Jika beberapa gelombang merambat secara simultan dalam suatu medium, maka osilasi partikel-partikel medium menjadi jumlah geometrik dari osilasi yang akan dilakukan partikel selama perambatan masing-masing gelombang secara terpisah. Akibatnya, gelombang hanya tumpang tindih satu sama lain tanpa mengganggu satu sama lain. Pernyataan ini disebut prinsip superposisi gelombang. Prinsip superposisi menyatakan bahwa gerakan yang disebabkan oleh perambatan beberapa gelombang sekaligus merupakan proses gelombang tertentu. Proses seperti itu, misalnya, adalah suara orkestra. Itu muncul dari eksitasi simultan dari getaran suara di udara oleh masing-masing alat musik. Sungguh luar biasa bahwa ketika gelombang ditumpangkan, fenomena khusus dapat muncul. Mereka disebut efek penambahan atau, seperti yang mereka katakan, superposisi gelombang. Di antara efek ini, yang paling penting adalah interferensi dan difraksi.

Interferensi adalah fenomena redistribusi energi getaran di ruang angkasa yang berkelanjutan, sebagai akibatnya getaran diperkuat di beberapa tempat dan melemah di tempat lain. Fenomena ini terjadi ketika menambahkan gelombang dengan perbedaan fase yang bertahan dari waktu ke waktu, yang disebut gelombang koheren. Interferensi sejumlah besar gelombang biasa disebut difraksi. Tidak ada perbedaan mendasar antara interferensi dan difraksi. Sifat dari fenomena ini adalah sama. Kami membatasi diri untuk membahas hanya satu efek interferensi yang sangat penting, yaitu pembentukan gelombang berdiri.

Kondisi yang diperlukan untuk pembentukan gelombang berdiri adalah adanya batas-batas yang mencerminkan gelombang datang pada mereka. Gelombang berdiri terbentuk sebagai akibat dari penambahan gelombang datang dan gelombang pantul. Fenomena semacam ini cukup umum. Jadi, setiap nada suara alat musik apa pun dirangsang oleh gelombang berdiri. Gelombang ini terbentuk baik dalam string (alat musik gesek) atau dalam kolom udara (alat musik tiup). Batas reflektif dalam kasus ini adalah titik perlekatan senar dan permukaan rongga internal alat musik tiup.

Setiap gelombang berdiri memiliki sifat-sifat sebagai berikut. Seluruh wilayah ruang di mana gelombang tereksitasi dapat dibagi menjadi sel-sel sedemikian rupa sehingga osilasi sama sekali tidak ada pada batas-batas sel. Titik-titik yang terletak pada batas-batas ini disebut node gelombang berdiri. Fase osilasi pada titik internal setiap sel adalah sama. Osilasi dalam sel tetangga dibuat terhadap satu sama lain, yaitu, dalam antifase. Dalam satu sel, amplitudo osilasi bervariasi dalam ruang dan mencapai nilai maksimumnya di beberapa tempat. Titik-titik di mana ini diamati disebut antinode dari gelombang berdiri. Akhirnya, sifat karakteristik gelombang berdiri adalah diskrit spektrum frekuensinya. Dalam gelombang berdiri, osilasi hanya dapat terjadi dengan frekuensi yang ditentukan secara ketat, dan transisi dari satu ke yang lain terjadi dalam lompatan.

Perhatikan contoh sederhana dari gelombang berdiri. Misalkan string dengan panjang terbatas direntangkan sepanjang sumbu ; ujungnya tetap kaku, dan ujung kiri berada di titik asal koordinat. Maka koordinat ujung kanan adalah . Mari menggairahkan gelombang dalam senar

,

menyebar dari kiri ke kanan. Gelombang akan dipantulkan dari ujung kanan tali. Mari kita asumsikan bahwa ini terjadi tanpa kehilangan energi. Dalam hal ini, gelombang pantul akan memiliki amplitudo dan frekuensi yang sama dengan gelombang datang. Oleh karena itu, gelombang pantul harus berbentuk:

Fasenya mengandung konstanta yang menentukan perubahan fase pada refleksi. Karena pemantulan terjadi pada kedua ujung tali dan tanpa kehilangan energi, gelombang dengan frekuensi yang sama akan merambat secara simultan dalam tali. Oleh karena itu, ketika menambahkan, interferensi harus terjadi. Mari kita cari gelombang yang dihasilkan.

Ini adalah persamaan gelombang berdiri. Dari sini dapat disimpulkan bahwa pada setiap titik dawai terjadi getaran dengan frekuensi. Dalam hal ini, amplitudo osilasi pada suatu titik sama dengan

.

Karena ujung tali tetap, tidak ada getaran di sana. Ini mengikuti dari kondisi bahwa . Jadi kita berakhir dengan:

.

Sekarang jelas bahwa pada titik-titik di mana , tidak ada osilasi sama sekali. Titik-titik ini adalah simpul dari gelombang berdiri. Di tempat yang sama, di mana , amplitudo osilasi maksimum, itu sama dengan dua kali nilai amplitudo osilasi yang ditambahkan. Titik-titik ini adalah antinode dari gelombang berdiri. Munculnya antinode dan knot justru merupakan gangguan: di beberapa tempat osilasi diperkuat, sementara di tempat lain mereka menghilang. Jarak antara node tetangga dan antinode ditemukan dari kondisi yang jelas: . Karena , maka . Oleh karena itu, jarak antara node yang berdekatan adalah .

Hal ini dapat dilihat dari persamaan gelombang berdiri bahwa faktor ketika melewati nol, itu berubah tanda. Sesuai dengan ini, fase osilasi pada sisi yang berbeda dari node berbeda . Ini berarti bahwa titik-titik yang terletak di sisi berlawanan dari simpul berosilasi dalam antifase. Semua titik yang tertutup antara dua node tetangga berosilasi dalam fase yang sama.

Jadi, ketika menjumlahkan gelombang datang dan gelombang pantul, memang mungkin untuk mendapatkan pola gerak gelombang yang dicirikan sebelumnya. Dalam hal ini, sel-sel yang dibahas dalam kasus satu dimensi adalah segmen tertutup antara node tetangga dan memiliki panjang .

Akhirnya, mari kita pastikan bahwa gelombang yang telah kita pertimbangkan hanya dapat eksis pada frekuensi osilasi yang ditentukan secara ketat. Mari kita gunakan fakta bahwa tidak ada getaran di ujung kanan string, yaitu . Oleh karena itu ternyata . Persamaan ini dimungkinkan jika , Dimana adalah bilangan bulat positif arbitrer.

6.1 Gelombang berdiri dalam medium elastis

Menurut prinsip superposisi, ketika beberapa gelombang merambat secara bersamaan dalam media elastis, superposisi mereka terjadi, dan gelombang tidak saling mengganggu: osilasi partikel medium adalah jumlah vektor dari osilasi yang akan dilakukan partikel. selama perambatan masing-masing gelombang secara terpisah.

Gelombang yang menimbulkan osilasi medium, perbedaan fase antara yang konstan pada setiap titik dalam ruang, disebut koheren.

Saat menambahkan gelombang koheren, fenomena itu muncul gangguan, yang terdiri dari fakta bahwa di beberapa titik di ruang gelombang saling memperkuat, dan di titik lain mereka melemah. Kasus interferensi yang penting diamati ketika dua gelombang bidang yang berlawanan dengan frekuensi dan amplitudo yang sama ditumpangkan. Getaran yang dihasilkan disebut gelombang berdiri. Paling sering, gelombang berdiri muncul ketika gelombang berjalan dipantulkan dari rintangan. Dalam hal ini, gelombang datang dan gelombang yang dipantulkan ke arahnya, jika dijumlahkan, menghasilkan gelombang berdiri.

Kami mendapatkan persamaan gelombang berdiri. Mari kita ambil dua gelombang harmonik bidang yang merambat satu sama lain di sepanjang sumbu X dan memiliki frekuensi dan amplitudo yang sama:

di mana - fase osilasi titik-titik media selama perjalanan gelombang pertama;

- fase osilasi titik-titik medium selama perjalanan gelombang kedua.

Beda fase pada setiap titik pada sumbu X jaringan tidak akan bergantung pada waktu, mis. akan konstan:

Oleh karena itu, kedua gelombang akan koheren.

Getaran partikel medium yang dihasilkan dari penambahan gelombang yang dipertimbangkan adalah sebagai berikut:

Kami mengubah jumlah cosinus sudut sesuai dengan aturan (4.4) dan mendapatkan:

Mengatur ulang faktor, kita mendapatkan:

Untuk menyederhanakan ekspresi, kami memilih titik asal sehingga perbedaan fase dan asal waktu, sehingga jumlah fase sama dengan nol: .

Maka persamaan untuk jumlah gelombang akan berbentuk:

Persamaan (6.6) disebut persamaan gelombang berdiri. Dari sini dapat dilihat bahwa frekuensi gelombang berdiri sama dengan frekuensi gelombang berjalan, dan amplitudo, berbeda dengan gelombang berjalan, bergantung pada jarak dari titik asal:

. (6.7)

Dengan mempertimbangkan (6.7), persamaan gelombang berdiri berbentuk:

. (6.8)

Jadi, titik-titik medium berosilasi dengan frekuensi yang bertepatan dengan frekuensi gelombang berjalan, dan dengan amplitudo sebuah, tergantung pada posisi titik pada sumbu X. Dengan demikian, amplitudo berubah sesuai dengan hukum kosinus dan memiliki maxima dan minima sendiri (Gbr. 6.1).

Untuk memvisualisasikan lokasi minimum dan maksimum dari amplitudo, kami mengganti, menurut (5.29), bilangan gelombang dengan nilainya:

Kemudian ekspresi (6.7) untuk amplitudo mengambil bentuk

(6.10)

Dari sini menjadi jelas bahwa amplitudo perpindahan maksimum pada , yaitu pada titik-titik yang koordinatnya memenuhi syarat:

, (6.11)

di mana

Dari sini kita memperoleh koordinat titik-titik di mana amplitudo perpindahan maksimum:

; (6.12)

Titik-titik di mana amplitudo osilasi medium maksimum disebut antinode gelombang.

Amplitudo gelombang adalah nol pada titik-titik di mana . Koordinat titik-titik tersebut, disebut simpul gelombang, memenuhi syarat:

, (6.13)

di mana

Dari (6.13) dapat dilihat bahwa koordinat node memiliki nilai:

, (6.14)

pada gambar. 6.2 menunjukkan pandangan perkiraan gelombang berdiri, lokasi node dan antinode ditandai. Dapat dilihat bahwa node tetangga dan antinode dari perpindahan berjarak satu sama lain dengan jarak yang sama.

Temukan jarak antara antinode dan node yang berdekatan. Dari (6.12) kita peroleh jarak antara antinode:

(6.15)

Jarak antar node diperoleh dari (6.14):

(6.16)

Dari hubungan (6.15) dan (6.16) yang diperoleh, dapat diketahui bahwa jarak antara node tetangga, serta antara antinode tetangga, adalah konstan dan sama dengan; node dan antinode digeser relatif satu sama lain oleh (Gbr. 6.3).

Dari definisi panjang gelombang, kita dapat menulis ekspresi untuk panjang gelombang berdiri: sama dengan setengah panjang gelombang berjalan:

Mari kita tulis, dengan mempertimbangkan (6.17), ekspresi untuk koordinat node dan antinode:

, (6.18)

, (6.19)

Pengganda , yang menentukan amplitudo gelombang berdiri, mengubah tandanya ketika melewati nilai nol, akibatnya fase osilasi pada sisi yang berlawanan dari simpul berbeda . Akibatnya, semua titik yang terletak di sisi yang berbeda dari simpul berosilasi dalam anti-fase. Semua titik antara node tetangga berosilasi dalam fase.

Node secara kondisional membagi media menjadi daerah otonom di mana osilasi harmonik terjadi secara independen. Tidak ada transfer gerak antara daerah, dan, oleh karena itu, tidak ada aliran energi antar daerah. Artinya, tidak ada transmisi gangguan sepanjang sumbu. Oleh karena itu, gelombang disebut berdiri.

Jadi, gelombang berdiri terbentuk dari dua gelombang berjalan yang berlawanan arah dengan frekuensi dan amplitudo yang sama. Vektor Umov dari masing-masing gelombang ini sama dalam modulus dan berlawanan arah, dan ketika ditambahkan mereka memberikan nol. Oleh karena itu, gelombang berdiri tidak mentransfer energi.

6.2 Contoh gelombang berdiri

6.2.1 Gelombang berdiri dalam tali

Pertimbangkan string panjang L, tetap di kedua ujungnya (Gbr. 6.4).

Mari kita tempatkan sumbu di sepanjang tali X sehingga ujung kiri string memiliki koordinat x=0, dan kanan x=L. Getaran terjadi pada tali, dijelaskan dengan persamaan:

Mari kita tuliskan kondisi batas untuk string yang dipertimbangkan. Karena ujung-ujungnya tetap, maka pada titik-titik dengan koordinat x=0 dan x=L tidak ragu-ragu:

(6.22)

Mari kita cari persamaan vibrasi dawai berdasarkan syarat batas tertulis. Kami menulis persamaan (6.20) untuk ujung kiri string, dengan mempertimbangkan (6.21):

Relasi (6.23) berlaku untuk setiap saat t dalam dua kasus:

1. . Ini dimungkinkan jika tidak ada getaran pada string (). Kasus ini tidak menarik, dan kami tidak akan mempertimbangkannya.

2. . Berikut fasenya. Kasus ini akan memungkinkan kita untuk mendapatkan persamaan untuk getaran string.

Mari kita substitusikan nilai fase yang diperoleh ke dalam kondisi batas (6.22) untuk ujung kanan string:

. (6.25)

Mengingat bahwa

, (6.26)

dari (6.25) kita mendapatkan:

Sekali lagi, dua kasus muncul di mana hubungan (6.27) terpenuhi. Kasus ketika tidak ada getaran pada string (), kami tidak akan mempertimbangkan.

Dalam kasus kedua, kesetaraan harus berlaku:

dan ini hanya mungkin jika argumen sinus adalah kelipatan dari bilangan bulat:

Kami membuang nilainya, karena dalam hal ini , yang berarti panjang string nol ( L=0) atau bilangan gelombang-baru k=0. Mempertimbangkan hubungan (6.9) antara bilangan gelombang dan panjang gelombang, jelas bahwa agar bilangan gelombang sama dengan nol, panjang gelombang harus tak terhingga, dan ini berarti tidak adanya osilasi.

