Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan suku yang serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat dalam ekspresi dengan kekuatan: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat kekuatan, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan tugas, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan menyajikannya sesuai dengan bagaimana pandangan berkembang dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata.

Seperti yang Anda ketahui, pertama ada kenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar ekspresi. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan istilah serupa, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Keputusan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Keputusan.

Jelas, ekspresi ini mengandung istilah yang mirip 3 · a 4 · b 7 dan 2 · a 4 · b 7 , dan kita dapat menguranginya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Keputusan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan penggunaan selanjutnya dari rumus perkalian berkurang, perbedaan kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, dalam basis dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di basis derajat dan ekspresi dalam indikator dengan ekspresi yang sama identik pada DPV variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka kurung dan membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) kita mendapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a 2 (x+1) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat daya berikut berlaku:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - rentang nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, seseorang harus terus-menerus mengajukan pertanyaan, apakah mungkin di kasus ini menerapkan properti derajat apa pun, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Keputusan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita punya
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Keputusan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Keputusan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional ke penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Keputusan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah faktor a 0,3, karena a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Keputusan.

a) Pertama, pembilang dan penyebut dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari penguraian penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Keputusan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi eksponensial yang berisi angka dalam basis derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah dari beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.

Bagian 5 EKSPRESI DAN PERSAMAAN

Di bagian ini Anda akan belajar:

ü o ekspresi dan penyederhanaannya;

ü apa sifat-sifat persamaan;

ü cara menyelesaikan persamaan berdasarkan sifat-sifat persamaan;

ü jenis masalah apa yang diselesaikan dengan bantuan persamaan; apa itu garis tegak lurus dan bagaimana membangunnya;

ü garis apa yang disebut paralel dan bagaimana membangunnya;

ü apa itu bidang koordinat;

ü cara menentukan koordinat titik pada bidang;

ü apa itu grafik ketergantungan antara kuantitas dan bagaimana membangunnya;

ü bagaimana menerapkan materi yang dipelajari dalam praktik

30. EKSPRESI DAN PENYEDERHANAANNYA

Anda sudah tahu apa itu ekspresi literal dan tahu bagaimana menyederhanakannya menggunakan hukum penjumlahan dan perkalian. Misalnya, 2a (-4 b) = -8 ab . Dalam ekspresi yang dihasilkan, angka -8 disebut koefisien ekspresi.

Apakah ekspresi CD koefisien? Jadi. Sama dengan 1 karena cd - 1 cd .

Ingatlah bahwa mengonversi ekspresi dengan tanda kurung menjadi ekspresi tanpa tanda kurung disebut ekspansi kurung. Misalnya: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Tindakan sebaliknya dalam contoh ini adalah mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Suku-suku yang mengandung faktor literal yang sama disebut suku-suku serupa. Dengan mengambil faktor persekutuan dari kurung, istilah serupa dibuat:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

Bx + 7y - 5.

Aturan ekspansi braket

1. Jika ada tanda “+” di depan tanda kurung, maka saat membuka tanda kurung, tanda istilah dalam tanda kurung dipertahankan;

2. Jika ada tanda “-” di depan tanda kurung, maka saat tanda kurung dibuka, tanda istilah dalam tanda kurung dibalik.

Tugas 1 . Sederhanakan ekspresi:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Solusi. 1. Ada tanda "+" di depan tanda kurung, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, tanda semua istilah dipertahankan:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Ada tanda "-" di depan tanda kurung, oleh karena itu, selama pembukaan tanda kurung: tanda semua istilah dibalik:

15 - (- 8 + 7th) \u003d 15th + 8 - 7th \u003d 8th +8.

Untuk membuka kurung, gunakan sifat distributif perkalian: a( b + c) = ab + ak. Jika a > 0, maka tanda-tanda suku b dan dengan tidak berubah. Jika sebuah< 0, то знаки слагаемых b dan dari dibalik.

Tugas 2. Sederhanakan ekspresi:

1) 2(6th -8) + 7th;

2) -5 (2-5x) + 12.

