Setiap operasi aritmatika terkadang menjadi terlalu rumit untuk dicatat dan mereka mencoba menyederhanakannya. Dulu sama dengan operasi penjumlahan. Itu perlu bagi orang untuk melakukan penambahan berulang dari jenis yang sama, misalnya, untuk menghitung biaya seratus karpet Persia, yang biayanya adalah 3 koin emas untuk masing-masing. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Karena ukurannya yang besar, notasi tersebut diperkirakan akan dikurangi menjadi 3 * 100 = 300. Faktanya, notasi “tiga kali seratus” berarti Anda perlu mengambil seratus tiga kali lipat dan menambahkan mereka bersama-sama. Perkalian berakar, memperoleh popularitas umum. Tetapi dunia tidak berhenti, dan pada Abad Pertengahan menjadi perlu untuk melakukan penggandaan berulang dari jenis yang sama. Saya ingat teka-teki India kuno tentang seorang bijak yang meminta biji-bijian gandum dalam jumlah berikut sebagai hadiah untuk pekerjaan yang dilakukan: untuk sel pertama papan catur dia meminta satu butir, untuk yang kedua - dua, yang ketiga - empat , kelima - delapan, dan seterusnya. Ini adalah bagaimana perkalian kekuatan pertama muncul, karena jumlah butir sama dengan dua pangkat jumlah sel. Misalnya, pada sel terakhir akan ada 2*2*2*…*2 = 2^63 butir, yang sama dengan angka sepanjang 18 karakter, yang sebenarnya merupakan arti dari teka-teki tersebut.

Operasi menaikkan pangkat berakar cukup cepat, dan juga dengan cepat menjadi perlu untuk melakukan penambahan, pengurangan, pembagian dan perkalian derajat. Yang terakhir ini layak dipertimbangkan secara lebih rinci. Rumus untuk menambahkan kekuatan sederhana dan mudah diingat. Selain itu, sangat mudah untuk memahami dari mana asalnya jika operasi daya diganti dengan perkalian. Tetapi pertama-tama Anda perlu memahami terminologi dasar. Ekspresi a ^ b (dibaca "a pangkat b") berarti bahwa angka a harus dikalikan dengan dirinya sendiri b kali, dan "a" disebut basis derajat, dan "b" adalah eksponen. Jika basis kekuatannya sama, maka rumusnya diturunkan dengan cukup sederhana. Contoh spesifik: temukan nilai ekspresi 2^3 * 2^4. Untuk mengetahui apa yang harus terjadi, Anda harus mencari tahu jawabannya di komputer sebelum memulai solusi. Memasukkan ekspresi ini ke kalkulator online, mesin pencari, mengetik "perkalian pangkat dengan basis berbeda dan sama" atau paket matematika, hasilnya akan menjadi 128. Sekarang mari kita tulis ekspresi ini: 2^3 = 2*2*2, dan 2^4 = 2 *2*2*2. Ternyata 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ternyata hasil kali pangkat dengan basis yang sama sama dengan pangkat yang dipangkatkan sama dengan jumlah dua pangkat sebelumnya.

Anda mungkin berpikir bahwa ini adalah kecelakaan, tetapi tidak: contoh lain hanya dapat mengkonfirmasi aturan ini. Jadi, secara umum, rumusnya terlihat seperti ini: a^n * a^m = a^(n+m) . Ada juga aturan bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan satu. Di sini kita harus mengingat aturan pangkat negatif: a^(-n) = 1 / a^n. Artinya, jika 2^3 = 8, maka 2^(-3) = 1/8. Dengan menggunakan aturan ini, kita dapat membuktikan persamaan a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) dapat dikurangi dan tetap satu. Dari sini, aturan diturunkan bahwa hasil bagi pangkat dengan basis yang sama adalah sama dengan basis ini sampai tingkat yang sama dengan hasil bagi dari dividen dan pembagi: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Contoh: Sederhanakan ekspresi 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Perkalian adalah operasi komutatif, jadi eksponen perkalian harus dijumlahkan terlebih dahulu: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Selanjutnya, Anda harus menangani pembagian dengan derajat negatif. Perlu untuk mengurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ini ternyata operasi pembagian dengan pangkat negatif identik dengan operasi perkalian dengan pangkat positif yang sama. Jadi jawaban akhirnya adalah 8.

Ada contoh di mana terjadi perkalian kekuatan non-kanonik. Mengalikan kekuatan dengan basis yang berbeda seringkali jauh lebih sulit, dan terkadang bahkan tidak mungkin. Beberapa contoh dari berbagai pendekatan yang mungkin harus diberikan. Contoh: sederhanakan ekspresi 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Jelas, ada perkalian pangkat dengan basis yang berbeda. Tetapi, perlu dicatat bahwa semua basis adalah kekuatan yang berbeda dari tiga kali lipat. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Menggunakan aturan (a^n) ^m = a^(n*m) , Anda harus menulis ulang ekspresi dalam bentuk yang lebih nyaman: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Jawaban: 3^11. Dalam kasus di mana terdapat basis yang berbeda, aturan a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n berlaku untuk indikator yang sama. Misalnya, 3^3 * 7^3 = 21^3. Jika tidak, ketika ada basis dan indikator yang berbeda, tidak mungkin untuk membuat perkalian penuh. Terkadang Anda dapat menyederhanakan sebagian atau menggunakan bantuan teknologi komputer.

Jika Anda perlu menaikkan angka tertentu ke pangkat, Anda dapat menggunakan . Sekarang kita akan melihat lebih dekat sifat-sifat kekuasaan.

