Apa itu persamaan?

Mereka yang baru pertama kali mempelajari aljabar tentunya membutuhkan penyajian materi yang paling teratur. Oleh karena itu, pada artikel kami tentang apa itu persamaan, kami tidak hanya akan memberikan definisinya saja, tetapi juga memberikan berbagai klasifikasi persamaan beserta contohnya.

Apa itu persamaan: konsep umum

Jadi, persamaan adalah salah satu jenis persamaan dengan yang tidak diketahui, dilambangkan dengan huruf latin. Dalam hal ini, nilai numerik dari huruf ini, yang memungkinkan kita memperoleh persamaan yang benar, disebut akar persamaan. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini di artikel kami, tetapi kami akan terus membicarakan persamaan itu sendiri. Argumen suatu persamaan (atau variabel) tidak diketahui, dan penyelesaian suatu persamaan adalah menemukan semua akarnya atau tidak adanya akar.

Jenis persamaan

Persamaan dibagi menjadi dua kelompok besar: aljabar dan transendental.

• Aljabar adalah persamaan yang hanya menggunakan operasi aljabar untuk mencari akar persamaan - 4 operasi aritmatika, serta eksponensial dan ekstraksi akar alami.
• Persamaan transendental adalah persamaan yang menggunakan fungsi non aljabar untuk mencari akarnya: misalnya trigonometri, logaritma dan lain-lain.

Di antara persamaan aljabar juga terdapat:

• bilangan bulat - dengan kedua bagian terdiri dari seluruh ekspresi aljabar sehubungan dengan yang tidak diketahui;
• pecahan - berisi ekspresi aljabar bilangan bulat dengan pembilang dan penyebut;
• irasional - ekspresi aljabar di sini berada di bawah tanda akar.

Perhatikan juga bahwa persamaan pecahan dan irasional dapat direduksi menjadi penyelesaian seluruh persamaan.

Persamaan transendental dibagi menjadi:

• Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel sebagai eksponennya. Penyelesaiannya adalah dengan berpindah ke basis atau eksponen tunggal, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, memfaktorkan, dan beberapa metode lainnya;
• logaritma - persamaan dengan logaritma, yaitu persamaan yang tidak diketahui berada di dalam logaritma itu sendiri. Memecahkan persamaan seperti itu sangat sulit (tidak seperti, katakanlah, kebanyakan persamaan aljabar), karena memerlukan pelatihan matematika yang solid. Hal terpenting di sini adalah berpindah dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa logaritma, yaitu menyederhanakan persamaan tersebut (metode menghilangkan logaritma ini disebut potensiasi). Tentu saja, persamaan logaritmik hanya dapat dipotensiasi jika persamaan tersebut memiliki basis numerik yang identik dan tidak memiliki koefisien;
• persamaan trigonometri adalah persamaan dengan variabel yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri. Penyelesaiannya memerlukan penguasaan awal fungsi trigonometri;
• campuran adalah persamaan terdiferensiasi dengan bagian-bagian yang memiliki tipe berbeda (misalnya, dengan bagian parabola dan elips atau elips dan hiperbolik, dll.).

Adapun klasifikasi berdasarkan jumlah yang tidak diketahui, semuanya sederhana: ada persamaan dengan satu, dua, tiga, dan seterusnya yang tidak diketahui. Ada juga klasifikasi lain, yaitu berdasarkan derajat yang ada di sisi kiri polinomial. Berdasarkan hal ini, persamaan linier, kuadrat, dan kubik dibedakan. Persamaan linier juga dapat disebut persamaan derajat 1, persamaan kuadrat - ke-2, dan persamaan kubik, masing-masing ke-3. Nah, sekarang mari kita berikan contoh persamaan suatu kelompok atau kelompok lainnya.

Contoh berbagai jenis persamaan

Contoh persamaan aljabar:

• kapak + b= 0
• kapak 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• kapak 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a tidak sama dengan 0)

Contoh persamaan transendental:

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Contoh persamaan utuh:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Contoh persamaan pecahan:

• 15 x + — = 5x - 17 x

Contoh persamaan irasional:

• √2kf(x)=g(x)

Contoh persamaan linear:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

Contoh persamaan kuadrat:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Contoh persamaan kubik:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Contoh persamaan eksponensial:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Contoh persamaan logaritma:

• catatan 2 x= 3 catatan 3 x= -1

Contoh persamaan trigonometri:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Contoh persamaan campuran:

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Perlu ditambahkan bahwa berbagai metode digunakan untuk menyelesaikan persamaan dari berbagai jenis. Nah, untuk menyelesaikan hampir semua persamaan, Anda memerlukan pengetahuan tidak hanya tentang aljabar, tetapi juga tentang trigonometri, dan seringkali pengetahuan yang sangat mendalam.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

• Meringkas pengetahuan tentang semua jenis persamaan, menekankan pentingnya semua metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan.
• Mengintensifkan hasil karya siswa melalui berbagai teknik dalam pembelajaran.
• Uji keterampilan teoritis dan praktis dalam memecahkan persamaan.
• Fokus pada fakta bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan beberapa cara

Pendidikan:

• Meningkatkan minat siswa terhadap mata pelajaran melalui pemanfaatan TIK.
• Biasakan siswa dengan materi sejarah tentang topik tersebut.
• Perkembangan aktivitas mental dalam menentukan jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.

Pendidikan:

• Menanamkan kedisiplinan di dalam kelas.
• Perkembangan kemampuan mempersepsikan keindahan dalam diri sendiri, orang lain, dan dunia sekitar.

Jenis pelajaran:

• Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Jenis pelajaran:

• Gabungan.

Bahan dan peralatan teknis:

• Komputer
• Layar
• Proyektor
• Disk dengan presentasi topik

Metode dan teknik:

• Menggunakan presentasi
• Percakapan depan
• Pekerjaan lisan
• Momen permainan
• Bekerja berpasangan
• Bekerja di dewan
• Bekerja di buku catatan

Rencana belajar:

1. Momen organisasi (1 menit)
2. Menguraikan topik pelajaran (3 menit)
3. Pernyataan topik dan tujuan pelajaran (1 menit)
4. Pemanasan teoretis (3 menit)
5. Tamasya sejarah (3 menit)
6. Game “Hapus kelebihannya” (2 menit)
7. Karya kreatif (2 menit)
8. Tugas “Temukan kesalahannya” (2 menit)
9. Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (pada slide) (3 menit)
10. Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan) (24 menit)
11. Kerja mandiri berpasangan dilanjutkan dengan penjelasan (5 menit)
12. Pekerjaan rumah individu (1 menit)
13. Refleksi ringkasan pelajaran (1 menit)

Prasasti pelajaran:

“Anda hanya bisa belajar melalui kesenangan; untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.”
A.Perancis

Ringkasan pelajaran

Bagian organisasi

Saya memeriksa kesiapan siswa untuk mengikuti pelajaran dan menandai siswa yang tidak hadir dalam pelajaran. Teman-teman, penulis Prancis abad ke-19 A. France pernah berkata, “Anda hanya bisa belajar melalui kesenangan; untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.” Maka mari ikuti nasehat penulis dalam pelajaran kita dan cerna ilmunya dengan penuh nafsu, karena akan berguna dalam kehidupan kita.

