Vida kamu= f(x), x HAI N, di mana N adalah himpunan bilangan asli (atau fungsi dari argumen alami), dilambangkan kamu=f(n) atau kamu 1 ,kamu 2 ,…, y n,…. Nilai kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3 ,… disebut masing-masing yang pertama, kedua, ketiga, ... anggota urutan.

Misalnya untuk fungsi kamu= n 2 dapat ditulis:

kamu 1 = 1 2 = 1;

kamu 2 = 2 2 = 4;

kamu 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode untuk mengatur urutan. Urutan dapat ditentukan dengan berbagai cara, di antaranya tiga yang sangat penting: analitis, deskriptif, dan berulang.

1. Suatu barisan diberikan secara analitik jika rumusnya diberikan n-anggota:

y n=f(n).

Contoh. y n= 2n- 1 – urutan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Deskriptif cara untuk menentukan urutan numerik adalah menjelaskan dari elemen apa urutan itu dibangun.

Contoh 1. "Semua anggota barisan sama dengan 1." Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

Contoh 2. "Urutan itu terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik." Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

3. Cara berulang untuk menentukan urutan adalah bahwa aturan ditunjukkan yang memungkinkan seseorang untuk menghitung n-anggota urutan, jika anggota sebelumnya diketahui. Nama metode berulang berasal dari kata Latin berulang- kembali. Paling sering, dalam kasus seperti itu, formula ditunjukkan yang memungkinkan ekspresi n anggota urutan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1-2 anggota awal dari urutan.

Contoh 1 kamu 1 = 3; y n = y n-1 + 4 jika n = 2, 3, 4,….

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

Dapat dilihat bahwa urutan yang diperoleh dalam contoh ini juga dapat ditentukan secara analitik: y n= 4n- 1.

Contoh 2 kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 jika n = 3, 4,….

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Urutan yang disusun dalam contoh ini dipelajari secara khusus dalam matematika karena memiliki sejumlah sifat dan aplikasi yang menarik. Ini disebut deret Fibonacci - setelah matematikawan Italia abad ke-13. Mendefinisikan barisan Fibonacci secara rekursif sangat mudah, tetapi secara analitis sangat sulit. n Bilangan Fibonacci ke-th dinyatakan dalam bilangan ordinalnya dengan rumus berikut.

Sekilas, rumus untuk n Bilangan Fibonacci tampaknya tidak masuk akal, karena rumus yang menentukan barisan bilangan asli saja mengandung akar kuadrat, tetapi Anda dapat memeriksa "secara manual" validitas rumus ini untuk beberapa bilangan pertama n.

Sifat-sifat barisan numerik.

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, sehingga sejumlah sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk barisan.

Definisi . Selanjutnya ( y n} Disebut meningkat jika masing-masing sukunya (kecuali yang pertama) lebih besar dari yang sebelumnya:

kamu 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definisi.Urutan ( y n} disebut menurun jika setiap sukunya (kecuali yang pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya:

kamu 1 > kamu 2 > kamu 3 > … > y n> y n +1 > … .

Urutan naik dan turun disatukan oleh istilah umum - urutan monoton.

Contoh 1 kamu 1 = 1; y n= n 2 adalah barisan yang meningkat.

Jadi, teorema berikut ini benar (sifat karakteristik dari deret aritmatika). Barisan numerik adalah aritmatika jika dan hanya jika masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama (dan terakhir dalam kasus barisan hingga), sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan berikutnya.

Contoh. Berapa nilainya? x nomor 3 x + 2, 5x– 4 dan 11 x+ 12 membentuk deret aritmatika berhingga?

Menurut properti karakteristik, ekspresi yang diberikan harus memenuhi relasi

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Memecahkan persamaan ini memberikan x= –5,5. Dengan nilai ini x ekspresi yang diberikan 3 x + 2, 5x– 4 dan 11 x+ 12 mengambil, masing-masing, nilai -14,5, –31,5, –48,5. Ini adalah deret aritmatika, perbedaannya adalah -17.

Kemajuan geometris.

Barisan numerik, yang semua anggotanya bukan nol dan setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, diperoleh dari anggota sebelumnya dengan mengalikan dengan angka yang sama q, disebut deret geometri, dan bilangan q- penyebut deret geometri.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan ( b n) diberikan secara rekursif oleh relasi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b dan q- nomor yang diberikan, b ≠ 0, q ≠ 0).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... - peningkatan deret geometri b = 2, q = 3.

Contoh 2. 2, -2, 2, -2, ... – deret geometri b= 2,q= –1.

Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … – deret geometri b= 8, q= 1.

Deret geometri adalah barisan naik jika b 1 > 0, q> 1, dan menurun jika b 1 > 0, 0 q

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan bujur sangkar, mis.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… adalah barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan b 1 2 , dan penyebutnya adalah q 2 .

Rumus n- suku ke-empat suatu barisan geometri berbentuk

b n= b 1 q n– 1 .

Anda bisa mendapatkan rumus untuk jumlah suku deret geometri berhingga.

Biarkan ada deret geometri berhingga

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

membiarkan S n - jumlah anggotanya, yaitu

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Diterima bahwa q No. 1. Untuk menentukan S n trik buatan diterapkan: beberapa transformasi geometris dari ekspresi dilakukan S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Lewat sini, S n q= S n +b n q – b 1 dan karenanya

Ini adalah rumus dengan umma n anggota deret geometri untuk kasus ketika q≠ 1.

Pada q= 1 rumus tidak dapat diturunkan secara terpisah, jelas bahwa dalam kasus ini S n= sebuah 1 n.

Dinamakan barisan geometri karena di dalamnya setiap suku kecuali suku pertama sama dengan rata-rata geometris suku sebelumnya dan suku berikutnya. Memang, sejak

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

Akibatnya, b n 2= b n– 1 bn+ 1 dan teorema berikut ini benar (sifat karakteristik deret geometri):

barisan numerik adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kasus barisan hingga), sama dengan produk dari suku sebelumnya dan berikutnya.

Batas urutan.

Biarkan ada urutan ( c n} = {1/n}. Urutan ini disebut harmonik, karena masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, adalah rata-rata harmonik antara anggota sebelumnya dan berikutnya. Rata-rata geometris angka sebuah dan b ada nomor

Jika tidak, barisan tersebut disebut divergen.

Berdasarkan definisi ini, seseorang dapat, misalnya, membuktikan keberadaan limit A=0 untuk barisan harmonik ( c n} = {1/n). Biarkan menjadi bilangan positif kecil sewenang-wenang. Kami mempertimbangkan perbedaannya

Apakah ada seperti itu? N itu untuk semua orang tidak N ketidaksetaraan 1 /N? Jika diambil sebagai N bilangan asli apa pun yang lebih besar dari 1/ε , maka untuk semua n N ketidaksetaraan 1 /n 1/N , Q.E.D.

Terkadang sangat sulit untuk membuktikan keberadaan limit untuk barisan tertentu. Urutan yang paling umum dipelajari dengan baik dan terdaftar dalam buku referensi. Ada teorema penting yang memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa barisan yang diberikan memiliki limit (dan bahkan menghitungnya) berdasarkan barisan yang sudah dipelajari.

Teorema 1. Jika suatu barisan memiliki limit, maka barisan tersebut terbatas.

Teorema 2. Jika suatu barisan monoton dan terbatas, maka barisan tersebut memiliki limit.

Teorema 3. Jika barisan ( sebuah} memiliki batas SEBUAH, maka barisan ( bisa}, {sebuah+ c) dan (| sebuah|} memiliki batas cA, SEBUAH +c, |SEBUAH| masing-masing (di sini c adalah bilangan arbitrer).

Teorema 4. Jika barisan ( sebuah} dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan SEBUAH dan B panci + qb n) memiliki batas pA+ qB.

Teorema 5. Jika barisan ( sebuah) dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan SEBUAH dan B berturut-turut, maka barisan ( a n b n) memiliki batas AB.

Teorema 6. Jika barisan ( sebuah} dan ( b n) memiliki limit yang sama dengan SEBUAH dan B masing-masing, dan sebagai tambahan b n 0 dan B≠ 0, maka barisan ( a n / b n) memiliki batas A/B.

Anna Chugainova

Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.

Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama dari urutan;

Elemen kelima dari urutan;

- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:

Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukan manajemen waktu pribadi, dan untuk memulainya, menghitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:

Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.

2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung sebagai rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.

Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan dengan bilangan n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.

Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.

Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; 5; delapan; sebelas;...

Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.

Misalnya, 2; -satu; -empat; -7;...

Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Properti utama dari deret aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihat itu

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

.

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:

Apalagi karena

, dan pada saat yang sama

, kemudian

, dan karenanya

Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

rumus anggota ke.

Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.

Jumlah n anggota barisan aritmatika.

Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .

Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita pasangkan:

Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n anggota barisan aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan oleh rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.

Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.

2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku dari deret tersebut.

b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.

sebuah) Kami melihat bahwa ;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , itu sebabnya

Kita mendapatkan:

b) Misalkan angka 41 adalah anggota barisan. Mari kita temukan nomornya. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan:

Kami mendapat nilai alami n, oleh karena itu, ya, angka 41 adalah anggota dari perkembangan. Jika nilai n yang ditemukan bukan bilangan asli, maka kita akan menjawab bahwa bilangan 41 BUKAN anggota deret.

3 . a) Di antara angka 2 dan 8, sisipkan 4 angka sehingga, bersama dengan angka yang diberikan, membentuk barisan aritmatika.

b) Tentukan jumlah suku dari deret yang dihasilkan.

sebuah) Mari kita masukkan empat angka di antara angka 2 dan 8:

Kami mendapat kemajuan aritmatika, di mana ada 6 anggota.

Mari kita temukan perbedaan dari progresi ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n:

Sekarang mudah untuk menemukan nilai angka:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Jawaban: a) ya; b) 30

4. Truk tersebut mengangkut sejumlah batu pecah seberat 240 ton, setiap hari meningkatkan tingkat transportasi dengan jumlah ton yang sama. Diketahui 2 ton puing diangkut pada hari pertama. Tentukan berapa ton batu pecah yang diangkut pada hari kedua belas jika semua pekerjaan selesai dalam 15 hari.

Sesuai dengan kondisi masalahnya, jumlah batu pecah yang diangkut truk setiap hari bertambah dengan jumlah yang sama. Oleh karena itu, kita berhadapan dengan barisan aritmatika.

Kami merumuskan masalah ini dalam bentuk deret aritmatika.

Pada hari pertama, 2 ton batu pecah diangkut: a_1=2.

Semua pekerjaan selesai dalam 15 hari: .

Truk tersebut mengangkut sejumlah batu pecah seberat 240 ton:

Kita perlu menemukan.

Pertama, mari kita cari perbedaan perkembangannya. Mari kita gunakan rumus untuk jumlah n anggota perkembangan.

Dalam kasus kami:

Urutan numerik.
Bagaimana ?

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar banyak hal menarik dari kehidupan anggota komunitas besar bernama Vkontakte urutan nomor. Topik yang dibahas tidak hanya mengacu pada kursus analisis matematis, tetapi juga menyentuh dasar-dasarnya matematika diskrit. Selain itu, material akan dibutuhkan untuk pengembangan bagian lain dari menara, khususnya, selama studi seri nomor dan baris fungsional. Anda dapat dengan santai mengatakan bahwa ini penting, Anda dapat mengatakan dengan meyakinkan bahwa itu sederhana, Anda dapat mengatakan lebih banyak frasa tugas, tetapi hari ini adalah minggu sekolah pertama yang sangat malas, jadi sangat sulit bagi saya untuk menulis paragraf pertama =) Saya sudah menyimpan file di hati saya dan bersiap-siap untuk tidur, tiba-tiba ... ide pengakuan jujur ​​​​menyala di kepala, yang sangat melegakan jiwa dan mendorong untuk mengetuk jari lebih lanjut di keyboard.

Mari kita menyimpang dari kenangan musim panas dan melihat ke dunia jejaring sosial baru yang menarik dan positif ini:

Konsep barisan numerik

Pertama, mari kita pikirkan tentang kata itu sendiri: apa itu barisan? Konsistensi adalah ketika sesuatu terletak di belakang sesuatu. Misalnya, urutan tindakan, urutan musim. Atau ketika seseorang berada di belakang seseorang. Misalnya, urutan orang dalam antrian, urutan gajah di jalan menuju lubang air.

Mari kita segera mengklarifikasi fitur karakteristik dari urutan. Pertama, anggota urutan terletak ketat dalam urutan tertentu. Jadi, jika dua orang dalam antrian ditukar, maka ini sudah menjadi lain urutan. Kedua, untuk masing-masing anggota urutan anda dapat menetapkan nomor seri:

Sama halnya dengan angka. Membiarkan untuk masing-masing nilai alami menurut beberapa aturan dipetakan ke bilangan real. Kemudian kita mengatakan bahwa urutan numerik diberikan.

Ya, dalam masalah matematika, berbeda dengan situasi kehidupan, urutannya hampir selalu mengandung banyak tak terhingga angka.

Di mana:
ditelepon anggota pertama urutan;
– anggota kedua urutan;
– anggota ketiga urutan;
…
– nth atau anggota biasa urutan;
…

Dalam praktiknya, urutan biasanya diberikan rumus istilah umum, Misalnya:
adalah barisan bilangan genap positif:

Dengan demikian, catatan secara unik menentukan semua anggota urutan - ini adalah aturan (rumus) yang menurutnya nilai-nilai alami nomor dicocokkan. Oleh karena itu, barisan sering secara singkat dilambangkan dengan anggota yang sama, dan huruf Latin lainnya dapat digunakan sebagai pengganti "x", misalnya:

Urutan bilangan ganjil positif:

Urutan umum lainnya:

Seperti, mungkin, banyak yang memperhatikan, variabel "en" memainkan peran semacam penghitung.

Faktanya, kami berurusan dengan urutan numerik di sekolah menengah. Mari kita ingat deret aritmatika. Saya tidak akan menulis ulang definisinya, mari kita sentuh esensinya dengan contoh spesifik. Biarkan menjadi suku pertama dan melangkah perkembangan aritmatika. Kemudian:
adalah istilah kedua dari perkembangan ini;
adalah anggota ketiga dari perkembangan ini;
- keempat;
- kelima;
…
Dan, jelas, anggota ke-n ditanya berulang rumus

Catatan : dalam rumus rekursif, setiap suku berikutnya dinyatakan dalam suku sebelumnya atau bahkan dalam keseluruhan rangkaian suku sebelumnya.

Rumus yang dihasilkan tidak banyak digunakan dalam praktik - untuk mendapatkan, katakanlah, untuk , Anda harus melalui semua istilah sebelumnya. Dan dalam matematika, ekspresi yang lebih mudah untuk suku ke-n dari deret aritmatika diturunkan: . Dalam kasus kami:

Substitusikan bilangan asli ke dalam rumus dan periksa kebenaran deret numerik yang dibuat di atas.

Perhitungan serupa dapat dibuat untuk deret geometri, suku ke-n yang diberikan oleh rumus , Dimana suku pertama , dan adalah penyebut kemajuan. Dalam tugas matan, suku pertama seringkali sama dengan satu.

perkembangan mengatur urutan ;
kemajuan mengatur urutan;
kemajuan mengatur urutan ;
kemajuan mengatur urutan .

Saya harap semua orang tahu bahwa -1 pangkat ganjil adalah -1, dan pangkat genap adalah satu.

Perkembangannya disebut menurun tak terhingga, jika (dua kasus terakhir).

Mari tambahkan dua teman baru ke daftar kami, salah satunya baru saja mengetuk matriks monitor:

Urutan dalam jargon matematika disebut "flasher":

Lewat sini, anggota urutan dapat diulang. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, urutannya terdiri dari dua angka yang bergantian tanpa batas.

Apakah terjadi bahwa urutan terdiri dari angka yang sama? Tentu saja. Misalnya, ia menetapkan jumlah "tiga kali lipat" yang tak terbatas. Untuk estetika, ada kasus ketika "en" masih muncul secara formal dalam rumus:

Mari kita undang pacar sederhana untuk menari:

Apa yang terjadi ketika "en" meningkat hingga tak terbatas? Jelas, persyaratan barisan akan sangat dekat mendekati nol. Ini adalah limit dari barisan ini, yang ditulis sebagai berikut:

Jika limit suatu barisan adalah nol, maka barisan tersebut disebut kecil sekali.

Dalam teori analisis matematis, diberikan definisi ketat dari batas urutan melalui apa yang disebut lingkungan epsilon. Artikel berikutnya akan dikhususkan untuk definisi ini, tetapi untuk sekarang mari kita analisis artinya:

Mari kita gambarkan suku-suku barisan dan simetri lingkungan terhadap nol (batas) pada garis nyata:


Sekarang pegang lingkungan biru dengan tepi telapak tangan Anda dan mulailah menguranginya, tarik hingga batasnya (titik merah). Suatu bilangan adalah batas suatu barisan jika UNTUK SETIAP -lingkungan yang telah dipilih sebelumnya (sewenang-wenang kecil) di dalamnya akan ada banyak tak terhingga anggota urutan, dan LUAR itu - hanya terakhir jumlah anggota (atau tidak sama sekali). Artinya, lingkungan epsilon bisa mikroskopis, dan bahkan lebih kecil, tetapi "ekor tak terbatas" dari urutan harus cepat atau lambat sepenuhnya memasuki daerah ini.

Urutannya juga sangat kecil: dengan perbedaan bahwa anggotanya tidak melompat bolak-balik, tetapi mendekati batas secara eksklusif dari kanan.

Secara alami, limitnya bisa sama dengan bilangan berhingga lainnya, sebuah contoh dasar:

Di sini fraksi cenderung nol, dan karenanya, batasnya sama dengan "dua".

Jika urutannya ada batas yang terbatas, maka disebut konvergen(khususnya, kecil sekali pada ). Jika tidak - berbeda, sementara dua opsi dimungkinkan: batasnya tidak ada sama sekali, atau tidak terbatas. Dalam kasus terakhir, urutannya disebut besar tak terhingga. Mari kita berpacu melalui contoh paragraf pertama:

urutan adalah besar tak terhingga, saat anggota mereka bergerak dengan mantap menuju "plus tak terhingga":

Deret aritmatika dengan suku pertama dan satu langkah juga sangat besar:

Omong-omong, setiap perkembangan aritmatika juga menyimpang, kecuali untuk kasus dengan langkah nol - ketika ditambahkan tak terbatas ke angka tertentu. Limit dari barisan tersebut ada dan bertepatan dengan suku pertama.

Urutan memiliki nasib yang sama:

Setiap progresi geometris yang semakin menurun, seperti namanya, sangat kecil:

Jika penyebutnya suatu barisan geometri, maka barisan tersebut besar tak terhinggaA:

Jika, misalnya, , maka tidak ada batasan sama sekali, karena para anggota tanpa lelah melompat ke “plus tak terhingga”, lalu ke “minus tak terhingga”. Dan akal sehat dan teorema matan menunjukkan bahwa jika sesuatu berusaha keras di suatu tempat, maka tempat yang disayangi ini unik.

Setelah sedikit wahyu menjadi jelas bahwa flasher yang harus disalahkan atas lemparan yang tidak terkendali, yang, omong-omong, menyimpang dengan sendirinya.
Memang, untuk urutan itu mudah untuk memilih lingkungan -, yang, katakanlah, hanya menjepit angka -1. Akibatnya, jumlah anggota urutan ("plus satu") yang tak terbatas akan tetap berada di luar lingkungan yang diberikan. Tetapi menurut definisi, "ekor tak terbatas" dari urutan dari momen tertentu (bilangan asli) harus sepenuhnya masukkan lingkungan APAPUN dari batasnya. Kesimpulan: tidak ada batasan.

Faktorial adalah besar tak terhingga urutan:

Apalagi itu tumbuh dengan pesat, jadi itu adalah angka yang memiliki lebih dari 100 digit (digit)! Kenapa tepatnya 70? Ini meminta belas kasihan kalkulator teknik saya.

Dengan tembakan kontrol, semuanya sedikit lebih rumit, dan kami baru saja sampai pada bagian praktis dari kuliah, di mana kami akan menganalisis contoh pertempuran:

Tetapi sekarang perlu untuk dapat memecahkan batas-batas fungsi, setidaknya pada tingkat dua pelajaran dasar: Batas. Contoh solusi dan Batas Luar Biasa. Karena banyak metode solusi akan serupa. Tapi, pertama-tama, mari kita analisis perbedaan mendasar antara limit barisan dan limit fungsi:

Dalam batas barisan, variabel "dinamis" "en" dapat cenderung hanya untuk "ditambah tak terhingga"– ke arah peningkatan bilangan asli .
Dalam limit fungsi, "x" dapat diarahkan ke mana saja - ke "plus / minus tak terhingga" atau ke bilangan real arbitrer.

selanjutnya diskrit(terputus), yaitu terdiri dari anggota terisolasi yang terpisah. Satu, dua, tiga, empat, lima, kelinci pergi jalan-jalan. Argumen fungsi dicirikan oleh kontinuitas, yaitu, "x" lancar, tanpa insiden, cenderung ke satu atau lain nilai. Dan, karenanya, nilai fungsi juga akan terus mendekati batasnya.

Karena kebijaksanaan dalam urutan ada hal-hal bermerek mereka sendiri, seperti faktorial, flasher, progresi, dll. Dan sekarang saya akan mencoba menganalisa limit-limit yang merupakan ciri-ciri barisan.

Mari kita mulai dengan progresi:

Contoh 1

Tentukan limit suatu barisan

Larutan: sesuatu yang mirip dengan deret geometri yang terus menurun, tetapi apakah itu benar-benar? Untuk kejelasan, kami menulis beberapa istilah pertama:

Karena , kita berbicara tentang jumlah anggota deret geometri yang menurun tak terhingga, yang dihitung dengan rumus .

Membuat keputusan:

Kami menggunakan rumus untuk jumlah deret geometri menurun tak terhingga: . PADA kasus ini: - suku pertama, - penyebut dari deret tersebut.

Contoh 2

Tulis empat suku pertama barisan tersebut dan tentukan limitnya

Ini adalah contoh do-it-yourself. Untuk menghilangkan ketidakpastian dalam pembilang, Anda perlu menerapkan rumus untuk jumlah suku pertama dari deret aritmatika:
, di mana adalah suku pertama dan suku ke-n dari barisan tersebut.

Karena 'en' selalu cenderung 'plus infinity' dalam urutan, tidak mengherankan bahwa ketidaktentuan adalah salah satu yang paling populer.
Dan banyak contoh diselesaikan dengan cara yang persis sama dengan limit fungsi!

Atau mungkin sesuatu yang lebih rumit seperti ? Lihat Contoh #3 artikel Batasi Metode Penyelesaian.

Dari sudut pandang formal, perbedaannya hanya dalam satu huruf - ada "x", dan di sini "en".
Penerimaannya sama - pembilang dan penyebut harus dibagi dengan "en" di tingkat tertinggi.

Juga, dalam urutan, ketidakpastian cukup umum. Cara mengatasi limit seperti dapat ditemukan dalam Contoh No. 11-13 dari artikel yang sama.

Untuk mengatasi limit, lihat Contoh #7 dari pelajaran Batas Luar Biasa(batas luar biasa kedua juga berlaku untuk kasus diskrit). Solusinya lagi akan seperti salinan karbon dengan perbedaan dalam satu huruf.

Empat contoh berikut (No. 3-6) juga "bermuka dua", tetapi dalam prakteknya, untuk beberapa alasan, mereka lebih khas untuk limit barisan daripada limit fungsi:

Contoh 3

Tentukan limit suatu barisan

Larutan: solusi lengkap pertama, lalu komentar langkah demi langkah:

(1) Dalam pembilang kami menggunakan rumus dua kali.

(2) Kami memberikan suku-suku serupa dalam pembilangnya.

(3) Untuk menghilangkan ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebut dengan ("en" dalam derajat tertinggi).

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Contoh 4

Tentukan limit suatu barisan

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself, rumus perkalian disingkat untuk membantu.

dalam s demonstratif barisan menggunakan metode yang sama untuk membagi pembilang dan penyebut:

Contoh 5

Tentukan limit suatu barisan

Larutan mari kita lakukan dengan cara yang sama:

Omong-omong, teorema serupa juga benar untuk fungsi: produk dari fungsi yang dibatasi oleh fungsi yang sangat kecil adalah fungsi yang sangat kecil.

Contoh 9

Tentukan limit suatu barisan

Hovhannisyan Eva

Urutan numerik. Abstrak.

Unduh:

Pratinjau:

Institusi pendidikan anggaran kota
"Sekolah Menengah No. 31"
kota Barnaul

Urutan Nomor

abstrak

Pekerjaan telah selesai:
Oganesyan Eva,
MBOU siswa kelas 8 "Sekolah Menengah No. 31"
Pengawas:
Poleva Irina Alexandrovna,
guru matematika MBOU "Sekolah Menengah No. 31"

Barnaul - 2014

Pendahuluan………………………………………………………………………………2

Urutan numerik.……………………………………………….3

Cara untuk mengatur urutan numerik……………………….4

Perkembangan doktrin kemajuan………………………………………………..5

Sifat barisan numerik………………………………………7

Deret Aritmatika……………………………………………………………………… ............... 9

Perkembangan geometris……………………………………………….10

Kesimpulan ………………………………………………………………… 11

Referensi………………………………………………………………11

pengantar

Tujuan abstrak ini– mempelajari konsep dasar yang berkaitan dengan barisan numerik, penerapannya dalam praktik.
Tugas:

1. Mempelajari aspek sejarah perkembangan doktrin progresi;
2. Pertimbangkan cara pengaturan dan sifat-sifat barisan numerik;
3. Pelajari tentang deret aritmatika dan geometrik.

Saat ini, barisan numerik dianggap sebagai kasus khusus dari suatu fungsi. Urutan numerik adalah fungsi dari argumen alami. Konsep barisan numerik muncul dan berkembang jauh sebelum teori fungsi diciptakan. Berikut adalah contoh urutan nomor tak terbatas yang dikenal di zaman kuno:

1, 2, 3, 4, 5, ... - urutan bilangan asli.

2, 4, 6, 8, 10,… - barisan bilangan genap.

1, 3, 5, 7, 9,… - urutan angka ganjil.

1, 4, 9, 16, 25,… - urutan kuadrat bilangan asli.

2, 3, 5, 7, 11… - barisan bilangan prima.

1, , 1/3, , 1/5,… - urutan kebalikan dari bilangan asli.

Jumlah anggota dari masing-masing deret ini tidak terbatas; lima urutan pertama meningkat secara monoton, yang terakhir menurun secara monoton. Semua barisan yang terdaftar, kecuali yang ke-5, diberikan karena fakta bahwa untuk masing-masing barisan tersebut diketahui suku yang sama, yaitu aturan untuk memperoleh suku dengan bilangan berapa pun. Untuk barisan bilangan prima, istilah umum tidak diketahui, tetapi pada awal abad ke-3. SM e. ilmuwan Alexandria Eratosthenes menunjukkan metode (walaupun sangat rumit) untuk mendapatkan anggota ke-n. Metode ini disebut "saringan Eratosthenes".

Progresi - jenis urutan numerik tertentu - ditemukan di monumen milenium II SM. e.

Urutan Nomor

Ada berbagai definisi tentang urutan angka.

Urutan numerik – itu adalah urutan elemen ruang bilangan (Wikipedia).

Urutan numerik – ini adalah kumpulan angka bernomor.

Fungsi berbentuk y = f (x), xdisebut fungsi argumen natural atauurutan numerikdan menyatakan y = f(n) atau

, , , …, Notasi ().

Kami akan menulis angka genap positif dalam urutan menaik. Angka pertama adalah 2, yang kedua adalah 4, yang ketiga adalah 6, yang keempat adalah 8, dan seterusnya, sehingga kita mendapatkan urutannya: 2; empat; 6; delapan; sepuluh ….

Jelas, tempat kelima dalam urutan ini adalah angka 10, kesepuluh - 20, keseratus - 200. Secara umum, untuk setiap bilangan asli n, Anda dapat menentukan bilangan genap positif yang sesuai; itu sama dengan 2n.

Mari kita lihat urutan lainnya. Kami akan menulis dalam urutan menurun pecahan biasa dengan pembilang sama dengan 1:

; ; ; ; ; … .

Untuk sembarang bilangan asli n, kita dapat menentukan pecahan yang sesuai; itu sama dengan. Jadi, di tempat keenam seharusnya ada pecahan, pada tanggal tiga puluh - , pada seperseribu - pecahan .

Angka-angka yang membentuk barisan disebut yang pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. anggota urutan. Anggota suatu barisan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan subskrip yang menunjukkan nomor urut anggota tersebut. Sebagai contoh:, , dll. secara umum, suku barisan dengan angka n, atau, seperti yang mereka katakan, anggota ke-n dari barisan, dilambangkan. Barisan itu sendiri dilambangkan dengan (). Suatu barisan dapat berisi jumlah anggota yang tidak terbatas dan anggota yang berhingga. Dalam hal ini disebut final. Contoh: barisan bilangan dua angka.10; sebelas; 12; 13; …; 98; 99

Metode untuk menentukan urutan numerik

Urutan dapat ditentukan dalam beberapa cara.

Biasanya urutannya lebih tepat diaturrumus suku ke-n umum, yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan mana pun, mengetahui nomornya. Dalam hal ini, urutan dikatakan diberikan secara analitis. Contoh: barisan suku genap positif= 2n.

Sebuah tugas: temukan rumus suku umum barisan tersebut (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Larutan. Kami menulis setiap suku barisan dalam bentuk berikut:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Seperti yang Anda lihat, suku-suku barisan adalah produk dari pangkat dua dikalikan dengan bilangan ganjil berurutan, dan dua dipangkatkan dengan bilangan yang sama dengan jumlah elemen yang bersangkutan. Dengan demikian, kami menyimpulkan bahwa

Jawaban: rumus istilah umum:

Cara lain untuk menentukan urutan adalah dengan menentukan urutan menggunakanhubungan berulang. Rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dengan beberapa sampai yang sebelumnya (satu atau lebih), disebut berulang (dari kata Latin recurro - untuk kembali).

Dalam hal ini, satu atau beberapa elemen pertama dari urutan ditentukan, dan sisanya ditentukan menurut beberapa aturan.

Contoh barisan yang diberikan secara rekursif adalah barisan bilangan Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , di mana setiap bilangan berikutnya, mulai dari yang ketiga, adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya satuan: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 dan seterusnya. Urutan ini dapat diberikan secara rekursif:

N N, = 1.

Sebuah tugas: selanjutnyadiberikan oleh relasi perulangan+ , n N, = 4. Tuliskan beberapa suku pertama dari barisan ini.

Larutan. Mari kita cari suku ketiga dari barisan yang diberikan:

+ =

Dll.

Ketika urutan ditentukan secara berulang, perhitungannya sangat rumit, karena untuk menemukan elemen dengan jumlah besar, perlu untuk menemukan semua anggota sebelumnya dari urutan yang ditentukan, misalnya, untuk menemukankita perlu menemukan semua 499 anggota sebelumnya.

Cara deskriptifpenugasan urutan numerik terdiri dalam menjelaskan elemen apa yang dibangun dari urutan.

Contoh 1 . "Semua anggota barisan adalah 1." Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

Contoh 2. "Urutan itu terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik." Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

Juga, urutan numerik dapat diberikan oleh sederhanadaftar anggotanya.

Pengembangan doktrin progresi

Kata progresi berasal dari bahasa Latin (progressio), secara harfiah berarti "bergerak maju" (seperti kata "kemajuan") dan pertama kali ditemukan oleh penulis Romawi Boethius (abad ke-5-6). , barisan bilangan asli, kuadrat dan kubusnya. Pada akhir Abad Pertengahan dan awal zaman modern, istilah ini tidak lagi umum digunakan. Pada abad ke-17, misalnya, J. Gregory menggunakan istilah "deret" alih-alih deret, dan ahli matematika Inggris terkemuka lainnya, J. Wallis, menggunakan istilah "deret tak hingga" untuk deret tak hingga.

Saat ini, kami menganggap progresi sebagai kasus khusus dari urutan numerik.

Informasi teoretis yang berkaitan dengan progresi pertama kali ditemukan dalam dokumen-dokumen Yunani kuno yang telah sampai kepada kita.

Dalam Psammite, Archimedes untuk pertama kalinya membandingkan deret aritmatika dan geometrik:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progresi dianggap sebagai kelanjutan dari proporsi, itulah sebabnya julukan aritmatika dan geometris dipindahkan dari proporsi ke progresi.

Pandangan progresi ini diawetkan oleh banyak matematikawan abad ke-17 dan bahkan ke-18. Ini adalah bagaimana orang harus menjelaskan fakta bahwa simbol yang ditemukan di Barrow, dan kemudian di ilmuwan Inggris lainnya pada waktu itu untuk menunjukkan proporsi geometris yang berkelanjutan, mulai menunjukkan perkembangan geometris dalam buku teks bahasa Inggris dan Prancis pada abad ke-18. Dengan analogi, mereka mulai menunjuk perkembangan aritmatika.

Salah satu bukti Archimedes, yang dituangkan dalam karyanya "The Quadrature of the Parabola", pada dasarnya bermuara pada penjumlahan deret geometri yang semakin menurun.

Untuk memecahkan beberapa masalah dari geometri dan mekanika, Archimedes menurunkan rumus untuk jumlah kuadrat bilangan asli, meskipun itu digunakan sebelumnya.

1/6n(n+1)(2n+1)

Beberapa formula yang berkaitan dengan progresi diketahui oleh para ilmuwan Cina dan India. Jadi, Aryabhatta (abad V) mengetahui rumus untuk istilah umum, jumlah dari deret aritmatika, dll., Magavira (abad IX) menggunakan rumus: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) dan deret lain yang lebih kompleks. Namun, aturan untuk menemukan jumlah suku dari deret aritmatika arbitrer pertama kali ditemukan dalam Book of the Abacus (1202) oleh Leonardo dari Pisa. Dalam The Science of Numbers (1484), N. Shuke, seperti Archimedes, membandingkan deret aritmatika dengan deret geometri dan memberikan aturan umum untuk menjumlahkan deret geometri menurun yang sangat kecil. Rumus untuk menjumlahkan perkembangan yang semakin menurun diketahui oleh P. Fermat dan ahli matematika lainnya pada abad ke-17.

Masalah untuk deret aritmatika (dan geometris) juga ditemukan dalam traktat Tiongkok kuno "Matematika dalam Sembilan Buku", yang, bagaimanapun, tidak berisi instruksi untuk penggunaan rumus penjumlahan apa pun.

Masalah progresi pertama yang datang kepada kita terkait dengan tuntutan kehidupan ekonomi dan praktik sosial, seperti pembagian hasil, pembagian warisan, dan sebagainya.

Dari satu tablet paku, kita dapat menyimpulkan bahwa, mengamati bulan dari bulan baru hingga bulan purnama, orang Babilonia sampai pada kesimpulan berikut: dalam lima hari pertama setelah bulan baru, peningkatan penerangan piringan bulan terjadi sesuai dengan hukum deret geometri dengan penyebut 2. Dalam tablet berikutnya yang lain, kita berbicara tentang penjumlahan deret ukur:

1+2+ +…+ . solusi dan jawaban S=512+(512-1), data di piring menunjukkan bahwa penulis menggunakan rumus.

Sn= +( -1), tetapi tidak ada yang tahu bagaimana dia mencapainya.

Penjumlahan deret geometri dan kompilasi masalah terkait yang tidak selalu memenuhi kebutuhan praktis dipraktikkan oleh banyak pecinta matematika sepanjang abad kuno dan pertengahan.

Properti Urutan Angka

Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, dan oleh karena itu beberapa sifat fungsi (keterbatasan, monotonisitas) juga dipertimbangkan untuk barisan.

Urutan terbatas

Selanjutnya () disebut dibatasi dari atas, bahwa untuk sembarang bilangan n, M.

Selanjutnya () disebut dibatasi dari bawah, jika ada bilangan seperti itu m, bahwa untuk sembarang bilangan n, m.

Selanjutnya () disebut terbatas , jika dibatasi dari atas dan dibatasi dari bawah, yaitu terdapat bilangan seperti itu M0 , dimana untuk sembarang bilangan n , M.

Selanjutnya () disebut tak terbatas , jika ada bilangan seperti itu M0 bahwa terdapat suatu bilangan n sedemikian sehingga, M.

Sebuah tugas: jelajahi urutannya = untuk pembatasan.

Larutan. Barisan yang diberikan terbatas, karena untuk sembarang bilangan asli n pertidaksamaan berikut berlaku:

0 1,

Artinya, barisan dibatasi dari bawah oleh nol, dan pada saat yang sama dibatasi dari atas oleh satu, dan oleh karena itu, ia juga dibatasi.

Jawaban: urutannya terbatas - dari bawah nol, dan dari atas satu.

Urutan naik dan turun

Selanjutnya () disebut meningkat , jika setiap istilah lebih besar dari yang sebelumnya:

Misalnya 1, 3, 5, 7.....2n -1,... adalah barisan naik.

Selanjutnya () disebut menurun , jika setiap istilah kurang dari yang sebelumnya:

Misalnya, 1; adalah barisan menurun.

Urutan naik dan turun digabungkan dengan istilah umum -urutan monoton. Mari kita ambil beberapa contoh lagi.

1; - urutan ini tidak meningkat atau menurun (urutan nonmonotonic).

2n. Kita berbicara tentang urutan 2, 4, 8, 16, 32, ... - urutan yang meningkat.

Secara umum, jika a > 1, maka barisan= meningkat;

jika 0 = menurun.

Deret aritmatika

Barisan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan jumlah anggota sebelumnya dan nomor yang sama d, disebutderet aritmatika, dan bilangan d adalah selisih suatu barisan aritmatika.

Jadi, barisan aritmatika adalah barisan numerik

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; a dan d diberikan angka).

Contoh 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... adalah barisan aritmatika yang meningkat, di mana= 1, d = 2.

Contoh 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - deret aritmatika menurun, di mana= 20, d = –3.

Contoh 3. Perhatikan barisan bilangan asli yang, jika dibagi empat, memiliki sisa 1:1; 5; 9; 13; 17; 21…

Setiap suku, mulai dari yang kedua, diperoleh dengan menambahkan angka 4 ke suku sebelumnya. Barisan ini merupakan contoh barisan aritmatika.

Sangat mudah untuk menemukan ekspresi (rumus) eksplisitmelalui n. Nilai elemen berikutnya meningkat d dibandingkan dengan elemen sebelumnya, sehingga nilai elemen n akan meningkat (n - 1)d dibandingkan dengan anggota deret aritmatika pertama, yaitu.

= + d (n – 1). Ini adalah rumus suku ke-n dari barisan aritmatika.

Ini rumus penjumlahannya n anggota barisan aritmatika.

Deret aritmatika dinamai karena di dalamnya setiap istilah, kecuali yang pertama, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang berdekatan dengannya - sebelumnya dan berikutnya, memang,

Kemajuan geometris

Barisan numerik, yang semua anggotanya bukan nol dan setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, diperoleh dari anggota sebelumnya dengan mengalikan dengan angka yang sama q, disebutderet geometri, dan bilangan q adalah penyebut barisan geometri. Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan (diberikan secara rekursif oleh relasi

B, = q (n = 2, 3, 4…; b dan q diberi nomor).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... - peningkatan deret geometri

2, q = 3.

Contoh 2. 2, -2, 2, -2, ... adalah barisan geometri= 2, q = -1.

Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan bujur sangkar, mis.; ;…-

adalah barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan, dan penyebutnya adalah.

Rumus anggota ke-n dari barisan geometri adalah:

Rumus jumlah n anggota barisan geometri:

properti karakteristikbarisan geometri: barisan bilangan adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir untuk barisan berhingga), sama dengan hasil kali suku sebelumnya dan suku berikutnya,

Kesimpulan

Urutan numerik telah dipelajari oleh banyak ilmuwan selama berabad-abad.Masalah progresi pertama yang datang kepada kita terkait dengan tuntutan kehidupan ekonomi dan praktik sosial, seperti pembagian hasil, pembagian warisan, dan sebagainya. Mereka adalah salah satu konsep kunci matematika. Dalam pekerjaan saya, saya mencoba mencerminkan konsep dasar yang terkait dengan barisan numerik, cara mengaturnya, properti, dan mempertimbangkan beberapa di antaranya. Secara terpisah, progresi (aritmatika dan geometris) dipertimbangkan, dan konsep dasar yang terkait dengannya dijelaskan.

Bibliografi

1. A.G. Mordkovich, Aljabar, Kelas 10, buku teks, 2012
2. A.G. Mordkovich, Aljabar, kelas 9, buku teks, 2012
3. Panduan siswa yang hebat. Moskow, "Drofa", 2001
4. G.I. Glaser, Sejarah Matematika di Sekolah,

M.: Pencerahan, 1964.

1. "Matematika di sekolah", majalah, 2002.
2. Layanan online pendidikan Webmath.ru
3. Ensiklopedia online sains populer universal "Krugosvet"

Buaian. popok. Menangis.
Kata. Melangkah. Dingin. Dokter.
berlarian. Mainan. Saudara laki-laki.
Halaman. Mengayun. TK.
Sekolah. Jus. Troika. Lima.
Bola. Melangkah. Gips. Tempat tidur.
Bertarung. Darah. Hidung patah.
Halaman. Teman-teman. Berpesta. Memaksa.
Lembaga. Musim semi. semak-semak.
Musim panas. Sidang. ekor.
Bir. Vodka. gin es.
Kopi. Sidang. Diploma.
Romantisme. Cinta. Bintang.
Lengan. bibir. Malam tanpa tidur.
Pernikahan. Ibu mertua. Ayah mertua. Perangkap.
Argumen. Klub. Teman-teman. Cangkir.
Rumah. Pekerjaan. Rumah. Sebuah keluarga.
Matahari. Musim panas. Salju. Musim dingin.
Putra. popok. Buaian.
Menekankan. Nyonya. Tempat tidur.
Bisnis. Uang. Rencana. rata-rata.
Televisi. serial televisi.
rumah pedesaan. Ceri. Timun Jepang.
Rambut abu-abu. Migrain. Kacamata.
cucu. popok. Buaian.
Menekankan. Tekanan. Tempat tidur.
Jantung. Ginjal. tulang. Dokter.
Pidato. Peti mati. Pamitan. Menangis.

urutan kehidupan

URUTAN - (urutan), angka atau elemen diatur secara terorganisir. Barisan dapat berhingga (memiliki jumlah elemen terbatas) atau tak hingga, seperti barisan lengkap bilangan asli 1, 2, 3, 4 ….… …

Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Definisi:Urutan numerik disebut numerik, diberikan pada himpunan bilangan asli N. Untuk barisan numerik, biasanya sebagai ganti f(n) menulis sebuah dan menunjukkan urutan seperti ini: sebuah ). angka sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah,… ditelepon elemen urutan.

Biasanya urutan numerik ditentukan oleh pengaturan n elemen -th atau formula rekursif, yang menurutnya setiap elemen berikutnya ditentukan melalui yang sebelumnya. Cara deskriptif untuk menentukan urutan numerik juga dimungkinkan. Sebagai contoh:

• Semua anggota barisan adalah "1". Ini berarti bahwa kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1, …, 1, ….

• Barisan tersebut terdiri dari semua bilangan prima dalam urutan menaik. Jadi, barisan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan cara menentukan urutan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari urutan itu sama dengan.

Dengan metode berulang, formula ditunjukkan yang memungkinkan Anda untuk mengekspresikan n anggota urutan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1-2 anggota awal dari urutan.

• kamu 1 = 3; y n =kamu n-1 + 4 , jika n = 2, 3, 4,…

Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; ….

• kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; y n =kamu n-2 + kamu n-1 , jika n = 3, 4,…

Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8;

Urutan dinyatakan dengan rumus rekursif y n =kamu n-1 + 4 juga dapat diberikan secara analitik: y n= y 1 +4*(n-1)

Periksa: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Di sini kita tidak perlu mengetahui anggota barisan numerik sebelumnya untuk menghitung elemen ke-n, kita hanya perlu menentukan jumlah dan nilai elemen pertama.

Seperti yang dapat kita lihat, cara menentukan barisan numerik ini sangat mirip dengan cara analitis untuk menentukan fungsi. Faktanya, barisan numerik adalah jenis khusus dari fungsi numerik, sehingga sejumlah sifat fungsi juga dapat dipertimbangkan untuk barisan.

Urutan angka adalah topik yang sangat menarik dan informatif. Topik ini ditemukan dalam tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat, yang ditawarkan kepada siswa oleh penulis materi didaktik, dalam tugas-tugas olimpiade matematika, ujian masuk ke lembaga pendidikan tinggi dan sebagainya. Dan jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut tentang berbagai jenis urutan angka, klik di sini. Nah, jika semuanya jelas dan sederhana untuk Anda, tetapi cobalah untuk menjawab.