Dapat dilihat dari (6.28) bahwa bilangan gelombang selama getaran dawai yang diikat pada kedua ujungnya hanya dapat mengambil nilai-nilai diskrit tertentu:

Dengan mempertimbangkan (6.9), kami menulis (6.30) sebagai:

dari mana kita mendapatkan ekspresi untuk panjang gelombang yang mungkin dalam string:

Dengan kata lain, sepanjang string L harus bilangan bulat n setengah gelombang:

Frekuensi osilasi yang sesuai dapat ditentukan dari (5.7):

Berikut adalah kecepatan fase gelombang, yang, menurut (5.102), bergantung pada kerapatan linier tali dan gaya tegangan tali:

Mengganti (6.34) ke (6.33), kita memperoleh ekspresi yang menjelaskan kemungkinan frekuensi getaran string:

, (6.36)

Frekuensi disebut frekuensi alami string. frekuensi (bila n = 1):

(6.37)

ditelepon frekuensi dasar(atau nada utama) string. Frekuensi ditentukan pada n>1 ditelepon nada tambahan atau harmonik. Bilangan harmonik adalah n-1. Misalnya, frekuensi:

sesuai dengan harmonik pertama, dan frekuensi:

sesuai dengan harmonik kedua, dan seterusnya. Karena string dapat direpresentasikan sebagai sistem diskrit dengan jumlah derajat kebebasan tak terhingga, setiap harmonik adalah mode getaran tali. Dalam kasus umum, getaran string adalah superposisi mode.

Setiap harmonik memiliki panjang gelombangnya sendiri. Untuk nada utama (dengan n= 1) panjang gelombang:

untuk harmonik pertama dan kedua, masing-masing (at n= 2 dan n= 3) panjang gelombangnya adalah:

Gambar 6.5 menunjukkan tampilan beberapa mode getaran yang dilakukan oleh sebuah string.

Dengan demikian, string dengan ujung tetap mewujudkan kasus luar biasa dalam kerangka fisika klasik - spektrum diskrit frekuensi osilasi (atau panjang gelombang). Batang elastis dengan satu atau kedua ujung yang dijepit berperilaku dengan cara yang sama, seperti halnya fluktuasi kolom udara dalam pipa, yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.

6.2.2 Pengaruh kondisi awal terhadap gerak

string terus menerus. Analisis Fourier

Getaran string dengan ujung yang dijepit, selain spektrum frekuensi getaran diskrit, memiliki satu sifat penting lagi: bentuk spesifik dari getaran string tergantung pada metode eksitasi getaran, yaitu. dari kondisi awal. Mari kita pertimbangkan lebih detail.

Persamaan (6.20), yang menjelaskan satu modus gelombang berdiri dalam tali, adalah solusi khusus dari persamaan gelombang diferensial (5.61). Karena getaran dawai terdiri dari semua mode yang mungkin (untuk dawai - bilangan tak hingga), maka solusi umum persamaan gelombang (5.61) terdiri dari sejumlah tak hingga solusi khusus:

, (6.43)

di mana saya adalah nomor modus osilasi. Ekspresi (6.43) ditulis dengan mempertimbangkan bahwa ujung-ujung string tetap:

dan juga dengan mempertimbangkan koneksi frekuensi saya modus ke-th dan bilangan gelombangnya:

(6.46)

Di Sini – bilangan gelombang saya mode;

adalah nomor gelombang dari mode 1;

Mari kita cari nilai fase awal untuk setiap mode osilasi. Untuk ini, pada saat itu t=0 mari kita beri string bentuk yang dijelaskan oleh fungsi f 0 (x), ekspresi yang kita peroleh dari (6.43):

. (6.47)

pada gambar. 6.6 menunjukkan contoh bentuk string yang dijelaskan oleh fungsi saya f 0 (x).

Pada waktunya t=0 tali masih diam, mis. kecepatan semua titiknya sama dengan nol. Dari (6.43) kami menemukan ekspresi untuk kecepatan titik string:

dan dengan menggantikannya t=0, kami memperoleh ekspresi untuk kecepatan titik-titik string pada saat awal waktu:

. (6.49)

Karena pada saat awal waktu kecepatannya sama dengan nol, maka ekspresi (6.49) akan sama dengan nol untuk semua titik tali, jika . Dari sini dapat disimpulkan bahwa fase awal untuk semua mode juga nol (). Dengan mengingat hal ini, ekspresi (6.43), yang menggambarkan gerakan dawai, berbentuk:

, (6.50)

dan ekspresi (6.47), yang menjelaskan bentuk awal string, terlihat seperti:

. (6.51)

Sebuah gelombang berdiri dalam string dijelaskan oleh fungsi yang periodik pada interval , di mana sama dengan dua panjang string (Gbr. 6.7):

Hal ini dapat dilihat dari fakta bahwa periodisitas pada interval berarti:

Akibatnya,

yang membawa kita ke ekspresi (6.52).