Menguraikan topik pelajaran

Untuk beralih ke tugas yang lebih kompleks, mari kita regangkan otak kita dengan tugas-tugas sederhana. Topik pelajaran kita dienkripsi; dengan menyelesaikan tugas lisan dan menemukan jawabannya, mengetahui bahwa setiap jawaban memiliki hurufnya sendiri, kita akan mengungkapkan topik pelajaran. Slide presentasi 3

Mengkomunikasikan topik dan tujuan pelajaran

Anda sendiri yang menyebutkan topik pelajaran hari ini

“Jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.” Slide presentasi 4

Tujuan: Mengingat dan menggeneralisasi semua jenis persamaan dan metode penyelesaiannya. Selesaikan satu persamaan menggunakan semua metode. Slide presentasi 5 Baca pernyataan Einstein Slide presentasi 5

Pemanasan teoretis

Slide Presentasi Pertanyaan 7

Jawaban

1. Persamaan yang mengandung variabel yang ditunjukkan dengan huruf.
2. Artinya menemukan seluruh akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akarnya.
3. Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar.
4. Setelah definisi ini, bacalah puisi tentang persamaan. Slide presentasi 12,13,14

Jawaban dari 2 pertanyaan terakhir Slide presentasi 9,10,11

Tamasya sejarah

Informasi sejarah tentang “Siapa yang menemukan persamaan dan kapan” Slide presentasi 15

Mari kita bayangkan seorang ibu primitif bernama... namun, dia mungkin bahkan tidak memiliki nama, memetik 12 apel dari pohon untuk diberikan kepada keempat anaknya. Dia mungkin tidak tahu cara menghitung tidak hanya sampai 12, tetapi juga sampai empat, dan tentu saja tidak tahu cara membagi 12 dengan 4. Dan dia mungkin membagi apel seperti ini: pertama dia memberi setiap anak sebuah apel, lalu apel lainnya. , lalu yang lain sendirian dan kemudian saya melihat tidak ada lagi apel dan anak-anak senang. Jika kita menuliskan tindakan ini dalam bahasa matematika modern, kita mendapatkan x4=12, yaitu ibu saya memecahkan masalah membuat persamaan. Rupanya, pertanyaan di atas tidak mungkin terjawab. Permasalahan yang mengarah pada penyelesaian persamaan telah diselesaikan oleh manusia dengan menggunakan akal sehat sejak mereka menjadi manusia. Bahkan 3-4 ribu tahun SM, orang Mesir dan Babilonia mampu menyelesaikan persamaan paling sederhana, yang bentuk dan metode penyelesaiannya tidak sama dengan persamaan modern. Orang Yunani mewarisi pengetahuan orang Mesir dan melanjutkan perjalanan. Keberhasilan terbesar dalam pengembangan doktrin persamaan dicapai oleh ilmuwan Yunani Diophantus (abad III), yang tentangnya mereka menulis:

Dia memecahkan banyak masalah.
Dia meramalkan bau dan hujan.
Sungguh, ilmunya luar biasa.

Matematikawan Asia Tengah Muhammad al-Khorezmi (abad ke-9) memberikan kontribusi besar dalam memecahkan persamaan. Bukunya yang terkenal al-Khawarizmi dikhususkan untuk memecahkan persamaan. Ini disebut “Kitab al-jabr wal-mukabala”, yaitu “Kitab Komplementasi dan Pertentangan”. Buku ini mulai dikenal orang Eropa, dan dari kata “al-jabr” dari judulnya muncullah kata “aljabar” – nama salah satu bagian utama matematika. Selanjutnya, banyak matematikawan yang mengerjakan masalah persamaan. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk x2+in=0 dirumuskan oleh matematikawan Jerman Stiefel, yang hidup pada abad ke-15. Setelah karya matematikawan Belanda Girard (abad ke-16), serta Descartes dan Newton, metode penyelesaian mengambil bentuk modern. Rumus yang menyatakan ketergantungan akar-akar persamaan pada koefisiennya diperkenalkan oleh Vieth. Francois Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar dalam mempelajari berbagai masalah matematika dan astronomi; khususnya, dia memperkenalkan sebutan huruf untuk koefisien persamaan. Sekarang mari kita berkenalan dengan episode menarik dari hidupnya. Viet memperoleh ketenaran besar di bawah Raja Henry III, selama Perang Perancis-Spanyol. Para inkuisitor Spanyol menemukan tulisan rahasia yang sangat rumit, berkat itu orang-orang Spanyol berkorespondensi dengan musuh-musuh Henry III bahkan di Prancis sendiri.

Sia-sia orang Prancis mencoba menemukan kunci kode tersebut, dan kemudian raja menoleh ke Vieta. Mereka mengatakan bahwa Viet menemukan kunci kode tersebut dalam dua minggu kerja terus menerus, setelah itu, secara tak terduga bagi Spanyol, Prancis mulai memenangkan pertempuran demi pertempuran. Yakin bahwa kode tersebut tidak dapat diuraikan, orang-orang Spanyol menuduh Viet memiliki hubungan dengan iblis dan menghukumnya untuk dibakar. Untungnya, dia tidak diekstradisi ke Inkuisisi dan tercatat dalam sejarah sebagai ahli matematika hebat.

Game "Hapus kelebihannya"

Tujuan permainan orientasi dalam jenis persamaan.

Kita diberikan tiga kolom persamaan, di masing-masing kolom persamaan ditentukan menurut beberapa kriteria, tetapi salah satunya tidak berguna; tugas Anda adalah menemukan dan mengkarakterisasinya. Slide presentasi 16

Karya kreatif

Tujuan dari tugas ini: Mendengarkan pemahaman pidato matematika, mengorientasikan anak pada jenis persamaan.

Di layar Anda melihat 9 persamaan. Setiap persamaan memiliki nomornya masing-masing, saya akan menyebutkan jenis persamaan ini, dan Anda harus menemukan persamaan jenis ini, dan hanya meletakkan nomor di bawahnya, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan nomor 9 digit Slide presentasi 17

1. Persamaan kuadrat tereduksi.
2. Persamaan rasional pecahan
3. Persamaan kubik
4. Persamaan logaritma
5. Persamaan linier
6. Persamaan kuadrat tidak lengkap
7. Persamaan eksponensial
8. Persamaan irasional
9. Persamaan trigonometri

Tugas “Temukan kesalahannya”

Seorang siswa memecahkan persamaan, tetapi seluruh kelas tertawa, dia membuat kesalahan di setiap persamaan, tugas Anda adalah menemukannya dan memperbaikinya. Slide presentasi 18

Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara

Sekarang mari kita selesaikan satu persamaan dengan semua cara yang ada, untuk menghemat waktu di kelas, satu persamaan di layar. Sekarang Anda akan menyebutkan jenis persamaan ini, dan menjelaskan metode apa yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini. Slide presentasi 19-27

Menyelesaikan satu persamaan dengan beberapa cara (di papan tulis)

Kita telah melihat contohnya, dan sekarang mari kita selesaikan persamaan di papan tulis dengan segala cara yang memungkinkan.

X-2 - persamaan irasional

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Kami menyelesaikan persamaan ini di papan tulis dengan 9 cara.

Kerja mandiri berpasangan dilanjutkan dengan penjelasan di papan tulis

Dan sekarang Anda akan bekerja berpasangan, saya berikan persamaan ke meja Anda, tugas Anda adalah menentukan jenis persamaan, daftar semua cara untuk menyelesaikan persamaan ini, selesaikan 1-2 dengan cara yang paling rasional untuk Anda. (2 menit)

Tugas untuk bekerja berpasangan

Selesaikan persamaannya

Setelah bekerja berpasangan secara mandiri, salah satu perwakilan pergi ke papan tulis, menyajikan persamaannya, menyelesaikannya dengan satu cara

Pekerjaan rumah individu(dapat dibedakan)

Selesaikan persamaannya

(tentukan jenis persamaannya, selesaikan segala cara pada lembar tersendiri)

Ringkasan pelajaran refleksi.

Saya merangkum pelajaran, menarik perhatian pada fakta bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan banyak cara, memberi nilai, menarik kesimpulan tentang siapa yang aktif dan siapa yang perlu lebih aktif. Saya membacakan pernyataan Kalinin Slide presentasi 28

Perhatikan baik-baik tujuan yang telah kita tetapkan untuk pelajaran hari ini:

• Menurut Anda apa yang berhasil kami lakukan?
• Apa yang tidak berjalan dengan baik?
• Apa yang paling Anda sukai dan ingat?
• Hari ini aku belajar sesuatu yang baru...
• Ilmuku berguna selama pelajaran...
• Itu sulit bagi saya...
• aku menyukai pelajarannya...

Literatur.

1. Dorofeev G.V. “Kumpulan tugas pelaksanaan ujian tertulis matematika untuk mata kuliah SMA” - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Teka-teki matematika dan hiburan.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materi didaktik aljabar dan permulaan analisis untuk kelas 10, kelas 11. M.: Pencerahan. 2002.

Kementerian Pendidikan Umum dan Profesional Federasi Rusia

Institusi pendidikan kota

Gimnasium No.12

komposisi

pada topik: Persamaan dan metode penyelesaiannya

Diselesaikan oleh : siswa kelas 10 “A”

Krutko Evgeniy

Diperiksa oleh: guru matematika Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Rencana................................................. ................................................. ...... ................................ 1

Perkenalan................................................. ....... ................................................... ............. ........................ 2

Bagian utama................................................ ................................................. ...... ............... 3

Kesimpulan................................................. ................................................. ...... ................... 25

Aplikasi................................................. ................................................. ...................... 26

Daftar literatur yang digunakan................................................ ................................... 29

Rencana.

