यह संभावना नहीं है कि हमारे संपादकीय बोर्ड के जीवन का कम से कम एक वर्ष फ़र्मेट के प्रमेय के एक दर्जन प्रमाण प्राप्त किए बिना बीता हो। अब, इस पर "विजय" के बाद, प्रवाह कम हो गया है, लेकिन सूखा नहीं है।

बेशक, इसे पूरी तरह सुखाने के लिए नहीं, हम यह लेख प्रकाशित करते हैं। और अपने बचाव में नहीं - वे कहते हैं, इसीलिए हम चुप रहे, हम स्वयं अभी तक ऐसी जटिल समस्याओं पर चर्चा करने के लिए परिपक्व नहीं हुए हैं।

लेकिन अगर लेख वास्तव में जटिल लगता है, तो तुरंत उसका अंत देखें। आपको महसूस करना होगा कि जुनून अस्थायी रूप से शांत हो गया है, विज्ञान खत्म नहीं हुआ है, और जल्द ही नए प्रमेयों के नए प्रमाण संपादकों को भेजे जाएंगे।

ऐसा लगता है कि 20वीं सदी व्यर्थ नहीं थी। सबसे पहले, लोगों ने हाइड्रोजन बम विस्फोट करके एक क्षण के लिए दूसरा सूर्य बनाया। फिर वे चंद्रमा पर चले और अंततः कुख्यात फ़र्मेट प्रमेय को सिद्ध किया। इन तीन चमत्कारों में से पहले दो चमत्कार हर किसी की जुबान पर हैं, क्योंकि उनके बहुत बड़े सामाजिक परिणाम हुए हैं। इसके विपरीत, तीसरा चमत्कार एक और वैज्ञानिक खिलौने जैसा दिखता है - सापेक्षता के सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी और अंकगणित की अपूर्णता पर गोडेल के प्रमेय के बराबर। हालाँकि, सापेक्षता और क्वांटा ने भौतिकविदों को हाइड्रोजन बम तक पहुँचाया, और गणितज्ञों के शोध ने हमारी दुनिया को कंप्यूटर से भर दिया। क्या चमत्कारों का यह सिलसिला 21वीं सदी में भी जारी रहेगा? क्या अगले वैज्ञानिक खिलौनों और हमारे रोजमर्रा के जीवन में होने वाली क्रांतियों के बीच संबंध का पता लगाना संभव है? क्या यह कनेक्शन हमें सफल भविष्यवाणियाँ करने की अनुमति देता है? आइए फ़र्मेट के प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके इसे समझने का प्रयास करें।

आइए शुरुआत के लिए ध्यान दें कि वह अपने प्राकृतिक कार्यकाल की तुलना में बहुत बाद में पैदा हुई थी। आख़िरकार, फ़र्मेट के प्रमेय का पहला विशेष मामला पायथागॉरियन समीकरण X 2 + Y 2 = Z 2 है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है। पच्चीस शताब्दी पहले इस सूत्र को सिद्ध करने के बाद, पाइथागोरस ने तुरंत खुद से सवाल पूछा: क्या प्रकृति में ऐसे कई त्रिकोण हैं जिनमें दोनों पैरों और कर्ण की लंबाई पूर्णांक होती है? ऐसा लगता है कि मिस्रवासी केवल एक ही ऐसे त्रिभुज को जानते थे - जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हों। लेकिन अन्य विकल्प ढूंढना मुश्किल नहीं है: उदाहरण के लिए (5, 12, 13) , (7, 24, 25) या (8, 15, 17) । इन सभी मामलों में, कर्ण की लंबाई का रूप (ए 2 + बी 2) होता है, जहां ए और बी अलग-अलग समता की सहअभाज्य संख्याएं हैं। इस मामले में, पैरों की लंबाई (ए 2 - बी 2) और 2एबी के बराबर है।

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए, पाइथागोरस ने आसानी से साबित कर दिया कि संख्याओं का कोई भी त्रिक (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) समीकरण X 2 + Y 2 \u003d Z का एक समाधान है 2 और परस्पर सरल भुजाओं की लंबाई वाला एक आयत सेट करें। यह भी देखा गया है कि इस प्रकार के विभिन्न त्रिकों की संख्या अनंत है। लेकिन क्या पाइथागोरस समीकरण के सभी समाधानों का यह रूप होता है? पाइथागोरस ऐसी परिकल्पना को सिद्ध या अस्वीकृत करने में असमर्थ था और उसने इस समस्या पर ध्यान आकर्षित किए बिना भावी पीढ़ियों के लिए इसे छोड़ दिया। कौन अपनी असफलताओं को उजागर करना चाहता है? ऐसा लगता है कि इसके बाद अभिन्न समकोण त्रिभुजों की समस्या सात शताब्दियों तक गुमनामी में पड़ी रही - जब तक कि डायोफैंटस नामक एक नई गणितीय प्रतिभा अलेक्जेंड्रिया में प्रकट नहीं हुई।

हम उसके बारे में बहुत कम जानते हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि वह पाइथागोरस जैसा कुछ नहीं था। वह ज्यामिति और उससे भी आगे - चाहे संगीत, खगोल विज्ञान या राजनीति में एक राजा की तरह महसूस करते थे। एक सामंजस्यपूर्ण वीणा के किनारों की लंबाई के बीच पहला अंकगणितीय संबंध, केंद्र में पृथ्वी के साथ ग्रहों और सितारों को ले जाने वाले संकेंद्रित क्षेत्रों से ब्रह्मांड का पहला मॉडल, और अंत में, इतालवी शहर क्रोटोन में वैज्ञानिकों का पहला गणतंत्र - ये पाइथागोरस की व्यक्तिगत उपलब्धियाँ हैं। डायोफैंटस ऐसी सफलताओं का क्या विरोध कर सकता था - महान संग्रहालय का एक मामूली शोधकर्ता, जो लंबे समय से शहर की भीड़ का गौरव नहीं रह गया है?

केवल एक चीज़: संख्याओं की प्राचीन दुनिया की बेहतर समझ, जिसके नियमों को पाइथागोरस, यूक्लिड और आर्किमिडीज़ के पास महसूस करने के लिए मुश्किल से ही समय था। ध्यान दें कि डायोफैंटस को अभी तक बड़ी संख्याएँ लिखने की स्थितीय प्रणाली में महारत हासिल नहीं थी, लेकिन वह जानता था कि नकारात्मक संख्याएँ क्या होती हैं और शायद उसने कई घंटे यह सोचने में बिताए कि दो नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल सकारात्मक क्यों है। पूर्णांकों की दुनिया सबसे पहले डायोफैंटस के सामने एक विशेष ब्रह्मांड के रूप में प्रकट हुई थी, जो सितारों, खंडों या पॉलीहेड्रा की दुनिया से अलग थी। इस दुनिया में वैज्ञानिकों का मुख्य व्यवसाय समीकरणों को हल करना है, एक सच्चा गुरु सभी संभावित समाधान ढूंढता है और साबित करता है कि कोई अन्य समाधान नहीं है। डायोफैंटस ने द्विघात पायथागॉरियन समीकरण के साथ यही किया, और फिर उसने सोचा: क्या कम से कम एक समाधान में समान घन समीकरण X 3 + Y 3 = Z 3 है?

डायोफैंटस ऐसा कोई समाधान खोजने में विफल रहा; यह साबित करने का उसका प्रयास भी असफल रहा कि कोई समाधान नहीं है। इसलिए, "अरिथमेटिक" (यह संख्या सिद्धांत पर दुनिया की पहली पाठ्यपुस्तक थी) पुस्तक में अपने काम के परिणामों को चित्रित करते हुए, डायोफैंटस ने पाइथागोरस समीकरण का विस्तार से विश्लेषण किया, लेकिन इस समीकरण के संभावित सामान्यीकरण के बारे में एक शब्द भी संकेत नहीं दिया। लेकिन वह ऐसा कर सकता था: आख़िरकार, यह डायोफैंटस ही था जिसने सबसे पहले पूर्णांकों की घातों के लिए संकेतन प्रस्तावित किया था! लेकिन अफसोस: "टास्क बुक" की अवधारणा हेलेनिक विज्ञान और शिक्षाशास्त्र के लिए अलग थी, और अनसुलझी समस्याओं की सूची प्रकाशित करना एक अशोभनीय व्यवसाय माना जाता था (केवल सुकरात ने अलग तरीके से कार्य किया)। यदि आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते - चुप रहो! डायोफैंटस चुप हो गया, और यह चुप्पी चौदह शताब्दियों तक चली - नए युग की शुरुआत तक, जब मानव सोच की प्रक्रिया में रुचि पुनर्जीवित हुई।

16वीं-17वीं शताब्दी के मोड़ पर किसने किसी चीज़ के बारे में कल्पना नहीं की थी! अथक कैलकुलेटर केपलर ने सूर्य से ग्रहों की दूरी के बीच संबंध का अनुमान लगाने की कोशिश की। पाइथागोरस असफल रहा. केप्लर को सफलता तब मिली जब उन्होंने बहुपदों और अन्य सरल कार्यों को एकीकृत करना सीख लिया। इसके विपरीत, सपने देखने वाले डेसकार्टेस को लंबी गणनाएं पसंद नहीं थीं, लेकिन यह वह था जिसने सबसे पहले विमान या अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं को संख्याओं के सेट के रूप में प्रस्तुत किया था। यह साहसी मॉडल आंकड़ों के बारे में किसी भी ज्यामितीय समस्या को समीकरणों के बारे में कुछ बीजगणितीय समस्या में बदल देता है - और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस समीकरण के पूर्णांक समाधान एक शंकु की सतह पर पूर्णांक बिंदुओं के अनुरूप होते हैं। घन समीकरण

1636 में, डायोफैंटस की एक किताब, जिसका ग्रीक मूल से लैटिन में अनुवाद किया गया था, टूलूज़ के एक युवा वकील के हाथ लग गई, गलती से कुछ बीजान्टिन संग्रह में बच गई और तुर्की के समय रोमन भगोड़ों में से एक द्वारा इटली ले जाया गया। नष्ट करना। पाइथागोरस समीकरण की एक सुंदर चर्चा को पढ़ते हुए, फ़र्मेट ने सोचा: क्या ऐसा समाधान खोजना संभव है, जिसमें तीन वर्ग संख्याएँ हों? इस प्रकार की कोई छोटी संख्या नहीं होती: गणना द्वारा इसे सत्यापित करना आसान है। बड़े फैसलों का क्या हुआ? कंप्यूटर के बिना, फ़र्मेट कोई संख्यात्मक प्रयोग नहीं कर सकता था। लेकिन उन्होंने देखा कि समीकरण X 4 + Y 4 = Z 4 के प्रत्येक "बड़े" समाधान के लिए, कोई छोटा समाधान बना सकता है। अतः दो पूर्णांकों की चौथी घात का योग कभी भी तीसरी संख्या की समान घात के बराबर नहीं होता! दो घनों के योग के बारे में क्या?

डिग्री 4 की सफलता से प्रेरित होकर, फ़र्मेट ने डिग्री 3 के लिए "वंश की विधि" को संशोधित करने का प्रयास किया - और सफल हुआ। यह पता चला कि उन एकल घनों से दो छोटे घनों की रचना करना असंभव था, जिनमें एक किनारे की पूर्णांक लंबाई वाला एक बड़ा घन टूटकर गिर गया था। विजयी फ़र्मेट ने डायोफैंटस की पुस्तक के हाशिये पर एक संक्षिप्त टिप्पणी लिखी और अपनी खोज की विस्तृत रिपोर्ट के साथ पेरिस को एक पत्र भेजा। लेकिन उन्हें कोई उत्तर नहीं मिला - हालाँकि आमतौर पर राजधानी के गणितज्ञों ने टूलूज़ में अपने अकेले सहयोगी-प्रतिद्वंद्वी की अगली सफलता पर तुरंत प्रतिक्रिया व्यक्त की। यहाँ क्या मामला है?

