Pelajaran video "Fungsi trigonometri dari argumen numerik" adalah materi visual untuk memastikan kejelasan saat menjelaskan topik dalam pelajaran. Selama demonstrasi, prinsip pembentukan nilai fungsi trigonometri dari suatu bilangan dipertimbangkan, sejumlah contoh dijelaskan yang mengajarkan cara menghitung nilai fungsi trigonometri dari suatu bilangan. Dengan bantuan manual ini, lebih mudah untuk membentuk keterampilan dalam memecahkan masalah yang relevan, untuk mencapai menghafal materi. Menggunakan manual meningkatkan efektivitas pelajaran, berkontribusi pada pencapaian tujuan pembelajaran yang cepat.

Judul topik ditampilkan di awal pelajaran. Kemudian tugasnya adalah menemukan kosinus yang sesuai dengan beberapa argumen numerik. Perlu dicatat bahwa masalah ini diselesaikan dengan sederhana dan ini dapat ditunjukkan dengan jelas. Layar menampilkan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal. Pada saat yang sama, diketahui bahwa titik potong lingkaran dengan semi-sumbu positif sumbu absis terletak di titik A (1; 0). Contoh titik M diberikan, yang mewakili argumen t=π/3. Titik ini ditandai pada lingkaran satuan, dan garis tegak lurus terhadap sumbu absis turun darinya. Absis titik yang ditemukan adalah cosinus cos t. PADA kasus ini absis titik tersebut adalah x=1/2. Oleh karena itu cos t=1/2.

Meringkas fakta yang dipertimbangkan, dicatat bahwa masuk akal untuk berbicara tentang fungsi s=cos t. Perlu dicatat bahwa siswa sudah memiliki beberapa pengetahuan tentang fungsi ini. Beberapa nilai cosinus cos 0=1, cos /2=0, cos /3=1/2 dihitung. Juga terkait dengan fungsi ini adalah fungsi s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Perlu dicatat bahwa mereka memiliki nama umum untuk semua - fungsi trigonometri.

Hubungan penting ditunjukkan yang digunakan dalam menyelesaikan masalah dengan fungsi trigonometri: identitas dasar sin 2 t+ cos 2 t=1, ekspresi tangen dan kotangen dalam bentuk sinus dan kosinus tg t=sin t/cos t, di mana t≠ /2+πk untuk kϵZ, ctg t= cos t/sin t, di mana t≠πk untuk kϵZ, serta rasio tangen terhadap kotangen tg t ctg t=1 di mana t≠πk/2 untuk kϵZ.

Selanjutnya, diusulkan untuk mempertimbangkan bukti hubungan 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, dengan t≠π/2+πk untuk kϵZ. Untuk membuktikan identitasnya, perlu untuk menyatakan tg 2 t sebagai rasio sinus dan cosinus, dan kemudian membawa suku-suku di ruas kiri ke penyebut yang sama 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, kita memperoleh 1 dalam pembilangnya, yaitu, ekspresi akhir 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitas 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t dibuktikan dengan cara yang sama, dengan t≠πk untuk kϵZ. Seperti pada bukti sebelumnya, kotangen diganti dengan perbandingan cosinus dan sinus yang sesuai, dan kedua suku di ruas kiri direduksi menjadi penyebut yang sama 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. Setelah menerapkan identitas trigonometri dasar ke pembilang, kita mendapatkan 1/ sin 2 t. Ini adalah ekspresi yang diinginkan.

Solusi dari contoh dipertimbangkan, di mana pengetahuan yang diperoleh diterapkan. Pada tugas pertama, Anda perlu menemukan nilai biaya, tgt, ctgt, jika sinus dari bilangan sint=4/5 diketahui, dan t termasuk dalam interval /2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan solusi dari masalah serupa di mana tangen tgt=-8/15 diketahui, dan argumennya terbatas pada nilai 3π/2

Untuk mencari nilai sinus, kita menggunakan definisi tangen tgt = sint / cost. Dari sini kita menemukan sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Mengetahui bahwa kotangen adalah fungsi kebalikan dari garis singgung, kita menemukan ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Pelajaran video "Fungsi trigonometri dari argumen numerik" digunakan untuk meningkatkan efektivitas pelajaran matematika di sekolah. Dalam pembelajaran jarak jauh, materi ini dapat digunakan sebagai alat peraga untuk pembentukan keterampilan pemecahan masalah, di mana terdapat fungsi trigonometri suatu bilangan. Untuk memperoleh keterampilan ini, siswa dapat direkomendasikan untuk secara mandiri mempertimbangkan materi visual.

INTERPRETASI TEKS:

Topik pelajaran adalah "Fungsi trigonometri dari argumen numerik."

Setiap bilangan real t dapat diasosiasikan dengan bilangan yang didefinisikan secara unik cos t. Untuk melakukan ini, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

1) pada bidang koordinat, posisikan lingkaran bilangan sehingga pusat lingkaran berimpit dengan titik asal koordinat, dan titik awal A lingkaran menyentuh titik (1; 0);

2) temukan titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan bilangan t;

3) temukan absis dari titik ini. Ini adalah biaya t.

Oleh karena itu, kita akan berbicara tentang fungsi s \u003d cos t (es sama dengan cosinus te), di mana t adalah bilangan real apa pun. Kami sudah mendapat beberapa ide tentang fungsi ini:

• belajar bagaimana menghitung beberapa nilai, misalnya, cos 0=1, cos = 0, cos =, dll. (cosinus nol sama dengan satu, cosinus pi dengan dua sama dengan nol, cosinus pi dengan tiga sama dengan satu detik, dan seterusnya).
• dan karena nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen saling berhubungan, kami mendapat beberapa gagasan tentang tiga fungsi lagi: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es sama dengan sinus te, es sama dengan tangen te, es sama dengan kotangen te)

Semua fungsi ini disebut fungsi trigonometri dari argumen numerik t.

Dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, beberapa hubungan berikut:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2) tgt = pada t + k, kϵZ

3) ctgt = pada t πk, kϵZ (kotangen te sama dengan rasio cosinus te terhadap sinus te ketika te tidak sama dengan puncak ka, yang termasuk dalam z).

4)tgt ctgt = 1 untuk t , kϵZ

Kami membuktikan dua formula yang lebih penting:

Satu ditambah kuadrat tangen te sama dengan rasio satu dengan kuadrat kosinus te ketika te tidak sama dengan pi dengan dua ditambah pi.

Bukti. Satuan ekspresi ditambah kuadrat tangen te, kita akan mereduksi menjadi penyebut umum cosinus kuadrat te. Kami mendapatkan di pembilang jumlah kuadrat dari kosinus te dan sinus te, yang sama dengan satu. Dan penyebutnya tetap kuadrat dari cosinus te.

Jumlah persatuan dan kuadrat kotangen te sama dengan rasio persatuan dengan kuadrat sinus te ketika te tidak sama dengan puncaknya.

Bukti. Persamaan ekspresi ditambah kuadrat kotangen te, dengan cara yang sama, kita kurangi menjadi penyebut yang sama dan menerapkan hubungan pertama.

Pertimbangkan contoh.

CONTOH 1. Cari biaya, tgt, ctgt jika sint = dan< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Keputusan. Dari hubungan pertama, kami menemukan kuadrat kosinus te sama dengan satu dikurangi kuadrat sinus te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Jadi, cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinus kuadrat dari te adalah sembilan dua puluh lima), yaitu, biaya = (kosinus dari te sama dengan tiga perlima) atau biaya = - (kosinus dari te sama dengan minus tiga perlima). Dengan syarat, argumen t milik kuartal kedua, dan di dalamnya cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Jadi cosinus te sama dengan minus tiga perlima, biaya = - .

Hitung tangen te:

tgt = = (-)= - ;(singgung te sama dengan rasio sinus te terhadap kosinus te, yang berarti empat perlima dikurangi tiga perlima dan sama dengan dikurangi empat pertiga)

Dengan demikian, kami menghitung (kotangen dari angka te, karena kotangen te sama dengan rasio cosinus te dengan sinus te,) ctgt = = - .

(kotangen te dikurangi tiga perempat).

Jawaban: biaya = - , tgt= - ; ctgt = - . (Jawaban akan diisi sesuai keputusan Anda)

CONTOH 2. Diketahui bahwa tgt = - dan< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Keputusan. Kami menggunakan rasio ini, menggantikan nilai dalam rumus ini, kami mendapatkan:

1 + (-) 2 \u003d (satu per kosinus kuadrat te sama dengan jumlah satu dan kuadrat dikurangi delapan per lima belas). Dari sini kita menemukan cos 2 t =

(kuadrat kosinus te adalah dua ratus dua puluh lima dua ratus delapan puluh sembilan). Jadi biaya = (cosinus te sama dengan lima belas tujuh belas) atau

biaya = . Dengan syarat, argumen t termasuk dalam kuartal keempat, di mana biaya>0. Oleh karena itu, biaya = .(cosenus te adalah lima belas tujuh belas)

Temukan nilai argumen sinus te. Karena dari perbandingan (tunjukkan perbandingan tgt = pada t ≠ + k, kϵZ) sinus te sama dengan hasil kali garis singgung te dengan cosinus te, maka substitusikan nilai argumen te..singgung dari te sama dengan minus delapan per lima belas .. dengan syarat, dan cosinus dari te sama dengan yang diselesaikan sebelumnya, kita dapatkan

sint = tgt biaya = (-) = - , (sinus te sama dengan minus delapan tujuh belas)

ctgt == - . (karena kotangen te adalah kebalikan dari garis singgung, itu berarti bahwa kotangen te dikurangi lima belas delapan belas)

Fungsi trigonometri dari argumen numerik.

Fungsi trigonometri dari argumen numerikt adalah fungsi dari bentuk kamu= biaya t,
kamu= sin, kamu= tg t, kamu= ctgt.

Dengan menggunakan rumus ini, melalui nilai yang diketahui dari satu fungsi trigonometri, Anda dapat menemukan nilai yang tidak diketahui dari fungsi trigonometri lainnya.

penjelasan.

1) Ambil rumus cos 2 t + sin 2 t = 1 dan gunakan untuk mendapatkan rumus baru.

Untuk melakukan ini, kami membagi kedua bagian rumus dengan cos 2 t (untuk t 0, yaitu, t /2 + k). Jadi:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Suku pertama sama dengan 1. Kita tahu bahwa rasio sinus terhadap kerucut adalah tangen, yang berarti suku kedua sama dengan tg 2 t. Hasilnya, kami mendapatkan formula baru (dan sudah Anda ketahui):

2) Sekarang kita bagi cos 2 t + sin 2 t = 1 dengan sin 2 t (untuk t k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, dimana t k + π k, k- bilangan bulat
dosa 2 t dosa 2 t dosa 2 t

Perbandingan kosinus dengan sinus adalah kotangen. Cara:

Mengetahui dasar-dasar dasar matematika dan telah mempelajari rumus dasar trigonometri, Anda dapat dengan mudah memperoleh sendiri sebagian besar identitas trigonometri lainnya. Dan ini bahkan lebih baik daripada hanya menghafalnya: apa yang dipelajari dengan hati cepat dilupakan, dan apa yang dipahami diingat untuk waktu yang lama, jika tidak selamanya. Misalnya, tidak perlu mengingat jumlah satu dan kuadrat garis singgungnya. Terlupakan - Anda dapat dengan mudah mengingat jika Anda mengetahui hal yang paling sederhana: tangen adalah rasio sinus terhadap cosinus. Selain itu, terapkan aturan sederhana untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda - dan dapatkan hasilnya:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Sama mudahnya untuk menemukan jumlah persatuan dan kuadrat kotangen, serta banyak identitas lainnya.

Fungsi trigonometri argumen sudut.

Dalam fungsipada = karenat, pada = dosat, pada = tgt, pada = ctgt variabelt bisa lebih dari sekedar argumen numerik. Ini juga dapat dianggap sebagai ukuran sudut - yaitu, argumen sudut.

Dengan bantuan lingkaran numerik dan sistem koordinat, Anda dapat dengan mudah menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen dari sudut mana pun. Untuk ini, dua kondisi penting harus dipenuhi:
1) titik sudut harus menjadi pusat lingkaran, yang juga merupakan pusat sumbu koordinat;

2) salah satu sisi sudut harus berupa balok sumbu positif x.

Dalam hal ini, ordinat titik di mana lingkaran dan sisi kedua dari sudut berpotongan adalah sinus sudut ini, dan absis titik ini adalah kosinus dari sudut yang diberikan.

Penjelasan. Mari kita menggambar sudut, salah satu sisinya adalah sinar positif dari sumbu x, dan sisi kedua keluar dari titik asal sumbu koordinat (dan dari pusat lingkaran) membentuk sudut 30º (lihat gambar). Maka titik potong sisi kedua dengan lingkaran sesuai dengan /6. Kita tahu ordinat dan absis dari titik ini. Mereka adalah kosinus dan sinus sudut kita:

√3 1
--; --
2 2

Dan mengetahui sinus dan cosinus suatu sudut, Anda dapat dengan mudah menemukan tangen dan kotangennya.

Jadi, lingkaran bilangan yang terletak dalam sistem koordinat adalah cara yang mudah untuk menemukan sinus, kosinus, tangen, atau kotangen suatu sudut.

Tapi ada cara yang lebih mudah. Dimungkinkan untuk tidak menggambar lingkaran dan sistem koordinat. Anda dapat menggunakan rumus sederhana dan nyaman:

Contoh: tentukan sinus dan cosinus suatu sudut yang besarnya sama dengan 60º.

Keputusan :

60 3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Penjelasan: kami menemukan bahwa sinus dan kosinus dari sudut 60 sesuai dengan nilai-nilai titik lingkaran / 3. Selanjutnya, kami hanya menemukan nilai titik ini dalam tabel - dan dengan demikian menyelesaikan contoh kami. Tabel sinus dan cosinus dari titik-titik utama lingkaran numerik ada di bagian sebelumnya dan di halaman "Tabel".

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi trigonometri dari argumen numerik, definisi, identitas"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10
Masalah aljabar dengan parameter, nilai 9–11
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Definisi argumen numerik.
2. Rumus dasar.
3. Identitas trigonometri.
4. Contoh dan tugas untuk solusi independen.

Definisi fungsi trigonometri dari argumen numerik

Guys, kita tahu apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.
Mari kita lihat apakah mungkin untuk menemukan nilai fungsi trigonometri lainnya melalui nilai beberapa fungsi trigonometri?
Mari kita definisikan fungsi trigonometri elemen numerik sebagai: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

Mari kita ingat rumus dasar:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Ngomong-ngomong, apa nama formula ini?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, untuk $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, untuk $t≠πk$.

Mari kita dapatkan formula baru.

Identitas trigonometri

Kita tahu identitas trigonometri dasar: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Kawan, mari kita bagi kedua sisi identitas dengan $cos^2(t)$.
Kita peroleh: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Mari kita ubah: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Kita mendapatkan identitasnya: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, dengan $t≠\frac(π)(2)+πk$.

Sekarang kita bagi kedua sisi identitas dengan $sin^2(t)$.
Kita peroleh: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Mari kita ubah: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Kami mendapatkan identitas baru yang perlu diingat:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, untuk $t≠πk$.

Kami berhasil mendapatkan dua formula baru. Ingat mereka.
Rumus ini digunakan jika, dengan beberapa nilai fungsi trigonometri yang diketahui, diperlukan untuk menghitung nilai fungsi lain.

Memecahkan contoh untuk fungsi trigonometri dari argumen numerik

Contoh 1

$cos(t) =\frac(5)(7)$, cari $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ untuk semua t.

Keputusan:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Kemudian $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Contoh 2

$tg(t) = \frac(5)(12)$, cari $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, untuk semua $0

Keputusan:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Kemudian $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Kita mendapatkan $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Kemudian $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, tetapi $0 Kosinus di kuadran pertama adalah positif. Kemudian $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Kita peroleh: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Tugas untuk solusi independen

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, cari $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, untuk semua $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, cari $sin(t)$; $cos(t)$; $tg(t)$, untuk semua $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, cari $cos(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ untuk semua $t$.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, cari $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ untuk semua $t$.

Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan fungsi trigonometri dari argumen numerik. Mari kita ingat dulu definisi fungsi secara umum dan lingkaran bilangan. Selanjutnya, ingat kembali apa itu garis sinus, garis cosinus, garis singgung dan garis kotangen. Kami memperoleh rumus untuk identitas trigonometri dasar dan rumus dasar lainnya yang menghubungkan fungsi trigonometri satu sama lain. Selanjutnya, kami mempertimbangkan beberapa sifat fungsi trigonometri: tanda-tanda fungsi dalam seperempat dan sifat fungsi trigonometri genap dan ganjil.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi trigonometri dari argumen numerik

1. Topik pelajaran, pengantar

Kami menganggap fungsi trigonometri

2. Pengingat: definisi fungsi trigonometri

Fungsi apa pun adalah hukum yang menurutnya setiap nilai variabel independen sesuai dengan satu-satunya nilai variabel dependen - fungsi.

Kami menetapkan nomor untuk mencocokkannya titik pada lingkaran dengan dua koordinat - satu titik (Gbr. 1).

Ruas pada sumbu x dari -1 sampai 1 disebut garis cosinus.

Ruas pada sumbu y dari -1 sampai 1 disebut garis sinus.

Dari sini ikuti sifat-sifat sinus dan cosinus:

Garis singgung sejajar dengan sumbu y dan melalui titik

Garis kotangen sejajar dengan sumbu x dan melalui titik

3. Rumus trigonometri dasar

Pertimbangkan identitas trigonometri dasar.

Persamaan lingkaran satuan.

identitas trigonometri dasar.

hubungan antara tangen dan kotangen.

Mari kita turunkan rumus yang berhubungan dengan tangen dan cosinus.

Ada rumus yang mirip untuk kotangen dan sinus.

4. Paritas fungsi trigonometri

Kami mempelajari fungsi trigonometri untuk paritas.

fungsinya ganjil.

fungsinya genap.

Mari kita ilustrasikan properti ini pada lingkaran angka:

Contoh 1. Temukan

Solusi (Gbr. 2).

Mari kita buktikan sifat-sifat serupa untuk tangen dan kotangen:

Tangen adalah fungsi ganjil.

buktikan dirimu.

5. Tanda-tanda fungsi trigonometri di perempat

Pertimbangkan tanda-tanda fungsi trigonometri di perempat:

Tanda-tanda sinus dan cosinus (Gbr. 3).

Namun, adalah mungkin untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus tanpa angka-angka ini.

Misalnya, Anda perlu menentukan tanda, kami menentukan di kuartal mana sudut di detik berada. Sinus adalah proyeksi ke sumbu y, di kuadran kedua, yang berarti

Seperti cosinus. Mari kita tentukan tandanya Sudut ada di kuartal ketiga, kosinus adalah proyeksi ke sumbu x, di kuartal ketiga, jadi

Tanda-tanda tangen dan kotangen (Gbr. 4).

Anda dapat memeriksa tanda-tanda fungsi di tempat yang berbeda di sepanjang garis singgung dan kotangen. Misalnya, ambil sudut berbaring di kuartal ketiga. Gambarlah garis lurus melalui titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut ini dan titik asal sampai berpotongan dengan sumbu singgung. Nilai garis singgung untuk sudut seperti itu, serta untuk sudut kuartal pertama, akan positif. Demikian pula, untuk sudut perempat kedua dan keempat, garis singgungnya akan negatif (Gbr. 5).

6. Kesimpulan, kesimpulan

Kami telah mempertimbangkan fungsi trigonometri, mengingat definisinya, mengingat bahwa mereka memenuhi persyaratan keunikan, dan memperoleh identitas dan sifat dasar. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan memecahkan sejumlah masalah.

Bibliografi

1. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam) - M .: Pendidikan, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Studi mendalam tentang aljabar dan analisis matematika.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik (di bawah editor M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Simulator Aljabar.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Tugas dalam aljabar dan awal analisis (panduan untuk siswa di kelas 10-11 lembaga pendidikan umum) - M .: Pendidikan, 2003.

8. A.P. Karp, Kumpulan Soal Aljabar dan Prinsip Analisis: Proc. tunjangan untuk 10-11 sel. dengan mendalam belajar matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

Pekerjaan rumah

Aljabar dan Analisis Awal, Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

Sumber daya web tambahan

1. Matematika.

2. Masalah portal internet. ru.

3. Portal pendidikan untuk persiapan ujian.

Berapa pun bilangan real t yang diambil, bilangan tersebut dapat ditetapkan sebagai bilangan yang didefinisikan secara unik sin t. Benar, aturan korespondensi agak rumit; seperti yang kita lihat di atas, itu terdiri dari yang berikut.

Untuk mencari nilai sin t dengan bilangan t, Anda perlu:

1) posisikan lingkaran bilangan pada bidang koordinat sehingga pusat lingkaran berimpit dengan titik asal, dan titik awal A lingkaran menyentuh titik (1; 0);

2) temukan titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka t;

3) temukan ordinat titik ini.

Oordinat ini adalah sin t.

Faktanya, kita berbicara tentang fungsi u = sin t, di mana t adalah bilangan real apa pun.

Semua fungsi ini disebut fungsi trigonometri dari argumen numerik t.

Ada seluruh baris hubungan yang berkaitan dengan nilai berbagai fungsi trigonometri, kami telah memperoleh beberapa hubungan ini:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Dari dua rumus terakhir, mudah untuk mendapatkan hubungan yang menghubungkan tg t dan ctg t:

Semua rumus ini digunakan dalam kasus di mana, mengetahui nilai fungsi trigonometri, diperlukan untuk menghitung nilai fungsi trigonometri yang tersisa.

Istilah "sinus", "cosinus", "singgung" dan "kotangen" sebenarnya akrab, namun, mereka masih digunakan dalam interpretasi yang sedikit berbeda: dalam geometri dan fisika, mereka menganggap sinus, kosinus, tangen, dan kotangen g l a(tapi tidak

angka, seperti pada paragraf sebelumnya).

Diketahui dari geometri bahwa sinus (cosinus) dari suatu sudut lancip adalah rasio kaki segitiga siku-siku dengan sisi miringnya, dan garis singgung (kotangen) suatu sudut adalah rasio kaki-kaki segitiga siku-siku. Pendekatan yang berbeda untuk konsep sinus, kosinus, tangen dan kotangen telah dikembangkan pada paragraf sebelumnya. Sebenarnya, pendekatan ini saling terkait.

Mari kita ambil sudut dengan ukuran derajat b o dan susun dalam model "lingkaran numerik dalam sistem koordinat persegi panjang" seperti yang ditunjukkan pada Gambar. empat belas

sudut atas kompatibel dengan pusat

lingkaran (dengan asal usul sistem koordinat),

dan satu sisi sudut kompatibel dengan

sinar positif sumbu x. Titik

perpotongan sisi lain sudut dengan

lingkaran akan dilambangkan dengan huruf M. Ordina-

Gambar 14 b o , dan absis titik ini adalah kosinus sudut b o .

Untuk menemukan sinus atau cosinus dari sudut b o sama sekali tidak perlu membuat konstruksi yang sangat rumit ini setiap kali.

Cukuplah untuk dicatat bahwa busur AM adalah bagian yang sama dari panjang lingkaran numerik dengan sudut b o dari sudut 360°. Jika panjang busur AM dilambangkan dengan huruf t, maka diperoleh:

Dengan demikian,

Sebagai contoh,

Dipercayai bahwa 30 ° adalah ukuran derajat suatu sudut, dan merupakan ukuran radian dari sudut yang sama: 30 ° = rad. Umumnya:

Secara khusus, saya senang dari mana, pada gilirannya, kita dapatkan.

Jadi apa itu 1 radian? Ada berbagai ukuran panjang segmen: sentimeter, meter, yard, dll. Ada juga berbagai ukuran untuk menunjukkan besarnya sudut. Kami mempertimbangkan sudut pusat lingkaran satuan. Sudut 1° adalah sudut pusat berdasarkan busur yang merupakan bagian dari lingkaran. Sudut 1 radian adalah sudut pusat berdasarkan busur dengan panjang 1, yaitu pada busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Dari rumus, kita mendapatkan bahwa 1 rad \u003d 57,3 °.

Mengingat fungsi u = sin t (atau fungsi trigonometri lainnya), kita dapat menganggap variabel bebas t sebagai argumen numerik, seperti yang terjadi pada paragraf sebelumnya, tetapi kita juga dapat menganggap variabel ini sebagai ukuran sudut, yaitu argumen sudut. Oleh karena itu, berbicara tentang fungsi trigonometri, dalam arti tertentu tidak peduli untuk menganggapnya sebagai fungsi dari argumen numerik atau sudut.