Perkenalan.

Referensi sejarah.

Persamaan. Persamaan aljabar.

a) Definisi dasar.

b) Persamaan linier dan cara penyelesaiannya.

c) Persamaan kuadrat dan cara penyelesaiannya.

d) Persamaan binomial dan cara penyelesaiannya.

e) Persamaan kubik dan cara penyelesaiannya.

f) Persamaan bikuadrat dan cara penyelesaiannya.

g) Persamaan derajat keempat dan cara penyelesaiannya.

g) Persamaan derajat tinggi dan cara penyelesaiannya.

h) Persamaan aljabar rasional dan metodenya

i) Persamaan irasional dan cara penyelesaiannya.

j) Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah suatu tanda.

nilai mutlak dan cara penyelesaiannya.

Persamaan transendental.

a) Persamaan eksponensial dan cara penyelesaiannya.

b) Persamaan logaritma dan cara penyelesaiannya.

Perkenalan

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah komprehensif merupakan komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum manusia modern. Hampir segala sesuatu yang ada di sekitar manusia modern semuanya berhubungan dengan matematika. Dan kemajuan terkini di bidang fisika, teknik, dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, menyelesaikan banyak masalah praktis berarti menyelesaikan berbagai jenis persamaan yang perlu Anda pelajari cara menyelesaikannya.

Karya ini merupakan upaya untuk merangkum dan mensistematisasikan materi yang dipelajari pada topik di atas. Saya menyusun materi berdasarkan tingkat kesulitan, dimulai dari yang paling sederhana. Ini mencakup jenis persamaan yang kita ketahui dari kursus aljabar sekolah, dan materi tambahan. Pada saat yang sama, saya mencoba menunjukkan jenis-jenis persamaan yang tidak dipelajari di mata pelajaran sekolah, tetapi pengetahuannya mungkin diperlukan saat memasuki perguruan tinggi. Dalam pekerjaan saya, ketika menyelesaikan persamaan, saya tidak membatasi diri hanya pada solusi nyata, tetapi juga menunjukkan solusi kompleks, karena saya percaya bahwa jika tidak, persamaan tersebut tidak akan terpecahkan. Lagi pula, jika suatu persamaan tidak memiliki akar real, bukan berarti persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Sayangnya karena keterbatasan waktu, saya tidak bisa menyajikan seluruh materi yang saya miliki, namun dengan materi yang disajikan di sini pun, banyak pertanyaan yang mungkin muncul. Saya harap pengetahuan saya cukup untuk menjawab sebagian besar pertanyaan. Jadi, saya mulai menyajikan materinya.

Matematika... mengungkapkan keteraturan,

simetri dan kepastian,

dan ini adalah jenis kecantikan yang paling penting.

Aristoteles.

Referensi sejarah

Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. “Kami mencari tumpukan yang, bersama dengan dua pertiga, setengah dan sepertujuh, menghasilkan 37…”, ajar juru tulis Mesir Ahmes pada milenium ke-2 SM. Dalam soal matematika kuno di Mesopotamia, India, Cina, Yunani, besaran yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, dan totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Para juru tulis, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi, berhasil mengatasi tugas-tugas tersebut.

Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan zaman dahulu mempunyai beberapa teknik umum untuk memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun tablet papirus atau tanah liat yang memuat penjelasan tentang teknik ini. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.

Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari nama Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan al- Karya Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak berkembangnya ilmu penyelesaian persamaan.

persamaan Persamaan aljabar

Definisi dasar

Dalam aljabar, dua jenis persamaan dipertimbangkan - identitas dan persamaan.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai (yang diperbolehkan) dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya). Untuk mencatat identitas, selain tanda, digunakan pula tanda.

Persamaannya adalah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang ada di dalamnya. Huruf-huruf yang termasuk dalam persamaan, sesuai dengan kondisi soal, bisa jadi tidak sama: beberapa dapat mengambil semua nilai yang diizinkan (disebut parameter atau koefisien persamaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf pertama alfabet Latin :, , ... - atau huruf yang sama yang dilengkapi dengan indeks: , , ... atau , , ...); orang lain yang nilainya perlu ditemukan dipanggil tidak dikenal(biasanya ditandai dengan huruf terakhir alfabet Latin: , , , ... - atau huruf yang sama dengan indeks: , , ... atau , , ...).

Secara umum persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:

Bergantung pada banyaknya yang tidak diketahui, persamaan tersebut disebut persamaan dengan satu, dua, dan seterusnya.

Nilai dari hal yang tidak diketahui yang mengubah persamaan menjadi identitas, disebut solusi persamaan

Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan banyak solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi. Bergantung pada jenis persamaannya, himpunan solusi persamaan tersebut bisa tak terhingga, terbatas, atau kosong.

Jika semua solusi persamaan adalah solusi persamaan, maka dikatakan persamaan tersebut merupakan konsekuensi dari persamaan tersebut, dan tuliskan

Dua persamaan

ditelepon setara, jika masing-masing merupakan konsekuensi dari yang lain, dan tulislah

Jadi, dua persamaan dianggap setara jika himpunan solusi persamaan tersebut bertepatan.

Suatu persamaan dianggap ekuivalen dengan dua (atau lebih) persamaan , jika himpunan penyelesaian persamaan tersebut berimpit dengan gabungan himpunan penyelesaian persamaan , .

BEBERAPA PERSAMAAN SETARA:

Persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan yang dipertimbangkan pada himpunan nilai yang diperbolehkan dari persamaan aslinya.

Setara dengan dua persamaan dan .

Persamaannya setara dengan persamaan.

Persamaan n ganjil ekuivalen dengan persamaan tersebut, dan untuk n genap ekuivalen dengan dua persamaan dan.

Persamaan aljabar disebut persamaan bentuk

di mana adalah polinomial derajat ke-n dalam satu atau lebih variabel.

Persamaan aljabar dengan satu yang tidak diketahui disebut persamaan yang direduksi menjadi persamaan bentuk

dimana n adalah bilangan bulat non-negatif; koefisien polinomial , , , ..., , disebut koefisien(atau parameter) persamaan dan dianggap diberikan; x dipanggil tidak dikenal dan itulah yang kami cari. Nomor n dipanggil derajat persamaan

Nilai x yang tidak diketahui yang mengubah persamaan aljabar menjadi identitas disebut akar(lebih jarang keputusan) persamaan aljabar.

Ada beberapa jenis persamaan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang sudah jadi. Ini adalah persamaan linier dan kuadrat, serta persamaan bentuk F(x), di mana F adalah salah satu fungsi standar (fungsi pangkat atau eksponensial, logaritma, sinus, kosinus, tangen atau kotangen). Persamaan seperti ini dianggap paling sederhana. Ada juga rumus persamaan kubik, tetapi ini tidak dianggap yang paling sederhana.

Jadi, tugas utama saat menyelesaikan persamaan apa pun adalah mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana.

Semua persamaan yang tercantum di bawah ini juga memiliki solusi grafisnya sendiri, yang terdiri dari menyajikan ruas kiri dan kanan persamaan sebagai dua fungsi identik yang tidak diketahui. Kemudian sebuah grafik dibuat, pertama dari satu fungsi, lalu fungsi lainnya, dan titik potong kedua grafik tersebut akan menghasilkan solusi persamaan aslinya. Contoh solusi grafis untuk semua persamaan diberikan dalam lampiran.

Persamaan linier

Persamaan linier disebut persamaan derajat pertama.

dimana a dan b adalah bilangan real.

Persamaan linier selalu mempunyai akar tunggal, yang dicari sebagai berikut.

Menambahkan angka pada kedua ruas persamaan (1), kita memperoleh persamaan

setara dengan persamaan (1). Membagi kedua ruas persamaan (2) dengan nilai , kita memperoleh akar persamaan (1):

Persamaan kuadrat

Persamaan aljabar derajat kedua.

, (3)

dimana , , adalah beberapa bilangan real, disebut persamaan kuadrat. Jika , maka persamaan kuadrat (3) disebut diberikan .

Akar persamaan kuadrat dihitung menggunakan rumus

,

Ekspresi itu disebut diskriminan persamaan kuadrat.

Di mana:

jika , maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda;

jika , maka persamaan tersebut mempunyai satu akar real multiplisitas 2;

jika , maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar real, tetapi mempunyai dua akar konjugasi kompleks:

, ,

Jenis persamaan kuadrat tertentu (3) adalah:

1) Persamaan kuadrat tereduksi (jika ), yang biasanya ditulis dalam bentuk

.

