Sebelum munculnya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan akar menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Tergantung pada nomor root, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau tepat. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan asli. Misalnya faktor dari bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor , yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, coba faktorkan bilangan akar menjadi faktor kuadrat.

• Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (secara manual). Pertama coba faktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 memberi Anda 16. Angka 16 juga merupakan angka kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
• Ini dapat ditulis sebagai berikut: 400 = (25 x 16).

1. Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat tiap suku, yaitu (a x b) = a x b. Gunakan aturan ini dan ambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan kalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.

   • Dalam contoh kita, ambil akar kuadrat dari 25 dan 16.
     • (25 x 16)
     • 25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. Jika bilangan akar tidak memfaktorkan ke dalam dua faktor kuadrat (dan memang demikian dalam banyak kasus), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban yang tepat sebagai bilangan bulat. Tetapi Anda dapat menyederhanakan masalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan Anda akan mengambil akar dari faktor biasa.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari bilangan 147. Bilangan 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. Jika perlu, evaluasi nilai root. Sekarang Anda dapat mengevaluasi nilai akar (menemukan nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan nomor akar. Anda akan mendapatkan nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.

   • Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan akarnya adalah 3. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai 3 terletak antara 1 dan 2. Karena nilai 3 mungkin lebih dekat ke 2 daripada 1, perkiraan kita adalah: 3 = 1.7. Kami mengalikan nilai ini dengan angka pada tanda root: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Jika Anda melakukan perhitungan pada kalkulator, Anda mendapatkan 12,13, yang cukup dekat dengan jawaban kami.
     • Metode ini juga bekerja dengan jumlah besar. Misalnya, pertimbangkan 35. Bilangan akarnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai 35 terletak antara 5 dan 6. Karena nilai 35 jauh lebih dekat ke 6 daripada ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat menyatakan bahwa 35 sedikit lebih kecil dari 6. Verifikasi dengan kalkulator memberi kami jawaban 5,92 - kami benar.

4. Cara lain adalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Tuliskan faktor-faktor prima dalam satu baris dan temukan pasangan faktor-faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat diambil dari tanda akar.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kami menguraikan angka akar menjadi faktor prima: 45 \u003d 9 x 5, dan 9 \u003d 3 x 3. Jadi, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 dapat diambil dari tanda akar: 45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan 5.
   • Pertimbangkan contoh lain: 88.
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11). Anda punya tiga pengganda 2s; ambil beberapa dari mereka dan keluarkan dari tanda akar.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11. Sekarang kita dapat mengevaluasi 2 dan 11 dan menemukan jawaban yang mendekati.

   Menghitung akar kuadrat secara manual

   Menggunakan pembagian kolom

   1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambar garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu gambar garis horizontal ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan akar menjadi pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah titik desimal. Jadi, bilangan 79520789182.47897 ditulis sebagai "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Sebagai contoh, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780.14. Gambar dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tulis nomor di kiri atas sebagai "7 80, 14". Adalah normal bahwa digit pertama dari kiri adalah digit yang tidak berpasangan. Jawabannya (akar dari angka yang diberikan) akan ditulis di kanan atas.

   2. Diberikan pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri, temukan bilangan bulat terbesar n yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan angka (atau satu angka) tersebut. Dengan kata lain, temukan bilangan kuadrat yang paling dekat dengan, tetapi kurang dari, pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat itu; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang ditemukan di kanan atas, dan tuliskan n persegi di kanan bawah.

      • Dalam kasus kami, angka pertama di sebelah kiri adalah angka 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Kurangi kuadrat dari angka n yang baru saja Anda temukan dari pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri. Tulislah hasil perhitungan di bawah subtrahend (kuadrat dari bilangan n).

      • Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 untuk mendapatkan 3.

   4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.

      • Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, menggandakan angka dari kanan atas menghasilkan 4. Tulis "4_×_=" dari kanan bawah.

   5. Isi bagian yang kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kasus kami, jika alih-alih tanda hubung kami menempatkan angka 8, maka 48 x 8 \u003d 384, yang lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 baik-baik saja. Tulis 7 alih-alih tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 \u003d 329. Tulis 7 dari kanan atas - ini adalah digit kedua dalam akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780,14.

   6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tulis hasil dari langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, temukan perbedaannya dan tulis di bawah yang dikurangi.

      • Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, yang sama dengan 51.

   7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan angka yang dibongkar adalah bagian pecahan dari nomor aslinya, maka letakkan pemisah (koma) dari bilangan bulat dan bagian pecahan di akar kuadrat yang diinginkan dari kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan nomor berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.

