Distribusi normal adalah jenis distribusi yang paling umum. Itu ditemui dalam analisis kesalahan pengukuran, kontrol proses dan rezim teknologi, serta dalam analisis dan prediksi berbagai fenomena dalam biologi, kedokteran, dan bidang pengetahuan lainnya.

Istilah "distribusi normal" digunakan dalam pengertian bersyarat seperti yang diterima secara umum dalam literatur, meskipun tidak sepenuhnya berhasil. Dengan demikian, pernyataan bahwa atribut tertentu mematuhi hukum distribusi normal sama sekali tidak berarti adanya norma yang tak tergoyahkan yang diduga mendasari fenomena tersebut, yang refleksinya adalah atribut yang dimaksud, dan tunduk pada hukum distribusi lain tidak berarti semacam kelainan dari fenomena ini.

Fitur utama dari distribusi normal adalah batas pendekatan distribusi lain. Distribusi normal pertama kali ditemukan oleh Moivre pada tahun 1733. Hanya variabel acak kontinu yang mematuhi hukum normal. Kepadatan hukum distribusi normal memiliki bentuk .

Harapan matematis untuk hukum distribusi normal adalah . Dispersi adalah .

Sifat dasar dari distribusi normal.

1. Fungsi kerapatan distribusi didefinisikan pada seluruh sumbu nyata Oh , yaitu setiap nilai X sesuai dengan nilai fungsi yang terdefinisi dengan baik.

2. Untuk semua nilai X (baik positif maupun negatif) fungsi kerapatan mengambil nilai positif, yaitu kurva normal terletak di atas sumbu Oh .

3. Batas fungsi densitas dengan peningkatan tak terbatas X sama dengan nol, .

4. Fungsi kerapatan distribusi normal pada titik maksimum.

5. Grafik fungsi kerapatan simetris terhadap garis lurus.

6. Kurva distribusi memiliki dua titik belok dengan koordinat dan .

7. Modus dan median dari distribusi normal bertepatan dengan ekspektasi matematis A .

8. Bentuk kurva normal tidak berubah ketika parameter diubah A .

9. Koefisien kemiringan dan kurtosis dari distribusi normal sama dengan nol.

Pentingnya menghitung koefisien ini untuk deret distribusi empiris sudah jelas, karena mereka mencirikan kemiringan dan kecuraman deret yang diberikan dibandingkan dengan deret normal.

Probabilitas jatuh ke dalam interval ditemukan dengan rumus , dimana adalah fungsi tabulasi ganjil.

Mari kita tentukan probabilitas bahwa variabel acak yang terdistribusi normal menyimpang dari ekspektasi matematisnya dengan nilai kurang dari , yaitu, kita menemukan probabilitas ketidaksetaraan , atau probabilitas ketidaksetaraan ganda . Mengganti ke dalam rumus, kita dapatkan

Menyatakan penyimpangan variabel acak X dalam pecahan standar deviasi, yaitu, dengan memasukkan persamaan terakhir, kita dapatkan .

Kemudian untuk , kita dapatkan

ketika kita mendapatkan,

ketika kami menerima.

Ini mengikuti dari pertidaksamaan terakhir bahwa secara praktis hamburan dari variabel acak yang terdistribusi normal terletak pada bagian . Probabilitas bahwa variabel acak tidak akan jatuh ke area ini sangat kecil, yaitu sama dengan 0,0027, artinya peristiwa ini hanya dapat terjadi dalam tiga kasus dari 1000. Peristiwa semacam itu dapat dianggap hampir tidak mungkin. Berdasarkan penalaran di atas, aturan tiga sigma, yang dirumuskan sebagai berikut: jika variabel acak memiliki distribusi normal, maka penyimpangan nilai ini dari ekspektasi matematis dalam nilai absolut tidak melebihi tiga kali standar deviasi.

Contoh 28 . Bagian yang dibuat oleh mesin otomatis dianggap sesuai jika penyimpangan ukuran terkontrolnya dari desain tidak melebihi 10 mm. Penyimpangan acak dari ukuran terkontrol dari ukuran desain tunduk pada hukum distribusi normal dengan standar deviasi mm dan ekspektasi matematis. Berapa persen suku cadang bagus yang dihasilkan mesin tersebut?

Larutan. Pertimbangkan variabel acak X - penyimpangan ukuran dari desain. Bagian tersebut akan dianggap sesuai jika variabel acak termasuk dalam interval . Probabilitas pembuatan bagian yang cocok ditemukan dengan rumus . Dengan demikian persentase suku cadang baik yang dihasilkan oleh mesin tersebut adalah 95,44%.

distribusi binomial

Binomial adalah distribusi probabilitas kejadian M jumlah acara di P tes independen, di mana masing-masing probabilitas terjadinya suatu peristiwa adalah konstan dan sama dengan R . Probabilitas jumlah kemungkinan kejadian suatu peristiwa dihitung dengan rumus Bernoulli: ,

Di mana . Permanen P Dan R , termasuk dalam ungkapan ini, parameter hukum binomial. Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit.

Karakteristik numerik dasar dari distribusi binomial. Harapan matematisnya adalah . Dispersi adalah . Koefisien skewness dan kurtosis sama dengan dan . Dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas A Dan e cenderung nol, oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan bahwa distribusi binomial konvergen ke normal dengan meningkatnya jumlah percobaan.

Contoh 29 . Tes independen dilakukan dengan probabilitas kejadian yang sama A dalam setiap ujian. Temukan peluang terjadinya suatu peristiwa A dalam satu percobaan jika variansi jumlah kemunculan pada tiga percobaan adalah 0,63.

Larutan. Untuk distribusi binomial . Mengganti nilai-nilai, kita dapatkan dari sini atau kemudian dan .

distribusi racun

Hukum distribusi fenomena langka

Distribusi Poisson menggambarkan jumlah kejadian M , terjadi dalam interval waktu yang sama, asalkan peristiwa terjadi secara independen satu sama lain dengan intensitas rata-rata yang konstan. Pada saat yang sama, jumlah percobaan P besar, dan probabilitas suatu peristiwa yang terjadi di setiap percobaan R kecil. Oleh karena itu, distribusi Poisson disebut sebagai hukum fenomena langka atau aliran paling sederhana. Parameter distribusi Poisson adalah nilai yang mencirikan intensitas terjadinya peristiwa di P tes. Rumus distribusi Poisson.

Sumur distribusi Poisson menggambarkan jumlah klaim untuk pembayaran jumlah asuransi per tahun, jumlah panggilan yang diterima oleh sentral telepon dalam waktu tertentu, jumlah kegagalan elemen selama pengujian keandalan, jumlah produk yang cacat, dan sebagainya. .

Karakteristik numerik dasar untuk distribusi Poisson. Ekspektasi matematis sama dengan varians dan sama dengan A . Itu adalah . Ini adalah fitur khas dari distribusi ini. Koefisien skewness dan kurtosis masing-masing sama dengan .

Contoh 30 . Jumlah rata-rata pembayaran uang pertanggungan per hari adalah dua. Temukan probabilitas bahwa dalam lima hari Anda harus membayar: 1) 6 uang pertanggungan; 2) jumlah kurang dari enam; 3) tidak kurang dari enam.distribusi.

Distribusi ini sering diamati saat mempelajari masa pakai berbagai perangkat, waktu aktif elemen individu, bagian sistem, dan sistem secara keseluruhan, saat mempertimbangkan interval waktu acak antara terjadinya dua peristiwa langka yang berurutan.

Kepadatan distribusi eksponensial ditentukan oleh parameter , yang disebut tingkat kegagalan. Istilah ini dikaitkan dengan bidang aplikasi tertentu - teori keandalan.

Ekspresi untuk fungsi integral dari distribusi eksponensial dapat ditemukan dengan menggunakan sifat-sifat fungsi diferensial:

Harapan matematis dari distribusi eksponensial, varians, standar deviasi. Jadi, untuk distribusi ini tipikal bahwa standar deviasi secara numerik sama dengan ekspektasi matematis. Untuk nilai parameter apa pun, koefisien skewness dan kurtosis adalah nilai konstan.

Contoh 31 . Rata-rata waktu pengoperasian TV sebelum kegagalan pertama adalah 500 jam. Temukan probabilitas bahwa TV yang dipilih secara acak akan beroperasi tanpa gangguan selama lebih dari 1000 jam.

Larutan. Karena waktu rata-rata untuk kegagalan pertama adalah 500, maka . Kami menemukan probabilitas yang diinginkan dengan rumus .

Dalam banyak masalah yang berkaitan dengan variabel acak yang terdistribusi normal, perlu untuk menentukan probabilitas bahwa variabel acak , mematuhi hukum normal dengan parameter , jatuh ke dalam interval dari ke . Untuk menghitung probabilitas ini, kami menggunakan rumus umum

dimana adalah fungsi distribusi dari kuantitas .

Mari kita cari fungsi distribusi dari variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter . Kepadatan distribusi nilai adalah:

. (6.3.2)

Dari sini kita menemukan fungsi distribusi

. (6.3.3)

Mari kita ubah variabel dalam integral (6.3.3)

dan bawa ke formulir:

(6.3.4)

Integral (6.3.4) tidak dinyatakan dalam bentuk fungsi elementer, tetapi dapat dihitung dalam bentuk fungsi khusus yang menyatakan integral pasti dari ekspresi atau (yang disebut integral probabilitas), yang tabelnya dikompilasi . Ada banyak jenis fungsi seperti itu, misalnya:

;

dll. Manakah dari fungsi ini yang digunakan adalah masalah selera. Kami akan memilih fungsi seperti itu

. (6.3.5)

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi ini tidak lain adalah fungsi distribusi untuk variabel acak terdistribusi normal dengan parameter .

Kami setuju untuk menyebut fungsi tersebut sebagai fungsi distribusi normal. Lampiran (Tabel 1) menunjukkan tabel nilai fungsi.

Mari kita nyatakan fungsi distribusi (6.3.3) dari besaran dengan parameter dan dalam bentuk fungsi distribusi normal . Jelas sekali,

. (6.3.6)

Sekarang mari kita cari probabilitas mengenai variabel acak pada segmen dari hingga . Menurut rumus (6.3.1)

Jadi, kami telah menyatakan probabilitas bahwa variabel acak , didistribusikan menurut hukum normal dengan parameter apa pun, akan jatuh ke plot dalam hal fungsi distribusi standar , sesuai dengan hukum normal paling sederhana dengan parameter 0,1. Perhatikan bahwa argumen fungsi dalam rumus (6.3.7) memiliki arti yang sangat sederhana: ada jarak dari ujung kanan bagian ke pusat dispersi, dinyatakan dalam standar deviasi; - jarak yang sama untuk ujung kiri bagian, dan jarak ini dianggap positif jika ujungnya terletak di sebelah kanan pusat dispersi, dan negatif jika di sebelah kiri.

Seperti fungsi distribusi lainnya, fungsi tersebut memiliki properti berikut:

3. - fungsi tidak menurun.

Selain itu, dari simetri distribusi normal dengan parameter tentang asalnya, berikut ini

Menggunakan properti ini, pada kenyataannya, dimungkinkan untuk membatasi tabel fungsi hanya pada nilai positif dari argumen, tetapi untuk menghindari operasi yang tidak perlu (pengurangan dari satu), Tabel 1 lampiran memberikan nilai untuk baik argumen positif maupun negatif.

Dalam praktiknya, sering dijumpai masalah menghitung probabilitas bahwa variabel acak yang terdistribusi normal akan jatuh ke area yang simetris terhadap pusat dispersi. Pertimbangkan bagian panjang seperti itu (Gbr. 6.3.1). Mari kita hitung probabilitas mengenai situs ini menggunakan rumus (6.3.7):

Mempertimbangkan properti (6.3.8) dari fungsi dan memberikan sisi kiri rumus (6.3.9) bentuk yang lebih ringkas, kami memperoleh rumus untuk probabilitas variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal yang jatuh ke bagian simetris sehubungan dengan pusat hamburan:

. (6.3.10)

Mari kita selesaikan soal berikut. Mari kita sisihkan segmen-segmen panjang yang berurutan dari pusat hamburan (Gbr. 6.3.2) dan hitung probabilitas sebuah variabel acak akan masuk ke masing-masing segmen. Karena kurva hukum normal adalah simetris, cukup untuk menunda segmen tersebut hanya dalam satu arah.

Menurut rumus (6.3.7) kami menemukan:

(6.3.11)

Seperti dapat dilihat dari data ini, probabilitas mengenai setiap segmen berikut (kelima, keenam, dst.) dengan akurasi 0,001 sama dengan nol.

Membulatkan probabilitas mengenai segmen menjadi 0,01 (hingga 1%), kami mendapatkan tiga angka yang mudah diingat:

0,34; 0,14; 0,02.

Jumlah dari ketiga nilai ini adalah 0,5. Ini berarti bahwa untuk variabel acak yang terdistribusi normal, semua dispersi (sampai pecahan persen) masuk ke dalam bagian .

Hal ini memungkinkan, mengetahui standar deviasi dan ekspektasi matematis dari variabel acak, untuk secara kasar menunjukkan kisaran nilai praktisnya. Metode memperkirakan kisaran nilai yang mungkin dari variabel acak ini dikenal dalam statistik matematika sebagai "aturan tiga sigma". Aturan tiga sigma juga menyiratkan metode perkiraan untuk menentukan standar deviasi dari variabel acak: mereka mengambil deviasi maksimum yang mungkin dari rata-rata dan membaginya dengan tiga. Tentu saja, metode kasar ini hanya dapat direkomendasikan jika tidak ada cara lain yang lebih akurat untuk menentukan .

Contoh 1. Variabel acak , didistribusikan menurut hukum normal, adalah kesalahan dalam mengukur jarak tertentu. Saat mengukur, kesalahan sistematis diperbolehkan ke arah perkiraan yang terlalu tinggi sebesar 1,2 (m); standar deviasi kesalahan pengukuran adalah 0,8 (m). Temukan probabilitas bahwa penyimpangan nilai terukur dari nilai sebenarnya tidak melebihi 1,6 (m) dalam nilai absolut.

Larutan. Kesalahan pengukuran adalah variabel acak yang mematuhi hukum normal dengan parameter dan . Kita perlu mencari probabilitas bahwa nilai ini jatuh pada segmen dari ke . Dengan rumus (6.3.7) kami memiliki:

Menggunakan tabel fungsi (Lampiran, Tabel 1), kami menemukan:

; ,

Contoh 2. Temukan probabilitas yang sama seperti pada contoh sebelumnya, tetapi dengan syarat tidak ada kesalahan sistematik.

Larutan. Dengan rumus (6.3.10), dengan asumsi , kita menemukan:

.

Contoh 3 Pada target yang terlihat seperti jalur (jalan bebas hambatan) yang lebarnya 20 m, penembakan dilakukan dengan arah tegak lurus jalan bebas hambatan. Membidik dilakukan di sepanjang garis tengah jalan raya. Standar deviasi pada arah tembakan sama dengan m Ada kesalahan sistematik pada arah tembakan: undershoot adalah 3 m Temukan probabilitas mengenai jalan bebas hambatan dengan satu tembakan.

(nyata, sangat positif)

Distribusi normal, disebut juga distribusi Gaussian atau Gauss - Laplace- distribusi probabilitas , yang dalam kasus satu dimensi diberikan oleh fungsi kerapatan probabilitas , bertepatan dengan fungsi Gaussian :

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

di mana parameter μ adalah ekspektasi matematis (nilai rata-rata), median dan mode distribusi, dan parameter σ adalah standar deviasi ( σ  ² - varians) dari distribusi.

Jadi, distribusi normal satu dimensi adalah keluarga distribusi dua parameter. Kasus multivariat dijelaskan dalam artikel "Distribusi multivariat normal ".

distribusi normal baku disebut distribusi normal dengan mean μ = 0 dan standar deviasi σ = 1 .

YouTube ensiklopedis

• 1 / 5

  Pentingnya distribusi normal dalam banyak bidang sains (misalnya, dalam statistik matematika dan fisika statistik) mengikuti dari teorema limit pusat teori probabilitas. Jika hasil pengamatan adalah jumlah dari banyak variabel acak yang saling bergantung lemah, yang masing-masing memberikan kontribusi kecil relatif terhadap jumlah total, maka dengan bertambahnya jumlah suku, distribusi hasil yang dipusatkan dan dinormalisasi cenderung normal. Hukum teori probabilitas ini memiliki konsekuensi distribusi normal yang luas, yang merupakan salah satu alasan untuk namanya.

  Properti

  Momen

  Jika variabel acak X 1 (\displaystyle X_(1)) Dan X 2 (\displaystyle X_(2)) independen dan memiliki distribusi normal dengan ekspektasi matematis μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Dan μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) dan dispersi σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Dan σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) masing-masing, lalu X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) juga memiliki distribusi normal dengan nilai yang diharapkan μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) dan dispersi σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Ini menyiratkan bahwa variabel acak normal dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari sejumlah variabel acak normal independen yang berubah-ubah.

  Entropi maksimum

  Distribusi normal memiliki entropi diferensial maksimum di antara semua distribusi kontinu yang variansnya tidak melebihi nilai tertentu.

  Pemodelan Variabel Pseudo-Acak Normal

  Metode pemodelan perkiraan paling sederhana didasarkan pada teorema limit pusat. Yaitu, jika kita menambahkan beberapa kuantitas yang terdistribusi identik secara independen dengan varians hingga , maka jumlahnya akan didistribusikan sekitar Bagus. Misalnya, jika Anda menambahkan 100 standar independen rata didistribusikan variabel acak, maka distribusi jumlahnya akan kira-kira normal.

  Untuk pembuatan perangkat lunak dari variabel acak semu yang terdistribusi secara normal, lebih baik menggunakan transformasi  Box - Muller. Ini memungkinkan Anda untuk menghasilkan satu nilai yang terdistribusi secara normal berdasarkan satu nilai yang terdistribusi secara seragam.

  Distribusi normal di alam dan aplikasi

  Distribusi normal banyak dijumpai di alam. Misalnya, variabel acak berikut dimodelkan dengan baik oleh distribusi normal:

  • defleksi tembakan.
  • kesalahan pengukuran (namun, kesalahan beberapa alat ukur memiliki distribusi yang tidak normal).
  • beberapa ciri organisme hidup dalam suatu populasi.

  Distribusi ini sangat luas karena merupakan distribusi kontinu yang dapat dibagi tak terhingga dengan varians yang terbatas. Oleh karena itu, beberapa yang lain mendekatinya dalam limit, seperti binomial dan Poisson. Banyak proses fisik non-deterministik dimodelkan oleh distribusi ini.

  Hubungan dengan distribusi lain

  • Distribusi normal adalah distribusi tipe XI Pearson.
  • Rasio sepasang variabel acak standar independen yang terdistribusi normal memiliki distribusi Cauchy. Artinya, jika variabel acak X (\displaystyle X) mewakili relasi X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Di mana Y (\displaystyle Y) Dan Z (\displaystyle Z) adalah variabel acak normal standar independen), maka akan memiliki distribusi Cauchy.
  • Jika z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) adalah variabel acak normal standar yang independen secara bersama-sama, yaitu z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\kiri(0,1\kanan)), maka variabel acak x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) memiliki distribusi chi-kuadrat dengan k derajat kebebasan.
  • Jika variabel acak X (\displaystyle X) tunduk pada distribusi lognormal, maka logaritma naturalnya memiliki distribusi normal. Artinya, jika X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Itu Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Dan sebaliknya, jika Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Itu X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \Kanan)).
  • Rasio kuadrat dari dua variabel acak normal standar memiliki

  Dalam prakteknya, sebagian besar variabel acak, yang dipengaruhi oleh sejumlah besar faktor acak, mematuhi hukum distribusi probabilitas normal. Oleh karena itu, dalam berbagai aplikasi teori probabilitas, hukum ini sangat penting.

  Variabel acak $X$ mematuhi hukum distribusi probabilitas normal jika kerapatan distribusi probabilitasnya memiliki bentuk berikut

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Secara skematis, grafik fungsi $f\left(x\right)$ ditunjukkan pada gambar dan diberi nama "kurva Gaussian". Di sebelah kanan grafik ini adalah uang kertas 10 Mark Jerman, yang digunakan bahkan sebelum pengenalan euro. Jika Anda perhatikan lebih dekat, maka pada uang kertas ini Anda dapat melihat kurva Gaussian dan penemunya, ahli matematika terhebat Carl Friedrich Gauss.

  Mari kita kembali ke fungsi densitas $f\left(x\right)$ dan memberikan beberapa penjelasan tentang parameter distribusi $a,\ (\sigma )^2$. Parameter $a$ mencirikan pusat penyebaran nilai variabel acak, yaitu memiliki arti ekspektasi matematis. Ketika parameter $a$ berubah dan parameter $(\sigma )^2$ tetap tidak berubah, kita dapat mengamati pergeseran grafik fungsi $f\left(x\right)$ sepanjang sumbu absis, sedangkan kerapatan grafik itu sendiri tidak mengubah bentuknya.

  

  Parameter $(\sigma )^2$ adalah varians dan mencirikan bentuk kurva kepadatan $f\left(x\right)$. Saat mengubah parameter $(\sigma )^2$ dengan parameter $a$ tidak berubah, kita dapat mengamati bagaimana grafik kerapatan berubah bentuk, menyusut atau meregang, tanpa bergeser sepanjang absis.

  

  Probabilitas variabel acak terdistribusi normal jatuh ke interval tertentu

  Seperti diketahui, probabilitas bahwa variabel acak $X$ jatuh ke dalam interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ dapat dihitung $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Di sini fungsinya $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ adalah Fungsi laplace. Nilai fungsi ini diambil dari . Properti berikut dari fungsi $\Phi \left(x\right)$ dapat dicatat.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, yaitu fungsi $\Phi \left(x\right)$ ganjil.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ adalah fungsi yang meningkat secara monoton.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ kiri(x\kanan)\ )=-0,5$.

  Untuk menghitung nilai fungsi $\Phi \left(x\right)$, Anda juga dapat menggunakan wizard fungsi $f_x$ dari paket Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\kanan )-0,5$. Sebagai contoh, mari kita hitung nilai fungsi $\Phi \left(x\right)$ untuk $x=2$.

  

  Probabilitas bahwa variabel acak terdistribusi normal $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ jatuh ke dalam interval simetris sehubungan dengan harapan $a$ dapat dihitung dengan rumus

  $$P\kiri(\kiri|X-a\kanan|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Aturan tiga sigma. Secara praktis dapat dipastikan bahwa variabel acak terdistribusi normal $X$ jatuh ke dalam interval $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Contoh 1 . Variabel acak $X$ tunduk pada hukum distribusi probabilitas normal dengan parameter $a=2,\ \sigma =3$. Temukan probabilitas bahwa $X$ jatuh ke dalam interval $\left(0,5;1\right)$ dan probabilitas bahwa pertidaksamaan $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Menggunakan rumus

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  temukan $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ atas (3))\kanan)=\Phi \kiri(-0,33\kanan)-\Phi \kiri(-0,5\kanan)=\Phi \kiri(0,5\kanan)-\Phi \kiri(0,33\kanan) =0,191-0,129=$0,062.

  $$P\kiri(\kiri|X-a\kanan|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Contoh 2 . Misalkan selama setahun harga saham suatu perusahaan tertentu merupakan variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal dengan ekspektasi matematis sama dengan 50 unit moneter konvensional dan standar deviasi sama dengan 10. Berapa probabilitas bahwa pada suatu pilihan acak hari periode yang dibicarakan, harga saham tersebut adalah:

  a) lebih dari 70 unit moneter konvensional?

  b) di bawah 50 per saham?

  c) antara 45 dan 58 unit moneter konvensional per saham?

  Biarkan variabel acak $X$ menjadi harga saham beberapa perusahaan. Dengan kondisi $X$ tunduk pada distribusi normal dengan parameter $a=50$ - ekspektasi matematis, $\sigma =10$ - standar deviasi. Probabilitas $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ lebih dari (10))\kanan)=0,5-\Phi \kiri(2\kanan)=0,5-0,4772=0,0228.$$

  $$b)\ P\kiri(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\kiri(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Hukum distribusi probabilitas normal dari variabel acak kontinu menempati tempat khusus di antara berbagai hukum teoretis, karena ini adalah yang utama dalam banyak studi praktis. Dia menjelaskan sebagian besar fenomena acak yang terkait dengan proses produksi.

  Fenomena acak yang mematuhi hukum distribusi normal meliputi kesalahan pengukuran parameter produksi, kesalahan distribusi manufaktur teknologi, tinggi dan berat sebagian besar objek biologis, dll.

  normal sebut hukum distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu, yang dijelaskan oleh fungsi diferensial

  a - ekspektasi matematis dari variabel acak;

  Standar deviasi dari distribusi normal.

  Grafik fungsi diferensial dari distribusi normal disebut kurva normal (kurva Gaussian) (Gbr. 7).

  

  Beras. 7 kurva Gaussian

  Properti kurva normal (kurva Gaussian):

  1. kurva simetris terhadap garis lurus x = a;

  2. kurva normal terletak di atas sumbu X, yaitu untuk semua nilai X, fungsi f(x) selalu positif;

  3. Sumbu lembu adalah asimtot horizontal dari grafik, karena

  4. untuk x = a, fungsi f(x) memiliki maksimum sama dengan

  ,

  di titik A dan B di dan kurva memiliki titik belok yang ordinatnya sama.

  

  Pada saat yang sama, probabilitas bahwa nilai absolut dari penyimpangan variabel acak yang terdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi standar deviasi sama dengan 0,6826.

  di titik E dan G, untuk dan , nilai fungsi f(x) sama dengan

  

  dan probabilitas bahwa nilai absolut deviasi variabel acak terdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi dua kali deviasi standar adalah 0,9544.

  Mendekati sumbu absis secara asimtotik, kurva Gaussian pada titik C dan D, di dan , sangat dekat dengan sumbu absis. Pada titik-titik ini, nilai fungsi f(x) sangat kecil

  

  dan probabilitas bahwa nilai mutlak simpangan variabel acak terdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi tiga kali simpangan baku adalah 0,9973. Properti kurva Gaussian ini disebut " aturan tiga sigma".

  
  
  

  Jika variabel acak terdistribusi secara normal, maka nilai absolut penyimpangannya dari ekspektasi matematis tidak melebihi tiga kali standar deviasi.

  Mengubah nilai parameter a (harapan matematis dari variabel acak) tidak mengubah bentuk kurva normal, tetapi hanya menyebabkan pergeseran sepanjang sumbu X: ke kanan jika a meningkat, dan ke kiri jika a menurun.

  Ketika a=0, kurva normal simetris terhadap sumbu y.

  Mengubah nilai parameter (standar deviasi) mengubah bentuk kurva normal: dengan peningkatan koordinat penurunan kurva normal, kurva direntangkan sepanjang sumbu X dan ditekan terhadapnya. Saat menurun, koordinat kurva normal bertambah, kurva menyusut sepanjang sumbu X dan menjadi lebih "puncak".

  Pada saat yang sama, untuk nilai apa pun dari dan, area yang dibatasi oleh kurva normal dan sumbu X tetap sama dengan satu (yaitu, probabilitas bahwa variabel acak yang didistribusikan secara normal akan mengambil nilai yang dibatasi oleh kurva normal pada sumbu X sama dengan 1).

  Distribusi normal dengan parameter arbitrer dan , yaitu dijelaskan oleh fungsi diferensial

  

  ditelepon distribusi normal umum.

  Distribusi normal dengan parameter dan disebut distribusi yang dinormalisasi(Gbr. 8). Dalam distribusi normal, fungsi distribusi diferensial adalah:

  

  Beras. 8 Kurva yang dinormalisasi

  Fungsi integral dari distribusi normal umum memiliki bentuk:

  Biarkan variabel acak X didistribusikan menurut hukum normal dalam interval (c, d). Maka peluang X mengambil nilai yang termasuk dalam interval (c,d) sama dengan

  

  Contoh. Variabel acak X didistribusikan menurut hukum normal. Ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak ini adalah a=30 dan . Temukan probabilitas bahwa X mengambil nilai dalam interval (10, 50).

  Dengan syarat: . Kemudian

  Menggunakan tabel Laplace yang sudah jadi (lihat Lampiran 3), kami punya.