Artikel ini dikhususkan untuk teknik untuk memecahkan berbagai persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung
variabel di bawah tanda modul.

Jika pada ujian Anda menemukan persamaan atau ketidaksetaraan dengan modul, Anda dapat menyelesaikannya,
tanpa mengetahui metode khusus sama sekali dan hanya menggunakan definisi modul. Kebenaran,
itu bisa memakan waktu satu setengah jam dari waktu ujian yang berharga.

Oleh karena itu, kami ingin memberi tahu Anda tentang teknik yang menyederhanakan solusi dari masalah tersebut.

Pertama-tama, mari kita ingat itu

Pertimbangkan berbagai jenis persamaan dengan modulus. (Lebih lanjut tentang ketidaksetaraan nanti.)

Modul kiri, nomor kanan

Ini adalah kasus yang paling sederhana. Ayo selesaikan persamaannya

Hanya ada dua bilangan yang modulusnya empat. Ini adalah 4 dan -4. Oleh karena itu, persamaan
setara dengan kombinasi dua yang sederhana:

Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Solusi pertama: x = 0 dan x = 5.

Jawaban: 0; 5.

Variabel baik di bawah modul maupun di luar modul

Di sini Anda harus memperluas modul menurut definisi. . . atau bayangkan!

Persamaan dipecah menjadi dua kasus, tergantung pada tanda ekspresi di bawah modulus.
Dengan kata lain, ini setara dengan kombinasi dua sistem:

Solusi dari sistem pertama: . Sistem kedua tidak memiliki solusi.
Jawaban 1.

Kasus pertama: x 3. Lepaskan modul:

Bilangan , yang negatif, tidak memenuhi kondisi x 3 dan oleh karena itu bukan akar dari persamaan awal.

Mari kita cari tahu apakah angka tersebut memenuhi kondisi ini. Untuk melakukan ini, kami membuat perbedaan dan menentukan tandanya:

Oleh karena itu, lebih dari tiga dan karena itu adalah akar dari persamaan asli

Kasus kedua: x< 3. Снимаем модуль:

Nomor . lebih besar dari , dan karena itu tidak memenuhi kondisi x< 3. Проверим :

Cara, . adalah akar dari persamaan awal.

Hapus modul menurut definisi? Menakutkan bahkan untuk memikirkannya, karena diskriminan bukanlah kuadrat sempurna. Lebih baik gunakan pertimbangan berikut: persamaan bentuk |A| = B setara dengan kombinasi dua sistem:

Sama, tapi sedikit berbeda:

Dengan kata lain, kita selesaikan dua persamaan, A = B dan A = B, lalu pilih akar-akar yang memenuhi syarat B 0.

Mari kita mulai. Pertama, kita selesaikan persamaan pertama:

Kemudian kita selesaikan persamaan kedua:

Sekarang dalam setiap kasus kami memeriksa tanda sisi kanan:

Oleh karena itu, hanya dan cocok.

Persamaan kuadrat dengan |x| = t

Mari kita selesaikan persamaannya:

Karena , lebih mudah untuk membuat perubahan |x| = t. Kita mendapatkan:

Jawaban: ±1.

Modulus sama dengan modulo

Kita berbicara tentang persamaan bentuk |A| = |B|. Ini adalah hadiah takdir. Tidak ada perluasan modul menurut definisi! Itu mudah:

Sebagai contoh, perhatikan persamaan: . Ini setara dengan set berikut:

Tetap menyelesaikan setiap persamaan populasi dan menuliskan jawabannya.

Dua atau lebih modul

Mari kita selesaikan persamaannya:

Kami tidak akan repot dengan setiap modul secara terpisah dan membukanya menurut definisi - akan ada terlalu banyak opsi. Ada cara yang lebih rasional - metode interval.

Ekspresi di bawah modul menghilang pada titik x = 1, x = 2 dan x = 3. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi empat interval (interval). Kami menandai titik-titik ini pada garis bilangan dan menempatkan tanda untuk setiap ekspresi di bawah modul pada interval yang diperoleh. (Urutan tanda sama dengan urutan modul yang sesuai dalam persamaan.)

Jadi, kita perlu mempertimbangkan empat kasus - ketika x ada di setiap interval.

Kasus 1: x 3. Semua modul dihapus "dengan plus":

Nilai yang dihasilkan x = 5 memenuhi kondisi x 3 dan oleh karena itu merupakan akar dari persamaan awal.

Kasus 2: 2 x 3. Modul terakhir sekarang dihapus "dengan minus":

Nilai x yang diperoleh juga cocok - itu termasuk dalam interval yang dipertimbangkan.

Kasus 3: 1 x 2. Modul kedua dan ketiga dihapus "dengan minus":

Kami telah memperoleh kesetaraan numerik yang benar untuk setiap x dari interval yang dipertimbangkan, mereka berfungsi sebagai solusi untuk persamaan ini.

Kasus 4: x 1 1. Modul kedua dan ketiga dihapus "dengan minus":

Tidak ada yang baru. Kita telah mengetahui bahwa x = 1 adalah solusi.

Jawaban: (5).

Modul dalam modul

Mari kita selesaikan persamaannya:

Kita mulai dengan memperluas modul internal.

1) x 3. Kita peroleh:

Ekspresi di bawah modulus menghilang di . Poin ini termasuk yang dipertimbangkan
selang. Oleh karena itu, kita harus mempertimbangkan dua subkasus.

1.1) Kami mendapatkan dalam kasus ini:

Nilai x ini tidak baik, karena tidak termasuk dalam interval yang ditinjau.

1.2). Kemudian:

Nilai x ini juga tidak bagus.

Jadi, untuk x 3 tidak ada solusi. Mari kita beralih ke kasus kedua.

2) x 3. Kami memiliki:

Di sini kita beruntung: ekspresi x + 2 positif dalam interval yang dipertimbangkan! Oleh karena itu, tidak akan ada lagi subkasus: modul dihapus "dengan plus":

Nilai x ini berada dalam interval yang ditinjau dan oleh karena itu merupakan akar dari persamaan awal.

Ini adalah bagaimana semua tugas jenis ini diselesaikan - kami membuka modul bersarang secara bergantian, dimulai dengan yang dalam.

Petunjuk

Jika modulus direpresentasikan sebagai fungsi kontinu, maka nilai argumennya bisa positif atau negatif: |х| = x, x 0; |x| = - x, x

Modulusnya adalah nol, dan modulus bilangan positif apa pun adalah modulusnya. Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan ini, kesimpulan berikut bahwa modul yang berlawanan adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks ditemukan dengan rumus: |a| = b ² + c ² dan |a + b| |a| + |b|. Jika argumen berisi bilangan positif sebagai pengali, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung, contoh: |4*b| = 4*|b|.

Jika argumen disajikan sebagai bilangan kompleks, maka untuk memudahkan perhitungan, urutan suku-suku ekspresi yang diapit tanda kurung siku diperbolehkan: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Argumen yang dipangkatkan secara bersamaan di bawah tanda akar dari orde yang sama - diselesaikan dengan: a² = |a| = ±a.

Jika Anda memiliki tugas di depan Anda yang tidak menentukan kondisi untuk memperluas kurung modul, maka Anda tidak perlu menyingkirkannya - ini akan menjadi hasil akhir. Dan jika Anda ingin membukanya, maka Anda harus menentukan tanda ±. Misalnya, Anda perlu mencari nilai dari ekspresi (2 * (4-b)) ². Solusinya terlihat seperti ini: (2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Karena tanda dari ekspresi 4-b tidak diketahui, maka harus dibiarkan dalam tanda kurung. Jika Anda menambahkan kondisi tambahan, misalnya |4-b| >

Modulus nol sama dengan nol, dan modulus bilangan positif apa pun sama dengan dirinya sendiri. Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan ini, kesimpulan berikut bahwa modulus dari bilangan yang berlawanan adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks ditemukan dengan rumus: |a| = b ² + c ² dan |a + b| |a| + |b|. Jika argumen berisi bilangan bulat positif sebagai pengali, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung, misalnya: |4*b| = 4*|b|.

Modulus tidak boleh negatif, jadi bilangan negatif apa pun diubah menjadi bilangan positif: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2.5.

