teori Pitagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan

antara sisi segitiga siku-siku.

Diyakini bahwa itu dibuktikan oleh ahli matematika Yunani Pythagoras, yang kemudian dinamai demikian.

Rumusan geometri dari teorema Pythagoras.

Teorema awalnya dirumuskan sebagai berikut:

Dalam segitiga siku-siku, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah luas persegi,

dibangun di atas kateter.

Rumusan aljabar dari teorema Pythagoras.

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki-kakinya.

Artinya, menunjukkan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui sebuah dan b:

Kedua formulasi teorema pythagoras setara, tetapi formulasi kedua lebih mendasar, tidak

membutuhkan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apa pun tentang area dan

dengan hanya mengukur panjang sisi segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras terbalik.

Jika kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka

segitiga adalah persegi panjang.

Atau, dengan kata lain:

Untuk setiap rangkap tiga bilangan positif sebuah, b dan c, seperti yang

ada segitiga siku-siku dengan kaki sebuah dan b dan sisi miring c.

Teorema Pythagoras untuk segitiga sama kaki.

Teorema Pythagoras untuk segitiga sama sisi.

Bukti teorema Pythagoras.

Saat ini, 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin teorema

Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu mengesankan. Keanekaragaman seperti itu

hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema geometri.

Tentu saja, secara konseptual, semuanya dapat dibagi menjadi sejumlah kecil kelas. Yang paling terkenal dari mereka:

bukti dari metode luas, aksiomatis dan bukti eksotis(Misalnya,

dengan menggunakan persamaan diferensial).

1. Bukti teorema Pythagoras dalam hal segitiga sebangun.

Pembuktian rumus aljabar berikut ini adalah pembuktian paling sederhana yang dibuat:

langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas suatu bangun.

Membiarkan ABC ada segitiga siku-siku C. Mari kita menggambar ketinggian dari C dan menunjukkan

landasannya melalui H.

Segi tiga ACEH mirip segitiga AB C pada dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC.

Dengan memperkenalkan notasi:

kita mendapatkan:

,

yang cocok -

Setelah dilipat sebuah 2 dan b 2 , kita mendapatkan:

atau , yang harus dibuktikan.

2. Bukti teorema Pythagoras dengan metode luas.

Bukti-bukti berikut, meskipun tampak sederhana, sama sekali tidak sederhana. Mereka semua

menggunakan sifat-sifat daerah, yang pembuktiannya lebih rumit daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.

• Bukti melalui equicomplementation.

Susun empat persegi panjang yang sama

segitiga seperti pada gambar

di kanan.

Segi empat dengan sisi c- kotak,

karena jumlah dua sudut lancip adalah 90°, dan

sudut yang dikembangkan adalah 180°.

Luas seluruh gambar adalah, di satu sisi,

luas persegi dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segitiga dan

Q.E.D.

3. Bukti teorema Pythagoras dengan metode infinitesimal.

​

Mengingat gambar yang ditunjukkan pada gambar, dan

melihat perubahan sisisebuah, kita dapat

tuliskan relasi berikut untuk tak hingga

kecil penambahan sisiDengan dan sebuah(menggunakan kesamaan

segitiga):

Menggunakan metode pemisahan variabel, kami menemukan:

Ekspresi yang lebih umum untuk mengubah sisi miring dalam kasus penambahan kedua kaki:

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita memperoleh:

Jadi, kami sampai pada jawaban yang diinginkan:

Seperti yang mudah dilihat, ketergantungan kuadrat dalam rumus akhir muncul karena linear

proporsionalitas antara sisi-sisi segitiga dan kenaikan, sedangkan jumlah terkait dengan independen

kontribusi dari kenaikan kaki yang berbeda.

Bukti yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita mengasumsikan bahwa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan

(dalam hal ini, kaki b). Kemudian untuk konstanta integrasi kita dapatkan:

Jangan pernah melupakan teorema Pythagoras. Kuadrat hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Dengan kata lain, dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miringnya sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.

Menyatakan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b:

Sisi miring adalah salah satu sisi segitiga siku-siku. Juga dalam segitiga ini ada dua kaki.

Dalam hal ini, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Dan kaki adalah sisi yang membentuk sudut tertentu.

Menurut teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring akan sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Artinya, AB = AC + BC.

Kebalikannya juga benar - jika persamaan ini berlaku dalam segitiga, maka segitiga ini siku-siku.

Properti ini membantu untuk memecahkan banyak masalah geometris.

Ada rumusan yang sedikit berbeda dari teorema ini: luas bujur sangkar, yang dibangun di atas sisi miring, sama dengan jumlah luas bujur sangkar, yang dibangun di atas kakinya.

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki ... dari sekolah dengan hati. Ini adalah salah satu aturan yang akan diingat selamanya.)))

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya

Benar, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Tentu saja, ini diajarkan kepada kita, dan bahwa teorema Pythagoras ini tidak diragukan lagi, sangat menyenangkan untuk mengingat apa yang telah diajarkan sejak lama di antara rutinitas biasa.

Itu tergantung pada panjang sisi miring ini. Jika sama dengan satu meter, maka e persegi adalah satu meter persegi. Dan jika, misalnya, itu sama dengan 39,37 inci, maka e persegi sama dengan 1550 inci persegi, tidak ada yang bisa dilakukan untuk itu.

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki - teorema Pythagoras (omong-omong, paragraf termudah dalam buku teks geometri)

Ya, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Ini seperti kita diajari di sekolah. Berapa tahun telah berlalu, dan kami masih ingat teorema ini, yang kami cintai. Mungkin, saring dan buktikan saya bisa, seperti dalam kurikulum sekolah.

Mereka juga mengucapkan tanda kutip, celana Pythagoras, sama ke segala arah;

Guru memberi tahu kami bahwa jika Anda sedang tidur dan tiba-tiba ada api - Anda harus tahu teorema Pythagoras))) Itu sama dengan jumlah kuadrat kaki

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya dari segitiga (kaki).

Anda dapat mengingat ini, atau Anda dapat memahami sekali dan untuk selamanya mengapa demikian.

untuk mulai dengan, pertimbangkan segitiga siku-siku dengan kaki yang identik dan letakkan di dalam bujur sangkar dengan sisi yang sama dengan sisi miring.

Luas persegi besar akan sama dengan luas empat segitiga identik di dalamnya.

Kami dengan cepat menghitung semuanya dan mendapatkan hasil yang kami butuhkan.



Jika kakinya tidak sama, semuanya juga cukup sederhana:

luas persegi besar sama dengan jumlah luas empat segitiga identik ditambah luas persegi di tengahnya.



Apapun yang dikatakan orang, kita selalu mendapatkan kesetaraan

jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring.

Salah satu yang paling terkenal dalam geometri, teorema Pythagoras menyatakan:

Teorema ini menyangkut segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang sudutnya 90 derajat. Sisi sudut siku-siku disebut kaki, dan sisi miring disebut sisi miring. Jadi, jika Anda menggambar tiga kotak dengan alas di setiap sisi segitiga, maka luas dua kotak di dekat kaki sama dengan luas persegi di dekat sisi miring.

Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan analisis ilmiah alami, pendekatan praktis dan bahasa kering rumus dan angka. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Tetapi tanpa kreativitas dalam "ratu segala ilmu" Anda tidak akan melangkah jauh - orang sudah lama mengetahui hal ini. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku pelajaran sekolah, sayangnya, biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika penting tidak hanya menjejalkan teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip-prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran dasar - hanya dalam kondisi seperti itu semua penemuan hebat lahir.

Penemuan-penemuan semacam itu termasuk yang sekarang kita kenal sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya dapat, tetapi juga harus menyenangkan. Dan bahwa petualangan ini cocok tidak hanya untuk kutu buku dengan kacamata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat dalam pikiran dan kuat dalam semangat.

Dari sejarah masalah

Sebenarnya, meskipun teorema itu disebut "teorema Pythagoras", Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang kutub tentang masalah ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema. Menurut yang lain, buktinya bukan milik penulis Pythagoras.

Hari ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Hanya diketahui bahwa bukti Pythagoras, jika pernah ada, tidak bertahan. Namun, ada saran bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.

Sekarang juga diketahui bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhet I, pada lempengan tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno Sulva Sutra dan karya Cina kuno Zhou -bi suan jin.

Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para matematikawan sejak zaman kuno. Sekitar 367 berbagai bukti yang ada saat ini berfungsi sebagai konfirmasi. Tidak ada teorema lain yang dapat bersaing dengannya dalam hal ini. Penulis bukti penting termasuk Leonardo da Vinci dan Presiden ke-20 Amerika Serikat, James Garfield. Semua ini berbicara tentang pentingnya teorema ini untuk matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau, dalam satu atau lain cara, terhubung dengannya.

Bukti Teorema Pythagoras

Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Tetapi inti dari teorema ada dalam geometri, jadi pertama-tama mari kita pertimbangkan bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa itu adalah segitiga yang awalnya dianggap oleh matematikawan kuno.

Penyataan "persegi yang dibangun di atas hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kakinya" dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:

Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membangun sebuah persegi yang terdiri dari empat segitiga sama dengan ABC asli. Dan pada kaki-kaki AB dan BC dibangun di atas sebuah bujur sangkar yang masing-masing berisi dua buah segitiga yang sebangun.

Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak anekdot dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Mungkin yang paling terkenal adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":

Bukti 2

Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dilihat sebagai varian dari bukti India kuno dari matematikawan Bhaskari.

Bangun segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buat dua persegi dengan sisi sama dengan jumlah panjang kedua kaki - (a+b). Di setiap kotak, buat konstruksi, seperti pada gambar 2 dan 3.

Di kotak pertama, bangun empat segitiga yang sama seperti pada Gambar 1. Hasilnya, diperoleh dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Pada bujur sangkar kedua, empat segitiga sebangun dibangun membentuk bujur sangkar dengan sisi sama dengan sisi miring c.

Jumlah luas bujur sangkar yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas bujur sangkar yang kita bangun dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai dengan rumus. Dan luas bujur sangkar pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku yang sama yang tertulis di bujur sangkar dari luas bujur sangkar besar dengan sisi (a+b).

Menempatkan semua ini, kami memiliki: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Perluas tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan itu a2 + b2 = a2 + b2. Pada saat yang sama, area yang tertulis pada Gbr.3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c2. Itu. a2+b2=c2 Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno yang sama dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah "Mahkota Pengetahuan" ("Siddhanta Shiromani"), dan sebagai argumen utama penulis menggunakan daya tarik yang ditujukan kepada bakat matematika dan kekuatan pengamatan siswa dan pengikut: "Lihat!".

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini secara lebih rinci:

Di dalam bujur sangkar, buat empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Sisi bujur sangkar besar, yang juga merupakan sisi miring, dilambangkan Dengan. Mari kita sebut kaki segitiga sebuah dan b. Menurut gambar, sisi persegi dalam adalah (a-b).

Gunakan rumus luas persegi S=c2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan pada saat yang sama hitung nilai yang sama dengan menambahkan luas persegi bagian dalam dan luas bola empat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan itu memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari solusi, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c2=a2+b2. Teorema telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang aneh ini disebut "Kursi Pengantin" - karena sosok seperti kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:

Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 di bukti kedua. Dan bujur sangkar bagian dalam dengan sisi c dibangun dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.

Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar. 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari alun-alun dengan sisi c dan pasang sisi miring ke sisi miring segitiga lilac, Anda akan mendapatkan sosok yang disebut "pengantin pengantin". kursi” (Gbr. 2). Untuk kejelasan, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kotak dan segitiga kertas. Anda akan melihat bahwa "kursi pengantin" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi sebuah.

Konstruksi ini memungkinkan ahli matematika Tiongkok kuno dan kami mengikuti mereka untuk sampai pada kesimpulan bahwa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah cara lain untuk menemukan solusi untuk teorema Pythagoras berdasarkan geometri. Ini disebut Metode Garfield.

Bangun segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikan bahwa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, lanjutkan kaki AC dan membangun segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Tegak Lurus Bawah IKLAN segmen garis ED. Segmen ED dan AC adalah sama. menghubungkan titik-titik E dan PADA, sebaik E dan DARI dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuktikan menara, kami kembali menggunakan metode yang telah kami uji: kami menemukan luas gambar yang dihasilkan dalam dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.

Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya ERU, tidak hanya persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupa juga itu AB=CD, AC=ED dan SM = CE- ini akan memungkinkan kami untuk menyederhanakan perekaman dan tidak membebaninya. Jadi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2BC 2.

Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR adalah trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen IKLAN sebagai jumlah dari segmen AC dan CD.

Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesetaraan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi sisi kanan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2(AB+AC) 2. Dan sekarang kita membuka tanda kurung dan mengubah persamaan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema.

Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga yang serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, adalah mungkin untuk membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras

Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Gagasan mereka dapat bermanfaat bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.

Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Disebut bilangan asli, dikumpulkan dalam tiga, jumlah kuadrat dari dua di antaranya sama dengan kuadrat bilangan ketiga.

Tripel Pythagoras dapat berupa:

• primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
• non-primitif (jika setiap angka dari suatu rangkap tiga dikalikan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan tiga kali lipat baru yang tidak primitif).

Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh mania untuk jumlah tiga kali lipat Pythagoras: dalam tugas mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3,4 dan 5 unit. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.

Contoh tripel Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) dll.

Aplikasi praktis dari teorema

Teorema Pythagoras menemukan aplikasi tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi, dan bahkan sastra.

Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras menemukan aplikasi luas di dalamnya dalam masalah tingkat kompleksitas yang berbeda. Misalnya, lihat jendela Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai b, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dilambangkan sebagai R dan ekspresikan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan dalam b: r=b/4. Dalam masalah ini, kami tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja p).

Teorema Pythagoras berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segitiga siku-siku, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada gambar. Sisi miring segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+p. Satu kaki adalah radius b/4, lain b/2-p. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kami membuka tanda kurung dan mendapatkan b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Mari kita ubah ekspresi ini menjadi bp/2=b 2/4-bp. Dan kemudian kami membagi semua istilah menjadi b, kami memberikan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukan itu p=b/6- yang kami butuhkan.

Dengan menggunakan teorema, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara seluler yang diperlukan agar sinyal dapat mencapai penyelesaian tertentu. Dan bahkan dengan mantap memasang pohon Natal di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini hidup tidak hanya di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.

Sejauh menyangkut sastra, teorema Pythagoras telah mengilhami para penulis sejak zaman kuno dan terus berlanjut hingga hari ini. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi olehnya untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera menghilang,
Tapi, setelah bersinar, itu tidak mungkin menghilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan perselisihan.

Paling bijak ketika menyentuh mata
Terang kebenaran, terima kasih para dewa;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah kembali dari Pythagoras yang beruntung.

Sejak itu, banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membangkitkan suku banteng
peristiwa yang disebutkan di sini.

Mereka pikir sudah waktunya
Dan lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorema besar.

(diterjemahkan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Yevgeny Veltistov dalam bukunya "The Adventures of Electronics" mencurahkan seluruh bab untuk pembuktian teorema Pythagoras. Dan setengah bab dari cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa eksis jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Akan jauh lebih mudah untuk hidup di dalamnya, tetapi juga jauh lebih membosankan: misalnya, tidak ada yang mengerti arti kata "bulat" dan "halus".

Dan dalam buku "Petualangan Elektronik", penulis, melalui mulut guru matematika Taratara, mengatakan: "Hal utama dalam matematika adalah pergerakan pemikiran, ide-ide baru." Ini adalah pelarian pemikiran kreatif yang menghasilkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang beragam. Ini membantu untuk melampaui yang biasa, dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.

Kesimpulan

Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara-cara aneh lainnya untuk membuktikan teorema terkenal. Dan juga melihat contoh bagaimana teorema Pythagoras dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda untuk mengklaim nilai yang lebih tinggi di kelas matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Diyakinkan oleh contoh-contoh spesifik bahwa selalu ada tempat untuk kreativitas di dalamnya. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini akan menginspirasi Anda untuk melakukan penelitian sendiri dan penemuan menarik dalam matematika dan ilmu lainnya.

Beri tahu kami di komentar jika Anda menemukan bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah Anda menemukan informasi ini membantu dalam studi Anda? Beri tahu kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Geometri bukanlah ilmu yang mudah. Ini dapat berguna baik untuk kurikulum sekolah maupun dalam kehidupan nyata. Pengetahuan tentang banyak rumus dan teorema akan menyederhanakan perhitungan geometris. Salah satu bentuk paling sederhana dalam geometri adalah segitiga. Salah satu jenis segitiga, sama sisi, memiliki karakteristiknya sendiri.

Ciri-ciri segitiga sama sisi

Menurut definisi, segitiga adalah polihedron yang memiliki tiga sudut dan tiga sisi. Ini adalah sosok dua dimensi datar, sifat-sifatnya dipelajari di sekolah menengah. Berdasarkan jenis sudutnya, segitiga siku-siku, siku-siku, dan siku-siku dibedakan. Segitiga siku-siku adalah bangun ruang yang salah satu sudutnya 90º. Segitiga seperti itu memiliki dua kaki (mereka membuat sudut siku-siku), dan satu sisi miring (berlawanan dengan sudut siku-siku). Bergantung pada besaran yang diketahui, ada tiga cara mudah untuk menghitung sisi miring segitiga siku-siku.

Cara pertama adalah mencari hipotenusa segitiga siku-siku. teori Pitagoras

Teorema Pythagoras adalah cara tertua untuk menghitung salah satu sisi segitiga siku-siku. Kedengarannya seperti ini: "Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya." Jadi, untuk menghitung sisi miring, kita harus menurunkan akar kuadrat dari jumlah kuadrat kedua kaki. Untuk kejelasan, rumus dan diagram diberikan.

Cara kedua. Perhitungan sisi miring menggunakan 2 nilai yang diketahui: kaki dan sudut yang berdekatan

Salah satu sifat segitiga siku-siku mengatakan bahwa rasio panjang kaki dengan panjang sisi miring sama dengan kosinus sudut antara kaki ini dan sisi miring. Sebut saja sudut yang kita kenal . Sekarang, berkat definisi yang terkenal, kita dapat dengan mudah merumuskan rumus untuk menghitung sisi miring: Sisi miring = kaki/cos(α)

Cara ketiga. Menghitung sisi miring menggunakan 2 nilai yang diketahui: kaki dan sudut yang berlawanan

Jika sudut yang berlawanan diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sifat-sifat segitiga siku-siku lagi. Rasio panjang kaki dan sisi miring sama dengan sinus sudut yang berlawanan. Sebut lagi sudut yang diketahui . Sekarang untuk perhitungan kami menerapkan rumus yang sedikit berbeda:
Sisi miring = kaki/sin (α)

Contoh untuk membantu Anda memahami rumus

Untuk pemahaman yang lebih dalam dari masing-masing rumus, Anda harus mempertimbangkan contoh ilustratif. Jadi, misalkan segitiga siku-siku diberikan, di mana ada data seperti itu:

• Kaki - 8 cm.
• Sudut yang berdampingan cosα1 adalah 0,8.
• Sudut berlawanan sinα2 adalah 0,8.

Menurut teorema Pythagoras: Sisi miring \u003d akar kuadrat dari (36 + 64) \u003d 10 cm.
Dengan ukuran kaki dan sudut yang disertakan: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.
Dengan ukuran kaki dan sudut yang berlawanan: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.

Setelah memahami rumusnya, Anda dapat dengan mudah menghitung sisi miring dengan data apa pun.

Video: Teorema Pythagoras

Pastikan segitiga yang diberikan adalah segitiga siku-siku, karena teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dalam segitiga siku-siku, salah satu dari tiga sudut selalu 90 derajat.

• Sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku ditunjukkan oleh bujur sangkar, bukan kurva, yang mewakili sudut tidak siku-siku.

Beri label pada sisi segitiga. Sebutkan kaki-kaki sebagai "a" dan "b" (kaki-kaki adalah sisi-sisi yang berpotongan tegak lurus), dan sisi miring sebagai "c" (sisi miring adalah sisi terbesar dari segitiga siku-siku yang terletak di seberang sudut siku-siku).

Tentukan sisi segitiga mana yang ingin Anda cari. Teorema Pythagoras memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu sisi segitiga siku-siku (jika dua sisi lainnya diketahui). Tentukan sisi mana (a, b, c) yang perlu dicari.

• Misalnya, diberikan sisi miring sama dengan 5, dan diberi kaki sama dengan 3. Dalam hal ini, Anda perlu menemukan kaki kedua. Kami akan kembali ke contoh ini nanti.
• Jika dua sisi lainnya tidak diketahui, perlu untuk menemukan panjang salah satu sisi yang tidak diketahui agar dapat menerapkan teorema Pythagoras. Untuk melakukannya, gunakan fungsi trigonometri dasar (jika Anda diberi nilai salah satu sudut tidak siku-siku).

Gantikan dalam rumus a 2 + b 2 \u003d c 2 nilai yang diberikan kepada Anda (atau nilai yang Anda temukan). Ingat bahwa a dan b adalah kaki, dan c adalah sisi miring.

• Dalam contoh kita, tulis: 3² + b² = 5².

Kuadratkan setiap sisi yang diketahui. Atau tinggalkan derajatnya - Anda dapat mengkuadratkan angkanya nanti.

• Dalam contoh kita, tulis: 9 + b² = 25.

Pisahkan sisi yang tidak diketahui pada salah satu sisi persamaan. Untuk melakukan ini, pindahkan nilai yang diketahui ke sisi lain persamaan. Jika Anda menemukan sisi miring, maka dalam teorema Pythagoras sudah diisolasi di satu sisi persamaan (jadi tidak ada yang perlu dilakukan).

• Dalam contoh kita, pindahkan 9 ke sisi kanan persamaan untuk mengisolasi b² yang tidak diketahui. Anda akan mendapatkan b² = 16.

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan setelah ada yang tidak diketahui (kuadrat) di satu sisi persamaan dan titik potong (angka) di sisi lain.

• Dalam contoh kita, b² = 16. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas persamaan dan dapatkan b = 4. Jadi kaki kedua adalah 4.

Gunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari, karena dapat diterapkan dalam banyak situasi praktis. Untuk melakukan ini, belajarlah mengenali segitiga siku-siku dalam kehidupan sehari-hari - dalam situasi apa pun di mana dua objek (atau garis) berpotongan pada sudut siku-siku, dan objek (atau garis) ketiga menghubungkan (secara diagonal) bagian atas dari dua objek pertama (atau garis), Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menemukan sisi yang tidak diketahui (jika dua sisi lainnya diketahui).

• Contoh: Diberikan sebuah tangga yang bersandar pada sebuah bangunan. Bagian bawah tangga berjarak 5 meter dari dasar tembok. Puncak tangga berjarak 20 meter dari tanah (naik tembok). Berapakah panjang tangga tersebut?
  • "5 meter dari dasar tembok" berarti a = 5; "berjarak 20 meter dari tanah" berarti b = 20 (yaitu, Anda diberi dua kaki segitiga siku-siku, karena dinding bangunan dan permukaan bumi berpotongan tegak lurus). Panjang tangga adalah panjang sisi miring yang tidak diketahui.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = 425
    • c = 20,6. Jadi, perkiraan panjang tangga adalah 20,6 meter.