Sistem persamaan homogen linier

Perumusan masalah. Temukan beberapa basis dan tentukan dimensi ruang linier dari solusi sistem

Rencana solusi.

1. Tuliskan matriks sistem:

dan dengan bantuan transformasi elementer kami mengubah matriks menjadi bentuk segitiga, mis. ke bentuk seperti itu ketika semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. Pangkat matriks sistem sama dengan jumlah baris bebas linier, yaitu, dalam kasus kami, jumlah baris di mana elemen bukan nol tetap ada:

Luas ruang penyelesaian adalah . Jika , maka sistem homogen memiliki solusi nol yang unik, jika , maka sistem tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

2. Pilih variabel dasar dan bebas. Variabel bebas dilambangkan dengan . Kemudian kami menyatakan variabel dasar dalam variabel bebas, sehingga memperoleh solusi umum dari sistem persamaan linier yang homogen.

3. Kami menuliskan dasar ruang solusi sistem dengan secara berurutan menetapkan salah satu variabel bebas sama dengan satu, dan sisanya menjadi nol. Dimensi ruang solusi linier sistem sama dengan jumlah vektor basis.

Catatan. Transformasi matriks elementer meliputi:

1. perkalian (pembagian) suatu string dengan pengali selain nol;

2. penambahan baris mana pun dari baris lain, dikalikan dengan angka berapa pun;

3. permutasi baris di tempat;

4. transformasi 1–3 untuk kolom (dalam kasus penyelesaian sistem persamaan linier, transformasi dasar kolom tidak digunakan).

Tugas 3. Temukan beberapa basis dan tentukan dimensi ruang linier dari solusi sistem.

Kami menulis matriks sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk segitiga:

Kami kira kemudian

Ketika kami menganalisis konsep vektor n-dimensi dan memperkenalkan operasi pada vektor, kami menemukan bahwa himpunan semua vektor n-dimensi menghasilkan ruang linier. Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang konsep terkait yang paling penting - tentang dimensi dan basis ruang vektor. Kami juga mempertimbangkan teorema tentang perluasan vektor sewenang-wenang dalam hal basis dan hubungan antara basis yang berbeda dari ruang n-dimensi. Mari kita menganalisis secara rinci solusi dari contoh tipikal.

navigasi halaman.

Konsep dimensi dan basis ruang vektor.

Konsep dimensi dan basis ruang vektor secara langsung terkait dengan konsep sistem vektor bebas linier, jadi kami merekomendasikan, jika perlu, merujuk ke artikel ketergantungan linier sistem vektor, sifat ketergantungan dan kemandirian linier.

Definisi.

Dimensi ruang vektor disebut angka yang sama dengan jumlah maksimum vektor bebas linier di ruang ini.

Definisi.

basis ruang vektor adalah himpunan terurut dari vektor bebas linier dari ruang ini, yang jumlahnya sama dengan dimensi ruang.

Kami menyajikan beberapa argumen berdasarkan definisi ini.

Pertimbangkan ruang vektor n -dimensi.

Mari kita tunjukkan bahwa dimensi ruang ini sama dengan n .

Mari kita ambil sistem n vektor satuan dari bentuk

Mari kita ambil vektor-vektor ini sebagai deretan matriks A. Dalam hal ini, matriks A akan menjadi matriks identitas n kali n. Peringkat matriks ini adalah n (jika perlu, lihat artikel). Oleh karena itu, sistem vektor bebas linier, dan tidak ada vektor yang dapat ditambahkan ke sistem ini tanpa melanggar kemerdekaan liniernya. Karena jumlah vektor dalam sistem sama dengan n, maka dimensi ruang vektor n-dimensi adalah n, dan vektor satuan adalah dasar dari ruang ini.

Dari pernyataan terakhir dan definisi dasar, kita dapat menyimpulkan itu sistem vektor n-dimensi apa pun yang jumlah vektornya kurang dari n bukanlah basis.

Sekarang mari kita tukar vektor pertama dan kedua dari sistem . Sangat mudah untuk menunjukkan sistem vektor yang dihasilkan juga merupakan basis ruang vektor n-dimensi. Mari kita menyusun sebuah matriks, mengambilnya sebagai deretan vektor dari sistem ini. Matriks ini dapat diperoleh dari matriks identitas dengan menukar baris pertama dan kedua, sehingga pangkatnya menjadi n . Jadi, sistem n vektor bebas linear dan merupakan basis dari ruang vektor n-dimensi.

Jika kita menukar vektor lain dari sistem , kita mendapatkan basis lain.

Jika kita mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, maka itu juga merupakan dasar dari ruang vektor n-dimensi.

Dengan demikian, ruang vektor berdimensi n memiliki basis sebanyak jumlah sistem bebas linear dari vektor berdimensi n n.

Jika kita berbicara tentang ruang vektor dua dimensi (yaitu, tentang bidang), maka basisnya adalah dua vektor non-kolinier. Dasar dari ruang tiga dimensi adalah tiga vektor non-koplanar.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah vektor dasar dari ruang vektor 3D?

Larutan.

Mari kita periksa sistem vektor ini untuk ketergantungan linier. Untuk melakukan ini, kami akan membuat matriks, yang barisnya akan menjadi koordinat vektor, dan menemukan peringkatnya:


Jadi, vektor a , b dan c bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu, vektor tersebut menjadi basis ruang ini.

Menjawab:

Iya itu mereka.

Contoh.

Bisakah sistem vektor menjadi basis ruang vektor?

Larutan.

Sistem vektor ini bergantung secara linier, karena jumlah maksimum vektor tiga dimensi yang bebas linier adalah tiga. Oleh karena itu, sistem vektor ini tidak dapat menjadi basis ruang vektor tiga dimensi (walaupun subsistem dari sistem vektor asli adalah basis).

Menjawab:

Tidak, dia tidak bisa.

Contoh.

Pastikan vektornya

dapat menjadi basis ruang vektor empat dimensi.

Larutan.

Mari kita membuat matriks, dengan mengambilnya sebagai deretan vektor asli:

Mari kita temukan:

Dengan demikian, sistem vektor a, b, c, d bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu a, b, c, d adalah basisnya.

Menjawab:

Vektor asli memang merupakan dasar dari ruang empat dimensi.

Contoh.

Apakah vektor membentuk dasar ruang vektor 4 dimensi?

Larutan.

Bahkan jika sistem vektor asli bebas linier, jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi (dasar ruang seperti itu terdiri dari 4 vektor).

Menjawab:

Tidak, tidak.

Dekomposisi vektor dalam bentuk basis ruang vektor.

Biarkan vektor sewenang-wenang adalah dasar dari ruang vektor n -dimensi. Jika kita menambahkan beberapa vektor n-dimensi x ke dalamnya, maka sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung secara linear. Dari sifat-sifat ketergantungan linier, kita tahu bahwa setidaknya satu vektor dari sistem yang bergantung secara linier dinyatakan secara linier dalam vektor lainnya. Dengan kata lain, setidaknya salah satu vektor dari sistem yang bergantung secara linier didekomposisi menjadi vektor lainnya.

Jadi kita sampai pada teorema yang sangat penting.

Dalil.

Setiap vektor dari ruang vektor n-dimensi secara unik terdekomposisi dalam bentuk basis.

Bukti.

Membiarkan - basis ruang vektor n -dimensi. Mari tambahkan vektor n-dimensi x ke vektor-vektor ini. Kemudian sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung secara linier dan vektor x dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor : , di mana beberapa nomor. Jadi kita mendapatkan perluasan vektor x dalam bentuk basis. Masih harus dibuktikan bahwa dekomposisi ini unik.

Asumsikan ada dekomposisi lain, di mana - beberapa angka. Kurangi dari bagian kiri dan kanan persamaan terakhir, masing-masing, bagian kiri dan kanan persamaan:

Karena sistem vektor basis bebas linier, maka, menurut definisi kemerdekaan linier sistem vektor, persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika semua koefisien sama dengan nol. Oleh karena itu, , yang membuktikan keunikan pemuaian vektor dalam bentuk basis.

Definisi.

Koefisien disebut koordinat vektor x di basis .

Setelah berkenalan dengan teorema perluasan vektor dalam bentuk basis, kita mulai memahami esensi dari ungkapan “kita diberi vektor n-dimensi ". Ungkapan ini berarti bahwa kita sedang mempertimbangkan vektor x dari ruang vektor n -dimensi yang koordinatnya diberikan dalam beberapa basis. Pada saat yang sama, kita memahami bahwa vektor yang sama x di basis lain dari ruang vektor n-dimensi akan memiliki koordinat yang berbeda dari .

Pertimbangkan masalah berikut.

Misalkan, dalam suatu basis ruang vektor n-dimensi, kita diberikan suatu sistem dengan n vektor bebas linier

dan vektor . Kemudian vektor juga merupakan basis dari ruang vektor ini.

Mari kita cari koordinat vektor x di basis . Mari kita nyatakan koordinat ini sebagai .

Vektor x dalam basis punya ide. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:

Kesetaraan ini setara dengan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui :

Matriks utama dari sistem ini memiliki bentuk

Mari kita nyatakan sebagai A. Kolom matriks A adalah vektor dari sistem vektor bebas linier , jadi pangkat matriks ini adalah n , sehingga determinannya bukan nol. Fakta ini menunjukkan bahwa sistem persamaan memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun, misalnya atau .

Sehingga akan ditemukan koordinat yang diinginkan vektor x di basis .

Mari kita analisis teorinya dengan contoh.

Contoh.

Di beberapa dasar ruang vektor tiga dimensi, vektor

Pastikan sistem vektor juga merupakan basis dari ruang ini dan temukan koordinat vektor x pada basis ini.

Larutan.

Agar sistem vektor menjadi basis ruang vektor tiga dimensi, ia harus bebas linier. Mari cari tahu dengan menentukan pangkat matriks A , yang barisnya adalah vektor . Kami menemukan peringkat dengan metode Gauss


oleh karena itu, Rank(A) = 3 , yang menunjukkan independensi linear dari sistem vektor .

Jadi vektor adalah dasarnya. Biarkan vektor x memiliki koordinat dalam basis ini. Kemudian, seperti yang kami tunjukkan di atas, hubungan koordinat vektor ini diberikan oleh sistem persamaan

Mengganti ke dalamnya nilai-nilai yang diketahui dari kondisi, kami memperoleh

Mari kita selesaikan dengan metode Cramer:

Jadi, vektor x pada basis memiliki koordinat .

Menjawab:

Contoh.

Dalam beberapa dasar ruang vektor empat dimensi diberi sistem vektor bebas linier

Diketahui bahwa . Temukan koordinat vektor x di basis .

Larutan.

Karena sistem vektor bebas linear menurut asumsi, maka ia merupakan basis ruang empat dimensi. Kemudian kesetaraan berarti bahwa vektor x di basis memiliki koordinat. Nyatakan koordinat vektor x di basis Bagaimana .

Sistem persamaan yang mendefinisikan hubungan koordinat vektor x dalam basis Dan memiliki bentuk

Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalamnya dan menemukan koordinat yang diinginkan:

Menjawab:

.

Komunikasi antar pangkalan.

Misalkan dua sistem vektor bebas linier diberikan dalam suatu basis ruang vektor n-dimensi

Dan

yaitu, mereka juga merupakan basis dari ruang ini.

Jika - koordinat vektor di basis , maka hubungan koordinat Dan diberikan oleh sistem persamaan linier (kita membicarakannya di paragraf sebelumnya):

, yang dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai

Demikian pula, untuk vektor, kita dapat menulis

Persamaan matriks sebelumnya dapat digabungkan menjadi satu, yang pada dasarnya mendefinisikan hubungan vektor dari dua basis yang berbeda

Demikian pula, kita dapat menyatakan semua vektor basis melalui dasar :

Definisi.

Matriks ditelepon matriks transisi dari dasar ke dasar , maka persamaan

Mengalikan kedua ruas persamaan ini di sebelah kanan dengan

kita mendapatkan

Mari kita temukan matriks transisi, sementara kita tidak akan memikirkan mencari matriks invers dan mengalikan matriks (lihat, jika perlu, artikel dan):

Tetap mencari tahu hubungan koordinat vektor x di basis yang diberikan.

Biarkan vektor x memiliki koordinat di basis, lalu

dan di basis vektor x memiliki koordinat , lalu

Karena bagian kiri dari dua persamaan terakhir adalah sama, kita dapat menyamakan bagian kanan:

Jika kita mengalikan kedua sisi di sebelah kanan dengan

maka kita dapatkan


Di sisi lain

(temukan sendiri matriks inversnya).
Dua persamaan terakhir memberi kita hubungan yang diinginkan dari koordinat vektor x di basis dan .

Menjawab:

Matriks transisi dari basis ke basis memiliki bentuk
;
koordinat vektor x dalam basis dan dihubungkan oleh relasi

atau
.

Kami mempertimbangkan konsep dimensi dan basis ruang vektor, mempelajari cara menguraikan vektor menurut basis, dan menemukan hubungan antara basis yang berbeda dari ruang vektor n-dimensi melalui matriks transisi.

Halaman 1

Subruang, dasar dan dimensinya.

Membiarkan L adalah ruang linier di atas lapangan P Dan A adalah subset dari L. Jika A itu sendiri merupakan ruang linier di atas lapangan P untuk operasi yang sama dengan L, Itu A disebut subruang dari ruang L.

Menurut definisi ruang linear, sehingga A adalah subruang untuk memeriksa kelayakan A operasi:

1) :
;

2)
:
;

dan periksa bahwa operasi di A tunduk pada delapan aksioma. Namun, yang terakhir akan berlebihan (karena fakta bahwa aksioma ini berlaku di L), yaitu. pengikut

Dalil. Biarkan L menjadi ruang linier di atas lapangan P dan
. Himpunan A adalah subruang dari L jika dan hanya jika persyaratan berikut terpenuhi:

1. :
;

2.
:
.

Penyataan. Jika L – N-dimensi ruang linier dan A subruangnya, lalu A juga merupakan ruang linier berdimensi hingga dan dimensinya tidak melebihi N.

P Contoh 1. Apakah himpunan S dari semua vektor bidang, yang masing-masing terletak pada salah satu sumbu koordinat 0x atau 0y, merupakan subruang dari ruang vektor segmen V 2?

Larutan: Membiarkan
,
Dan
,
. Kemudian
. Oleh karena itu, S bukanlah subruang .

Contoh 2 V 2 set segmen vektor pesawat S semua vektor bidang yang awal dan akhirnya terletak pada garis tertentu l pesawat ini?

Larutan.

e vektor geser
mengalikan dengan bilangan real k, maka kita mendapatkan vektor
, juga milik S. If Dan adalah dua vektor dari S, maka
(sesuai dengan aturan penjumlahan vektor pada garis lurus). Oleh karena itu, S adalah subruang .

Contoh 3 Merupakan subruang linier dari ruang linier V 2 sekelompok A semua vektor bidang yang ujungnya terletak pada garis yang diberikan l, (asumsikan bahwa asal vektor apa pun bertepatan dengan asalnya)?

R larutan.

Dalam kasus di mana langsung l tidak melewati asal A subruang linear dari ruang V 2 tidak, karena
.

Dalam kasus di mana langsung l melewati titik asal, himpunan A adalah subruang linear dari ruang V 2 , Karena
dan saat mengalikan vektor apa pun
ke bilangan real α keluar lapangan R kita mendapatkan
. Dengan demikian, persyaratan ruang linier untuk himpunan A lengkap.

Contoh 4 Biarkan sistem vektor diberikan
dari ruang linier L di atas lapangan P. Buktikan bahwa himpunan semua kemungkinan kombinasi linier
dengan koefisien
dari P adalah subruang L(ini adalah subruang A disebut subruang yang dihasilkan oleh sistem vektor
atau cangkang linier sistem vektor ini, dan dilambangkan sebagai berikut:
atau
).

Larutan. Memang, sejak , maka untuk setiap elemen X, yA kita punya:
,
, Di mana
,
. Kemudian

Karena
, Itu
, Itu sebabnya
.

Mari kita periksa kelayakan kondisi kedua teorema. Jika X adalah setiap vektor dari A Dan T- nomor dari P, Itu . Karena
Dan
,
, Itu
,
, Itu sebabnya
. Jadi, menurut teorema, himpunan A adalah subruang dari ruang linier L.

Untuk ruang linear berdimensi hingga, kebalikannya juga berlaku.

Dalil. Setiap subruang A ruang linier L di atas lapangan adalah rentang linear dari beberapa sistem vektor.

Saat memecahkan masalah menemukan basis dan dimensi kulit linier, teorema berikut digunakan.

Dalil. Dasar cangkang linier
bertepatan dengan dasar sistem vektor
. Dimensi cangkang linier
bertepatan dengan peringkat sistem vektor
.

Contoh 4 Temukan dasar dan dimensi subruang
ruang linier R 3 [ X] , Jika
,
,
,
.

Larutan. Diketahui bahwa vektor dan baris koordinatnya (kolom) memiliki sifat yang sama (sehubungan dengan ketergantungan linier). Kami membuat matriks A=
dari kolom koordinat vektor
di dasar
.

Mencari rank suatu matriks A.

. M 3 =
.
.

Oleh karena itu, pangkat R(A)= 3. Jadi, pangkat dari sistem vektor
sama dengan 3. Oleh karena itu, dimensi subruang S sama dengan 3, dan basisnya terdiri dari tiga vektor
(karena di minor dasar
hanya koordinat vektor ini yang disertakan)., . Sistem vektor ini bebas linier. Memang, biarkan.

DAN
.

Dapat diverifikasi bahwa sistem
bergantung linier untuk sembarang vektor X dari H. Ini membuktikan bahwa
sistem vektor subruang maksimum yang bebas linier H, yaitu
- basis di H dan redup H=N 2 .

Halaman 1

1. Biarkan subruang L = L(A 1 , A 2 , …, saya) , itu adalah L adalah kulit linier dari sistem A 1 , A 2 , …, saya; vektor A 1 , A 2 , …, saya adalah sistem generator subruang ini. Kemudian dasar L adalah dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 , …, saya, yaitu dasar dari sistem generator. Dimensi L sama dengan peringkat sistem generator.

2. Biarkan subruang L adalah jumlah dari subruang L 1 dan L 2. Sistem subruang pembangkit dapat diperoleh dengan menggabungkan sistem subruang pembangkit, setelah itu basis penjumlahan ditemukan. Dimensi jumlah ditemukan dengan rumus berikut:

redup(L 1 + L 2) = redup 1 + redup 2 – redup(L 1 Z L 2).

3. Biarkan jumlah subruang L 1 dan L 2 garis lurus, yaitu L = L 1 Å L 2. Di mana L 1 Z L 2 = {HAI) Dan redup(L 1 Z L 2) = 0. Basis dari penjumlahan langsung sama dengan gabungan dari basis penjumlahan. Dimensi jumlah langsung sama dengan jumlah dimensi suku-suku.

4. Mari kita berikan contoh penting dari subruang dan manifold linier.

Pertimbangkan sistem yang homogen M persamaan linier dengan N tidak dikenal. Banyak solusi M 0 dari sistem ini adalah subset dari himpunan R n dan ditutup dengan penambahan vektor dan perkaliannya dengan bilangan real. Ini berarti bahwa ini adalah satu set M 0 - subruang dari ruang R n. Basis subruang adalah himpunan solusi fundamental dari sistem homogen, dimensi subruang sama dengan jumlah vektor dalam himpunan solusi fundamental sistem.

Sekelompok M solusi sistem umum M persamaan linier dengan N tidak diketahui juga merupakan bagian dari himpunan R n dan sama dengan jumlah himpunan M 0 dan vektor A, Di mana A adalah beberapa solusi khusus dari sistem asli, dan himpunan M 0 adalah himpunan solusi dari sistem persamaan linier homogen yang menyertai sistem ini (berbeda dari sistem asli hanya dalam istilah bebas),

M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.

Artinya banyak M adalah manifold linear dari ruang R n dengan vektor pergeseran A dan arah M 0 .

Contoh 8.6. Temukan basis dan dimensi subruang yang diberikan oleh sistem persamaan linier homogen:

Larutan. Mari kita temukan solusi umum dari sistem ini dan rangkaian solusi fundamentalnya: Dengan 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Dengan 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Dengan 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Basis subruang dibentuk oleh vektor Dengan 1 , Dengan 2 , Dengan 3 , dimensinya adalah tiga.

Akhir pekerjaan -

Topik ini milik:

Aljabar linier

Universitas Negeri Kostroma dinamai N.A. Nekrasov.

Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di basis data karya kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:

Jika materi ini ternyata bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya di halaman Anda di jejaring sosial:

menciak

Semua topik di bagian ini:

BBK 22.174ya73-5
M350 Dicetak berdasarkan keputusan dewan redaksi dan penerbitan KSU. N. A. Nekrasova Pengulas A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N.A.Nekrasova, 2013

Serikat (atau jumlah)
Definisi 1.9 Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan A È B, yang terdiri dari mereka dan hanya elemen-elemen yang dimiliki meskipun

Persimpangan (atau produk)
Definisi 1.10. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan A Ç B, yang terdiri dari mereka dan hanya elemen-elemen yang tergolong sama

Perbedaan
Definisi 1.11 Selisih himpunan A dan B adalah himpunan A B, terdiri dari mereka dan hanya elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A

Produk Cartesian (atau produk langsung)
Definisi 1.14. Pasangan terurut (atau pasangan) (a, b) adalah dua elemen a, b yang diambil dalam urutan tertentu. Pasangan (a1

Properti operasi yang ditetapkan
Sifat-sifat operasi gabungan, irisan, dan komplemen terkadang disebut hukum aljabar himpunan. Mari kita buat daftar properti utama operasi pada set. Misalkan himpunan universal U

Metode induksi matematika
Metode induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang melibatkan parameter alami n. Metode induksi matematika - metode pembuktian matematika

Bilangan kompleks
Konsep angka adalah salah satu pencapaian utama budaya manusia. Pertama, muncul bilangan asli N = (1, 2, 3, …, n, …), kemudian bilangan bulat Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rasional Q

Interpretasi geometris bilangan kompleks
Diketahui bahwa bilangan negatif diperkenalkan sehubungan dengan solusi persamaan linier dengan satu variabel. Dalam soal-soal tertentu, jawaban negatif diartikan sebagai nilai besaran terarah (

Bentuk trigonometri dari bilangan kompleks
Vektor dapat ditentukan tidak hanya dengan koordinat dalam sistem koordinat persegi panjang, tetapi juga dengan panjang dan

Operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri
Lebih mudah melakukan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, serta perkalian dan pembagian dalam bentuk trigonometri. 1. Perkalian Misalkan dua k

Eksponensial
Jika z = r(cosj + i×sinj), maka zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), dengan n Î

Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks
Diketahui dari analisis matematis bahwa e = , e adalah bilangan irasional. Eile

Konsep hubungan
Definisi 2.1. Relasi n-ary (atau n-ary) P pada himpunan A1, A2, …, An adalah sembarang subhimpunan

Properti Relasi Biner
Misalkan relasi biner P diberikan pada himpunan A tak kosong, yaitu P Í A2. Definisi 2.9 Relasi biner P pada suatu himpunan

Relasi ekuivalensi
Definisi 2.15. Relasi biner pada himpunan A disebut relasi ekuivalensi jika bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Rasio setara

Fungsi
Definisi 2.20 Relasi biner ƒ н A ´ B disebut fungsi dari himpunan A ke himpunan B jika untuk sembarang x

Konsep umum
Definisi 3.1. Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang berisi m baris dan n kolom. Bilangan m dan n disebut orde (atau

Menjumlahkan Matriks dari Jenis yang Sama
Anda hanya dapat menambahkan matriks dengan jenis yang sama. Definisi 3.12. Jumlah dua matriks A = (aij) dan B = (bij), dimana i = 1,

Sifat penjumlahan matriks
1) komutatif: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) asosiatif:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Mengalikan Matriks dengan Angka
Definisi 3.13. Hasil kali matriks A = (aij) dan bilangan real k adalah matriks C = (сij) di mana

Sifat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

perkalian matriks
Kami mendefinisikan perkalian dua matriks; Untuk melakukan ini, kita perlu memperkenalkan beberapa konsep tambahan. Definisi 3.14. Matriks A dan B disebut konsisten

Sifat perkalian matriks
1) Perkalian matriks tidak bersifat komutatif: A×B ≠ B×A. Properti ini dapat ditunjukkan dengan contoh. Contoh 3.6. A)

Transposisi matriks
Definisi 3.16. Matriks Аt, diperoleh dari yang diberikan dengan mengganti setiap barisnya dengan kolom dengan nomor yang sama, disebut ditransposisikan ke matriks A yang diberikan

Penentu matriks orde kedua dan ketiga
Setiap matriks bujur sangkar A dengan orde n diberi nomor, yang disebut determinan matriks ini. Penunjukan: D, |A|, det A,

Definisi 4.6.
1. Untuk n = 1, matriks A terdiri dari satu bilangan: |A| = a11. 2. Diketahui determinan matriks berorde (n – 1). 3. Tentukan

Properti kualifikasi
Untuk menghitung determinan dengan orde lebih besar dari 3, properti determinan dan teorema Laplace digunakan. Teorema 4.1 (Laplace). Determinan matriks bujur sangkar

Perhitungan praktis determinan
Salah satu cara untuk menghitung determinan dari urutan di atas tiga adalah dengan mengembangkannya dalam beberapa kolom atau baris. Contoh 4.4 Hitung determinan D =

Konsep peringkat matriks
Misalkan A adalah matriks m ´ n. Kami memilih k baris dan k kolom secara acak dalam matriks ini, di mana 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Mencari rank suatu matriks dengan metode bordering minor
Salah satu cara untuk mencari pangkat suatu matriks adalah pencacahan anak di bawah umur. Metode ini didasarkan pada penentuan peringkat matriks. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut. Jika setidaknya ada satu elemen

Mencari pangkat matriks menggunakan transformasi elementer
Pertimbangkan cara lain untuk mencari pangkat matriks. Definisi 5.4. Transformasi berikut disebut transformasi matriks elementer: 1. perkalian

Konsep matriks invers dan cara mencarinya
Diberikan matriks bujur sangkar A. Definisi 5.7. Matriks A–1 disebut invers matriks A jika A×A–1

Algoritma untuk menemukan matriks invers
Pertimbangkan salah satu cara untuk menemukan invers dari matriks tertentu menggunakan penjumlahan aljabar. Diberikan matriks bujur sangkar A. 1. Tentukan determinan matriks |A|. UE

Mencari invers matriks menggunakan transformasi elementer
Pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks invers menggunakan transformasi elementer. Mari kita merumuskan konsep dan teorema yang diperlukan. Definisi 5.11 Nama Matriks B

Metode cramer
Pertimbangkan sistem persamaan linier di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, yaitu, m = n dan sistemnya terlihat seperti:

Metode matriks terbalik
Metode matriks invers berlaku untuk sistem persamaan linier di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dan determinan matriks utama tidak sama dengan nol. sistem notasi matriks

metode Gauss
Untuk menjelaskan metode ini, yang cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrer, diperlukan beberapa konsep baru. Definisi 6.7. persamaan 0×

Deskripsi metode Gauss
Metode Gauss - metode eliminasi berturut-turut yang tidak diketahui - terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi elementer, sistem asli direduksi menjadi sistem ekuivalen stepwise atau t

Mempelajari sistem persamaan linear
Menyelidiki sistem persamaan linier berarti, tanpa menyelesaikan sistem, menjawab pertanyaan: apakah sistem itu konsisten atau tidak, dan jika demikian, berapa banyak solusi yang dimilikinya? Balas ini di

Sistem persamaan linear homogen
Definisi 6.11 Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika suku bebasnya sama dengan nol. Sistem homogen dari m persamaan linier

Sifat-sifat Solusi Sistem Persamaan Linear Homogen
1. Jika vektor а = (a1, a2, …, an) merupakan solusi dari sistem homogen, maka vektor k×а = (k×a1, k&t

Himpunan solusi fundamental untuk sistem persamaan linear homogen
Misalkan M0 adalah himpunan solusi dari sistem persamaan linear homogen (4). Definisi 6.12 Vektor c1, c2, ..., c

Ketergantungan linear dan independensi sistem vektor
Misalkan a1, a2, …, am adalah himpunan m buah vektor berdimensi n, yang biasa disebut sistem vektor, dan k1

Sifat ketergantungan linear dari sistem vektor
1) Sistem vektor yang mengandung vektor nol bergantung secara linear. 2) Suatu sistem vektor bergantung secara linier jika salah satu subsistemnya bergantung secara linier. Konsekuensi. Jika ya

Sistem vektor satuan
Definisi 7.13. Sistem vektor satuan dalam ruang Rn adalah sistem vektor e1, e2, …, en

Dua teorema ketergantungan linier
Teorema 7.1. Jika sistem vektor yang lebih besar diekspresikan secara linier dalam suku yang lebih kecil, maka sistem yang lebih besar bergantung secara linier. Mari kita rumuskan teorema ini lebih terinci: misalkan a1

Basis dan peringkat sistem vektor
Misalkan S adalah sistem vektor dalam ruang Rn; itu bisa terbatas atau tidak terbatas. S" adalah subsistem dari sistem S, S" Ì S. Mari kita beri dua

Peringkat dari sistem vektor
Mari kita berikan dua definisi yang setara dari peringkat sistem vektor. Definisi 7.16. Peringkat sistem vektor adalah jumlah vektor di setiap basis sistem ini.

Penemuan praktis pangkat dan basis sistem vektor
Dari sistem vektor yang diberikan, kami menyusun matriks dengan mengatur vektor sebagai baris dari matriks ini. Kami membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar di atas baris matriks ini. Pada

Definisi ruang vektor di atas bidang arbitrer
Biarkan P menjadi medan arbitrer. Contoh bidang yang kita kenal adalah bidang bilangan rasional, real, kompleks. Definisi 8.1. Himpunan V dipanggil

Sifat paling sederhana dari ruang vektor
1) o adalah vektor nol (elemen), yang didefinisikan secara unik dalam ruang vektor arbitrer di atas bidang. 2) Untuk setiap vektor a О V, ada yang unik

Subruang. Manifold linier
Biarkan V menjadi ruang vektor, L Ì V (L adalah himpunan bagian dari V). Definisi 8.2. Subset L dari vektor pro

Persimpangan dan jumlah subruang
Misalkan V adalah ruang vektor di atas bidang P, L1 dan L2 adalah subruangnya. Definisi 8.3. subkueri persimpangan

Manifold linier
Misalkan V adalah ruang vektor, L adalah subruang, dan a adalah vektor arbitrer dari ruang V. Definisi 8.6 Dengan manifold linier

Ruang vektor berdimensi hingga
Definisi 8.7 Suatu ruang vektor V disebut n-dimensi jika memuat sistem vektor bebas linier yang terdiri dari n vektor, dan untuk

Basis ruang vektor berdimensi hingga
V adalah ruang vektor berdimensi hingga di atas bidang P, S adalah sistem vektor (hingga atau tak terbatas). Definisi 8.10. Dasar dari sistem S

Koordinat vektor relatif terhadap basis yang diberikan
Pertimbangkan ruang vektor berdimensi hingga V dengan dimensi n, vektor e1, e2, …, en membentuk basisnya. Biarkan menjadi prod

Koordinat vektor di berbagai basis
Biarkan V menjadi ruang vektor n-dimensi di mana dua basis diberikan: e1, e2, ..., en adalah basis lama, e "1, e

ruang vektor Euclidean
Diberikan ruang vektor V pada bidang bilangan real. Ruang ini dapat berupa ruang vektor berdimensi-hingga dengan dimensi n atau berdimensi tak-hingga.

Produk titik dalam koordinat
Dalam ruang vektor Euclidean n-dimensi V, diberikan basis e1, e2, …, en. Vektor x dan y didekomposisi menjadi vektor

Konsep metrik
Dalam ruang vektor Euclidean, seseorang dapat beralih dari produk skalar yang diperkenalkan ke konsep norma vektor dan sudut antar vektor. Definisi 8.16. Norma (

Properti Norma
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, karena ||la|| =

Basis ortonormal dari ruang vektor Euclidean
Definisi 8.21. Suatu basis ruang vektor Euclidean disebut ortogonal jika vektor-vektor basis tersebut ortogonal berpasangan, yaitu jika a1, a

Proses ortogonalisasi
Teorema 8.12. Setiap ruang Euclidean n-dimensi memiliki basis ortonormal. Bukti. Misalkan a1, a2

Produk titik dalam basis ortonormal
Diberikan basis ortonormal e1, e2, …, en dari ruang Euclidean V. Karena (ei, ej) = 0 untuk i

Pelengkap subruang ortogonal
V adalah ruang vektor Euclidean, L adalah subruangnya. Definisi 8.23. Sebuah vektor a dikatakan ortogonal terhadap subruang L jika vektor tersebut

Hubungan antara koordinat vektor dan koordinat bayangannya
Sebuah operator linear j diberikan di ruang V, dan matriksnya M(j) ditemukan di beberapa basis e1, e2, …, en. Biarkan ini menjadi dasar

matriks serupa
Mari kita perhatikan himpunan Pn'n dari matriks kuadrat berorde n dengan elemen dari bidang arbitrer P. Pada himpunan ini kita perkenalkan relatif

Properti relasi kesamaan matriks
1. Refleksivitas. Setiap matriks mirip dengan dirinya sendiri, yaitu A ~ A. 2. Simetri. Jika matriks A mirip dengan B, maka B mirip dengan A, yaitu

Properti vektor eigen
1. Setiap vektor eigen hanya dimiliki oleh satu nilai eigen. Bukti. Biarkan x menjadi vektor eigen dengan dua nilai eigen

Polinomial karakteristik suatu matriks
Diberi matriks A Î Pn´n (atau A Î Rn´n). Mendefinisikan

Kondisi di mana matriks mirip dengan matriks diagonal
Biarkan A menjadi matriks persegi. Kita dapat berasumsi bahwa ini adalah matriks dari beberapa operator linier yang diberikan dalam beberapa basis. Diketahui bahwa di basis lain matriks operator linier

Bentuk normal Jordan
Definisi 10.5. Suatu sel Jordan dengan orde k terkait dengan bilangan l0 adalah matriks orde k, 1 ≤ k ≤ n,

Pengurangan matriks ke bentuk Jordan (normal).
Teorema 10.3. Bentuk normal Jordan didefinisikan secara unik untuk matriks hingga urutan di mana sel Jordan terletak di diagonal utama. Dll

Bentuk Bilinear
Definisi 11.1. Bentuk bilinear adalah fungsi (pemetaan) f: V ´ V ® R (atau C), di mana V adalah sembarang vektor n

Properti Bentuk Bilinear
Bentuk bilinear apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari bentuk simetris miring-simetris. Dengan memilih basis e1, e2, …, en pada vektor

Transformasi matriks bentuk bilinear saat beralih ke basis baru. Peringkat bentuk bilinear
Misalkan dua alas e = (e1, e2, …, en) dan f = (f1, f2,

Bentuk kuadrat
Misalkan A(x,y) adalah bentuk bilinear simetris yang didefinisikan pada ruang vektor V. Definisi 11.6 Dengan bentuk kuadrat

Pengurangan bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
Diberikan bentuk kuadrat (2) A(x, x) = , dimana x = (x1

Hukum inersia bentuk kuadrat
Ditetapkan bahwa jumlah koefisien kanonik non-nol dari bentuk kuadrat sama dengan pangkatnya dan tidak bergantung pada pilihan transformasi nondegenerasi yang dengannya bentuk A(x

Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk bentuk kuadrat menjadi tanda-tertentu
Pernyataan 11.1. Agar bentuk kuadrat A(x, x) yang diberikan dalam ruang vektor n-dimensi V menjadi tanda-tertentu, diperlukan

Kondisi yang Diperlukan dan Cukup untuk Kuasi-Mengubah Bentuk Kuadrat
Pernyataan 11.3. Agar bentuk kuadrat A(x, x) yang didefinisikan dalam ruang vektor n-dimensi V menjadi kuasi-bolak-balik (yaitu,

Kriteria Sylvester untuk kepastian tanda dari bentuk kuadrat
Misalkan bentuk A(x, x) dengan basis e = (e1, e2, …, en) didefinisikan oleh matriks A(e) = (aij)

Kesimpulan
Aljabar Linear adalah bagian wajib dari setiap program matematika lanjutan. Bagian lain mana pun mengasumsikan adanya pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan yang ditetapkan selama pengajaran disiplin ini.

daftar bibliografi
Burmistrov EB, Lobanov S.G. Aljabar linier dengan elemen geometri analitik. - M .: Rumah Penerbitan Sekolah Tinggi Ekonomi, 2007. Beklemishev D.V. Kursus Geometri Analitik dan Aljabar Linear.

Aljabar linier
Alat bantu pengajaran Editor dan korektor G. D. Neganova Computer typesetting oleh T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Ruang linear V disebut n-dimensi, jika berisi sistem dengan n vektor bebas linier, dan sistem apa pun dengan lebih banyak vektor bergantung secara linier. Nomor n disebut dimensi (jumlah dimensi) ruang linier V dan dilambangkan \namaoperator(redup)V. Dengan kata lain, dimensi suatu ruang adalah jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tersebut. Jika bilangan seperti itu ada, maka ruang tersebut dikatakan berdimensi-hingga. Jika untuk bilangan asli n dalam ruang V terdapat sistem yang terdiri dari n vektor bebas linier, maka ruang seperti itu disebut dimensi tak hingga (mereka menulis: \namaoperator(redup)V=\infty). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi hingga akan dibahas.

Dasar ruang linier n-dimensi adalah himpunan terurut dari n vektor bebas linier ( vektor basis).

Teorema 8.1 tentang perluasan vektor dalam bentuk basis. Jika adalah basis dari ruang linear n-dimensi V , maka setiap vektor \mathbf(v)\in V dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari vektor basis:

\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n

dan terlebih lagi, dengan cara yang unik, yaitu. kemungkinan \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n didefinisikan secara jelas. Dengan kata lain, vektor ruang apa pun dapat diperluas dalam suatu basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Memang, dimensi ruang V sama dengan n . sistem vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n bebas linier (inilah dasarnya). Setelah menambahkan sembarang vektor \mathbf(v) ke basis, kita mendapatkan sistem yang bergantung secara linear \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(karena sistem ini terdiri dari (n + 1) vektor ruang berdimensi n). Dengan properti dari 7 vektor yang bergantung secara linier dan bebas linier, kami memperoleh kesimpulan dari teorema tersebut.

Konsekuensi 1. Jika \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n adalah basis dari ruang V , maka V=\namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), yaitu ruang linier adalah rentang linier dari vektor basis.

Memang, untuk membuktikan kesetaraan V=\namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dua set, itu cukup untuk menunjukkan bahwa inklusi V\subset \namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) dan dieksekusi pada saat yang bersamaan. Memang, di satu sisi, setiap kombinasi linier vektor dalam ruang linier adalah milik ruang linier itu sendiri, yaitu. \namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Sebaliknya, menurut Teorema 8.1 setiap vektor ruang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, yaitu V\subset \namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Ini menyiratkan persamaan dari set yang dipertimbangkan.

Konsekuensi 2. Jika \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n adalah sistem vektor bebas linier dalam ruang linier V dan sembarang vektor \mathbf(v)\in V dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, maka ruang V berdimensi n , dan sistem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n adalah dasarnya.

Memang, di ruang V ada sistem n vektor bebas linier, dan sistem apa pun \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n lebih banyak vektor (k>n) bergantung secara linier, karena setiap vektor dari sistem ini dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Cara, \namaoperator(redup) V=n Dan \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- dasar V .

Teorema 8.2 tentang penyelesaian sistem vektor ke basis. Setiap sistem vektor k bebas linear dalam ruang linear n-dimensi (1\leqslant k

Memang, misalkan sistem vektor bebas linier dalam ruang n-dimensi V~(1\leqslant k . Pertimbangkan rentang linier dari vektor-vektor ini: L_k=\namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k). Vektor apa pun \mathbf(v)\di L_k bentuk dengan vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k sistem yang bergantung linier \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(v), karena vektor \mathbf(v) diekspresikan secara linier dalam bentuk yang lain. Karena ada n vektor bebas linier dalam ruang n-dimensi, maka L_k\ne V dan terdapat sebuah vektor \mathbf(e)_(k+1)\di V, yang bukan milik L_k . Melengkapi dengan vektor ini sistem bebas linier \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k, kita mendapatkan sistem vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1), yang juga bebas linier. Memang, jika ternyata bergantung secara linier, maka akan mengikuti dari item 1 dari Catatan 8.3 bahwa \mathbf(e)_(k+1)\in \namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k)=L_k, yang bertentangan dengan kondisi \mathbf(e)_(k+1)\notin L_k. Jadi, sistem vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1) bebas linier. Ini berarti bahwa sistem vektor asli dilengkapi dengan satu vektor tanpa melanggar independensi linier. Kami melanjutkan dengan cara yang sama. Pertimbangkan rentang linier dari vektor-vektor ini: L_(k+1)=\namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)). Jika L_(k+1)=V , maka \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)- dasar dan teorema terbukti. Jika L_(k+1)\ne V , maka kita selesaikan sistemnya \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1) vektor \mathbf(e)_(k+2)\notin L_(k+1) dll. Proses penyelesaian pasti akan berakhir, karena ruang V berdimensi-hingga. Hasilnya, kami mendapatkan kesetaraan V=L_n=\namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n), dari mana ia mengikuti itu \mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n adalah dasar dari ruang V . Teorema telah terbukti.

Keterangan 8.4

1. Basis ruang linier didefinisikan secara ambigu. Misalnya, jika \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n adalah dasar dari ruang V , maka sistem vektor \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n untuk setiap \lambda\ne0 juga merupakan basis dari V . Jumlah vektor basis di basis berbeda dari ruang berdimensi hingga yang sama, tentu saja, sama, karena angka ini sama dengan dimensi ruang.

2. Di beberapa ruang, sering ditemui dalam aplikasi, salah satu basis yang mungkin, yang paling nyaman dari sudut pandang praktis, disebut basis standar.

3. Teorema 8.1 memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa basis adalah sistem lengkap dari elemen-elemen ruang linier, dalam arti bahwa setiap vektor ruang dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor basis.

4. Jika himpunan \mathbb(L) adalah rentang linier \namaoperator(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), lalu vektor \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k disebut generator dari set \mathbb(L) . Akibat wajar 1 dari Teorema 8.1, berdasarkan persamaan V=\namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa dasarnya adalah sistem pembangkit minimal ruang linier V , karena tidak mungkin untuk mengurangi jumlah generator (hapus setidaknya satu vektor dari himpunan \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) tanpa melanggar persamaan V=\namaoperator(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).

5. Teorema 8.2 memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa basisnya adalah sistem vektor bebas linear maksimum ruang linier, karena basisnya adalah sistem vektor yang bebas linier, dan tidak dapat ditambah dengan vektor apa pun tanpa kehilangan kemerdekaan liniernya.

6. Lebih mudah menggunakan Corollary 2 dari Teorema 8.1 untuk menemukan basis dan dimensi ruang linier. Dalam beberapa buku ajar diambil definisi dasar, yaitu: sistem bebas linier \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n vektor ruang linier disebut basis jika setiap vektor ruang dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Jumlah vektor basis menentukan dimensi ruang. Tentu saja, definisi ini setara dengan yang diberikan di atas.

Contoh basis untuk ruang linier

Kami menunjukkan dimensi dan basis untuk contoh ruang linier yang dipertimbangkan di atas.

1. Ruang linier nol \(\mathbf(o)\) tidak mengandung vektor bebas linier. Oleh karena itu, dimensi ruang ini diasumsikan nol: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Ruang ini tidak memiliki dasar.

2. Ruang V_1,\,V_2,\,V_3 masing-masing memiliki dimensi 1, 2, 3. Memang, setiap vektor bukan nol dari ruang V_1 , membentuk sistem bebas linier (lihat item 1. dari Keterangan 8.2), dan dua vektor bukan nol dari ruang V_1 adalah kolinear, yaitu bergantung secara linear (lihat Contoh 8.1). Oleh karena itu, \dim(V_1)=1 , dan basis ruang V_1 adalah vektor bukan nol. Demikian pula, kami membuktikan bahwa \dim(V_2)=2 dan \dim(V_3)=3 . Basis ruang V_2 adalah dua vektor non-kolinier yang diambil dalam urutan tertentu (salah satunya dianggap sebagai vektor basis pertama, yang lain - yang kedua). Basis ruang V_3 adalah tiga vektor non-coplanar (tidak terletak pada bidang yang sama atau paralel), diambil dalam urutan tertentu. Basis standar dalam V_1 adalah vektor satuan \vec(i) pada baris. Basis standar di V_2 adalah basis \vec(i),\,\vec(j), terdiri dari dua vektor satuan bidang yang saling tegak lurus. Dasar standar di ruang V_3 adalah dasarnya \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), terdiri dari tiga satuan vektor tegak lurus berpasangan yang membentuk triple kanan.

3. Ruang \mathbb(R)^n berisi tidak lebih dari n vektor bebas linear. Memang, mari kita ambil k kolom dari \mathbb(R)^n dan buat matriks dengan ukuran n\kali k darinya. Jika k>n , maka kolom-kolom tersebut bergantung secara linier oleh Teorema 3.4 pada pangkat suatu matriks. Karena itu, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Di ruang \mathbb(R)^n tidak sulit menemukan n kolom yang bebas linear. Misalnya, kolom matriks identitas

\mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !.

bebas linier. Karena itu, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Ruang \mathbb(R)^n dipanggil ruang aritmatika nyata n-dimensi. Himpunan vektor yang ditentukan dianggap sebagai basis standar ruang \mathbb(R)^n . Demikian pula, terbukti bahwa \dim(\mathbb(C)^n)=n, jadi ruang \mathbb(C)^n dipanggil ruang aritmatika kompleks n-dimensi.

4. Ingatlah bahwa setiap solusi dari sistem homogen Ax=o dapat direpresentasikan sebagai x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Di mana r=\namaoperator(rg)A, A \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- sistem keputusan mendasar. Karena itu, \(Ax=o\)=\namaoperator(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), yaitu dasar ruang \(Ax=0\) solusi dari sistem homogen adalah sistem solusi fundamentalnya, dan dimensi ruang adalah \dim\(Ax=o\)=n-r , di mana n adalah jumlah tidak diketahui, dan r adalah rank dari matriks sistem.

5. Di ruang M_(2\times3) dari matriks berukuran 2\times3, 6 matriks dapat dipilih:

\begin(berkumpul)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(berkumpul)

yang bebas linear. Memang, kombinasi linier mereka

\alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix)

sama dengan matriks nol hanya dalam kasus sepele \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Membaca persamaan (8.5) dari kanan ke kiri, kami menyimpulkan bahwa setiap matriks dari M_(2\times3) dinyatakan secara linier dalam 6 matriks yang dipilih, yaitu M_(2\kali)= \namaoperator(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Karena itu, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, dan matriks \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 adalah dasar (standar) dari ruang ini. Demikian pula, terbukti bahwa \dim(M_(m\kali n))=m\cdot n.

6. Untuk sembarang bilangan asli n dalam ruang P(\mathbb(C)) polinomial dengan koefisien kompleks, dapat ditemukan n elemen bebas linier. Misalnya, polinomial \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) bebas linier, karena kombinasi liniernya

a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1)

sama dengan polinomial nol (o(z)\equiv0) hanya dalam kasus sepele a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Karena sistem polinomial ini bebas linier untuk setiap n alami, ruang P(\mathbb(C)) berdimensi tak hingga. Demikian pula, kami menyimpulkan bahwa ruang P(\mathbb(R)) dari polinomial dengan koefisien nyata memiliki dimensi tak terhingga. Ruang P_n(\mathbb(R)) dari polinomial berderajat paling banyak n berdimensi-hingga. Memang, vektor \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ltitik, \mathbf(e)_(n+1)=x^n membentuk basis (standar) untuk ruang ini, karena mereka bebas linier dan polinomial apa pun di P_n(\mathbb(R)) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor ini:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1). Karena itu, \dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1.

7. Ruang C(\mathbb(R)) dari fungsi kontinu berdimensi tak hingga. Memang, untuk sembarang n polinomial 1,x,x^2,\ltitik, x^(n-1), dianggap sebagai fungsi kontinu, membentuk sistem bebas linier (lihat contoh sebelumnya).

Di ruang hampa T_(\omega)(\mathbb(R)) binomial trigonometri (frekuensi \omega\ne0 ) dengan koefisien basis real membentuk monomial \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Mereka bebas secara linier, karena kesamaan identitas a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 hanya mungkin dalam kasus sepele (a=b=0) . Setiap fungsi dari bentuk f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t dinyatakan secara linear dalam hal yang dasar: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).

8. Ruang \mathbb(R)^X dari fungsi real yang didefinisikan pada himpunan X , bergantung pada domain X, dapat berdimensi-hingga atau dimensi-tak-hingga. Jika X adalah himpunan berhingga, maka ruang \mathbb(R)^X berdimensi-hingga (misalnya, X=\(1,2,\ltitik,n\)). Jika X adalah himpunan tak terhingga, maka ruang \mathbb(R)^X berdimensi tak terhingga (misalnya, ruang \mathbb(R)^N dari deret).

9. Di ruang \mathbb(R)^(+) bilangan positif apa pun \mathbf(e)_1 yang tidak sama dengan 1 dapat berfungsi sebagai basis. Ambil, misalnya, angka \mathbf(e)_1=2 . Angka positif apa pun r dapat dinyatakan dalam bentuk \mathbf(e)_1 , yaitu hadir dalam bentuk \alpha\cdot \mathbf(e)_1\titik dua r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, di mana \alpha_1=\log_2r . Oleh karena itu, dimensi ruang ini adalah 1, dan angka \mathbf(e)_1=2 adalah basis.

10. Biarkan \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n adalah basis dari ruang linier nyata V . Kami mendefinisikan fungsi skalar linier pada V dengan pengaturan:

\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(kasus)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(kasus)

Pada saat yang sama, karena linearitas fungsi \mathcal(E)_i , untuk vektor arbitrer kami peroleh \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.

Jadi, n elemen (vektor) didefinisikan \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n ruang ganda V^(\ast) . Mari kita buktikan itu \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- dasar V^(\ast) .

Pertama, kami menunjukkan bahwa sistem \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n bebas linier. Memang, ambil kombinasi linier dari vektor-vektor ini (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= dan samakan dengan fungsi nol

\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\dalam V.

Mensubstitusi ke persamaan ini \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, kita mendapatkan \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Oleh karena itu, sistem elemen \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n ruang V^(\ast) bebas linier, karena persamaan \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) mungkin hanya dalam kasus sepele.

Kedua, kami membuktikan bahwa setiap fungsi linear f\in V^(\ast) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Memang, untuk vektor apa pun \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n karena linearitas fungsi f, kami memperoleh:

\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(sejajar)

itu. fungsi f direpresentasikan sebagai kombinasi linier f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n fungsi \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(angka \beta_i=f(\mathbf(e)_i) adalah koefisien dari kombinasi linier). Oleh karena itu, sistem covectors \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n adalah basis dari ruang ganda V^(\ast) dan \redup(V^(\ast))=\redup(V)(untuk ruang berdimensi hingga V ).

Jika Anda melihat kesalahan, salah ketik, atau punya saran, tulis di komentar.