Jika argumen disajikan sebagai bilangan kompleks, maka untuk memudahkan perhitungan, diperbolehkan untuk mengubah urutan istilah ekspresi yang diapit tanda kurung siku: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Jika Anda memiliki tugas di depan Anda yang tidak menentukan kondisi untuk memperluas kurung modul, maka Anda tidak perlu menyingkirkannya - ini akan menjadi hasil akhir. Dan jika Anda ingin membukanya, maka Anda harus menentukan tanda ±. Misalnya, Anda perlu mencari nilai dari ekspresi (2 * (4-b)) ². Solusinya terlihat seperti ini: (2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Karena tanda dari ekspresi 4-b tidak diketahui, maka harus dibiarkan dalam tanda kurung. Jika Anda menambahkan kondisi tambahan, misalnya |4-b| > 0, maka hasilnya adalah 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Sebagai elemen yang tidak diketahui, nomor tertentu juga dapat diberikan, yang harus diperhitungkan, karena. itu akan mempengaruhi tanda ekspresi.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Kami tidak memilih matematika profesinya, dan dia memilih kita.

Matematikawan Rusia Yu.I. Manin

Persamaan Modulo

Masalah yang paling sulit untuk dipecahkan dalam matematika sekolah adalah persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modul. Untuk berhasil memecahkan persamaan tersebut, perlu untuk mengetahui definisi dan sifat dasar dari modul. Secara alami, siswa harus memiliki keterampilan untuk memecahkan persamaan jenis ini.

Konsep dasar dan properti

Modulus (nilai absolut) dari bilangan real dilambangkan dan didefinisikan sebagai berikut:

Properti sederhana dari modul mencakup hubungan berikut:

Catatan, bahwa dua sifat terakhir berlaku untuk setiap derajat genap.

Juga, jika , dimana , maka dan

Properti modul yang lebih kompleks, yang dapat digunakan secara efektif dalam menyelesaikan persamaan dengan modul, dirumuskan dengan teorema berikut:

Teorema 1.Untuk fungsi analitik apa pun dan ketidaksetaraan

Teorema 2. Kesetaraan sama dengan ketidaksetaraan.

Teorema 3. Persamaan setara dengan pertidaksamaan.

Pertimbangkan contoh tipikal untuk memecahkan masalah dengan topik "Persamaan", berisi variabel di bawah tanda modul.

Menyelesaikan Persamaan dengan Modulus

Metode yang paling umum dalam matematika sekolah untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus adalah metode, berdasarkan ekspansi modul. Metode ini generik, namun, dalam kasus umum, penerapannya dapat menyebabkan perhitungan yang sangat rumit. Dalam hal ini, siswa juga harus menyadari, metode dan teknik yang lebih efisien untuk memecahkan persamaan tersebut. Khususnya, perlu memiliki keterampilan untuk menerapkan teorema, diberikan dalam artikel ini.

Contoh 1 Memecahkan persamaan. (satu)

Larutan. Persamaan (1) akan diselesaikan dengan metode "klasik" - metode perluasan modul. Untuk melakukan ini, kami mematahkan sumbu numerik titik dan interval dan pertimbangkan tiga kasus.

1. Jika , maka , , , dan persamaan (1) berbentuk . Ini mengikuti dari sini. Namun, di sini , sehingga nilai yang ditemukan bukan akar dari persamaan (1).

2. Jika , maka dari persamaan (1) kita peroleh atau .

Dari dulu akar persamaan (1).

3. Jika , maka persamaan (1) berbentuk atau . Perhatikan bahwa.

Menjawab: , .

Saat menyelesaikan persamaan berikut dengan modul, kami akan secara aktif menggunakan properti modul untuk meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan tersebut.

Contoh 2 selesaikan persamaannya.

Larutan. Sejak dan maka itu mengikuti dari persamaan. Dalam kasus ini, , , dan persamaannya menjadi. Dari sini kita mendapatkan. Namun , jadi persamaan aslinya tidak memiliki akar.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 3 selesaikan persamaannya.

Larutan. Dari dulu . Jika kemudian , dan persamaannya menjadi.

Dari sini kita dapatkan.

Contoh 4 selesaikan persamaannya.

Larutan.Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang setara. (2)

Persamaan yang dihasilkan termasuk ke dalam persamaan tipe .

Dengan memperhatikan Teorema 2, kita dapat menyatakan bahwa persamaan (2) ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita dapatkan.

Menjawab: .

Contoh 5 Memecahkan persamaan.

Larutan. Persamaan ini memiliki bentuk. Itu sebabnya, sesuai dengan Teorema 3, di sini kita memiliki ketidaksetaraan atau .

Contoh 6 selesaikan persamaannya.

Larutan. Mari kita asumsikan itu. Karena , maka persamaan yang diberikan mengambil bentuk persamaan kuadrat, (3)

di mana . Karena persamaan (3) memiliki akar positif tunggal lalu . Dari sini kita mendapatkan dua akar persamaan asli: dan .

Contoh 7 selesaikan persamaannya. (4)

Larutan. Karena persamaansetara dengan kombinasi dua persamaan: dan , maka ketika memecahkan persamaan (4) perlu mempertimbangkan dua kasus.

1. Jika , maka atau .

Dari sini kita peroleh , dan .

2. Jika , maka atau .

Dari dulu .

Menjawab: , , , .

Contoh 8selesaikan persamaannya . (5)

Larutan. Sejak dan , maka . Dari sini dan dari Persamaan (5) maka dan , yaitu. di sini kita memiliki sistem persamaan

Namun, sistem persamaan ini tidak konsisten.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 9 selesaikan persamaannya. (6)

Larutan. Jika kita menunjuk dan dari persamaan (6) kita peroleh

Atau . (7)

Karena persamaan (7) memiliki bentuk , persamaan ini ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita dapatkan. Sejak , maka atau .

Menjawab: .

Contoh 10selesaikan persamaannya. (8)

Larutan.Menurut Teorema 1, kita dapat menulis

(9)

Dengan memperhatikan persamaan (8), kami menyimpulkan bahwa kedua pertidaksamaan (9) berubah menjadi persamaan, yaitu. ada sistem persamaan

Namun, menurut Teorema 3, sistem persamaan di atas setara dengan sistem pertidaksamaan

(10)

Memecahkan sistem pertidaksamaan (10) kita peroleh . Karena sistem pertidaksamaan (10) setara dengan persamaan (8), persamaan aslinya memiliki akar tunggal .

Menjawab: .

Contoh 11. selesaikan persamaannya. (11)

Larutan. Membiarkan dan , maka persamaan (11) menyiratkan kesetaraan .

Dari sini dapat disimpulkan bahwa dan . Jadi, di sini kita memiliki sistem ketidaksetaraan

Solusi dari sistem pertidaksamaan ini adalah dan .

Menjawab: , .

Contoh 12.selesaikan persamaannya. (12)

Larutan. Persamaan (12) akan diselesaikan dengan metode perluasan modul secara berurutan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan beberapa kasus.

1. Jika , maka .

1.1. Jika , maka dan , .

1.2. Jika kemudian . Namun , oleh karena itu, dalam hal ini, persamaan (12) tidak memiliki akar.

2. Jika , maka .

2.1. Jika , maka dan , .

2.2. Jika , maka dan .

Menjawab: , , , , .

Contoh 13selesaikan persamaannya. (13)

Larutan. Karena ruas kiri persamaan (13) adalah non-negatif, maka dan . Dalam hal ini, , dan persamaan (13)

mengambil bentuk atau .

Diketahui persamaan setara dengan kombinasi dua persamaan dan , penyelesaian yang kita peroleh, . Karena , maka persamaan (13) memiliki satu akar.

Menjawab: .

Contoh 14 Memecahkan sistem persamaan (14)

Larutan. Sejak dan , maka dan . Oleh karena itu, dari sistem persamaan (14) diperoleh empat sistem persamaan:

Akar dari sistem persamaan di atas adalah akar dari sistem persamaan (14).

Menjawab: ,, , , , , , .

Contoh 15 Memecahkan sistem persamaan (15)

Larutan. Dari dulu . Dalam hal ini, dari sistem persamaan (15) kami memperoleh dua sistem persamaan

Akar dari sistem persamaan pertama adalah dan , dan dari sistem persamaan kedua kita peroleh dan .

Menjawab: , , , .

Contoh 16 Memecahkan sistem persamaan (16)

Larutan. Ini mengikuti dari persamaan pertama sistem (16) bahwa .

Dari dulu . Perhatikan persamaan kedua dari sistem. Karena, kemudian , dan persamaannya menjadi, , atau .

Jika kita substitusikan nilainyake persamaan pertama sistem (16), maka , atau .

Menjawab: , .

Untuk studi yang lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, terkait dengan solusi persamaan, berisi variabel di bawah tanda modul, Anda dapat menyarankan tutorial dari daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Dunia dan Pendidikan, 2013. - 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: tugas dengan kompleksitas yang meningkat. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 hal.

3. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: metode non-standar untuk memecahkan masalah. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 hal.

Apakah Anda memiliki pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.