Solusi. 1. Faktor 2 di depan tanda kurung e positif, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, kami menyimpan tanda semua suku: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Faktor -5 di depan tanda kurung e adalah negatif, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, kami mengubah tanda semua suku menjadi yang berlawanan:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Temukan lebih banyak lagi

1. Kata "jumlah" berasal dari bahasa Latin summa , yang berarti "total", "total".

2. Kata "plus" berasal dari bahasa Latin ditambah, yang berarti "lebih", dan kata "minus" - dari bahasa Latin dikurangi, yang berarti "kurang". Tanda "+" dan "-" digunakan untuk menunjukkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Tanda-tanda ini diperkenalkan oleh ilmuwan Ceko J. Vidman pada tahun 1489 dalam buku "Akun cepat dan menyenangkan untuk semua pedagang"(Gbr. 138).

Beras. 138

INGAT HAL UTAMA

1. Istilah apa yang disebut serupa? Bagaimana istilah serupa dibangun?

2. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang didahului dengan tanda “+”?

3. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang didahului dengan tanda "-"?

4. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang didahului oleh faktor positif?

5. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang didahului oleh faktor negatif?

1374". Namakan koefisien ekspresi:

1) 12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Sebutkan suku-suku yang hanya berbeda koefisiennya saja:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Apa yang disebut istilah-istilah ini?

1376". Apakah ada istilah serupa dalam ungkapan:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Apakah perlu mengubah tanda-tanda istilah dalam tanda kurung, membuka tanda kurung dalam ekspresi:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Sederhanakan ekspresi dan garis bawahi koefisiennya:

1379°. Sederhanakan ekspresi dan garis bawahi koefisiennya:

1380 °. Kurangi istilah suka:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 h - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kurangi istilah suka:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Keluarkan faktor persekutuan dari kurung:

1) 1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Keluarkan faktor persekutuan dari kurung:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 detik + 1 4 hari; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Buka tanda kurung dan kurangi istilah serupa;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385 °. Buka tanda kurung dan kurangi istilah serupa:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Perluas tanda kurung dan temukan arti dari ekspresi:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Perluas tanda kurung dan temukan arti dari ekspresi:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. kurung buka:

1) 0,5 (a + 4); 4) (n - m) (-2,4 p);

2)-s (2,7-1,2 d ); 5) 3 (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) (-2a).

1389°. kurung buka:

1) 2.2 (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Sederhanakan ekspresi:

1391. Sederhanakan ekspresi:

1392. Kurangi istilah serupa:

1393. Kurangi istilah suka:

1394. Sederhanakan ekspresi:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 (2a - 6);

2) -12 (8 - 2, oleh) + 4,5 (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) 2.

1395. Sederhanakan ekspresi:

1396. Temukan arti dari ungkapan itu;

1) 4-(0.2 a-3) - (5,8 a-16), jika a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jika = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Temukan nilai dari ekspresi:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jika x = -0,25;

1398*. Temukan kesalahan dalam solusi:

1) 5- (a-2.4) -7 (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 (2,3 a - 6) + 4,2 (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Perluas tanda kurung dan sederhanakan ekspresinya:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Atur tanda kurung untuk mendapatkan kesetaraan yang benar:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan a dan b jika a > b , maka persamaan berikut berlaku:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Akankah persamaan ini benar jika: a) a< b; b.a = 6?

1402*. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli a, rata-rata aritmatika dari bilangan-bilangan sebelumnya dan berikut adalah sama dengan a.

BERLAKU DALAM PRAKTEK

1403. Untuk menyiapkan makanan penutup buah untuk tiga orang, Anda membutuhkan: 2 apel, 1 jeruk, 2 pisang, dan 1 kiwi. Bagaimana cara membuat ekspresi literal untuk menentukan jumlah buah yang dibutuhkan untuk menyiapkan makanan penutup untuk tamu? Bantu Marin untuk menghitung berapa banyak buah yang harus dia beli jika dia datang berkunjung: 1) 5 teman; 2) 8 teman.

1404. Buatlah ekspresi literal untuk menentukan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan rumah dalam matematika, jika:

1) satu menit dihabiskan untuk memecahkan masalah; 2) penyederhanaan ekspresi adalah 2 kali lebih banyak daripada untuk memecahkan masalah. Berapa banyak waktu yang Vasilko mengerjakan pekerjaan rumahnya jika dia menghabiskan 15 menit untuk memecahkan masalah?

1405. Makan siang di kantin sekolah terdiri dari salad, borscht, kubis gulung dan kolak. Biaya salad adalah 20%, borscht - 30%, gulungan kubis - 45%, kolak - 5% dari total biaya seluruh makanan. Tulislah ungkapan untuk mencari biaya makan siang di kantin sekolah. Berapa biaya makan siang jika harga salad 2 UAH?

