Untuk memahami apa itu sistem keputusan mendasar Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik . Sekarang mari kita beralih ke deskripsi semua pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami esensi masalah ini secara lebih rinci.
Bagaimana menemukan sistem dasar solusi persamaan linier?
Ambil contoh sistem persamaan linier berikut:
Mari kita cari solusi untuk sistem persamaan linear ini. Untuk memulainya, kami tuliskan matriks koefisien sistem tersebut.
Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dibuat nol. Untuk membuat nol di tempat elemen $a_(21)$, Anda harus mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis perbedaannya di baris kedua. Untuk membuat nol di tempat elemen $a_(31)$, Anda harus mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis perbedaannya di baris ketiga. Untuk membuat nol sebagai pengganti elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangkan baris keempat dikalikan dengan 2 dan selisihnya di baris keempat. Untuk membuat nol sebagai pengganti elemen $a_(31)$, kurangi baris kelima dikalikan dengan 2 dan perbedaannya di baris kelima. 
Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dibuat nol. Untuk membuat nol di tempat elemen $a_(32)$, baris ketiga harus dikurangkan dengan 2 dikalikan 2 dan tulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat nol di tempat elemen $a_(42)$, baris keempat harus dikurangkan dengan 2 dikalikan dengan 2 dan perbedaannya ditulis di baris keempat. Untuk membuat nol sebagai pengganti elemen $a_(52)$, kurangi baris kelima dikalikan dengan 3 dan perbedaannya di baris kelima. 
Kami melihat itu tiga baris terakhir adalah sama, jadi jika Anda mengurangi ketiga dari keempat dan kelima, maka mereka akan menjadi nol. 
Untuk matriks ini tuliskan sistem persamaan baru.
Kita melihat bahwa kita hanya memiliki tiga persamaan yang bebas linier, dan lima yang tidak diketahui, sehingga sistem solusi dasar akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita pindahkan dua yang tidak diketahui terakhir ke kanan.
Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui yang ada di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita ekspresikan $x_3$, lalu kita substitusikan hasil yang didapat ke persamaan kedua dan ekspresikan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan disini kita ekspresikan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui yang tidak diketahui yang ada di sisi kanan. 
Setelah itu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, Anda dapat mengganti angka apa pun dan menemukan $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka tersebut akan menjadi akar dari sistem persamaan asli kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk dalam FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, temukan $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.
Kami akan terus memoles tekniknya transformasi dasar pada sistem persamaan linear homogen.
Menurut paragraf pertama, materinya mungkin tampak membosankan dan biasa saja, tetapi kesan ini menipu. Selain teknik yang berkembang lebih lanjut, akan ada banyak informasi baru, jadi tolong jangan mengabaikan contoh di artikel ini.
Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
Jawabannya menyarankan dirinya sendiri. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistem adalah nol. Sebagai contoh:
Cukup jelas bahwa sistem homogen selalu konsisten, yaitu, selalu memiliki solusi. Dan, pertama-tama, apa yang disebut remeh larutan 
. Sepele, bagi yang sama sekali tidak mengerti arti kata sifat, berarti bespontovoe. Tidak secara akademis, tentu saja, tetapi secara cerdas =) ... Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
Contoh 1
Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap. Perhatikan bahwa tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol anggota gratis di sini - lagi pula, apa pun yang Anda lakukan dengan nol, mereka akan tetap nol: 
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -3.
(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -1.
Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem homogen yang setara diperoleh 
, dan, dengan menerapkan gerakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusinya adalah unik.
Menjawab: 
Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen memiliki hanya solusi sepele, jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini, 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini, 3 pcs.).
Kami menghangatkan dan menyetel radio kami ke gelombang transformasi dasar:
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Untuk akhirnya memperbaiki algoritme, mari kita analisis tugas akhir:
Contoh 7
Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor. 
Larutan: kami menulis matriks sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk bertahap: 
(1) Tanda baris pertama telah diubah. Sekali lagi, saya menarik perhatian pada teknik yang berulang kali bertemu, yang memungkinkan Anda untuk menyederhanakan tindakan berikut secara signifikan.
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama dikalikan 2 ditambahkan ke baris ke-4.
(3) Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dihilangkan.
Akibatnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled:
– variabel dasar;
adalah variabel bebas.
Kami menyatakan variabel dasar dalam istilah variabel bebas. Dari persamaan ke-2:
- substitusikan ke persamaan pertama:
Jadi solusi umumnya adalah:
Karena ada tiga variabel bebas dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, sistem fundamental berisi tiga vektor.
Substitusikan tiga kali lipat nilai 
ke dalam solusi umum dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat diinginkan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - tidak akan memakan banyak waktu, tetapi akan menghemat seratus persen dari kesalahan.
Untuk tiga kali lipat nilai 
cari vektornya
Dan akhirnya untuk triple 
kita mendapatkan vektor ketiga:
Menjawab: , di mana
Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga 
dan dapatkan jawabannya dalam bentuk yang setara:
Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah 
dan ajukan pertanyaan - apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi lebih lanjut? Bagaimanapun, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar dalam bentuk pecahan, kemudian variabel dasar dalam bentuk pecahan, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang termudah dan bukan yang paling menyenangkan.
Solusi kedua:
Idenya adalah untuk mencoba pilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak mendapatkan nol di atas? Mari kita buat satu lagi transformasi dasar:
Sistem homogen selalu konsisten dan memiliki solusi trivial 
. Untuk solusi nontrivial ada, perlu bahwa peringkat matriks 
kurang dari jumlah yang tidak diketahui:
.
Sistem keputusan mendasar
sistem homogen 
sebut sistem solusi dalam bentuk vektor kolom 
, yang sesuai dengan dasar kanonik, yaitu. dasar di mana konstanta arbitrer 
secara bergantian diatur sama dengan satu, sedangkan sisanya diatur ke nol.
Maka solusi umum dari sistem homogen memiliki bentuk:
di mana 
adalah konstanta arbitrer. Dengan kata lain, solusi umum adalah kombinasi linier dari sistem dasar solusi.
Dengan demikian, solusi dasar dapat diperoleh dari solusi umum jika yang tidak diketahui bebas secara bergantian diberi nilai kesatuan, dengan asumsi semua yang lain sama dengan nol.
Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistem
Kami menerima , maka kami mendapatkan solusi dalam bentuk:
Sekarang mari kita membangun sistem solusi dasar:
.
Solusi umum dapat ditulis sebagai:
Solusi untuk sistem persamaan linier homogen memiliki sifat-sifat berikut:
Dengan kata lain, setiap kombinasi linier dari solusi untuk sistem homogen lagi-lagi merupakan solusi.
Solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss
Memecahkan sistem persamaan linier telah menarik bagi matematikawan selama beberapa abad. Hasil pertama diperoleh pada abad XVIII. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang determinan matriks persegi dan mengusulkan algoritma untuk menemukan matriks terbalik. Pada tahun 1809, Gauss menguraikan metode solusi baru yang dikenal sebagai metode eliminasi.
Metode Gauss, atau metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui, terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem yang setara dengan bentuk bertahap (atau segitiga). Sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk secara konsisten menemukan semua yang tidak diketahui dalam urutan tertentu.
Misalkan dalam sistem (1) 
(yang selalu mungkin).
(1)
Mengalikan persamaan pertama secara bergantian dengan apa yang disebut nomor yang cocok
dan menambahkan hasil perkalian dengan persamaan yang sesuai dari sistem, kita mendapatkan sistem yang setara di mana semua persamaan, kecuali yang pertama, tidak akan diketahui X 1
(2)
Kami sekarang mengalikan persamaan kedua sistem (2) dengan angka yang sesuai, dengan asumsi bahwa 
,
dan menambahkannya ke yang lebih rendah, kami menghilangkan variabel 
dari semua persamaan, dimulai dengan yang ketiga.
Melanjutkan proses ini, setelah 
langkah yang kita dapatkan:
(3)
Jika setidaknya salah satu dari angka 
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang sesuai tidak konsisten dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sembarang sistem bilangan gabungan 
sama dengan nol. Nomor 
tidak lain adalah pangkat dari matriks sistem (1).
Transisi dari sistem (1) ke (3) disebut dalam garis lurus Metode Gaussian, dan menemukan yang tidak diketahui dari (3) - ke belakang .
Komentar : Lebih mudah untuk melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks yang diperluas dari sistem (1).
Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistem
.
Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem:
.
Mari kita tambahkan ke baris 2,3,4 yang pertama, dikalikan dengan (-2), (-3), (-2) berturut-turut:
.
Mari kita tukar baris 2 dan 3, lalu pada matriks yang dihasilkan tambahkan baris 2 ke baris 4, dikalikan dengan 
:
.
Tambahkan ke baris 4 baris 3 dikalikan dengan 
:
.
Jelas bahwa 
, maka sistem ini konsisten. Dari sistem persamaan yang dihasilkan
kami menemukan solusinya dengan substitusi terbalik:
,
,
,
.
Contoh 2 Temukan solusi sistem:
.
Jelas bahwa sistem ini tidak konsisten, karena 
, sebuah 
.
Keuntungan dari metode Gauss :
Lebih sedikit memakan waktu daripada metode Cramer.
Jelas menetapkan kompatibilitas sistem dan memungkinkan Anda untuk menemukan solusi.
Memberikan kemampuan untuk menentukan peringkat matriks apa pun.
Persamaan linear disebut homogen jika intersepnya nol, dan sebaliknya tidak homogen. Suatu sistem yang terdiri dari persamaan-persamaan homogen disebut homogen dan memiliki bentuk umum:
Jelas, setiap sistem homogen konsisten dan memiliki solusi nol (sepele). Oleh karena itu, dalam kaitannya dengan sistem persamaan linier homogen, kita sering harus mencari jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi bukan nol. Jawaban atas pertanyaan ini dapat dirumuskan sebagai teorema berikut.
Dalil . Suatu sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui .
Bukti: Misalkan sistem yang peringkatnya sama memiliki solusi bukan nol. Jelas, tidak melebihi . Dalam hal sistem memiliki solusi yang unik. Karena sistem persamaan linier homogen selalu memiliki solusi nol, maka solusi nol yang akan menjadi solusi unik ini. Jadi, solusi bukan nol hanya mungkin untuk .
Akibat wajar 1 : Sistem persamaan homogen, di mana jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, selalu memiliki solusi bukan nol.
Bukti: Jika sistem persamaan memiliki , maka pangkat sistem tidak melebihi jumlah persamaan , yaitu . Dengan demikian, kondisinya terpenuhi dan, oleh karena itu, sistem memiliki solusi bukan nol.
Konsekuensi 2 : Sistem persamaan homogen dengan yang tidak diketahui memiliki solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya nol.
Bukti: Misalkan suatu sistem persamaan linear homogen yang matriks dengan determinannya memiliki solusi bukan nol. Kemudian, sesuai dengan teorema terbukti, , yang berarti matriksnya berdegenerasi, yaitu. .
Teorema Kronecker-Capelli: SLE konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks sistem sama dengan rank dari matriks yang diperluas dari sistem ini. Sebuah sistem ur-th disebut kompatibel jika memiliki setidaknya satu solusi.Sistem persamaan aljabar linier homogen.
Suatu sistem persamaan linear m dengan n variabel disebut sistem persamaan linear homogen jika semua suku bebas sama dengan 0. Sistem persamaan linear homogen selalu kompatibel, karena itu selalu memiliki setidaknya solusi nol. Suatu sistem persamaan linear homogen memiliki solusi bukan nol jika dan hanya jika pangkat dari matriks koefisien pada variabel lebih kecil dari jumlah variabel, yaitu. untuk peringkat A (n. Kombinasi linier apa pun
solusi dari sistem garis. homogen ur-ii juga merupakan solusi untuk sistem ini.
Suatu sistem solusi bebas linier e1, e2,…,ek disebut fundamental jika setiap solusi dari sistem tersebut merupakan kombinasi linier dari solusi. Teorema: jika pangkat r dari matriks koefisien pada variabel-variabel sistem persamaan homogen linier lebih kecil dari jumlah variabel n, maka setiap sistem fundamental dari solusi sistem terdiri dari n-r solusi. Oleh karena itu, solusi umum dari sistem garis. lajang ur-th memiliki bentuk: c1e1+c2e2+…+ckek, di mana e1, e2,…, ek adalah sistem solusi dasar apa pun, c1, c2,…,ck adalah bilangan arbitrer dan k=n-r. Solusi umum dari sistem persamaan linier m dengan n variabel sama dengan jumlah
solusi umum dari sistem yang bersesuaian dengannya adalah homogen. persamaan linier dan solusi khusus sewenang-wenang dari sistem ini.
7. Ruang linier. Subruang. Dasar, dimensi. cangkang linier. Ruang linier disebut n-dimensi, jika berisi sistem vektor bebas linier, dan sistem vektor yang lebih banyak tergantung linier. Nomor tersebut disebut dimensi (jumlah dimensi) ruang linier dan dilambangkan dengan . Dengan kata lain, dimensi suatu ruang adalah jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tersebut. Jika bilangan seperti itu ada, maka ruang dikatakan berdimensi-hingga. Jika untuk sembarang bilangan asli n dalam ruang terdapat sistem yang terdiri dari vektor-vektor bebas linier, maka ruang seperti itu disebut berdimensi tak hingga (ditulis: ). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi-hingga akan dipertimbangkan.
Basis dari ruang linier berdimensi n adalah himpunan terurut dari vektor-vektor bebas linier ( vektor dasar).
Teorema 8.1 tentang pemuaian vektor dengan basis. Jika merupakan basis dari ruang linier berdimensi n, maka sembarang vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari vektor basis:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik, yaitu. koefisien ditentukan secara unik. Dengan kata lain, setiap vektor ruang dapat diperluas dalam basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.
Memang, dimensi ruang adalah . Sistem vektor bebas linier (inilah dasarnya). Setelah menggabungkan vektor apa pun ke basis, kami mendapatkan sistem bergantung linier (karena sistem ini terdiri dari vektor dalam ruang n-dimensi). Dengan sifat 7 vektor bebas linier dan bebas linier, kita memperoleh kesimpulan teorema.
Bahkan di sekolah, kita masing-masing mempelajari persamaan dan, tentu saja, sistem persamaan. Namun tidak banyak orang yang mengetahui bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan menganalisis secara rinci semua metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier, yang terdiri dari lebih dari dua persamaan.
Cerita
Hari ini diketahui bahwa seni memecahkan persamaan dan sistemnya berasal dari Babel dan Mesir kuno. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa muncul setelah munculnya tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh ahli matematika Inggris Record. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih karena suatu alasan: itu berarti dua segmen paralel yang sama. Memang, tidak ada contoh kesetaraan yang lebih baik.
Pendiri penunjukan huruf modern yang tidak diketahui dan tanda derajat adalah seorang matematikawan Prancis.Namun, sebutannya berbeda secara signifikan dari hari ini. Misalnya, ia menunjukkan kuadrat dari angka yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. "quadratus"), dan kubus dengan huruf C (lat. "cubus"). Notasi ini tampak canggung sekarang, tetapi saat itu cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.
Namun, kelemahan dalam metode penyelesaian saat itu adalah bahwa matematikawan hanya mempertimbangkan akar positif. Mungkin ini karena fakta bahwa nilai negatif tidak memiliki kegunaan praktis. Dengan satu atau lain cara, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombellilah yang pertama kali mempertimbangkan akar negatif pada abad ke-16. Dan pandangan modern, metode solusi utama (melalui diskriminan) diciptakan hanya pada abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.
Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Cramer menemukan cara baru untuk membuat penyelesaian sistem persamaan linier menjadi lebih mudah. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan sampai hari ini kami menggunakannya. Tetapi kita akan berbicara tentang metode Cramer nanti, tetapi untuk saat ini kita akan membahas persamaan linier dan metode untuk menyelesaikannya secara terpisah dari sistem.
Persamaan linear
Persamaan linier adalah persamaan paling sederhana dengan variabel. Mereka diklasifikasikan sebagai aljabar. tulis dalam bentuk umum sebagai berikut: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... dan n * x n \u003d b. Kita akan membutuhkan representasi mereka dalam bentuk ini ketika mengkompilasi sistem dan matriks lebih lanjut.
Sistem persamaan aljabar linier
Definisi istilah ini adalah sebagai berikut: ini adalah himpunan persamaan yang memiliki persamaan yang tidak diketahui dan solusi yang umum. Sebagai aturan, di sekolah, semuanya diselesaikan dengan sistem dengan dua atau bahkan tiga persamaan. Tetapi ada sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita cari tahu cara menuliskannya terlebih dahulu sehingga nyaman untuk menyelesaikannya nanti. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1,2,3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan harus dibawa ke bentuk kanonik: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Setelah semua tindakan ini, kita dapat mulai berbicara tentang bagaimana menemukan solusi untuk sistem persamaan linier. Matriks sangat berguna untuk ini.
matriks
Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan di persimpangan mereka adalah elemen-elemennya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjuk elemen, subskrip ditempatkan di bawahnya (misalnya, 11 atau 23). Indeks pertama berarti nomor baris dan yang kedua nomor kolom. Pada matriks, serta elemen matematika lainnya, Anda dapat melakukan berbagai operasi. Dengan demikian, Anda dapat:
2) Kalikan matriks dengan beberapa angka atau vektor.
3) Transpose: mengubah baris matriks menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
4) Kalikan matriks jika jumlah baris salah satunya sama dengan jumlah kolom yang lain.
Kami akan membahas semua teknik ini secara lebih rinci, karena akan berguna bagi kami di masa depan. Pengurangan dan penjumlahan matriks sangatlah mudah. Karena kita mengambil matriks dengan ukuran yang sama, setiap elemen dari satu tabel berkorespondensi dengan setiap elemen dari tabel lainnya. Jadi, kami menambahkan (mengurangi) dua elemen ini (penting bahwa mereka berada di tempat yang sama dalam matriks mereka). Saat mengalikan matriks dengan angka atau vektor, Anda hanya perlu mengalikan setiap elemen matriks dengan angka (atau vektor) tersebut. Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Terkadang sangat menarik untuk melihatnya dalam kehidupan nyata, misalnya, ketika mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon di desktop adalah matriks, dan ketika Anda mengubah posisinya, itu berubah posisi dan menjadi lebih lebar, tetapi ketinggiannya berkurang.
Mari kita menganalisis proses seperti Meskipun tidak akan berguna bagi kita, akan tetap berguna untuk mengetahuinya. Anda dapat mengalikan dua matriks hanya jika jumlah kolom dalam satu tabel sama dengan jumlah baris di tabel lainnya. Sekarang mari kita ambil elemen baris dari satu matriks dan elemen kolom yang sesuai dari matriks lainnya. Kami mengalikannya satu sama lain dan kemudian menambahkannya (yaitu, misalnya, produk dari elemen a 11 dan a 12 dengan b 12 dan b 22 akan sama dengan: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dengan demikian, satu elemen tabel diperoleh, dan diisi lebih lanjut dengan metode serupa.
Sekarang kita dapat mulai mempertimbangkan bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.
Metode Gauss
Topik ini dimulai di sekolah. Kita tahu betul konsep "sistem dua persamaan linier" dan tahu bagaimana menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika jumlah persamaan lebih dari dua? Ini akan membantu kita
Tentu saja, metode ini nyaman digunakan jika Anda membuat matriks dari sistem. Tetapi Anda tidak dapat mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuknya yang murni.
Jadi, bagaimana sistem persamaan Gaussian linier diselesaikan dengan metode ini? Omong-omong, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, itu ditemukan di zaman kuno. Gauss mengusulkan hal berikut: untuk melakukan operasi dengan persamaan untuk akhirnya mereduksi seluruh himpunan menjadi bentuk bertahap. Artinya, perlu bahwa dari atas ke bawah (jika ditempatkan dengan benar) dari persamaan pertama hingga terakhir, satu yang tidak diketahui berkurang. Dengan kata lain, kita perlu memastikan bahwa kita mendapatkan, katakanlah, tiga persamaan: yang pertama - tiga yang tidak diketahui, yang kedua - dua, yang ketiga - satu. Kemudian dari persamaan terakhir kita cari yang pertama tidak diketahui, substitusikan nilainya ke persamaan kedua atau pertama, lalu cari dua variabel sisanya.
Metode Cramer
Untuk menguasai metode ini, sangat penting untuk menguasai keterampilan penjumlahan, pengurangan matriks, dan Anda juga harus dapat menemukan determinan. Karena itu, jika Anda melakukan semua ini dengan buruk atau tidak tahu caranya sama sekali, Anda harus belajar dan berlatih.
Apa inti dari metode ini, dan bagaimana membuatnya sehingga diperoleh sistem persamaan Cramer linier? Semuanya sangat sederhana. Kita harus membangun matriks dari koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, kita cukup mengambil angka di depan yang tidak diketahui dan meletakkannya di tabel dalam urutan yang tertulis di sistem. Jika angka didahului dengan tanda "-", maka kita menuliskan koefisien negatif. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama dari koefisien yang tidak diketahui, tidak termasuk angka setelah tanda sama dengan (tentu saja, persamaan harus direduksi ke bentuk kanonik, ketika hanya angka di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan koefisien di sebelah kiri). Maka Anda perlu membuat beberapa matriks lagi - satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, pada matriks pertama, pada gilirannya, kami mengganti setiap kolom dengan koefisien dengan kolom angka setelah tanda sama dengan. Jadi, kami memperoleh beberapa matriks dan kemudian menemukan determinannya.
Setelah kami menemukan determinannya, masalahnya kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang dihasilkan yang sesuai dengan variabel yang berbeda. Untuk mendapatkan solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang dihasilkan dengan determinan tabel awal. Angka yang dihasilkan adalah nilai dari salah satu variabel. Demikian pula, kami menemukan semua yang tidak diketahui.
Metode lain
Ada beberapa metode lagi untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linier. Misalnya, yang disebut metode Gauss-Jordan, yang digunakan untuk menemukan solusi sistem persamaan kuadrat dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah yang paling mudah untuk beradaptasi dengan komputer dan digunakan dalam teknologi komputer.
Kasus-kasus sulit
Kompleksitas biasanya muncul ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa sistem tersebut tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki akar), atau jumlah penyelesaiannya cenderung tak terhingga. Jika kita memiliki kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum dari sistem persamaan linier. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.
Kesimpulan
Di sini kita sampai pada akhir. Untuk meringkas: kami telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, kami telah belajar bagaimana menemukan solusi umum untuk sistem persamaan linier. Selain itu, opsi lain juga dipertimbangkan. Kami menemukan bagaimana sistem persamaan linier diselesaikan: metode Gauss dan Kami berbicara tentang kasus-kasus sulit dan cara lain untuk menemukan solusi.
Faktanya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin lebih memahaminya, kami menyarankan Anda untuk membaca literatur yang lebih khusus.