बिल्कुल सरलता से: 17वीं शताब्दी के मध्य तक, अंकगणित फैशन से बाहर हो गया था। 16वीं शताब्दी के इतालवी बीजगणितज्ञों की महान सफलताएँ (जब डिग्री 3 और 4 के बहुपद समीकरण हल किए गए थे) एक सामान्य वैज्ञानिक क्रांति की शुरुआत नहीं बन पाई, क्योंकि उन्होंने विज्ञान के निकटवर्ती क्षेत्रों में नई उज्ज्वल समस्याओं को हल करने की अनुमति नहीं दी। अब, यदि केप्लर शुद्ध अंकगणित का उपयोग करके ग्रहों की कक्षाओं का अनुमान लगा सकता है... लेकिन अफसोस, इसके लिए गणितीय विश्लेषण की आवश्यकता थी। इसका मतलब यह है कि इसे विकसित किया जाना चाहिए - प्राकृतिक विज्ञान में गणितीय तरीकों की पूर्ण विजय तक! लेकिन विश्लेषण ज्यामिति से विकसित होता है, जबकि अंकगणित निष्क्रिय वकीलों और संख्याओं और आंकड़ों के शाश्वत विज्ञान के अन्य प्रेमियों के लिए खेल का क्षेत्र बना हुआ है।

इसलिए, फ़र्मेट की अंकगणितीय सफलताएँ असामयिक निकलीं और अप्राप्य रहीं। वह इससे निराश नहीं थे: एक गणितज्ञ की प्रसिद्धि के लिए, अंतर कलन, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और संभाव्यता सिद्धांत के तथ्य पहली बार उनके सामने प्रकट हुए थे। फ़र्मेट की ये सभी खोजें तुरंत नए यूरोपीय विज्ञान के स्वर्ण कोष में प्रवेश कर गईं, जबकि संख्या सिद्धांत अगले सौ वर्षों के लिए पृष्ठभूमि में फीका पड़ गया - जब तक कि इसे यूलर द्वारा पुनर्जीवित नहीं किया गया।

18वीं शताब्दी का यह "गणितज्ञों का राजा" विश्लेषण के सभी अनुप्रयोगों में चैंपियन था, लेकिन उसने अंकगणित की भी उपेक्षा नहीं की, क्योंकि विश्लेषण के नए तरीकों से संख्याओं के बारे में अप्रत्याशित तथ्य सामने आए। किसने सोचा होगा कि व्युत्क्रम वर्गों का अनंत योग (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) π 2 /6 के बराबर है? हेलेनीज़ में से कौन सोच सकता था कि समान श्रृंखला संख्या π की अतार्किकता को सिद्ध करना संभव बनाएगी?

ऐसी सफलताओं ने यूलर को फ़र्मेट की जीवित पांडुलिपियों को सावधानीपूर्वक दोबारा पढ़ने के लिए मजबूर किया (सौभाग्य से, महान फ्रांसीसी का बेटा उन्हें प्रकाशित करने में कामयाब रहा)। सच है, डिग्री 3 के लिए "बड़े प्रमेय" का प्रमाण संरक्षित नहीं किया गया है, लेकिन यूलर ने "वंश विधि" की ओर इशारा करके इसे आसानी से बहाल कर दिया, और तुरंत इस विधि को अगली प्रमुख डिग्री - 5 में स्थानांतरित करने का प्रयास किया।

यह वहां नहीं था! यूलर के तर्क में, जटिल संख्याएँ सामने आईं जिन्हें फ़र्मेट नोटिस नहीं कर पाए (ऐसे खोजकर्ता बहुत आम हैं)। लेकिन जटिल पूर्णांकों का गुणनखंडन एक नाजुक मामला है। यहां तक ​​​​कि यूलर ने भी इसे पूरी तरह से नहीं समझा और अपने मुख्य कार्य - पाठ्यपुस्तक "फंडामेंटल्स ऑफ एनालिसिस" को पूरा करने की जल्दी में "फर्मेट समस्या" को एक तरफ रख दिया, जो कि हर प्रतिभाशाली युवा को लाइबनिज के बराबर खड़े होने में मदद करने वाली थी। यूलर. पाठ्यपुस्तक का प्रकाशन 1770 में सेंट पीटर्सबर्ग में पूरा हुआ। लेकिन यूलर फ़र्मेट के प्रमेय पर वापस नहीं लौटे, यह सुनिश्चित करते हुए कि उनके हाथों और दिमाग ने जो कुछ भी छुआ वह नए वैज्ञानिक युवाओं द्वारा नहीं भुलाया जाएगा।

और ऐसा ही हुआ: फ्रांसीसी एड्रियन लीजेंड्रे संख्या सिद्धांत में यूलर के उत्तराधिकारी बने। 18वीं शताब्दी के अंत में, उन्होंने डिग्री 5 के लिए फ़र्मेट के प्रमेय का प्रमाण पूरा किया - और यद्यपि वे बड़ी अभाज्य शक्तियों के लिए असफल रहे, उन्होंने संख्या सिद्धांत पर एक और पाठ्यपुस्तक संकलित की। आशा है कि इसके युवा पाठक लेखक से उसी प्रकार आगे निकल जाएं जैसे प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों के पाठक महान न्यूटन से आगे निकल गए! लिजेंड्रे का न्यूटन या यूलर से कोई मुकाबला नहीं था, लेकिन उनके पाठकों में दो प्रतिभाएँ थीं: कार्ल गॉस और एवरिस्ट गैलोइस।

प्रतिभाओं की इतनी उच्च सांद्रता को फ्रांसीसी क्रांति द्वारा सुगम बनाया गया, जिसने तर्क के राज्य पंथ की घोषणा की। उसके बाद, हर प्रतिभाशाली वैज्ञानिक कोलंबस या सिकंदर महान की तरह महसूस हुआ, जो एक नई दुनिया की खोज करने या उसे जीतने में सक्षम था। कई लोग सफल हुए, यही कारण है कि 19वीं शताब्दी में वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति मानव जाति के विकास का मुख्य चालक बन गई, और सभी उचित शासकों (नेपोलियन से शुरू) को इसके बारे में पता था।

गॉस चरित्र में कोलंबस के समान था। लेकिन वह (न्यूटन की तरह) यह नहीं जानते थे कि सुंदर भाषणों से शासकों या छात्रों की कल्पना को कैसे मोहित किया जाए, और इसलिए उन्होंने अपनी महत्वाकांक्षाओं को वैज्ञानिक अवधारणाओं के क्षेत्र तक सीमित कर दिया। यहां वह जो चाहे कर सकता था। उदाहरण के लिए, किसी कारण से किसी कोण के त्रिखंड की प्राचीन समस्या को कम्पास और स्ट्रेटएज से हल नहीं किया जा सकता है। समतल के बिंदुओं को दर्शाने वाली जटिल संख्याओं की सहायता से, गॉस इस समस्या का बीजगणित की भाषा में अनुवाद करते हैं - और कुछ ज्यामितीय निर्माणों की व्यवहार्यता का एक सामान्य सिद्धांत प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, एक ही समय में, एक कम्पास और एक शासक के साथ एक नियमित 7- या 9-गॉन के निर्माण की असंभवता का एक कठोर प्रमाण सामने आया, और एक नियमित 17-गॉन के निर्माण का ऐसा तरीका, जो हेलस के सबसे बुद्धिमान जियोमीटर ने किया था का सपना नहीं.

बेशक, ऐसी सफलता व्यर्थ नहीं दी जाती है: किसी को नई अवधारणाओं का आविष्कार करना होता है जो मामले के सार को दर्शाती हैं। न्यूटन ने ऐसी तीन अवधारणाएँ पेश कीं: फ्लक्स (व्युत्पन्न), धाराप्रवाह (अभिन्न) और शक्ति श्रृंखला। वे गणितीय विश्लेषण और यांत्रिकी और खगोल विज्ञान सहित भौतिक दुनिया का पहला वैज्ञानिक मॉडल बनाने के लिए पर्याप्त थे। गॉस ने तीन नई अवधारणाएँ भी पेश कीं: वेक्टर स्पेस, फ़ील्ड और रिंग। उनमें से एक नया बीजगणित विकसित हुआ, जो न्यूटन द्वारा बनाए गए ग्रीक अंकगणित और संख्यात्मक कार्यों के सिद्धांत के अधीन था। यह अरस्तू द्वारा बनाए गए तर्क को बीजगणित के अधीन करने के लिए बना रहा: तब गणनाओं की सहायता से सिद्धांतों के इस सेट से किसी भी वैज्ञानिक कथन की कटौती या गैर-व्युत्पन्नता को साबित करना संभव होगा! उदाहरण के लिए, क्या फ़र्मेट का प्रमेय अंकगणित के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों से निकला है, या क्या यूक्लिड की समानांतर रेखाओं का अभिधारणा प्लानिमेट्री के अन्य सिद्धांतों से निकला है?

गॉस के पास इस साहसी सपने को साकार करने का समय नहीं था - हालाँकि वह बहुत आगे बढ़ गया और विदेशी (गैर-कम्यूटेटिव) बीजगणित के अस्तित्व की संभावना का अनुमान लगाया। केवल साहसी रूसी निकोलाई लोबचेव्स्की ही पहली गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण करने में कामयाब रहे, और पहली गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित (समूह सिद्धांत) का प्रबंधन फ्रांसीसी एवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया गया था। और गॉस की मृत्यु के बहुत बाद में - 1872 में - युवा जर्मन फेलिक्स क्लेन ने अनुमान लगाया कि संभावित ज्यामिति की विविधता को संभावित बीजगणित की विविधता के साथ एक-से-एक पत्राचार में लाया जा सकता है। सीधे शब्दों में कहें तो, प्रत्येक ज्यामिति को उसके समरूपता समूह द्वारा परिभाषित किया जाता है - जबकि सामान्य बीजगणित सभी संभावित समूहों और उनके गुणों का अध्ययन करता है।

लेकिन ज्यामिति और बीजगणित की ऐसी समझ बहुत बाद में आई और फ़र्मेट के प्रमेय पर हमला गॉस के जीवनकाल के दौरान फिर से शुरू हुआ। उन्होंने स्वयं फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्धांत से बाहर कर दिया: व्यक्तिगत समस्याओं को हल करना राजा का व्यवसाय नहीं है जो एक उज्ज्वल वैज्ञानिक सिद्धांत में फिट नहीं होते हैं! लेकिन गॉस के छात्रों ने, उनके नए बीजगणित और न्यूटन और यूलर के शास्त्रीय विश्लेषण से लैस होकर, अलग तरह से तर्क दिया। सबसे पहले, पीटर डिरिचलेट ने एकता की इस डिग्री की जड़ों द्वारा उत्पन्न जटिल पूर्णांकों की अंगूठी का उपयोग करके डिग्री 7 के लिए फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्ध किया। तब अर्न्स्ट कुमेर ने डिरिचलेट पद्धति को सभी प्रमुख डिग्री (!) तक बढ़ाया - यह उसे जल्दबाजी में लगा, और वह जीत गया। लेकिन जल्द ही एक गंभीर बात सामने आई: प्रमाण दोषरहित तभी होता है जब रिंग का प्रत्येक तत्व विशिष्ट रूप से अभाज्य कारकों में विघटित हो जाता है! सामान्य पूर्णांकों के लिए, यह तथ्य यूक्लिड को पहले से ही ज्ञात था, लेकिन केवल गॉस ने इसका कठोर प्रमाण दिया। लेकिन संपूर्ण जटिल संख्याओं के बारे में क्या?

"सबसे बड़ी शरारत के सिद्धांत" के अनुसार, एक अस्पष्ट कारकीकरण हो सकता है और होना भी चाहिए! जैसे ही कुमेर ने गणितीय विश्लेषण के तरीकों से अस्पष्टता की डिग्री की गणना करना सीखा, उन्होंने 23 की डिग्री के लिए रिंग में इस गंदी चाल की खोज की। गॉस के पास विदेशी कम्यूटेटिव बीजगणित के इस संस्करण के बारे में जानने का समय नहीं था, लेकिन गॉस के छात्र बढ़ते गए एक और गंदी चाल के स्थान पर आदर्शों का एक नया सुंदर सिद्धांत सामने आया। सच है, इससे फ़र्मेट की समस्या को हल करने में बहुत मदद नहीं मिली: केवल इसकी प्राकृतिक जटिलता स्पष्ट हो गई।

19वीं शताब्दी के दौरान, इस प्राचीन मूर्ति ने नए जटिल सिद्धांतों के रूप में अपने प्रशंसकों से अधिक से अधिक बलिदानों की मांग की। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक, विश्वासी हतोत्साहित हो गए और विद्रोह कर दिया, अपनी पूर्व मूर्ति को अस्वीकार कर दिया। पेशेवर गणितज्ञों के बीच "फर्मेटिस्ट" शब्द एक अपमानजनक शब्द बन गया है। और यद्यपि फ़र्मेट के प्रमेय के पूर्ण प्रमाण के लिए एक बड़ा पुरस्कार दिया गया था, लेकिन इसके आवेदक अधिकतर आत्मविश्वासी अज्ञानी थे। उस समय के सबसे मजबूत गणितज्ञों - पोंकारे और हिल्बर्ट - ने इस विषय को स्पष्ट रूप से छोड़ दिया।

1900 में, हिल्बर्ट ने बीसवीं सदी के गणित के सामने आने वाली तेईस प्रमुख समस्याओं की सूची में फ़र्मेट के प्रमेय को शामिल नहीं किया। सच है, उन्होंने अपनी श्रृंखला में डायोफैंटाइन समीकरणों की सॉल्वैबिलिटी की सामान्य समस्या को शामिल किया। संकेत स्पष्ट था: गॉस और गैलोज़ के उदाहरण का पालन करें, नई गणितीय वस्तुओं के सामान्य सिद्धांत बनाएं! फिर एक ठीक (लेकिन पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता) दिन, पुराना टुकड़ा अपने आप गिर जाएगा।

महान रोमांटिक हेनरी पोंकारे ने इसी तरह अभिनय किया। कई "शाश्वत" समस्याओं की उपेक्षा करते हुए, अपने पूरे जीवन में उन्होंने गणित या भौतिकी की विभिन्न वस्तुओं की समरूपता का अध्ययन किया: या तो एक जटिल चर के कार्य, या आकाशीय पिंडों की गति के प्रक्षेप पथ, या बीजगणितीय वक्र या चिकनी कई गुना (ये घुमावदार के बहुआयामी सामान्यीकरण हैं) पंक्तियाँ)। उनके कार्यों का मकसद सरल था: यदि दो अलग-अलग वस्तुओं में समान समरूपता है, तो इसका मतलब है कि उनके बीच एक आंतरिक संबंध है, जिसे हम अभी तक समझ नहीं पाए हैं! उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्वि-आयामी ज्यामिति (यूक्लिड, लोबाचेव्स्की या रीमैन) का अपना समरूपता समूह होता है, जो समतल पर कार्य करता है। लेकिन समतल के बिंदु जटिल संख्याएँ हैं: इस प्रकार किसी भी ज्यामितीय समूह की क्रिया जटिल कार्यों की विशाल दुनिया में स्थानांतरित हो जाती है। इन कार्यों में से सबसे सममित का अध्ययन करना संभव और आवश्यक है: ऑटोमोर्फस (जो यूक्लिड समूह के अधीन हैं) और मॉड्यूलर (जो लोबचेव्स्की समूह के अधीन हैं)!

समतल में अण्डाकार वक्र भी होते हैं। उनका दीर्घवृत्त से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन वे Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX के रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं और इसलिए किसी भी सीधी रेखा के साथ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह तथ्य हमें एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं के बीच गुणन शुरू करने की अनुमति देता है - इसे एक समूह में बदलने के लिए। इस समूह की बीजगणितीय संरचना वक्र के ज्यामितीय गुणों को दर्शाती है; शायद यह इसके समूह द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है? यह प्रश्न अध्ययन के लायक है, क्योंकि कुछ वक्रों के लिए हमारे लिए रुचि का समूह मॉड्यूलर हो जाता है, अर्थात यह लोबचेव्स्की ज्यामिति से संबंधित है ...

यूरोप के गणितीय युवाओं को लुभाने के लिए पोनकारे ने इसी तरह तर्क किया, लेकिन 20वीं सदी की शुरुआत में इन प्रलोभनों से उज्ज्वल प्रमेय या परिकल्पनाएं सामने नहीं आईं। हिल्बर्ट के आह्वान के साथ यह अलग तरीके से सामने आया: पूर्णांक गुणांक वाले डायोफैंटाइन समीकरणों के सामान्य समाधानों का अध्ययन करना! 1922 में, युवा अमेरिकी लुईस मोर्डेल ने ऐसे समीकरण (यह एक निश्चित आयाम का एक वेक्टर स्थान है) के समाधानों के सेट को इस समीकरण द्वारा दिए गए जटिल वक्र के ज्यामितीय जीनस के साथ जोड़ा। मोर्डेल इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यदि समीकरण की डिग्री पर्याप्त रूप से बड़ी (दो से अधिक) है, तो समाधान स्थान का आयाम वक्र के जीनस के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, और इसलिए यह आयाम परिमित है। इसके विपरीत - 2 की घात तक, पायथागॉरियन समीकरण में समाधानों का एक अनंत-आयामी परिवार है!

बेशक, मोर्डेल ने अपनी परिकल्पना का संबंध फ़र्मेट के प्रमेय से देखा। यदि यह ज्ञात हो जाए कि प्रत्येक डिग्री n > 2 के लिए फ़र्मेट के समीकरण के संपूर्ण समाधानों का स्थान परिमित-आयामी है, तो इससे यह साबित करने में मदद मिलेगी कि ऐसे कोई समाधान मौजूद ही नहीं हैं! लेकिन मोर्डेल को अपनी परिकल्पना को साबित करने का कोई रास्ता नहीं दिख रहा था - और यद्यपि वह एक लंबा जीवन जीते थे, उन्होंने इस परिकल्पना के फाल्टिंग्स प्रमेय में परिवर्तन की प्रतीक्षा नहीं की। यह 1983 में, एक बिल्कुल अलग युग में, मैनिफोल्ड्स की बीजगणितीय टोपोलॉजी की महान सफलताओं के बाद हुआ।

पोंकारे ने इस विज्ञान को मानो संयोग से बनाया: वह जानना चाहता था कि त्रि-आयामी मैनिफ़ोल्ड क्या हैं। आख़िरकार, रीमैन ने सभी बंद सतहों की संरचना का पता लगाया और एक बहुत ही सरल उत्तर प्राप्त किया! यदि त्रि-आयामी या बहुआयामी मामले में ऐसा कोई उत्तर नहीं है, तो आपको मैनिफोल्ड के बीजगणितीय अपरिवर्तनीयों की एक प्रणाली के साथ आने की आवश्यकता है जो इसकी ज्यामितीय संरचना निर्धारित करती है। यह सबसे अच्छा है अगर ऐसे अपरिवर्तनीय कुछ समूहों के तत्व हों - क्रमविनिमेय या गैर-अनुक्रमिक।

यह जितना अजीब लग सकता है, पोनकारे की यह साहसिक योजना सफल रही: इसे 1950 से 1970 तक कई भूगोलवेत्ताओं और बीजगणितज्ञों के प्रयासों की बदौलत क्रियान्वित किया गया। 1950 तक, मैनिफोल्ड्स को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न तरीकों का एक शांत संचय था, और इस तिथि के बाद, लोगों और विचारों का एक महत्वपूर्ण समूह जमा हो गया और एक विस्फोट हुआ, जो 17 वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण के आविष्कार के बराबर था। लेकिन विश्लेषणात्मक क्रांति डेढ़ सदी तक चली, जिसमें गणितज्ञों की चार पीढ़ियों की रचनात्मक जीवनियाँ शामिल थीं - न्यूटन और लाइबनिज से लेकर फूरियर और कॉची तक। इसके विपरीत, 20वीं शताब्दी की टोपोलॉजिकल क्रांति, इसके प्रतिभागियों की बड़ी संख्या के कारण, बीस वर्षों के भीतर हुई थी। इसी समय, आत्मविश्वासी युवा गणितज्ञों की एक बड़ी पीढ़ी उभरी है, जो अचानक अपनी ऐतिहासिक मातृभूमि में बिना काम के रह गई है।

सत्तर के दशक में वे गणित और सैद्धांतिक भौतिकी के निकटवर्ती क्षेत्रों में चले गये। कई लोगों ने यूरोप और अमेरिका के दर्जनों विश्वविद्यालयों में अपने स्वयं के वैज्ञानिक स्कूल बनाए हैं। अलग-अलग उम्र और राष्ट्रीयताओं के, अलग-अलग योग्यताओं और रुझानों वाले कई छात्र अभी भी इन केंद्रों के बीच घूमते रहते हैं, और हर कोई किसी न किसी खोज के लिए प्रसिद्ध होना चाहता है। इसी कोलाहल में मोर्डेल का अनुमान और फ़र्मेट का प्रमेय अंततः सिद्ध हुआ।

हालाँकि, पहला निगल, अपने भाग्य से अनजान, युद्ध के बाद के भूखे और बेरोजगार वर्षों में जापान में बड़ा हुआ। निगल का नाम युताका तानियामा था। 1955 में, यह नायक 28 वर्ष का हो गया, और उसने (दोस्तों गोरो शिमुरा और ताकाउजी तमागावा के साथ) जापान में गणितीय अनुसंधान को पुनर्जीवित करने का निर्णय लिया। कहाँ से शुरू करें? बेशक, विदेशी सहकर्मियों से अलगाव पर काबू पाने के साथ! इसलिए 1955 में, तीन युवा जापानियों ने टोक्यो में बीजगणित और संख्या सिद्धांत पर पहले अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की मेजबानी की। स्टालिन द्वारा जमे रूस की तुलना में अमेरिकियों द्वारा पुनः शिक्षित जापान में ऐसा करना स्पष्ट रूप से आसान था ...

सम्मानित अतिथियों में फ्रांस के दो नायक थे: आंद्रे वेइल और जीन-पियरे सेरे। यहां जापानी बहुत भाग्यशाली थे: वेइल फ्रांसीसी बीजगणित के मान्यता प्राप्त प्रमुख और बोर्बाकी समूह के सदस्य थे, और युवा सेरे ने टोपोलॉजिस्ट के बीच एक समान भूमिका निभाई थी। उनके साथ गरमागरम चर्चाओं में जापानी युवाओं के सिर फूटे, दिमाग पिघले, लेकिन अंत में ऐसे विचार और योजनाएँ मूर्त रूप ले लीं जो शायद ही किसी अलग माहौल में पैदा हो सकती थीं।

एक दिन, तानियामा ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर कार्यों के बारे में एक प्रश्न के साथ वेइल से संपर्क किया। पहले तो फ्रांसीसी को कुछ समझ नहीं आया: तानियामा अंग्रेजी बोलने में माहिर नहीं थीं। तब मामले का सार स्पष्ट हो गया, लेकिन तानियामा अपनी आशाओं को सटीक रूप देने में सफल नहीं हुए। वेइल युवा जापानी को केवल यही उत्तर दे सका कि यदि वह प्रेरणा के मामले में बहुत भाग्यशाली होता, तो उसकी अस्पष्ट परिकल्पनाओं से कुछ समझदार निकल आता। लेकिन जबकि इसकी उम्मीद कमज़ोर है!

जाहिर है, वेइल ने तानियामा की नज़र में स्वर्गीय आग पर ध्यान नहीं दिया। और वहाँ आग लग गई: ऐसा लगता है कि एक पल के लिए स्वर्गीय पोंकारे का अदम्य विचार जापानियों में चला गया! तानियामा का मानना ​​था कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर कार्यों द्वारा उत्पन्न होता है - अधिक सटीक रूप से, यह "एक मॉड्यूलर रूप द्वारा एकरूप होता है"। अफ़सोस, यह सटीक शब्दांकन बहुत बाद में पैदा हुआ - तानियामा की अपने दोस्त शिमुरा के साथ बातचीत में। और फिर तानियामा ने अवसाद में आकर आत्महत्या कर ली... उनकी परिकल्पना बिना किसी मालिक के रह गई: यह स्पष्ट नहीं था कि इसे कैसे साबित किया जाए या इसका परीक्षण कहां किया जाए, और इसलिए लंबे समय तक किसी ने भी इसे गंभीरता से नहीं लिया। पहली प्रतिक्रिया केवल तीस साल बाद आई - लगभग फ़र्मेट के युग की तरह!

1983 में बर्फ़ टूटी, जब सत्ताईस वर्षीय जर्मन गर्ड फाल्टिंग्स ने पूरी दुनिया के सामने घोषणा की: मोर्डेल का अनुमान सिद्ध हो गया है! गणितज्ञ सतर्क थे, लेकिन फाल्टिंग्स एक सच्चे जर्मन थे: उनके लंबे और जटिल प्रमाण में कोई अंतराल नहीं था। बात बस इतनी है कि समय आ गया है, तथ्य और अवधारणाएँ जमा हो गई हैं - और अब एक प्रतिभाशाली बीजगणितज्ञ, दस अन्य बीजगणितज्ञों के परिणामों पर भरोसा करते हुए, एक ऐसी समस्या को हल करने में कामयाब रहा है जो साठ वर्षों से गुरु की प्रतीक्षा में खड़ी है। 20वीं सदी के गणित में यह असामान्य नहीं है। सेट सिद्धांत में धर्मनिरपेक्ष सातत्य समस्या, समूह सिद्धांत में बर्नसाइड के दो अनुमान, या टोपोलॉजी में पोंकारे अनुमान को याद करना उचित है। अंततः, संख्या सिद्धांत में, पुरानी फ़सलों को काटने का समय आ गया है... विजित गणितज्ञों की श्रृंखला में अगला शीर्ष कौन सा होगा? क्या यूलर की समस्या, रीमैन की परिकल्पना, या फ़र्मेट की प्रमेय ध्वस्त हो जाएगी? यह अच्छा है!

और अब, फाल्टिंग्स के रहस्योद्घाटन के दो साल बाद, एक और प्रेरित गणितज्ञ जर्मनी में प्रकट हुआ। उसका नाम गेरहार्ड फ्रे था, और उसने कुछ अजीब दावा किया: कि फ़र्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान से लिया गया है! दुर्भाग्य से, अपने विचारों को व्यक्त करने की फ्रे की शैली उनके स्पष्ट हमवतन फाल्टिंग्स की तुलना में दुर्भाग्यपूर्ण तानियामा की अधिक याद दिलाती थी। जर्मनी में, कोई भी फ्रे को नहीं समझता था, और वह विदेश चला गया - प्रिंसटन के गौरवशाली शहर में, जहां, आइंस्टीन के बाद, उन्हें ऐसे आगंतुकों की आदत हो गई। इसमें कोई आश्चर्य नहीं कि बैरी मज़ूर, एक बहुमुखी टोपोलॉजिस्ट, चिकनी मैनिफोल्ड्स पर हाल के हमले के नायकों में से एक, ने वहां अपना घोंसला बनाया। और मज़ूर के बगल में एक छात्र बड़ा हुआ - केन रिबेट, जो टोपोलॉजी और बीजगणित की पेचीदगियों में समान रूप से अनुभवी था, लेकिन फिर भी किसी भी तरह से खुद को महिमामंडित नहीं कर रहा था।

जब उन्होंने पहली बार फ्रे के भाषण सुने, तो रिबेट ने फैसला किया कि यह बकवास और लगभग विज्ञान कथा थी (शायद, वेइल ने तानियामा के खुलासे पर उसी तरह प्रतिक्रिया व्यक्त की थी)। लेकिन रिबेट इस "फंतासी" को नहीं भूल सके और कई बार मानसिक रूप से इसमें लौट आए। छह महीने बाद, रिबेट का मानना ​​​​था कि फ्रे की कल्पनाओं में कुछ समझदार था, और एक साल बाद उसने फैसला किया कि वह खुद फ्रे की अजीब परिकल्पना को लगभग साबित कर सकता है। लेकिन कुछ "छेद" रह गए, और रिबेट ने अपने मालिक मजूर के सामने कबूल करने का फैसला किया। उन्होंने छात्र की बात ध्यान से सुनी और शांति से उत्तर दिया: “हाँ, तुमने सब कुछ किया है! यहां आपको परिवर्तन Ф लागू करने की आवश्यकता है, यहां - लेम्मास बी और के का उपयोग करें, और सब कुछ एक त्रुटिहीन रूप ले लेगा! इसलिए रिबेट ने फ्रे और मज़ूर के रूप में एक गुलेल का उपयोग करके, अस्पष्टता से अमरता की ओर छलांग लगाई। निष्पक्षता में, उन सभी को - स्वर्गीय तानियामा के साथ - फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण माना जाना चाहिए।

लेकिन यहाँ समस्या यह है: उन्होंने अपना कथन तानियामा परिकल्पना से लिया है, जो स्वयं सिद्ध नहीं हुआ है! अगर वह बेवफा है तो क्या होगा? गणितज्ञ लंबे समय से जानते हैं कि "कुछ भी झूठ से निकलता है", यदि तानियामा का अनुमान गलत है, तो रिबेट का त्रुटिहीन तर्क बेकार है! हमें तत्काल तानियामा के अनुमान को सिद्ध (या अस्वीकृत) करने की आवश्यकता है - अन्यथा फाल्टिंग्स जैसा कोई व्यक्ति फ़र्मेट के प्रमेय को एक अलग तरीके से सिद्ध करेगा। वह हीरो बन जायेगा!

इसकी संभावना नहीं है कि हम कभी जान पाएंगे कि फाल्टिंग्स की सफलता के बाद या 1986 में रिबेट की जीत के बाद कितने युवा या अनुभवी बीजगणितज्ञ फ़र्मेट के प्रमेय पर कूद पड़े। उन सभी ने गुप्त रूप से काम करने की कोशिश की, ताकि विफलता की स्थिति में उन्हें "डमी"-फर्मेटिस्टों के समुदाय में स्थान न दिया जाए। यह ज्ञात है कि सभी में से सबसे सफल - कैम्ब्रिज के एंड्रयू विल्स - ने 1993 की शुरुआत में ही जीत का स्वाद महसूस किया था। इससे विल्स को उतनी ख़ुशी नहीं हुई जितनी कि भयभीत विल्स को: क्या होगा अगर तानियामा अनुमान के उनके प्रमाण में कोई त्रुटि या अंतर दिखाई दे? तब उनकी वैज्ञानिक प्रतिष्ठा नष्ट हो गई! प्रमाण को सावधानीपूर्वक लिखना आवश्यक है (लेकिन इसमें कई दर्जन पृष्ठ होंगे!) और इसे छह महीने या एक वर्ष के लिए स्थगित कर दें, ताकि बाद में आप इसे ठंडे दिमाग और सावधानी से फिर से पढ़ सकें... लेकिन क्या यदि इस दौरान कोई अपना प्रमाण प्रकाशित कर दे तो? अरे मुसीबत...

फिर भी विल्स ने अपने प्रमाण का शीघ्रता से परीक्षण करने के लिए दोहरा तरीका अपनाया। सबसे पहले, आपको अपने किसी विश्वसनीय मित्र और सहकर्मी पर भरोसा करना होगा और उसे तर्क की पूरी प्रक्रिया बतानी होगी। बाहर से सारी गलतियाँ अधिक दिखाई देती हैं! दूसरे, स्मार्ट छात्रों और स्नातक छात्रों को इस विषय पर एक विशेष पाठ्यक्रम पढ़ना आवश्यक है: ये स्मार्ट लोग एक भी व्याख्याता की गलती नहीं छोड़ेंगे! बस अंतिम क्षण तक उन्हें पाठ्यक्रम का अंतिम लक्ष्य न बताएं - अन्यथा पूरी दुनिया को इसके बारे में पता चल जाएगा! और निश्चित रूप से, आपको कैम्ब्रिज से दूर ऐसे दर्शकों की तलाश करने की ज़रूरत है - यह इंग्लैंड में भी बेहतर नहीं है, लेकिन अमेरिका में ... दूर के प्रिंसटन से बेहतर क्या हो सकता है?

विल्स 1993 के वसंत में वहां गए थे। उनके धैर्यवान मित्र निकलास काट्ज़ ने विल्स की लंबी रिपोर्ट सुनने के बाद इसमें कई कमियाँ पाईं, लेकिन उन सभी को आसानी से ठीक कर लिया गया। लेकिन प्रिंसटन के स्नातक छात्र जल्द ही विल्स के विशेष पाठ्यक्रम से भाग गए, वे व्याख्याता के सनकी विचार का पालन नहीं करना चाहते थे, जो उन्हें न जाने कहाँ ले जाता है। अपने काम की इतनी (विशेष रूप से गहरी नहीं) समीक्षा के बाद, विल्स ने निर्णय लिया कि अब दुनिया के सामने एक महान चमत्कार प्रकट करने का समय आ गया है।

जून 1993 में, कैम्ब्रिज में एक और सम्मेलन आयोजित किया गया, जो संख्या सिद्धांत के एक लोकप्रिय खंड "इवासावा सिद्धांत" को समर्पित था। विल्स ने अंत तक मुख्य परिणाम की घोषणा किए बिना, इस पर तानियामा अनुमान का अपना प्रमाण बताने का निर्णय लिया। रिपोर्ट लंबे समय तक चलती रही, लेकिन सफलतापूर्वक, धीरे-धीरे ऐसे पत्रकारों का आना शुरू हो गया, जिन्हें कुछ महसूस हुआ। अंत में, वज्रपात हुआ: फ़र्मेट का प्रमेय सिद्ध हो गया! सामान्य आनन्द किसी भी संदेह से ढका नहीं था: सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है ... लेकिन दो महीने बाद, काट्ज़ ने विल्स का अंतिम पाठ पढ़ा, इसमें एक और अंतर देखा। तर्क में एक निश्चित परिवर्तन "यूलर प्रणाली" पर निर्भर था - लेकिन विल्स ने जो बनाया वह ऐसी प्रणाली नहीं थी!

विल्स ने टोंटी की जाँच की और महसूस किया कि उससे यहाँ गलती हुई है। इससे भी बदतर: यह स्पष्ट नहीं है कि गलत तर्क को कैसे बदला जाए! इसके बाद विल्स के जीवन के सबसे अंधकारमय महीने आये। पहले, उन्होंने स्वतंत्र रूप से हाथ में मौजूद सामग्री से एक अभूतपूर्व प्रमाण संश्लेषित किया था। अब वह एक संकीर्ण और स्पष्ट कार्य से बंधा हुआ है - बिना इस निश्चितता के कि इसका कोई समाधान है और निकट भविष्य में वह इसे ढूंढने में सक्षम होगा। हाल ही में, फ्रे उसी संघर्ष का विरोध नहीं कर सका - और अब उसका नाम भाग्यशाली रिबेट के नाम से अस्पष्ट हो गया था, हालांकि फ्रे का अनुमान सही निकला। और मेरे अनुमान और मेरे नाम का क्या होगा?

यह कठिन परिश्रम ठीक एक वर्ष तक चला। सितंबर 1994 में, विल्स हार स्वीकार करने और तानियामा परिकल्पना को अधिक भाग्यशाली उत्तराधिकारियों पर छोड़ने के लिए तैयार थे। ऐसा निर्णय लेने के बाद, उन्होंने धीरे-धीरे अपने प्रमाण को फिर से पढ़ना शुरू किया - शुरू से अंत तक, तर्क की लय को सुनते हुए, सफल खोजों की खुशी को फिर से अनुभव किया। हालाँकि, "शापित" स्थान पर पहुँचने के बाद, विल्स ने मानसिक रूप से कोई झूठा नोट नहीं सुना। क्या उसके तर्क का मार्ग अभी भी त्रुटिहीन था, और त्रुटि केवल मानसिक छवि के मौखिक विवरण में उत्पन्न हुई थी? यदि यहाँ कोई "यूलर सिस्टम" नहीं है, तो यहाँ क्या छिपा है?

अचानक, मेरे मन में एक सरल विचार आया: "यूलर प्रणाली" वहां काम नहीं करती जहां इवासावा सिद्धांत लागू होता है। इस सिद्धांत को सीधे लागू क्यों न किया जाए - सौभाग्य से, यह स्वयं विल्स के करीब और परिचित है? और उसने शुरू से ही इस दृष्टिकोण को क्यों नहीं आज़माया, बल्कि समस्या के बारे में किसी और के दृष्टिकोण से प्रभावित हो गया? विल्स को अब ये विवरण याद नहीं रहे - और यह बेकार हो गया। उन्होंने इवासावा सिद्धांत के ढांचे के भीतर आवश्यक तर्क किया और आधे घंटे में सब कुछ ठीक हो गया! इस प्रकार - एक वर्ष की देरी से - तानियामा के अनुमान के प्रमाण में अंतिम अंतर बंद हो गया। अंतिम पाठ सबसे प्रसिद्ध गणितीय पत्रिका के समीक्षकों के एक समूह की दया पर दिया गया था, एक साल बाद उन्होंने घोषणा की कि अब कोई त्रुटि नहीं है। इस प्रकार, 1995 में, फ़र्मेट का अंतिम अनुमान तीन सौ साठ वर्ष की आयु में समाप्त हो गया, एक सिद्ध प्रमेय में बदल गया जो अनिवार्य रूप से संख्या सिद्धांत पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश करेगा।

फ़र्मेट के प्रमेय को लेकर तीन सदी के उपद्रव को सारांशित करते हुए, हमें एक अजीब निष्कर्ष निकालना होगा: यह वीर महाकाव्य घटित नहीं हो सकता था! दरअसल, पाइथागोरस प्रमेय दृश्य प्राकृतिक वस्तुओं - खंडों की लंबाई के बीच एक सरल और महत्वपूर्ण संबंध व्यक्त करता है। लेकिन फ़र्मेट के प्रमेय के बारे में ऐसा नहीं कहा जा सकता। यह एक वैज्ञानिक आधार पर एक सांस्कृतिक अधिरचना की तरह दिखता है - जैसे पृथ्वी के उत्तरी ध्रुव तक पहुंचना या चंद्रमा तक उड़ान भरना। आइए हम याद करें कि इन दोनों उपलब्धियों को लेखकों ने उनके पूरा होने से बहुत पहले गाया था - प्राचीन काल में, यूक्लिड के "तत्वों" की उपस्थिति के बाद, लेकिन डायोफैंटस के "अंकगणित" की उपस्थिति से पहले। तो, तब इस तरह के बौद्धिक कारनामों की सार्वजनिक आवश्यकता थी - कम से कम काल्पनिक! पहले, हेलेनीज़ के पास होमर की पर्याप्त कविताएँ थीं, जैसे फ़र्मेट से सौ साल पहले, फ्रांसीसी के पास पर्याप्त धार्मिक जुनून था। लेकिन फिर धार्मिक जुनून कम हो गया - और विज्ञान उनके बगल में खड़ा हो गया।

रूस में, ऐसी प्रक्रियाएँ एक सौ पचास साल पहले शुरू हुईं, जब तुर्गनेव ने येवगेनी बाज़रोव को येवगेनी वनगिन के बराबर रखा। सच है, लेखक तुर्गनेव ने वैज्ञानिक बाज़रोव के कार्यों के उद्देश्यों को बहुत कम समझा और उन्हें गाने की हिम्मत नहीं की, लेकिन जल्द ही वैज्ञानिक इवान सेचेनोव और प्रबुद्ध पत्रकार जूल्स वर्ने ने ऐसा किया। एक सहज वैज्ञानिक और तकनीकी क्रांति को अधिकांश लोगों के दिमाग में प्रवेश करने के लिए एक सांस्कृतिक आवरण की आवश्यकता होती है, और यहां पहले विज्ञान कथा आती है, और फिर लोकप्रिय विज्ञान साहित्य (पत्रिका "ज्ञान ही शक्ति है" सहित) आता है।

साथ ही, एक विशिष्ट वैज्ञानिक विषय आम जनता के लिए बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है और नायक-कलाकारों के लिए भी बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, पीरी और कुक द्वारा उत्तरी ध्रुव की उपलब्धि के बारे में सुनकर, अमुंडसेन ने तुरंत अपने पहले से तैयार अभियान का लक्ष्य बदल दिया - और जल्द ही स्कॉट से एक महीने पहले दक्षिणी ध्रुव पर पहुंच गए। बाद में, यूरी गगारिन की पृथ्वी की सफल जलयात्रा ने राष्ट्रपति कैनेडी को अमेरिकी अंतरिक्ष कार्यक्रम के पूर्व लक्ष्य को अधिक महंगे लेकिन कहीं अधिक प्रभावशाली लक्ष्य में बदलने के लिए मजबूर किया: चंद्रमा पर मनुष्यों को उतारना।

इससे पहले भी, अंतर्दृष्टिपूर्ण हिल्बर्ट ने छात्रों के भोले-भाले प्रश्न का उत्तर दिया था: "किस वैज्ञानिक समस्या का समाधान अब सबसे उपयोगी होगा"? - मजाक में उत्तर दिया: "चाँद के दूर की ओर एक मक्खी पकड़ो!" हैरान करने वाले प्रश्न पर: "यह क्यों आवश्यक है?" - एक स्पष्ट उत्तर के बाद: "किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है!" लेकिन उन वैज्ञानिक तरीकों और तकनीकी साधनों के बारे में सोचें जिन्हें हमें ऐसी समस्या को हल करने के लिए विकसित करना होगा - और इस रास्ते में हम कितनी अन्य सुंदर समस्याओं का समाधान करेंगे!

फ़र्मेट के प्रमेय के साथ बिल्कुल यही हुआ। यूलर इसे नज़रअंदाज कर सकता था।

इस मामले में, कोई अन्य समस्या गणितज्ञों की आदर्श बन जाएगी - शायद संख्या सिद्धांत से भी। उदाहरण के लिए, एराटोस्थनीज़ की समस्या: क्या जुड़वां अभाज्य संख्याओं (जैसे 11 और 13, 17 और 19, और इसी तरह) का एक सीमित या अनंत सेट है? या यूलर की समस्या: क्या प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है? या: क्या संख्याओं π और e के बीच कोई बीजगणितीय संबंध है? ये तीन समस्याएं अभी तक हल नहीं हुई हैं, हालांकि 20वीं सदी में गणितज्ञ इनके सार को समझने के करीब आ गए हैं। लेकिन इस सदी ने कई नई, कम दिलचस्प समस्याओं को भी जन्म दिया, विशेष रूप से भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान की अन्य शाखाओं के साथ गणित के अंतर्संबंध पर।

1900 में, हिल्बर्ट ने उनमें से एक को चुना: गणितीय भौतिकी के सिद्धांतों की एक पूरी प्रणाली बनाना! सौ साल बाद, यह समस्या हल होने से बहुत दूर है, यदि केवल इसलिए कि भौतिकी के गणितीय साधनों का शस्त्रागार लगातार बढ़ रहा है, और उनमें से सभी का कोई कठोर औचित्य नहीं है। लेकिन 1970 के बाद सैद्धांतिक भौतिकी दो शाखाओं में विभाजित हो गई। एक (शास्त्रीय) न्यूटन के समय से स्थिर प्रक्रियाओं की मॉडलिंग और भविष्यवाणी कर रहा है, दूसरा (नवजात शिशु) अस्थिर प्रक्रियाओं की बातचीत और उन्हें नियंत्रित करने के तरीकों को औपचारिक बनाने की कोशिश कर रहा है। यह स्पष्ट है कि भौतिकी की इन दोनों शाखाओं को अलग-अलग स्वयंसिद्ध किया जाना चाहिए।

उनमें से पहला संभवतः बीस या पचास वर्षों में निपटा दिया जाएगा...

और भौतिकी की दूसरी शाखा में क्या गायब है - वह जो सभी प्रकार के विकास का प्रभारी है (अजीब फ्रैक्टल और अजीब आकर्षित करने वाले, बायोकेनोज़ की पारिस्थितिकी और गुमिलीव के जुनून के सिद्धांत सहित)? यह बात हमें जल्द समझ आने की संभावना नहीं है. लेकिन नई मूर्ति के लिए वैज्ञानिकों की पूजा पहले से ही एक सामूहिक घटना बन गई है। संभवतः, यहां एक महाकाव्य सामने आएगा, जिसकी तुलना फ़र्मेट के प्रमेय की तीन-शताब्दी की जीवनी से की जा सकती है। इस प्रकार, विभिन्न विज्ञानों के प्रतिच्छेदन पर, नई मूर्तियों का जन्म होता है - धार्मिक मूर्तियों के समान, लेकिन अधिक जटिल और गतिशील...

जाहिर है, समय-समय पर पुरानी मूर्तियों को उखाड़ फेंके बिना और नई मूर्तियाँ बनाए बिना कोई व्यक्ति इंसान नहीं रह सकता - दर्द में भी और खुशी में भी! पियरे फ़र्मेट भाग्यशाली थे कि वह एक नई मूर्ति के जन्म के गर्म स्थान के करीब एक दुर्भाग्यपूर्ण क्षण में थे - और वह नवजात शिशु पर अपने व्यक्तित्व की छाप छोड़ने में कामयाब रहे। कोई भी ऐसे भाग्य से ईर्ष्या कर सकता है, और इसकी नकल करना कोई पाप नहीं है।

सर्गेई स्मिरनोव
"ज्ञान शक्ति है"

दुनिया में ऐसे बहुत से लोग नहीं हैं जिनके बारे में कभी नहीं सुना हो फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय- शायद यह एकमात्र गणितीय समस्या है जिसे इतनी व्यापक लोकप्रियता मिली है और यह एक वास्तविक किंवदंती बन गई है। इसका जिक्र कई किताबों और फिल्मों में है, जबकि लगभग सभी जिक्र का मुख्य संदर्भ यही है किसी प्रमेय को सिद्ध करने की असंभवता.

हां, यह प्रमेय बहुत प्रसिद्ध है और एक तरह से शौकिया और पेशेवर गणितज्ञों द्वारा पूजी जाने वाली एक "मूर्ति" बन गई है, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसका प्रमाण मिल गया था, और यह 1995 में हुआ था। लेकिन सबसे पहले चीज़ें.

तो, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (जिसे अक्सर फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय कहा जाता है), 1637 में एक प्रतिभाशाली फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा तैयार किया गया था पियरे फ़र्मेट, अपने सार में बहुत सरल है और माध्यमिक शिक्षा प्राप्त किसी भी व्यक्ति के लिए समझने योग्य है। यह कहता है कि सूत्र a n + b n \u003d c n में n > 2 के लिए कोई प्राकृतिक (अर्थात, गैर-आंशिक) समाधान नहीं है। सब कुछ सरल और स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ और सरल शौकिया समाधान खोजने के लिए संघर्ष कर रहे हैं साढ़े तीन शताब्दियों से अधिक समय तक।

फ़र्मेट ने स्वयं अपने सिद्धांत का एक बहुत ही सरल और संक्षिप्त प्रमाण प्राप्त करने का दावा किया है, लेकिन अभी तक इस तथ्य का कोई दस्तावेजी प्रमाण नहीं मिला है। इसलिए अब यही माना जाने लगा है फ़र्मेट कभी भी अपने प्रमेय का सामान्य समाधान नहीं ढूंढ पाया।, हालाँकि उन्होंने n = 4 के लिए आंशिक प्रमाण लिखा था।

फ़र्मेट के बाद, जैसे महान दिमाग लियोनहार्ड यूलर(1770 में उन्होंने n = 3 के लिए एक समाधान प्रस्तावित किया), एड्रियन लीजेंड्रे और जोहान डिरिचलेट(इन वैज्ञानिकों ने संयुक्त रूप से 1825 में n = 5 के लिए प्रमाण पाया), गेब्रियल लेम(जिन्होंने n = 7 के लिए प्रमाण पाया) और कई अन्य। पिछली सदी के 80 के दशक के मध्य तक, यह स्पष्ट हो गया कि वैज्ञानिक दुनिया अंतिम समाधान की राह पर थी

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय, लेकिन 1993 तक ऐसा नहीं था कि गणितज्ञों ने देखा और विश्वास किया कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण खोजने की तीन-सदी की गाथा लगभग समाप्त हो गई थी।

1993 में, एक अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्सदुनिया के सामने पेश किया फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाणजिस पर सात साल से अधिक समय से काम चल रहा है। लेकिन यह पता चला कि इस निर्णय में घोर त्रुटि है, हालाँकि सामान्य तौर पर यह सच है। विल्स ने हार नहीं मानी, उन्होंने संख्या सिद्धांत के जाने-माने विशेषज्ञ रिचर्ड टेलर की मदद ली और 1994 में ही उन्होंने प्रमेय का एक संशोधित और पूरक प्रमाण प्रकाशित कर दिया। सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि इस कार्य में एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स गणितीय जर्नल में 130 (!) पृष्ठ शामिल थे। लेकिन कहानी यहीं खत्म नहीं हुई - अंतिम बिंदु केवल अगले वर्ष, 1995 में बनाया गया था, जब गणितीय दृष्टिकोण से अंतिम और "आदर्श", प्रमाण का संस्करण प्रकाशित किया गया था।

उस क्षण के बाद से बहुत समय बीत चुका है, लेकिन फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय की अघुलनशीलता के बारे में समाज में अभी भी एक राय है। लेकिन जो लोग पाए गए प्रमाणों के बारे में जानते हैं वे भी इस दिशा में काम करना जारी रखते हैं - बहुत कम लोग इस बात से संतुष्ट हैं कि महान प्रमेय के समाधान के लिए 130 पृष्ठों के समाधान की आवश्यकता होती है! इसलिए, अब इतने सारे गणितज्ञों (ज्यादातर शौकिया, पेशेवर वैज्ञानिक नहीं) की ताकतों को एक सरल और संक्षिप्त प्रमाण की तलाश में लगा दिया गया है, लेकिन यह रास्ता, सबसे अधिक संभावना है, कहीं भी नहीं ले जाएगा ...

ग्रिगोरी पेरेलमैन. Refusenik

वसीली मक्सिमोव

अगस्त 2006 में, दुनिया के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों के नामों की घोषणा की गई, जिन्हें सबसे प्रतिष्ठित फील्ड्स मेडल मिला - नोबेल पुरस्कार का एक प्रकार, जिसे अल्फ्रेड नोबेल की इच्छा से गणितज्ञों ने वंचित कर दिया था। फील्ड्स मेडल - सम्मान के बैज के अलावा, पुरस्कार विजेताओं को पंद्रह हजार कनाडाई डॉलर का चेक प्रदान किया जाता है - हर चार साल में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस द्वारा प्रदान किया जाता है। इसकी स्थापना कनाडाई वैज्ञानिक जॉन चार्ल्स फील्ड्स द्वारा की गई थी और इसे पहली बार 1936 में प्रदान किया गया था। 1950 से, गणितीय विज्ञान के विकास में उनके योगदान के लिए फील्ड्स मेडल को स्पेन के राजा द्वारा व्यक्तिगत रूप से नियमित रूप से सम्मानित किया जाता रहा है। चालीस वर्ष से कम आयु के एक से चार वैज्ञानिक पुरस्कार के विजेता बन सकते हैं। 44 गणितज्ञों को पहले ही पुरस्कार मिल चुका है, जिनमें आठ रूसी भी शामिल हैं।

ग्रिगोरी पेरेलमैन. हेनरी पोंकारे.

2006 में, फ्रांसीसी वेंडेलिन वर्नर, ऑस्ट्रेलियाई टेरेंस ताओ और दो रूसी, एंड्री ओकोनकोव, जो संयुक्त राज्य अमेरिका में काम करते हैं, और सेंट पीटर्सबर्ग के एक वैज्ञानिक ग्रिगोरी पेरेलमैन पुरस्कार विजेता बने। हालाँकि, आखिरी क्षण में यह ज्ञात हो गया कि पेरेलमैन ने इस प्रतिष्ठित पुरस्कार से इनकार कर दिया - जैसा कि आयोजकों ने घोषणा की, "सैद्धांतिक कारणों से।"

रूसी गणितज्ञ का ऐसा असाधारण कृत्य उन लोगों के लिए आश्चर्य की बात नहीं थी जो उसे जानते थे। यह पहली बार नहीं है जब उन्होंने गणितीय पुरस्कारों को अस्वीकार कर दिया है, अपने निर्णय को इस तथ्य से समझाते हुए कि उन्हें गंभीर आयोजन और अपने नाम के आसपास अत्यधिक प्रचार पसंद नहीं है। दस साल पहले, 1996 में, पेरेलमैन ने यूरोपीय गणितीय कांग्रेस के पुरस्कार से इनकार कर दिया था, इस तथ्य का हवाला देते हुए कि उन्होंने पुरस्कार के लिए नामांकित वैज्ञानिक समस्या पर काम पूरा नहीं किया था, और यह आखिरी मामला नहीं था। ऐसा लगता है कि रूसी गणितज्ञ ने जनता की राय और वैज्ञानिक समुदाय के खिलाफ जाकर लोगों को आश्चर्यचकित करना अपने जीवन का लक्ष्य बना लिया है।

ग्रिगोरी याकोवलेविच पेरेलमैन का जन्म 13 जून 1966 को लेनिनग्राद में हुआ था। छोटी उम्र से ही उन्हें सटीक विज्ञान का शौक था, उन्होंने गणित के गहन अध्ययन के साथ प्रसिद्ध 239वें माध्यमिक विद्यालय से शानदार ढंग से स्नातक की उपाधि प्राप्त की, कई गणितीय प्रतियोगिताएं जीतीं: उदाहरण के लिए, 1982 में, सोवियत स्कूली बच्चों की एक टीम के हिस्से के रूप में, उन्होंने बुडापेस्ट में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में भाग लिया। परीक्षा के बिना पेरेलमैन को लेनिनग्राद विश्वविद्यालय के यांत्रिकी और गणित विभाग में नामांकित किया गया, जहां उन्होंने "उत्कृष्ट" अध्ययन किया, सभी स्तरों पर गणितीय प्रतियोगिताओं में जीत जारी रखी। विश्वविद्यालय से सम्मान के साथ स्नातक होने के बाद, उन्होंने स्टेक्लोव गणितीय संस्थान के सेंट पीटर्सबर्ग विभाग में स्नातक विद्यालय में प्रवेश लिया। उनके पर्यवेक्षक प्रसिद्ध गणितज्ञ शिक्षाविद अलेक्जेंड्रोव थे। अपनी पीएचडी थीसिस का बचाव करने के बाद, ग्रिगोरी पेरेलमैन ज्यामिति और टोपोलॉजी की प्रयोगशाला में संस्थान में बने रहे। अलेक्जेंड्रोव स्पेस के सिद्धांत पर अपने काम के लिए जाने जाने वाले, वह कई महत्वपूर्ण परिकल्पनाओं के लिए सबूत खोजने में सक्षम थे। प्रमुख पश्चिमी विश्वविद्यालयों से कई प्रस्तावों के बावजूद, पेरेलमैन रूस में काम करना पसंद करते हैं।

उनकी सबसे कुख्यात सफलता 2002 में प्रसिद्ध पॉइंकेयर अनुमान का समाधान था, जो 1904 में प्रकाशित हुआ था और तब से अप्रमाणित है। पेरेलमैन ने इस पर आठ साल तक काम किया। पोंकारे परिकल्पना को सबसे महान गणितीय रहस्यों में से एक माना जाता था, और इसके समाधान को गणितीय विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि माना जाता था: यह ब्रह्मांड की भौतिक और गणितीय नींव की समस्याओं के अध्ययन को तुरंत आगे बढ़ाएगा। ग्रह पर सबसे प्रतिभाशाली दिमागों ने केवल कुछ दशकों में ही इसके समाधान की भविष्यवाणी की थी, और कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स ने पॉइंकेयर समस्या को सहस्राब्दी की सात सबसे दिलचस्प अनसुलझी गणितीय समस्याओं में से एक बना दिया था, जिनमें से प्रत्येक के लिए एक मिलियन का वादा किया गया था। डॉलर पुरस्कार (मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं)।

फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे (1854-1912) की परिकल्पना (जिसे कभी-कभी समस्या भी कहा जाता है) इस प्रकार तैयार की गई है: कोई भी बंद, बस जुड़ा हुआ त्रि-आयामी स्थान त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है। स्पष्टीकरण के लिए, एक अच्छा उदाहरण उपयोग किया जाता है: यदि आप एक सेब को रबर बैंड से लपेटते हैं, तो, सिद्धांत रूप में, टेप को एक साथ खींचकर, आप सेब को एक बिंदु में निचोड़ सकते हैं। यदि आप डोनट को उसी टेप से लपेटते हैं, तो आप डोनट या रबर को फाड़े बिना उसे एक बिंदु पर निचोड़ नहीं सकते। इस संदर्भ में, एक सेब को "एकल रूप से जुड़ा हुआ" आंकड़ा कहा जाता है, लेकिन एक डोनट बस जुड़ा हुआ नहीं है। लगभग सौ साल पहले, पोंकारे ने स्थापित किया कि द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है और सुझाव दिया कि त्रि-आयामी क्षेत्र भी बस जुड़ा हुआ है। विश्व के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इस अनुमान को सिद्ध नहीं कर सके।

क्ले इंस्टीट्यूट पुरस्कार के लिए अर्हता प्राप्त करने के लिए, पेरेलमैन को केवल एक वैज्ञानिक पत्रिका में अपना समाधान प्रकाशित करना था, और यदि दो साल के भीतर कोई भी उसकी गणना में त्रुटि नहीं ढूंढ पाता, तो समाधान सही माना जाएगा। हालाँकि, पेरेलमैन ने शुरू से ही नियमों से विचलन किया और लॉस एलामोस विज्ञान प्रयोगशाला की प्रीप्रिंट साइट पर अपना समाधान प्रकाशित किया। शायद उसे डर था कि उसकी गणना में कोई त्रुटि आ गई है - ऐसी ही कहानी गणित में पहले भी हो चुकी है। 1994 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने प्रसिद्ध फ़र्मेट प्रमेय का एक समाधान प्रस्तावित किया, और कुछ महीनों बाद यह पता चला कि उनकी गणना में एक त्रुटि आ गई थी (हालाँकि बाद में इसे ठीक कर लिया गया था, और सनसनी अभी भी बनी हुई थी)। पॉइंकेयर अनुमान के प्रमाण का अभी भी कोई आधिकारिक प्रकाशन नहीं है - लेकिन ग्रह पर सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों की एक आधिकारिक राय है, जो पेरेलमैन की गणना की शुद्धता की पुष्टि करती है।

पोंकारे समस्या को हल करने के लिए ग्रिगोरी पेरेलमैन को फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। लेकिन रूसी वैज्ञानिक ने उस पुरस्कार से इनकार कर दिया, जिसके वह निस्संदेह हकदार थे। वर्ल्ड यूनियन ऑफ मैथेमेटिशियंस (डब्ल्यूसीएम) के अध्यक्ष जॉन बॉल ने एक संवाददाता सम्मेलन में कहा, "ग्रिगोरी ने मुझे बताया कि वह इस समुदाय के बाहर, अंतरराष्ट्रीय गणितीय समुदाय से अलग-थलग महसूस करते हैं, और इसलिए पुरस्कार प्राप्त नहीं करना चाहते हैं।" मैड्रिड.

ऐसी अफवाहें हैं कि ग्रिगोरी पेरेलमैन पूरी तरह से विज्ञान छोड़ने जा रहे हैं: छह महीने पहले उन्होंने अपने मूल स्टेक्लोव गणितीय संस्थान को छोड़ दिया था, और वे कहते हैं कि वह अब गणित नहीं करेंगे। शायद रूसी वैज्ञानिक का मानना ​​है कि प्रसिद्ध परिकल्पना को सिद्ध करके उन्होंने विज्ञान के लिए वह सब कुछ किया है जो वह कर सकते थे। लेकिन ऐसे प्रतिभाशाली वैज्ञानिक और असाधारण व्यक्ति के विचारों के बारे में बात करने का काम कौन करेगा? .. पेरेलमैन ने किसी भी टिप्पणी से इनकार कर दिया, और उन्होंने द डेली टेलीग्राफ अखबार से कहा: "मैं जो कुछ भी कह सकता हूं वह मामूली सार्वजनिक हित का नहीं है।" हालाँकि, प्रमुख वैज्ञानिक प्रकाशन अपने आकलन में एकमत थे जब उन्होंने बताया कि "ग्रिगोरी पेरेलमैन, पॉइंकेरे प्रमेय को हल करने के बाद, अतीत और वर्तमान की महानतम प्रतिभाओं के बराबर खड़े थे।"

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कई साल पहले, मुझे ताशकंद से वैलेरी मुराटोव का एक पत्र मिला था, लिखावट से पता चलता है कि वह युवा उम्र का एक व्यक्ति था, जो उस समय कोमुनिश्चेस्काया स्ट्रीट पर मकान नंबर 31 में रहता था। उस व्यक्ति ने दृढ़ निश्चय किया था: "सीधे मुद्दे पर। कितना क्या आप मुझे फ़र्मेट के प्रमेय को साबित करने के लिए भुगतान करेंगे? कम से कम 500 रूबल का खर्च आता है। अन्य समय में, मैं इसे आपको मुफ़्त में साबित कर देता, लेकिन अब मुझे पैसे की ज़रूरत है..."

एक अद्भुत विरोधाभास: बहुत कम लोग जानते हैं कि फ़र्मेट कौन है, वह कब रहता था और क्या करता था। यहां तक ​​कि बहुत कम लोग ही उनके महान प्रमेय का सबसे सामान्य शब्दों में वर्णन कर सकते हैं। लेकिन हर कोई जानता है कि कुछ प्रकार की फ़र्मेट प्रमेय है, जिसके प्रमाण पर पूरी दुनिया के गणितज्ञ 300 से अधिक वर्षों से संघर्ष कर रहे हैं, लेकिन वे इसे साबित नहीं कर सकते हैं!

बहुत से महत्वाकांक्षी लोग हैं, और यह चेतना कि कुछ ऐसा है जो दूसरे नहीं कर सकते, उनकी महत्वाकांक्षा को और बढ़ावा देता है। इसलिए, महान प्रमेय के हजारों (!) प्रमाण दुनिया भर की अकादमियों, वैज्ञानिक संस्थानों और यहां तक ​​कि अखबार के संपादकीय कार्यालयों में आए हैं - छद्म वैज्ञानिक शौकिया प्रदर्शन का एक अभूतपूर्व और कभी नहीं टूटा रिकॉर्ड। यहां तक ​​कि एक शब्द भी है: "फर्मेटिस्ट्स", अर्थात्, महान प्रमेय को साबित करने की इच्छा से ग्रस्त लोग, जिन्होंने अपने काम का मूल्यांकन करने की मांग के साथ पेशेवर गणितज्ञों को पूरी तरह से थका दिया। प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ एडमंड लैंडौ ने एक मानक भी तैयार किया, जिसके अनुसार उन्होंने उत्तर दिया: "फर्मेट के प्रमेय के आपके प्रमाण में पृष्ठ पर एक त्रुटि है ...", और उनके स्नातक छात्रों ने पृष्ठ संख्या डाल दी। और 1994 की गर्मियों में, दुनिया भर के समाचार पत्रों ने पूरी तरह से सनसनीखेज रिपोर्ट दी: महान प्रमेय सिद्ध हो गया है!

तो, फ़र्मेट कौन है, समस्या का सार क्या है और क्या यह वास्तव में हल हो गया है? पियरे फ़र्मेट का जन्म 1601 में एक टान्नर के परिवार में हुआ था, जो एक धनी और सम्मानित व्यक्ति था - उसने अपने पैतृक शहर ब्यूमोंट में दूसरे वाणिज्य दूत के रूप में कार्य किया - यह मेयर के सहायक जैसा कुछ है। पियरे ने पहले फ्रांसिस्कन भिक्षुओं के साथ अध्ययन किया, फिर टूलूज़ में कानून संकाय में, जहां उन्होंने वकालत का अभ्यास किया। हालाँकि, फ़र्मेट की रुचियों का दायरा न्यायशास्त्र से कहीं आगे तक चला गया। शास्त्रीय भाषाशास्त्र में उनकी विशेष रुचि थी, प्राचीन लेखकों के ग्रंथों पर उनकी टिप्पणियाँ ज्ञात हैं। और दूसरा जुनून है गणित.

17वीं शताब्दी में, जैसा कि, वास्तव में, कई वर्षों बाद तक, ऐसा कोई पेशा नहीं था: गणितज्ञ। इसलिए, उस समय के सभी महान गणितज्ञ "अंशकालिक" गणितज्ञ थे: रेने डेसकार्टेस ने सेना में सेवा की थी, फ्रेंकोइस वियत एक वकील थे, फ्रांसेस्को कैवलियरी एक भिक्षु थे। उस समय कोई वैज्ञानिक पत्रिकाएँ नहीं थीं, और विज्ञान के क्लासिक पियरे फ़र्मेट ने अपने जीवनकाल के दौरान एक भी वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित नहीं किया। "शौकियाओं" का एक संकीर्ण दायरा था, जो उनके लिए विभिन्न दिलचस्प समस्याओं को हल करते थे और इस बारे में एक-दूसरे को पत्र लिखते थे, कभी-कभी बहस करते थे (जैसे डेसकार्टेस के साथ फ़र्मेट), लेकिन, मूल रूप से, समान विचारधारा वाले बने रहे। वे नए गणित के संस्थापक बन गए, प्रतिभाशाली बीज बोने वाले, जिनसे आधुनिक गणितीय ज्ञान का शक्तिशाली वृक्ष विकसित होना शुरू हुआ, ताकत और शाखाएं प्राप्त हुईं।

तो, फ़र्मेट वही "शौकिया" था। टूलूज़ में, जहां वह 34 वर्षों तक रहे, हर कोई उन्हें सबसे पहले चैंबर ऑफ इन्वेस्टिगेशन के सलाहकार और एक अनुभवी वकील के रूप में जानता था। 30 साल की उम्र में उन्होंने शादी की, उनके तीन बेटे और दो बेटियां थीं, कभी-कभी व्यापारिक यात्राओं पर जाते थे और उनमें से एक के दौरान 63 साल की उम्र में उनकी अचानक मृत्यु हो गई। सभी! थ्री मस्किटियर्स के समकालीन इस व्यक्ति का जीवन आश्चर्यजनक रूप से घटनापूर्ण और रोमांच से रहित है। साहसिक कार्य उनके महान प्रमेय के हिस्से में आ गए। हम फ़र्मेट की संपूर्ण गणितीय विरासत के बारे में बात नहीं करेंगे, और उसके बारे में लोकप्रिय तरीके से बात करना मुश्किल है। मेरी बात मानें: यह विरासत महान और विविध है। यह दावा कि महान प्रमेय उनके काम का शिखर है, अत्यधिक विवादास्पद है। यह सिर्फ इतना है कि महान प्रमेय का भाग्य आश्चर्यजनक रूप से दिलचस्प है, और गणित के रहस्यों से अनभिज्ञ लोगों की विशाल दुनिया हमेशा प्रमेय में नहीं, बल्कि इसके आस-पास की हर चीज में रुचि रखती है...

इस पूरी कहानी की जड़ें पुरातनता में खोजी जानी चाहिए, जो फ़र्मेट को बहुत प्रिय है। लगभग तीसरी शताब्दी में, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस अलेक्जेंड्रिया में रहते थे, एक वैज्ञानिक जो मूल तरीके से सोचते थे, बॉक्स के बाहर सोचते थे और बॉक्स के बाहर अपने विचारों को व्यक्त करते थे। उनके अंकगणित के 13 खंडों में से केवल 6 ही हमारे पास आ पाए हैं। जब फ़र्मेट 20 वर्ष के थे, तब उनके कार्यों का एक नया अनुवाद सामने आया। फ़र्मेट को डायोफैंटस का बहुत शौक था और ये रचनाएँ उसकी संदर्भ पुस्तक थीं। इसके क्षेत्रों पर, फ़र्मेट ने अपना महान प्रमेय लिखा, जो अपने सरलतम आधुनिक रूप में इस तरह दिखता है: समीकरण Xn + Yn = Zn का n - 2 से अधिक के लिए पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है। (n = 2 के लिए, समाधान स्पष्ट है : Z2 + 42 = 52 ). उसी स्थान पर, डायोफैंटाइन वॉल्यूम के हाशिये पर, फ़र्मेट कहते हैं: "मैंने वास्तव में यह अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये हाशिए उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।"

पहली नज़र में, छोटी सी बात सरल है, लेकिन जब अन्य गणितज्ञों ने इस "सरल" प्रमेय को सिद्ध करना शुरू किया, तो सौ वर्षों तक कोई भी सफल नहीं हुआ। अंत में, महान लियोनहार्ड यूलर ने इसे n = 4 के लिए सिद्ध किया, फिर 20 (!) वर्षों के बाद - n = 3 के लिए। और फिर से काम कई वर्षों तक रुका रहा। अगली जीत जर्मन पीटर डिरिचलेट (1805-1859) और फ्रांसीसी एंड्रियन लीजेंड्रे (1752-1833) की है, जिन्होंने स्वीकार किया कि फ़र्मेट n = 5 के लिए सही था। फिर फ्रांसीसी गेब्रियल लैमेट (1795-1870) ने भी ऐसा ही किया। n = 7. अंत में, पिछली शताब्दी के मध्य में, जर्मन अर्न्स्ट कुमेर (1810-1893) ने 100 से कम या उसके बराबर n के सभी मूल्यों के लिए महान प्रमेय को सिद्ध किया। इसके अलावा, उन्होंने इसे उन तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जो कर सकते थे फ़र्मेट को ज्ञात नहीं था, जिसने महान प्रमेय के चारों ओर रहस्य के पर्दे को और मजबूत कर दिया।

इस प्रकार, यह पता चला कि वे फ़र्मेट के प्रमेय को "टुकड़ा-टुकड़ा" साबित कर रहे थे, लेकिन कोई भी "पूरी तरह से" करने में सक्षम नहीं था। प्रमाणों के नए प्रयासों से केवल n के मूल्यों में मात्रात्मक वृद्धि हुई। हर कोई समझ गया कि, श्रम के रसातल को खर्च करने के बाद, मनमाने ढंग से बड़ी संख्या n के लिए महान प्रमेय को साबित करना संभव था, लेकिन फ़र्मेट ने किसी भी मूल्य के बारे में बात की इसमें से 2 से अधिक! यह "मनमाने ढंग से बड़े" और "किसी भी" के बीच इस अंतर में था कि समस्या का पूरा अर्थ केंद्रित था।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ़र्मग के प्रमेय को साबित करने का प्रयास केवल किसी प्रकार का गणितीय खेल नहीं था, एक जटिल रिबस का समाधान था। इन प्रमाणों के दौरान, नए गणितीय क्षितिज खुले, समस्याएँ उत्पन्न हुईं और हल हुईं, जो गणितीय वृक्ष की नई शाखाएँ बन गईं। महान जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट (1862-1943) ने महान प्रमेय को एक उदाहरण के रूप में उद्धृत किया कि "एक विशेष और प्रतीत होने वाली महत्वहीन समस्या का विज्ञान पर कितना उत्तेजक प्रभाव हो सकता है।" वही कुमेर, फ़र्मेट के प्रमेय पर काम करते हुए, स्वयं उन प्रमेयों को सिद्ध किया जिन्होंने संख्या सिद्धांत, बीजगणित और फ़ंक्शन सिद्धांत की नींव रखी। इसलिए महान प्रमेय को सिद्ध करना कोई खेल नहीं है, बल्कि एक वास्तविक विज्ञान है।

समय बीतता गया, और इलेक्ट्रॉनिक्स पेशेवर "fsrmatnts" की सहायता के लिए आया। नये तरीकों के इलेक्ट्रॉनिक दिमाग का आविष्कार तो नहीं हो सका, लेकिन उन्होंने गति पकड़ ली। लगभग 80 के दशक की शुरुआत में, फ़र्मेट के प्रमेय को कंप्यूटर की मदद से 5500 से कम या बराबर के लिए सिद्ध किया गया था। धीरे-धीरे, यह आंकड़ा 100,000 तक बढ़ गया, लेकिन हर कोई समझ गया कि ऐसा "संचय" शुद्ध प्रौद्योगिकी का मामला था, दे रहा था दिमाग या दिल को कुछ भी नहीं. वे महान प्रमेय के किले को "सिर पर" नहीं ले सके और गोल चक्कर युद्धाभ्यास की तलाश करने लगे।

1980 के दशक के मध्य में, युवा गणितज्ञ जी. फ़िल्टिंग्स ने तथाकथित "मोर्डेल अनुमान" को सिद्ध किया, जो, वैसे, 61 वर्षों तक किसी भी गणितज्ञ द्वारा "पहुंच से बाहर" था। आशा जगी कि अब, यूं कहें तो, "फ्लैंक से हमला" करके, फ़र्मेट के प्रमेय को भी हल किया जा सकता है। हालाँकि, तब कुछ नहीं हुआ. 1986 में, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ़्री ने एस्सेशे में एक नई प्रमाण पद्धति का प्रस्ताव रखा। मैं इसे सख्ती से समझाने का काम नहीं करता, लेकिन गणितीय रूप से नहीं, बल्कि सामान्य मानवीय भाषा में, यह कुछ इस तरह लगता है: अगर हम आश्वस्त हैं कि किसी अन्य प्रमेय का प्रमाण एक अप्रत्यक्ष, किसी तरह से फ़र्मेट के प्रमेय का रूपांतरित प्रमाण है, तो, इसलिए, हम महान प्रमेय को सिद्ध करेंगे। एक साल बाद, बर्कले के अमेरिकी केनेथ रिबेट ने दिखाया कि फ्रे सही थे और, वास्तव में, एक प्रमाण को दूसरे प्रमाण में बदला जा सकता है। दुनिया भर के कई गणितज्ञों ने यह रास्ता अपनाया है। हमने विक्टर अलेक्जेंड्रोविच कोलिवानोव की महान प्रमेय को सिद्ध करने के लिए बहुत कुछ किया है। तीन सौ साल पुराने अभेद्य किले की दीवारें कांप उठीं। गणितज्ञों को एहसास हुआ कि यह अधिक समय तक नहीं चलेगा।

1993 की गर्मियों में, प्राचीन कैम्ब्रिज में, आइजैक न्यूटन इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिकल साइंसेज में, दुनिया के 75 सबसे प्रमुख गणितज्ञ अपनी समस्याओं पर चर्चा करने के लिए एकत्र हुए। उनमें प्रिंसटन विश्वविद्यालय के अमेरिकी प्रोफेसर एंड्रयू विल्स भी थे, जो संख्या सिद्धांत के एक प्रमुख विशेषज्ञ थे। हर कोई जानता था कि वह कई वर्षों से महान प्रमेय पर काम कर रहा था। विल्स ने तीन प्रस्तुतियाँ दीं, और आखिरी प्रस्तुति में, 23 जून, 1993 को, बिल्कुल अंत में, ब्लैकबोर्ड से दूर हटते हुए, उन्होंने मुस्कुराते हुए कहा:

मुझे लगता है मैं जारी नहीं रखूंगा...

पहले तो सन्नाटा छा गया, फिर तालियों की गड़गड़ाहट हुई। हॉल में बैठे लोग यह समझने के लिए पर्याप्त योग्य थे: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो गया है! किसी भी स्थिति में, उपस्थित लोगों में से किसी को भी उपरोक्त प्रमाण में कोई त्रुटि नहीं मिली। न्यूटन इंस्टीट्यूट के एसोसिएट निदेशक, पीटर गोडार्ड ने संवाददाताओं से कहा:

“अधिकांश विशेषज्ञों ने नहीं सोचा था कि वे जीवन भर इसका पता लगा पाएंगे। यह हमारी सदी की गणित की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है...

कई महीने बीत गए, कोई टिप्पणी या खंडन नहीं आया। सच है, विल्स ने अपना प्रमाण प्रकाशित नहीं किया, बल्कि अपने काम के तथाकथित प्रिंट अपने सहयोगियों के एक बहुत ही संकीर्ण दायरे में भेजे, जो स्वाभाविक रूप से, गणितज्ञों को इस वैज्ञानिक अनुभूति पर टिप्पणी करने से रोकता है, और मैं शिक्षाविद् लुडविग दिमित्रिच फद्दीव को समझता हूं, किसने कहा:

- मैं कह सकता हूं कि सनसनी तब हुई जब मैंने इसका सबूत अपनी आंखों से देखा।

फद्दीव का मानना ​​है कि विल्स के जीतने की संभावना बहुत अधिक है।

उदाहरण के लिए, मेरे पिता, जो संख्या सिद्धांत के जाने-माने विशेषज्ञ थे, आश्वस्त थे कि प्रमेय सिद्ध हो जाएगा, लेकिन प्राथमिक तरीकों से नहीं।''

हमारे एक अन्य शिक्षाविद्, विक्टर पावलोविच मास्लोव, इस खबर को लेकर संशय में थे, और उनका मानना ​​है कि महान प्रमेय का प्रमाण कोई वास्तविक गणितीय समस्या नहीं है। अपने वैज्ञानिक हितों के संदर्भ में, एप्लाइड गणित परिषद के अध्यक्ष मास्लोव "फर्मेटिस्ट्स" से बहुत दूर हैं, और जब वह कहते हैं कि महान प्रमेय का पूरा समाधान केवल खेल हित के लिए है, तो कोई भी उन्हें समझ सकता है। हालाँकि, मैं यह ध्यान देने का साहस करता हूँ कि किसी भी विज्ञान में प्रासंगिकता की अवधारणा परिवर्तनशील है। 90 साल पहले, रदरफोर्ड को, शायद, यह भी बताया गया था: "अच्छा, अच्छा, अच्छा, रेडियोधर्मी क्षय का सिद्धांत ... तो क्या? इसका क्या उपयोग है? .."

महान प्रमेय के प्रमाण पर काम पहले से ही बहुत सारे गणित दे चुका है, और कोई उम्मीद कर सकता है कि यह और भी अधिक देगा।

पीटर गोडार्ड ने कहा, "विल्स ने जो किया है वह गणितज्ञों को अन्य क्षेत्रों में ले जाएगा।" - बल्कि, यह विचार की एक पंक्ति को बंद नहीं करता है, बल्कि नए प्रश्न उठाता है जिनके उत्तर की आवश्यकता होगी ...

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर मिखाइल इलिच ज़ेलिकिन ने मुझे वर्तमान स्थिति इस प्रकार समझाई:

विल्स के काम में किसी को कोई गलती नजर नहीं आती. लेकिन इस कार्य को वैज्ञानिक तथ्य बनाने के लिए यह आवश्यक है कि कई प्रतिष्ठित गणितज्ञ स्वतंत्र रूप से इस प्रमाण को दोहराएँ और इसकी सत्यता की पुष्टि करें। गणितीय समुदाय द्वारा विल्स के काम को मान्यता देने के लिए यह एक अनिवार्य शर्त है...

इसमें कितना समय लगेगा?

मैंने यह प्रश्न संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में हमारे अग्रणी विशेषज्ञों में से एक, भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर अलेक्सी निकोलाइविच पारशिन से पूछा।

एंड्रयू विल्स के पास अभी बहुत समय है...

तथ्य यह है कि 13 सितंबर, 1907 को, जर्मन गणितज्ञ पी. वोल्फस्केल, जो अधिकांश गणितज्ञों के विपरीत, एक अमीर आदमी थे, ने उस व्यक्ति को 100 हजार अंक दिए जो अगले 100 वर्षों में महान प्रमेय को सिद्ध करेगा। सदी की शुरुआत में, वसीयत की गई राशि से ब्याज प्रसिद्ध गेटगैन्जेंट विश्वविद्यालय के खजाने में जाता था। इस धन का उपयोग प्रमुख गणितज्ञों को व्याख्यान देने और वैज्ञानिक कार्य करने के लिए आमंत्रित करने के लिए किया गया था। उस समय, डेविड हिल्बर्ट, जिनका मैं पहले ही उल्लेख कर चुका हूँ, पुरस्कार आयोग के अध्यक्ष थे। वह प्रीमियम का भुगतान नहीं करना चाहता था.

“सौभाग्य से,” महान गणितज्ञ ने कहा, “ऐसा लगता है कि मेरे अलावा हमारे पास कोई गणितज्ञ नहीं है, जो यह कार्य कर सके, लेकिन मैं उस हंस को मारने की हिम्मत कभी नहीं करूंगा जो हमारे लिए सोने के अंडे देती है। ”

वोल्फस्केल द्वारा निर्दिष्ट समय सीमा - 2007 से पहले, कुछ साल बचे हैं, और, मुझे ऐसा लगता है, "हिल्बर्ट चिकन" पर एक गंभीर खतरा मंडरा रहा है। लेकिन वास्तव में यह पुरस्कार के बारे में नहीं है। यह विचार की जिज्ञासा और मानवीय दृढ़ता के बारे में है। उन्होंने तीन सौ से अधिक वर्षों तक संघर्ष किया, लेकिन फिर भी उन्होंने इसे साबित किया!

और आगे। मेरे लिए, इस पूरी कहानी में सबसे दिलचस्प बात यह है: फ़र्मेट ने स्वयं अपने महान प्रमेय को कैसे सिद्ध किया? आख़िरकार, आज की सारी गणितीय तरकीबें उसके लिए अज्ञात थीं। और क्या उसने इसे बिल्कुल साबित किया? आख़िरकार, एक ऐसा संस्करण है जिसे उन्होंने सिद्ध कर दिया है, लेकिन उन्हें स्वयं एक त्रुटि मिली, और इसलिए उन्होंने अन्य गणितज्ञों को प्रमाण नहीं भेजे, लेकिन डायोफैंटाइन वॉल्यूम के हाशिये में प्रविष्टि को काटना भूल गए। इसलिए, मुझे ऐसा लगता है कि महान प्रमेय का प्रमाण स्पष्ट रूप से हुआ, लेकिन फ़र्मेट के प्रमेय का रहस्य बना रहा, और यह संभावना नहीं है कि हम इसे कभी भी प्रकट करेंगे ...

शायद तब फ़र्मेट से ग़लती हुई थी, लेकिन जब उन्होंने लिखा था तो उनसे ग़लती नहीं हुई थी: "संभवतः आने वाली पीढ़ियाँ यह दिखाने के लिए मेरी आभारी होंगी कि प्राचीन लोग सब कुछ नहीं जानते थे, और यह उन लोगों की चेतना में प्रवेश कर सकता है जो मेरे बाद आएंगे। पारित करने के लिए।" अपने बेटों को मशाल..."