी उनके समाधान के लिए लंबे तर्क की आवश्यकता होती है, जिसकी आवश्यक दिशा पहले से नहीं देखी जा सकती है।

एक कार्य। वे कहते हैं कि टॉर्टिला ने पिनोचियो को सोने की चाबी दी थी, जैसा कि ए एन टॉल्स्टॉय ने नहीं कहा था, बल्कि पूरी तरह से अलग तरीके से दिया था। उसने तीन बक्से निकाले: लाल, नीला और हरा। लाल बॉक्स पर लिखा था: "यहाँ एक सुनहरी कुंजी है", और नीले रंग पर - "हरा बॉक्स खाली है", और हरे पर - "यहाँ एक साँप बैठता है"। तोर्टिला ने शिलालेखों को पढ़ा और कहा: "वास्तव में, एक बॉक्स में एक सुनहरी चाबी है, दूसरे में एक सांप है, और तीसरा खाली है, लेकिन सभी शिलालेख गलत हैं। यदि आप अनुमान लगाते हैं कि किस बॉक्स में सुनहरी कुंजी है, तो यह आपकी है।" सुनहरी चाबी कहाँ है?

चूँकि बक्सों पर सभी शिलालेख गलत हैं, तो लाल डिब्बे में सोने की चाबी नहीं है, हरे रंग का डिब्बा खाली नहीं है और उसमें साँप नहीं है, जिसका अर्थ है कि चाबी हरे बक्से में है, साँप अंदर है लाल वाला और नीला वाला खाली है।

तार्किक समस्याओं को हल करते समय, तार्किक सोच सक्रिय होती है, और यह परिसर से परिणामों को निकालने की क्षमता है, जो गणित की सफल महारत के लिए आवश्यक है।

एक रिबस एक पहेली है, लेकिन एक पहेली बिल्कुल सामान्य नहीं है। गणितीय पहेलियों में शब्दों और संख्याओं को चित्र, तारांकन, संख्याओं और विभिन्न संकेतों का उपयोग करके दर्शाया गया है। रीबस में जो एन्क्रिप्ट किया गया है उसे पढ़ने के लिए, आपको चित्रित सभी वस्तुओं को सही ढंग से नाम देना चाहिए और समझना चाहिए कि कौन सा संकेत दर्शाता है। लोग पहेलियों का इस्तेमाल तब भी करते थे जब वे लिख नहीं पाते थे। उन्होंने वस्तुओं से अपने पत्रों की रचना की। उदाहरण के लिए, एक जनजाति के नेताओं ने एक बार अपने पड़ोसियों को एक पत्र के बजाय एक पक्षी, एक चूहा, एक मेंढक और पांच तीर भेजे। इसका मतलब था: “क्या तुम पक्षियों की तरह उड़ सकते हो और चूहों की तरह जमीन में छिप सकते हो, मेंढकों की तरह दलदल में कूद सकते हो? यदि आप नहीं जानते कि कैसे, तो हमसे लड़ने की कोशिश न करें। हमारे देश में प्रवेश करते ही हम आप पर तीरों से वार करेंगे।

योग 1 के पहले अक्षर को देखते हुए), डी = 1 या 2।

मान लीजिए कि डी = 1. फिर, वाई? 5. वाई \u003d 5 को बाहर रखा गया है, क्योंकि पी 0 के बराबर नहीं हो सकता। वाई? 6, क्योंकि 6 + 6 = 12, अर्थात्। P = 2. लेकिन P का ऐसा मान आगे सत्यापन के लिए उपयुक्त नहीं है। इसी तरह, यू? 7.

मान लीजिए वाई = 8. फिर, पी = 6, ए = 2, के = 5, डी = 1।

एक जादू (जादू) वर्ग एक वर्ग है जिसमें लंबवत, क्षैतिज और तिरछे संख्याओं का योग समान होता है।

एक कार्य। संख्याओं को 1 से 9 तक व्यवस्थित करें ताकि लंबवत, क्षैतिज और तिरछे आपको समान संख्याओं का योग प्राप्त हो, जो 15 के बराबर हो।

यद्यपि गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं हैं (यही कारण है कि इन समस्याओं को गैर-मानक कहा जाता है), हमने कई सामान्य दिशानिर्देश देने की कोशिश की है - सिफारिशें जिनका पालन विभिन्न प्रकार की गैर-मानक समस्याओं को हल करते समय किया जाना चाहिए। .

प्रत्येक गैर-मानक कार्य इसके समाधान में मूल और अद्वितीय है। इस संबंध में, गैर-मानक कार्यों को हल करते समय खोज गतिविधि सिखाने के लिए विकसित पद्धति गैर-मानक कार्यों को हल करने के लिए कौशल नहीं बनाती है, हम केवल कुछ कौशल विकसित करने के बारे में बात कर सकते हैं:

• कार्य को समझने की क्षमता, मुख्य (सहायक) शब्दों को उजागर करना;
• समस्या में ज्ञात और अज्ञात स्थिति और प्रश्न की पहचान करने की क्षमता;
• डेटा और वांछित के बीच संबंध खोजने की क्षमता, अर्थात समस्या के पाठ का विश्लेषण करना, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-मानक समस्या को हल करने के लिए अंकगणितीय ऑपरेशन या तार्किक ऑपरेशन का विकल्प है;
• समाधान की प्रगति और समस्या के उत्तर को रिकॉर्ड करने की क्षमता;
• · कार्य पर अतिरिक्त कार्य करने की क्षमता;
• समस्या में निहित उपयोगी जानकारी का चयन करने की क्षमता, इसे हल करने की प्रक्रिया में, इस जानकारी को व्यवस्थित करने के लिए, इसे मौजूदा ज्ञान के साथ सहसंबंधित करना।

गैर-मानक कार्यों में स्थानिक सोच विकसित होती है, जो मन में वस्तुओं की स्थानिक छवियों को फिर से बनाने और उन पर संचालन करने की क्षमता में व्यक्त की जाती है। समस्याओं को हल करते समय स्थानिक सोच प्रकट होती है जैसे: "एक गोल केक के किनारे के ऊपर, क्रीम के 5 बिंदु एक दूसरे से समान दूरी पर रखे गए थे। अंक के सभी जोड़े के माध्यम से कटौती की गई। आपको केक के कुल कितने टुकड़े मिले?

व्यावहारिक तरीकागैर-मानक विभाजन समस्याओं के लिए विचार किया जा सकता है।

एक कार्य। छड़ी को 6 टुकड़ों में काटने की जरूरत है। कितनी कटौती करनी पड़ेगी?

समाधान: कट्स के लिए 5 की आवश्यकता होगी।

गैर-मानक विभाजन समस्याओं का अध्ययन करते समय, आपको यह समझने की आवश्यकता है: एक खंड को P भागों में काटने के लिए, आपको एक (P-1) कट बनाना चाहिए। इस तथ्य को बच्चों के साथ अनिवार्य रूप से स्थापित किया जाना चाहिए, और फिर समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाना चाहिए।

एक कार्य। तीन-मीटर बार में - 300 सेमी। इसे 50 सेमी लंबे प्रत्येक बार में काटा जाना चाहिए। आपको कितने कटौती करने की आवश्यकता है?

हल: हमें 6 बार मिलते हैं 300: 50 = 6 (बार)

हम इस प्रकार तर्क देते हैं: बार को आधे में विभाजित करने के लिए, यानी दो भागों में, आपको 1 कट बनाने की जरूरत है, 3 भागों में - 2 कट, और इसी तरह, 6 भागों में - 5 कट।

तो, आपको 6 - 1 = 5 (कटौती) करने की आवश्यकता है।

उत्तर: 5 कट।

इसलिए, छात्रों को अध्ययन के लिए प्रोत्साहित करने का एक मुख्य उद्देश्य विषय में रुचि है। रुचि किसी व्यक्ति की किसी विशेष वस्तु, घटना और गतिविधि के लिए एक सक्रिय संज्ञानात्मक अभिविन्यास है, जो उनके प्रति सकारात्मक भावनात्मक दृष्टिकोण के साथ बनाई गई है। गणित में रुचि विकसित करने का एक साधन गैर-मानक कार्य है। एक गैर-मानक कार्य को ऐसे कार्यों के रूप में समझा जाता है जिनके लिए गणित के पाठ्यक्रम में कोई सामान्य नियम और विनियम नहीं होते हैं जो उनके समाधान के लिए सटीक कार्यक्रम निर्धारित करते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने से छात्र सक्रिय रूप से सीखने की गतिविधियों में संलग्न हो सकते हैं। समस्याओं और उनके समाधान के तरीकों के विभिन्न वर्गीकरण हैं। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले बीजगणितीय, अंकगणित, व्यावहारिक तरीके और गणना, तर्क और अनुमान हैं।