TUGAS REPETISI

1406. Selesaikan persamaan:

1407. Tanya menghabiskan es krimsemua uang yang tersedia, dan untuk permen -sisanya. Berapa banyak uang yang dimiliki Tania?

jika permen biaya 12 UAH?

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda telah memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah sama dengan jumlah dari kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kiri dengan bagian kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Beberapa contoh aljabar dari satu jenis mampu menakuti anak sekolah. Ekspresi panjang tidak hanya menakutkan, tetapi juga sangat sulit untuk dihitung. Mencoba untuk segera memahami apa yang mengikuti dan apa yang mengikuti, agar tidak bingung berlama-lama. Karena alasan inilah matematikawan selalu berusaha menyederhanakan tugas "mengerikan" sebanyak mungkin dan baru kemudian melanjutkan untuk menyelesaikannya. Anehnya, trik seperti itu sangat mempercepat prosesnya.

Penyederhanaan adalah salah satu poin fundamental dalam aljabar. Jika dalam tugas-tugas sederhana masih mungkin dilakukan tanpanya, maka contoh yang lebih sulit untuk dihitung mungkin "terlalu sulit". Di sinilah keterampilan ini berguna! Selain itu, pengetahuan matematika yang kompleks tidak diperlukan: cukup dengan mengingat dan mempelajari cara mempraktikkan beberapa teknik dan rumus dasar.

Terlepas dari kerumitan perhitungan, saat menyelesaikan ekspresi apa pun, itu penting ikuti urutan operasi dengan angka:

1. tanda kurung;
2. eksponensial;
3. perkalian;
4. divisi;
5. tambahan;
6. pengurangan.

Dua poin terakhir dapat ditukar dengan aman dan ini tidak akan memengaruhi hasil dengan cara apa pun. Tetapi menambahkan dua angka tetangga, ketika di sebelah salah satunya ada tanda perkalian, sama sekali tidak mungkin! Jawabannya, jika ada, salah. Karena itu, Anda perlu mengingat urutannya.

Penggunaan seperti itu

Unsur-unsur tersebut termasuk angka-angka dengan variabel dari urutan yang sama atau derajat yang sama. Ada juga yang disebut anggota bebas yang tidak memiliki di samping mereka penunjukan surat yang tidak diketahui.

Intinya adalah bahwa dengan tidak adanya tanda kurung Anda dapat menyederhanakan ekspresi dengan menambahkan atau mengurangi suka.

Beberapa contoh ilustrasi:

• 8x 2 dan 3x 2 - kedua bilangan tersebut memiliki variabel orde kedua yang sama, sehingga mirip dan jika dijumlahkan disederhanakan menjadi (8+3)x 2 =11x 2, sedangkan jika dikurangi menjadi (8-3) x2 =5x2;
• 4x 3 dan 6x - dan di sini "x" memiliki derajat yang berbeda;
• 2y 7 dan 33x 7 - mengandung variabel yang berbeda, oleh karena itu, seperti dalam kasus sebelumnya, mereka tidak termasuk dalam variabel yang serupa.

Memfaktorkan Suatu Angka

Trik matematika kecil ini, jika Anda mempelajari cara menggunakannya dengan benar, akan membantu Anda mengatasi masalah rumit lebih dari sekali di masa depan. Dan mudah untuk memahami cara kerja "sistem": dekomposisi adalah produk dari beberapa elemen, yang perhitungannya memberikan nilai aslinya. Jadi, 20 dapat direpresentasikan sebagai 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, atau cara lain.

Pada catatan: pengganda selalu sama dengan pembagi. Jadi, Anda perlu mencari "pasangan" yang berfungsi untuk ekspansi di antara angka-angka yang dengannya yang asli dapat dibagi tanpa sisa.

Anda dapat melakukan operasi seperti itu baik dengan anggota bebas maupun dengan angka yang dilampirkan ke variabel. Hal utama adalah tidak kehilangan yang terakhir selama perhitungan - genap setelah dekomposisi, yang tidak diketahui tidak dapat mengambil dan "pergi ke mana-mana." Itu tetap di salah satu faktor:

• 15x=3(5x);
• 60 tahun 2 \u003d (15 tahun 2) 4.

Bilangan prima yang hanya bisa dibagi sendiri atau 1 tidak pernah difaktorkan - tidak masuk akal..

Metode Penyederhanaan Dasar

Hal pertama yang menarik perhatian:

• kehadiran tanda kurung;
• pecahan;
• akar.

Contoh aljabar dalam kurikulum sekolah sering disusun dengan asumsi bahwa mereka dapat disederhanakan dengan indah.

Perhitungan braket

Perhatikan baik-baik tanda di depan tanda kurung! Perkalian atau pembagian diterapkan pada setiap elemen di dalamnya, dan minus - membalikkan tanda "+" atau "-" yang ada.

Tanda kurung dihitung sesuai dengan aturan atau sesuai dengan rumus perkalian yang disingkat, setelah itu diberikan yang serupa.

Pengurangan pecahan

Kurangi pecahan juga mudah. Mereka sendiri "rela melarikan diri" sesekali, ada baiknya melakukan operasi dengan membawa anggota seperti itu. Tetapi Anda dapat menyederhanakan contoh bahkan sebelum ini: perhatikan pembilang dan penyebutnya. Mereka sering mengandung elemen eksplisit atau tersembunyi yang dapat saling direduksi. Benar, jika dalam kasus pertama Anda hanya perlu menghapus yang berlebihan, dalam kasus kedua Anda harus berpikir, membawa bagian dari ekspresi ke bentuk untuk penyederhanaan. Metode yang digunakan:

• mencari dan mengkurung pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut;
• membagi setiap elemen teratas dengan penyebutnya.

Ketika sebuah ekspresi atau bagian darinya berada di bawah root, masalah penyederhanaan utama hampir sama dengan kasus pecahan. Penting untuk mencari cara untuk menghilangkannya sepenuhnya atau, jika ini tidak memungkinkan, untuk meminimalkan tanda yang mengganggu perhitungan. Misalnya, untuk (3) atau (7) yang tidak mencolok.

Cara pasti untuk menyederhanakan ekspresi radikal adalah dengan mencoba memfaktorkannya, beberapa di antaranya berada di luar tanda. Contoh ilustrasi: (90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Trik dan nuansa kecil lainnya:

• operasi penyederhanaan ini dapat dilakukan dengan pecahan, mengeluarkannya dari tanda baik secara keseluruhan maupun secara terpisah sebagai pembilang atau penyebut;
• tidak mungkin untuk menguraikan dan mengambil bagian dari jumlah atau perbedaan di luar akar;
• ketika bekerja dengan variabel, pastikan untuk memperhitungkan derajatnya, itu harus sama dengan atau kelipatan dari akar untuk kemungkinan rendering: (x 2 y)=x√(y), (x 3)= (x 2 ×x)=x√( x);
• kadang-kadang diperbolehkan untuk menghilangkan variabel radikal dengan menaikkannya ke pangkat pecahan: (y 3)=y 3/2.

Penyederhanaan Ekspresi Daya

Jika dalam kasus perhitungan sederhana dengan minus atau plus, contoh disederhanakan dengan membawa yang serupa, lalu bagaimana dengan mengalikan atau membagi variabel dengan kekuatan yang berbeda? Mereka dapat dengan mudah disederhanakan dengan mengingat dua poin utama:

1. Jika ada tanda perkalian antara variabel, eksponen ditambahkan.
2. Ketika mereka dibagi satu sama lain, penyebut yang sama dikurangkan dari derajat pembilangnya.

Satu-satunya syarat untuk penyederhanaan seperti itu adalah bahwa kedua istilah memiliki dasar yang sama. Contoh untuk kejelasan:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Kami mencatat bahwa operasi dengan nilai numerik di depan variabel terjadi sesuai dengan aturan matematika biasa. Dan jika Anda melihat lebih dekat, menjadi jelas bahwa elemen kekuatan dari ekspresi "bekerja" dengan cara yang sama:

• menaikkan anggota ke kekuatan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri beberapa kali, yaitu x 2 \u003d x × x;
• pembagian serupa: jika Anda memperluas derajat pembilang dan penyebut, maka beberapa variabel akan berkurang, sedangkan sisanya "dikumpulkan", yang setara dengan pengurangan.

Seperti dalam bisnis apa pun, ketika menyederhanakan ekspresi aljabar, tidak hanya pengetahuan tentang dasar-dasar yang diperlukan, tetapi juga latihan. Setelah hanya beberapa pelajaran, contoh-contoh yang tadinya tampak rumit akan dikurangi tanpa banyak kesulitan, berubah menjadi yang singkat dan mudah dipecahkan.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami dan mengingat bagaimana ekspresi disederhanakan.

Tidak mendapatkan jawaban atas pertanyaan Anda? Sarankan topik kepada penulis.

Mari kita pertimbangkan topik transformasi ekspresi dengan kekuatan, tetapi pertama-tama kita akan membahas sejumlah transformasi yang dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi kekuatan. Kita akan belajar cara membuka tanda kurung, memberi suku-suku sejenis, bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat pangkat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apa itu Ekspresi Daya?

Dalam kursus sekolah, hanya sedikit orang yang menggunakan frasa "ekspresi kekuatan", tetapi istilah ini terus-menerus ditemukan dalam koleksi untuk mempersiapkan ujian. Dalam kebanyakan kasus, frase menunjukkan ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Inilah yang akan kita refleksikan dalam definisi kita.

Definisi 1

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.

Kami memberikan beberapa contoh ekspresi kekuatan, dimulai dengan gelar dengan eksponen alami dan diakhiri dengan gelar dengan eksponen nyata.

Ekspresi pangkat paling sederhana dapat dianggap pangkat dari bilangan dengan eksponen alami: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 a + a 2 , x 3 1 , (a 2) 3 . Serta pangkat dengan nol eksponen: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 3 , 2 0 . Dan pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Sedikit lebih sulit untuk bekerja dengan gelar yang memiliki eksponen rasional dan irasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x · x 1 - , 2 3 3 + 5 .

Indikatornya bisa berupa variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 l g x 5 x l g x.

Kami telah membahas pertanyaan tentang apa ekspresi kekuatan itu. Sekarang mari kita lihat transformasi mereka.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Pertama-tama, kita akan mempertimbangkan transformasi identitas dasar dari ekspresi yang dapat dilakukan dengan ekspresi kekuatan.

Contoh 1

Hitung Nilai Ekspresi Daya 2 3 (4 2 12).

Keputusan

Kami akan melakukan semua transformasi sesuai dengan urutan tindakan. Dalam hal ini, kami akan mulai dengan melakukan tindakan dalam tanda kurung: kami akan mengganti derajat dengan nilai digital dan menghitung perbedaan antara dua angka. Kita punya 2 3 (4 2 12) = 2 3 (16 12) = 2 3 4.

Tinggal kita ganti gelar 2 3 artinya 8 dan hitung produknya 8 4 = 32. Inilah jawaban kami.

Menjawab: 2 3 (4 2 12) = 32 .

Contoh 2

Sederhanakan ekspresi dengan kekuatan 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7.

Keputusan

Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam kondisi masalah mengandung istilah serupa, yang dapat kami bawa: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1.

Menjawab: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1 .

Contoh 3

Nyatakan ekspresi dengan pangkat 9 - b 3 · - 1 2 sebagai produk.

Keputusan

Mari kita nyatakan angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan terapkan rumus perkalian yang disingkat:

9 - b 3 - 1 2 = 3 2 - b 3 - 1 2 = = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1

Menjawab: 9 - b 3 - 1 2 = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1 .

Dan sekarang mari kita beralih ke analisis transformasi identik yang dapat diterapkan secara khusus pada ekspresi kekuatan.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Derajat dalam basis atau eksponen dapat memiliki angka, variabel, dan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, (2 + 0, 3 7) 5 3 , 7 dan . Sulit untuk bekerja dengan catatan seperti itu. Jauh lebih mudah untuk mengganti ekspresi dalam basis derajat atau ekspresi dalam eksponen dengan ekspresi yang identik sama.

Transformasi derajat dan indikator dilakukan sesuai dengan aturan yang kita ketahui secara terpisah satu sama lain. Yang paling penting adalah bahwa sebagai hasil dari transformasi, diperoleh ekspresi yang identik dengan yang asli.

Tujuan dari transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi asli atau untuk mendapatkan solusi dari masalah. Misalnya, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0 , 3 7) 5 3 , 7 Anda dapat melakukan operasi untuk mencapai derajat 4 , 1 1 , 3 . Membuka tanda kurung, kita dapat membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a + 1) a 2) 2 (x + 1) dan dapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a2 (x + 1).

Menggunakan Properti Daya

Sifat derajat, ditulis sebagai persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan derajat. Kami menyajikan di sini yang utama, mengingat itu sebuah dan b adalah sembarang bilangan positif, dan r dan s- bilangan real arbitrer:

Definisi 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Dalam kasus di mana kita berurusan dengan eksponen alami, bilangan bulat, positif, pembatasan angka a dan b bisa jauh lebih ketat. Jadi, misalnya, jika kita mempertimbangkan kesetaraan a m a n = a m + n, di mana m dan n adalah bilangan asli, maka akan benar untuk setiap nilai a, baik positif maupun negatif, serta untuk a = 0.

Anda dapat menerapkan properti derajat tanpa batasan dalam kasus di mana basis derajat positif atau mengandung variabel yang rentang nilai yang dapat diterima sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya. Padahal, dalam kerangka kurikulum sekolah dalam matematika, tugas siswa adalah memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan benar.

Saat mempersiapkan penerimaan ke universitas, mungkin ada tugas di mana penerapan properti yang tidak akurat akan menyebabkan penyempitan ODZ dan kesulitan lain dengan solusi. Pada bagian ini, kita hanya akan mempertimbangkan dua kasus seperti itu. Informasi lebih lanjut tentang subjek dapat ditemukan di topik "Mentransformasi ekspresi menggunakan properti eksponen".

Contoh 4

Mewakili ekspresi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 sebagai gelar dengan basis sebuah.

Keputusan

Untuk memulainya, kami menggunakan properti eksponensial dan mengubah faktor kedua menggunakannya (a 2) 3. Kemudian kami menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama:

a 2 , 5 a 6: a 5 , 5 = a 2 , 5 6: a 5 , 5 = a 3 , 5: a 5 , 5 = a 3 , 5 (− 5 , 5 ) = a2 .

Menjawab: a 2 , 5 (a 2) 3: a 5 , 5 = a 2 .

Transformasi ekspresi kekuasaan menurut properti derajat dapat dilakukan baik dari kiri ke kanan dan dalam arah yang berlawanan.

Contoh 5

Tentukan nilai dari ekspresi pangkat 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Keputusan

Jika kita menerapkan persamaan (a b) r = a r b r, dari kanan ke kiri, maka kita mendapatkan hasil kali dengan bentuk 3 7 1 3 21 2 3 dan kemudian 21 1 3 21 2 3 . Mari kita tambahkan eksponen saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ada cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Menjawab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberikan ekspresi kekuatan a 1 , 5 a 0, 5 6, masukkan variabel baru t = a 0, 5.

Keputusan

Bayangkan derajatnya 1 , 5 sebagai a 0, 5 3. Menggunakan properti derajat dalam gelar (a r) s = a r s dari kanan ke kiri dan dapatkan (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda dapat dengan mudah memperkenalkan variabel baru t = a 0, 5: Dapatkan t 3 t 6.

Menjawab: t 3 t 6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Kami biasanya berurusan dengan dua varian ekspresi pangkat dengan pecahan: ekspresi adalah pecahan dengan derajat atau berisi pecahan seperti itu. Semua transformasi pecahan dasar berlaku untuk ekspresi seperti itu tanpa batasan. Mereka dapat direduksi, dibawa ke penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilang dan penyebut. Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh.

Contoh 7

Sederhanakan ekspresi pangkat 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Keputusan

Kita berurusan dengan pecahan, jadi kita akan melakukan transformasi pada pembilang dan penyebutnya:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Letakkan tanda minus di depan pecahan untuk mengubah tanda penyebut: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Menjawab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang mengandung pangkat direduksi menjadi penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan faktor tambahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu. Penting untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh 8

Bawa pecahan ke penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 ke penyebutnya sebuah, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ke penyebut x + 8 y 1 2 .

Keputusan

a) Kami memilih faktor yang memungkinkan kami untuk mengurangi ke penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a , oleh karena itu, sebagai faktor tambahan, kami mengambil 0, 3. Rentang nilai yang dapat diterima dari variabel a mencakup himpunan semua bilangan real positif. Di bidang ini, gelar 0, 3 tidak menuju nol.

Mari kita kalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Kalikan ekspresi ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6 , kita mendapatkan jumlah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6 , mis. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baru kita, yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pada kisaran nilai variabel yang dapat diterima x dan kamu ekspresi x 1 3 + 2 y 1 6 tidak hilang, jadi kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Menjawab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Contoh 9

Kurangi pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Keputusan

a) Gunakan penyebut persekutuan terbesar (PBK) yang dengannya pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi. Untuk angka 30 dan 45, ini adalah 15 . Kita juga bisa mengurangi x 0, 5 + 1 dan pada x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Kita mendapatkan:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Di sini keberadaan faktor-faktor yang identik tidak jelas. Anda harus melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor pembilang dan penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, kami memperluas penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Menjawab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi utama dengan pecahan meliputi pengurangan ke penyebut baru dan pengurangan pecahan. Kedua tindakan tersebut dilakukan sesuai dengan sejumlah aturan. Saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, pecahan pertama-tama direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu tindakan (penjumlahan atau pengurangan) dilakukan dengan pembilang. Penyebutnya tetap sama. Hasil dari tindakan kita adalah pecahan baru, yang pembilangnya adalah perkalian dari pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian dari penyebutnya.

Contoh 10

Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan mengurangkan pecahan yang ada di dalam kurung. Mari kita bawa mereka ke penyebut yang sama:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita kurangi pembilangnya:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1x1 2 + 1 1x1 2

Sekarang kita mengalikan pecahan:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangi satu derajat x 1 2, kita mendapatkan 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Selain itu, Anda dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: kuadrat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Menjawab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Sederhanakan ekspresi pangkat x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Keputusan

Kita dapat mengurangi pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kami mendapatkan pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari kita lanjutkan transformasi dari x pangkat x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sekarang Anda dapat menggunakan sifat membagi pangkat dengan basis yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kami beralih dari produk terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Menjawab: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk mentransfer pengali dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut dan sebaliknya dengan mengubah tanda eksponen. Tindakan ini menyederhanakan keputusan selanjutnya. Mari kita beri contoh: ekspresi pangkat (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 dapat diganti dengan x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Dalam tugas, ada ekspresi pangkat yang tidak hanya berisi derajat dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Diinginkan untuk mengurangi ekspresi seperti itu hanya menjadi akar atau hanya kekuatan. Transisi ke derajat lebih disukai, karena lebih mudah digunakan. Transisi seperti itu sangat menguntungkan ketika DPV variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa harus mengakses modulus atau membagi DPV menjadi beberapa interval.

Contoh 12

Nyatakan ekspresi x 1 9 x x 3 6 sebagai pangkat.

Keputusan

Rentang variabel yang valid x ditentukan oleh dua pertidaksamaan x 0 dan x · x 3 0 , yang mendefinisikan himpunan [ 0 , + ∞) .

Di set ini, kami memiliki hak untuk berpindah dari akar ke pangkat:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Menggunakan sifat derajat, kami menyederhanakan ekspresi kekuatan yang dihasilkan.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Menjawab: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Mengonversi pangkat dengan variabel dalam eksponen

Transformasi ini cukup sederhana untuk dilakukan jika Anda menggunakan properti derajat dengan benar. Sebagai contoh, 5 2 x + 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 1 = 0.

Kita dapat mengganti hasil kali derajat, yang dengannya jumlah dari beberapa variabel dan suatu bilangan ditemukan. Di sisi kiri, ini dapat dilakukan dengan suku pertama dan terakhir di sisi kiri ekspresi:

5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 = 0, 5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 7 2 x. Ekspresi pada ODZ variabel x ini hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangi pecahan dengan kekuatan, kita mendapatkan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , yang setara dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Mari kita perkenalkan variabel baru t = 5 7 x , yang mereduksi solusi persamaan eksponensial awal menjadi solusi persamaan kuadrat 5 · t 2 3 · t 2 = 0 .

Mengonversi ekspresi dengan kekuatan dan logaritma

Ekspresi yang mengandung kekuatan dan logaritma juga ditemukan dalam masalah. Contoh ekspresi tersebut adalah: 1 4 1 - 5 log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformasi ekspresi tersebut dilakukan dengan menggunakan pendekatan dan properti logaritma di atas, yang telah kami analisis secara rinci dalam topik "Transformasi ekspresi logaritma".

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter