Di sekolah, banyak yang gagal menyelesaikan integral atau mengalami kesulitan dengannya. Artikel ini akan membantu Anda mengetahuinya, karena Anda akan menemukan semua yang ada di dalamnya. tabel integral.

Integral adalah salah satu perhitungan dan konsep utama dalam kalkulus. Penampilannya muncul untuk dua tujuan:
Target pertama- mengembalikan fungsi menggunakan turunannya.
Gol kedua- perhitungan luas yang terletak pada jarak dari grafik ke fungsi f (x) pada garis lurus di mana a lebih besar dari atau sama dengan x lebih besar dari atau sama dengan b dan sumbu absis.

Tujuan ini membawa kita ke integral pasti dan tak tentu. Keterkaitan antara integral ini terletak pada pencarian sifat dan perhitungan. Tetapi semuanya mengalir dan semuanya berubah seiring waktu, solusi baru ditemukan, penambahan terungkap, sehingga membawa integral tertentu dan tidak terbatas ke bentuk integrasi lainnya.

Apa integral tak tentu Anda bertanya. Ini adalah fungsi antiturunan F(x) dari satu variabel x dalam interval a lebih besar dari x lebih besar dari b. disebut fungsi apa pun F(x), dalam interval yang diberikan untuk setiap notasi x, turunannya sama dengan F(x). Jelas bahwa F(x) adalah antiturunan untuk f(x) dalam interval a lebih besar dari x lebih besar dari b. Oleh karena itu F1(x) = F(x) + C. C - adalah sembarang konstanta dan antiturunan untuk f(x) dalam interval yang diberikan. Pernyataan ini reversibel, untuk fungsi f(x) - 2 antiturunan hanya berbeda dalam konstanta. Berdasarkan teorema kalkulus integral, ternyata masing-masing kontinu dalam interval a

integral tentu dipahami sebagai limit dalam jumlah integral, atau dalam situasi fungsi tertentu f(x) yang didefinisikan pada beberapa garis (a, b) yang memiliki antiturunan F, yang berarti perbedaan ekspresinya di ujung garis ini F(b) - F(a).

Untuk kejelasan, studi tentang topik ini, saya sarankan menonton video. Ini menjelaskan secara rinci dan menunjukkan bagaimana menemukan integral.

Setiap tabel integral sangat berguna, karena membantu dalam memecahkan jenis integral tertentu.

Semua kemungkinan jenis alat tulis dan banyak lagi. Anda dapat membeli melalui toko online v-kant.ru. Atau cukup ikuti kualitas dan harga Stationery Samara (http://v-kant.ru) dan harga akan mengejutkan Anda.

Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu pemulihan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi ini. Fungsi dipulihkan dengan cara ini F(x) disebut primitif untuk fungsi f(x).

Definisi 1. Fungsi F(x f(x) pada beberapa interval X, jika untuk semua nilai x dari interval ini persamaan F "(x)=f(x), yaitu, fungsi ini f(x) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(x). .

Misalnya fungsi F(x) = sin x adalah antiturunan dari fungsi f(x) = cos x pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa x)" = (cos x) .

Definisi 2. Integral tak tentu dari suatu fungsi f(x) adalah himpunan semua antiturunannya. Ini menggunakan notasi

∫

f(x)dx

,

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi f(x) adalah integral, dan f(x)dx adalah integran.

Jadi, jika F(x) adalah beberapa antiturunan untuk f(x) , kemudian

∫

f(x)dx = F(x) +C

di mana C - konstanta arbitrer (konstanta).

Untuk memahami arti dari himpunan antiturunan dari suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Dari sebuah pohon. Ini berarti bahwa himpunan antiturunan dari integran "menjadi pintu", yaitu integral tak tentu, adalah fungsi "menjadi pohon + C", di mana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, untuk misalnya jenis pohon. Seperti halnya pintu yang dibuat dari kayu dengan beberapa perkakas, turunan suatu fungsi "dibuat" dari fungsi antiturunan dengan rumus yang kita pelajari dengan mempelajari turunan .

Kemudian tabel fungsi objek umum dan primitif yang sesuai ("menjadi pintu" - "menjadi pohon", "menjadi sendok" - "menjadi logam", dll.) mirip dengan tabel integral tak tentu dasar, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum, yang menunjukkan antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Sebagai bagian dari tugas mencari integral tak tentu, diberikan integran yang dapat diintegralkan secara langsung tanpa usaha khusus, yaitu menurut tabel integral tak tentu. Dalam masalah yang lebih kompleks, integran harus terlebih dahulu ditransformasikan agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Untuk mengembalikan fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta arbitrer (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan konstanta yang berbeda dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menuliskan satu set antiturunan dengan konstanta arbitrer C, seperti ini: 5 x+C. Jadi, konstanta arbitrer (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya, 5 x+4 atau 5 x+3 dan ketika mendiferensiasikan 4 atau 3 atau konstanta lainnya menghilang.

Kami mengatur masalah integrasi: untuk fungsi yang diberikan f(x) temukan fungsi seperti itu F(x), turunan siapa adalah sama dengan f(x).

Contoh 1 Tentukan himpunan antiturunan dari suatu fungsi

Larutan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi

Fungsi F(x) disebut antiturunan untuk fungsi f(x) jika turunan F(x) adalah sama dengan f(x), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(x) adalah sama dengan f(x) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi . Namun, itu bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga fungsi

di mana DARI adalah konstanta arbitrer. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk itu ada himpunan antiturunan tak berhingga yang berbeda dengan jumlah konstan. Semua antiturunan untuk suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti dari teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika sebuah F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x) pada beberapa interval X, maka antiturunan lainnya untuk f(x) pada interval yang sama dapat direpresentasikan sebagai F(x) + C, di mana DARI adalah konstanta arbitrer.

Dalam contoh berikut, kita telah beralih ke tabel integral, yang akan diberikan dalam paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membiasakan diri dengan seluruh tabel, sehingga esensi dari hal di atas menjadi jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan saat mengintegrasikan.

Contoh 2 Temukan himpunan antiturunan:

Larutan. Kami menemukan set fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Saat menyebutkan rumus dari tabel integral, untuk saat ini, terima saja bahwa ada rumus seperti itu, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu secara penuh lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk n= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk n= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) di n= -1/4 temukan

Di bawah tanda integral, mereka tidak menulis fungsi itu sendiri f, dan produknya dengan diferensial dx. Ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari oleh antiturunan. Sebagai contoh,

, ;

di sini dalam kedua kasus integran sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi dari variabel x, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu dari suatu fungsi disebut pengintegrasian fungsi tersebut.

Arti geometris integral tak tentu

Biarkan diperlukan untuk menemukan kurva y=F(x) dan kita sudah tahu bahwa garis singgung dari kemiringan garis singgung pada setiap titiknya adalah fungsi yang diberikan f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometris turunan, garis singgung kemiringan garis singgung pada titik tertentu pada kurva y=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi, kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) berasal dari f(x). Kondisi masalah tidak dipenuhi oleh satu kurva, tetapi oleh keluarga kurva. y=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oy.

Sebutlah grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika sebuah F"(x)=f(x), maka grafik fungsi y=F(x) adalah kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga dari semua kurva integral seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal ditentukan oleh konstanta arbitrer (konstanta) integrasi C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi f(x) sama dengan fungsi f(x) sampai suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi yang saling terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta dalam integral dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu

Kami membuat daftar integral dari fungsi dasar, yang kadang-kadang disebut tabel:

Salah satu rumus di atas dapat dibuktikan dengan mengambil turunan dari ruas kanan (sebagai hasilnya, integran akan diperoleh).

Metode integrasi

Mari kita pertimbangkan beberapa metode dasar integrasi. Ini termasuk:

1. Metode dekomposisi(integrasi langsung).

Metode ini didasarkan pada penerapan langsung integral tabular, serta pada penerapan sifat 4 dan 5 integral tak tentu (yaitu, mengeluarkan faktor konstanta dari kurung dan / atau mewakili integral sebagai jumlah fungsi - memperluas integrand ke dalam istilah).

Contoh 1 Misalnya, untuk mencari (dx/x 4) Anda dapat langsung menggunakan integral tabel untuk x n dx. Memang, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2 Untuk menemukan, kami menggunakan integral yang sama:

Contoh 3 Untuk menemukan Anda perlu mengambil

Contoh 4 Untuk menemukan, kami mewakili integran dalam bentuk dan gunakan integral tabel untuk fungsi eksponensial:

Pertimbangkan penggunaan mengurung faktor konstanta.

Contoh 5Mari kita temukan, misalnya . Mempertimbangkan itu, kita mendapatkan

Contoh 6 Mari kita temukan. Karena , kita menggunakan integral tabel Mendapatkan

Anda juga dapat menggunakan tanda kurung dan integral tabel dalam dua contoh berikut:

Contoh 7

(kami menggunakan dan );

Contoh 8

(kita gunakan dan ).

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks yang menggunakan integral jumlah.

Contoh 9 Sebagai contoh, mari kita cari
. Untuk menerapkan metode ekspansi di pembilang, kami menggunakan rumus jumlah kubus , dan kemudian membagi suku polinomial yang dihasilkan dengan penyebutnya.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Perlu dicatat bahwa di akhir solusi, satu konstanta umum C ditulis (dan bukan konstanta yang terpisah ketika mengintegrasikan setiap suku). Di masa depan, juga diusulkan untuk menghilangkan konstanta dari integrasi istilah individu dalam proses penyelesaian selama ekspresi mengandung setidaknya satu integral tak tentu (kita akan menulis satu konstanta di akhir solusi).

Contoh 10 Ayo temukan . Untuk mengatasi masalah ini, kita memfaktorkan pembilangnya (setelah itu, kita dapat mengurangi penyebutnya).

Contoh 11. Mari kita temukan. Identitas trigonometri dapat digunakan di sini.

Terkadang, untuk menguraikan ekspresi menjadi istilah, Anda harus menggunakan teknik yang lebih kompleks.

Contoh 12. Ayo temukan . Dalam integran, kami memilih bagian bilangan bulat dari pecahan . Kemudian

Contoh 13 Ayo temukan

2. Metode penggantian variabel (metode substitusi)

Metode ini didasarkan pada rumus berikut: f(x)dx=f((t))`(t)dt, di mana x =(t) adalah fungsi yang terdiferensiasi pada interval yang dipertimbangkan.

Bukti. Mari kita cari turunan terhadap variabel t dari bagian kiri dan kanan rumus.

Perhatikan bahwa di sisi kiri ada fungsi kompleks yang argumen perantaranya adalah x = (t). Oleh karena itu, untuk mendiferensiasikannya terhadap t, pertama-tama kita bedakan integralnya terhadap x, dan kemudian kita ambil turunan dari argumen perantara terhadap t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Turunan dari ruas kanan:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Karena turunan-turunan ini sama, oleh akibat wajar dari teorema Lagrange, bagian kiri dan kanan rumus yang dibuktikan berbeda dengan beberapa konstanta. Karena integral tak tentu itu sendiri didefinisikan hingga suku konstan tak tentu, konstanta ini dapat dihilangkan dalam notasi akhir. Terbukti.

Perubahan variabel yang berhasil memungkinkan kita untuk menyederhanakan integral asli, dan dalam kasus paling sederhana menguranginya menjadi tabel. Dalam penerapan metode ini, metode substitusi linier dan nonlinier dibedakan.

a) Metode substitusi linier mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 1
. Misalkan = 1 – 2x, maka

dx=d(½ - t) = - dt

Perlu dicatat bahwa variabel baru tidak harus ditulis secara eksplisit. Dalam kasus seperti itu seseorang berbicara tentang transformasi fungsi di bawah tanda diferensial, atau pengenalan konstanta dan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu. tentang substitusi variabel implisit.

Contoh 2 Misalnya, cari cos(3x + 2)dx. Dengan sifat-sifat diferensial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), makacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dalam kedua contoh yang dipertimbangkan, substitusi linier t=kx+b(k0) digunakan untuk menemukan integral.

Dalam kasus umum, teorema berikut berlaku.

Teorema substitusi linier. Biarkan F(x) menjadi beberapa antiturunan untuk fungsi f(x). Makaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, di mana k dan b adalah beberapa konstanta,k0.

Bukti.

Berdasarkan definisi integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Kami mengambil faktor konstanta k untuk tanda integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sekarang kita dapat membagi bagian kiri dan kanan persamaan dengan k dan memperoleh pernyataan yang akan dibuktikan hingga notasi suku konstan.

Teorema ini menyatakan bahwa jika ekspresi (kx+b) disubstitusikan ke dalam definisi integral f(x)dx= F(x) + C, maka ini akan menyebabkan munculnya faktor tambahan 1/k di depan dari antiturunan.

Dengan menggunakan teorema terbukti, kami memecahkan contoh berikut.

Contoh 3

Ayo temukan . Di sini kx+b= 3 –x, yaitu k= -1,b= 3. Maka

Contoh 4

Mari kita temukan. Di sini kx+b= 4x+ 3, yaitu k= 4,b= 3. Maka

Contoh 5

Ayo temukan . Di sini kx+b= -2x+ 7, yaitu k= -2,b= 7. Maka

.

Contoh 6 Ayo temukan
. Di sini kx+b= 2x+ 0, yaitu k= 2,b= 0.

.

Mari kita bandingkan hasil yang diperoleh dengan contoh 8, yang diselesaikan dengan metode dekomposisi. Memecahkan masalah yang sama dengan metode lain, kami mendapat jawabannya
. Mari kita bandingkan hasilnya: Dengan demikian, ekspresi ini berbeda satu sama lain dengan istilah konstan , yaitu jawaban yang diterima tidak saling bertentangan.

Contoh 7 Ayo temukan
. Kami memilih kotak penuh di penyebut.

Dalam beberapa kasus, perubahan variabel tidak langsung mereduksi integral menjadi bentuk tabel, tetapi dapat menyederhanakan penyelesaian dengan memungkinkan penerapan metode dekomposisi pada langkah berikutnya.

Contoh 8 Sebagai contoh, mari kita cari . Ganti t=x+ 2, lalu dt=d(x+ 2) =dx. Kemudian

,

di mana C \u003d C 1 - 6 (saat mengganti alih-alih t ekspresi (x + 2), alih-alih dua suku pertama, kita mendapatkan x 2 -2x - 6).

Contoh 9 Ayo temukan
. Misalkan t= 2x+ 1, maka dt= 2dx;dx= dt;x= (t– 1)/2.

Kami mengganti ekspresi (2x + 1) alih-alih t, buka tanda kurung dan berikan yang serupa.

Perhatikan bahwa dalam proses transformasi kami melewati suku konstan lain, karena kelompok istilah konstan dalam proses transformasi dapat dihilangkan.

b) Metode substitusi non-linier mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 1
. Misalkan t= -x 2 . Selanjutnya, seseorang dapat menyatakan x dalam bentuk t, kemudian menemukan ekspresi untuk dx dan menerapkan perubahan variabel dalam integral yang diinginkan. Tetapi dalam hal ini lebih mudah untuk melakukan sebaliknya. Cari dt=d(-x 2) = -2xdx. Perhatikan bahwa ekspresi xdx adalah faktor integral dari integral yang diinginkan. Kami menyatakannya dari persamaan yang dihasilkan xdx= - dt. Kemudian

Empat metode integrasi utama tercantum di bawah ini.

1) Aturan integrasi jumlah atau selisih.
.
Di sini dan di bawah, u, v, w adalah fungsi dari variabel integrasi x .

2) Mengambil konstanta dari tanda integral.
Misalkan c adalah konstanta yang tidak bergantung pada x. Kemudian dapat dikeluarkan dari tanda integral.

3) Metode penggantian variabel.
Perhatikan integral tak tentu.
Jika mungkin untuk memilih fungsi seperti itu (x) dari x , jadi
,
kemudian, setelah mengubah variabel t = (x) , kami memiliki
.

4) Rumus untuk integrasi per bagian.
,
di mana u dan v adalah fungsi dari variabel integrasi.

Tujuan akhir menghitung integral tak tentu adalah, melalui transformasi, untuk membawa integral yang diberikan ke integral paling sederhana, yang disebut integral tabular. Integral tabel dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar menggunakan rumus yang sudah dikenal.
Lihat Tabel integral >>>

Contoh

Hitung integral tak tentu

Larutan

Perhatikan bahwa integran adalah jumlah dan selisih dari tiga suku:
, dan .
Kami menerapkan metode 1 .

Selanjutnya, kami mencatat bahwa integran dari integral baru dikalikan dengan konstanta 5, 4, dan 2 , masing-masing. Kami menerapkan metode 2 .

Dalam tabel integral kita menemukan rumus
.
Pengaturan n = 2 , kita menemukan integral pertama.

Mari kita tulis ulang integral kedua dalam bentuk
.
Kami perhatikan itu. Kemudian

Mari kita gunakan cara ketiga. Kami membuat perubahan variabel t = (x) = log x.
.
Dalam tabel integral kita menemukan rumus

Karena variabel integrasi dapat dilambangkan dengan huruf apa saja, maka

Mari kita tulis ulang integral ketiga dalam bentuk
.
Kami menerapkan rumus untuk integrasi per bagian.
Membiarkan .
Kemudian
;
;

;
;
.

Akhirnya kita punya
.
Kumpulkan suku dengan x 3 .
.

Menjawab

Referensi:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kumpulan masalah dalam matematika yang lebih tinggi, Lan, 2003.

Integral Kepala Sekolah Yang Harus Diketahui Setiap Siswa

Integral yang terdaftar adalah dasar, dasar dari fondasi. Formula ini, tentu saja, harus diingat. Saat menghitung integral yang lebih kompleks, Anda harus menggunakannya terus-menerus.

Berikan perhatian khusus pada rumus (5), (7), (9), (12), (13), (17) dan (19). Jangan lupa untuk menambahkan konstanta sembarang C ke jawaban saat mengintegrasikan!

Integral dari sebuah konstanta

A d x = A x + C (1)

Integrasi fungsi daya

Sebenarnya, seseorang dapat membatasi diri pada rumus (5) dan (7), tetapi integral lainnya dari grup ini sangat umum sehingga perlu sedikit memperhatikannya.

x d x = x 2 2 + C (2)
x 2 d x = x 3 3 + C (3)
1 x d x = 2 x + C (4)
1 x d x = log | x | +C(5)
1 x 2 d x = 1 x + C (6)
x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n 1) (7)

Integral fungsi eksponensial dan fungsi hiperbolik

Tentu saja, rumus (8) (mungkin yang paling mudah diingat) dapat dianggap sebagai kasus khusus dari rumus (9). Rumus (10) dan (11) untuk integral sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik mudah diturunkan dari rumus (8), tetapi lebih baik untuk mengingat hubungan ini saja.

e x d x = e x + C (8)
a x d x = a x log a + C (a > 0, a 1) (9)
s h x d x = c h x + C (10)
c h x d x = s h x + C (11)

Integral dasar fungsi trigonometri

Kesalahan yang sering dilakukan siswa: mereka mengacaukan tanda-tanda pada rumus (12) dan (13). Mengingat bahwa turunan dari sinus sama dengan cosinus, karena alasan tertentu banyak orang percaya bahwa integral dari fungsi sinx sama dengan cosx. Ini tidak benar! Integral sinus adalah "minus cosinus", tetapi integral dari cosx adalah "just sinus":

sin x d x = cos x + C (12)
cos x d x = sin x + C (13)
1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
1 sin 2 x d x = c t g x + C (15)

Pengurangan Integral ke Fungsi Trigonometri Terbalik

Rumus (16), yang mengarah ke tangen busur, secara alami merupakan kasus khusus dari rumus (17) untuk a=1. Demikian pula, (18) adalah kasus khusus (19).

1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = a r c c t g x + C (16)
1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a 0) (17)
1 1 x 2 d x = arcsin x + C = arccos x + C (18)
1 a 2 x 2 d x = arcsin x a + C = arccos x a + C (a > 0) (19)

Integral yang lebih kompleks

Rumus-rumus ini juga diinginkan untuk diingat. Mereka juga cukup sering digunakan, dan hasilnya cukup membosankan.

1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
1 x 2 a 2 d x = ln | x + x 2 a 2 | +C(21)
a 2 x 2 d x = x 2 a 2 x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
x 2 a 2 d x = x 2 x 2 a 2 a 2 2 ln | x + x 2 a 2 | + C (a > 0) (24)

Aturan integrasi umum

1) Integral jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral yang bersesuaian: (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + g (x) d x (25)

2) Integral selisih dua fungsi sama dengan selisih integral yang bersesuaian: (f (x) g (x)) d x = f (x) d x g (x) d x (26)

3) Konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral: C f (x) d x = C f (x) d x (27)

Sangat mudah untuk melihat bahwa properti (26) hanyalah kombinasi dari properti (25) dan (27).

4) Integral fungsi kompleks jika fungsi dalam linier: f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A 0) (28)

Di sini F(x) adalah antiturunan untuk fungsi f(x). Perhatikan bahwa rumus ini hanya berfungsi jika fungsi dalam adalah Ax + B.

Penting: tidak ada rumus universal untuk integral produk dua fungsi, serta untuk integral pecahan:

f (x) g (x) d x = ? f (x) g (x) d x = ? (tigapuluh)

Ini tidak berarti, tentu saja, bahwa pecahan atau produk tidak dapat diintegrasikan. Hanya saja setiap kali Anda melihat integral seperti (30), Anda harus menemukan cara untuk "bertarung" dengannya. Dalam beberapa kasus, integrasi dengan bagian akan membantu Anda, di suatu tempat Anda harus membuat perubahan variabel, dan kadang-kadang bahkan rumus aljabar atau trigonometri "sekolah" dapat membantu.

Contoh sederhana untuk menghitung integral tak tentu

Contoh 1. Tentukan integralnya: (3 x 2 + 2 sin x 7 e x + 12) d x

Kami menggunakan rumus (25) dan (26) (integral jumlah atau selisih fungsi sama dengan jumlah atau selisih integral yang bersesuaian. Didapatkan: ∫ 3 x 2 d x + 2 sin x d x 7 e x d x + 12 dx

Ingatlah bahwa konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral (rumus (27)). Ekspresi diubah menjadi bentuk

3 x 2 d x + 2 sin x d x 7 e x d x + 12 1 d x

Sekarang mari kita gunakan tabel integral dasar. Kita perlu menerapkan rumus (3), (12), (8) dan (1). Mari kita integrasikan fungsi pangkat, sinus, eksponen dan konstanta 1. Jangan lupa untuk menambahkan konstanta sembarang C di akhir:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Setelah transformasi dasar, kami mendapatkan jawaban akhir:

X 3 2 cos x 7 e x + 12 x + C

Uji diri Anda dengan diferensiasi: ambil turunan dari fungsi yang dihasilkan dan pastikan itu sama dengan integran aslinya.

Tabel ringkasan integral

A d x = A x + C

x d x = x 2 2 + C

x 2 d x = x 3 3 + C

1 x d x = 2 x + C

1 x d x = log | x | +C

1 x 2 d x = 1 x + C

x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n 1)

e x d x = e x + C

a x d x = a x ln a + C (a > 0, a 1)

s h x d x = c h x + C

c h x d x = s h x + C

sin x d x = cos x + C

cos x d x = sin x + C

1 cos 2 x d x = t g x + C

1 sin 2 x d x = c t g x + C

1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = a r c c t g x + C

1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a 0)

1 1 x 2 d x = arcsin x + C = arccos x + C

1 a 2 x 2 d x = arcsin x a + C = arccos x a + C (a > 0)

1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

1 x 2 a 2 d x = ln | x + x 2 a 2 | +C

a 2 x 2 d x = x 2 a 2 x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

x 2 a 2 d x = x 2 x 2 a 2 a 2 2 ln | x + x 2 a 2 | + C (a > 0)

Unduh tabel integral (bagian II) dari tautan ini

Jika Anda belajar di universitas, jika Anda memiliki kesulitan dengan matematika yang lebih tinggi (analisis matematika, aljabar linier, teori probabilitas, statistik), jika Anda memerlukan layanan guru yang memenuhi syarat, buka halaman tutor matematika yang lebih tinggi. Ayo selesaikan masalahmu bersama!

Anda mungkin juga tertarik