Diketahui dari analisis matematis bahwa setiap fungsi periodik dapat diperluas dengan akurasi tinggi menjadi deret Fourier:

, (6.57)

dimana , , adalah koefisien Fourier.

Pertimbangkan hasil interferensi dua gelombang bidang sinusoidal dengan amplitudo dan frekuensi yang sama yang merambat dalam arah yang berlawanan. Untuk menyederhanakan penalaran, kita asumsikan bahwa persamaan gelombang-gelombang ini memiliki bentuk:

Ini berarti bahwa pada titik asal kedua gelombang menyebabkan osilasi dalam fase yang sama. Di titik A dengan koordinat x, nilai total besaran osilasi, menurut prinsip superposisi (lihat 19), adalah

Persamaan ini menunjukkan bahwa sebagai akibat dari interferensi gelombang searah dan gelombang mundur pada setiap titik medium (dengan koordinat tetap) terjadi osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama, tetapi dengan amplitudo

bergantung pada nilai koordinat x. Pada titik-titik dalam medium di mana tidak ada getaran sama sekali: titik-titik ini disebut simpul getaran.

Pada titik-titik di mana amplitudo osilasi memiliki nilai terbesar, titik-titik ini disebut antinode osilasi. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa jarak antara node tetangga atau antinode tetangga sama dengan jarak antara antinode dan node terdekat sama dengan Ketika x berubah dengan kosinus dalam rumus (5.16), ia membalikkan tandanya (argumennya berubah menjadi jika dalam satu setengah gelombang - dari satu simpul ke simpul lainnya - partikel medium menyimpang ke satu arah, maka dalam setengah gelombang tetangga, partikel medium akan dibelokkan ke arah yang berlawanan.

Proses gelombang dalam medium yang dijelaskan oleh rumus (5.16) disebut gelombang berdiri. Secara grafis, gelombang berdiri dapat digambarkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.61. Mari kita asumsikan bahwa y memiliki perpindahan titik-titik medium dari keadaan setimbang; maka rumus (5.16) menggambarkan "gelombang perpindahan berdiri". Pada titik waktu tertentu, ketika semua titik medium memiliki perpindahan maksimum, arahnya, tergantung pada nilai koordinat x, ditentukan oleh tanda. Perpindahan ini ditunjukkan pada Gambar. 1,61 dengan panah padat. Setelah seperempat periode, ketika perpindahan semua titik medium sama dengan nol; partikel medium melewati garis dengan kecepatan yang berbeda. Setelah seperempat periode lagi, ketika partikel-partikel medium akan kembali memiliki perpindahan maksimum, tetapi dalam arah yang berlawanan; offset ini ditunjukkan dalam

Nasi. 1,61 panah putus-putus. Titik-titiknya adalah antinode dari gelombang perpindahan berdiri; titik node dari gelombang ini.

Ciri-ciri karakteristik gelombang berdiri, berbeda dengan gelombang yang merambat, atau berjalan, adalah sebagai berikut (artinya gelombang bidang tanpa adanya redaman):

1) dalam gelombang berdiri, amplitudo osilasi berbeda di berbagai bagian sistem; sistem memiliki node dan antinode osilasi. Dalam gelombang "perjalanan", amplitudo ini sama di mana-mana;

2) dalam area sistem dari satu simpul ke simpul tetangga, semua titik media berosilasi dalam fase yang sama; ketika melewati bagian tetangga, fase osilasi dibalik. Dalam gelombang berjalan, fase osilasi, menurut rumus (5.2), bergantung pada koordinat titik;

3) dalam gelombang berdiri tidak ada transfer energi satu arah, seperti yang terjadi pada gelombang berjalan.

Ketika menjelaskan proses osilasi dalam sistem elastis, nilai osilasi y dapat diambil tidak hanya sebagai perpindahan atau kecepatan partikel sistem, tetapi juga sebagai nilai deformasi relatif atau nilai tegangan dalam kompresi, tarik, atau geser, dll. Pada saat yang sama, dalam gelombang berdiri, di tempat-tempat di mana antinode kecepatan partikel terbentuk, node deformasi berada, dan sebaliknya, node kecepatan bertepatan dengan antinode deformasi. Transformasi energi dari kinetik ke bentuk potensial dan sebaliknya terjadi dalam bagian sistem dari antinode ke node tetangga. Kita dapat berasumsi bahwa setiap bagian tersebut tidak bertukar energi dengan bagian tetangga. Perhatikan bahwa transformasi energi kinetik partikel yang bergerak menjadi energi potensial bagian media yang terdeformasi terjadi dua kali dalam satu periode.

Di atas, dengan mempertimbangkan interferensi gelombang langsung dan gelombang mundur (lihat ekspresi (5.16)), kami tidak tertarik pada asal usul gelombang ini. Mari kita asumsikan bahwa medium di mana getaran merambat memiliki dimensi terbatas, misalnya, getaran disebabkan di beberapa benda padat - dalam batang atau tali, dalam kolom cairan atau gas, dll. Gelombang merambat dalam media seperti itu ( tubuh) , dipantulkan dari batas, oleh karena itu, dalam volume tubuh ini, interferensi gelombang yang disebabkan oleh sumber eksternal dan dipantulkan dari batas terus menerus terjadi.

Pertimbangkan contoh paling sederhana; misalkan, pada suatu titik (Gbr. 1.62) dari batang atau tali, gerakan osilasi dengan frekuensi dieksitasi dengan bantuan sumber sinusoidal eksternal; kami memilih asal referensi waktu sehingga pada titik ini perpindahan dinyatakan dengan rumus

dimana amplitudo osilasi pada titik Gelombang yang diinduksi pada batang akan dipantulkan dari ujung kedua batang 0% dan menuju ke arah yang berlawanan

arah. Mari kita cari hasil interferensi gelombang langsung dan gelombang pantul pada titik tertentu dari batang yang memiliki koordinat x. Untuk menyederhanakan penalaran, kita asumsikan bahwa tidak ada penyerapan energi vibrasi di batang dan oleh karena itu amplitudo gelombang langsung dan gelombang pantul adalah sama.

Pada suatu saat, ketika perpindahan partikel yang berosilasi pada suatu titik sama dengan y, pada titik lain pada batang, perpindahan yang disebabkan oleh gelombang langsung akan, menurut rumus gelombang, sama dengan

Gelombang pantul juga melalui titik yang sama A. Untuk mencari perpindahan yang disebabkan oleh gelombang pantul di titik A (pada saat yang sama perlu menghitung waktu selama gelombang akan merambat dari dan kembali ke titik Karena perpindahan yang disebabkan oleh gelombang pantul di titik tersebut adalah sama dengan

Dalam hal ini, diasumsikan bahwa pada ujung pemantulan batang dalam proses pemantulan tidak ada perubahan mendadak pada fase osilasi; dalam beberapa kasus perubahan fase seperti itu (disebut kehilangan fase) terjadi dan harus diperhitungkan.

Penambahan getaran yang disebabkan pada berbagai titik batang oleh gelombang langsung dan gelombang pantul memberikan gelombang berdiri; Betulkah,

di mana beberapa fase konstan, tidak tergantung pada koordinat x, dan kuantitas

adalah amplitudo osilasi pada titik; itu tergantung pada koordinat x, yaitu berbeda di tempat yang berbeda dari batang.

Mari kita cari koordinat titik-titik batang di mana node dan antinode dari gelombang berdiri terbentuk. Kosinus berubah menjadi nol atau satu terjadi pada nilai argumen yang merupakan kelipatan dari

dimana adalah bilangan bulat. Untuk nilai ganjil dari angka ini, cosinus menghilang dan rumus (5.19) memberikan koordinat node gelombang berdiri; bahkan kita mendapatkan koordinat antinode.

Di atas hanya ditambahkan dua gelombang: gelombang langsung yang datang dan gelombang pantul yang merambat, namun harus diperhatikan bahwa gelombang pantul pada batas batang akan dipantulkan kembali dan menuju ke arah gelombang langsung. Refleksi seperti itu

akan ada banyak dari ujung batang, dan oleh karena itu perlu untuk menemukan hasil interferensi bukan dari dua, tetapi dari semua gelombang yang secara bersamaan ada di batang.

Mari kita asumsikan bahwa sumber getaran eksternal menyebabkan gelombang di batang selama beberapa waktu, setelah itu aliran energi getaran dari luar berhenti. Selama waktu ini, pemantulan terjadi di batang, di mana adalah waktu selama gelombang berpindah dari satu ujung batang ke ujung lainnya. Akibatnya, di dalam batang secara bersamaan akan ada gelombang yang merambat ke arah depan dan gelombang yang merambat ke arah yang berlawanan.

Mari kita asumsikan bahwa sebagai akibat dari interferensi sepasang gelombang (langsung dan tercermin), perpindahan di titik A ternyata sama dengan y. Mari kita cari kondisi di mana semua perpindahan y yang disebabkan oleh setiap pasang gelombang memiliki arah yang sama di titik A batang dan karena itu dijumlahkan. Untuk ini, fase osilasi yang disebabkan oleh setiap pasangan gelombang pada suatu titik harus berbeda dengan fase osilasi yang disebabkan oleh pasangan gelombang berikutnya. Tetapi setiap gelombang kembali lagi ke titik A dengan arah rambat yang sama hanya setelah beberapa waktu, yaitu, ia tertinggal dalam fase dengan menyamakan jeda ini di mana adalah bilangan bulat, kita dapatkan

yaitu, bilangan bulat dari setengah gelombang harus sesuai dengan panjang batang. Perhatikan bahwa di bawah kondisi ini, fase semua gelombang yang bergerak dari arah maju berbeda satu sama lain dengan di mana adalah bilangan bulat; dengan cara yang persis sama, fase semua gelombang yang merambat dari arah yang berlawanan berbeda satu sama lain dengan . hanya amplitudo osilasi yang akan meningkat. Jika amplitudo maksimum osilasi selama interferensi dua gelombang, menurut rumus (5.18), adalah sama, maka dengan interferensi banyak gelombang akan lebih besar. Mari kita nyatakan sebagai maka distribusi amplitudo osilasi sepanjang batang alih-alih ekspresi (5.18) akan ditentukan oleh rumus

Ekspresi (5.19) dan (5.20) menentukan titik di mana kosinus memiliki nilai atau 1:

di mana adalah bilangan bulat Koordinat simpul gelombang berdiri akan diperoleh dari rumus ini untuk nilai ganjil maka, tergantung pada panjang batang, mis., Nilai

koordinat antinode akan diperoleh dengan nilai genap

pada gambar. 1.63 secara skematis menunjukkan gelombang berdiri di batang, yang panjangnya; titik-titiknya adalah antinode, titik-titiknya adalah node dari gelombang berdiri ini.

Dalam bab. ditunjukkan bahwa dengan tidak adanya pengaruh eksternal periodik, sifat gerakan pengkodean dalam sistem dan, di atas segalanya, kuantitas utama - frekuensi osilasi - ditentukan oleh dimensi dan sifat fisik sistem. Setiap sistem osilasi memiliki gerakan osilasi bawaannya sendiri; fluktuasi ini dapat diamati jika sistem dikeluarkan dari keseimbangan dan kemudian pengaruh eksternal dihilangkan.

Dalam bab. 4 jam Saya mempertimbangkan sistem osilasi yang dominan dengan parameter yang disamakan, di mana beberapa benda (titik) memiliki massa inersia, dan benda lain (pegas) memiliki sifat elastis. Sebaliknya, sistem osilasi di mana massa dan elastisitas melekat pada setiap volume dasar disebut sistem dengan parameter terdistribusi. Ini termasuk batang yang dibahas di atas, string, serta kolom cairan atau gas (dalam alat musik tiup), dll. Untuk sistem seperti itu, gelombang berdiri adalah getaran alami; karakteristik utama gelombang ini - panjang gelombang atau distribusi node dan antinode, serta frekuensi osilasi - hanya ditentukan oleh dimensi dan sifat sistem. Gelombang berdiri juga bisa ada tanpa adanya aksi eksternal (periodik) pada sistem; tindakan ini diperlukan hanya untuk menyebabkan atau mempertahankan gelombang berdiri dalam sistem atau untuk mengubah amplitudo osilasi. Khususnya, jika aksi eksternal pada sistem dengan parameter terdistribusi terjadi pada frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi alaminya, yaitu frekuensi gelombang berdiri, maka fenomena resonansi terjadi, yang dipertimbangkan dalam Bab. 5. untuk frekuensi yang berbeda adalah sama.

Jadi, dalam sistem dengan parameter terdistribusi, osilasi alami - gelombang berdiri - dicirikan oleh seluruh spektrum frekuensi yang merupakan kelipatan satu sama lain. Frekuensi terkecil yang sesuai dengan panjang gelombang terpanjang disebut frekuensi dasar; sisanya) adalah nada tambahan atau harmonik.

Setiap sistem dicirikan tidak hanya oleh adanya spektrum osilasi seperti itu, tetapi juga oleh distribusi energi tertentu antara osilasi frekuensi yang berbeda. Untuk alat musik, distribusi ini memberikan ciri khas suara, yang disebut timbre suara, yang berbeda untuk instrumen yang berbeda.

Perhitungan di atas mengacu pada "batang panjang berosilasi bebas. Namun, kami biasanya memiliki batang tetap pada satu atau kedua ujungnya (misalnya, string berosilasi), atau ada satu atau lebih titik di sepanjang batang. Gerakan adalah simpul perpindahan paksa. Sebagai contoh,

jika perlu untuk mendapatkan gelombang berdiri di batang pada satu, dua, tiga titik pemasangan, dll., maka titik-titik ini tidak dapat dipilih secara sewenang-wenang, tetapi harus ditempatkan di sepanjang batang sehingga berada di simpul gelombang berdiri yang dihasilkan . Ini ditunjukkan, misalnya, pada Gambar. 1.64. Pada gambar yang sama, garis putus-putus menunjukkan perpindahan titik-titik batang selama getaran; antinode perpindahan selalu terbentuk di ujung bebas, dan node perpindahan di ujung tetap. Untuk kolom udara berosilasi dalam pipa, node perpindahan (dan kecepatan) diperoleh pada dinding padat yang memantulkan; antinode perpindahan dan kecepatan terbentuk di ujung terbuka tabung.

Jika beberapa gelombang merambat secara simultan dalam medium, maka osilasi partikel medium menjadi jumlah geometrik osilasi yang akan dilakukan partikel selama perambatan masing-masing gelombang secara terpisah. Akibatnya, gelombang hanya tumpang tindih satu sama lain tanpa mengganggu satu sama lain. Pernyataan ini disebut prinsip superposisi (superposisi) gelombang.

Dalam kasus ketika osilasi yang disebabkan oleh gelombang individu pada masing-masing titik medium memiliki perbedaan fase yang konstan, gelombang disebut koheren. (Definisi koherensi yang lebih ketat akan diberikan dalam 120.) Ketika gelombang koheren ditambahkan bersama-sama, fenomena interferensi muncul, yang terdiri dari fakta bahwa osilasi di beberapa titik memperkuat, dan di titik lain mereka saling melemahkan.

Kasus interferensi yang sangat penting diamati ketika dua gelombang bidang yang berpropagasi berlawanan dengan amplitudo yang sama ditumpangkan. Proses osilasi yang dihasilkan disebut gelombang berdiri. Praktis gelombang berdiri muncul ketika gelombang dipantulkan dari rintangan. Gelombang yang jatuh pada penghalang dan gelombang yang dipantulkan berjalan ke arahnya, saling tumpang tindih, memberikan gelombang berdiri.

Mari kita tulis persamaan dua gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu x dengan arah yang berlawanan:

Menempatkan persamaan ini bersama-sama dan mengubah hasilnya menggunakan rumus untuk jumlah cosinus, kita mendapatkan

Persamaan (99.1) adalah persamaan gelombang berdiri. Untuk menyederhanakannya, kami memilih asal sehingga perbedaannya menjadi sama dengan nol, dan asal - sehingga jumlahnya menjadi nol. Selain itu, kami mengganti bilangan gelombang k dengan nilainya

Kemudian persamaan (99.1) mengambil bentuk

Dari (99.2) dapat dilihat bahwa pada setiap titik gelombang berdiri, terjadi osilasi dengan frekuensi yang sama seperti pada gelombang lawan, dan amplitudonya bergantung pada x:

amplitudo osilasi mencapai nilai maksimumnya. Titik-titik ini disebut antinode gelombang berdiri. Dari (99.3) diperoleh nilai koordinat antinode:

Harus diingat bahwa antinode bukanlah satu titik, tetapi sebuah bidang, yang titik-titiknya memiliki nilai koordinat x yang ditentukan oleh rumus (99.4).

Pada titik-titik yang koordinatnya memenuhi syarat

amplitudo osilasi menghilang. Titik-titik ini disebut simpul gelombang berdiri. Titik-titik media yang terletak di node tidak berosilasi. Koordinat simpul penting

Node, seperti antinode, bukanlah satu titik, tetapi sebuah bidang, yang titik-titiknya memiliki nilai koordinat x yang ditentukan oleh rumus (99,5).

Dari rumus (99.4) dan (99.5) dapat disimpulkan bahwa jarak antara antinode tetangga, serta jarak antara node tetangga, sama dengan . Antinode dan node digeser relatif satu sama lain sebesar seperempat panjang gelombang.

Mari kita kembali ke persamaan (99.2). Pengganda berubah tanda ketika melewati nol. Sesuai dengan ini, fase osilasi pada sisi yang berlawanan dari simpul berbeda dengan Ini berarti bahwa titik-titik yang terletak di sisi yang berlawanan dari simpul berosilasi dalam antifase. Semua titik yang tertutup antara dua node yang berdekatan berosilasi dalam fase (yaitu, dalam fase yang sama). pada gambar. 99.1 serangkaian "potret" penyimpangan titik-titik dari posisi keseimbangan diberikan.

"Foto" pertama sesuai dengan momen ketika penyimpangan mencapai nilai absolut terbesar. "Foto-foto" berikutnya diambil pada interval seperempat periode. Panah menunjukkan kecepatan partikel.

Persamaan diferensial (99.2) sekali terhadap t dan waktu lain terhadap x, kita menemukan ekspresi untuk kecepatan partikel dan untuk deformasi medium:

Persamaan (99.6) menggambarkan gelombang kecepatan berdiri, dan (99.7) - gelombang berdiri deformasi.

pada gambar. 99.2 "snapshots" perpindahan, kecepatan dan deformasi untuk momen waktu 0 dan dibandingkan Dari grafik dapat dilihat bahwa node dan antinode kecepatan bertepatan dengan node dan antinode dari perpindahan; node dan antinode deformasi bertepatan, masing-masing, dengan antinode dan node perpindahan. Saat mencapai nilai maksimum, itu menghilang, dan sebaliknya.

Dengan demikian, dua kali dalam satu periode energi gelombang berdiri diubah sepenuhnya menjadi potensial, terkonsentrasi terutama di dekat simpul gelombang (di mana antinode deformasi berada), kemudian sepenuhnya menjadi kinetik, terkonsentrasi terutama di dekat antinode gelombang. gelombang (di mana antinode kecepatan berada). Akibatnya, terjadi transfer energi dari setiap node ke antinode yang berdekatan dengannya dan sebaliknya. Fluks energi rata-rata waktu di setiap bagian gelombang sama dengan nol.