Grafik trinomial kuadrat

2019-04-19

Trinomial persegi

Kami menyebut trinomial persegi sebagai fungsi rasional derajat kedua:

$y = kapak^2 + bx + c$, (1)

di mana $a \neq 0$. Mari kita buktikan bahwa grafik trinomial kuadrat adalah parabola yang diperoleh dengan pergeseran sejajar (searah sumbu koordinat) dari parabola $y = ax^2$. Untuk melakukan ini, kita mereduksi ekspresi (1) dengan transformasi identik sederhana ke dalam bentuk

$y = a(x + \alfa)^2 + \beta$. (2)

Transformasi terkait, yang ditulis di bawah, dikenal sebagai "ekstraksi kuadrat tepat":

$y = x^2 + bx + c = a \kiri (x^2 + \frac(b)(a) x \kanan) + c = a \kiri (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \kanan) - \frac (b^2)(4a) + c = a \kiri (x + \frac(b)(2a) \kanan)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Kami telah mengurangi trinomial kuadrat menjadi bentuk (2); di mana

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(ekspresi ini tidak boleh dihafal; akan lebih mudah untuk mengubah trinomial (1) ke bentuk (2) secara langsung setiap kali).

Sekarang jelas bahwa grafik trinomial (1) adalah parabola yang sama dengan parabola $y = ax^2$ dan diperoleh dengan menggeser parabola $y = ax^2$ searah sumbu koordinat sebesar $\ alpha$ dan $\beta$ (dengan memperhitungkan tanda $\alpha$ dan $\beta$) masing-masing. Titik puncak parabola ini terletak di titik $(- \alpha, \beta)$, sumbunya adalah garis lurus $x = - \alpha$. Untuk $a > 0$, titik puncaknya adalah titik terendah parabola, untuk $a
Sekarang mari kita mempelajari trinomial kuadrat, yaitu kita akan mengetahui sifat-sifatnya bergantung pada nilai numerik koefisien $a, b, c$ dalam ekspresinya (1).

Dalam persamaan (2") kami menyatakan nilai $b^2- 4ac$ dengan $d$:

$y = a \kiri (x + \frac(b)(2a) \kanan)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ disebut diskriminan trinomial kuadrat. Sifat-sifat trinomial (1) (dan letak grafiknya) ditentukan oleh tanda diskriminan $d$ dan koefisien utama $a$.

1) $a > 0, hari 0$; karena $a > 0$, maka graf tersebut terletak di atas titik sudut $O^( \prime)$; itu terletak di setengah bidang atas ($y > 0$ - Gambar. a.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Titik sudut $O^( \prime)$ terletak di bawah sumbu $Ox$, parabola memotong sumbu $Ox$ di dua titik $x_1, x_2$ (Gbr. c.).

4) $a 0$. Titik sudut $O^( \prime)$ terletak di atas sumbu $Ox$, parabola kembali memotong sumbu $Ox$ di dua titik $x_1, x_2$ (Gbr. d).

5) $a > 0, d = 0$. Titik sudutnya terletak pada sumbu $Ox$ itu sendiri, parabola terletak di setengah bidang atas (Gbr. e).

6) $a
Kesimpulan. Jika $d 0$), atau lebih rendah (jika $a
Jika $d > 0$, maka fungsinya bergantian (grafik sebagian terletak di bawah dan sebagian lagi di atas sumbu $Ox$). Trinomial persegi dengan $d > 0$ mempunyai dua akar (nol) $x_1, x_2$. Untuk $a > 0$ bernilai negatif pada interval antara akar-akar (Gbr. c) dan positif di luar interval ini. Pada $a

Didefinisikan dengan rumus $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Bilangan $a, b$ dan $c$ merupakan koefisien trinomial kuadrat, yaitu biasanya disebut: a - yang terdepan, b - koefisien kedua atau rata-rata, c - suku bebas. Fungsi yang berbentuk y = ax 2 + bx + c disebut fungsi kuadrat.

Semua parabola ini mempunyai puncak di titik asal; untuk a > 0 ini adalah titik terendah dari grafik (nilai fungsi terkecil), dan untuk a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Seperti terlihat, untuk a > 0 parabola mengarah ke atas, untuk a< 0 - вниз.

Ada metode grafis sederhana dan mudah digunakan yang memungkinkan Anda membuat sejumlah titik parabola y = ax 2 tanpa perhitungan, jika titik parabola selain titik sudut diketahui. Biarkan intinya M(x 0 , y 0) terletak pada parabola y = ax 2 (Gbr. 2). Jika kita ingin membuat n titik tambahan antara titik O dan M, maka kita membagi ruas ON sumbu absis menjadi n + 1 bagian yang sama besar dan pada titik pembagian tersebut kita menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu Ox. Kami membagi segmen NM menjadi jumlah bagian yang sama dan menghubungkan titik-titik pembagian dengan sinar ke titik asal koordinat. Titik-titik parabola yang diperlukan terletak pada perpotongan garis tegak lurus dan sinar-sinar yang mempunyai bilangan yang sama (pada Gambar 2 jumlah titik pembagiannya adalah 9).

Grafik fungsi y = ax 2 + bx + c berbeda dengan grafik y = ax 2 hanya pada posisinya dan dapat diperoleh hanya dengan menggerakkan kurva pada gambar. Ini mengikuti representasi trinomial kuadrat dalam bentuk

sehingga mudah untuk menyimpulkan bahwa grafik fungsi y = ax 2 + bx + c adalah parabola y = ax 2 yang titik sudutnya dipindahkan ke titik

dan sumbu simetrinya tetap sejajar dengan sumbu Oy (Gbr. 3). Dari ekspresi yang dihasilkan untuk trinomial kuadrat, semua sifat dasarnya dapat diikuti dengan mudah. Ekspresi D = b 2 − 4ac disebut diskriminan dari trinomial kuadrat ax 2 + bx + c dan diskriminan dari persamaan kuadrat terkait ax 2 + bx + c = 0. Tanda diskriminan menentukan apakah grafik dari trinomial kuadrat tersebut trinomial kuadrat memotong sumbu x atau terletak pada sisi yang sama darinya. Yaitu jika D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, maka parabola terletak di atas sumbu Ox, dan jika a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 grafik trinomial kuadrat memotong sumbu x di dua titik x 1 dan x 2 yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dan masing-masing sama besar

Pada D = 0 parabola menyentuh sumbu Ox di titik tersebut

Sifat-sifat trinomial kuadrat menjadi dasar penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh. Misalkan kita perlu mencari semua solusi pertidaksamaan 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, maka persamaan kuadrat yang bersesuaian 3x 2 − 2x − 1 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda, keduanya ditentukan oleh rumus yang diberikan sebelumnya:

x 1 = −1/3 dan x 2 = 1.

Pada trinomial kuadrat yang ditinjau, a = 3 > 0, artinya cabang-cabang grafiknya mengarah ke atas dan nilai trinomial kuadratnya negatif hanya pada interval antara akar-akarnya. Jadi, semua solusi pertidaksamaan memenuhi kondisi tersebut

−1/3 < x < 1.

Berbagai pertidaksamaan dapat direduksi menjadi pertidaksamaan kuadrat dengan substitusi yang sama yang digunakan untuk mereduksi berbagai persamaan menjadi persamaan kuadrat.