      • Dalam contoh kita, pasangan bilangan berikutnya yang akan dihancurkan adalah bagian pecahan dari bilangan 780.14, jadi letakkan pemisah bilangan bulat dan pecahan di akar kuadrat yang diinginkan dari kanan atas. Hancurkan 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan kanan atas (27) adalah 54, jadi tulis "54_×_=" di kanan bawah.

   8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar sebagai pengganti tanda hubung di sebelah kanan (bukan tanda hubung Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri.

      • Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka saat ini di sebelah kiri (5114). Tulis 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkalian dari bilangan saat ini di kiri: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis sepasang nol di sebelah angka saat ini di sebelah kiri dan ulangi langkah 4, 5 dan 6. Ulangi langkah sampai Anda mendapatkan akurasi jawaban yang Anda butuhkan (jumlah tempat desimal).

      Memahami proses

      1. Untuk menguasai metode ini, bayangkan bilangan yang akar kuadratnya perlu Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Hitung nilai L dimana L² = S.

         Masukkan huruf untuk setiap digit dalam jawaban Anda. Dilambangkan dengan A digit pertama dalam nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C yang ketiga dan seterusnya.

         Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit depan. Dilambangkan dengan S a pasangan angka pertama pada nilai S, dengan S b pasangan angka kedua, dan seterusnya.

         Jelaskan hubungan metode ini dengan pembagian panjang. Seperti dalam operasi pembagian, di mana setiap kali kita hanya tertarik pada satu digit berikutnya dari bilangan yang habis dibagi, ketika menghitung akar kuadrat, kita bekerja dengan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam nilai akar kuadrat) .

      2. Perhatikan pasangan angka pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang dicari akan menjadi digit tersebut, kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kami mencari A yang memenuhi pertidaksamaan A² Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertama akan serupa: kami mempertimbangkan digit pertama dari angka yang dapat dibagi 88962 (8) dan memilih angka terbesar yang, ketika dikalikan dengan 7, memberikan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kami mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Bayangkan secara mental persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Anda mencari L, yaitu panjang sisi persegi yang luasnya S. A, B, C adalah angka dalam angka L. Anda dapat menulisnya secara berbeda: 10A + B \u003d L (untuk dua -digit angka) atau 100A + 10B + C \u003d L (untuk angka tiga digit) dan seterusnya.

         • Membiarkan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingat bahwa 10A+B adalah bilangan yang B berarti satuan dan A berarti puluhan. Misalnya, jika A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A² adalah luas persegi bagian dalam yang besar, B² adalah luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B adalah luas masing-masing kedua persegi panjang tersebut. Menambahkan luas gambar yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi asli.

Rumus akar. sifat-sifat akar kuadrat.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya untuk mencari tahu apa itu rumus akar, apa sifat akar dan apa yang bisa dilakukan tentang itu semua.

Rumus Akar, Properti Akar, dan Aturan untuk Tindakan dengan Akar- itu pada dasarnya hal yang sama. Ada beberapa rumus yang mengejutkan untuk akar kuadrat. Yang, tentu saja, menyenangkan! Sebaliknya, Anda dapat menulis banyak jenis rumus, tetapi hanya tiga yang cukup untuk pekerjaan praktis dan percaya diri dengan akar. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak nyasar di ketiga rumus akarnya, ya...

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Itu dia:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Di antara sekian banyak pengetahuan yang merupakan tanda literasi, alfabet menempati urutan pertama. Berikutnya, elemen "tanda" yang sama, adalah keterampilan penjumlahan-perkalian dan, bersebelahan dengannya, tetapi maknanya terbalik, operasi aritmatika pengurangan-pembagian. Keterampilan yang dipelajari di masa kanak-kanak sekolah yang jauh melayani dengan setia siang dan malam: TV, koran, SMS, Dan di mana pun kita membaca, menulis, menghitung, menambah, mengurangi, mengalikan. Dan, katakan padaku, apakah Anda sering harus mengakar dalam kehidupan, kecuali di pedesaan? Misalnya, masalah yang menghibur, seperti, akar kuadrat dari angka 12345 ... Apakah masih ada bubuk mesiu di dalam termos bubuk? Bisakah kita melakukannya? Ya, tidak ada yang lebih mudah! Di mana kalkulator saya ... Dan tanpa itu, tangan kosong, lemah?

