Distribusi merata. nilai kontinyu X tersebar merata pada interval ( A, B) jika semua nilai yang mungkin ada dalam interval ini dan kerapatan distribusi probabilitasnya konstan:

Untuk variabel acak X, terdistribusi secara merata dalam interval ( A, B) (Gbr. 4), probabilitas jatuh ke dalam interval apa pun ( X 1 , X 2 ) berbaring di dalam interval ( A, B), adalah sama dengan:

(30)


Beras. 4. Grafik kepadatan distribusi yang seragam

Kesalahan pembulatan adalah contoh besaran yang terdistribusi secara merata. Jadi, jika semua nilai tabel dari fungsi tertentu dibulatkan ke digit yang sama, kemudian memilih nilai tabel secara acak, kami menganggap bahwa kesalahan pembulatan dari angka yang dipilih adalah variabel acak yang terdistribusi secara seragam dalam interval

distribusi eksponensial. Variabel acak kontinu X Memiliki distribusi eksponensial

(31)

Grafik kepadatan distribusi probabilitas (31) ditunjukkan pada gambar. 5.

Beras. 5. Grafik kerapatan distribusi eksponensial

Waktu T operasi bebas kegagalan dari sistem komputer adalah variabel acak yang memiliki distribusi eksponensial dengan parameternya λ , arti fisiknya adalah jumlah rata-rata kegagalan per satuan waktu, tidak termasuk waktu henti sistem untuk perbaikan.

Distribusi normal (Gaussian). Nilai acak X Memiliki normal (gaussian) distribusi, jika distribusi kerapatan probabilitasnya ditentukan oleh ketergantungan:

(32)

Di mana M = M(X) , .

Pada distribusi normal disebut standar.

Grafik kepadatan distribusi normal (32) ditunjukkan pada gambar. 6.

Beras. 6. Grafik kerapatan distribusi normal

Distribusi normal adalah distribusi yang paling umum dalam berbagai fenomena alam yang acak. Jadi, kesalahan dalam pelaksanaan perintah oleh perangkat otomatis, kesalahan dalam meluncurkan pesawat ruang angkasa ke titik tertentu di ruang angkasa, kesalahan dalam parameter sistem komputer, dll. dalam banyak kasus memiliki distribusi normal atau mendekati normal. Selain itu, variabel acak yang dibentuk oleh penjumlahan sejumlah besar suku acak didistribusikan hampir sesuai dengan hukum normal.

distribusi gama. Nilai acak X Memiliki distribusi gama, jika distribusi kerapatan probabilitasnya dinyatakan dengan rumus:

(33)

Di mana adalah fungsi gama Euler.

Bab 6. Variabel acak kontinu.

§ 1. Kepadatan dan fungsi distribusi dari variabel acak kontinu.

Himpunan nilai variabel acak kontinu tidak terhitung dan biasanya mewakili beberapa interval terbatas atau tidak terbatas.

Variabel acak x(w) yang diberikan dalam ruang probabilitas (W, S, P) disebut kontinu(kontinu mutlak) W jika terdapat fungsi tak negatif sehingga, untuk sembarang x, fungsi distribusi Fx(x) dapat dinyatakan sebagai integral

Fungsi tersebut disebut fungsi kepadatan distribusi probabilitas.

Sifat-sifat fungsi kerapatan distribusi mengikuti dari definisi:

1..gif" width="97" height="51">

3. Pada titik-titik kontinu, kerapatan distribusi sama dengan turunan fungsi distribusi: .

4. Kepadatan distribusi menentukan hukum distribusi variabel acak, karena menentukan probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval:

5. Probabilitas suatu variabel acak kontinu akan mengambil nilai tertentu adalah nol: . Oleh karena itu, persamaan berikut ini benar:

Plot fungsi kerapatan distribusi disebut kurva distribusi, dan luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x sama dengan satu. Kemudian, secara geometris, nilai fungsi distribusi Fx(x) pada titik x0 adalah luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x serta terletak di sebelah kiri titik x0.

Tugas 1. Fungsi kepadatan dari variabel acak kontinu memiliki bentuk:

Tentukan konstanta C, bangun fungsi distribusi Fx(x) dan hitung probabilitasnya.