Bilangan eksponensial membuka kemungkinan besar, mereka memungkinkan kita untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan, dan penjumlahan jauh lebih mudah daripada perkalian.

Misalnya, kita perlu mengalikan 16 dengan 64. Hasil perkalian kedua bilangan ini adalah 1024. Tapi 16 adalah 4x4, dan 64 adalah 4x4x4. Jadi 16 kali 64=4x4x4x4x4 yang juga 1024.

Angka 16 juga dapat direpresentasikan sebagai 2x2x2x2, dan 64 sebagai 2x2x2x2x2x2, dan jika kita mengalikan, kita mendapatkan 1024.

Sekarang mari kita gunakan aturan. 16=4 2 , atau 2 4 , 64=4 3 , atau 2 6 , sedangkan 1024=6 4 =4 5 , atau 2 10 .

Oleh karena itu, masalah kita dapat ditulis dengan cara lain: 4 2 x4 3 =4 5 atau 2 4 x2 6 =2 10, dan setiap kali kita mendapatkan 1024.

Kita dapat memecahkan sejumlah contoh serupa dan melihat bahwa perkalian bilangan dengan pangkat berkurang menjadi penambahan eksponen, atau eksponen, tentu saja, asalkan basis faktornya sama.

Jadi, tanpa mengalikan, kita dapat langsung mengatakan bahwa 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Aturan ini juga berlaku saat membagi angka dengan kekuatan, tetapi dalam kasus ini, e eksponen pembagi dikurangi dari eksponen dividen. Jadi, 2 5:2 3 =2 2 , yang dalam bilangan biasa sama dengan 32:8=4, yaitu 2 2 . Mari kita rangkum:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, di mana m dan n adalah bilangan bulat.

Pada pandangan pertama, mungkin terlihat seperti itu perkalian dan pembagian angka dengan kekuatan sangat tidak nyaman, karena pertama-tama Anda harus merepresentasikan angka dalam bentuk eksponensial. Tidak sulit untuk merepresentasikan angka 8 dan 16 dalam bentuk ini, yaitu 2 3 dan 2 4, tetapi bagaimana melakukannya dengan angka 7 dan 17? Atau apa yang harus dilakukan dalam kasus-kasus ketika angka dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial, tetapi basis ekspresi eksponensial angka sangat berbeda. Misalnya, 8×9 adalah 2 3 x 3 2 , dalam hal ini kita tidak dapat menjumlahkan eksponennya. Baik 2 5 maupun 3 5 bukanlah jawaban, juga bukan jawaban di antara keduanya.

Lalu apakah layak repot dengan metode ini sama sekali? Pasti layak. Ini memberikan keuntungan besar, terutama untuk perhitungan yang rumit dan memakan waktu.

Penambahan dan pengurangan kekuatan

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai dengan itu.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lainnya dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian derajat

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac $. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponen dalam $\frac $ Jawaban: $\frac $.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac$. Jawaban: $\frac $ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

sifat derajat

Kami mengingatkan Anda bahwa dalam pelajaran ini kami memahami sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Derajat dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.

Eksponen dengan eksponen alami memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungan dalam contoh eksponen.

Properti #1
Produk dari kekuatan

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen ditambahkan.

a m a n \u003d a m + n, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Properti kekuasaan ini juga mempengaruhi produk dari tiga kekuasaan atau lebih.

• Sederhanakan ekspresi.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Hadir sebagai gelar.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Hadir sebagai gelar.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan itu hanya tentang mengalikan kekuatan dengan basis yang sama.. Itu tidak berlaku untuk penambahan mereka.

Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5 . Hal ini dapat dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 dan 3 5 = 243

Properti #2
Gelar pribadi

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen.

• Tulis hasil bagi sebagai kekuatan
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 3 = (2b) 2
• Menghitung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Contoh. Memecahkan persamaan. Kami menggunakan properti derajat parsial.
3 8: t = 3 4

Jawaban: t = 3 4 = 81

Menggunakan properti No. 1 dan No. 2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan perhitungan.

Contoh. Sederhanakan ekspresi.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 4m 3 = 4 2m + 5

Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti derajat.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Harap dicatat bahwa properti 2 hanya berurusan dengan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.

Anda tidak dapat mengganti perbedaan (4 3 4 2) dengan 4 1 . Hal ini dapat dimengerti jika Anda menghitung (4 3 4 2) = (64 16) = 48, dan 4 1 = 4

Properti #3
Eksponen

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis daya tetap tidak berubah, dan eksponen dikalikan.

(a n) m \u003d a n m, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan ke pangkat secara lebih rinci di halaman berikutnya.

Cara melipatgandakan kekuatan

Bagaimana cara melipatgandakan kekuatan? Kekuatan mana yang bisa dikalikan dan mana yang tidak? Bagaimana cara mengalikan angka dengan kekuatan?

Dalam aljabar, Anda dapat menemukan hasil kali pangkat dalam dua kasus:

1) jika derajat memiliki dasar yang sama;

2) jika derajat memiliki indikator yang sama.

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis harus tetap sama, dan eksponen harus ditambahkan:

Saat mengalikan derajat dengan indikator yang sama, indikator total dapat diambil dari tanda kurung:

Pertimbangkan bagaimana mengalikan kekuatan, dengan contoh-contoh spesifik.

Satuan dalam eksponen tidak ditulis, tetapi ketika mengalikan derajat, mereka memperhitungkan:

Saat mengalikan, jumlah derajat bisa berapa saja. Harus diingat bahwa Anda tidak dapat menulis tanda perkalian sebelum huruf:

Dalam ekspresi, eksponensial dilakukan terlebih dahulu.