लक्ष्य गणित में प्रयुक्त सैद्धांतिक नींव की गहरी समझ के माध्यम से छात्रों को गैर-मानक समीकरणों और असमानताओं को हल करना सिखाना है।

सीखने की प्रक्रिया में हल किए गए कार्य:

• छात्रों की गैर-मानक सोच विकसित करना;
• गणितीय मॉडल बनाने की क्षमता बनाने के लिए;
• परीक्षा की तैयारी में परीक्षा उत्तीर्ण करने का कौशल विकसित करना (बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं को हल करना);
• गणित में रुचि बढ़ाना;
• समस्याओं को हल करते समय छात्रों में आत्मविश्वास जगाएं

1. संगठनात्मक क्षण। पाठ के लिए लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना। सफल होने के लिए परिस्थितियों का निर्माण संयुक्त गतिविधियाँ(पाठ में कार्य का मूल्यांकन स्कोरिंग सिस्टम द्वारा किया जाता है, एक इलेक्ट्रॉनिक जर्नल रखा जाता है)।

2. गृहकार्य की जाँच करना (पाठ के लिए इलेक्ट्रॉनिक जर्नल)। छात्र स्क्रीन पर Microsoft Office Word दस्तावेज़ (शिक्षक द्वारा तैयार समाधान) में होमवर्क की जाँच करते हैं (अपने समाधानों की तुलना तैयार समाधानों से करें, जोड़ियों में काम करें)।

गृहकार्य

समीकरणों को हल करें:

समाधान।

समाधान। आइए इस समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:

3.

समाधान।

समीकरण का मूल शर्त को संतुष्ट नहीं करता है।

3. छात्रों का मौखिक सर्वेक्षण। स्कोर कार्ड पर पारस्परिक जाँच और स्कोरिंग; पाठ के दौरान, परिणाम एक इलेक्ट्रॉनिक जर्नल में दर्ज किए जाते हैं

1. फॉर्म के समीकरण कैसे हल होते हैं?

2. फॉर्म के समीकरण कैसे होते हैं ?

3. विभिन्न आधारों वाले लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

4. समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें रूप का एक कार्य प्रकट होता है?

4. समस्या कार्य (समूहों में कार्य), कार्य प्रत्येक डेस्क पर कागज की लाल चादरों पर होता है। छात्र अपनी नोटबुक में पाठ की तारीख और विषय लिख देते हैं और समस्या को हल करना शुरू कर देते हैं।

1. समीकरण हल करें

पहले से ही इस स्तर पर यह स्पष्ट है कि समाधान बहुत बोझिल होगा। एक समस्या उत्पन्न हुई - इस समीकरण को और अधिक हल करने के लिए या इसे हल करने का कोई अन्य तरीका खोजने के लिए?

इसलिये सभी के लिए लघुगणकीय व्यंजक एक्स 1 से बड़ा, तो प्रत्येक लघुगणक एक धनात्मक संख्या या 0 के बराबर होता है।

योग के 0 के बराबर होने के लिए, शून्य या विपरीत संख्याओं को जोड़ना आवश्यक है, इसलिए प्रत्येक लघुगणक केवल शून्य के बराबर मान ले सकता है, अर्थात:

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल किया जा सकता है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए: समीकरण को हल करें:।

समीकरण का बायां पक्ष एक नीरस रूप से घटते फलन है, और दायां पक्ष स्थिर है, इसलिए समीकरण का एक ही मूल है एक्स = 1(आसान चुनना)।

5. एक नया विषय सीखना। परीक्षा में आने वाले अधिकांश समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा में, गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त है, लेकिन साथ ही साथ उन्हें न केवल मानक तकनीकों का उपयोग करके हल करने में सक्षम होना आवश्यक है। , लेकिन "गैर-मानक तकनीकों और विधियों" का भी उपयोग करना। यहां हम अगले पांच पाठों में आपके साथ हैं और हम ऐसी विधियों और तकनीकों पर काम करेंगे।

आप पहले से ही जानते हैं कि कुछ समीकरणों को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कैसे किया जाता है। आज हम पहले ही जान चुके हैं कि समीकरणों को हल करते समय आप फलनों के गुणधर्मों को लागू कर सकते हैं।

अब मैं प्रतिबंधित संपत्ति का आवेदन दिखाना चाहता हूं।

1. प्रमेय 1. यदि और , तो समीकरण

प्रश्न हल करें

आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:

चूँकि तथा , इसलिए, यह समीकरण निकाय के तुल्य है:

2. मूल्यांकन विधि

अक्सर एक संकेत है कि अनुमान की विधि को लागू किया जाना चाहिए समीकरण में एक अलग प्रकृति के कार्यों की उपस्थिति है।

प्रश्न हल करें

समानता हासिल की जाती है अगर

पाए गए x मानों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

-सिस्टम का समाधान।

3. गैर-मानक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए एकरसता पद्धति का उपयोग करना

यदि y=f(x) एक मोनोटोनिक फलन है, तो समीकरण f(x) = c का अधिकतम एक मूल है

मान लें कि अंतराल M पर फलन y=f(x) बढ़ता है, और इस अंतराल पर फलन y=g(x) घटता है। तब समीकरण f(x)=g(x) का अंतराल M पर अधिकतम एक मूल होता है।

मान लें कि फलन f(t) का प्रांत अंतराल M है, और इस फलन को इस अंतराल पर निरंतर और सख्ती से मोनोटोनिक (यानी वृद्धि या कमी) होने दें। तब समीकरण प्रणाली के बराबर है:

फॉर्म के समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित प्रमेय उपयोगी होता है: यदि

एक नीरस रूप से बढ़ते (घटते) फ़ंक्शन, समीकरण और समतुल्य हैं।

प्रश्न हल करें:

समाधान। - बढ़ते कार्य (दो बढ़ते कार्यों के योग के रूप में)।

समीकरण का दाहिना भाग एक अचर संख्या है। मूल प्रमेय के आधार पर, समीकरण का अधिक से अधिक एक हल होता है। जाहिर है, =2 एक जड़ है।

उत्तर = 2.

4. समीकरणों और असमानताओं को हल करने में फलनों की परिभाषा के क्षेत्र का उपयोग करना

एक विधि पर विचार किया जाता है, जब किसी समीकरण या असमानता पर विचार करते समय, यह पता चलता है कि इसके दोनों भाग एक निश्चित सेट पर परिभाषित होते हैं जिसमें एक या अधिक संख्याएं होती हैं।

समीकरणों और असमानताओं को हल करने में यह विधि सबसे प्रभावी है, जिसमें कार्य शामिल हैं वाई =; वाई =; वाई =; वाई =।

समीकरण या असमानता को हल करते समय, सभी पदों को बाईं ओर ले जाएं और फ़ंक्शन पर विचार करें एफ (एक्स). इसकी परिभाषा का डोमेन खोजें डी (एफ). जिसमें:

एक)। यदि एक डी (एफ) = ,तब समीकरण या असमानता का कोई हल नहीं है।

2))। यदि एक डी (एफ) \u003d (ए 1; ए 2; ए 3 ..... ए एन),तो दिए गए समीकरण और असमानता के वास्तविक समाधान संख्याओं में से हैं एक 1 ; एक 2 ; एक 3 .....एक एन।अब हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि दी गई संख्याओं में से कौन-सी संख्या समीकरण या असमानता का हल है।

3))। यदि एक डी (एफ) = [ए; में],तो आपको यह जांचना होगा कि अंतराल के अंत में और प्रत्येक अंतराल में समीकरण या असमानता सत्य है या नहीं, इसके अलावा, यदि एक< 0 , एक ग > 0, तो अंतराल पर जांचना आवश्यक है (ए; 0) और)