Pertama, mari kita perjelas apa itu - akar kuadrat dari sebuah angka. Secara umum, "mengekstrak akar dari suatu angka" berarti melakukan operasi aritmatika yang berlawanan dengan menaikkan pangkat - di sini Anda memiliki kesatuan lawan dalam aplikasi kehidupan. misalkan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan, yaitu seperti yang diajarkan di sekolah, X * X = A atau dalam notasi lain X2 = A, dan dengan kata lain - “X kuadrat sama dengan A”. Kemudian masalah kebalikannya berbunyi seperti ini: akar kuadrat dari bilangan A adalah bilangan X, yang jika dikuadratkan sama dengan A.

Mengekstrak akar kuadrat

Dari kursus aritmatika sekolah, metode penghitungan "dalam kolom" diketahui, yang membantu melakukan perhitungan apa pun menggunakan empat operasi aritmatika pertama. Sayangnya ... Untuk kuadrat, dan tidak hanya kuadrat, akar dari algoritma tersebut tidak ada. Dan dalam hal ini, bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator? Berdasarkan definisi akar kuadrat, hanya ada satu kesimpulan - perlu untuk memilih nilai hasil dengan pencacahan angka berurutan, kuadrat yang mendekati nilai ekspresi akar. Hanya dan semuanya! Sebelum satu atau dua jam berlalu, itu dapat dihitung menggunakan metode perkalian yang terkenal menjadi "kolom", akar kuadrat apa pun. Jika Anda memiliki keterampilan, beberapa menit sudah cukup untuk ini. Bahkan kalkulator atau pengguna PC yang tidak terlalu mahir melakukannya dalam satu gerakan - kemajuan.

Tapi serius, perhitungan akar kuadrat sering dilakukan dengan menggunakan teknik "garpu artileri": pertama, mereka mengambil angka yang kuadratnya kira-kira sesuai dengan ekspresi akar. Lebih baik jika "kotak kami" sedikit lebih kecil dari ekspresi ini. Kemudian mereka mengoreksi angka tersebut sesuai dengan pemahaman keterampilan mereka sendiri, misalnya, kalikan dua, dan ... kuadratkan lagi. Jika hasilnya lebih besar dari angka di bawah root, sesuaikan angka aslinya secara berurutan, secara bertahap mendekati "rekan" di bawah root. Seperti yang Anda lihat - tidak ada kalkulator, hanya kemampuan untuk menghitung "dalam kolom". Tentu saja, ada banyak algoritma yang beralasan secara ilmiah dan dioptimalkan untuk menghitung akar kuadrat, tetapi untuk "penggunaan di rumah" teknik di atas memberikan kepercayaan 100% pada hasilnya.

Ya, saya hampir lupa, untuk mengonfirmasi peningkatan literasi kami, kami menghitung akar kuadrat dari angka 12345 yang ditunjukkan sebelumnya. Kami melakukannya langkah demi langkah:

1. Ambil, murni secara intuitif, X=100. Mari kita hitung: X * X = 10.000. Intuisi ada di atas - hasilnya kurang dari 12345.

2. Mari kita coba, juga murni secara intuitif, X = 120. Kemudian: X * X = 14400. Dan sekali lagi, dengan intuisi, urutan - hasilnya lebih dari 12345.

3. Di atas, diperoleh "garpu" 100 dan 120. Mari kita pilih angka baru - 110 dan 115. Kita mendapatkan, masing-masing, 12100 dan 13225 - garpu menyempit.

4. Kami mencoba "mungkin" X = 111. Kita dapatkan X * X = 12321. Angka ini sudah cukup mendekati 12345. Sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan, “penyambungan” dapat dilanjutkan atau dihentikan pada hasil yang diperoleh. Itu saja. Seperti yang dijanjikan - semuanya sangat sederhana dan tanpa kalkulator.

Sedikit sejarah...

Bahkan Pythagoras, siswa sekolah dan pengikut Pythagoras, berpikir untuk menggunakan akar kuadrat, 800 SM. dan di sana, "bertemu" dengan penemuan-penemuan baru di bidang angka. Dan dari mana asalnya?

1. Penyelesaian masalah dengan ekstraksi akar, memberikan hasil berupa bilangan dari kelas baru. Mereka disebut irasional, dengan kata lain, "tidak masuk akal", karena. mereka tidak ditulis sebagai angka lengkap. Contoh paling klasik dari jenis ini adalah akar kuadrat dari 2. Kasus ini sesuai dengan perhitungan diagonal persegi dengan sisi sama dengan 1 - ini dia, pengaruh aliran Pythagoras. Ternyata dalam segitiga dengan satuan ukuran sisi yang sangat spesifik, sisi miring memiliki ukuran yang dinyatakan dengan angka yang "tidak memiliki ujung". Jadi dalam matematika muncul

2. Diketahui bahwa ternyata operasi matematika ini mengandung satu trik lagi - mengekstrak akar, kita tidak tahu kuadrat berapa dari angka mana, positif atau negatif, ekspresi akar. Ketidakpastian ini, hasil ganda dari satu operasi, dituliskan.

Studi tentang masalah yang terkait dengan fenomena ini telah menjadi arah dalam matematika yang disebut teori variabel kompleks, yang sangat penting secara praktis dalam fisika matematika.

Sangat mengherankan bahwa penunjukan akar - radikal - digunakan dalam "Aritmatika Universal"-nya oleh I. Newton yang sama di mana-mana, dan persisnya bentuk modern penulisan akar telah dikenal sejak 1690 dari buku Frenchman Roll "Algebra Manual". ".

Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kami akan menggeneralisasi konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan akar kuadrat pada khususnya, seseorang harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menjumpai pangkat dua dari suatu bilangan - kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari adalah bilangan yang kuadratnya a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa angka, misalnya, 5 , 0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka masing-masing 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Maka dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, 0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk sembarang bilangan a ada , yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk setiap bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk setiap a negatif , karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b . Lewat sini, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak didefinisikan dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif apa pun"? Jawabannya iya. Alasan untuk fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk menemukan nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif yang diberikan a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan nyata 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk sembarang b bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kami telah sampai pada kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kita katakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari sembarang bilangan non-negatif, misalkan b adalah akar kuadrat dari a. Katakanlah ada bilangan c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, dengan definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah valid, sehingga b 2 c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat tindakan dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita berasumsi bahwa ada suatu bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang sama dengan yang telah diberikan, terbukti bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadrat adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif "dipisahkan" dari akar positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk akar kuadrat aritmatika dari angka a, notasi diterima. Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda sebagian dapat mendengar "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Bilangan di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda akar - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya, entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus." Kata "aritmatika" diucapkan hanya ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, maka dari definisi akar kuadrat aritmatika, untuk sembarang bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk angka negatif a, kami tidak akan menambahkan makna pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari nomor a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu didasarkan pada konsep kubus angka, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari bilangan yang kubusnya sama dengan a disebut

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga. Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , 2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan 2/3 adalah akar pangkat tiga dari 8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan a yang diberikan. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, pertimbangkan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka dengan definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk b negatif dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada satu akar pangkat tiga lagi dari bilangan a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c , dan persamaan kedua tidak memiliki solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk a negatif , seseorang dapat berargumen serupa dengan kasus untuk a positif . Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari angka negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Ayo berikan definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a Bilangan tak negatif yang kubusnya sama dengan a disebut

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga, bilangan 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda akar adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika didefinisikan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah untuk menggunakan entri di mana bilangan negatif berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Sebagai contoh, .

Kita akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga dalam artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstrak akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmatika dari n

Kami menggeneralisasi konsep akar dari angka - kami memperkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari angka a adalah angka itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator alami, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar pangkat tiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar pangkat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar kubik. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergantian.

Mari kita mulai dengan akar-akarnya, yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, mereka mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar pangkat genap dari bilangan a hanya ada untuk a non-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a adalah tunggal dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar yang berderajat genap dari bilangan a, dan keduanya merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar dari suatu derajat genap (kita nyatakan sebagai 2·m, di mana m adalah suatu bilangan asli) dari a. Misalkan ada sebuah bilangan c - akar lain 2 m dari a . Maka b 2 m c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita mengetahui bentuk b 2 m c 2 m = (b c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bahwa angka b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi yang non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil, mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar suatu derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a adalah unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan dengan analogi dengan pembuktian keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini alih-alih kesetaraan a 3 b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ekspresi dalam kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Misalnya, untuk m=2 kita memiliki b 5 c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat penyatuan tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, pindah berturut-turut ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat bersarang sebelumnya, kami memastikan bahwa mereka juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk ini, diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan sebuah.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah bilangan non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah dilambangkan sebagai berikut: sebuah.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; sebuah disebut ekspresi akar. ekspresi sebuah Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan sebuah. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari sebuah«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi sebuah hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√sebuah)² = sebuah. Kesetaraan ( sebuah)² = sebuah berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif sebuah sama dengan b, yaitu, bahwa sebuah =b, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, b² = sebuah.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika sebuah sebuah 0 dan b> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akar pembilang dibagi akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak sebuah 0 dan b> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika sebuah ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Hitung .

.

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika sebuah sebuah 0 dan b 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah ke perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila sebuah 0 dan b 0. jika sebuah < 0, то .