Akar persamaan kuadrat yang diberikan dihitung menggunakan rumus

. (4)

Rumus ini disebut rumus Vieta, diambil dari nama ahli matematika Perancis pada akhir abad ke-16, yang memberikan kontribusi signifikan terhadap perkembangan simbolisme aljabar.

2) Persamaan kuadrat dengan koefisien kedua genap, yang biasa ditulis sebagai

( - bilangan bulat).

Lebih mudah untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat ini menggunakan rumus

. (5)

Rumus (4) dan (5) merupakan jenis rumus khusus untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Akar persamaan kuadrat tereduksi

dikaitkan dengan koefisiennya dengan Rumus Vieta

,

.

Jika persamaan kuadrat yang diberikan mempunyai akar real, rumus Vieta memungkinkan kita menilai tanda dan besaran relatif dari akar persamaan kuadrat, yaitu:

jika , maka kedua akarnya negatif;

jika , maka kedua akarnya positif;

jika , , maka persamaan tersebut memiliki akar-akar yang tandanya berbeda, dan akar negatifnya lebih besar nilai absolutnya daripada akar positifnya;

jika , , persamaan mempunyai akar-akar yang tandanya berbeda, dan akar negatifnya lebih kecil dari akar positif dalam nilai mutlaknya.

Mari kita tulis ulang persamaan kuadratnya lagi

(6)

dan kami akan menunjukkan cara lain untuk menurunkan akar-akar persamaan kuadrat (6) melalui koefisien dan suku bebasnya. Jika

kemudian akar-akar persamaan kuadrat dihitung menggunakan rumus

,

, .

yang dapat diperoleh dari transformasi persamaan awal berikut, serta dengan memperhatikan rumus (7).

,

Oleh karena itu, perhatikan itu

,

.

,

tapi, dari rumus (7) akhirnya

Jika kita menaruhnya +, maka

,

Oleh karena itu, perhatikan itu

,

,

tapi karena itu akhirnya

.

Persamaan binomial

Persamaan derajat ke-n bentuk

ditelepon persamaan binomial. Dengan dan penggantian)

dimana adalah nilai aritmatika akar, persamaan (8) direduksi menjadi persamaan

Persamaan binomial untuk n ganjil mempunyai satu akar real. Dalam himpunan bilangan kompleks, persamaan ini mempunyai n akar (yang mana akarnya real dan kompleks):

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

Persamaan binomial genap n pada himpunan bilangan real mempunyai dua akar , dan pada himpunan bilangan kompleks terdapat n akar, dihitung dengan rumus (9).

Persamaan binomial untuk n genap memiliki satu akar real, dan dalam himpunan bilangan kompleks akar, dihitung dengan rumus

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

Persamaan binomial untuk n genap tidak mempunyai akar real. Dalam himpunan bilangan kompleks, persamaan memiliki akar-akar yang dihitung dengan rumus (10).

Mari kita berikan ringkasan singkat tentang himpunan akar-akar persamaan binomial untuk beberapa nilai n tertentu.

Persamaan tersebut mempunyai dua akar real.

.

Persamaan tersebut mempunyai dua akar real dan dua akar kompleks.

Persamaan tersebut tidak memiliki akar real. Akar kompleks: .

Persamaan tersebut mempunyai satu akar real dan dua akar kompleks

.

Persamaan tersebut tidak memiliki akar real. Akar kompleks:

, .

Persamaan kubik

Jika ahli matematika Babilonia dan India Kuno mampu menyelesaikan persamaan kuadrat, maka persamaan kubik, yaitu. persamaan bentuk

ternyata kacang yang sulit dipecahkan. Pada akhir abad ke-15. Profesor Matematika di Universitas Roma dan Milan Luca Pacioli dalam buku teksnya yang terkenal “The Sum of Knowledge on Arithmetic, Geometry, Relations and Proportionality” menempatkan masalah menemukan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik setara dengan masalah mengkuadratkan lingkaran. Namun, melalui upaya para ahli aljabar Italia, metode seperti itu segera ditemukan.

Mari kita mulai dengan penyederhanaan

Jika persamaan kubik bentuk umum

dibagi dengan , maka koefisien pada menjadi sama dengan 1. Oleh karena itu, selanjutnya kita akan melanjutkan dari persamaan tersebut

Sama seperti penyelesaian persamaan kuadrat yang didasarkan pada rumus kuadrat jumlah, demikian pula penyelesaian persamaan kubik didasarkan pada rumus pangkat tiga dari jumlah tersebut:

Agar tidak bingung dengan koefisiennya, mari kita ganti di sini dengan dan menyusun ulang suku-sukunya:

Kita melihat bahwa dengan memilih , yaitu dengan mengambil , kita dapat memastikan bahwa ruas kanan rumus ini berbeda dengan ruas kiri persamaan (11) hanya pada koefisien at dan suku bebasnya. Mari kita jumlahkan persamaan (11) dan (12) dan berikan persamaan serupa:

Jika kita melakukan substitusi di sini, kita mendapatkan persamaan kubik tanpa suku c:

.

Jadi, kita telah menunjukkan bahwa dalam persamaan kubik (11), dengan menggunakan substitusi yang sesuai, kita dapat menghilangkan suku yang mengandung kuadrat dari bilangan yang tidak diketahui. Oleh karena itu, sekarang kita akan menyelesaikan persamaan bentuk

. (13)

Rumus Cardano

Mari kita lihat kembali rumus jumlah kubus, tetapi tuliskan secara berbeda:

Bandingkan entri ini dengan persamaan (13) dan coba buat hubungan di antara keduanya. Bahkan dengan sebuah petunjuk pun itu tidak mudah. Kita harus memberi penghormatan kepada ahli matematika Renaisans yang memecahkan persamaan kubik tanpa mengetahui simbolisme alfabet. Mari kita substitusikan ke dalam rumus kita:

Sekarang jelas: untuk menemukan akar persamaan (13), cukup menyelesaikan sistem persamaan

atau

dan ambil sebagai jumlah dan . Dengan mengganti , sistem ini direduksi menjadi bentuk yang sangat sederhana:

Kemudian Anda dapat bertindak dengan cara yang berbeda, tetapi semua “jalan” akan mengarah pada persamaan kuadrat yang sama. Misalnya, menurut teorema Vieta, jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan koefisien bertanda minus, dan hasil kali sama dengan suku bebas. Oleh karena itu dan merupakan akar persamaan

.

Mari kita tuliskan akar-akar ini:

Variabel dan sama dengan akar pangkat tiga dari dan , dan solusi yang diinginkan untuk persamaan kubik (13) adalah jumlah dari akar-akar berikut:

.

Rumus ini dikenal sebagai Rumus Cardano .

Solusi trigonometri

, , . (14)

Akar-akar persamaan kubik “tidak lengkap” (14) adalah sama

, ,

, ,

.

Biarkan persamaan kubik “tidak lengkap” (14) menjadi valid.

a) Jika (kasus “yang tidak dapat direduksi”), maka

,

,

.

(b) Jika , , maka

, ,

, .

(c) Jika , , maka

, ,

, .

Dalam semua kasus, nilai sebenarnya dari akar pangkat tiga diambil.

Persamaan bikuadrat

Persamaan aljabar derajat keempat.

,

dimana a,b,c adalah bilangan real yang disebut persamaan bikuadrat. Dengan substitusi, persamaan tersebut direduksi menjadi persamaan kuadrat diikuti dengan menyelesaikan dua persamaan binomial dan ( dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang bersesuaian).

Jika dan , maka persamaan bikuadrat mempunyai empat akar real:

, .

Jika , ), maka persamaan bikuadrat mempunyai dua akar real dan akar konjugat imajiner:

.

Jika dan , maka persamaan bikuadrat mempunyai empat akar konjugat berpasangan imajiner murni:

, .

Persamaan derajat keempat

Sebuah metode untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat ditemukan pada abad ke-16. Ludovico Ferrari, murid Gerolamo Cardano. Itulah yang disebut - metodenya. Ferrari .

Seperti dalam menyelesaikan persamaan kubik dan kuadrat, pada persamaan derajat keempat

Anda dapat menghilangkan istilah tersebut dengan substitusi. Oleh karena itu, kita asumsikan bahwa koefisien pangkat tiga dari bilangan yang tidak diketahui adalah nol:

Ide Ferrari adalah untuk merepresentasikan persamaan dalam bentuk , dengan ruas kiri adalah kuadrat ekspresi , dan ruas kanan adalah kuadrat persamaan linier , yang koefisiennya bergantung pada . Setelah ini, tinggal menyelesaikan dua persamaan kuadrat: dan . Tentu saja, representasi seperti itu hanya mungkin dilakukan dengan pilihan parameter khusus. Lebih mudah untuk mengambilnya dalam bentuk , maka persamaannya akan ditulis ulang sebagai berikut:

. (15)

Ruas kanan persamaan ini adalah trinomial kuadrat dari . Ini akan menjadi kuadrat lengkap jika diskriminannya sama dengan nol, yaitu.

, atau

Persamaan ini disebut obat anti radang(yaitu "permisif"). Bentuknya relatif kubik, dan rumus Cardano memungkinkan kita menemukan beberapa akarnya. Ketika ruas kanan persamaan (15) berbentuk

,

dan persamaannya sendiri direduksi menjadi dua persamaan kuadrat:

.

Akarnya memberikan semua solusi persamaan aslinya.

Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya

Di sini akan lebih mudah untuk menggunakan bukan formula yang sudah jadi, tetapi gagasan solusinya. Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk

dan tambahkan ekspresi pada kedua sisi sehingga terbentuk persegi lengkap di sisi kiri:

Sekarang mari kita samakan diskriminan ruas kanan persamaan tersebut dengan nol:

atau, setelah disederhanakan,

Salah satu akar persamaan yang dihasilkan dapat ditebak dengan mengurutkan pembagi suku bebas: . Setelah mengganti nilai ini kita mendapatkan persamaannya

Di mana . Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah Dan . Tentu saja, dalam kasus umum, akar kompleks juga dapat diperoleh.

Solusi Descartes-Euler

dengan substitusi, ia direduksi menjadi bentuk yang “tidak lengkap”.

. (16)

Akar-akar , , , dari persamaan “tidak lengkap” derajat keempat (16) sama dengan salah satu ekspresi

dimana kombinasi tanda dipilih sehingga kondisinya terpenuhi

di mana , dan adalah akar-akar persamaan kubik

.

Persamaan derajat tinggi

Solvabilitas dalam radikal

Rumus akar-akar persamaan kuadrat telah dikenal sejak dahulu kala, yaitu pada abad ke-16. Ahli aljabar Italia memecahkan persamaan derajat ketiga dan keempat secara radikal. Dengan demikian, diketahui bahwa akar-akar persamaan apa pun yang tidak melebihi derajat keempat dinyatakan melalui koefisien persamaan dengan rumus yang hanya menggunakan empat operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan ekstraksi akar-akar suatu derajat. tidak melebihi derajat persamaan. Selain itu, semua persamaan dengan derajat tertentu () dapat “disajikan” dengan satu rumus umum. Dengan mensubstitusikan koefisien persamaan ke dalamnya, kita memperoleh semua akar - baik nyata maupun kompleks.

Setelah itu, pertanyaan yang muncul secara alami: apakah ada rumus umum serupa untuk menyelesaikan persamaan derajat kelima dan lebih tinggi? Jawabannya ditemukan oleh ahli matematika Norwegia Niels Henrik Abel pada awal abad ke-19. Sedikit lebih awal, hasil ini ditunjukkan, tetapi tidak cukup dibuktikan, oleh Paolo Ruffini dari Italia. Teorema Abel-Ruffini berbunyi seperti ini:

Persamaan umum kekuasaan di tidak dapat dipecahkan secara radikal.

Jadi, tidak ada rumus umum yang berlaku untuk semua persamaan pada derajat tertentu. Namun, ini tidak berarti bahwa tidak mungkin menyelesaikan beberapa jenis persamaan derajat tinggi tertentu dalam radikal. Abel sendiri menemukan solusi seperti itu untuk sejumlah besar persamaan derajat tinggi yang sewenang-wenang - yang disebut persamaan Abelian. Teorema Abel-Ruffini bahkan tidak mengesampingkan fakta bahwa akar setiap persamaan aljabar tertentu dapat ditulis melalui koefisiennya menggunakan tanda operasi aritmatika dan radikal, khususnya, bilangan aljabar apa pun, yaitu. akar persamaan bentuk

dengan koefisien bilangan bulat, dapat dinyatakan dalam radikal melalui bilangan rasional. Faktanya, ungkapan seperti itu tidak selalu ada. Ini mengikuti teorema solvabilitas untuk persamaan aljabar, yang dibangun oleh ahli matematika Prancis terkemuka Evariste Galois dalam “Memoir on the condition for the solvability of Equation in Radicals” (1832; diterbitkan pada tahun 1846).

Kami menekankan bahwa dalam masalah terapan kami hanya tertarik pada nilai perkiraan akar persamaan. Oleh karena itu, solvabilitasnya dalam radikal biasanya tidak berperan di sini. Ada metode komputasi khusus yang memungkinkan Anda menemukan akar persamaan apa pun dengan akurasi yang telah ditentukan, tidak kurang dari yang diberikan oleh perhitungan menggunakan rumus yang sudah jadi.

Persamaan yang diselesaikan

Meskipun persamaan derajat tinggi umumnya tidak dapat diselesaikan dalam bentuk radikal, rumus Cardano dan Ferrari untuk persamaan derajat ketiga dan keempat tidak dapat diterapkan di sekolah; dalam buku pelajaran aljabar dan ujian masuk perguruan tinggi terkadang terdapat masalah yang mengharuskan Anda menyelesaikan persamaan yang lebih tinggi dari persamaan tersebut tingkat dua. Biasanya mereka dipilih secara khusus sehingga akar persamaan dapat ditemukan dengan menggunakan beberapa teknik dasar.

Salah satu teknik ini didasarkan pada teorema akar rasional suatu polinomial:

Jika pecahan tak tersederhanakan adalah akar suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka pembilangnya adalah pembagi suku bebasnya, dan penyebutnya adalah pembagi koefisien utamanya.

Untuk membuktikannya cukup substitusikan persamaan tersebut ke dalam persamaan dan kalikan persamaan tersebut dengan . Kita mendapatkan

Semua suku di ruas kiri, kecuali suku terakhir, habis dibagi , oleh karena itu habis dibagi , dan karena dan relatif merupakan bilangan prima, maka suku tersebut merupakan pembagi dari . Buktinya serupa.

Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat menemukan semua akar rasional persamaan dengan koefisien bilangan bulat dengan menguji sejumlah “kandidat”. Misalnya untuk persamaan

yang koefisien utamanya adalah 1, “kandidat” adalah pembagi angka –2. Hanya ada empat: 1, -1, 2 dan –2. Pengecekan menunjukkan bahwa hanya satu dari angka-angka ini yang merupakan akarnya: .

Jika satu akar ditemukan, Anda dapat menurunkan derajat persamaannya. Menurut teorema Bezout,

sisa pembagian polinomial dengan binomial sama dengan , yaitu

Ini mengikuti langsung dari teorema itu

Jika adalah akar suatu polinomial, maka polinomial tersebut dibagi dengan, yaitu di mana polinomial berderajat 1 lebih kecil dari.

Melanjutkan contoh kita, kita keluarkan dari polinomial

faktor . Untuk mencari hasil bagi, Anda dapat melakukan pembagian dengan sudut:

Tapi ada cara yang lebih mudah. Ini akan menjadi jelas dari contoh:

Sekarang yang tersisa hanyalah menyelesaikan persamaan kuadrat . Akarnya:

.

Metode koefisien tak tentu

Jika polinomial dengan koefisien bilangan bulat tidak memiliki akar rasional, Anda dapat mencoba menguraikannya menjadi faktor-faktor yang derajatnya lebih rendah dengan koefisien bilangan bulat. Misalnya saja persamaannya

Mari kita bayangkan ruas kiri sebagai hasil kali dua trinomial persegi dengan koefisien yang tidak diketahui (tidak terdefinisi):

Mari kita buka tanda kurung di sisi kanan dan berikan yang serupa:

Sekarang, dengan menyamakan koefisien dengan pangkat yang sama di kedua bagian, kita memperoleh sistem persamaan

Upaya untuk menyelesaikan sistem ini dalam bentuk umum akan membawa kita kembali ke penyelesaian persamaan awal. Namun akar utuh, jika ada, tidak sulit ditemukan melalui seleksi. Tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat berasumsi bahwa, maka persamaan terakhir menunjukkan bahwa hanya dua opsi yang perlu dipertimbangkan:, dan. Mengganti pasangan nilai ini ke dalam persamaan yang tersisa, kami yakin bahwa persamaan pertama memberikan perluasan yang diinginkan: . Solusi ini disebut metode koefisien yang tidak ditentukan .

Jika persamaan tersebut berbentuk , di mana dan merupakan polinomial, maka penggantiannya mereduksi penyelesaiannya menjadi penyelesaian dua persamaan derajat yang lebih rendah: dan .

Persamaan timbal balik

Persamaan aljabar timbal balik adalah persamaan yang bentuknya derajat genap

yang koefisien-koefisiennya, dengan jarak yang sama dari ujung-ujungnya, adalah sama dengan: , dst. Persamaan tersebut direduksi menjadi persamaan setengah derajat dengan membaginya dengan dan kemudian menggantinya .

Misalnya saja persamaannya

Membaginya dengan (yang legal, karena bukan root), kita dapatkan

.

perhatikan itu

.

Oleh karena itu, besarannya memenuhi persamaan kuadrat

,

penyelesaian yang dapat dicari dari persamaan tersebut .

Saat menyelesaikan persamaan timbal balik dengan derajat yang lebih tinggi, mereka biasanya menggunakan fakta bahwa ekspresi untuk sembarang dapat direpresentasikan sebagai polinomial dengan derajat dalam .

Persamaan aljabar rasional

Rasional persamaan aljabar adalah persamaan bentuk

Himpunan nilai persamaan aljabar rasional yang diperbolehkan (17)

diberikan oleh kondisi, yaitu, , , ..., di mana , , ..., adalah akar-akar polinomial.

Cara penyelesaian persamaan (17) adalah sebagai berikut. Memecahkan persamaan

yang akarnya kita nyatakan

.

Kami membandingkan himpunan akar polinomial dan . Jika tidak ada akar suatu polinomial yang merupakan akar suatu polinomial, maka semua akar polinomial tersebut merupakan akar-akar persamaan (17). Jika suatu akar suatu polinomial merupakan akar suatu polinomial, maka perlu dilakukan perbandingan dari multiplisitasnya: jika multiplisitas akar polinomial tersebut lebih besar dari multiplisitas akar polinomial tersebut, maka akar tersebut adalah akar (17) dengan multiplisitas sama dengan selisih antara multiplisitas akar-akar pembagi dan pembagi; jika tidak, akar polinomial bukanlah akar persamaan rasional (17).

CONTOH Mari kita cari akar sebenarnya dari persamaan tersebut

Di mana , .

Polinomial mempunyai dua akar real (keduanya sederhana):

Polinomial mempunyai satu akar sederhana. Oleh karena itu, persamaan tersebut mempunyai satu akar real.

Memecahkan persamaan yang sama dalam himpunan bilangan kompleks, kita menemukan bahwa persamaan tersebut, selain akar real yang ditunjukkan, memiliki dua akar konjugasi kompleks:

Persamaan irasional

Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui (atau ekspresi aljabar rasional untuk sesuatu yang tidak diketahui) di bawah tanda radikal disebut persamaan irasional. Dalam matematika dasar, solusi persamaan irasional ditemukan dalam himpunan bilangan real.

Persamaan irasional apa pun dapat direduksi menjadi persamaan aljabar rasional menggunakan operasi aljabar dasar (perkalian, pembagian, menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat bilangan bulat). Perlu diingat bahwa persamaan aljabar rasional yang dihasilkan mungkin tidak setara dengan persamaan irasional aslinya, yaitu mungkin mengandung akar-akar “ekstra” yang bukan merupakan akar-akar persamaan irasional aslinya. Oleh karena itu, setelah menemukan akar-akar persamaan aljabar rasional yang dihasilkan, perlu dilakukan pengecekan apakah semua akar persamaan rasional tersebut merupakan akar-akar persamaan irasional.

Dalam kasus umum, sulit untuk menunjukkan metode universal untuk menyelesaikan persamaan irasional apa pun, karena diinginkan bahwa, sebagai hasil transformasi persamaan irasional asli, hasilnya bukan hanya persamaan aljabar rasional, di antara akar-akarnya. yang merupakan akar-akar persamaan irasional yang diberikan, tetapi persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sekecil mungkin. Keinginan untuk memperoleh persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sekecil mungkin adalah hal yang wajar, karena menemukan semua akar persamaan aljabar rasional itu sendiri dapat menjadi tugas yang agak sulit, yang hanya dapat kita selesaikan sepenuhnya. dalam jumlah kasus yang sangat terbatas.

Mari kita sajikan beberapa metode standar yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar irasional.

1) Salah satu metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah metode menghilangkan radikal dengan menaikkan kedua ruas persamaan secara berturut-turut ke pangkat alami yang sesuai. Perlu diingat bahwa ketika kedua ruas persamaan dipangkatkan ganjil, persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan awal, dan jika kedua ruas persamaan dipangkatkan genap, persamaan yang dihasilkan umumnya akan berbicara, tidak setara dengan persamaan aslinya. Hal ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menaikkan kedua ruas persamaan

sampai tingkat apa pun. Hasil dari operasi ini adalah persamaan

yang himpunan solusinya merupakan gabungan dari himpunan solusi:

DAN .

Namun, terlepas dari kelemahan ini, prosedur menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat tertentu (sering kali genap) merupakan prosedur paling umum untuk mereduksi persamaan irasional menjadi persamaan rasional.

dimana , , adalah beberapa polinomial.

Karena definisi operasi mengekstraksi akar dalam himpunan bilangan real, nilai yang diizinkan dari bilangan yang tidak diketahui ditentukan oleh kondisi

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan (18), kita memperoleh persamaannya

Setelah dikuadratkan lagi, persamaan tersebut menjadi persamaan aljabar

Karena kedua ruas persamaan (18) dikuadratkan, mungkin tidak semua akar persamaan (19) merupakan solusi dari persamaan awal;

2) Contoh lain penyelesaian persamaan irasional adalah metode memasukkan hal-hal baru yang tidak diketahui, sehingga diperoleh persamaan irasional yang lebih sederhana atau persamaan rasional.

Contoh 2. Selesaikan persamaan irasional

.

Himpunan nilai yang valid untuk persamaan ini adalah:

Dengan kata lain, setelah substitusi kita memperoleh persamaannya

atau persamaan setara

yang dapat dianggap sebagai persamaan kuadrat terhadap . Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan

Oleh karena itu, himpunan penyelesaian persamaan irasional awal adalah gabungan himpunan penyelesaian dua persamaan berikut:

, .

Menaikkan kedua ruas masing-masing persamaan ini menjadi kubus, kita memperoleh dua persamaan aljabar rasional:

, .

Memecahkan persamaan ini, kita menemukan bahwa persamaan irasional ini memiliki akar tunggal.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa ketika menyelesaikan persamaan irasional, seseorang tidak boleh memulai penyelesaian persamaan dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat alami, mencoba mereduksi penyelesaian persamaan irasional menjadi penyelesaian persamaan aljabar rasional. Pertama kita perlu melihat apakah mungkin untuk membuat transformasi persamaan yang identik yang dapat menyederhanakan penyelesaiannya secara signifikan.

. (20)

Himpunan nilai yang dapat diterima untuk persamaan ini adalah: . Mari kita lakukan transformasi persamaan ini sebagai berikut:

.

,

persamaan tersebut tidak akan memiliki solusi;

kapan persamaannya dapat dituliskan sebagai

.

Jika persamaan ini tidak memiliki solusi, karena untuk sembarang , yang termasuk dalam himpunan nilai persamaan yang dapat diterima, ekspresi di ruas kiri persamaan adalah positif.

Ketika persamaan memiliki solusi

.

Dengan mempertimbangkan bahwa himpunan solusi yang dapat diterima terhadap persamaan tersebut ditentukan oleh kondisi, akhirnya kita memperoleh:

Saat menyelesaikan persamaan irasional (20) akan ada

.

Untuk semua nilai lainnya, persamaan tersebut tidak memiliki solusi, yaitu himpunan solusinya adalah himpunan kosong.

Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda nilai mutlak

Persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak yang tidak diketahui dapat direduksi menjadi persamaan tanpa tanda nilai mutlak dengan menggunakan definisi modulus. Jadi, misalnya, menyelesaikan persamaan

(21)

direduksi menjadi menyelesaikan dua persamaan dengan kondisi tambahan.

1) Jika , maka persamaan (21) direduksi menjadi bentuk

. (22)

Solusi persamaan ini: , . Kondisi tersebut dipenuhi oleh akar kedua persamaan kuadrat (22), dan angka 3 merupakan akar persamaan (21).

2) Jika , persamaan (21) direduksi menjadi bentuk

.

Akar persamaan ini adalah angka Dan . Akar pertama tidak memenuhi kondisi dan oleh karena itu bukan merupakan solusi persamaan ini (21).

Jadi, solusi persamaan (21) adalah bilangan 3 dan .

Perhatikan bahwa koefisien persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda nilai absolut dapat dipilih sedemikian rupa sehingga solusi persamaan tersebut adalah semua nilai yang tidak diketahui yang termasuk dalam interval tertentu dari sumbu numerik. Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya

. (23)

Mari kita lihat sumbu numerik Ox dan tandai titik 0 dan 3 di atasnya (fungsi nol di bawah tanda nilai absolut). Titik-titik ini akan membagi garis bilangan menjadi tiga interval (Gbr. 1):

1) Ketika persamaan (23) direduksi menjadi bentuk

Dalam interval tersebut, persamaan terakhir tidak memiliki solusi.

Begitu pula ketika persamaan (23) direduksi menjadi bentuk

dan dalam interval tersebut tidak memiliki solusi.

2) Ketika persamaan (23) direduksi menjadi bentuk

,

artinya, itu berubah menjadi identitas. Oleh karena itu, nilai berapa pun merupakan solusi persamaan (23).

Persamaan transendental

Persamaan yang tidak dapat direduksi menjadi persamaan aljabar dengan menggunakan transformasi aljabar disebut persamaan transendental ).

Persamaan transendental yang paling sederhana adalah persamaan eksponensial, logaritma, dan trigonometri.

Persamaan eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan di mana hal yang tidak diketahui hanya dimasukkan dalam eksponen untuk beberapa basis konstan.

Persamaan eksponensial paling sederhana, yang penyelesaiannya direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar, adalah persamaan berbentuk

dimana dan adalah beberapa bilangan positif. Persamaan eksponensial (24) ekuivalen dengan persamaan aljabar

.

Dalam kasus paling sederhana, ketika , persamaan eksponensial (24) mempunyai solusi

Himpunan solusi persamaan bentuk eksponensial

dimana beberapa polinomial, ditemukan sebagai berikut.

Variabel baru diperkenalkan, dan persamaan (25) diselesaikan secara aljabar terhadap variabel yang tidak diketahui. Setelah itu, penyelesaian persamaan awal (25) direduksi menjadi penyelesaian persamaan eksponensial paling sederhana dalam bentuk (24).

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

Menulis persamaan dalam bentuk

dan memasukkan variabel baru, kita memperoleh persamaan kubik terhadap variabel tersebut:

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa persamaan kubik ini memiliki satu akar rasional dan dua akar irasional: dan .

Jadi, penyelesaian persamaan awal direduksi menjadi penyelesaian persamaan eksponensial paling sederhana:

Yang terakhir terdaftar tidak memiliki persamaan solusi. Himpunan solusi persamaan pertama dan kedua:

Beberapa persamaan indikator paling sederhana:

1) Persamaan bentuk

.

2) Persamaan bentuk

penggantian direduksi menjadi persamaan kuadrat

.

3) Persamaan bentuk

penggantian direduksi menjadi persamaan kuadrat

.

Persamaan logaritma

Logaritma Persamaan adalah persamaan yang tidak diketahui muncul sebagai argumen fungsi logaritma.

Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk

, (26)

di mana suatu bilangan positif yang berbeda dari satu adalah bilangan real apa pun. Persamaan logaritma (26) setara dengan persamaan aljabar

Dalam kasus paling sederhana, ketika , persamaan logaritma (26) mempunyai solusi

Himpunan solusi persamaan logaritma berbentuk , di mana beberapa polinomial dari hal yang tidak diketahui tertentu, ditemukan sebagai berikut.

Variabel baru diperkenalkan, dan persamaan (25) diselesaikan sebagai persamaan aljabar untuk . Setelah ini, persamaan logaritma paling sederhana dari bentuk (25) diselesaikan.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

Sehubungan dengan hal yang tidak diketahui, persamaan ini berbentuk kuadrat:

.

Akar persamaan ini adalah: , .

Memecahkan persamaan logaritma

kita memperoleh solusi persamaan logaritma (27): , .

Dalam beberapa kasus, untuk mereduksi penyelesaian persamaan logaritma menjadi penyelesaian sekuensial persamaan aljabar dan logaritma sederhana, pertama-tama perlu dilakukan transformasi yang sesuai dari logaritma yang termasuk dalam persamaan tersebut. Transformasi tersebut dapat berupa transformasi jumlah logaritma dua besaran menjadi logaritma hasil kali besaran-besaran tersebut, peralihan dari logaritma dengan satu basis ke logaritma dengan basis lain, dan seterusnya.

Contoh 2. Selesaikan persamaannya

Untuk mereduksi penyelesaian persamaan ini menjadi penyelesaian sekuensial persamaan aljabar dan logaritma sederhana, pertama-tama perlu mereduksi semua logaritma menjadi satu basis (di sini, misalnya, ke basis 2). Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus

,

berdasarkan itu . Mengganti nilai yang sama ke dalam persamaan (28), kita memperoleh persamaan

Penggantian persamaan ini direduksi menjadi persamaan kuadrat untuk hal yang tidak diketahui:

.

Akar persamaan kuadrat ini adalah: , . Kami memecahkan persamaan dan :

,

Contoh 3. Selesaikan persamaannya

Mengubah selisih logaritma dua besaran menjadi logaritma hasil bagi besaran-besaran tersebut:

kami mengurangi persamaan ini menjadi persamaan logaritma paling sederhana

.

Kesimpulan

Matematika, seperti halnya ilmu pengetahuan lainnya, tidak tinggal diam seiring dengan perkembangan masyarakat, pandangan masyarakat berubah, pemikiran dan gagasan baru bermunculan. Dan abad ke-20 tidak terkecuali dalam hal ini. Munculnya komputer membuat penyesuaian pada metode penyelesaian persamaan dan membuatnya lebih mudah. Tetapi komputer mungkin tidak selalu tersedia (ujian, tes), jadi pengetahuan tentang setidaknya cara paling penting untuk menyelesaikan persamaan sangat diperlukan. Penggunaan persamaan dalam kehidupan sehari-hari masih jarang dilakukan. Mereka telah menemukan penerapannya di banyak sektor ekonomi dan di hampir semua teknologi terkini.

Karya ini tidak menyajikan semua metode penyelesaian persamaan dan bahkan tidak semua jenisnya, tetapi hanya metode yang paling dasar. Saya berharap esai saya dapat menjadi bahan referensi yang baik ketika menyelesaikan persamaan tertentu. Sebagai penutup, saya ingin mencatat bahwa ketika menulis esai ini, saya tidak menetapkan tujuan untuk menunjukkan semua jenis persamaan, tetapi hanya menyajikan materi yang saya miliki.

Daftar literatur bekas

Kepala. ed. M.D.Aksenova. Ensiklopedia untuk anak-anak. Jilid 11. Matematika. – M.: Avanta+, 1998. – 688 hal.

Tsypkin A.G.Ed. S.A.Stepanova. Buku pegangan matematika untuk sekolah menengah. – M.: Nauka, 1980.- 400 hal.

G. Korn dan T. Korn. Buku pegangan matematika untuk ilmuwan dan insinyur. – M.: Nauka, 1970.- 720 hal.

) Di bawah dapat diterima nilai-nilai numerik dari huruf-huruf tersebut dipahami sehingga semua operasi yang dilakukan pada huruf-huruf yang termasuk dalam persamaan dapat dilakukan. Misalnya nilai valid dari huruf-huruf yang termasuk dalam persamaan

akan menjadi sebagai berikut; Untuk ; untuk, untuk

) Jika a dan b mempunyai tanda yang berbeda, maka .

) Kasusnya serupa dengan yang dibahas.

) Di bawah transformasi aljabar persamaan

Pahami transformasi berikut:

1) menambahkan ekspresi aljabar yang sama pada kedua ruas persamaan;

2) mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi aljabar yang sama;

3) menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat rasional.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Setelah kita mempelajari konsep persamaan, yaitu salah satu jenisnya – persamaan numerik, kita dapat beralih ke jenis persamaan penting lainnya. Dalam kerangka materi ini kami akan menjelaskan apa itu persamaan dan akar-akarnya, merumuskan definisi dasar dan memberikan berbagai contoh persamaan serta mencari akar-akarnya.

Konsep persamaan

Biasanya konsep persamaan diajarkan di awal kursus aljabar sekolah. Kemudian didefinisikan seperti ini:

Definisi 1

Persamaan disebut persamaan dengan bilangan yang tidak diketahui yang perlu dicari.

Merupakan kebiasaan untuk menunjukkan hal yang tidak diketahui dengan huruf Latin kecil, misalnya t, r, m, dll., tetapi x, y, z paling sering digunakan. Dengan kata lain persamaan ditentukan oleh bentuk pencatatannya, yaitu persamaan akan menjadi suatu persamaan hanya jika direduksi menjadi bentuk tertentu - harus memuat huruf, yang nilainya harus dicari.

Mari kita berikan beberapa contoh persamaan paling sederhana. Persamaan tersebut dapat berupa persamaan dalam bentuk x = 5, y = 6, dst., serta persamaan yang mencakup operasi aritmatika, misalnya x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Setelah konsep tanda kurung dipelajari maka muncullah konsep persamaan dengan tanda kurung. Ini termasuk 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, dst. Huruf yang perlu dicari bisa muncul lebih dari satu kali, tetapi beberapa kali, seperti , misalnya pada persamaan x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Selain itu, bilangan yang tidak diketahui dapat ditempatkan tidak hanya di sebelah kiri, tetapi juga di sebelah kanan atau di kedua bagian secara bersamaan, misalnya x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 atau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Selanjutnya, setelah siswa mengenal konsep bilangan bulat, real, rasional, bilangan asli, serta logaritma, akar, dan pangkat, muncul persamaan baru yang mencakup semua objek tersebut. Kami telah menyediakan artikel terpisah untuk contoh ekspresi tersebut.

Pada kurikulum kelas 7 konsep variabel muncul pertama kali. Ini adalah huruf-huruf yang dapat memiliki arti berbeda (untuk lebih jelasnya, lihat artikel tentang ekspresi numerik, huruf, dan variabel). Berdasarkan konsep ini, kita dapat mendefinisikan kembali persamaan:

Definisi 2

Persamaannya adalah persamaan yang melibatkan variabel yang nilainya perlu dihitung.

Misalnya, ekspresi x + 3 = 6 x + 7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3 y − 1 + y = 0 adalah persamaan dengan variabel y.

Satu persamaan bisa mempunyai lebih dari satu variabel, melainkan dua atau lebih. Masing-masing disebut persamaan dengan dua, tiga variabel, dan seterusnya. Mari kita tuliskan definisinya:

Definisi 3

Persamaan dengan dua (tiga, empat atau lebih) variabel adalah persamaan yang mencakup sejumlah variabel yang tidak diketahui.

Misalnya persamaan bentuk 3, 7 x + 0, 6 = 1 adalah persamaan dengan satu variabel x, dan x − z = 5 adalah persamaan dengan dua variabel x dan z. Contoh persamaan dengan tiga variabel adalah x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Akar persamaan

Ketika kita berbicara tentang suatu persamaan, segera muncul kebutuhan untuk mendefinisikan konsep akarnya. Mari kita coba jelaskan apa maksudnya.

Contoh 1

Kita diberikan persamaan tertentu yang mencakup satu variabel. Jika kita mengganti huruf yang tidak diketahui dengan angka, persamaannya menjadi persamaan numerik - benar atau salah. Jadi, jika pada persamaan a + 1 = 5 kita mengganti huruf dengan angka 2, maka persamaannya menjadi salah, dan jika 4 maka persamaan yang benar adalah 4 + 1 = 5.

Kami lebih tertarik pada nilai-nilai yang dengannya variabel tersebut akan berubah menjadi persamaan yang sebenarnya. Mereka disebut akar atau solusi. Mari kita tuliskan definisinya.

Definisi 4

Akar persamaan Mereka menyebut nilai suatu variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati.

Akar juga bisa disebut solusi, atau sebaliknya - kedua konsep ini memiliki arti yang sama.

Contoh 2

Mari kita ambil contoh untuk memperjelas definisi ini. Di atas kami memberikan persamaan a + 1 = 5. Menurut definisinya, akar dalam kasus ini adalah 4, karena jika disubstitusikan sebagai pengganti huruf, maka akan memberikan persamaan numerik yang benar, dan dua tidak akan menjadi solusi, karena sesuai dengan persamaan yang salah 2 + 1 = 5.

Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan? Apakah setiap persamaan mempunyai akar? Mari kita jawab pertanyaan-pertanyaan ini.

Persamaan yang tidak memiliki akar tunggal juga ada. Contohnya adalah 0 x = 5. Kita dapat mensubstitusi bilangan-bilangan berbeda dalam jumlah tak terhingga ke dalamnya, namun tak satu pun dari bilangan-bilangan tersebut yang akan mengubahnya menjadi persamaan sejati, karena mengalikannya dengan 0 selalu menghasilkan 0.

Ada juga persamaan yang memiliki beberapa akar. Mereka dapat memiliki jumlah akar yang terbatas atau tidak terbatas.

Contoh 3

Jadi, pada persamaan x − 2 = 4 hanya terdapat satu akar - enam, pada x 2 = 9 dua akar - tiga dan dikurangi tiga, pada x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tiga akar - nol, satu dan dua, persamaan x=x mempunyai banyak akar yang tak terhingga.

Sekarang mari kita jelaskan cara menulis akar-akar persamaan dengan benar. Jika tidak ada, maka kita tulis: “persamaan tersebut tidak memiliki akar”. Dalam hal ini, Anda juga dapat menunjukkan tanda himpunan kosong ∅. Jika ada akar-akarnya, maka kita menulisnya dengan dipisahkan koma atau menunjukkannya sebagai elemen suatu himpunan, diapit dalam kurung kurawal. Jadi, jika suatu persamaan memiliki tiga akar - 2, 1 dan 5, maka kita tulis - 2, 1, 5 atau (- 2, 1, 5).

Diperbolehkan menulis akar dalam bentuk persamaan sederhana. Jadi, jika persamaan yang tidak diketahui dilambangkan dengan huruf y, dan akar-akarnya adalah 2 dan 7, maka kita tulis y = 2 dan y = 7. Terkadang subskrip ditambahkan pada huruf, misalnya x 1 = 3, x 2 = 5. Dengan cara ini kita menunjukkan jumlah akarnya. Jika persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, maka kita menulis jawabannya sebagai interval numerik atau menggunakan notasi yang berlaku umum: himpunan bilangan asli dilambangkan N, bilangan bulat - Z, bilangan real - R. Katakanlah, jika kita perlu menulis bahwa solusi persamaannya adalah bilangan bulat apa pun, maka kita tuliskan bahwa x ∈ Z, dan jika ada bilangan real dari satu hingga sembilan, maka y ∈ 1, 9.

Jika suatu persamaan memiliki dua, tiga akar atau lebih, maka, sebagai suatu peraturan, kita tidak berbicara tentang akar-akarnya, tetapi tentang solusi persamaan tersebut. Mari kita rumuskan definisi penyelesaian persamaan dengan beberapa variabel.

Definisi 5

Penyelesaian persamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel adalah dua, tiga atau lebih nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita jelaskan definisinya dengan contoh.

Contoh 4

Katakanlah kita mempunyai persamaan x + y = 7, yang merupakan persamaan dengan dua variabel. Mari kita gantikan satu dengan yang pertama, dan dua sebagai pengganti yang kedua. Kita akan mendapatkan persamaan yang salah, artinya pasangan nilai tersebut tidak akan menjadi solusi persamaan tersebut. Jika kita ambil pasangan 3 dan 4, maka persamaan tersebut menjadi benar yang berarti kita telah menemukan penyelesaiannya.

Persamaan seperti itu mungkin juga tidak memiliki akar atau jumlahnya tidak terbatas. Jika kita perlu menuliskan dua, tiga, empat nilai atau lebih, maka kita menuliskannya dengan dipisahkan koma di dalam tanda kurung. Artinya, pada contoh di atas, jawabannya akan terlihat seperti (3, 4).

Dalam praktiknya, Anda paling sering harus berurusan dengan persamaan yang mengandung satu variabel. Kami akan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikannya secara rinci dalam artikel yang ditujukan untuk menyelesaikan persamaan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter