त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \अल्फा = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण की ज्या के वर्ग और एक कोण की कोज्या के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की ज्या की गणना करना संभव बनाता है जब उसकी कोज्या ज्ञात हो और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का बहुत बार उपयोग किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ढूँढना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये सर्वसमिकाएँ ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं से बनती हैं। आखिरकार, यदि आप देखें, तो परिभाषा के अनुसार, y की कोटि ज्या है, और x का भुज कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटैंजेंट होगा।

हम इसे केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए जोड़ते हैं जिनके लिए उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन समझ में आते हैं, सर्वसमिकाएँ होंगी, सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha कोणों के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा एक कोण \alpha के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \alpha=1

यह पहचान केवल उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, या तो कोटैंजेंट या टेंगेंट निर्धारित नहीं किया जाएगा।

उपरोक्त बिंदुओं के आधार पर, हम पाते हैं कि tg \alpha = \frac(y)(x), ए सीटीजी\अल्फा=\frac(x)(y). इसलिए यह इस प्रकार है कि tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं, पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएं हैं।

स्पर्शरेखा और कोसाइन, कोटैंजेंट और साइन के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान . के अलावा सभी \alpha के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 का योग और कोण \alpha के कोटैंजेंट का वर्ग, दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z के अलावा किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

\sin \alpha और tg \alpha if . खोजें \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा जुड़े हुए हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापित करना \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

इस समीकरण के 2 हल हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, साइन सकारात्मक है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

टीजी \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

\cos \alpha और ctg \alpha if and . खोजें \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाएं

फेसला

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1सशर्त संख्या \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \बाएं (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो हल हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, कोसाइन ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं सीटीजी \अल्फा = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संबंधित मूल्यों को जानते हैं।

सीटीजी \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मूल त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

हम तुरंत मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जिनका विश्लेषण हम इस लेख में करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध

कभी-कभी वे ऊपर दी गई तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं मूल त्रिकोणमितीय पहचानतरह . इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से समानताएं इसके दोनों भागों को क्रमशः और से विभाजित करने के बाद प्राप्त की जाती हैं, और समानताएं और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

अर्थात्, यह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। आइए अब इसे साबित करते हैं।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर किया जाता है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन. यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। कम अक्सर नहीं, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट

रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोज्या x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के कोटि का अनुपात है, अर्थात्, , और कोटैंजेंट भुज का कोटि से अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं दी जाती हैं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटांगेंट, कोज्या और ज्या का अनुपात है।

इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों को पकड़ें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय कार्य समझ में आते हैं। तो सूत्र किसी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए , से भिन्न , जहाँ z कोई है .

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में एक और अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान प्रपत्र के एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट परिभाषित नहीं होता है।

सूत्र का प्रमाण बहुत आसान। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत थोड़ा अलग तरीके से किया जा सकता था। चूंकि और , तब .

तो, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।

इस लेख में हम बात करेंगे सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. इसमें आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से किसी भी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अभिव्यक्ति शामिल है। इसके अलावा, इस तरह के प्रतिस्थापन को तर्कसंगत रूप से किया जाता है, अर्थात बिना जड़ों के।

सबसे पहले, हम आधे कोण के स्पर्शरेखा के रूप में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटंगेंट को व्यक्त करने वाले सूत्र लिखते हैं। आगे, हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति दिखाते हैं। और अंत में, आइए सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने के कई उदाहरण देखें।

पृष्ठ नेविगेशन।

आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

सबसे पहले, आइए एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट को आधे कोण के स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त करने वाले चार सूत्र लिखें।

ये सूत्र उन सभी कोणों के लिए मान्य हैं जिन पर उनमें शामिल स्पर्शरेखा और कोटंगेंट परिभाषित हैं:

सूत्रों की व्युत्पत्ति

आइए हम आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को व्यक्त करने वाले सूत्रों की व्युत्पत्ति का विश्लेषण करें। आइए साइन और कोसाइन के सूत्रों से शुरू करें।

हम द्विकोण सूत्रों का उपयोग करके साइन और कोसाइन का प्रतिनिधित्व करते हैं: और क्रमश। अब भाव और हर 1 के साथ भिन्नों के रूप में लिखें और . इसके अलावा, मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान के आधार पर, हम हर में इकाइयों को साइन और कोसाइन के वर्गों के योग के साथ बदलते हैं, जिसके बाद हम प्राप्त करते हैं और . अंत में, हम परिणामी भिन्नों के अंश और हर को विभाजित करते हैं (इसका मान शून्य से भिन्न होता है, बशर्ते ) नतीजतन, क्रियाओं की पूरी श्रृंखला इस तरह दिखती है:


और

यह आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से साइन और कोसाइन को व्यक्त करने वाले सूत्रों की व्युत्पत्ति को पूरा करता है।

यह स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए सूत्र प्राप्त करना बाकी है। अब, ऊपर प्राप्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, और सूत्र और , हम तुरंत आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को व्यक्त करने वाले सूत्र प्राप्त करते हैं:

इसलिए, हमने सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के लिए सभी सूत्र प्राप्त किए हैं।

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने के उदाहरण

सबसे पहले, आइए अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

एक अभिव्यक्ति दें केवल एक त्रिकोणमितीय फलन वाले व्यंजक के लिए।

फेसला।

जवाब:

.

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:प्रोक। 9 कोशिकाओं के लिए। औसत स्कूल / यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की।- एम .: ज्ञानोदय, 1990.- 272 पी .: बीमार।- आईएसबीएन 5-09-002727-7
• बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 1993. - 351 पी .: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4।
• बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / ए। एन। कोलमोगोरोव, ए। एम। अब्रामोव, यू। पी। डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए.एन. कोलमोगोरोवा.- 14वां संस्करण.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 2004.- 384 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-013651-3।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

अनुदेश

व्यक्त करने के लिए अपने ग्रहमिति के ज्ञान का प्रयोग करें साइनससह के माध्यम से साइनस. परिभाषा से, साइनससमकोण त्रिभुज में कोण का ओम विपरीत लंबाई का है, और to साइनसओम - कर्ण से सटा पैर। यहां तक ​​​​कि पाइथागोरस प्रमेय का ज्ञान आपको कुछ मामलों में वांछित परिवर्तन को जल्दी से खोजने की अनुमति देगा।

व्यक्त करना साइनससह के माध्यम से साइनस, सरलतम त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, जिसके अनुसार इन राशियों के वर्गों का योग एकता देता है। कृपया ध्यान दें कि आप कार्य को सही ढंग से तभी पूरा कर सकते हैं जब आप जानते हैं कि वांछित कोण तिमाही में है, अन्यथा आपको दो संभावित परिणाम मिलेंगे - एक सकारात्मक और एक संकेत के साथ।

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b, c क्रमशः 3, 4, 5 मिमी के बराबर हैं।

ढूँढ़ने के लिए कोज्याबड़े पक्षों के बीच संलग्न कोण।

आइए हम भुजा के सम्मुख कोण को एक से होकर निरूपित करें, फिर, ऊपर व्युत्पन्न सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

उत्तर: 0.8.

यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, तो ज्ञात करने के लिए कोज्याऔर कोण की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई जानने के लिए पर्याप्त है ( कोज्यासमकोण 0) है।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b, c हैं, जहाँ c कर्ण है।

सभी विकल्पों पर विचार करें:

यदि त्रिभुज की भुजाओं a और b की लंबाई ज्ञात हो तो cos ज्ञात कीजिए

आइए इसके अतिरिक्त पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

परिणामी सूत्र की शुद्धता के लिए, हम इसे उदाहरण 1 से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात।

प्रारंभिक गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

इसी तरह, वहाँ है कोज्याएक आयताकार में त्रिकोणअन्य मामलों में:

ज्ञात ए और सी (कर्ण और विपरीत पैर), कॉस ज्ञात करें?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s।

उदाहरण से a=3 और c=5 मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बी और सी ज्ञात हैं (कर्ण और आसन्न पैर)।

एसओएस खोजें?

समान परिवर्तन करने के बाद (उदाहरण 2 और 3 में दिखाया गया है), हम इस मामले में प्राप्त करते हैं कोज्यामें त्रिकोणएक बहुत ही सरल सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

व्युत्पन्न सूत्र की सादगी को प्राथमिक तरीके से समझाया गया है: वास्तव में, कोने से सटे? पैर कर्ण का एक प्रक्षेपण है, इसकी लंबाई कर्ण की लंबाई के बराबर है जिसे कॉस से गुणा किया जाता है?

पहले उदाहरण से b=4 और c=5 मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

तो हमारे सभी सूत्र सही हैं।

संबंधित सूत्र प्राप्त करने के लिए साइनसऔर सह साइनसकोण, कुछ परिभाषाएँ देना या याद करना आवश्यक है। इसलिए, साइनसकोण एक समकोण त्रिभुज के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात (विभाजन का भागफल) है। कं साइनसकोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

अनुदेश

मददगार सलाह

किसी भी कोण की ज्या और कोज्या का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता।

साइनसऔर कोज्या- ये प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कार्य हैं जिनके लिए कई परिभाषाएँ हैं - एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक वृत्त के माध्यम से, एक अंतर समीकरण के समाधान के माध्यम से, एक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोणों के माध्यम से। इनमें से प्रत्येक परिभाषा आपको इन दो कार्यों के बीच संबंध निकालने की अनुमति देती है। निम्नलिखित शायद व्यक्त करने का सबसे सरल तरीका है कोज्यासाइन के माध्यम से - एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के लिए उनकी परिभाषाओं के माध्यम से।

अनुदेश

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या को इस आकृति की भुजाओं की लंबाई के पदों में व्यक्त करें। परिभाषा के अनुसार, कोण की ज्या (α) पक्ष की लंबाई का अनुपात होना चाहिए (ए) इसके विपरीत - पैर - पक्ष की लंबाई (सी) समकोण के विपरीत - कर्ण: पाप (α) = ए / सी।

के लिए एक समान सूत्र खोजें कोज्यालेकिन एक ही कोण। परिभाषा के अनुसार, इस मान को इस कोने (दूसरे पैर) से सटे पक्ष (बी) की लंबाई के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए (सी) समकोण के विपरीत झूठ बोलना: कॉस (ए) \u003d एसी।

पाइथागोरस प्रमेय से निम्नलिखित समीकरण को इस तरह से फिर से लिखिए कि यह पिछले दो चरणों में व्युत्पन्न पैरों और कर्ण के बीच संबंधों का उपयोग करता है। ऐसा करने के लिए, पहले इस प्रमेय के मूल (a² + b² = c²) को कर्ण के वर्ग (a² / c² + b² / c² = 1) से विभाजित करें, और फिर इस रूप में परिणामी समानता को फिर से लिखें: (a / सी)² + (बी / सी)² = 1।

पहले और दूसरे चरणों के सूत्रों के आधार पर परिणामी अभिव्यक्ति में पैरों की लंबाई और कर्ण के अनुपात को त्रिकोणमितीय कार्यों से बदलें: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. एक्सप्रेस कोज्यापरिणामी समानता से: cos(a) = √(1 - sin²(a)). इस समस्या को सामान्य तरीके से हल किया जा सकता है।

यदि, सामान्य के अलावा, आपको एक संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करें। OS मेनू के "ऑल प्रोग्राम्स" सेक्शन के "स्टैंडर्ड" सब-सेक्शन में इसके लॉन्च का लिंक। इस लिंक को संक्षेप में कहा गया है - "कैलकुलेटर"। इस कार्यक्रम से त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने में सक्षम होने के लिए, इसके "इंजीनियरिंग" इंटरफ़ेस को सक्षम करें - कुंजी संयोजन Alt + 2 दबाएं।

शर्तों में कोण की साइन का मान दर्ज करें और पदनाम x² के साथ इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करें - यह मूल मान को वर्गित करेगा। फिर कीबोर्ड पर *-1 टाइप करें, एंटर दबाएं, +1 टाइप करें और फिर से एंटर दबाएं - इस तरह आप यूनिट से साइन का वर्ग घटा देंगे। वर्ग निकालने और अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए मूल चिह्न कुंजी पर क्लिक करें।

सटीक विज्ञान की मूलभूत नींव में से एक त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधारणा है। वे एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच सरल संबंधों को परिभाषित करते हैं। साइन इन कार्यों के परिवार से संबंधित है। इसे खोजना, कोण को जानना, प्रयोगात्मक, कम्प्यूटेशनल विधियों के साथ-साथ संदर्भ जानकारी के उपयोग सहित बड़ी संख्या में तरीकों से किया जा सकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर;
• - एक कंप्यूटर;
• - स्प्रेडशीट;
• - ब्रैडी टेबल;
• - कागज़;
• - पेंसिल।

अनुदेश

कोण जानने के आधार पर वांछित मान प्राप्त करने के लिए साइन फ़ंक्शन के साथ प्रयोग करें। यहां तक ​​​​कि सबसे सरल लोगों की आज भी समान कार्यक्षमता है। इस मामले में, गणना बहुत उच्च स्तर की सटीकता (आमतौर पर आठ या अधिक दशमलव स्थानों तक) के साथ की जाती है।

आवेदन करना सॉफ्टवेयर, जो एक स्प्रेडशीट वातावरण है जिस पर चल रहा है निजी कंप्यूटर. ऐसे अनुप्रयोगों के उदाहरण Microsoft Office Excel और OpenOffice.org Calc हैं। किसी भी सेल में एक सूत्र दर्ज करें जिसमें वांछित तर्क के साथ साइन फ़ंक्शन को कॉल करना शामिल है। एंटर दबाए। वांछित मूल्य सेल में प्रदर्शित किया जाएगा। स्प्रेडशीट का लाभ तर्कों के एक बड़े सेट के लिए फ़ंक्शन मानों की त्वरित गणना करने की क्षमता है।

यदि उपलब्ध हो, तो ब्रैडिस तालिकाओं से कोण की ज्या का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए। उनका नुकसान मूल्यों की सटीकता है, जो चार दशमलव स्थानों तक सीमित है।

ज्यामितीय रचनाएँ बनाकर कोण की ज्या का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए। कागज के एक टुकड़े पर एक रेखा खींचें। एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, उस कोण को अलग रखें जिसकी साइन आप खोजना चाहते हैं। एक और रेखा खींचिए जो किसी बिंदु पर पहली रेखा को काटती हो। पहले खंड के लंबवत, एक सीधी रेखा खींचें जो दो मौजूदा खंडों को काटती है। आपको एक समकोण त्रिभुज मिलता है। इसके कर्ण की लंबाई और चांदे से बने कोण के विपरीत पैर को मापें। दूसरे मान को पहले से विभाजित करें। यह वांछित मूल्य होगा।

टेलर श्रेणी विस्तार का प्रयोग करते हुए किसी कोण की ज्या की गणना कीजिए। यदि कोण का मान डिग्री में है, तो इसे रेडियन में बदलें। इस तरह के एक सूत्र का प्रयोग करें: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (एक्स^7)/7! + (x^9)/9! - ... गणना की गति बढ़ाने के लिए, पिछले एक के आधार पर अगले मूल्य की गणना करते हुए, श्रृंखला के अंतिम सदस्य के अंश और हर के वर्तमान मूल्य को लिखें। अधिक सटीक मान के लिए पंक्ति की लंबाई बढ़ाएँ।

इस तरह से साइन और कोसाइन की अवधारणाओं को पेश किया गया। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, और कोसाइन आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोज्या और ज्या के प्रमेय

लेकिन कोज्या और ज्या का उपयोग न केवल समकोण त्रिभुजों में किया जा सकता है। एक अधिक या न्यून कोण का मान ज्ञात करने के लिए, किसी त्रिभुज की भुजा, कोसाइन और ज्या प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त है।

कोसाइन प्रमेय काफी सरल है: "एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल का दोगुना होता है।"

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटा और विस्तारित। छोटे के अनुसार: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं।" इस प्रमेय को अक्सर त्रिभुज के परिवृत्त की संपत्ति के कारण बढ़ाया जाता है: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत पक्षों के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दर्शाता है कि कोई फ़ंक्शन अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कितनी जल्दी बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति में और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन का व्युत्पन्न साइन है, लेकिन माइनस साइन के साथ।

गणित में आवेदन

विशेष रूप से अक्सर, समकोण त्रिभुज और उनसे संबंधित समस्याओं को हल करने में साइन और कोसाइन का उपयोग किया जाता है।

साइन और कोसाइन की सुविधा भी प्रौद्योगिकी में परिलक्षित होती है। कोसाइन और साइन प्रमेयों का उपयोग करके कोणों और भुजाओं का मूल्यांकन करना आसान था, जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़ना। इंजीनियरों और, अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री उपायों की गणना से निपटने के लिए, गैर-टेबल कोणों के कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास लगाया।

तब ब्रैडिस की मेजें बचाव में आईं, जिसमें विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट के हजारों मूल्य थे। सोवियत काल में, कुछ शिक्षकों ने अपने बच्चों को ब्रैडिस टेबल के पन्नों को याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन - त्रिज्या या 57.295779513 ° डिग्री के बराबर लंबाई के साथ चाप का कोणीय मान।

डिग्री (ज्यामिति में) - वृत्त का 1/360वां या समकोण का 1/90वां।

= 3.141592653589793238462… (पाई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोसाइन तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°।

कोण x (डिग्री में)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
कोण x (रेडियन में)	0	/6	/4	/3	/2	2 एक्स /3	3xπ / 4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ / 4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ / 4	11xπ/6	2xπ
क्योंकि x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

मैं आपको चीट शीट न लिखने के लिए मनाऊंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैं यह समझाने की योजना बना रहा हूं कि चीट शीट की आवश्यकता क्यों है और चीट शीट कैसे उपयोगी हैं। और यहाँ - कैसे नहीं सीखना है, लेकिन कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना है। तो - चीट शीट के बिना त्रिकोणमिति! हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. जोड़ सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। वे "सब कुछ गलत है", इसलिए वे संकेतों को बदलते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाओ"। दो कोसाइन - "बन्स" जोड़ने के बाद, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाना, हमें निश्चित रूप से कोलोबोक नहीं मिलेगा। हमें कुछ साइन मिलते हैं। अभी भी माइनस आगे है।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी उत्पाद को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोसाइन का एक जोड़ा कब प्राप्त होता है? कोसाइन जोड़ते समय। इसलिए

हमें एक जोड़ी ज्या कब मिलती है? कोसाइन घटाते समय। यहां से:

"मिश्रण" साइन को जोड़ने और घटाने दोनों द्वारा प्राप्त किया जाता है। कौन सा अधिक मजेदार है: जोड़ना या घटाना? यह सही है, गुना। और सूत्र के लिए अतिरिक्त लें:

कोष्ठक में पहले और तीसरे सूत्र में - राशि। पदों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से, योग नहीं बदलता है। आदेश केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक के तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात, योग

आपकी जेब में पालने की चादरें मन की शांति देती हैं: यदि आप सूत्र भूल जाते हैं, तो आप इसे लिख सकते हैं। और वे आत्मविश्वास देते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो सूत्र आसानी से याद किए जा सकते हैं।