Beberapa konsep dan istilah digunakan secara ketat dalam batas-batas yang sempit.Definisi lain ditemukan di daerah-daerah yang sangat bertentangan. Jadi, misalnya, konsep "gradien" digunakan oleh fisikawan, matematikawan, dan spesialis manikur atau "Photoshop". Apa yang dimaksud dengan gradien sebagai sebuah konsep? Mari kita cari tahu.

Apa yang kamus katakan?

Apa yang dimaksud dengan kamus tematik khusus "gradien" dalam kaitannya dengan kekhususannya. Diterjemahkan dari bahasa Latin, kata ini berarti - "yang pergi, tumbuh." Dan "Wikipedia" mendefinisikan konsep ini sebagai "vektor yang menunjukkan arah peningkatan besarnya." Dalam kamus penjelasan, kita melihat arti kata ini sebagai "perubahan nilai apa pun demi satu nilai." Konsep tersebut dapat membawa makna kuantitatif dan kualitatif.

Singkatnya, ini adalah transisi bertahap yang mulus dari nilai apa pun dengan satu nilai, perubahan kuantitas atau arah yang progresif dan berkelanjutan. Vektor dihitung oleh ahli matematika, ahli meteorologi. Konsep ini digunakan dalam astronomi, kedokteran, seni, grafik komputer. Di bawah istilah yang sama jenis kegiatan yang sama sekali berbeda didefinisikan.

fungsi matematika

Apa gradien fungsi dalam matematika? Ini menunjukkan arah pertumbuhan suatu fungsi dalam medan skalar dari satu nilai ke nilai lainnya. Besarnya gradien dihitung menggunakan definisi turunan parsial. Untuk mengetahui arah tercepat pertumbuhan fungsi pada grafik, dipilih dua titik. Mereka menentukan awal dan akhir vektor. Tingkat di mana nilai tumbuh dari satu titik ke titik lain adalah besarnya gradien. Fungsi matematika berdasarkan perhitungan indikator ini digunakan dalam grafik komputer vektor, yang objeknya adalah gambar grafik objek matematika.

Apa yang dimaksud dengan gradien dalam fisika?

Konsep gradien umum di banyak cabang fisika: gradien optik, suhu, kecepatan, tekanan, dll. Dalam industri ini, konsep menunjukkan ukuran kenaikan atau penurunan nilai per unit. Ini dihitung sebagai perbedaan antara dua indikator. Mari kita pertimbangkan beberapa kuantitas secara lebih rinci.

Apa itu gradien potensial? Dalam bekerja dengan medan elektrostatik, dua karakteristik ditentukan: tegangan (daya) dan potensial (energi). Besaran-besaran yang berbeda ini berhubungan dengan lingkungan. Dan meskipun mereka mendefinisikan karakteristik yang berbeda, mereka masih memiliki hubungan satu sama lain.

Untuk menentukan kekuatan medan gaya, gradien potensial digunakan - nilai yang menentukan laju perubahan potensial dalam arah garis medan. Bagaimana cara menghitungnya? Beda potensial dua titik medan listrik dihitung dari tegangan yang diketahui menggunakan vektor intensitas, yang sama dengan gradien potensial.

Persyaratan ahli meteorologi dan geografi

Untuk pertama kalinya, konsep gradien digunakan oleh ahli meteorologi untuk menentukan perubahan besaran dan arah berbagai indikator meteorologi: suhu, tekanan, kecepatan dan kekuatan angin. Ini adalah ukuran perubahan kuantitatif berbagai kuantitas. Maxwell memperkenalkan istilah ke dalam matematika jauh kemudian. Dalam definisi kondisi cuaca, ada konsep gradien vertikal dan horizontal. Mari kita pertimbangkan mereka secara lebih rinci.

Apa yang dimaksud dengan gradien suhu vertikal? Ini adalah nilai yang menunjukkan perubahan kinerja, dihitung pada ketinggian 100 m, bisa positif atau negatif, berbeda dengan horizontal, yang selalu positif.

Gradien menunjukkan besar atau sudut kemiringan pada permukaan tanah. Ini dihitung sebagai rasio tinggi terhadap panjang proyeksi jalur pada bagian tertentu. Dinyatakan sebagai persentase.

Indikator medis

Definisi "gradien suhu" juga dapat ditemukan di antara istilah medis. Ini menunjukkan perbedaan dalam indikator yang sesuai dari organ internal dan permukaan tubuh. Dalam biologi, gradien fisiologis memperbaiki perubahan fisiologi organ atau organisme apa pun secara keseluruhan pada setiap tahap perkembangannya. Dalam kedokteran, indikator metabolisme adalah intensitas metabolisme.

Tidak hanya fisikawan, tetapi juga dokter menggunakan istilah ini dalam pekerjaan mereka. Apa gradien tekanan dalam kardiologi? Konsep ini mendefinisikan perbedaan tekanan darah di setiap bagian yang saling berhubungan dari sistem kardiovaskular.

Gradien otomatisitas yang menurun adalah indikator penurunan frekuensi eksitasi jantung ke arah dari dasarnya ke atas, yang terjadi secara otomatis. Selain itu, ahli jantung mengidentifikasi lokasi kerusakan arteri dan derajatnya dengan mengontrol perbedaan amplitudo gelombang sistolik. Dengan kata lain, menggunakan gradien amplitudo pulsa.

Apa itu gradien kecepatan?