Jika Anda perlu mengalikan angka dengan kekuatan, Anda harus terlebih dahulu melakukan eksponensial, dan baru kemudian - perkalian:

Mengalikan kekuatan dengan basis yang sama

Video tutorial ini tersedia dengan berlangganan

Apakah Anda sudah memiliki langganan? Untuk masuk

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana mengalikan kekuatan dengan basis yang sama. Pertama, kita mengingat kembali definisi derajat dan merumuskan teorema tentang validitas persamaan . Kemudian kami memberikan contoh penerapannya pada angka tertentu dan membuktikannya. Kami juga akan menerapkan teorema untuk memecahkan berbagai masalah.

Topik: Gelar dengan indikator alami dan sifat-sifatnya

Pelajaran: Mengalikan kekuatan dengan basis yang sama (rumus)

1. Definisi dasar

Definisi dasar:

n- eksponen,

— n-kekuatan suatu bilangan.

2. Pernyataan Teorema 1

Teorema 1. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:

Dengan kata lain: jika sebuah- nomor berapa pun; n dan k bilangan asli, maka:

Oleh karena itu aturan 1:

3. Menjelaskan tugas

Kesimpulan: kasus khusus mengkonfirmasi kebenaran Teorema No. 1. Mari kita buktikan dalam kasus umum, yaitu untuk sembarang sebuah dan alami apa pun n dan k.

4. Bukti Teorema 1

Diberi nomor sebuah- setiap; angka n dan k- alami. Membuktikan:

Pembuktian didasarkan pada definisi derajat.

5. Penyelesaian contoh menggunakan Teorema 1

Contoh 1: Hadir sebagai gelar.

Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita menggunakan Teorema 1.

g)

6. Generalisasi Teorema 1

Berikut ini adalah generalisasi:

7. Penyelesaian contoh menggunakan generalisasi Teorema 1

8. Menyelesaikan berbagai masalah menggunakan Teorema 1

Contoh 2: Hitung (Anda dapat menggunakan tabel derajat dasar).

sebuah) (sesuai tabel)

b)

Contoh 3: Tulis sebagai kekuatan dengan basis 2.

sebuah)

Contoh 4: Tentukan tanda bilangan:

, sebuah - negatif karena eksponen pada -13 adalah ganjil.

Contoh 5: Ganti ( ) dengan pangkat dengan basis r:

Kami memiliki , yaitu .

9. Menyimpulkan

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 7. Edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010

1. Asisten Sekolah (Sumber).

1. Nyatakan sebagai gelar:

a B C D E)

3. Tulis sebagai kekuatan dengan basis 2:

4. Tentukan tanda bilangan:

sebuah)

5. Ganti ( ) dengan pangkat suatu bilangan dengan basis r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Perkalian dan pembagian pangkat dengan pangkat yang sama

Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari perkalian kekuatan dengan eksponen yang sama. Pertama, mari mengingat kembali definisi dan teorema dasar tentang perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama dan menaikkan pangkat menjadi pangkat. Kemudian kita merumuskan dan membuktikan teorema perkalian dan pembagian pangkat dengan pangkat yang sama. Dan kemudian dengan bantuan mereka kami akan memecahkan sejumlah masalah khas.

Pengingat definisi dasar dan teorema

Di Sini sebuah- dasar derajat

— n-kekuatan suatu bilangan.

Teorema 1. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, basis tetap tidak berubah.

Teorema 2. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k, seperti yang n > k persamaan itu benar:

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponen dikurangi, dan basis tetap tidak berubah.

Teorema 3. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:

Semua teorema di atas adalah tentang kekuatan dengan yang sama alasan, pelajaran ini akan mempertimbangkan derajat dengan yang sama indikator.

Contoh perkalian pangkat dengan pangkat yang sama

Perhatikan contoh berikut:

Mari kita tuliskan ekspresi untuk menentukan derajat.

Kesimpulan: Dari contoh, Anda dapat melihat bahwa , tapi ini masih perlu dibuktikan. Kami merumuskan teorema dan membuktikannya dalam kasus umum, yaitu, untuk sembarang sebuah dan b dan alami apa pun n.

Pernyataan dan bukti Teorema 4

Untuk nomor berapa pun sebuah dan b dan alami apa pun n persamaan itu benar:

Bukti Teorema 4 .

Menurut definisi gelar:

Jadi kami telah membuktikannya .

Untuk mengalikan pangkat dengan eksponen yang sama, cukup dengan mengalikan basis, dan membiarkan eksponen tidak berubah.

Pernyataan dan bukti Teorema 5

Kami merumuskan teorema untuk membagi kekuatan dengan eksponen yang sama.

Untuk nomor berapa pun sebuah dan b() dan alami apa pun n persamaan itu benar:

Bukti Teorema 5 .

Mari kita tuliskan dan menurut definisi derajat:

Pernyataan teorema dalam kata-kata

Jadi kami telah membuktikannya.

Untuk membagi derajat dengan eksponen yang sama menjadi satu sama lain, cukup membagi satu basis dengan yang lain, dan membiarkan eksponen tidak berubah.

Solusi dari masalah umum menggunakan Teorema 4

Contoh 1: Nyatakan sebagai produk kekuatan.

Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita menggunakan Teorema 4.

Untuk memecahkan contoh berikut, ingat rumus:

Generalisasi Teorema 4

Generalisasi Teorema 4:

Memecahkan Contoh Menggunakan Teorema Umum 4

Melanjutkan pemecahan masalah tipikal

Contoh 2: Tulis sebagai derajat produk.

Contoh 3: Tulis sebagai kekuatan dengan eksponen 2.

Contoh Perhitungan

Contoh 4: Hitung dengan cara yang paling rasional.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Aljabar 7 .M.: Pendidikan. 2006

2. Asisten sekolah (Sumber).

1. Hadir sebagai produk kekuasaan:

sebuah) ; b) ; di) ; G) ;

2. Tuliskan sebagai derajat produk:

3. Tulis dalam bentuk gelar dengan indikator 2 :

4. Hitung dengan cara yang paling rasional.

Pelajaran matematika dengan topik "Perkalian dan pembagian kekuasaan"

Bagian: Matematika

Tujuan pedagogis:

siswa akan belajar untuk membedakan antara sifat perkalian dan pembagian kekuasaan dengan eksponen alami; menerapkan properti ini dalam kasus basis yang sama;

siswa akan memiliki kesempatan mampu melakukan transformasi derajat dengan basis yang berbeda dan mampu melakukan transformasi dalam tugas gabungan.

tugas:

mengatur pekerjaan siswa dengan mengulangi materi yang dipelajari sebelumnya;

memastikan tingkat reproduksi dengan melakukan berbagai jenis latihan;

mengatur penilaian diri siswa melalui tes.

Unit kegiatan doktrin: penentuan derajat dengan indikator alami; komponen derajat; definisi swasta; hukum perkalian asosiatif.

I. Organisasi demonstrasi penguasaan pengetahuan yang ada oleh siswa. (Langkah 1)

a) Memperbarui pengetahuan:

2) Merumuskan definisi derajat dengan indikator alami.

a n \u003d a a a a ... a (n kali)

b k \u003d b b b b a ... b (k kali) Jelaskan jawaban Anda.

II. Organisasi penilaian diri peserta pelatihan dengan tingkat kepemilikan pengalaman yang relevan. (Langkah 2)

Tes untuk pemeriksaan diri: (pekerjaan individu dalam dua versi.)

A1) Nyatakan hasil kali 7 7 7 7 x x x sebagai pangkat:

A2) Nyatakan sebagai produk derajat (-3) 3 x 2

A3) Hitung: -2 3 2 + 4 5 3

Saya memilih jumlah tugas dalam tes sesuai dengan persiapan tingkat kelas.

Untuk tes, saya memberikan kunci untuk self-testing. Kriteria: lulus-gagal.

AKU AKU AKU. Tugas Edukasi dan Praktikum (langkah 3) + langkah 4. (Siswa sendiri yang akan merumuskan sifat-sifatnya)

hitung: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Sederhanakan: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

Dalam proses memecahkan masalah 1) dan 2), siswa mengusulkan solusi, dan saya, sebagai guru, mengatur kelas untuk menemukan cara menyederhanakan pangkat ketika mengalikan dengan basis yang sama.

Guru: temukan cara untuk menyederhanakan kekuatan ketika mengalikan dengan basis yang sama.

Sebuah entri muncul di cluster:

Tema pelajaran dirumuskan. Perkalian kekuatan.

Guru: buatlah aturan untuk membagi derajat dengan basis yang sama.

Penalaran: tindakan apa yang memeriksa divisi? a5: a3 = ? bahwa a 2 a 3 = a 5

Saya kembali ke skema - cluster dan melengkapi entri - ..saat membagi, mengurangi, dan menambahkan topik pelajaran. ...dan pembagian derajat.

IV. Komunikasi kepada siswa tentang batas-batas pengetahuan (minimal dan maksimal).

Guru: tugas minimum untuk pelajaran hari ini adalah mempelajari bagaimana menerapkan sifat-sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, dan maksimum: menerapkan perkalian dan pembagian bersama-sama.

Tulis dipapan : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organisasi studi materi baru. (langkah 5)

a) Menurut buku teks: No. 403 (a, c, e) tugas dengan kata-kata yang berbeda

No 404 (a, e, f) kerja mandiri, lalu saya atur saling cek, saya kasih kuncinya.

b) Berapakah nilai m yang dimiliki persamaan tersebut? a 16 a m \u003d a 32; x t x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Tugas: berikan contoh serupa untuk pembagian.

c) Nomor 417(a), Nomor 418 (a) Perangkap untuk siswa: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Meringkas apa yang telah dipelajari, melakukan pekerjaan diagnostik (yang mendorong siswa, bukan guru, untuk mempelajari topik ini) (langkah 6)

pekerjaan diagnostik.

Uji(letakkan kunci di bagian belakang tes).

Opsi tugas: hadir sebagai gelar hasil bagi x 15: x 3; menyatakan sebagai kekuatan hasil kali (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; dimana m adalah persamaan a 16 a m = a 32 benar; cari nilai dari ekspresi h 0: h 2 dengan h = 0,2; hitunglah nilai dari ekspresi (5 2 5 0) : 5 2 .

Ringkasan pelajaran. Refleksi. Saya membagi kelas menjadi dua kelompok.

Temukan argumen grup I: mendukung pengetahuan tentang properti derajat, dan grup II - argumen yang akan mengatakan bahwa Anda dapat melakukannya tanpa properti. Kami mendengarkan semua jawaban, menarik kesimpulan. Dalam pelajaran berikutnya, Anda dapat menawarkan data statistik dan memberi nama rubrik “Itu tidak cocok di kepala saya!”

Rata-rata orang makan 32 10 2 kg mentimun selama hidup mereka.

Tawon mampu melakukan penerbangan non-stop sejauh 3,2 10 2 km.

Ketika kaca retak, retakan itu merambat dengan kecepatan sekitar 5 10 3 km/jam.

Seekor katak memakan lebih dari 3 ton nyamuk selama hidupnya. Menggunakan derajat, tulis dalam kg.

Yang paling produktif adalah ikan laut - bulan (Mola mola), yang bertelur hingga 300.000.000 telur dengan diameter sekitar 1,3 mm dalam satu kali pemijahan. Tulis nomor ini menggunakan gelar.

VII. Pekerjaan rumah.

Referensi sejarah. Bilangan apa yang disebut bilangan Fermat.

H.19. #403, #408, #417

Buku bekas:

Buku teks "Aljabar-7", penulis Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk dan lain-lain.

Materi didaktik untuk kelas 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Ensiklopedia Matematika.

Jurnal "Kuantum".

Sifat derajat, formulasi, bukti, contoh.

Setelah tingkat angka ditentukan, adalah logis untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini, kami akan memberikan sifat dasar derajat suatu bilangan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini diterapkan saat memecahkan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat derajat dengan indikator alami

Menurut definisi pangkat dengan eksponen alami, pangkat dari n adalah hasil kali dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a . Berdasarkan definisi ini, dan menggunakan sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut: sifat derajat dengan eksponen alami:

sifat utama derajat a m ·a n =a m+n , generalisasinya a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

properti dari kekuatan parsial dengan basis yang sama a m:a n =a m−n ;

properti derajat produk (a b) n =a n b n , ekstensinya (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

properti hasil bagi dalam bentuk (a:b) n =a n:b n ;

eksponen (a m) n =a m n , generalisasinya (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

membandingkan derajat dengan nol:

• jika a>0 , maka a n >0 untuk sembarang n ;
• jika a=0 , maka a n =0 ;
• jika a 2 m >0 , jika a 2 m−1 n ;
• jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka untuk 0m n , dan untuk a>0 pertidaksamaan a m >a n benar.

Kami segera mencatat bahwa semua persamaan tertulis adalah identik di bawah kondisi yang ditentukan, dan bagian kanan dan kirinya dapat dipertukarkan. Misalnya, sifat utama pecahan a m a n = a m + n dengan penyederhanaan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n = a m a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara rinci.

Mari kita mulai dengan sifat perkalian dua pangkat dengan basa yang sama, yang disebut properti utama dari gelar: untuk sembarang bilangan real a dan bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.

Mari kita buktikan sifat utama derajat. Dengan definisi derajat dengan eksponen alami, produk dari kekuatan dengan basis yang sama dari bentuk a m ​​a n dapat ditulis sebagai produk . Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari a dengan eksponen natural m+n , yaitu, a m+n . Ini melengkapi buktinya.

Mari kita berikan contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan kekuatan alami 2 dan 3, sesuai dengan sifat utama derajat, kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Mari kita periksa validitasnya, yang untuknya kita menghitung nilai ekspresi 2 2 ·2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita memiliki 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dan 2 5 =2 2 2 2 2=32 , karena kita mendapatkan nilai yang sama, maka persamaan 2 2 2 3 = 2 5 benar, dan itu menegaskan sifat utama derajat.

Sifat utama suatu derajat berdasarkan sifat perkalian dapat digeneralisasikan ke perkalian tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k bilangan asli n 1 , n 2 , …, n k persamaan a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k benar.

Misalnya, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Anda dapat beralih ke properti derajat berikutnya dengan indikator alami - properti kekuatan parsial dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real tak nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n , persamaan a m:a n =a m−n benar.

Sebelum memberikan bukti properti ini, mari kita bahas arti dari kondisi tambahan dalam pernyataan. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa tidak mungkin membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan sehingga kita tidak melampaui eksponen alami. Memang, untuk m>n, eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka akan menjadi nol (yang terjadi ketika m−n) atau bilangan negatif (yang terjadi ketika m m−n a n =a (m−n) + n = a m Dari persamaan yang diperoleh a m−n a n = a m dan dari hubungan perkalian dengan pembagian maka a m−n adalah pangkat parsial dari a m dan a n Ini membuktikan sifat-sifat pangkat parsial dengan basa yang sama.

Mari kita ambil contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama dan eksponen alami 5 dan 2, properti derajat yang dipertimbangkan sesuai dengan persamaan π 5: 2 = 5−3 = 3.

Sekarang pertimbangkan properti gelar produk: derajat alami n dari hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali derajat a n dan b n , yaitu, (a b) n =a n b n .

Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen alami, kami memiliki . Produk terakhir, berdasarkan sifat-sifat perkalian, dapat ditulis ulang sebagai , yang sama dengan a n b n .

Berikut ini contohnya: .

Properti ini meluas ke tingkat produk dari tiga atau lebih faktor. Yaitu, sifat derajat alamiah n dari hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Untuk kejelasan, kami menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk produk dari tiga faktor pangkat 7, kami memiliki .

Properti berikutnya adalah properti alami: hasil bagi bilangan real a dan b , b≠0 pangkat alami n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n , yaitu, (a:b) n =a n:b n .

Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan properti sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , dan dari persamaan (a:b) n b n =a n maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n ke b n .

Mari kita tulis properti ini menggunakan contoh angka tertentu: .

Sekarang ayo bersuara properti eksponensial: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat a m pangkat n sama dengan pangkat a dengan pangkat m·n , yaitu, (a m) n =a m·n .

Misalnya, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Bukti dari sifat daya dalam suatu derajat adalah rantai persamaan berikut: .

Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat dalam derajat dalam derajat, dan seterusnya. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r, dan s, persamaannya . Untuk lebih jelasnya, mari kita berikan contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

Kami mulai dengan membuktikan properti perbandingan nol dan kekuatan dengan eksponen alami.

Pertama, mari kita membenarkan bahwa a n >0 untuk a>0 .

Hasilkali dua bilangan positif adalah bilangan positif, sebagai berikut dari definisi perkalian. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan menjadi bilangan positif. Dan pangkat dari a dengan eksponen alami n adalah, menurut definisi, produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a derajat dari n adalah bilangan positif. Berdasarkan sifat terbukti 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dan .

Sangat jelas bahwa untuk setiap n natural dengan a=0 derajat n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0 .

Mari kita beralih ke basis negatif.

Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen adalah bilangan genap, nyatakan sebagai 2 m , di mana m adalah bilangan asli. Kemudian . Menurut aturan perkalian bilangan negatif, masing-masing produk dari bentuk a a sama dengan produk modul dari angka a dan a, yang berarti bahwa itu adalah bilangan positif. Karena itu, produknya juga akan positif. dan derajat a 2 m . Berikut adalah contohnya: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

Akhirnya, ketika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua produk a·a adalah bilangan positif, produk dari bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Berdasarkan sifat ini, (−5) 3 17 n n adalah hasil kali bagian kiri dan kanan dari n pertidaksamaan sejati a sifat pertidaksamaan, pertidaksamaan yang dibuktikan berbentuk a n n . Misalnya, karena sifat ini, pertidaksamaan 3 7 7 dan .

Tetap membuktikan yang terakhir dari sifat-sifat kekuatan yang terdaftar dengan eksponen alami. Mari kita merumuskannya. Dari dua derajat dengan indikator alami dan basis positif yang sama kurang dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih besar. Kami beralih ke bukti properti ini.

Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan 0m n . Untuk melakukan ini, kami menulis perbedaan a m a n dan membandingkannya dengan nol. Selisih yang ditulis setelah mengeluarkan n dari kurung akan berbentuk a n ·(a m−n 1) . Produk yang dihasilkan adalah negatif sebagai produk dari bilangan positif a n dan bilangan negatif a m−n −1 (a n positif sebagai pangkat alami dari bilangan positif, dan perbedaan a m−n 1 adalah negatif, karena m−n >0 karena kondisi awal m>n , maka untuk 0m−n kurang dari satu). Oleh karena itu, a m a n m n , yang harus dibuktikan. Misalnya, kami memberikan pertidaksamaan yang benar.

Tetap membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1, a m >a n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari kurung membentuk a n ·(a m−n 1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n 1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 karena kondisi awal, dan untuk a>1, derajat m−n lebih besar dari satu . Oleh karena itu, a m a n >0 dan a m >a n , yang harus dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan oleh pertidaksamaan 3 7 >3 2 .

Sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat-sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan dalam paragraf sebelumnya.

Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami yang dinyatakan oleh persamaan tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku baik untuk pangkat nol dan pangkat negatif, sementara, tentu saja, basis derajatnya bukan nol.

Jadi, untuk setiap bilangan real dan bukan-nol a dan b, serta setiap bilangan bulat m dan n, berikut ini adalah benar sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a n n dan a−n>b−n ;
• jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka untuk 0m n , dan untuk a>1, pertidaksamaan a m >a n terpenuhi.

Untuk a=0, pangkat a m dan a n masuk akal hanya jika m dan n keduanya bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus-kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Tidak sulit untuk membuktikan masing-masing sifat ini, untuk ini cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat nonpositif. Untuk melakukan ini, kita perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaan (a p) q =a p q , (a p) q =a (−p) q , (a p ) q =a p (−q) dan (a −p) q =a (−p) (−q) . Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan pada subbab sebelumnya. Jika p=0 , maka kita memiliki (a 0) q =1 q =1 dan a 0 q =a 0 =1 , dari mana (a 0) q =a 0 q . Demikian pula, jika q=0 , maka (a p) 0 =1 dan a p 0 =a 0 =1 , dari mana (a p) 0 =a p 0 . Jika p=0 dan q=0 , maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0 0 =a 0 =1 , dari mana (a 0) 0 =a 0 0 .

Mari kita buktikan bahwa (a p) q =a (−p) q . Dengan definisi derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif , maka . Dengan sifat hasil bagi dalam derajat, kita memiliki . Sejak 1 p=1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dari bentuk a (p q) , yang, berdasarkan aturan perkalian, dapat ditulis sebagai (−p) q .

Demikian pula .

Dan .

Dengan prinsip yang sama, seseorang dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Dalam kedua dari belakang dari sifat-sifat yang ditulis, ada baiknya memikirkan bukti ketidaksetaraan a n >b n , yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat negatif n dan setiap positif a dan b yang syaratnya a . Kami menulis dan mengubah perbedaan antara bagian kiri dan kanan pertidaksamaan ini: . Karena dengan syarat a n n , oleh karena itu, b n a n >0 . Hasil kali a n ·b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Kemudian pecahan yang dihasilkan positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n a n dan a n b n . Oleh karena itu, dari mana a n >b n , yang harus dibuktikan.

Properti terakhir derajat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti properti analog derajat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat untuk itu. Dengan kata lain, derajat dengan pangkat pecahan memiliki sifat yang sama dengan derajat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

1. properti dari produk kekuatan dengan basis yang sama untuk a>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 ;
2. milik kekuatan parsial dengan basis yang sama untuk a>0 ;
3. properti produk pecahan untuk a>0 dan b>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 dan (atau) b≥0 ;
4. properti hasil bagi ke kekuatan fraksional untuk a>0 dan b>0 , dan jika , maka untuk a≥0 dan b>0 ;
5. gelar properti dalam derajat untuk a>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 ;
6. properti membandingkan kekuatan dengan eksponen rasional yang sama: untuk setiap bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p ;
7. sifat membandingkan pangkat dengan eksponen rasional dan basis yang sama: untuk bilangan rasional p dan q, p>q untuk 0p q, dan untuk a>0, pertidaksamaan a p >a q .

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan pangkat pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan pangkat pecahan, pada sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n, dan pada sifat-sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita beri bukti.

Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita untuk menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan properti derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita memperoleh , dimana, dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita memiliki , dan pangkat yang diperoleh dapat dikonversikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua dari pangkat dengan pangkat pecahan dibuktikan dengan cara yang persis sama:


Persamaan lainnya dibuktikan dengan prinsip serupa:


Kami beralih ke bukti properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk setiap positif a dan b , a 0 ketidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p . Kami menulis bilangan rasional p sebagai m/n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Kondisi p 0 dalam hal ini akan setara dengan kondisi m 0, masing-masing. Untuk m>0 dan am m . Dari pertidaksamaan ini, dengan sifat akar, kita memiliki , dan karena a dan b adalah bilangan positif, maka, berdasarkan definisi derajat dengan eksponen pecahan, pertidaksamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai , yaitu, a p p .

Demikian pula, ketika m m >b m , dari mana , yaitu, dan a p >b p .

Tetap membuktikan yang terakhir dari properti yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p>q untuk 0p q , dan untuk a>0 pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mengurangi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, mari kita dapatkan pecahan biasa dan , di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, yang mengikuti aturan untuk membandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang sama. Kemudian, dengan sifat membandingkan pangkat dengan basis dan eksponen natural yang sama, untuk 0m 1 m 2 , dan untuk a>1, pertidaksamaan a m 1 >a m 2 . Pertidaksamaan ini dalam hal sifat-sifat akar dapat ditulis ulang, masing-masing, sebagai dan . Dan definisi gelar dengan eksponen rasional memungkinkan kita untuk melewati ketidaksetaraan dan, masing-masing. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0p q , dan untuk a>0, pertidaksamaan a p >a q .

Sifat derajat dengan eksponen irasional

Dari bagaimana derajat dengan eksponen irasional didefinisikan, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk setiap a>0 , b>0 dan bilangan irasional p dan q berikut ini benar: sifat derajat dengan eksponen irasional:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. untuk sembarang bilangan positif a dan b , a 0 pertidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p ;
7. untuk bilangan irasional p dan q , p>q untuk 0p q , dan untuk a>0 pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan eksponen nyata p dan q untuk a>0 memiliki sifat yang sama.

• Aljabar - kelas 10. Persamaan trigonometri Pelajaran dan presentasi tentang topik: "Solusi persamaan trigonometri paling sederhana" Materi tambahan Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran! Semua bahan […]
• Sebuah kompetisi untuk posisi "SELLER - CONSULTANT" telah dibuka: Tanggung jawab: penjualan ponsel dan aksesori untuk layanan komunikasi seluler untuk koneksi pelanggan Beeline, Tele2, MTS dari paket tarif dan layanan Beeline dan Tele2, MTS [...]
• Sebuah paralelepiped dari rumus Sebuah paralelepiped adalah polihedron dengan 6 wajah, yang masing-masing adalah jajaran genjang. Balok adalah balok yang setiap mukanya berbentuk persegi panjang. Setiap paralelepiped ditandai oleh 3 […]
• Ejaan DAN DI BAGIAN BERBEDA Pidato 2. Sebutkan pengecualian untuk aturan ini. 3. Bagaimana membedakan kata sifat verbal dengan akhiran -n- dari participle dengan [...]
• PEMERIKSAAN GOSTEKHNADZOR WILAYAH BRYANSK Kwitansi pembayaran bea negara (Unduh-12.2 kb) Permohonan pendaftaran untuk perorangan (Unduh-12 kb) Permohonan pendaftaran badan hukum (Unduh-11.4 kb) 1. Saat mendaftarkan mobil baru : 1.aplikasi 2.paspor […]
• Masyarakat untuk Perlindungan Hak Konsumen Astana Untuk mendapatkan kode pin untuk mengakses dokumen ini di situs web kami, kirim pesan SMS dengan teks zan ke nomor Pelanggan operator GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) dengan mengirim SMS ke kamar, […]
• Mengadopsi undang-undang tentang wisma keluarga Mengadopsi undang-undang federal tentang alokasi serampangan untuk setiap warga negara yang bersedia Federasi Rusia atau keluarga warga sebidang tanah untuk mengatur Rumah Kerabat di atasnya dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Tanah itu dialokasikan untuk […]
• Pivoev V.M. Filsafat dan metodologi sains: buku teks untuk mahasiswa magister dan pascasarjana Petrozavodsk: Publishing House of PetrSU, 2013. - 320 hlm. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb [...]

Pelajaran tentang topik: "Aturan untuk mengalikan dan membagi pangkat dengan eksponen yang sama dan berbeda. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 7
Manual untuk buku teks Yu.N. Makarycheva Manual untuk buku teks A.G. Mordkovich

Tujuan pelajaran: belajar bagaimana melakukan operasi dengan kekuatan angka.

Untuk memulainya, mari kita mengingat kembali konsep "kekuatan sebuah angka". Ekspresi seperti $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ dapat direpresentasikan sebagai $a^n$.

Kebalikannya juga benar: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Kesetaraan ini disebut "pencatatan derajat sebagai produk". Ini akan membantu kita menentukan bagaimana mengalikan dan membagi kekuatan.
Ingat:
sebuah- dasar derajat.
n- eksponen.
Jika sebuah n=1, yang berarti bilangan sebuah diambil sekali dan berturut-turut: $a^n= 1$.
Jika sebuah n=0, lalu $a^0= 1$.

Mengapa ini terjadi, kita dapat mengetahuinya ketika kita berkenalan dengan aturan untuk mengalikan dan membagi kekuatan.

aturan perkalian

a) Jika pangkat dengan basis yang sama dikalikan.
Untuk $a^n * a^m$, kita menulis pangkat sebagai produk: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Angka tersebut menunjukkan bahwa nomor sebuah telah diambil n+m kali, maka $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Properti ini nyaman digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan saat menaikkan angka ke kekuatan besar.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jika pangkat dikalikan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponennya sama.
Untuk $a^n * b^n$, kita menulis pangkat sebagai produk: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Jika kita menukar faktor dan menghitung pasangan yang dihasilkan, kita mendapatkan: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

aturan pembagian

a) Basis derajatnya sama, pangkatnya berbeda.
Pertimbangkan untuk membagi derajat dengan eksponen yang lebih besar dengan membagi derajat dengan eksponen yang lebih kecil.

Jadi, itu perlu $\frac(a^n)(a^m)$, di mana n>m.

Kami menulis derajat sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Untuk memudahkan, kami menulis pembagian sebagai pecahan sederhana.

Sekarang mari kita kurangi pecahannya.

Ternyata: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Cara, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Properti ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan angka ke pangkat nol. Mari kita asumsikan bahwa n=m, lalu $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Contoh.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Dasar derajatnya berbeda, indikatornya sama.
Katakanlah Anda membutuhkan $\frac(a^n)( b^n)$. Kami menulis kekuatan angka sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Mari kita bayangkan untuk kenyamanan.

Menggunakan properti pecahan, kami membagi pecahan besar menjadi produk kecil, kami dapatkan.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Dengan demikian: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Contoh.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Tingkat pertama

Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.

Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah operasi matematika yang sama seperti penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat sederhana. Perhatian. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Ulang.

Dan satu lagi, yang lebih cantik:

Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.

Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sebuah pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari Anda". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().

Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa meter demi meter kubus yang akan masuk ke kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Maka! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:

Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.

Berikut gambar untuk Anda pastikan.

Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan indikator "" dibaca sebagai "dalam derajat" dan ditulis sebagai berikut:

Kekuatan angka dengan eksponen alami

Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?

Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?

Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).

1. Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:

Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Properti gelar

Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat apa itu dan ?

Prioritas-A:

Berapa banyak pengganda yang ada secara total?

Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Keputusan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Keputusan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu pasti alasannya sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. yaitu -kekuatan suatu bilangan

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total:

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi itu tidak benar, sungguh.

Gelar dengan basis negatif

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus menjadi dasar?

Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh latihan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.

Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Istilah-istilah itu secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.

bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:

Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:

Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:

Mari kita ulangi aturannya:

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.

Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:

Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:

Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.

II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif: .

Tugas untuk solusi independen:

Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:

Analisis tugas untuk solusi independen:

Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Selesaikan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar cara mengatasinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita lanjutkan untuk memperluas lingkaran angka yang "cocok" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:

Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.

Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .

Ternyata itu. Jelas, kasus khusus ini dapat diperpanjang: .

Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.

Tidak ada!

Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!

Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan ke pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresi?

Tapi di sini muncul masalah.

Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.

Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh latihan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali yang rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.

Misalnya, gelar dengan indikator alami adalah angka yang dikalikan beberapa kali dengan dirinya sendiri;

...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;

...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:

Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkanmu pada sesuatu? Kami mengingat rumus untuk perkalian singkat dari selisih kuadrat:

PADA kasus ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUT

definisi derajat

Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:

• — dasar derajat;
• - eksponen.

Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:

Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

pemasangan ke kekuatan nol:

Ekspresi tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena tidak mungkin untuk membagi).

Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Derajat dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Properti gelar

Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

Prioritas-A:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Keputusan : .

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Keputusan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus memiliki dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!

Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita atur ulang seperti ini:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.

Kekuasaan dengan basis negatif.

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .

Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya positif atau negatif? TETAPI? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:

1. bahkan derajat, - nomor positif.
2. Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
3. Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
4. Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti bahwa basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:

Sebelum menganalisis aturan terakhir, mari selesaikan beberapa contoh.

Hitung nilai ekspresi:

Solusi :

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat!

Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika dibalik, aturan 3 bisa diterapkan, tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Jika Anda mengalikannya, tidak ada yang berubah, kan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:

Istilah-istilah itu secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, gelar dengan indikator alami adalah angka yang dikalikan beberapa kali dengan dirinya sendiri; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan bilangan bulat negatif - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka itu tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (sama seperti sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang telah dibuat oleh ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.

Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita dapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR

Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Derajat dengan eksponen rasional

derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.

Properti gelar

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
• Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
• Nol sama dengan kekuatan apa pun.
• Setiap angka pangkat nol adalah sama.

SEKARANG ANDA PUNYA KATA...

Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dengan ujian Anda!