Definisi di.7. Suatu titik x ∈ R pada garis real disebut titik limit suatu barisan (xn) jika, untuk setiap lingkungan U(x) dan sembarang bilangan asli N, seseorang dapat menemukan suatu elemen xn yang termasuk dalam lingkungan tersebut yang bilangannya lebih besar dari λ, yaitu, x 6 R - titik batas, jika. Dengan kata lain, suatu titik x akan menjadi titik limit untuk (xn) jika unsur-unsur barisan ini dengan bilangan besar sembarang berada di salah satu lingkungannya, meskipun, mungkin, tidak semua unsur dengan bilangan n > N. Oleh karena itu, pernyataan berikut cukup jelas. Pernyataan b.b. Jika lim(xn) = 6 6 R, maka b adalah satu-satunya titik limit barisan (xn). Memang, berdasarkan Definisi 6.3 dari limit suatu barisan, semua elemennya yang dimulai dari suatu bilangan termasuk dalam lingkungan kecil sembarang dari titik 6, dan oleh karena itu elemen-elemen dengan bilangan besar yang sewenang-wenang tidak dapat berada dalam lingkungan titik lainnya. Akibatnya, kondisi Definisi 6.7 dipenuhi hanya untuk titik unik 6. Namun, tidak setiap titik batas (terkadang disebut titik kondensasi halus) suatu barisan adalah batasnya. Jadi barisan (b.b) tidak mempunyai limit (lihat contoh 6.5), tetapi mempunyai dua titik limit x = 1 dan x = - 1. Barisan ((-1)n) mempunyai dua titik tak berhingga + oo dan - dengan garis bilangan diperpanjang, yang gabungannya dilambangkan dengan satu simbol oo. Itulah sebabnya kita dapat berasumsi bahwa titik-titik batas tak terhingga bertepatan, dan titik tak terhingga oo, menurut (6.29), adalah limit barisan ini. Batasi titik-titik garis bilangan urut Bukti kriteria Weierstrass dan kriteria Cauchy. Misalkan suatu barisan (sn) diberikan dan bilangan k membentuk barisan bilangan bulat positif yang bertambah. Maka barisan (ynb dimana yn = xkn) disebut barisan barisan asal.Tentunya jika (in) mempunyai bilangan 6 sebagai limitnya, maka barisan-barisan tersebut mempunyai limit yang sama, karena dimulai dari suatu bilangan, semua elemen barisan asal dan barisan berikutnya berada pada lingkungan yang dipilih dari titik 6. Pada saat yang sama, setiap titik batas barisan berikutnya juga merupakan titik batas barisan tersebut. Misalkan b adalah titik batas barisan tersebut. barisan (xn), maka menurut Definisi 6. 7 titik batas, untuk setiap n terdapat elemen yang termasuk dalam lingkungan U (6, 1/n) dari titik b berjari-jari 1/n. Barisan selanjutnya terdiri dari titik-titik ijtj, ...1 ..., dimana zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, mempunyai titik 6 sebagai limitnya, untuk sembarang e > 0, kita dapat memilih N seperti itu. Kemudian semua elemen barisan berikutnya, dimulai dengan bilangan km, termasuk dalam lingkungan ^ U(6, ε) dari titik 6, yang sesuai dengan kondisi Definisi 6.3 dari limit barisan tersebut. Teorema kebalikannya juga benar. Batasi titik-titik garis bilangan urut Bukti kriteria Weierstrass dan kriteria Cauchy. Teorema 8.10. Jika suatu barisan mempunyai barisan yang berbatas 6, maka b adalah titik batas barisan tersebut. Berdasarkan Definisi 6.3 tentang limit suatu barisan, dimulai dari suatu bilangan, semua elemen barisan berikutnya dengan limit b berada di lingkungan U(b, ​​​​e) dengan jari-jari sembarang e. Karena elemen-elemen berikutnya adalah secara bersamaan elemen-elemen barisan tersebut berjumlah besar secara sembarang, dan ini, berdasarkan Definisi 6.7, berarti bahwa b adalah titik limit barisan (n). Catatan 0.2. Teorema 6.9 dan 6.10 juga berlaku dalam kasus ketika titik limit tidak terhingga, jika dalam membuktikan lingkungan mati U(6, 1 /n) kita mempertimbangkan suatu lingkungan (atau lingkungan) Kondisi di mana barisan konvergen dapat dibedakan dari suatu barisan ditentukan oleh teorema berikut Teorema 6.11 (Bolzano - Weierstrass.) Setiap barisan berbatas mempunyai barisan yang konvergen sampai suatu batas berhingga Misalkan semua anggota barisan (an) berada di antara bilangan a dan 6, yaitu xn € [ a, b] Vn € N. Bagilah segmen [a , b] menjadi dua, maka setidaknya salah satu bagiannya akan berisi elemen barisan yang jumlahnya tak terhingga, karena jika tidak, seluruh segmen [a, b] akan berisi a bilangannya berhingga, dan hal ini tidak mungkin. Misalkan ] adalah bagian dari segmen [a, 6], yang berisi himpunan elemen barisan (xp) yang tak terhingga (atau jika kedua bagiannya sama, maka salah satu darinya ). Melanjutkan proses ini, kami membangun sistem segmen bersarang dimana bn - an = (6 - a)/2n. Menurut prinsip segmen bersarang, terdapat titik x yang dimiliki oleh semua segmen tersebut. Titik ini akan menjadi titik batas barisan (xn) Memang, untuk setiap lingkungan e Wx, e) = (x x + e) ​​​​dari titik x, terdapat ruas C U(x, e) (itu cukup untuk memilih n dari pertidaksamaan (, yang mengandung elemen barisan (sn) yang jumlahnya tak terhingga. Menurut definisi 6,7 x adalah titik limit barisan ini. Kemudian, berdasarkan Teorema 6.9, terdapat barisan berikutnya yang konvergen ke titik x. Metode penalaran yang digunakan dalam pembuktian teorema ini (kadang-kadang disebut lemma Bolzano-Weierstrass) dan dikaitkan dengan pembagian dua segmen yang ditinjau dikenal sebagai metode Bolzano. Teorema ini sangat menyederhanakan pembuktian banyak teorema kompleks. Hal ini memungkinkan kita untuk membuktikan sejumlah teorema kunci dengan cara yang berbeda (terkadang lebih sederhana). Lampiran 6.2. Pembuktian uji Weierstrass dan kriteria Cauchy Pertama, kita buktikan Pernyataan 6.1 (uji Weierstrass untuk konvergensi barisan monoton berbatas). Misalkan barisan (n) tidak menurun. Kemudian himpunan nilainya dibatasi dari atas dan, menurut Teorema 2.1, mempunyai supremum terbesar, yang dilambangkan dengan sup(xn) menjadi R. Karena sifat-sifat supremum terbesar (lihat 2.7) Menurut Definisi 6.1 untuk barisan tak menurun, kita mempunyai atau Kemudian > Ny dan, dengan mempertimbangkan (6.34), kita peroleh 31im(sn) dan lim(xn) = 66R. Jika barisan (xn) tidak bertambah maka pembuktiannya sebangun. Kita sekarang beralih ke bukti kecukupan kriteria Kochia untuk konvergensi suatu barisan (lihat Pernyataan 6.3), karena perlunya kondisi kriteria mengikuti Teorema 6.7. Biarkan barisan (sn) menjadi fundamental. Menurut Definisi 6.4, dengan sembarang € > 0, seseorang dapat menemukan bilangan N(s) sedemikian rupa sehingga m^N dan n^N mengikuti. Kemudian, dengan asumsi m - N, untuk Vn > N kita memperoleh € £ Karena barisan yang ditinjau mempunyai jumlah anggota berhingga yang jumlahnya tidak melebihi N, maka dari (6.35) barisan fundamental tersebut dibatasi (untuk perbandingan, lihat bukti Teorema 6.2 tentang batas barisan konvergen ). Untuk himpunan nilai barisan berbatas, terdapat batas infimum dan supremum (lihat Teorema 2.1). Untuk himpunan nilai elemen n > N, kita menyatakan wajah-wajah ini masing-masing an = inf xn dan bjy = sup xn. Dengan bertambahnya N, batas bawah pastinya tidak berkurang, dan batas atas pastinya tidak bertambah, mis. . apakah saya mendapatkan sistem eloasenna? Segmen Menurut prinsip segmen tersarang, terdapat titik umum yang dimiliki oleh semua segmen. Mari kita nyatakan dengan b. Jadi, ketika Dari perbandingan (6. 36) dan (6.37) sebagai hasilnya kita mendapatkan yang sesuai dengan definisi 6.3 dari limit barisan, yaitu. 31im(x„) dan lim(sn) = 6 6 R. Bolzano mulai mempelajari barisan fundamental. Namun dia tidak memiliki teori bilangan real yang ketat, dan oleh karena itu dia gagal membuktikan konvergensi barisan fundamental. Hal ini dilakukan oleh Cauchy, dengan menerima begitu saja prinsip segmen bersarang, yang kemudian dibuktikan oleh Kantor. Nama Cauchy diberikan tidak hanya untuk kriteria kekonvergenan suatu barisan, tetapi juga barisan fundamental yang sering disebut barisan Cauchy, dan nama Cantor adalah prinsip segmen bersarang. Soal dan tugas 8.1. Buktikan bahwa: 6.2. Berikan contoh barisan tak konvergen yang anggotanya termasuk dalam himpunan Q dan R\Q. 0,3. Dalam kondisi apa suku-suku barisan aritmatika dan geometri membentuk barisan menurun dan barisan naik? 6.4. Buktikan hubungan berikut dari Tabel. 6.1. 6.5. Buatlah contoh barisan yang cenderung ke titik tak terhingga +oo, -oo, oo, dan contoh barisan yang konvergen ke titik 6 ∈ R. c.e. Bisakah barisan tak berbatas bukan ab? Jika ya, berikan contohnya. Pukul 7. Buatlah contoh barisan divergen yang terdiri dari unsur-unsur positif yang tidak mempunyai batas berhingga dan tidak terbatas. 6.8. Buktikan konvergensi barisan (n) yang diberikan oleh rumus rekursif sn+i = sin(xn/2) dengan kondisi "1 = 1. 6.9. Buktikan bahwa lim(xn)=09 jika sn+i/xn-»g€ .

Bagilah segmen [ A 0 ,B 0 ] menjadi dua segmen yang sama. Setidaknya salah satu segmen yang dihasilkan berisi suku-suku dalam barisan yang jumlahnya tak terhingga. Mari kita nyatakan [ A 1 ,B 1 ] .

Pada langkah selanjutnya, kita ulangi prosedur dengan segmen [ A 1 ,B 1 ] : kita membaginya menjadi dua segmen yang sama dan memilih salah satu segmen yang berisi suku-suku barisan yang jumlahnya tak terhingga. Mari kita nyatakan [ A 2 ,B 2 ] .

Melanjutkan prosesnya, kita mendapatkan urutan segmen bersarang

yang masing-masing berikutnya adalah setengah dari yang sebelumnya, dan berisi anggota barisan yang jumlahnya tak terhingga ( X k } .

Panjang segmen cenderung nol:

Berdasarkan prinsip Cauchy-Cantor segmen bersarang, ada satu titik ξ yang dimiliki semua segmen:

Dengan konstruksi pada setiap segmen [A M ,B M ] terdapat suku-suku dalam barisan yang jumlahnya tak terhingga. Mari kita pilih secara berurutan

sambil memperhatikan kondisi bertambahnya jumlah:

Kemudian barisan selanjutnya konvergen ke titik ξ. Hal ini mengikuti fakta bahwa jarak dari ke ξ tidak melebihi panjang segmen yang memuatnya [A M ,B M ] , Di mana

Perluasan ke kasus ruang berdimensi sembarang

Teorema Bolzano-Weierstrass dengan mudah digeneralisasikan ke kasus ruang berdimensi sembarang.

Misalkan barisan titik-titik dalam ruang diberikan:

(indeks bawah adalah bilangan anggota barisan, indeks atas adalah bilangan koordinat). Jika barisan titik-titik dalam ruang dibatasi, maka masing-masing barisan koordinat numerik:

juga terbatas ( - nomor koordinat).

Karena teorema Bolzano-Weirstrass versi satu dimensi dari barisan ( X k) kita dapat memilih barisan titik-titik yang koordinat pertamanya membentuk barisan konvergen. Dari barisan yang dihasilkan, kita sekali lagi memilih barisan yang konvergen pada koordinat kedua. Dalam hal ini, konvergensi pada koordinat pertama dipertahankan karena setiap barisan konvergen juga konvergen. Dan seterusnya.

Setelah N langkah kita mendapatkan beberapa urutan

yang merupakan barisan dari , dan konvergen pada masing-masing koordinat. Oleh karena itu, barisan ini konvergen.

Cerita

Teorema Bolzano-Weierstrass (untuk kasus ini N= 1 ) pertama kali dibuktikan oleh matematikawan Ceko Bolzano pada tahun 1817. Dalam karya Bolzano, ia muncul sebagai lemma dalam pembuktian teorema nilai antara suatu fungsi kontinu, yang sekarang dikenal sebagai teorema Bolzano-Cauchy. Namun, hasil ini dan hasil lainnya, yang dibuktikan oleh Bolzano jauh sebelum Cauchy dan Weierstrass, luput dari perhatian.

Hanya setengah abad kemudian, Weierstrass, secara independen dari Bolzano, menemukan kembali dan membuktikan teorema ini. Awalnya disebut teorema Weierstrass, sebelum karya Bolzano dikenal dan mendapat pengakuan.

Saat ini teorema ini menyandang nama Bolzano dan Weierstrass. Teorema ini sering disebut Lemma Bolzano-Weierstrass, dan terkadang lemma titik batas.

Teorema Bolzano-Weierstrass dan pengertian kekompakan

Teorema Bolzano-Weierstrass menetapkan sifat menarik berikut dari himpunan berbatas: barisan titik apa pun M berisi barisan konvergen.

Ketika membuktikan berbagai proposisi dalam analisis, trik berikut sering digunakan: serangkaian titik ditentukan yang memiliki beberapa properti yang diinginkan, dan kemudian urutan berikutnya dipilih darinya, juga memilikinya, tetapi sudah konvergen. Misalnya, dengan cara ini teorema Weierstrass membuktikan bahwa suatu fungsi kontinu pada suatu interval dibatasi dan mengambil nilai terbesar dan terkecil.

Efektivitas teknik seperti itu secara umum, serta keinginan untuk memperluas teorema Weierstrass ke ruang metrik sembarang, pada tahun 1906 mendorong matematikawan Perancis Maurice Fréchet untuk memperkenalkan konsep tersebut. kekompakan. Sifat himpunan berbatas di , yang ditetapkan oleh teorema Bolzano-Weierstrass, secara kiasan adalah bahwa titik-titik himpunan terletak cukup “dekat”, atau “kompak”: setelah mengambil langkah dalam jumlah tak terhingga di sepanjang himpunan ini, kita pasti akan mendekati sedekat yang kita inginkan - suatu titik di ruang angkasa.

Fréchet memperkenalkan definisi berikut: himpunan M ditelepon kompak, atau kompak, jika ada barisan titik-titiknya yang memuat barisan berikutnya yang konvergen ke suatu titik pada himpunan ini. Diasumsikan bahwa di lokasi syuting M metrik didefinisikan, yaitu