Ketika seseorang berbicara tentang laju perubahan kuantitas tertentu, yang dimaksud dengan ini adalah laju perubahan dalam ruang dan waktu. Dengan kata lain, gradien kecepatan menentukan perubahan koordinat spasial dalam kaitannya dengan indikator temporal. Indikator ini dihitung oleh ahli meteorologi, astronom, ahli kimia. Gradien laju geser lapisan fluida ditentukan dalam industri minyak dan gas untuk menghitung laju di mana fluida naik melalui pipa. Indikator pergerakan tektonik semacam itu adalah area perhitungan oleh seismolog.

Fungsi ekonomi

Untuk mendukung kesimpulan teoretis yang penting, konsep gradien banyak digunakan oleh para ekonom. Saat memecahkan masalah konsumen, fungsi utilitas digunakan, yang membantu mewakili preferensi dari serangkaian alternatif. "Fungsi batasan anggaran" adalah istilah yang digunakan untuk merujuk pada sekumpulan paket konsumen. Gradien di area ini digunakan untuk menghitung konsumsi optimal.

gradien warna

Istilah "gradien" sudah tidak asing lagi bagi orang-orang kreatif. Meskipun mereka jauh dari ilmu eksakta. Apa yang dimaksud dengan gradien untuk seorang desainer? Karena dalam ilmu eksakta ini adalah peningkatan nilai secara bertahap per satu, jadi dalam warna indikator ini menunjukkan transisi yang mulus dan membentang dari warna yang sama dari lebih terang ke lebih gelap, atau sebaliknya. Seniman menyebut proses ini "peregangan." Dimungkinkan juga untuk beralih ke warna pengiring yang berbeda dalam rentang yang sama.

Peregangan gradien warna dalam pewarnaan ruangan telah mengambil posisi yang kuat di antara teknik desain. Gaya ombre bermodel baru - aliran warna yang halus dari terang ke gelap, dari terang ke pucat - secara efektif mengubah setiap ruangan di rumah dan kantor.

Ahli kacamata menggunakan lensa khusus dalam kacamata hitam mereka. Apa itu gradien dalam kacamata? Ini adalah pembuatan lensa dengan cara khusus, ketika dari atas ke bawah warnanya berubah dari warna yang lebih gelap ke warna yang lebih terang. Produk yang dibuat menggunakan teknologi ini melindungi mata dari radiasi matahari dan memungkinkan Anda untuk melihat objek bahkan dalam cahaya yang sangat terang.

Warna dalam desain web

Mereka yang terlibat dalam desain web dan grafik komputer sangat menyadari alat universal "gradien", yang menciptakan berbagai macam efek. Transisi warna diubah menjadi sorotan, latar belakang mewah, tiga dimensi. Manipulasi rona, pembuatan cahaya dan bayangan menambah volume ke objek vektor. Untuk tujuan ini, beberapa jenis gradien digunakan:

• linier.
• radial.
• berbentuk kerucut.
• Cermin.
• Genjang.
• gradien kebisingan.

keindahan gradien

Bagi pengunjung salon kecantikan, pertanyaan tentang apa itu gradien tidak akan mengejutkan. Benar, dalam hal ini, pengetahuan tentang hukum matematika dan dasar-dasar fisika tidak diperlukan. Ini semua tentang transisi warna. Rambut dan kuku menjadi objek gradien. Teknik ombre, yang berarti “nada” dalam bahasa Prancis, mulai populer di kalangan pecinta olahraga selancar dan aktivitas pantai lainnya. Rambut yang terbakar dan tumbuh kembali secara alami telah menjadi hit. Wanita mode mulai secara khusus mewarnai rambut mereka dengan transisi warna yang nyaris tidak terlihat.

Teknik ombre tidak melewati salon kuku. Gradien pada kuku menciptakan pewarnaan dengan kecerahan pelat secara bertahap dari akar ke tepi. Master menawarkan horizontal, vertikal, dengan transisi dan varietas lainnya.

Sulaman

Konsep "gradien" akrab bagi wanita yang membutuhkan dari sisi lain. Teknik semacam ini digunakan dalam pembuatan barang-barang buatan tangan dengan gaya decoupage. Dengan cara ini, barang antik baru dibuat, atau barang lama dipulihkan: lemari berlaci, kursi, peti, dan sebagainya. Decoupage melibatkan penerapan pola menggunakan stensil, yang dasarnya adalah gradien warna sebagai latar belakang.

Seniman kain telah mengadopsi pewarnaan dengan cara ini untuk model-model baru. Gaun dengan warna gradasi menaklukkan catwalk. Fashion diambil oleh wanita yang membutuhkan - perajut. Rajutan dengan transisi warna yang mulus sukses.

Meringkas definisi "gradien", kita dapat mengatakan tentang area aktivitas manusia yang sangat luas di mana istilah ini memiliki tempat. Penggantian dengan sinonim "vektor" tidak selalu tepat, karena bagaimanapun juga, vektor adalah konsep spasial yang fungsional. Yang menentukan keumuman konsep adalah perubahan bertahap dalam kuantitas, zat, parameter fisik per satuan tertentu selama periode tertentu. Dalam warna, ini adalah transisi nada yang mulus.

Membiarkan Z= F(M) adalah fungsi yang didefinisikan di beberapa lingkungan titik M(y; x);L={ Cos; Cos} – vektor satuan (pada Gambar 33 1=  , 2= ); L adalah garis lurus yang melalui suatu titik M; M1(x1; y1), di mana x1=x+x dan y1=y+y- titik pada garis L;  L- ukuran segmen MM1;  Z= F(x+x, y+y)-F(X, kamu) – peningkatan fungsi F(M) pada intinya M(x; y).

Definisi. Batas relasi, jika ada, disebut Fungsi turunan Z = F ( M ) pada intinya M ( X ; kamu ) dalam arah vektor L .

Penamaan.

Jika fungsi F(M) terdiferensiasi pada suatu titik M(x; y), kemudian pada titik M(x; y) ada turunan ke segala arah L berasal dari M; itu dihitung menurut rumus berikut:

(8)

Di mana Cos Dan Cos- arah cosinus dari vektor L.

Contoh 46. Hitung turunan dari suatu fungsi Z= X2 + kamu2 X pada intinya M(1; 2) dalam arah vektor MM1, di mana M1- titik dengan koordinat (3; 0).

. Mari kita cari vektor satuan L, memiliki arah ini:

Di mana Cos= ; Cos=- .

Kami menghitung turunan parsial dari fungsi di titik M(1; 2):

Dengan rumus (8) kita peroleh

Contoh 47. Tentukan turunan dari suatu fungsi kamu = xy2 Z3 pada intinya M(3; 2; 1) Dalam arah vektor M N, di mana N(5; 4; 2) .

. Mari kita cari vektor dan cosinus arahnya:

Hitung nilai turunan parsial pada titik M:

Akibatnya,

Definisi. gradien FungsiZ= F(M) di titik M(x; y) adalah vektor yang koordinatnya sama dengan turunan parsial bersesuaian u yang diambil di titik M(x; y).

Penamaan.

Contoh 48. Tentukan gradien suatu fungsi Z= X2 +2 kamu2 -5 pada intinya M(2; -1).

Larutan. Kami menemukan turunan parsial: dan nilai-nilai mereka pada intinya M(2; -1):

Contoh 49. Tentukan besar dan arah gradien suatu fungsi di suatu titik

Larutan. Mari kita cari turunan parsial dan hitung nilainya di titik M:

Akibatnya,

Turunan arah untuk fungsi tiga variabel didefinisikan dengan cara yang sama kamu= F(X, kamu, Z) , rumus diturunkan

Konsep gradien diperkenalkan

Kami menekankan bahwa Sifat dasar dari fungsi gradien lebih penting untuk analisis optimasi ekonomi: dalam arah gradien, fungsi meningkat. Dalam masalah ekonomi, properti gradien berikut digunakan:

1) Biarkan suatu fungsi diberikan Z= F(X, kamu) , yang memiliki turunan parsial dalam domain definisi. Pertimbangkan beberapa hal M0(x0, y0) dari domain definisi. Biarkan nilai fungsi pada titik ini menjadi F(X0 , kamu0 ) . Perhatikan grafik fungsi. Melalui titik (X0 , kamu0 , F(X0 , kamu0 )) ruang tiga dimensi, kita menggambar sebuah bidang yang bersinggungan dengan permukaan grafik fungsi. Kemudian gradien fungsi dihitung pada titik (x0, y0), dianggap secara geometris sebagai vektor yang melekat pada suatu titik (X0 , kamu0 , F(X0 , kamu0 )) , akan tegak lurus terhadap bidang singgung. Ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 34.

2) Fungsi gradien F(X, kamu) pada intinya M0(x0, y0) menunjukkan arah peningkatan tercepat fungsi pada titik 0. Selain itu, setiap arah yang membentuk sudut lancip dengan gradien adalah arah pertumbuhan fungsi di titik 0. Dengan kata lain, gerakan kecil dari suatu titik (x0, y0) dalam arah gradien fungsi pada titik ini menyebabkan peningkatan fungsi, dan sebagian besar.

Pertimbangkan vektor yang berlawanan dengan gradien. Itu disebut anti-gradien . Koordinat vektor ini adalah:

Fungsi anti-gradien F(X, kamu) pada intinya M0(x0, y0) menunjukkan arah penurunan tercepat fungsi pada titik 0. Setiap arah yang membentuk sudut lancip dengan antigradien adalah arah penurunan fungsi di titik tersebut.

3) Saat mempelajari suatu fungsi, seringkali perlu untuk menemukan pasangan seperti itu (x, y) dari ruang lingkup fungsi, yang fungsi mengambil nilai yang sama. Pertimbangkan himpunan poin (X, kamu) di luar ruang lingkup fungsi F(X, kamu) , seperti yang F(X, kamu)= konstanta, di mana entrinya? “ konstanta” artinya nilai fungsi tersebut tetap dan sama dengan suatu bilangan dari rentang fungsi tersebut.

Definisi. Garis tingkat fungsi kamu = F ( X , kamu ) disebut garisF(X, kamu)=С di pesawatXOy, pada titik-titik di mana fungsi tetap konstankamu= C.

Garis datar digambarkan secara geometris pada bidang perubahan variabel bebas berupa garis lengkung. Memperoleh garis level dapat dibayangkan sebagai berikut. Pertimbangkan himpunan DARI, yang terdiri dari titik-titik dalam ruang tiga dimensi dengan koordinat (X, kamu, F(X, kamu)= konstanta), yang, di satu sisi, termasuk dalam grafik fungsi Z= F(X, kamu), di sisi lain, mereka terletak pada bidang yang sejajar dengan bidang koordinat BAGAIMANA, dan dipisahkan darinya dengan nilai yang sama dengan konstanta tertentu. Kemudian, untuk membuat garis datar, cukup memotong permukaan grafik fungsi dengan bidang Z= konstanta dan memproyeksikan garis persimpangan ke pesawat BAGAIMANA. Alasan di atas adalah pembenaran untuk kemungkinan membangun garis level secara langsung pada bidang BAGAIMANA.

Definisi. Himpunan garis sejajar disebut Peta garis level.

Contoh garis tingkat yang terkenal adalah tingkat ketinggian yang sama pada peta topografi dan garis tekanan udara yang sama pada peta cuaca.

Definisi. Arah di mana laju kenaikan fungsi maksimum disebut arah "pilihan", atau Arah pertumbuhan tercepat.

Arah "lebih disukai" diberikan oleh vektor gradien fungsi. pada gambar. 35 menunjukkan maksimum, minimum dan titik pelana dalam masalah optimasi fungsi dua variabel tanpa adanya pembatasan. Bagian bawah gambar menunjukkan garis level dan arah pertumbuhan tercepat.

Contoh 50. Temukan garis level fitur kamu= X2 + kamu2 .

Larutan. Persamaan keluarga garis tingkat memiliki bentuk X2 + kamu2 = C (C>0) . Memberi DARI nilai nyata yang berbeda, kita mendapatkan lingkaran konsentris yang berpusat di titik asal.

Konstruksi garis tingkat. Analisis mereka banyak digunakan dalam masalah ekonomi di tingkat mikro dan makro, teori keseimbangan dan solusi efektif. Isocost, isokuan, kurva indiferen - ini semua adalah garis level yang dibangun untuk fungsi ekonomi yang berbeda.

Contoh 51. Perhatikan situasi ekonomi berikut. Biarkan produksi produk dijelaskan Fungsi Cobb-Douglas F(X, kamu)=10x1/3y2/3, di mana X- jumlah tenaga kerja Pada- jumlah modal. 30 USD dialokasikan untuk akuisisi sumber daya. unit, harga tenaga kerja adalah 5 c.u. unit, modal - 10 c.u. unit Mari kita bertanya pada diri kita sendiri: apa output terbesar yang dapat diperoleh dalam kondisi ini? Di sini, "kondisi yang diberikan" mengacu pada teknologi tertentu, harga sumber daya, dan jenis fungsi produksi. Seperti yang telah dicatat, fungsi Cobb-Douglas meningkat secara monoton di setiap variabel, yaitu, peningkatan setiap jenis sumber daya menyebabkan peningkatan output. Dalam kondisi ini, jelas bahwa adalah mungkin untuk meningkatkan perolehan sumber daya selama ada cukup uang. Paket sumber daya yang berharga 30 c.u. unit, memenuhi kondisi:

5x + 10y = 30,

Artinya, mereka mendefinisikan garis level fungsi:

G(X, kamu) = 5x + 10y.

Di sisi lain, dengan bantuan garis level Fungsi Cobb-Douglas (Gbr. 36) adalah mungkin untuk menunjukkan peningkatan fungsi: pada setiap titik dari garis level, arah gradien adalah arah peningkatan terbesar, dan untuk membangun gradien pada suatu titik, cukup untuk menggambar garis singgung ke garis tingkat pada titik ini, menggambar tegak lurus terhadap garis singgung dan menunjukkan arah gradien. Dari gambar. 36 dapat dilihat bahwa pergerakan garis sejajar fungsi Cobb-Douglas sepanjang gradien harus dilakukan sampai menjadi bersinggungan dengan garis sejajar 5x + 10y = 30. Jadi, dengan menggunakan konsep garis level, gradien, properti gradien, adalah mungkin untuk mengembangkan pendekatan untuk penggunaan sumber daya yang terbaik dalam hal peningkatan volume output.

Definisi. Permukaan tingkat fungsi kamu = F ( X , kamu , Z ) disebut permukaanF(X, kamu, Z)=С, pada titik-titik di mana fungsi tetap konstankamu= C.

Contoh 52. Temukan permukaan level fitur kamu= X2 + Z2 - kamu2 .

Larutan. Persamaan keluarga permukaan datar berbentuk X2 + Z2 - kamu2 =C. Jika sebuah C=0, maka kita dapatkan X2 + Z2 - kamu2 =0 - kerucut; jika C<0 , kemudian X2 + Z2 - kamu2 =C- Keluarga hiperboloid berlembar dua.

Jika pada setiap titik dalam ruang atau bagian ruang ditentukan nilai suatu besaran tertentu, maka dikatakan bahwa medan dari besaran tersebut diberikan. Medan disebut skalar jika nilai yang dipertimbangkan adalah skalar, mis. dicirikan dengan baik oleh nilai numeriknya. Misalnya, bidang suhu. Medan skalar diberikan oleh fungsi skalar dari titik u = /(M). Jika sistem koordinat Cartesian diperkenalkan di ruang angkasa, maka ada fungsi dari tiga variabel x, yt z - koordinat titik M: Definisi. Permukaan level dari medan skalar adalah himpunan titik-titik di mana fungsi f(M) mengambil nilai yang sama. Contoh Persamaan Permukaan Level 1. Menemukan Permukaan Level dari Bidang Skalar ANALISIS VEKTOR Medan Skalar Level Permukaan dan Garis Level Gradien Turunan Arah Gradien dari Bidang Skalar Sifat Gradien Dasar Invarian Definisi Gradien Aturan untuk Menghitung Gradien -4 Menurut definisi, level persamaan permukaan akan Ini adalah persamaan bola (dengan 0) berpusat di titik asal. Medan skalar disebut datar jika medannya sama di semua bidang yang sejajar dengan beberapa bidang. Jika bidang yang ditunjukkan diambil sebagai bidang xOy, maka fungsi medan tidak akan bergantung pada koordinat z, yaitu, itu akan menjadi fungsi hanya argumen x dan y dan juga makna. Persamaan garis tingkat - Contoh 2. Menemukan garis tingkat dari medan skalar Garis tingkat diberikan oleh persamaan Pada c = 0 kita mendapatkan sepasang garis, kita mendapatkan keluarga hiperbola (Gbr. 1). 1.1. Turunan terarah Misalkan ada medan skalar yang didefinisikan oleh fungsi skalar u = /(Af). Mari kita ambil titik Afo dan pilih arah yang ditentukan oleh vektor I. Mari kita ambil titik M yang lain sehingga vektor M0M sejajar dengan vektor 1 (Gbr. 2). Mari kita nyatakan panjang vektor MoM dengan A/, dan kenaikan fungsi /(Af) - /(Afo), sesuai dengan perpindahan D1, oleh Di. Rasio menentukan laju rata-rata perubahan medan skalar per satuan panjang ke arah yang diberikan. Biarkan sekarang cenderung nol sehingga vektor 0М tetap sejajar dengan vektor I sepanjang waktu. Definisi. Jika untuk D/O terdapat limit berhingga dari relasi (5), maka relasi tersebut disebut turunan dari fungsi tersebut pada titik tertentu Afo ke arah I yang diberikan dan dilambangkan dengan simbol zr!^. Jadi, menurut definisi, Definisi ini tidak terkait dengan pemilihan sistem koordinat, yaitu memiliki karakter varian **. Mari kita cari ekspresi untuk turunan terhadap arah dalam sistem koordinat Cartesian. Biarkan fungsi / terdiferensiasi pada suatu titik. Perhatikan nilai /(Af) pada suatu titik. Kemudian kenaikan total fungsi dapat ditulis dalam bentuk berikut: di mana dan simbol berarti bahwa turunan parsial dihitung pada titik Afo. Karenanya Di sini besaran jfi, ^ adalah arah cosinus dari vektor. Karena vektor MoM dan I saling berarah, cosinus arahnya adalah sama: turunan, adalah turunan dari fungsi dan sepanjang arah sumbu koordinat dengan nno eksternal- Contoh 3. Temukan turunan fungsi menuju titik Vektor memiliki panjang. Arahnya cosinus: Dengan rumus (9) kita akan memiliki Fakta bahwa, berarti bahwa medan skalar pada suatu titik dalam arah usia tertentu- Untuk medan datar, turunan dalam arah I pada suatu titik dihitung dengan rumus dimana a adalah sudut yang dibentuk oleh vektor I dengan sumbu Oh. Zmmchmm 2. Rumus (9) untuk menghitung turunan sepanjang arah I pada titik Afo tertentu tetap berlaku bahkan ketika titik M cenderung ke titik Mo sepanjang kurva yang vektor I bersinggungan dengan titik PrISp 4. Hitung turunan dari medan skalar di titik Afo(l, 1). milik parabola dalam arah kurva ini (dalam arah peningkatan absis). Arah ] parabola di suatu titik adalah arah garis singgung parabola di titik ini (Gbr. 3). Biarkan garis singgung parabola di titik Afo membentuk sudut o dengan sumbu Ox. Lalu dari mana mengarahkan cosinus dari sebuah garis singgung Mari kita menghitung nilai dan dalam sebuah titik. Kami memiliki Sekarang dengan rumus (10) kami peroleh. Menemukan turunan dari medan skalar pada suatu titik dalam arah lingkaran Persamaan vektor lingkaran memiliki bentuk. Kami menemukan vektor satuan m dari garis singgung lingkaran.Titik sesuai dengan nilai parameter. Gradien Medan Skalar Biarkan medan skalar didefinisikan oleh fungsi skalar yang dianggap dapat diturunkan. Definisi. Gradien medan skalar » pada suatu titik M adalah vektor yang dilambangkan dengan simbol grad dan didefinisikan oleh persamaan Jelas bahwa vektor ini bergantung pada fungsi / dan pada titik M di mana turunannya dihitung. Biarkan 1 menjadi vektor satuan dalam arah Maka rumus untuk turunan arah dapat ditulis sebagai berikut: . dengan demikian, turunan dari fungsi u sepanjang arah 1 sama dengan produk skalar gradien fungsi u(M) dan vektor satuan 1° dari arah I. 2.1. Sifat Dasar Gradien Teorema 1. Gradien medan skalar tegak lurus terhadap permukaan datar (atau terhadap garis datar jika bidang datar). (2) Mari kita menggambar permukaan datar u = konstanta melalui titik sembarang M dan memilih kurva mulus L pada permukaan ini yang melalui titik M (Gbr. 4). Misalkan I adalah vektor yang bersinggungan dengan kurva L di titik M. Karena pada permukaan datar u(M) = u(M|) untuk sembarang titik Mj L, maka = (gradu, 1°) . Itu sebabnya. Artinya vektor-vektor grad dan dan 1° ortogonal Jadi, vektor grad dan ortogonal terhadap sembarang garis singgung permukaan datar di titik M. Jadi ortogonal terhadap permukaan datar itu sendiri di titik M. Teorema 2 Gradien diarahkan ke arah fungsi medan yang meningkat. Sebelumnya kita telah membuktikan bahwa gradien medan skalar diarahkan sepanjang normal ke permukaan datar, yang dapat diorientasikan baik ke arah kenaikan fungsi u(M) atau ke arah penurunannya. Dilambangkan dengan n normal dari permukaan rata yang berorientasi pada arah fungsi naik ti(M), dan temukan turunan dari fungsi u dalam arah normal ini (Gbr. 5). Kami memiliki Sejak sesuai dengan kondisi Gambar. 5 dan karenanya ANALISIS VEKTOR Medan skalar Permukaan dan garis level Turunan dalam arah Gradien medan skalar Sifat dasar gradien Definisi invarian dari gradien Aturan untuk menghitung gradien Ini mengikuti bahwa gradien dan diarahkan ke arah yang sama dengan yang kita pilih n normal, yaitu, ke arah fungsi yang meningkat u(M). Teorema 3. Panjang gradien sama dengan turunan terbesar terhadap arah pada titik tertentu di lapangan, (di sini, maks $ diambil ke semua arah yang mungkin pada titik tertentu M ke titik). Dimana adalah sudut antara vektor 1 dan grad n Karena nilai terbesar adalah Contoh 1. Temukan arah medan skalar terbesar dan mutlak pada titik tersebut dan juga besarnya perubahan terbesar ini pada titik yang ditentukan. Arah perubahan terbesar dalam medan skalar ditunjukkan oleh vektor. Kami memiliki begitu Vektor ini menentukan arah peningkatan terbesar di lapangan ke suatu titik. Nilai perubahan terbesar di lapangan pada titik ini adalah 2,2. Definisi invarian gradien Kuantitas yang mencirikan sifat-sifat objek yang diteliti dan tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat disebut invarian dari objek yang diberikan. Misalnya, panjang kurva adalah invarian dari kurva ini, tetapi sudut garis singgung kurva dengan sumbu x bukan invarian. Berdasarkan ketiga sifat gradien medan skalar di atas, kita dapat memberikan definisi invarian gradien berikut. Definisi. Gradien medan skalar adalah vektor yang diarahkan sepanjang garis normal ke permukaan datar dalam arah fungsi medan yang meningkat dan memiliki panjang yang sama dengan turunan arah terbesar (pada titik tertentu). Membiarkan menjadi vektor normal satuan yang diarahkan ke arah bidang yang meningkat. Kemudian Contoh 2. Temukan gradien jarak - beberapa titik tetap, dan M(x,y,z) - titik saat ini. 4 Kami memiliki di mana adalah vektor arah satuan. Aturan untuk menghitung gradien di mana c adalah angka konstan. Rumus di atas diperoleh langsung dari definisi gradien dan sifat turunannya. Dengan aturan diferensiasi produk Pembuktian serupa dengan pembuktian sifat Misalkan F(u) adalah fungsi skalar yang dapat diturunkan. Kemudian 4 Dengan definisi gradien, kita telah Terapkan untuk semua istilah di sisi kanan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Kami memperoleh Secara khusus, Formula (6) mengikuti dari bidang rumus ke dua titik tetap pada bidang ini. Pertimbangkan elips sewenang-wenang dengan fokus Fj dan F] dan buktikan bahwa setiap sinar cahaya yang muncul dari satu fokus elips, setelah refleksi dari elips, memasuki fokus lainnya. Garis level fungsi (7) adalah ANALISIS VEKTOR Medan skalar Permukaan dan garis level Derivatif terarah Gradien medan skalar Sifat dasar gradien Definisi invarian dari gradien Aturan perhitungan gradien Persamaan (8) menggambarkan keluarga elips dengan fokus di titik F ) dan Fj. Menurut hasil dari contoh 2, kita memiliki dan vektor radius. ditarik ke titik P(x,y) dari fokus F| dan Fj, dan karenanya terletak pada garis bagi sudut antara vektor-vektor jari-jari ini (Gbr. 6). Menurut Tooromo 1, gradien PQ tegak lurus terhadap elips (8) di titik. Oleh karena itu, Gambar.6. normal ke elips (8) di setiap titik membagi dua sudut antara vektor jari-jari yang ditarik ke titik ini. Dari sini dan dari fakta bahwa sudut datang sama dengan sudut pantul, kita peroleh: seberkas cahaya yang keluar dari salah satu fokus elips, yang dipantulkan darinya, pasti akan jatuh ke fokus lain elips ini.

1 0 Gradien diarahkan sepanjang garis normal ke permukaan datar (atau ke garis datar jika bidangnya datar).

2 0 Gradien diarahkan ke arah fungsi medan yang meningkat.

3 0 Modul gradien sama dengan turunan terbesar dalam arah pada titik tertentu di lapangan:

Properti ini memberikan karakteristik invarian dari gradien. Mereka mengatakan bahwa vektor gradU menunjukkan arah dan besarnya perubahan terbesar dalam medan skalar pada titik tertentu.

Catatan 2.1. Jika fungsi U(x,y) adalah fungsi dari dua variabel, maka vektor

(2.3)

terletak pada bidang oxy.

Misalkan fungsi U=U(x,y,z) dan V=V(x,y,z) terdiferensial di titik 0 (x,y,z). Maka persamaan berikut berlaku:

a) lulusan ()= ; b) lulusan(UV)=VgradU+UgradV;

c) lulusan (U V) = lulusan lulusan V; d) d) lulusan = , V ;

e) gradU( = gradU, di mana , U=U() memiliki turunan terhadap .

Contoh 2.1. Fungsi U=x 2 +y 2 +z 2 diberikan. Tentukan gradien fungsi di titik M(-2;3;4).

Larutan. Menurut rumus (2.2), kita memiliki

.

Permukaan tingkat bidang skalar ini adalah keluarga bola x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) adalah vektor normal bidang.

Contoh 2.2. Tentukan gradien medan skalar U=x-2y+3z.

Larutan. Menurut rumus (2.2), kita memiliki

Permukaan level dari medan skalar yang diberikan adalah bidang

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) adalah vektor normal bidang-bidang dari keluarga ini.

Contoh 2.3. Tentukan kemiringan permukaan yang paling curam U=x y di titik M(2;2;4).

Larutan. Kita punya:

Contoh 2.4. Temukan vektor normal satuan ke permukaan bidang skalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Larutan. Permukaan datar dari skalar tertentu Bidang-bola x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradien diarahkan sepanjang normal ke permukaan datar, sehingga

Mendefinisikan vektor normal ke permukaan datar di titik M(x,y,z). Untuk vektor normal satuan, kita memperoleh ekspresi

, di mana

.

Contoh 2.5. Temukan gradien medan U= , di mana dan adalah vektor konstan, r adalah vektor jari-jari titik tersebut.

Larutan. Membiarkan

Kemudian:
. Dengan aturan diferensiasi determinan, kita mendapatkan

Akibatnya,

Contoh 2.6. Temukan gradien jarak , di mana P(x,y,z) adalah titik bidang yang dipelajari, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) adalah beberapa titik tetap.

Larutan. Kami memiliki - vektor arah satuan .

Contoh 2.7. Tentukan sudut antara gradien fungsi di titik M 0 (1,1).

Larutan. Kami menemukan gradien dari fungsi-fungsi ini pada titik M 0 (1,1), kami memiliki

; Sudut antara gradU dan gradV di titik M 0 ditentukan dari persamaan

Oleh karena itu =0.

Contoh 2.8. Temukan turunan terhadap arah, vektor jari-jarinya sama dengan

(2.4)

Larutan. Mencari gradien dari fungsi ini:

Substitusi (2.5) ke (2.4), kita peroleh

Contoh 2.9. Temukan di titik M 0 (1;1;1) arah perubahan terbesar dalam medan skalar U=xy+yz+xz dan besar perubahan terbesar pada titik ini.

Larutan. Arah perubahan terbesar di lapangan ditunjukkan oleh vektor grad U(M). Kami menemukannya:

Dan maka dari itu, . Vektor ini menentukan arah kenaikan terbesar medan ini pada titik M 0 (1;1;1). Nilai perubahan terbesar di lapangan pada titik ini sama dengan

.

Contoh 3.1. Temukan garis vektor medan vektor dimana adalah vektor konstan.

Larutan. Kami punya begitu

(3.3)

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan x, kedua dengan y, ketiga dengan z dan tambahkan suku demi suku. Dengan menggunakan properti proporsi, kita mendapatkan

Jadi xdx+ydy+zdz=0, yang berarti

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Sekarang mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama (3.3) dengan c 1, yang kedua dengan c 2, yang ketiga dengan c 3 dan menjumlahkannya suku demi suku, kita dapatkan

Dari mana c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Dan, oleh karena itu, dengan 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Sebuah 2-konst.

Persamaan garis vektor yang diperlukan

Persamaan-persamaan ini menunjukkan bahwa garis-garis vektor diperoleh sebagai hasil perpotongan bola-bola yang memiliki pusat bersama di titik asal dengan bidang-bidang yang tegak lurus terhadap vektor. . Oleh karena itu, garis-garis vektor adalah lingkaran-lingkaran yang pusat-pusatnya berada pada suatu garis lurus yang melalui titik asal searah dengan vektor c. Bidang-bidang lingkaran tegak lurus terhadap garis yang ditentukan.

Contoh 3.2. Temukan garis medan vektor melalui titik (1,0,0).

Larutan. Persamaan diferensial garis vektor

maka kita punya . Menyelesaikan persamaan pertama. Atau jika kita memperkenalkan parameter t, maka kita akan memiliki Dalam hal ini, persamaan mengambil bentuk atau dz=bdt, dari mana z=bt+c 2 .

Diketahui dari kursus matematika sekolah bahwa vektor pada bidang adalah segmen berarah. Awal dan akhir memiliki dua koordinat. Koordinat vektor dihitung dengan mengurangkan koordinat awal dari koordinat akhir.

Konsep vektor juga dapat diperluas ke ruang n-dimensi (sebagai ganti dua koordinat akan ada n koordinat).

gradien gradz fungsi z=f(x 1 , x 2 , ... x n) adalah vektor turunan parsial dari fungsi tersebut di suatu titik, yaitu. vektor dengan koordinat.

Dapat dibuktikan bahwa gradien suatu fungsi mencirikan arah pertumbuhan tercepat tingkat fungsi pada suatu titik.

Misalnya, untuk fungsi z \u003d 2x 1 + x 2 (lihat Gambar 5.8), gradien pada titik mana pun akan memiliki koordinat (2; 1). Itu dapat dibangun di atas pesawat dengan berbagai cara, dengan mengambil titik mana pun sebagai awal dari vektor. Misalnya, Anda dapat menghubungkan titik (0; 0) ke titik (2; 1), atau titik (1; 0) ke titik (3; 1), atau titik (0; 3) ke titik (2; 4), atau t.P. (lihat gambar 5.8). Semua vektor yang dibangun dengan cara ini akan memiliki koordinat (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

Gambar 5.8 dengan jelas menunjukkan bahwa level fungsi tumbuh ke arah gradien, karena garis level yang dibangun sesuai dengan nilai level 4 > 3 > 2.

Gambar 5.8 - Gradien fungsi z \u003d 2x 1 + x 2

Pertimbangkan contoh lain - fungsi z= 1/(x 1 x 2). Gradien fungsi ini tidak akan lagi selalu sama pada titik yang berbeda, karena koordinatnya ditentukan oleh rumus (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2)).

Gambar 5.9 menunjukkan garis level dari fungsi z= 1/(x 1 x 2) untuk level 2 dan 10 (garis 1/(x 1 x 2) = 2 ditunjukkan dengan garis putus-putus, dan garis 1/( x 1 x 2) = 10 adalah garis padat).

Gambar 5.9 - Gradien fungsi z \u003d 1 / (x 1 x 2) di berbagai titik

Ambil, misalnya, titik (0,5; 1) dan hitung gradien pada titik ini: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Perhatikan bahwa titik (0,5; 1) terletak pada garis level 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, karena z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Untuk gambarkan vektor (-4; -2) pada Gambar 5.9, hubungkan titik (0.5; 1) dengan titik (-3.5; -1), karena (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Mari kita ambil titik lain pada garis level yang sama, misalnya titik (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Hitung gradien pada titik ini (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Untuk menggambarkannya pada Gambar 5.9, kita menghubungkan titik (1; 0.5) dengan titik (-1; -3.5), karena (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - empat).

Mari kita ambil satu titik lagi pada garis level yang sama, tetapi hanya sekarang di kuartal koordinat non-positif. Misalnya, titik (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradien pada titik ini adalah (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Mari kita gambarkan pada Gambar 5.9 dengan menghubungkan titik (-0.5; -1) dengan titik (3.5; 1), karena (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Perlu dicatat bahwa dalam ketiga kasus yang dipertimbangkan, gradien menunjukkan arah pertumbuhan level fungsi (menuju garis level 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Dapat dibuktikan bahwa gradien selalu tegak lurus terhadap garis datar (level surface) yang melalui titik tertentu.

Ekstrem dari fungsi beberapa variabel

Mari kita definisikan konsepnya ekstrim untuk fungsi banyak variabel.

Fungsi dari banyak variabel f(X) di titik X (0) maksimum (minimal), jika ada lingkungan sedemikian rupa sehingga untuk semua titik X dari lingkungan ini pertidaksamaan f(X)f(X (0)) () berlaku.

Jika ketidaksetaraan ini dipenuhi sebagai ketat, maka ekstrem disebut kuat, dan jika tidak, maka lemah.

Perhatikan bahwa ekstrem yang didefinisikan dengan cara ini adalah lokal karakter, karena ketidaksetaraan ini hanya berlaku untuk beberapa lingkungan dari titik ekstrem.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal dari fungsi terdiferensiasi z=f(x 1, . ., x n) pada suatu titik adalah persamaan dengan nol dari semua turunan parsial orde pertama pada titik ini:
.

Titik-titik di mana persamaan ini berlaku disebut Perlengkapan tulis.

Dengan cara lain, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem dapat dirumuskan sebagai berikut: pada titik ekstrem, gradiennya sama dengan nol. Dimungkinkan juga untuk membuktikan pernyataan yang lebih umum - pada titik ekstrem, turunan fungsi ke segala arah menghilang.

Poin stasioner harus dikenakan studi tambahan - apakah kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem lokal terpenuhi. Untuk melakukan ini, tentukan tanda diferensial orde kedua. Jika untuk sembarang yang tidak serentak sama dengan nol, selalu negatif (positif), maka fungsi tersebut memiliki maksimum (minimum). Jika itu bisa menghilang tidak hanya dengan peningkatan nol, maka pertanyaan tentang ekstrem tetap terbuka. Jika dapat mengambil nilai positif dan negatif, maka tidak ada titik ekstrem pada titik stasioner.

Dalam kasus umum, menentukan tanda diferensial adalah masalah yang agak rumit, yang tidak akan kita bahas di sini. Untuk fungsi dua variabel, dapat dibuktikan bahwa jika pada titik stasioner
, maka ada ekstrem. Dalam hal ini, tanda dari diferensial kedua bertepatan dengan tanda
, yaitu jika
, maka ini adalah maksimum, dan jika
, maka ini adalah minimum. Jika sebuah
, maka tidak ada ekstrem pada titik ini, dan jika
, maka pertanyaan tentang ekstrem tetap terbuka.

Contoh 1. Menemukan ekstrem dari suatu fungsi
.

Mari kita cari turunan parsial dengan metode diferensiasi logaritmik.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Demikian pula
.

Mari kita cari titik stasioner dari sistem persamaan:

Dengan demikian, empat titik stasioner (1; 1), (1; -1), (-1; 1) dan (-1; -1) ditemukan.

Mari kita cari turunan parsial dari orde kedua:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Demikian pula
;
.

Karena
, tanda ekspresi
hanya bergantung pada
. Perhatikan bahwa dalam kedua turunan ini penyebutnya selalu positif, jadi Anda hanya dapat mempertimbangkan tanda pembilangnya, atau bahkan tanda dari ekspresi x (x 2 - 3) dan y (y 2 - 3). Mari kita tentukan pada setiap titik kritis dan periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup.

Untuk poin (1; 1) kita mendapatkan 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, dan
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Untuk poin (1; -1) kita mendapatkan 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Karena hasil kali bilangan-bilangan ini
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Untuk titik (-1; -1) diperoleh (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. hasil kali dua bilangan positif
> 0, dan
> 0, pada titik (-1; -1) Anda dapat menemukan minimum. Sama dengan 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Menemukan global maksimum atau minimum (nilai terbesar atau terkecil dari fungsi) agak lebih rumit daripada ekstrem lokal, karena nilai-nilai ini dapat dicapai tidak hanya pada titik stasioner, tetapi juga pada batas domain definisi. Tidak selalu mudah untuk mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas wilayah ini.