Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :)

Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum mengetahui apa itu perkembangan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti itu: SANGAT!) ingin mengetahuinya. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari elemen sebelumnya dengan nomor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar-akarnya sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak ada habisnya. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke, oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;
2. menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
3. Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner dari angka-angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan\)\]

Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya dalam berbagai macam buku referensi dan buku solusi. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; −2)

Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, formula kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.

Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Properti sederhana namun sangat berguna yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat solusi banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:

Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu berapa lama (yaitu sampai berapa bilangan asli $n$) suku-suku negatif tersebut tetap ada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), sehingga bilangan terbesar yang diperbolehkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .

Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari sifat lain yang sangat berguna dari perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama

Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita mengingat rumus berulang dan menuliskannya untuk semua suku yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi kenapa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar

Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu barisan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen-elemen tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: −3; 2.

Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian suatu masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi merupakan perkembangan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, ketika memecahkan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya yang juga perlu diingat:

Jika tiga bilangan sedemikian rupa sehingga bilangan kedua merupakan rata-rata aritmatika dari bilangan pertama dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” kemajuan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.

Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen

Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:

Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang jauh lebih tinggi daripada masalah yang kita bahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil total pengali 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean aritmatika dari bilangan −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan itu, produk yang dibutuhkan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diwajibkan dari kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: −36

Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah “tengah” barisan kita - jaraknya sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan kalau dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan berakhirnya perkembangan. Mari kita ingat mean aritmatika:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya

Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas No.10. Di antara angka-angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Masalah yang lebih kompleks, yang, bagaimanapun, diselesaikan sesuai dengan skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan kemajuan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?

Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

instruksi

Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas bahwa umum dari suku ke-n sembarang dari aritmatika kemajuan mempunyai bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggotanya kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, Anda bisa, yaitu jumlah anggota kemajuan. Tentunya akan ditentukan dengan rumus n = (An-A1+d)/d.

Biarkan sekarang istilah ke-bulan diketahui kemajuan dan anggota lainnya kemajuan- ke-n, tetapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak berhimpitan kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.

Jika jumlah beberapa elemen persamaan aritmatika diketahui kemajuan, serta yang pertama dan terakhir, maka banyaknya unsur-unsur tersebut juga dapat ditentukan. kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) - chdenov kemajuan. Dengan menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang menjadi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari sini kita dapat menyatakan n dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Barisan aritmatika adalah himpunan bilangan terurut, yang masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama. Nilai konstanta ini disebut selisih barisan atau langkahnya dan dapat dihitung dari suku-suku barisan aritmatika yang diketahui.

instruksi

Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku berdekatan lainnya diketahui dari kondisi soal, untuk menghitung selisih (d) cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa angka positif atau negatif - bergantung pada apakah perkembangannya meningkat. Dalam bentuk umum, tulislah penyelesaian pasangan sembarang (aᵢ dan aᵢ₊₁) suku-suku tetangga dari barisan tersebut sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang suku dari suatu barisan, salah satunya adalah suku pertama (a₁), dan suku lainnya adalah suku lain yang dipilih secara sembarang, rumus untuk mencari selisih (d) juga dapat dibuat. Namun, dalam kasus ini, nomor seri (i) dari anggota barisan yang dipilih secara sembarang harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua angka dan bagi hasilnya dengan bilangan urut suku sembarang dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus ini sebagai berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, selain suku sembarang suatu barisan aritmatika dengan bilangan urut i, diketahui suku lain dengan bilangan urut u, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) barisan tersebut adalah jumlah kedua suku tersebut dibagi selisih bilangan urutnya: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi lebih rumit jika kondisi soal memberikan nilai suku pertama (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari suatu bilangan (i) suku pertama barisan aritmatika. Untuk memperoleh nilai yang diinginkan, bagilah jumlah tersebut dengan banyaknya suku yang menyusunnya, kurangi nilai bilangan pertama barisan tersebut, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan banyaknya suku yang jumlahnya dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Tingkat pertama

Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa menentukan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" berasal dari teori proporsi kontinu yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing sukunya sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan perkembangan aritmatika.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar-benar tepat. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

• suku perkembangan sebelumnya adalah:
• suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berurutan yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru, yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menugaskan tugas berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan lebih dekat angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.


Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar pada masa itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.


Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
3. Saat menyimpan log, logger menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.

2. Angka ganjil pertama, angka terakhir.
   Perbedaan perkembangan aritmatika.
   Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:

   Angka memang mengandung angka ganjil.
   Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
   Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

1. - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
2. Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
3. Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
4. Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. LEVEL RATA-RATA

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa banyak total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan dia tempuh dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh perjalanan km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga sebuah lemari es setiap tahunnya jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian lemari es tersebut dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan: , harus ditemukan.
   Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Gantikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Ini sangat sederhana:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Dimana jumlah nilainya.

Masalah perkembangan aritmatika sudah ada pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut solusi karena mempunyai kebutuhan praktis.

Dengan demikian, salah satu papirus Mesir Kuno yang mempunyai kandungan matematika, yaitu papirus Rhind (abad ke-19 SM), memuat tugas sebagai berikut: membagi sepuluh takaran roti kepada sepuluh orang, dengan syarat selisih masing-masingnya adalah seperdelapan dari ukuran."

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno terdapat teorema elegan yang berkaitan dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Hypsicles dari Alexandria (abad ke-2, yang mengumpulkan banyak masalah menarik dan menambahkan buku keempat belas ke dalam Euclid's Elements), merumuskan gagasan: “Dalam barisan aritmatika yang memiliki jumlah suku genap, jumlah suku-suku pada babak ke-2 lebih besar dari jumlah suku ke-1 pada kuadrat 1/ 2 banyaknya anggota."

Barisan tersebut dilambangkan dengan an. Bilangan-bilangan suatu barisan disebut anggota-anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota tersebut (a1, a2, a3 ... dibaca: “a ke-1”, “a ke-2”, “a ke-3” dan seterusnya ).

Urutannya bisa tidak terbatas atau terbatas.

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika? Yang kami maksud adalah suku yang diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan bilangan d yang sama, yaitu selisih perkembangannya.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan ini dianggap meningkat.

Suatu barisan aritmatika disebut berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. Dengan jumlah anggota yang sangat banyak, hal ini sudah merupakan perkembangan yang tidak ada habisnya.

Setiap perkembangan aritmatika ditentukan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah beberapa bilangan.

Pernyataan sebaliknya benar sekali: jika suatu barisan diberikan dengan rumus yang sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika yang mempunyai sifat-sifat:

1. Setiap suku suatu barisan adalah rata-rata aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya.
2. Kebalikan: jika, mulai dari suku ke-2, setiap suku merupakan mean aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya, yaitu. jika syaratnya terpenuhi, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. Kesetaraan ini juga merupakan tanda kemajuan, oleh karena itu sering disebut sebagai sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini juga benar: suatu barisan adalah barisan aritmatika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu suku barisan tersebut, dimulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik empat bilangan suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan barisan).

Dalam barisan aritmatika, suku-suku penting (ke-N) dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Contoh: suku pertama (a1) pada suatu barisan aritmatika diberikan sama dengan tiga, dan selisihnya (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari suku keempat puluh lima dari perkembangan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan Anda menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika melalui suku ke-k mana pun, asalkan diketahui.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika (artinya n suku pertama suatu barisan berhingga) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain yang cocok untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah barisan aritmatika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pemilihan rumus perhitungan tergantung pada kondisi soal dan data awal.

Deret natural bilangan apa pun, seperti 1,2,3,...,n,..., adalah contoh barisan aritmatika yang paling sederhana.

Selain barisan aritmatika, ada pula barisan geometri yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Atau aritmatika adalah jenis barisan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika.

Kemajuan macam apa ini?

Sebelum melanjutkan ke pertanyaan (bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika), ada baiknya memahami apa yang sedang kita bicarakan.

Setiap barisan bilangan real yang diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangi) suatu nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut barisan aljabar (aritmatika). Definisi ini jika diterjemahkan ke dalam bahasa matematika berbentuk:

Disini i adalah nomor urut elemen baris a i. Jadi, dengan mengetahui hanya satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut selisih perkembangan.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk rangkaian bilangan yang dipertimbangkan, persamaan berikut berlaku:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Artinya, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, selisih d harus dijumlahkan dengan elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.

Berapa jumlah barisan aritmatika: rumus

Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan kasus khusus sederhana. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena hanya ada sedikit suku dalam barisan (10), maka masalah dapat diselesaikan secara langsung, yaitu dengan menjumlahkan semua elemen secara berurutan.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Satu hal yang menarik perlu dipertimbangkan: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan suku pertama dengan suku kesepuluh, suku kedua dengan suku kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. Benar-benar:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, yaitu tepat dua kali lebih kecil dari jumlah elemen deret tersebut. Kemudian mengalikan banyaknya penjumlahan (5) dengan hasil setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.

Jika kita menggeneralisasi argumen-argumen ini, kita dapat menulis ekspresi berikut:

S n = n * (a 1 + an) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahwa tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup mengetahui nilai a 1 pertama dan an terakhir, serta jumlah suku n.

Dipercaya bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang diberikan oleh guru sekolahnya: jumlahkan 100 bilangan bulat pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: rumus

Rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika (elemen pertama), namun seringkali dalam soal perlu menjumlahkan serangkaian angka di tengah barisan tersebut. Bagaimana cara melakukannya?

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan memperhatikan contoh berikut: misalkan kita perlu mencari jumlah suku dari ke-m sampai ke-n. Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda harus menyajikan segmen tertentu dari m ke n perkembangannya dalam bentuk deret bilangan baru. Dalam representasi ini, suku ke-m a m akan menjadi suku pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, dengan menerapkan rumus standar untuk penjumlahan, diperoleh ekspresi berikut:

S m n = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Contoh penggunaan rumus

Mengetahui cara mencari jumlah suatu barisan aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.

Di bawah ini adalah barisan numerik, Anda harus mencari jumlah suku-sukunya, dimulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:

Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi elemen ke-n, Anda dapat mencari nilai suku ke-5 dan ke-12 dari perkembangan tersebut. Ternyata:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Mengetahui nilai-nilai bilangan pada ujung-ujung barisan aljabar yang ditinjau, serta mengetahui bilangan-bilangan dalam deret yang ditempatinya, Anda dapat menggunakan rumus jumlah yang diperoleh pada paragraf sebelumnya. Ternyata:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Perlu diperhatikan bahwa nilai ini dapat diperoleh dengan cara yang berbeda: pertama carilah jumlah 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah kedua dari jumlah pertama.