Larutan. Konstanta C ditemukan dari kondisi Kami memiliki:

dimana C = 3/8.

Untuk membuat fungsi distribusi Fx(x), perhatikan bahwa interval membagi rentang argumen x (sumbu angka) menjadi tiga bagian: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "tinggi="49">

karena kerapatan x pada semiaxis adalah nol. Dalam kasus kedua

Akhirnya, dalam kasus terakhir, ketika x>2,

Karena kepadatan menghilang pada semiaxis . Jadi, fungsi distribusi diperoleh

Kemungkinan hitung dengan rumus. Dengan demikian,

§ 2. Karakteristik numerik dari variabel acak kontinu

Nilai yang diharapkan untuk variabel acak yang didistribusikan secara terus menerus ditentukan oleh rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

jika integral di kanan konvergen mutlak.

Penyebaran x dapat dihitung menggunakan rumus , dan juga, seperti dalam kasus diskrit, menurut rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Semua sifat ekspektasi dan varian yang diberikan pada Bab 5 untuk variabel acak diskrit juga berlaku untuk variabel acak kontinu.

Tugas 2. Untuk variabel acak x dari Soal 1, hitung ekspektasi matematis dan varians .

Larutan.

Dan itu artinya

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Untuk grafik kerapatan distribusi seragam, lihat gbr. .

Gambar 6.2. Fungsi distribusi dan densitas distribusi. hukum yang seragam

Fungsi distribusi Fx(x) dari variabel acak yang terdistribusi merata adalah

Fx(x)=

Ekspektasi dan dispersi matematis; .

Distribusi eksponensial (eksponensial). Suatu peubah acak kontinu x yang mengambil nilai tak negatif berdistribusi eksponensial dengan parameter l>0 jika kerapatan distribusi probabilitas peubah acak tersebut sama dengan

px(x)=

Beras. 6.3. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi hukum eksponensial.

Fungsi distribusi dari distribusi eksponensial memiliki bentuk

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> dan , jika densitas distribusinya sama dengan

.

Himpunan semua variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal dengan parameter dan parameter dilambangkan dengan .

Fungsi distribusi dari variabel acak yang terdistribusi normal adalah

.

Beras. 6.4. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi hukum normal

Parameter distribusi normal adalah ekspektasi matematis https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Dalam kasus tertentu ketika https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribusi normal disebut standar, dan kelas distribusi tersebut ditetapkan https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

sedangkan fungsi distribusi

Integral seperti itu tidak dapat dihitung secara analitik (tidak diambil dalam "persegi"), dan oleh karena itu tabel disusun untuk fungsi tersebut. Fungsi ini terkait dengan fungsi Laplace yang diperkenalkan di Bab 4

,

relasi berikut . Dalam hal nilai parameter yang sewenang-wenang https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> fungsi distribusi variabel acak terkait dengan fungsi Laplace menggunakan relasi:

.

Oleh karena itu, probabilitas variabel acak yang terdistribusi normal jatuh ke dalam interval dapat dihitung dengan rumus

.

Variabel acak tak-negatif x disebut berdistribusi log-normal jika logaritmanya h=lnx memenuhi hukum normal. Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang terdistribusi secara normal adalah Mx= dan Dx=.

Tugas 3. Biarkan nilai acak diberikan https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Larutan. Di sini dan https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

distribusi Laplace diatur oleh fungsi fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> dan kurtosisnya adalah gx=3.

Gambar 6.5. fungsi kerapatan distribusi Laplace.

Variabel acak x didistribusikan hukum Weibull, jika memiliki fungsi kepadatan distribusi sama dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribusi Weibull mematuhi waktu operasi bebas kegagalan dari banyak perangkat teknis. Dalam tugas profil ini, karakteristik penting adalah tingkat kegagalan (tingkat kematian) l(t) dari unsur usia t yang dipelajari, ditentukan oleh hubungan l(t)=. Jika a=1, maka distribusi Weibull berubah menjadi distribusi eksponensial, dan jika a=2 - menjadi apa yang disebut distribusi Rayleigh.

Harapan matematis dari distribusi Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, di mana Г(а) adalah Euler fungsi. .

Dalam berbagai masalah statistik terapan, yang disebut distribusi "terpotong" sering dijumpai. Misalnya, otoritas pajak tertarik pada distribusi pendapatan orang-orang yang pendapatan tahunannya melebihi batas tertentu c0 yang ditetapkan oleh undang-undang perpajakan. Distribusi ini ternyata kurang lebih sama dengan distribusi Pareto. Distribusi Pareto diberikan oleh fungsi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> variabel acak x dan fungsi terdiferensiasi monotonik ..gif" width="200" height="51">

Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Tugas 4. Variabel acak terdistribusi secara merata pada interval . Temukan kerapatan variabel acak .

Larutan. Ini mengikuti dari kondisi masalah itu

Selanjutnya, fungsi adalah fungsi monoton dan terdiferensialkan pada interval dan memiliki fungsi invers , yang turunannya sama Oleh karena itu,

§ 5. Sepasang variabel acak kontinu

Biarkan dua variabel acak kontinu x dan h diberikan. Kemudian pasangan (x, h) menentukan titik "acak" pada bidang tersebut. Sepasang (x, h) disebut vektor acak atau variabel acak dua dimensi.

fungsi distribusi bersama variabel acak x dan h dan fungsinya disebut F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. kepadatan sendi distribusi probabilitas variabel acak x dan h adalah fungsi sehingga .

Arti dari definisi kepadatan distribusi bersama ini adalah sebagai berikut. Probabilitas bahwa "titik acak" (x, h) akan jatuh ke suatu area pada bidang dihitung sebagai volume gambar tiga dimensi - silinder "melengkung" yang dibatasi oleh permukaan https://pandia.ru/ teks/78/107/gambar/gambar098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Contoh paling sederhana dari distribusi bersama dari dua variabel acak adalah dua dimensi distribusi seragam di setA. Misalkan diberikan himpunan terbatas M dengan luas yang didefinisikan sebagai distribusi pasangan (x, h) yang diberikan oleh kerapatan sambungan berikut:

Tugas 5. Biarkan vektor acak dua dimensi (x, h) terdistribusi secara merata di dalam segitiga . Hitung probabilitas pertidaksamaan x>h.

Larutan. Luas segitiga yang ditunjukkan sama dengan (lihat Gambar No.?). Berdasarkan definisi distribusi seragam dua dimensi, kerapatan gabungan dari variabel acak x, h sama dengan

Acara sesuai dengan set di pesawat, yaitu setengah pesawat. Lalu probabilitasnya

Pada setengah bidang B, kerapatan sambungan sama dengan nol di luar himpunan https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Jadi , setengah bidang B dibagi menjadi dua set dan https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> dan , dan integral kedua adalah nol, karena kerapatan sambungan di sana nol. Itu sebabnya

Jika kerapatan distribusi bersama untuk pasangan (x, h) diberikan, maka kerapatan dan komponen x dan h disebut kepadatan pribadi dan dihitung dengan rumus:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Untuk variabel acak yang terdistribusi secara kontinyu dengan densitas px(x), ph(y), independensi berarti demikian

Tugas 6. Berdasarkan kondisi soal sebelumnya, tentukan apakah komponen vektor acak x dan h saling bebas?

Larutan. Mari kita hitung kerapatan parsial dan . Kita punya:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Jelas, dalam kasus kami https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> adalah kerapatan gabungan dari x dan h, dan j(x, y) adalah fungsi dari dua argumen, maka

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Tugas 7. Dalam kondisi masalah sebelumnya, hitung .

Larutan. Menurut rumus di atas, kita memiliki:

.

Mewakili segitiga sebagai

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Kepadatan jumlah dua variabel acak kontinu

Biarkan x dan h menjadi variabel acak independen dengan kepadatan https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25"> Kepadatan variabel acak x + h dihitung dari rumus konvolusi

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Hitung kepadatan jumlah.

Larutan. Karena x dan h didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter , kerapatannya sama dengan

Karena itu,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 tinggi=51" height="51">

Jika x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">adalah negatif, dan karena itu . Oleh karena itu, jika https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Jadi, kami mendapat jawabannya:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> berdistribusi normal dengan parameter 0 dan 1. Variabel acak x1 dan x2 independen dan memiliki normal distribusi dengan parameter a1 dan a2 masing-masing Buktikan bahwa x1 + x2 berdistribusi normal Variabel acak x1, x2, ... xn berdistribusi dan bebas serta memiliki fungsi kerapatan distribusi yang sama

.

Temukan fungsi distribusi dan kepadatan distribusi kuantitas:

a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = maks(x1,x2, ... xn )

Variabel acak x1, x2, ... xn bebas dan terdistribusi merata pada interval [а, b]. Temukan fungsi distribusi dan fungsi kerapatan distribusi kuantitas

x(1) = min(x1,x2, ... xn) dan x(2)= maks(x1, x2, ...xn).

Buktikan bahwa M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Variabel acak didistribusikan menurut hukum Cauchy Cari: a) koefisien a; b) fungsi distribusi; c) probabilitas memukul interval (-1, 1). Tunjukkan bahwa harapan x tidak ada. Variabel acak memenuhi hukum Laplace dengan parameter l (l>0): Carilah koefisien a; membangun grafik kerapatan distribusi dan fungsi distribusi; temukan Mx dan Dx; temukan probabilitas kejadian (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Tulis rumus kerapatan distribusi, cari Mx dan Dx.

Tugas komputasi.

Titik acak A memiliki distribusi yang seragam dalam lingkaran dengan jari-jari R. Temukan ekspektasi matematis dan varians jarak r dari titik ke pusat lingkaran. Tunjukkan bahwa besaran r2 terdistribusi secara merata pada ruas .

Kepadatan distribusi variabel acak memiliki bentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi variabel acak memiliki bentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi variabel acak memiliki bentuk:
Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), varians dan probabilitas Variabel acak memiliki fungsi distribusi

Hitung kerapatan variabel acak, ekspektasi matematis, varians, dan probabilitas Periksa apakah fungsinya =
dapat menjadi fungsi distribusi dari variabel acak. Temukan karakteristik numerik dari kuantitas ini: Mx dan Dx. Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen . Tuliskan kepadatan distribusi. Temukan fungsi distribusinya. Temukan probabilitas mengenai variabel acak pada segmen dan segmen . Kepadatan distribusi x adalah

.

Temukan konstanta c, kerapatan distribusi h = dan probabilitasnya

P (0,25

Waktu aktif komputer didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter l = 0,05 (kegagalan per jam), yaitu memiliki fungsi kerapatan

p(x) = .

Solusi dari masalah tertentu membutuhkan pengoperasian mesin yang bebas masalah selama 15 menit. Jika kegagalan terjadi selama penyelesaian masalah, kesalahan terdeteksi hanya pada akhir penyelesaian, dan masalah diselesaikan lagi. Temukan: a) probabilitas bahwa tidak ada kegagalan yang akan terjadi selama penyelesaian masalah; b) waktu rata-rata untuk memecahkan masalah.

Sebuah batang dengan panjang 24 cm dipatahkan menjadi dua bagian; kita akan berasumsi bahwa titik putus didistribusikan secara seragam di sepanjang batang. Berapa panjang rata-rata sebagian besar batang? Sepotong panjang 12 cm dipotong secara acak menjadi dua bagian. Titik potong didistribusikan secara merata di sepanjang segmen. Berapa panjang rata-rata bagian kecil dari segmen? Variabel acak terdistribusi secara merata pada interval . Temukan kepadatan distribusi variabel acak a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Tunjukkan bahwa jika x memiliki fungsi distribusi kontinu

F(x) = P(x

Temukan fungsi kerapatan dan fungsi distribusi dari jumlah dua kuantitas independen x dan h dengan hukum distribusi seragam pada interval dan, berturut-turut. Variabel acak x dan h independen dan terdistribusi secara merata pada interval dan, masing-masing. Hitung kerapatan dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h independen dan terdistribusi secara merata pada interval dan, masing-masing. Hitung kerapatan dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h independen dan terdistribusi secara merata pada interval dan, masing-masing. Hitung kerapatan dari jumlah x+h. Variabel acak bersifat independen dan memiliki distribusi eksponensial dengan kerapatan . Temukan kepadatan distribusi dari jumlah mereka. Temukan distribusi jumlah variabel acak independen x dan h, di mana x memiliki distribusi yang seragam pada interval, dan h memiliki distribusi eksponensial dengan parameter l. Temukan R , jika x memiliki: a) distribusi normal dengan parameter a dan s2 ; b) distribusi eksponensial dengan parameter l; c) distribusi seragam pada interval [-1;1]. Distribusi bersama dari x,h adalah kuadrat seragam
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Temukan Probabilitas . Apakah x dan h saling bebas? Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi secara merata di dalam segitiga K=. Hitung massa jenis x dan h. Apakah variabel acak ini independen? Temukan probabilitasnya. Variabel acak x dan h independen dan terdistribusi merata pada interval dan [-1,1]. Temukan probabilitasnya. Sebuah variabel acak dua dimensi (x, h) terdistribusi secara merata dalam sebuah bujur sangkar dengan simpul (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Temukan nilai fungsi distribusi bersama di titik (1, -1). Vektor acak (x, h) terdistribusi secara merata di dalam lingkaran berjari-jari 3 yang berpusat di titik asal. Tulis ekspresi untuk kerapatan distribusi bersama. Tentukan apakah variabel acak ini bergantung. Hitung probabilitasnya. Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi secara merata di dalam trapesium dengan simpul di titik (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Temukan kerapatan distribusi bersama untuk pasangan variabel acak ini dan kerapatan komponennya. Apakah x dan h bergantung? Sepasang acak (x, h) didistribusikan secara merata di dalam setengah lingkaran. Temukan kerapatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Kepadatan gabungan dari dua variabel acak x dan h adalah .
Temukan kerapatan x, h. Jelajahi pertanyaan tentang ketergantungan x dan h. Suatu pasangan acak (x, h) terdistribusi secara merata pada himpunan . Temukan kerapatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Cari M(xh). Variabel acak x dan h adalah independen dan didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter Find

Biarkan variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi f(x). Mari kita asumsikan bahwa semua nilai yang mungkin dari variabel acak milik segmen [ a,b].

Definisi. ekspektasi matematis variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin termasuk dalam segmen , disebut integral tertentu

Jika nilai yang mungkin dari variabel acak dipertimbangkan pada seluruh sumbu bilangan, maka ekspektasi matematis ditemukan dengan rumus:

Dalam hal ini, tentu saja, diasumsikan bahwa integral tak wajar konvergen.

Definisi. penyebaran variabel acak kontinu disebut ekspektasi matematis dari kuadrat simpangannya.

Dengan analogi dengan varian variabel acak diskrit, rumus berikut digunakan untuk perhitungan praktis varian:

Definisi. Standar deviasi disebut akar kuadrat dari varians.

Definisi. Mode M 0 dari variabel acak diskrit disebut nilai yang paling mungkin. Untuk peubah acak kontinu, modus adalah nilai peubah acak yang kerapatan distribusinya maksimum.

Jika poligon distribusi untuk variabel acak diskrit atau kurva distribusi untuk variabel acak kontinu memiliki dua atau lebih maksima, maka distribusi seperti itu disebut bimodal atau multimodal. Jika distribusi memiliki minimum tetapi tidak maksimum, maka itu disebut antimodal.

Definisi. median M D dari variabel acak X adalah nilainya, relatif terhadap mana kemungkinan yang sama untuk mendapatkan nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari variabel acak.

Secara geometris, median adalah absis dari titik di mana luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dibagi dua. Perhatikan bahwa jika distribusinya unimodal, maka modus dan median bertepatan dengan ekspektasi matematis.

Definisi. Momen awal memesan k variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari X k.

Momen awal orde pertama sama dengan ekspektasi matematis.

Definisi. Momen sentral memesan k variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari nilai tersebut

Untuk variabel acak diskrit: .

Untuk variabel acak kontinu: .

Momen pusat orde pertama selalu nol, dan momen pusat orde kedua sama dengan dispersi. Momen sentral orde ketiga mencirikan asimetri distribusi.

Definisi. Rasio momen pusat orde ketiga dengan standar deviasi derajat ketiga disebut koefisien asimetri.

Definisi. Untuk mencirikan ketajaman dan kerataan distribusi, kuantitas disebut kurtosis.

Selain kuantitas yang dipertimbangkan, yang disebut momen absolut juga digunakan:

Momen awal mutlak: . Momen sentral mutlak: . Momen sentral mutlak orde pertama disebut simpangan rata-rata aritmatika.

Contoh. Untuk contoh di atas, tentukan ekspektasi matematis dan varian dari variabel acak X.

Contoh. Sebuah guci berisi 6 bola putih dan 4 bola hitam. Sebuah bola dikeluarkan darinya lima kali berturut-turut, dan setiap kali bola dikeluarkan dikembalikan dan bola-bola tersebut dicampur. Ambil jumlah bola putih yang diekstraksi sebagai variabel acak X, buat hukum distribusi kuantitas ini, tentukan ekspektasi dan varian matematisnya.

Karena bola dalam setiap percobaan dikembalikan kembali dan dicampur, maka percobaan dapat dianggap independen (hasil percobaan sebelumnya tidak mempengaruhi probabilitas terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa dalam percobaan lain).

Dengan demikian, peluang munculnya bola putih pada setiap percobaan adalah konstan dan sama dengan

Jadi, sebagai hasil dari lima percobaan berturut-turut, bola putih mungkin tidak muncul sama sekali, muncul sekali, dua kali, tiga, empat atau lima kali. Untuk menyusun hukum distribusi, Anda perlu mencari probabilitas dari masing-masing peristiwa ini.

1) Bola putih tidak muncul sama sekali:

2) Bola putih muncul sekali:

3) Bola putih akan muncul dua kali: .

Berdasarkan sifat fisiknya, variabel acak dapat bersifat deterministik dan acak.

Diskrit adalah variabel acak yang nilai individualnya dapat dinomori ulang (jumlah produk, jumlah bagian - cacat dan bagus, dll.).

Variabel acak disebut kontinu, nilai yang mungkin mengisi celah tertentu (penyimpangan ukuran bagian yang diproduksi dari nilai nominal, kesalahan pengukuran, penyimpangan bentuk bagian, tinggi kekasaran mikro, dll.).

Variabel acak tidak dapat dicirikan oleh nilai tunggal apa pun. Untuk itu, perlu untuk menunjukkan himpunan nilai yang mungkin dan karakteristik probabilistik yang diberikan pada himpunan ini.

Jika peristiwa acak dinyatakan sebagai angka, kita dapat berbicara tentang variabel acak. Acak mereka menyebut nilai yang, sebagai hasil pengujian, akan mengambil satu nilai yang mungkin, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada penyebab acak yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya.

Kehilangan beberapa nilai variabel acak X ini adalah peristiwa acak: X \u003d xi. Di antara variabel acak, variabel acak diskrit dan kontinu dibedakan.

Variabel acak diskrit variabel acak dipanggil, yang, sebagai hasil pengujian, mengambil nilai individu dengan probabilitas tertentu. Jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit dapat terbatas atau tidak terbatas. Contoh variabel acak diskrit: merekam pembacaan speedometer atau mengukur suhu pada titik waktu tertentu.

Variabel acak kontinu variabel acak dipanggil, yang, sebagai hasil pengujian, mengambil semua nilai dari interval numerik tertentu. Jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: mengukur kecepatan pergerakan semua jenis transportasi atau suhu selama interval waktu tertentu.

Setiap variabel acak memiliki hukum distribusi probabilitasnya sendiri dan fungsi distribusi probabilitasnya sendiri. Sebelum mendefinisikan fungsi distribusi, mari pertimbangkan variabel yang mendefinisikannya. Biarkan beberapa X adalah bilangan real dan variabel acak diperoleh X, di mana x > X. Diperlukan untuk menentukan probabilitas bahwa variabel acak X akan lebih kecil dari nilai tetap ini X.

Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(x), yang menentukan peluang peubah acak X sebagai hasil pengujian akan mengambil nilai lebih kecil dari nilai x, yaitu:

Variabel acak dicirikan dalam teori probabilitas hukum distribusinya . Undang-undang ini menetapkan hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas kemunculannya yang sesuai dengan nilai-nilai ini. Ada dua bentuk untuk menggambarkan hukum distribusi variabel acak - diferensial dan integral . Selain itu, dalam metrologi, bentuk diferensial terutama digunakan - hukum distribusi kepadatan probabilitas variabel acak.

Hukum distribusi diferensial dicirikan kerapatan distribusi probabilitas f(x) variabel acak X. Kemungkinan R memukul variabel acak dalam interval dari x 1 sebelum x 2 diberikan oleh rumus:

Secara grafis, probabilitas ini adalah rasio luas di bawah kurva f (x) dalam rentang dari x 1 hingga x 2 dengan luas total yang dibatasi oleh seluruh kurva distribusi. Sebagai aturan, area di bawah seluruh kurva distribusi probabilitas dinormalisasi menjadi satu.

Dalam hal ini distribusi kontinu variabel acak. Selain mereka, ada diskrit variabel acak yang mengambil sejumlah nilai tertentu yang dapat diberi nomor.

Hukum distribusi integral dari variabel acak adalah sebuah fungsi F(x), ditentukan oleh rumus

Probabilitas suatu variabel acak akan lebih kecil dari x 1 diberikan oleh nilai fungsi F(x) pada x = x 1:

Meskipun hukum distribusi variabel acak adalah karakteristik probabilistiknya yang lengkap, menemukan hukum ini adalah tugas yang agak sulit dan membutuhkan banyak pengukuran. Oleh karena itu, dalam prakteknya, untuk menggambarkan sifat-sifat suatu variabel acak, bermacam-macam karakteristik numerik dari distribusi. Ini termasuk momen variabel acak: primer dan sentral, yang beberapa nilai rata-rata. Apalagi jika nilai yang dihitung dari asalnya dirata-ratakan, maka momennya disebut awal, dan jika dari pusat distribusi, maka pusat.

Fungsi distribusi variabel acak X adalah fungsi F(x), menyatakan untuk setiap x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai, x lebih kecil

Contoh 2.5. Diberikan sederetan distribusi variabel acak

Temukan dan gambarkan secara grafis fungsi distribusinya. Larutan. Menurut definisi

F(jc) = 0 untuk X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pada 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pada X > 5.

Jadi (lihat Gambar 2.1):

Properti fungsi distribusi:

1. Fungsi distribusi variabel acak adalah fungsi tak negatif yang diapit antara nol dan satu:

2. Fungsi distribusi variabel acak adalah fungsi tak-turun pada seluruh sumbu bilangan, yaitu pada X 2 >x

3. Pada minus tak terhingga, fungsi distribusi sama dengan nol, pada plus tak terhingga, sama dengan satu, mis.

4. Probabilitas memukul variabel acak X dalam interval sama dengan integral tertentu dari kerapatan probabilitas mulai dari A sebelum B(lihat Gambar 2.2), mis.

Beras. 2.2

3. Fungsi distribusi variabel acak kontinu (lihat Gambar 2.3) dapat dinyatakan dalam kepadatan probabilitas dengan menggunakan rumus:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Integral tak wajar dalam batas tak terhingga kepadatan probabilitas variabel acak kontinu sama dengan satu:

Properti geometris / dan 4 kepadatan probabilitas berarti plotnya adalah kurva distribusi - terletak tidak di bawah sumbu x, dan luas total gambar, kurva distribusi terbatas dan sumbu x, sama dengan satu.

Untuk variabel acak kontinu X nilai yang diharapkan M(X) dan varians D(X) ditentukan dengan rumus:

(jika integral konvergen mutlak); atau

(jika integral tereduksi konvergen).

Seiring dengan karakteristik numerik yang disebutkan di atas, konsep kuantil dan poin persentase digunakan untuk mendeskripsikan variabel acak.

kuantil tingkat q(atau q-quantile) adalah nilai seperti ituxqvariabel acak, di mana fungsi distribusinya mengambil nilai, sama dengan q, yaitu

• 100Titik q%-ou adalah kuantil X~ q .
• ? Contoh 2.8.

Menurut contoh 2.6 temukan kuantilnya xqj dan 30% titik variabel acak X.

Larutan. Menurut definisi (2.16) F(xo t3)= 0.3, yaitu

~Y~ = 0,3, dari mana kuantilnya x 0 3 = 0,6. 30% poin variabel acak X, atau kuantil Х)_о,з = xoj» ditemukan sama dari persamaan ^ = 0,7. di mana *,= 1,4. ?

Di antara karakteristik numerik dari variabel acak, ada awal v* dan pusat R* momen orde ke-k, ditentukan untuk variabel acak diskrit dan kontinu dengan rumus: