Sifat selanjutnya terkait dengan konsep pelengkap minor dan aljabar
Minor elemen disebut determinan, terdiri dari elemen yang tersisa setelah menghapus baris dan kolom, di persimpangan elemen ini berada. Elemen penentu urutan minor memiliki urutan . Kami akan menunjukkannya dengan .
Contoh 1 Membiarkan 
, Kemudian 
.
Minor ini diperoleh dari A dengan menghapus baris kedua dan kolom ketiga.
tambahan aljabar elemen disebut minor yang sesuai dikalikan dengan , yaitu 
, di mana nomor baris dan -kolom di persimpangan tempat elemen yang diberikan berada.
VIII.(Dekomposisi determinan atas elemen dari beberapa string). Penentunya sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari beberapa baris dan penambahan aljabar yang sesuai.
Contoh 2 Membiarkan 
, Kemudian
Contoh 3 Mari kita cari determinan matriksnya , memperluasnya dengan elemen baris pertama.
Secara formal, teorema ini dan sifat determinan lainnya sejauh ini hanya berlaku untuk determinan matriks tidak lebih tinggi dari orde ketiga, karena kami belum mempertimbangkan determinan lain. Definisi berikut akan memperluas properti ini ke determinan dari urutan apa pun.
Penentu matriks memesan disebut angka yang dihitung dengan penerapan berturut-turut dari teorema dekomposisi dan sifat determinan lainnya.
Anda dapat memeriksa bahwa hasil perhitungan tidak bergantung pada urutan penerapan properti di atas dan untuk baris dan kolom mana. Determinan dapat ditentukan secara unik menggunakan definisi ini.
Meskipun definisi ini tidak mengandung rumus eksplisit untuk mencari determinan, definisi ini memungkinkan Anda menemukannya dengan mereduksi menjadi determinan dari matriks orde rendah. Definisi seperti itu disebut berulang.
Contoh 4 Hitung determinannya: 
Meskipun teorema dekomposisi dapat diterapkan pada setiap baris atau kolom dari matriks yang diberikan, akan ada lebih sedikit perhitungan ketika dekomposisi pada kolom yang berisi nol sebanyak mungkin.
Karena matriks tidak memiliki elemen nol, kami memperolehnya menggunakan properti VII. Kalikan baris pertama secara berurutan dengan angka 
dan tambahkan ke string dan dapatkan:
Kami memperluas determinan yang dihasilkan di kolom pertama dan mendapatkan:
karena determinan berisi dua kolom proporsional.
Beberapa jenis matriks dan determinannya
Matriks bujur sangkar yang elemen nolnya berada di bawah atau di atas diagonal utama () disebut segitiga.
Struktur skematik mereka terlihat seperti: 
atau
.
Latihan. Hitung determinan dengan memperluasnya pada elemen-elemen dari beberapa baris atau beberapa kolom.
Larutan. Pertama-tama, mari kita lakukan transformasi elementer pada baris determinan dengan membuat nol sebanyak mungkin dalam satu baris atau satu kolom. Untuk melakukan ini, pertama kita kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari baris kedua, dan tiga pertiga dari baris keempat, kita dapatkan:
Kami memperluas determinan yang dihasilkan oleh elemen kolom pertama:
Determinan orde ketiga yang dihasilkan juga diperluas oleh elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya memperoleh nol, misalnya, di kolom pertama. Untuk melakukan ini, kami mengurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan baris kedua dari baris ketiga:
Menjawab. 
12. Kupas 3 pesanan
1. Aturan segitiga
Secara skematis, aturan ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Hasil kali unsur-unsur pada determinan pertama yang dihubungkan dengan garis diambil dengan tanda tambah; sama halnya, untuk determinan kedua, perkalian yang bersesuaian diambil dengan tanda minus, yaitu
2. Aturan Sarrus
Di sebelah kanan determinan, dua kolom pertama ditambahkan dan produk dari elemen-elemen pada diagonal utama dan pada diagonal yang sejajar dengannya diambil dengan tanda plus; dan produk dari elemen diagonal sekunder dan diagonal sejajar dengannya, dengan tanda minus:
3. Perluasan determinan dalam satu baris atau kolom
Determinan sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari baris determinan dan pelengkap aljabarnya. Biasanya memilih baris/kolom yang ada angka nolnya. Baris atau kolom tempat dekomposisi dilakukan akan ditunjukkan dengan panah.
Latihan. Memperluas baris pertama, hitung determinannya
Larutan.
Menjawab. 
4. Membawa determinan ke bentuk segitiga
Dengan bantuan transformasi elementer pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga, dan kemudian nilainya, menurut sifat determinan, sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama.
Contoh
Latihan. Hitung penentu 
membawanya ke bentuk segitiga.
Larutan. Pertama, kami membuat nol di kolom pertama di bawah diagonal utama. Semua transformasi akan lebih mudah dilakukan jika elemennya sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar kolom pertama dan kedua dari determinan, yang menurut sifat determinan, akan menyebabkannya mengubah tanda menjadi kebalikannya :
Selanjutnya, kita mendapatkan angka nol di kolom kedua menggantikan elemen di bawah diagonal utama. Dan lagi, jika elemen diagonalnya sama dengan , maka perhitungannya akan lebih sederhana. Untuk melakukan ini, kami menukar baris kedua dan ketiga (dan pada saat yang sama mengubah tanda determinan yang berlawanan):
Selanjutnya, kami membuat nol di kolom kedua di bawah diagonal utama, untuk ini kami melanjutkan sebagai berikut: kami menambahkan tiga baris kedua ke baris ketiga, dan dua baris kedua ke baris keempat, kami mendapatkan:
Selanjutnya, dari baris ketiga kami mengambil (-10) sebagai penentu dan membuat nol di kolom ketiga di bawah diagonal utama, dan untuk ini kami menambahkan baris ketiga ke baris terakhir:
Perumusan masalah
Tugas tersebut melibatkan membiasakan pengguna dengan konsep dasar metode numerik, seperti matriks determinan dan invers, dan berbagai cara untuk menghitungnya. Dalam laporan teoretis ini, dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses, konsep dan definisi dasar pertama kali diperkenalkan, yang menjadi dasar penelitian lebih lanjut dilakukan. Pengguna mungkin tidak memiliki pengetahuan khusus di bidang metode numerik dan aljabar linier, tetapi dapat dengan mudah menggunakan hasil pekerjaan ini. Untuk kejelasan, diberikan program untuk menghitung determinan matriks dengan beberapa metode yang ditulis dalam bahasa pemrograman C ++. Program ini digunakan sebagai stand laboratorium untuk membuat ilustrasi untuk laporan. Dan juga studi tentang metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier sedang dilakukan. Ketidakgunaan menghitung matriks invers terbukti, oleh karena itu, makalah ini memberikan cara yang lebih optimal untuk menyelesaikan persamaan tanpa menghitungnya. Dijelaskan mengapa ada begitu banyak metode berbeda untuk menghitung determinan dan matriks invers dan kekurangannya dianalisis. Kesalahan dalam perhitungan determinan juga dipertimbangkan dan akurasi yang dicapai diperkirakan. Selain istilah Rusia, padanan bahasa Inggrisnya juga digunakan dalam pekerjaan untuk memahami dengan nama apa prosedur numerik di perpustakaan dicari dan apa arti parameternya.
Definisi dasar dan sifat sederhana
Penentu
Mari kita perkenalkan definisi determinan matriks persegi dari urutan apa pun. Definisi ini akan berulang, yaitu untuk menetapkan apa itu determinan matriks orde, Anda harus sudah mengetahui apa determinan matriks orde itu. Perhatikan juga bahwa determinan hanya ada untuk matriks persegi.
Determinan matriks bujur sangkar dilambangkan dengan atau det .
Definisi 1. penentu matriks persegi 
nomor urut kedua dipanggil 
.
penentu 
matriks kuadrat berorde , disebut bilangan 
dimana determinan matriks ordo diperoleh dari matriks dengan menghapus baris pertama dan kolom yang bernomor .
Untuk lebih jelasnya, kami menuliskan bagaimana Anda dapat menghitung determinan matriks orde keempat: 
Komentar. Perhitungan aktual determinan untuk matriks di atas orde ketiga berdasarkan definisi digunakan dalam kasus luar biasa. Biasanya, perhitungan dilakukan menurut algoritme lain, yang akan dibahas nanti dan yang membutuhkan lebih sedikit pekerjaan komputasi.
Komentar. Dalam Definisi 1, akan lebih akurat untuk mengatakan bahwa determinan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan matriks orde kuadrat dan mengambil nilai pada himpunan bilangan.
Komentar. Dalam literatur, alih-alih istilah "determinan", istilah "determinan" juga digunakan, yang memiliki arti yang sama. Dari kata "determinan" muncul penunjukan det.
Mari kita perhatikan beberapa sifat determinan, yang kita rumuskan dalam bentuk pernyataan.
Pernyataan 1. Saat mentranspos matriks, determinannya tidak berubah, yaitu .
Pernyataan 2. Determinan hasil kali matriks kuadrat sama dengan hasil kali determinan faktor-faktornya, yaitu .
Pernyataan 3. Jika dua baris dalam suatu matriks ditukar, maka determinannya akan berubah tanda.
Pernyataan 4. Jika suatu matriks memiliki dua baris yang identik, maka determinannya adalah nol.
Di masa mendatang, kita perlu menambahkan string dan mengalikan string dengan angka. Kami akan melakukan operasi ini pada baris (kolom) dengan cara yang sama seperti operasi pada matriks baris (matriks kolom), yaitu elemen demi elemen. Hasilnya adalah baris (kolom), yang biasanya tidak cocok dengan baris matriks asli. Di hadapan operasi penambahan baris (kolom) dan mengalikannya dengan angka, kita juga dapat berbicara tentang kombinasi linier baris (kolom), yaitu jumlah dengan koefisien numerik.
Pernyataan 5. Jika suatu baris matriks dikalikan dengan suatu bilangan, maka determinannya akan dikalikan dengan bilangan tersebut.
Pernyataan 6. Jika matriks berisi baris nol, maka determinannya adalah nol.
Pernyataan 7. Jika salah satu baris matriks sama dengan yang lain dikalikan dengan suatu bilangan (baris-baris tersebut proporsional), maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Pernyataan 8. Biarkan baris ke-i dalam matriks terlihat seperti . Kemudian, dimana matriks diperoleh dari matriks dengan mengganti baris ke-i dengan baris , dan matriks diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan baris .
Pernyataan 9. Jika salah satu baris matriks ditambahkan ke yang lain, dikalikan dengan angka, maka determinan matriks tidak akan berubah.
Pernyataan 10. Jika salah satu baris matriks merupakan kombinasi linier dari baris lainnya, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Definisi 2. tambahan aljabar untuk elemen matriks disebut bilangan sama dengan , dimana determinan matriks diperoleh dari matriks dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Komplemen aljabar elemen matriks dilambangkan dengan .
Contoh. Membiarkan 
. Kemudian 
Komentar. Dengan menggunakan penjumlahan aljabar, definisi determinan 1 dapat ditulis sebagai berikut: 
Pernyataan 11. Dekomposisi determinan dalam string arbitrer.
Penentu matriks memenuhi rumus 
Contoh. Menghitung 
.
Larutan. Mari gunakan perluasan di baris ketiga, ini lebih menguntungkan, karena di baris ketiga dua angka dari tiga adalah nol. Mendapatkan 
Pernyataan 12. Untuk matriks bujur sangkar berorde di , kita memiliki relasi 
.
Pernyataan 13. Semua sifat determinan yang diformulasikan untuk baris (pernyataan 1 - 11) juga valid untuk kolom, khususnya dekomposisi determinan pada kolom ke-j valid 
dan kesetaraan 
pada .
Pernyataan 14. Determinan suatu matriks segitiga sama dengan perkalian unsur-unsur diagonal utamanya.
Konsekuensi. Penentu matriks identitas sama dengan satu, .
Kesimpulan. Properti yang tercantum di atas memungkinkan untuk menemukan determinan matriks dengan orde yang cukup tinggi dengan jumlah perhitungan yang relatif kecil. Algoritma perhitungan adalah sebagai berikut.
Algoritma untuk membuat nol dalam kolom. Biarkan diperlukan untuk menghitung penentu urutan . Jika , maka tukar baris pertama dan baris lain yang elemen pertamanya bukan nol. Akibatnya, determinan , akan sama dengan determinan matriks baru yang bertanda berlawanan. Jika elemen pertama dari setiap baris sama dengan nol, maka matriks tersebut memiliki kolom nol dan, menurut Pernyataan 1, 13, determinannya sama dengan nol.
Jadi, kami menganggap itu sudah ada di matriks asli . Biarkan baris pertama tidak berubah. Mari tambahkan ke baris kedua baris pertama, dikalikan dengan angka . Maka elemen pertama dari baris kedua akan sama dengan 
.
Elemen yang tersisa dari baris kedua yang baru akan dinotasikan dengan , . Determinan matriks baru menurut Pernyataan 9 sama dengan . Kalikan baris pertama dengan angka dan tambahkan ke baris ketiga. Elemen pertama dari baris ketiga yang baru akan sama dengan 
Elemen yang tersisa dari baris ketiga yang baru akan dinotasikan dengan , . Determinan matriks baru menurut Pernyataan 9 sama dengan .
Kami akan melanjutkan proses mendapatkan nol, bukan elemen string pertama. Terakhir, kami mengalikan baris pertama dengan angka dan menambahkannya ke baris terakhir. Hasilnya adalah sebuah matriks, dilambangkan dengan , yang memiliki bentuk 
Dan . Untuk menghitung determinan matriks, kami menggunakan perluasan di kolom pertama
Dari dulu 
Penentu matriks urutan ada di sisi kanan. Kami menerapkan algoritma yang sama untuk itu, dan perhitungan penentu matriks akan direduksi menjadi perhitungan penentu matriks urutan. Proses ini diulang sampai kita mencapai determinan orde kedua, yang dihitung dengan definisi.
Jika matriks tidak memiliki sifat tertentu, maka tidak mungkin untuk secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan dibandingkan dengan algoritme yang diusulkan. Sisi baik lain dari algoritme ini adalah mudahnya menulis program bagi komputer untuk menghitung determinan matriks pesanan besar. Dalam program standar untuk menghitung determinan, algoritma ini digunakan dengan sedikit perubahan terkait dengan meminimalkan pengaruh kesalahan pembulatan dan kesalahan input data dalam perhitungan komputer.
Contoh. Hitung Penentu Matriks 
.
Larutan. Baris pertama dibiarkan tidak berubah. Ke baris kedua kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:
Penentu tidak berubah. Ke baris ketiga kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:
Penentu tidak berubah. Ke baris keempat kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka:
Penentu tidak berubah. Akibatnya, kita dapatkan 
Menggunakan algoritma yang sama, kami menghitung determinan matriks orde 3, yang ada di sebelah kanan. Kami membiarkan baris pertama tidak berubah, ke baris kedua kami menambahkan yang pertama, dikalikan dengan angka 
:
Ke baris ketiga kita tambahkan yang pertama, dikalikan dengan angkanya 
:
Akibatnya, kita dapatkan 
Menjawab. .
Komentar. Meskipun pecahan digunakan dalam perhitungan, hasilnya adalah bilangan bulat. Memang, dengan menggunakan sifat determinan dan fakta bahwa bilangan asli adalah bilangan bulat, operasi dengan pecahan dapat dihindari. Namun dalam praktik teknik, angka sangat jarang berupa bilangan bulat. Oleh karena itu, sebagai aturan, elemen penentu akan menjadi pecahan desimal dan tidak disarankan menggunakan trik apa pun untuk menyederhanakan perhitungan.
matriks terbalik
Definisi 3. Matriks disebut matriks terbalik untuk matriks persegi jika .
Ini mengikuti dari definisi bahwa matriks invers akan menjadi matriks persegi dengan urutan yang sama dengan matriks (jika tidak, salah satu produk atau tidak akan ditentukan).
Matriks invers untuk matriks dilambangkan dengan . Jadi, jika ada, maka .
Dari definisi matriks invers, maka matriks tersebut adalah invers dari matriks tersebut, yaitu . Matriks dan dapat dikatakan saling invers atau saling invers.
Jika determinan suatu matriks adalah nol, maka inversnya tidak ada.
Karena untuk menemukan matriks invers penting apakah determinan matriks sama dengan nol atau tidak, kami memperkenalkan definisi berikut.
Definisi 4. Sebut saja matriks persegi merosot atau matriks khusus, jika tidak merosot atau matriks nonsingular, Jika .
Penyataan. Jika matriks invers ada, maka itu unik.
Penyataan. Jika matriks persegi tidak terdegenerasi, maka inversnya ada dan 
(1) di mana penambahan aljabar untuk elemen .
Dalil. Matriks invers untuk matriks bujur sangkar ada jika dan hanya jika matriksnya nonsingular, matriks inversnya unik, dan rumus (1) valid.
Komentar. Perhatian khusus harus diberikan pada tempat yang ditempati oleh penjumlahan aljabar dalam rumus matriks terbalik: indeks pertama menunjukkan angka kolom, dan yang kedua adalah angkanya baris, di mana pelengkap aljabar yang dihitung harus ditulis.
Contoh. 
.
Larutan. Menemukan penentu
Karena , maka matriksnya tidak terdegenerasi, dan kebalikannya ada. Mencari penjumlahan aljabar: 
Kami menyusun matriks terbalik dengan menempatkan penambahan aljabar yang ditemukan sehingga indeks pertama sesuai dengan kolom, dan yang kedua sesuai dengan baris: 
(2)
Matriks yang dihasilkan (2) adalah jawaban dari soal tersebut.
Komentar. Pada contoh sebelumnya, akan lebih akurat menuliskan jawabannya seperti ini: 
(3)
Namun, notasi (2) lebih kompak dan lebih nyaman untuk melakukan perhitungan lebih lanjut, jika ada, dengannya. Oleh karena itu, penulisan jawaban dalam bentuk (2) lebih disukai jika elemen-elemen matriksnya adalah bilangan bulat. Begitu pula sebaliknya, jika elemen matriksnya adalah pecahan desimal, maka lebih baik dituliskan invers matriksnya tanpa faktor di depan.
Komentar. Saat menemukan matriks invers, Anda harus melakukan cukup banyak perhitungan dan aturan yang tidak biasa untuk menyusun penjumlahan aljabar di matriks akhir. Oleh karena itu, ada kemungkinan kesalahan yang tinggi. Untuk menghindari kesalahan, Anda harus melakukan pemeriksaan: hitung produk dari matriks asli dengan yang terakhir dalam satu urutan atau lainnya. Jika hasilnya adalah matriks identitas, maka matriks invers ditemukan dengan benar. Jika tidak, Anda perlu mencari kesalahan.
Contoh. Temukan invers dari matriks 
.
Larutan.
- ada.
Menjawab: 
.
Kesimpulan. Menemukan invers matriks dengan rumus (1) membutuhkan terlalu banyak perhitungan. Untuk matriks orde keempat dan lebih tinggi, ini tidak dapat diterima. Algoritma sebenarnya untuk menemukan matriks invers akan diberikan nanti.
Menghitung matriks determinan dan invers menggunakan metode Gauss
Metode Gauss dapat digunakan untuk mencari determinan dan invers matriks.
Yakni, determinan matriks sama dengan det .
Matriks invers ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode eliminasi Gaussian:
Di mana kolom ke-j dari matriks identitas , adalah vektor yang diperlukan.
Vektor solusi yang dihasilkan - bentuk, jelas, kolom matriks, karena .
Rumus untuk determinan
1. Jika matriksnya nonsingular, maka dan (kali dari unsur-unsur utama).
Ingat teorema Laplace:
Teorema Laplace:
Misalkan k baris (atau k kolom) dipilih secara sembarang dalam determinan d dengan urutan n, . Maka jumlah hasil kali semua minor orde ke-k yang terdapat dalam baris terpilih dan pelengkap aljabarnya sama dengan determinan d.
Untuk menghitung determinan dalam kasus umum, k diambil sama dengan 1. Artinya, dalam determinan d urutan n, sebuah baris (atau kolom) dipilih secara sewenang-wenang. Kemudian jumlah produk dari semua elemen yang terkandung dalam baris (atau kolom) yang dipilih dan pelengkap aljabarnya sama dengan determinan d.
Contoh:
Hitung penentu 
Larutan:
Mari kita pilih baris atau kolom yang berubah-ubah. Untuk alasan yang akan terlihat nanti, kami akan membatasi pilihan kami pada baris ketiga atau kolom keempat. Dan berhenti di baris ketiga.
Mari gunakan teorema Laplace.
Elemen pertama dari baris yang dipilih adalah 10, yaitu pada baris ketiga dan kolom pertama. Mari kita hitung pelengkap aljabarnya, yaitu temukan determinan yang diperoleh dengan menghapus kolom dan baris di mana elemen ini berdiri (10) dan temukan tandanya.
"ditambah jika jumlah dari semua baris dan kolom di mana M minor berada adalah genap, dan dikurangi jika jumlah ini ganjil."
Dan kami mengambil minor yang terdiri dari satu elemen 10, yang ada di kolom pertama dari baris ketiga.
Jadi: 
Suku keempat dari penjumlahan ini adalah 0, oleh karena itu ada baiknya memilih baris atau kolom dengan jumlah elemen nol maksimum.
Menjawab: -1228
Contoh:
Hitung determinannya: 
Larutan:
Ayo pilih kolom pertama, karena dua elemen di dalamnya sama dengan 0. Mari kita perluas determinan di kolom pertama. 
Kami memperluas setiap determinan orde ketiga dalam bentuk baris pertama dan kedua 
Kami memperluas setiap determinan orde kedua di kolom pertama 
Menjawab: 48
Komentar: saat memecahkan masalah ini, rumus untuk menghitung determinan orde ke-2 dan ke-3 tidak digunakan. Hanya ekspansi dengan baris atau kolom yang digunakan. Yang mengarah pada penurunan urutan determinan.
