Mari kita coba mencari tahu konsep seperti apa "akar" itu dan "dengan apa dimakan". Untuk melakukan ini, pertimbangkan contoh-contoh yang telah Anda temui dalam pelajaran (baik, atau Anda hanya harus menghadapinya).

Misalnya, kita memiliki persamaan. Apa solusi untuk persamaan ini? Angka apa yang bisa dikuadratkan dan diperoleh secara bersamaan? Mengingat tabel perkalian, Anda dapat dengan mudah memberikan jawabannya: dan (karena ketika Anda mengalikan dua angka negatif, Anda mendapatkan angka positif)! Untuk menyederhanakan, matematikawan telah memperkenalkan konsep khusus akar kuadrat dan memberinya simbol khusus.

Mari kita definisikan akar kuadrat aritmatika.

Mengapa angkanya harus non-negatif? Misalnya, apa yang sama dengan. Oke, mari kita coba mencari tahu. Mungkin tiga? Mari kita periksa: dan tidak. Mungkin, ? Sekali lagi, periksa: Nah, apakah itu tidak dipilih? Ini diharapkan - karena tidak ada angka yang, ketika dikuadratkan, memberikan angka negatif!
Ini harus diingat: nomor atau ekspresi di bawah tanda akar harus non-negatif!

Namun, yang paling perhatian mungkin telah memperhatikan bahwa definisi tersebut mengatakan bahwa solusi dari akar kuadrat dari "suatu bilangan disebut demikian non-negatif bilangan yang kuadratnya adalah ". Beberapa dari Anda akan mengatakan bahwa pada awalnya kami menganalisis contoh, nomor yang dipilih yang dapat dikuadratkan dan diperoleh pada saat yang sama, jawabannya adalah dan, dan ini berbicara tentang semacam "bilangan non-negatif"! Pernyataan seperti itu sangat tepat. Di sini perlu untuk membedakan antara konsep persamaan kuadrat dan akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan. Misalnya, itu tidak setara dengan ekspresi.

Oleh karena itu, yaitu, atau. (Baca topik "")

Dan itu mengikuti itu.

Tentu saja hal ini sangat membingungkan, tetapi harus diingat bahwa tanda-tandanya adalah hasil dari penyelesaian persamaan, karena ketika menyelesaikan persamaan, kita harus menuliskan semua x yang, ketika disubstitusikan ke persamaan semula, akan memberikan hasil yang benar hasil. Dalam persamaan kuadrat kami cocok keduanya dan.

Namun, jika ambil saja akar kuadratnya dari sesuatu, maka selalu kita mendapatkan satu hasil non-negatif.

Sekarang coba selesaikan persamaan ini. Semuanya tidak begitu sederhana dan mulus, bukan? Cobalah untuk memilah-milah angka, mungkin sesuatu akan terbakar? Mari kita mulai dari awal - dari awal: - tidak cocok, lanjutkan - kurang dari tiga, juga menepis, tetapi bagaimana jika. Yuk cek: - juga tidak cocok, karena ini lebih dari tiga. Dengan angka negatif, cerita yang sama akan berubah. Dan apa yang harus dilakukan sekarang? Apakah pencarian tidak memberi kita apa-apa? Tidak sama sekali, sekarang kita tahu pasti bahwa jawabannya akan berupa angka antara dan, serta antara dan. Juga, jelas bahwa solusinya tidak akan berupa bilangan bulat. Apalagi mereka tidak rasional. Jadi, apa selanjutnya? Mari kita buat grafik fungsi dan tandai solusi di atasnya.

Mari kita coba mengelabui sistem dan mendapatkan jawaban dengan kalkulator! Mari kita keluar dari bisnis! Oh-oh-oh, ternyata begitu. Jumlah ini tidak pernah berakhir. Bagaimana Anda bisa mengingat ini, karena tidak akan ada kalkulator di ujian!? Semuanya sangat sederhana, Anda tidak perlu mengingatnya, Anda perlu mengingat (atau dapat dengan cepat memperkirakan) nilai perkiraan. dan jawabannya sendiri. Angka-angka seperti itu disebut irasional, dan untuk menyederhanakan notasi angka-angka seperti itulah konsep akar kuadrat diperkenalkan.

Mari kita lihat contoh lain untuk memperkuat. Mari kita analisis masalah berikut: Anda harus melintasi secara diagonal bidang persegi dengan sisi km, berapa km yang harus Anda tempuh?

Hal yang paling jelas di sini adalah untuk mempertimbangkan segitiga secara terpisah dan menggunakan teorema Pythagoras :. Lewat sini, . Jadi berapa jarak yang dibutuhkan di sini? Jelas, jarak tidak bisa negatif, kita mengerti. Akar dari dua kira-kira sama, tetapi, seperti yang kita catat sebelumnya, sudah merupakan jawaban yang lengkap.

Agar menyelesaikan contoh dengan akar tidak menimbulkan masalah, Anda perlu melihat dan mengenalinya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui setidaknya kuadrat angka dari hingga, serta dapat mengenalinya. Misalnya, Anda perlu tahu apa yang dikuadratkan, dan juga, sebaliknya, apa yang dikuadratkan.

Apakah Anda mengetahui apa itu akar kuadrat? Kemudian pecahkan beberapa contoh.

Contoh.

Nah, bagaimana cara kerjanya? Sekarang mari kita lihat contoh-contoh ini:

Jawaban:

akar pangkat tiga

Nah, kita sudah mengetahui konsep akar kuadrat, sekarang kita akan mencoba mencari tahu apa itu akar pangkat tiga dan apa perbedaannya.

Akar pangkat tiga dari suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama dengan bilangan tersebut. Pernahkah Anda memperhatikan betapa lebih mudahnya? Tidak ada batasan pada kemungkinan nilai dari kedua nilai di bawah tanda akar pangkat tiga dan angka yang akan diekstraksi. Artinya, akar pangkat tiga dapat diambil dari bilangan apa saja:.

Tertangkap apa itu akar kubus dan bagaimana cara mengekstraknya? Kemudian lanjutkan dengan contoh.

Contoh.

Jawaban:

Akar - oh derajat

Nah, kami menemukan konsep akar kuadrat dan pangkat tiga. Sekarang kita menggeneralisasi pengetahuan yang diperoleh dengan konsep akar th.

akar th dari suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama, yaitu

sama dengan.

Jika bahkan, kemudian:

• dengan negatif, ekspresi tidak masuk akal (akar dari tingkat genap bilangan negatif tidak bisa di ekstrak!);
• dengan non-negatif() ekspresi memiliki satu akar non-negatif.

Jika - ganjil, maka ekspresi memiliki akar tunggal untuk sembarang.

Jangan khawatir, prinsip yang sama berlaku di sini seperti halnya dengan akar kuadrat dan pangkat tiga. Artinya, prinsip-prinsip yang kami terapkan ketika mempertimbangkan akar kuadrat diperluas ke semua akar derajat genap.

Dan sifat-sifat yang digunakan untuk akar pangkat tiga berlaku untuk akar pangkat ganjil.

Nah, menjadi lebih jelas? Mari kita pahami dengan contoh:

Di sini semuanya kurang lebih jelas: pertama kita lihat - ya, derajatnya genap, angka di bawah akarnya positif, jadi tugas kita adalah menemukan angka yang derajat keempatnya akan memberi kita. Nah, ada tebakan? Mungkin, ? Tepat!

Jadi, derajatnya sama - ganjil, di bawah akar angkanya negatif. Tugas kita adalah menemukan angka seperti itu, yang, ketika dipangkatkan, ternyata. Cukup sulit untuk segera melihat akarnya. Namun, Anda dapat mempersempit pencarian Anda segera, bukan? Pertama, angka yang diinginkan pasti negatif, dan kedua, dapat dilihat bahwa itu ganjil, dan karena itu angka yang diinginkan adalah ganjil. Cobalah untuk mengambil akarnya. Tentu saja, dan Anda dapat dengan aman menepisnya. Mungkin, ?

Ya, ini yang kami cari! Perhatikan bahwa untuk menyederhanakan perhitungan, kami menggunakan properti derajat: .

Sifat dasar akar

Jernih? Jika tidak, maka setelah mempertimbangkan contoh, semuanya harus sesuai.

Perkalian akar

Bagaimana cara memperbanyak akar? Properti paling sederhana dan paling mendasar membantu menjawab pertanyaan ini:

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak persis diekstraksi? Jangan khawatir, berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingat bahwa rangkap tiga adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkannya? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Membuat hidup jauh lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Anda hanya harus ingat itu kita hanya dapat menjumlahkan bilangan positif di bawah tanda akar pangkat genap.

Mari kita lihat di mana lagi itu bisa berguna. Misalnya, dalam tugas Anda perlu membandingkan dua angka:

Lebih dari itu:

Anda tidak akan langsung mengatakannya. Nah, mari kita gunakan properti parsing untuk menambahkan angka di bawah tanda root? Kemudian maju:

Nah, mengetahui bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri! Itu. jika berarti. Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghilangkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Dimungkinkan untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor-faktor lain:

Tidak buruk, kan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan bagaimana Anda merasa nyaman.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Semuanya tampak jelas dengan ini, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar dari angka dalam satu derajat? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan sifat derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Lalu inilah contohnya:

Ini adalah jebakan, tentang mereka selalu berharga untuk dikenang. Ini sebenarnya adalah refleksi dari contoh properti:

untuk ganjil: untuk genap dan:

Jernih? Perbaiki dengan contoh:

Ya, kita melihat akar ke derajat genap, angka negatif di bawah akar juga ke derajat genap. Nah, apakah cara kerjanya sama? Dan inilah yang:

Itu saja! Sekarang ini beberapa contohnya:

Mengerti? Kemudian lanjutkan dengan contoh.

Contoh.

Jawaban.

Jika Anda menerima jawaban, maka Anda dapat melanjutkan dengan ketenangan pikiran. Jika belum, mari kita lihat contoh berikut:

Mari kita lihat dua sifat lain dari akar:

Properti ini harus dianalisis dalam contoh. Nah, akankah kita melakukan ini?

Mengerti? Mari kita perbaiki.

Contoh.

Jawaban.

AKAR DAN SIFAT-SIFATNYA. LEVEL RATA-RATA

Akar kuadrat aritmatika

Persamaan memiliki dua solusi: dan. Ini adalah angka yang kuadratnya sama.

Pertimbangkan persamaannya. Mari kita selesaikan secara grafis. Mari kita menggambar grafik fungsi dan garis pada level tersebut. Titik potong garis tersebut akan menjadi solusi. Kita melihat bahwa persamaan ini juga memiliki dua solusi - satu positif, yang lain negatif:

Tetapi dalam kasus ini, solusinya bukan bilangan bulat. Apalagi mereka tidak rasional. Untuk menuliskan keputusan irasional ini, kami memperkenalkan simbol akar kuadrat khusus.

Akar kuadrat aritmatika adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya . Ketika ekspresi tidak didefinisikan, karena tidak ada angka seperti itu, kuadratnya sama dengan angka negatif.

Akar pangkat dua: .

Sebagai contoh, . Dan mengikuti itu atau.

Sekali lagi, ini sangat penting: Akar kuadrat selalu merupakan bilangan non-negatif: !

akar pangkat tiga di luar bilangan adalah bilangan yang kubusnya sama. Akar pangkat tiga didefinisikan untuk semua orang. Itu dapat diekstraksi dari nomor apa pun: . Seperti yang Anda lihat, itu juga dapat mengambil nilai negatif.

Akar derajat ke-th suatu bilangan adalah bilangan yang derajat ke-nya sama dengan, mis.

Jika - genap, maka:

• jika, maka akar th dari a tidak terdefinisi.
• jika, maka akar non-negatif dari persamaan disebut akar aritmatika derajat ke- dan dinotasikan.

Jika - ganjil, maka persamaan memiliki akar tunggal untuk sembarang.

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa kami menulis derajatnya di kiri atas tanda akar? Tapi tidak untuk akar kuadrat! Jika Anda melihat akar tanpa gelar, maka itu adalah persegi (derajat).

Contoh.

Sifat dasar akar

AKAR DAN SIFAT-SIFATNYA. SINGKAT TENTANG UTAMA

Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif disebut demikian bilangan bukan negatif yang kuadratnya

Sifat akar:

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (belum tentu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 899 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Tujuan Pelajaran:

pendidikan: menciptakan kondisi untuk pembentukan pandangan holistik dari akar tingkat ke-n, keterampilan penggunaan secara sadar dan rasional dari sifat-sifat akar dalam memecahkan berbagai masalah.

pendidikan: menciptakan kondisi untuk pengembangan algoritmik, pemikiran kreatif, mengembangkan keterampilan pengendalian diri.

pendidikan: untuk mempromosikan pengembangan minat pada subjek, aktivitas, untuk menumbuhkan akurasi dalam pekerjaan, kemampuan untuk mengekspresikan pendapat sendiri, untuk memberikan rekomendasi.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Selamat sore! jam yang baik!

Betapa senangnya aku melihatmu.

Bel sudah berbunyi

Pelajaran dimulai.

Mereka tersenyum. Naik level.

saling memandang

Dan mereka duduk dengan tenang.

2. Motivasi pelajaran.

Seorang filsuf Prancis yang luar biasa, ilmuwan Blaise Pascal menyatakan: "Kehebatan manusia terletak pada kemampuannya untuk berpikir." Hari ini kita akan mencoba untuk merasa seperti orang hebat dengan menemukan pengetahuan untuk diri kita sendiri. Moto untuk pelajaran hari ini adalah kata-kata ahli matematika Yunani kuno Thales:

Apa yang paling banyak di dunia? - Ruang angkasa.

Apa yang tercepat? - Pikiran.

Apa yang paling bijaksana? - Waktu.

Apa yang paling menyenangkan? - Mencapai apa yang Anda inginkan.

Saya ingin Anda masing-masing mencapai hasil yang diinginkan dalam pelajaran hari ini.

3. Aktualisasi pengetahuan.

1. Sebutkan operasi aljabar yang saling terbalik pada bilangan. (Penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian)

2. Apakah selalu mungkin untuk melakukan operasi aljabar seperti pembagian? (Tidak, Anda tidak dapat membagi dengan nol)

3. Operasi lain apa yang dapat Anda lakukan dengan angka? (Eksponensial)

4. Operasi apa yang akan menjadi kebalikannya? (ekstraksi akar)

5. Berapa derajat root yang bisa Anda ekstrak? (Akar kedua)

6. Sifat-sifat akar kuadrat apa yang kamu ketahui? (Mengekstraksi akar kuadrat dari produk, dari hasil bagi, dari akar, eksponensial)

7. Temukan nilai ekspresi:

Dari sejarah. Bahkan 4000 tahun yang lalu, para ilmuwan Babilonia menyusun, bersama dengan tabel perkalian dan tabel kebalikan (dengan bantuan yang pembagian angka dikurangi menjadi perkalian), tabel kuadrat angka dan akar kuadrat angka. Pada saat yang sama, mereka dapat menemukan nilai perkiraan akar kuadrat dari bilangan bulat apa pun.

4. Mempelajari materi baru.

Jelas, sesuai dengan sifat dasar derajat dengan eksponen alami, dari sembarang bilangan positif ada dua nilai yang berlawanan dari akar derajat genap, misalnya, angka 4 dan -4 adalah akar kuadrat dari 16, sejak (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, dan angka 3 dan -3 adalah akar keempat dari 81, karena (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.

Juga, tidak ada akar genap dari bilangan negatif, karena pangkat genap dari sembarang bilangan real adalah non-negatif. Adapun akar derajat ganjil, maka untuk sembarang bilangan real hanya ada satu akar derajat ganjil dari bilangan tersebut. Misalnya, 3 adalah akar ketiga dari 27 karena Z3 = 27, dan -2 adalah akar kelima dari -32 karena (-2)5 = 32.

Sehubungan dengan keberadaan dua akar derajat genap dari bilangan positif, kami memperkenalkan konsep akar aritmatika untuk menghilangkan ambiguitas akar ini.

Nilai non-negatif dari akar ke-n dari bilangan non-negatif disebut akar aritmatika.

Penunjukan: - akar derajat ke-n.

Bilangan n disebut derajat akar aritmatika. Jika n = 2, maka derajat akar tidak ditunjukkan dan ditulis. Akar derajat kedua disebut akar kuadrat, dan akar derajat ketiga disebut akar kubik.

B, b2 = a, a 0, b 0

B, bp = a, p - genap a 0, b 0

p - ganjil a, b - sembarang

Properti

1. , a 0, b 0

2. , a 0, b > 0

3. , a 0

4. , m, n, k - bilangan asli

5. Konsolidasi materi baru.

pekerjaan lisan

a) Ekspresi apa yang masuk akal?

b) Untuk berapa nilai variabel a yang ekspresinya masuk akal?

Selesaikan #3, 4, 7, 9, 11.

6. Pendidikan jasmani.

Dalam segala hal, moderasi diperlukan,

Biarkan itu menjadi aturan utama.

Lakukan senam, jika Anda berpikir lama,

Senam tidak menguras tenaga,

Tapi itu membersihkan seluruh tubuh!

Tutup matamu, rilekskan tubuhmu

Bayangkan - Anda adalah burung, Anda tiba-tiba terbang!

Sekarang Anda berenang seperti lumba-lumba di laut,

Sekarang di kebun Anda memetik apel matang.

Kiri, kanan, melihat sekeliling

Buka mata Anda dan kembali bekerja!

7. Pekerjaan mandiri.

Bekerja berpasangan dengan 178 #1, #2.

8. D / z. Pelajari butir 10 (hal.160-161), selesaikan No. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Hasil pelajaran. Refleksi aktivitas.

Apakah pelajaran mencapai tujuannya?

Apa yang telah Anda pelajari?

Pelajaran video 2: Sifat-sifat akar derajat n > 1

Kuliah: Akar derajat n > 1 dan sifat-sifatnya

Akar

Misalkan Anda memiliki persamaan seperti:

Solusi untuk persamaan ini adalah x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d (-2). Kedua solusi cocok sebagai jawaban, karena angka dengan modul yang sama, ketika dipangkatkan genap, memberikan hasil yang sama.

Ini adalah contoh sederhana, namun, apa yang dapat kita lakukan jika, misalnya,

Mari kita coba membuat grafik fungsinya y=x 2 . Grafiknya adalah parabola:

Pada grafik, Anda perlu menemukan titik yang sesuai dengan nilai y \u003d 3. Titik-titik ini adalah:

Ini berarti bahwa nilai ini tidak dapat disebut bilangan bulat, tetapi dapat direpresentasikan sebagai akar kuadrat.

Akar apa pun adalah bilangan irasional. Bilangan irasional termasuk akar, pecahan tak berhingga non-periodik.

Akar pangkat dua adalah bilangan non-negatif "a", ekspresi radikal yang sama dengan bilangan kuadrat "a" yang diberikan.

Sebagai contoh,

Artinya, sebagai hasilnya, kita hanya akan mendapatkan nilai positif. Namun, sebagai solusi untuk persamaan kuadrat dalam bentuk

Solusinya adalah x 1 = 4, x 2 = (-4).

Sifat akar kuadrat

1. Berapa pun nilai x yang diambil, ekspresi ini benar dalam hal apa pun:

2. Perbandingan bilangan yang mengandung akar kuadrat. Untuk membandingkan angka-angka ini, Anda perlu memasukkan angka satu dan kedua di bawah tanda akar. Angka itu akan lebih besar yang ekspresi radikalnya lebih besar.

Kami memasukkan angka 2 di bawah tanda root

Sekarang mari kita letakkan angka 4 di bawah tanda root. Sebagai hasil dari ini, kita mendapatkan

Dan baru sekarang dua ekspresi yang dihasilkan dapat dibandingkan:

3. Menghapus pengganda dari bawah root.

Jika ekspresi radikal dapat didekomposisi menjadi dua faktor, salah satunya dapat dikeluarkan dari subtanda akar, maka aturan ini harus digunakan.

4. Ada properti kebalikan dari ini - memperkenalkan pengganda di bawah akar. Kami jelas menggunakan properti ini di properti kedua.

Akarnderajat -th dan sifat-sifatnya

Apa itu akar?nderajat? Bagaimana cara mengekstrak root?

Di kelas delapan, Anda sudah berhasil berkenalan dengan akar pangkat dua. Kami memecahkan contoh khas dengan akar, menggunakan sifat-sifat tertentu dari akar. Juga memutuskan persamaan kuadrat, di mana tanpa mengekstrak akar kuadrat - tidak mungkin. Tapi akar kuadrat hanyalah kasus khusus dari konsep yang lebih luas - akar n derajat . Selain kuadrat, ada, misalnya, akar pangkat tiga, akar derajat keempat, kelima, dan lebih tinggi. Dan untuk pekerjaan yang sukses dengan akar seperti itu, masih bagus untuk memulai dengan "Anda" dengan akar kuadrat.) Oleh karena itu, bagi mereka yang memiliki masalah dengan mereka, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya.

Mengekstraksi akar adalah salah satu operasi kebalikan dari eksponensial.) Mengapa "salah satu"? Karena, mengekstrak root, kami mencari basis menurut terkenal derajat dan indikator. Dan ada operasi terbalik lainnya - menemukan indikator menurut terkenal derajat dan dasar. Operasi ini disebut menemukan logaritma. Ini lebih kompleks daripada mengekstrak akar dan dipelajari di sekolah menengah.)

Jadi, mari berkenalan!

Pertama, notasi. Akar kuadrat, seperti yang sudah kita ketahui, dilambangkan seperti ini:. Ikon ini disebut sangat indah dan ilmiah - radikal. Dan apa akar dari derajat lain? Ini sangat sederhana: di atas "ekor" radikal, mereka juga menulis indikator tingkat akar yang dicari. Jika Anda mencari akar pangkat tiga, maka tulislah rangkap tiga: . Jika akar derajat keempat, maka masing-masing . Dan seterusnya.) Secara umum, akar derajat ke-n dilambangkan seperti ini:

Di mana .

Nomorsebuah , seperti pada akar kuadrat, disebut ekspresi radikal dan ini nomornyan ini baru bagi kami. Dan disebut indikator akar .

Bagaimana cara mengekstrak akar dari derajat apa pun? Sama seperti yang persegi - cari tahu nomor berapa pangkat ke-n yang memberi kita angkasebuah .)

Bagaimana, misalnya, mengekstrak akar pangkat tiga dari 8? Itu adalah ? Dan nomor berapa? potong dadu akan memberi kita 8? Deuce, tentu saja.) Jadi mereka menulis:

Atau . Berapakah bilangan pangkat empat dari 81? Tiga.) Jadi,

Bagaimana dengan akar kesepuluh dari 1? Nah, tidak salah jika satuan pangkat apa pun (termasuk persepuluhan) sama dengan satu.) Yaitu:

Dan secara umum.

Dengan nol, cerita yang sama: nol untuk setiap kekuatan alam sama dengan nol. Itu adalah, .

Seperti yang Anda lihat, dibandingkan dengan akar kuadrat, sudah lebih sulit untuk mengetahui nomor mana yang memberi kita nomor akar sampai tingkat tertentu.sebuah . Lebih sulit ambil jawab dan periksa kebenarannya dengan eksponensialn . Situasi ini sangat difasilitasi jika Anda mengetahui secara langsung tingkat angka populer. Jadi sekarang kita sedang latihan. :) Kami mengenali derajatnya!)

Jawaban (berantakan):

Ya ya! Ada lebih banyak jawaban daripada tugas.) Karena, misalnya, 2 8 , 4 4 dan 16 2 semuanya sama dengan angka 256.

Terlatih? Kemudian kami mempertimbangkan contoh:

Jawaban (juga berantakan): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Telah terjadi? Sangat menyenangkan! Mari kita lanjutkan.)

Pembatasan akar. akar aritmatikanderajat.

Di akar derajat ke-n, serta di kotak, ada juga batasan dan chipnya. Pada intinya, mereka tidak berbeda dengan pembatasan untuk akar kuadrat.

Tidak dipilih, bukan? Berapa 3, berapa -3 pangkat empat akan menjadi +81. :) Dan dengan root apa pun bahkan derajat dari angka negatif akan menjadi lagu yang sama. Dan ini berarti bahwa tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif . Ini adalah tindakan terlarang dalam matematika. Seperti dilarang membagi dengan nol. Oleh karena itu, ekspresi seperti , dan sejenisnya - tidak masuk akal.

Tapi akarnya aneh derajat angka negatif - tolong!

Sebagai contoh, ; , dan seterusnya.)

Dan dari angka positif, Anda dapat dengan aman mengekstrak akar apa pun, derajat apa pun:

Secara umum, saya pikir itu bisa dimengerti.) Dan, omong-omong, root tidak harus diekstraksi dengan tepat. Ini hanya contoh, murni untuk pemahaman.) Kebetulan dalam proses penyelesaian (misalnya, persamaan) akar yang agak buruk muncul. Sesuatu seperti . Dari delapan, akar pangkat tiga diekstraksi dengan sempurna, dan di sini tujuh berada di bawah akar. Apa yang harus dilakukan? Tidak apa-apa. Semuanya persis sama.- ini adalah angka yang, ketika dipotong dadu, akan memberi kita 7. Hanya angkanya yang sangat jelek dan lusuh. Ini dia:

Selain itu, nomor ini tidak pernah berakhir dan tidak memiliki titik: nomor mengikuti sepenuhnya secara acak. Ini tidak rasional ... Dalam kasus seperti itu, jawabannya dibiarkan dalam bentuk root.) Tetapi jika root diekstraksi secara murni (misalnya,), maka, tentu saja, root harus dihitung dan ditulis:

Sekali lagi kami mengambil nomor percobaan kami 81 dan mengekstrak akar keempat darinya:

Karena tiga di babak keempat akan menjadi 81. Bagus! Tetapi juga dikurangi tiga yang keempat juga akan menjadi 81!

Ada ambiguitas:

Dan, untuk menghilangkannya, seperti pada akar kuadrat, istilah khusus diperkenalkan: akar aritmatikanderajat dari antara sebuah - seperti itu non-negatif nomor,n-derajat yang sama dengan sebuah .

Dan jawaban dengan plus atau minus disebut berbeda - akar aljabarnderajat. Untuk pangkat genap apa pun, akar aljabarnya adalah dua bilangan berlawanan. Di sekolah, mereka bekerja hanya dengan akar aritmatika. Oleh karena itu, angka negatif dalam akar aritmatika dibuang begitu saja. Misalnya, mereka menulis: Nilai tambah itu sendiri, tentu saja, tidak tertulis: itu menyiratkan.

Semuanya, tampaknya, sederhana, tetapi ... Tapi bagaimana dengan akar pangkat ganjil dari angka negatif? Lagi pula, selalu ada angka negatif saat mengekstrak! Karena setiap bilangan negatif di gelar ganjil juga memberikan angka negatif. Dan akar aritmatika hanya bekerja dengan angka non-negatif! Itu sebabnya aritmatika.)

Di root seperti itu, mereka melakukan ini: mereka mengambil minus dari bawah root dan meletakkannya di depan root. Seperti ini:

Dalam kasus seperti itu dikatakan bahwa dinyatakan dalam akar aritmatika (yaitu sudah non-negatif) .

Tapi ada satu hal yang bisa membingungkan - ini adalah solusi dari persamaan sederhana dengan pangkat. Sebagai contoh, inilah persamaan:

Kami menulis jawabannya: Sebenarnya, jawaban ini hanyalah notasi yang disingkat dua jawaban:

Kesalahpahaman di sini adalah bahwa saya sudah menulis sedikit lebih tinggi bahwa hanya akar non-negatif (yaitu, aritmatika) yang dipertimbangkan di sekolah. Dan inilah salah satu jawaban dengan minus... Bagaimana caranya? Tidak mungkin! Tanda-tanda di sini adalah hasil penyelesaian persamaan. TETAPI akar itu sendiri- nilainya masih non-negatif! Lihat diri mu sendiri:

Nah, apakah sekarang lebih jelas? dengan tanda kurung?)

Dengan gelar ganjil, semuanya jauh lebih sederhana - selalu ternyata satu akar. Plus atau minus. Sebagai contoh:

Jadi jika kita secara sederhana kami mengekstrak akar (derajat genap) dari nomor tersebut, maka kami selalu mendapatkan satu hasil non-negatif. Karena itu adalah akar aritmatika. Sekarang, jika kita memutuskan persamaan dengan derajat genap diperoleh dua akar berlawanan, karena ini adalah solusi persamaan.

Dengan akar derajat ganjil (kubik, derajat kelima, dll.) tidak ada masalah. Kami mengeluarkan diri kami dan tidak mandi dengan tanda-tanda. Plus di bawah root berarti hasil ekstraksi dengan plus. Minus artinya minus.

Dan sekarang saatnya untuk bertemu sifat akar. Beberapa sudah akrab bagi kita dari akar kuadrat, tetapi beberapa yang baru akan ditambahkan. Pergi!

Sifat akar. Akar pekerjaan.

Properti ini sudah akrab bagi kita dari akar kuadrat. Untuk akar derajat lain, semuanya serupa:

Itu adalah, akar produk sama dengan produk dari akar masing-masing faktor secara terpisah.

Jika indikatorn genap, maka kedua bilangan radikalsebuah danb harus, tentu saja, non-negatif, jika tidak rumus tersebut tidak memiliki arti. Dalam kasus indikator ganjil, tidak ada batasan: kami mengambil minus ke depan dari bawah akar dan kemudian bekerja dengan akar aritmatika.)

Seperti pada akar kuadrat, di sini rumus ini sama-sama berguna baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri. Menerapkan formula dari kiri ke kanan memungkinkan Anda mengekstrak akarnya dari pekerjaan. Sebagai contoh:

Rumus ini, omong-omong, berlaku tidak hanya untuk dua, tetapi untuk sejumlah faktor. Sebagai contoh:

Juga, menggunakan rumus ini, Anda dapat mengekstrak akar dari angka besar: untuk ini, angka di bawah akar diurai menjadi faktor yang lebih kecil, dan kemudian akar diekstraksi secara terpisah dari setiap faktor.

Misalnya, tugas seperti itu:

Jumlahnya cukup besar. Apakah itu berakar? mulus- juga tanpa kalkulator tidak jelas. Akan menyenangkan untuk memfaktorkannya. Berapa tepatnya bilangan 3375 yang habis dibagi? Dengan 5, tampaknya: digit terakhir adalah lima.) Bagilah:

Oh, habis dibagi 5 lagi! 675:5 = 135. Dan 135 lagi dibagi lima. Ya, kapan itu akan berakhir?

135:5 = 27. Dengan nomor 27, semuanya sudah jelas - ini adalah tiga dalam kubus. Cara,

Kemudian:

Mereka mengambil akarnya sepotong demi sepotong, ya, oke.)

Atau contoh ini:

Sekali lagi, kami memfaktorkan menurut tanda-tanda dapat dibagi. Apa? Pada 4, karena pasangan terakhir dari angka 40 habis dibagi 4. Dan dengan 10, karena angka terakhir adalah nol. Jadi, Anda dapat membagi dalam satu gerakan dengan 40 sekaligus:

Tentang angka 216, kita sudah tahu bahwa ini adalah enam potong dadu. Itu adalah,

Dan 40, pada gilirannya, dapat diuraikan sebagai . Kemudian

Dan akhirnya kita mendapatkan:

Tidak berhasil dengan bersih untuk mengekstrak root, yah, tidak apa-apa. Bagaimanapun, kami telah menyederhanakan ekspresi: kami tahu bahwa biasanya meninggalkan angka sekecil mungkin di bawah akar (bahkan jika kuadrat, bahkan jika kubik - apa saja). Dalam contoh ini, kami telah melakukan satu operasi yang sangat berguna, juga sudah akrab kepada kami dari akar kuadrat. Apakah Anda mengenali? Ya! Kita bertahan faktor dari bawah akar. Dalam contoh ini, kami mengeluarkan satu deuce dan enam, yaitu. nomor 12.

Bagaimana cara menghilangkan faktor dari tanda akar?

Sangat mudah untuk menghilangkan faktor (atau faktor-faktor) di luar tanda akar. Kami menguraikan ekspresi root menjadi faktor dan mengekstrak apa yang diekstraksi.) Dan apa yang tidak diekstraksi, kami meninggalkannya di root. Melihat:

Kami menguraikan angka 9072 menjadi faktor. Karena kita memiliki akar pangkat empat, pertama-tama kita mencoba menguraikan faktor-faktor yang merupakan pangkat empat bilangan asli - 16, 81, dll.

Mari kita coba membagi 9072 dengan 16:

Bersama!

Tapi 567 sepertinya habis dibagi 81:

Cara, .

Kemudian

Sifat akar. Perkalian akar.

Pertimbangkan sekarang aplikasi kebalikan dari rumus - dari kanan ke kiri:

Sekilas, tidak ada yang baru, tetapi penampilan menipu.) Aplikasi terbalik dari formula sangat memperluas kemampuan kami. Sebagai contoh:

Hmm, jadi apa yang salah dengan itu? Mereka melipatgandakan segalanya. Sebenarnya tidak ada yang istimewa di sini. Perkalian akar biasa. Dan inilah contohnya!

Secara terpisah, akar tidak murni diekstraksi dari faktor-faktor. Tapi hasilnya luar biasa.)

Sekali lagi, rumus ini berlaku untuk sejumlah faktor. Misalnya, Anda perlu menghitung ekspresi berikut:

Hal utama di sini adalah perhatian. Contoh berisi berbagai akarnya kubik dan derajat keempat. Dan tidak satupun dari mereka pasti diekstraksi ...

Dan rumus perkalian akar-akar hanya berlaku untuk akar-akar dengan sama indikator. Oleh karena itu, kami mengelompokkan akar kubus menjadi tumpukan terpisah dan menjadi tumpukan terpisah - derajat keempat. Dan di sana, Anda lihat, semuanya akan tumbuh bersama.))

Dan saya tidak membutuhkan kalkulator.

Bagaimana cara menambahkan pengganda di bawah tanda root?

Hal berguna berikutnya adalah memasukkan angka di bawah root. Sebagai contoh:

Apakah mungkin untuk menghapus triple di dalam root? Dasar! Jika rangkap tiga diubah menjadi akar, maka rumus untuk produk akar akan bekerja. Jadi, kita ubah ketiganya menjadi root. Karena kita memiliki akar pangkat empat, maka kita juga akan mengubahnya menjadi akar pangkat empat.) Seperti ini:

Kemudian

Omong-omong, akarnya dapat dibuat dari bilangan non-negatif apa pun. Apalagi sejauh yang kita inginkan (semuanya tergantung pada contoh tertentu). Ini akan menjadi akar pangkat ke-n dari angka ini:

Dan sekarang - Perhatian! Sumber kesalahan yang sangat kotor! Saya tidak mengatakan apa-apa di sini untuk apa-apa non-negatif angka. Akar aritmatika hanya berfungsi dengan itu. Jika kita memiliki angka negatif di suatu tempat dalam tugas, maka kita tinggalkan minus di depan root (jika di luar), atau singkirkan minus di bawah root, jika ada di dalam. Saya mengingatkan Anda jika di bawah root bahkan derajat ternyata bilangan negatif, maka ekspresinya tidak masuk akal.

Misalnya, tugas seperti itu. Masukkan pengganda di bawah tanda root:

Jika kita sekarang melakukan root dikurangi dua, maka kita akan sangat keliru:

Apa yang salah di sini? Dan fakta bahwa derajat keempat, karena paritasnya, dengan aman "memakan" minus ini, akibatnya angka negatif yang sengaja diubah menjadi angka positif. Solusi yang benar terlihat seperti ini:

Di akar derajat ganjil, minusnya, meskipun tidak "dimakan", juga lebih baik dibiarkan di luar:

Di sini akar dari derajat ganjil adalah kubik, dan kita berhak untuk memasukkan minus ke bawah akar juga. Tetapi lebih baik dalam contoh seperti itu untuk juga meninggalkan minus di luar dan menulis jawaban yang diungkapkan melalui akar aritmatika (non-negatif), karena akarnya, meskipun memiliki hak untuk hidup, tetapi bukan aritmatika.

Jadi, dengan pengenalan angka di bawah akar, semuanya juga jelas, saya harap.) Mari kita beralih ke properti berikutnya.

Sifat akar. Akar pecahan. Pembagian akar.

Properti ini juga sepenuhnya mengulanginya untuk akar kuadrat. Hanya sekarang kami memperluasnya ke akar tingkat apa pun:

Akar pecahan adalah akar pembilang dibagi dengan akar penyebutnya.

Jika n genap, maka bilangansebuah harus non-negatif, dan bilanganb - sangat positif (Anda tidak dapat membagi dengan nol). Dalam kasus eksponen ganjil, satu-satunya kendala adalah .

Properti ini memungkinkan Anda mengekstrak akar dari pecahan dengan mudah dan cepat:

Idenya jelas, saya pikir. Alih-alih bekerja dengan seluruh pecahan, kita beralih ke bekerja secara terpisah dengan pembilang dan secara terpisah dengan penyebut.) Jika pecahan adalah desimal atau, horor, angka campuran, maka pertama-tama kita beralih ke pecahan biasa:

Sekarang mari kita lihat bagaimana rumus ini bekerja dari kanan ke kiri. Di sini juga, kemungkinan yang sangat berguna terungkap. Misalnya, contoh ini:

Akar tidak benar-benar diekstraksi dari pembilang dan penyebut, tetapi dari seluruh pecahan tidak apa-apa.) Anda dapat menyelesaikan contoh ini dengan cara yang berbeda - keluarkan faktor pembilang dari bawah akar, diikuti dengan pengurangan:

Sesuai keinginan kamu. Jawabannya selalu sama - yang benar. Jika Anda tidak membuat kesalahan di sepanjang jalan.)

Jadi, kami menemukan perkalian / pembagian akar. Kami naik ke langkah berikutnya dan mempertimbangkan properti ketiga - akar ke derajat dan akar derajat .

Akar ke derajat. Akar derajat.

Bagaimana cara meningkatkan root menjadi kekuatan? Sebagai contoh, katakanlah kita memiliki sebuah bilangan . Bisakah angka ini dipangkatkan? Dalam kubus, misalnya? Tentu saja! Kalikan akar dengan dirinya sendiri tiga kali, dan - menurut rumus untuk produk akar:

Ini akar dan derajatnya seolah-olah saling dibatalkan atau dikompensasikan. Memang, jika kita menaikkan angka yang, ketika pangkat tiga, akan memberi kita tiga kali lipat, kita menaikkannya ke kubus yang sama, lalu apa yang akan kita dapatkan? Tiga dan dapatkan, tentu saja! Dan begitu juga untuk semua bilangan non-negatif. Secara umum:

Jika eksponen dan akarnya berbeda, maka tidak ada masalah juga. Jika Anda mengetahui sifat-sifat derajat.)

Jika eksponen kurang dari eksponen root, maka kita cukup mengarahkan eksponen di bawah root:

Secara umum akan menjadi:

Idenya jelas: kami menaikkan ekspresi radikal menjadi kekuatan, dan kemudian kami menyederhanakannya dengan mengambil faktor dari bawah akar, jika memungkinkan. Jika sebuahn lurus, makasebuah harus non-negatif. Mengapa bisa dimengerti, saya pikir.) Dan jikan aneh, maka tidak ada batasan padasebuah sudah hilang:

Ayo berurusan sekarang akar derajat . Artinya, bukan akar itu sendiri yang akan diangkat menjadi kekuatan, tapi ekspresi radikal. Tidak ada yang rumit di sini juga, tetapi ada lebih banyak ruang untuk kesalahan. Mengapa? Karena angka negatif ikut bermain, yang dapat membingungkan tanda-tandanya. Untuk saat ini, mari kita mulai dengan akar kekuatan ganjil - mereka jauh lebih sederhana.

Katakanlah kita memiliki nomor 2. Bisakah kita pangkatkan? Tentu saja!

Dan sekarang - ekstrak kembali akar pangkat tiga dari delapan:

Mereka mulai dengan deuce, dan kembali ke deuce.) Tidak heran: menaikkan ke kubus dikompensasi oleh operasi terbalik - mengekstrak akar pangkat tiga.

Contoh lain:

Di sini juga, semuanya ada di jalurnya. Tingkat dan akar satu sama lain dikompensasi. Secara umum, untuk akar derajat ganjil, kita dapat menulis rumus berikut:

Rumus ini berlaku untuk semua bilangan realsebuah . Apakah positif atau negatif.

Artinya, derajat ganjil dan akar derajat yang sama selalu saling mengimbangi dan ekspresi radikal diperoleh. :)

Tetapi dengan bahkan derajat, fokus ini mungkin tidak lagi berlalu. Lihat diri mu sendiri:

Belum ada yang istimewa di sini. Derajat keempat dan akar derajat keempat juga saling seimbang dan ternyata hanya deuce, yaitu. ekspresi berakar. Dan untuk siapa saja non-negatif angka akan sama. Dan sekarang kita hanya mengganti dua di root ini dengan minus dua. Jadi mari kita root seperti ini:

Minus deuce dengan aman "terbakar" karena tingkat keempat. Dan sebagai hasil dari mengekstrak akar (aritmatika!) Kami mendapat positif nomor. Itu minus dua, menjadi plus dua.) Tetapi jika kita tanpa berpikir “mengurangi” derajat dan akar (sama!), Kita akan mendapatkan

Yang mana kesalahan terbesarnya, ya.

Oleh karena itu, untuk bahkan Rumus untuk akar eksponen terlihat seperti ini:

Di sini, tanda modul, yang tidak disukai banyak orang, ditambahkan, tetapi tidak ada yang buruk di dalamnya: berkat itu, rumusnya juga berfungsi untuk bilangan real apa punsebuah. Dan modul hanya memotong kontra:

Hanya di akar derajat ke-n perbedaan tambahan muncul antara derajat genap dan ganjil. Bahkan derajat, seperti yang kita lihat, lebih berubah-ubah, ya.)

Dan sekarang mari kita pertimbangkan properti baru yang berguna dan sangat menarik, yang sudah menjadi karakteristik akar tingkat ke-n: jika eksponen akar dan eksponen dari ekspresi akar dikalikan (dibagi) dengan bilangan asli yang sama, maka nilai akarnya tidak akan berubah.

Sesuatu yang mengingatkan pada sifat dasar pecahan, bukan? Dalam pecahan, kita juga dapat mengalikan (membagi) pembilang dan penyebut dengan angka yang sama (kecuali nol). Nyatanya, sifat akar ini juga merupakan konsekuensi dari sifat dasar pecahan. Saat kita mengenal derajat dengan eksponen rasional maka semuanya akan menjadi jelas. Apa, bagaimana dan di mana.)

Penerapan langsung dari rumus ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan secara mutlak semua akar dari derajat apa pun. Termasuk, jika eksponen dari ekspresi akar dan akar itu sendiri berbagai. Sebagai contoh, mari kita sederhanakan ekspresi berikut:

Kami bertindak sederhana. Sebagai permulaan, kami memilih derajat keempat dari kesepuluh di bawah akar dan - lanjutkan! Bagaimana? Dengan sifat derajat, tentu saja! Kami mengambil faktor dari bawah akar atau bekerja sesuai dengan rumus akar dari derajat.

Tapi mari kita sederhanakan, hanya dengan menggunakan properti ini. Untuk melakukan ini, kami mewakili empat di bawah root sebagai:

Dan sekarang - yang paling menarik - kami mengurangi mental indikator di bawah root (dua) dengan indikator root (empat)! Dan kita mendapatkan:

• Akar aritmatika dari derajat alami n>=2 dari bilangan non-negatif a adalah beberapa bilangan non-negatif, ketika dipangkatkan ke n, diperoleh bilangan a.

Dapat dibuktikan bahwa untuk sebarang a non-negatif dan n natural, persamaan x^n=a akan memiliki satu akar tunggal non-negatif. Akar inilah yang disebut akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan a.

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan a dilambangkan sebagai berikut n√a. Angka a dalam hal ini disebut ekspresi akar.

Akar aritmatika derajat kedua disebut akar kuadrat, dan akar aritmatika derajat ketiga disebut akar pangkat tiga.

Sifat dasar akar aritmatika derajat ke-n

• 1. (n√a)^n = a.

Misalnya, (5√2)^5 = 2.

Properti ini mengikuti langsung dari definisi akar aritmatika derajat ke-n.

Jika a lebih besar atau sama dengan nol, b lebih besar dari nol, dan n, m adalah beberapa bilangan asli sehingga n lebih besar dari atau sama dengan 2 dan m lebih besar atau sama dengan 2, maka sifat-sifat berikut ini benar :

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Misalnya, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Misalnya, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Misalnya, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) a.

Misalnya, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Perhatikan bahwa pada sifat 2, bilangan b dapat sama dengan nol, dan pada sifat 4, bilangan m dapat berupa bilangan bulat apa saja, asalkan a>0.

Bukti properti kedua

Semua empat sifat terakhir dibuktikan dengan cara yang sama, jadi kita membatasi diri pada pembuktian hanya yang kedua: n√(a*b)= n√a*n√b.

Dengan menggunakan definisi akar aritmatika, kita buktikan bahwa n√(a*b)= n√a*n√b.

Untuk melakukan ini, kami membuktikan dua fakta bahwa n√a*n√b. Lebih besar dari atau sama dengan nol, dan itu (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b lebih besar dari atau sama dengan nol, karena a dan b lebih besar dari atau sama dengan nol.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b karena (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.

Q.E.D. Jadi harta itu benar. Sifat-sifat ini akan sangat sering harus digunakan ketika menyederhanakan ekspresi yang mengandung akar aritmatika.